数学物理方法 ppt课件

1e i1 2 e i 2
z1 z2
1 2
ei(12)2 1[c o1 s2 ()isin 1(2)]
4、复数的乘方与方根
乘方 zn ( ei)n nein
n(cno sisin n)
故： (cosisin)nconsisinn
方根 n z n ei e 1/n i/n
e 1/n i(2k)/n
W i W e e i(n 1 ) e i
Wei(ne1i)1ei eiei/2/(2e(ie(ni1//22)eiei/2/)2)
Weiei/2/(2e(ie(ni1//22)eiei/2/)2)
cn o 1 /s 2 )( isn i 1 n /2 )( co /2 )s is(i/2 n ) 2 isi/2 n ) (
y
y1 y2 y1
z1
z 1 z 2 x 1 y 1 i ( x 2 y 2 i)
(x 1 x 2) (y 1 y2)i
y2
x1
z1 z2
z2
x
x 2 x1 x2
z1 z2 (x1x2)2(y1y2)2
az r a g[ r y 1 ( c y 2 ) / tx 1 ( g x 2 )]
Baidu Nhomakorabea
zzz2(xy)ix (y)i x2y2i2xy
2）、 1(zz*)Rez 2
1(zz*)Imz 2i
3）、 1 2(z1z2)*1 2(z1*z2*)
例：讨论式子 Re 1/(z)2在复平面上的意义
解：
Re 1/(z)2
zxyi
1 1 x yi z x yi x2 y 2
x Re1(/z)x2 y2 2
式中 i 1
x
x、y为实数，称为
复数的实部与虚部 z r x2 y2为复数的模
xRez() yImz()
arc(yt/g x) 为复数的辐角
xcos
ysin
xcos ysin
arc(yt/g x) Argz
由于辐角的周期性， 辐角有无穷多
Ar gz2k
y
r A
A(x, y)
rgz x
r Ayrgz
解： 令
a c c o 2 o c s 3 o s c s n o
b s i s 2 n i s 3 n i n s n i
W a i b co c2 s o c s 3 o s cn o i (s s i2 n i n s3 i n sn i)
z1z2 z1z2
ar z 1g z2 ) (az r1 g az r2g
3、复数的除法
z1 x1 y1i (x1y1i)(x2y2i) z2 x2 y2i (x2y2i)(x2y2i)
x1xx2 2 2 yy12 2y2ix2xy2 2 1 xy12 2y2
或指数式： z1 x1 y1i z2 x2 y2i
2
2
a a2 b2
W 1z1/2[co 2) si(si n 2)(]
W 2 z1 /2 [co 2 2 s) (isin 2 2()] sin2
1cos
2
例：计算 c o c 2 o s c 3 s o c s n o s i s 2 n i s n 3 i n s n i
( k 0 ,1 ,2 ,3 )
故k取不同值，n z 取不同值
nz e 1/n i(2k)/n
k0 nz1/nei/n
k 1 nz1 /n e i( 2 )/n
k 2 nz1 /n e i( 4 )/n
e k n nz1 /n e i(2 /n ) 1/n i/n
注意：
1）、 zz*z2x2y2
把微积分延伸到复域。使微分和积分获得新的 深度和意义。
第一章 复变函数
§1.1 复数与复数运算 §1.2 复变函数 §1.3 复变函数的导数 §1.4 解析函数 §1.5 多值函数
§1.1 复数与复数运算
（一） 复数的基本 概念 1、 复数表示
复数： zxyi
几何表示：
y
复平面
zxyi
r A(x,y)
(co issi)n (c2 o isi2 n ) (cn o isin n )
e i e i 2 e i 3 e i n
W e i e i 2 e i 3 e in
W i e i 2 e e i 3 e i ( n 1 )
x2 y2 x 2
为 (x1)2y2(1)2 圆上各点
4
4
例：计算 W aib
解： 令
zaibz(co sisin)
W a ib [z(c o issi) n 1 /] 2
z a2 b2
sin b
a2 b2
z1 /2 [co 2 k s)( isin 2 k ()]cos
有三角
关系： z1z2 z1z2
z1z2 z1z2
2、复数的乘法
z 1 z 2 (x 1 y 1 i)x 2 ( y 2 i)
( x 1 x 2 y 1 y 2 ) i( x 1 y 2 x 2 y 1 )
z1z21 e i1 2 e i2
ei(12) 12
12 [c 1 o 2 ) s is( i 1 n 2 )
x
(k 0 , 1 , 2 )
0arzg2
Argz y
r
x
为辐角的主值，为主
辐角，记为 argz
y Argz
r
x
复数的三角表示： zco sisin
复数的指数表示： z(co is sin ) ei
应用： e2ki 1 1ei
i e(2k/2)i (k0,1,) ie(2k3/2)i
例：求 z1 3i 的Argz与argz
使用教材：数学物理方法，梁昆淼编
数学物理方法是物理类及其它相关理工类极为重要的 基础课，数学物理方法是连接数学与物理学的桥梁．是通 往科学研究和工程计算的必经之路．因为它教导我们怎样 将一个自然现象转化为一个数学方程．它非常充分地体现 了科学的精髓，即：定量化．因而数学物理方法在科学中 的地位尤为突出．
解：z位于第二象限
argzarctgy arc(tg3) 2
x
3
Arg arzz g2k2k 2
3
共轭复数： z*(c os isin )*
(c o is si n )
ei
cos1(eiei)
2
si n1(eiei)
2i
（二） 无限远点 N
A
零点 无限远点
Riemann球面 复球面
z
S
（三）复数的运算 1、复数的加减法