数学物理方法 ppt课件
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浅谈数学物理方法课程的学习PPT课件
得到非平衡态的速度分布函数
量子力学：用薛定谔方程
( 2 2 Zes2 ) E
2
描绘电子在库仑场中的运动
第16页/共53页
二、数学物理方法在物理学中的地位
1.数理方法是物理学科的重要基础课
数理方法是普通物理与四大力学的“粘合剂” 数理方法是学习专业课的奠基石
材料物理： 热处理 热传导方程 光学、电子科技: 电磁波传播 波动方程
第20页/共53页
二、数学物理方法在物理学中的地位
3.数理方法是培养学生逻辑思维能力和 创造思维能力的重要课程
数学物理方法研究物理问题的三个步骤： ➢导(写)出定解问题 (泛定方程、定解条件) ➢求解 ➢对解答进行分析 其间一系列的过程都不可缺少清晰的逻辑推理和 创造性思维，由此学生分析问题和解决问题的能 力也就自然地得到了训练和培养
第25页/共53页
三、如何学好数学物理方法
1.认真学好先行课
普物 重点:力学、电学、热学 高数 重点:微积分、常微分方程解法
求解方程：
行波法：求解常微分方程的先求通 解再用定 解条件定特解的思想
分离变量法、积分变换法： 均用到化偏微分方程为常微分方程的求解
所有求解方程的过程离不开微分、积分手段。
——萧伯纳
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三、如何学好数学物理方法
6.学会举一反三，懂得由树木见森林。
第28页/共53页
三、如何学好数学物理方法
例：求解三维无界空间的波动问题 z z
M (x, y, z)
utt u |t0
a 2 u x3
y2z
x x at sin cos y y at sin sin
ut |t0 0
z z at cos
数学物理方法(第四版)(汪德新)PPT模板
12.1傅里 叶变换
1
12.2傅里 叶变换法
2
12.3拉普 拉斯变换
3
12.4拉普拉 斯变换法
4
第三篇数学物理方程
第13章格林函数法
03
＊13.3格林函数法
在波动问题中的应
用
02
＊13.2格林函数法 在输运问题中的应
用
01
＊13.1格林函数法 在稳定场问题中的
应用
第三篇数学物理方程
第14章保角变换法
02 第17章Z变换
＊17.1Z变换的定义及其性质 ＊17.2用Z变换求解差分方程
03 第18章小波变换
＊18.1从傅里叶变换，加博变换到小波 变换 ＊18.2连续小波变换的性质
第四篇数学物理 方法的若干新兴 分支
06 参考文献
参考文献
07 附录
附录
1. 附录A微分算符▽的若干常用公式 2. 附录B几种常用的常系数常微分方程的解 3. 附录C广义积分与积分主值 4. 附录D二阶线性齐次常微分方程w″（z）＋p（z）w′（z）＋q（z）w（z）
数学物理方法（第四版）(汪德新)
演讲人
2 0 2 X - 11 - 11
01 前言
前言
02 第一篇复变函数导论
第一篇复变函数导 论
第1章复变函数与解析函数 第2章复变函数的积分 第3章解析函数的级数表示 第4章留数定理及其应用 第5章解析延拓多值函数及其黎曼面
第一篇复变 函数导论
第1章复变函数与解析函 数
6.3勒让德多项式的正交性与完备 性
6.2勒让德多项式的微分与积分表 达式母函数与递推公式
6.4关联勒让德方程与关联勒让德 函数
第二篇特殊函数场论与狄拉克δ函数
符号法《数学物理方法》课件-完整清晰
故 L[est ] 1 ps
数学物理方法
例 6.1.4 计算 L[test ] ， s 为常数
解：在 Re p Re s 的半平面上
teste pt dt te( ps)t dt
0
0
1 ps
[te( ps)t ]0
e( ps)t dt
dp
dp 0
0 dp
此可见 f ( p) 在上处处可导，因而是解析的。
数学物理方法
（2）当 p ，而 Argp ( 0) 时， f ( p) 存
2 在且满足 lim f ( p) 0 。
p
证明：
f ( p) f (t)e ptdt f (t)e pt dt
Me 0 tdt M
0
, 0
数学物理方法
6.2.4 拉氏变换基本性质
由 f ( p) f (t)e ptdt 定义的拉氏变换存在如下性质： 0
（1） f ( p) 是在 Re p 0 的半平面上的解析函数。
证明：考察积分 d [ f (t)e pt ]dt ，利用
傅里叶变换，它是一种单 边广义傅里叶变换 。单边指积
分区间为 (0, ) ，广义指它要乘上 et H (t)( 0) 再做
傅里叶变换。
例 6.1.1 计算 L[1] 。
解：在 Re p 0（即 0 ）的半平面上
L[1] 1 e ptdt 1 (Re p 0)
或者
f ( p) f (t) （6.2.7） f (t)≒ f ( p) (6.2.8) （注：有的书上为 f (t) f ( p) ） 注意：原函数 f (t) 应该理解为 f (t)H (t) ，通常 H (t) 省
数学物理方法概论课件
(1) ()x (x) (x) (2) (x y) xy (3) ( )x xx
§ 2.1 线性空间
§ 2 线性空间
四、线性子空间
设V是F上的线性空间，如果 V V
（即 V 是V中的某些向量的集合），且满足：
（1）对任意的 x,y V ,(xy) V
（2）对任意的 F ,x V ,则 x V
定V中的一个元素y, 记为 y x ,数乘满足：
1x x ( ) x ( x ) ( ) x x x (x y) x y
数1的数乘 结合律 左分配律 右分配律
则称V是数域F上的线性空间（向量空间），记为V(F)。 （以上8个公式为线性空间的8个公理）
§ 2.1 线性空间
数学物理方法概论课件
§ 2.1 线性空间
§ 2 线性空间
一、群
设G是一元素集，“.”是某种定义在G上的运算，对任意
aG,bG有 abG 这种运算称为封闭运算。
定义：群为由集合G和封闭运算“.”所组成的系统，记为 G ,
它满足以下三个公理：
（1）运算满足结合律： (ab)ca(bc)
（2） 存在单位元素e，有 e a a e a
§ 2 线性空间
例：n个对象置换的集合。不满足交换律，不是Abel群。 以n=3 为例。该集合包含3！=6个元素，可以表示为
1 1
2 2
33=I
1 3
2 1
23=F
1 2
2 3
13=D
1 2
2 1
33=A
1 1
2 3
23=C
1 3
2 2
13=B
定义一个乘法“*”，其法则是两个置换的乘积仍是一个置换， 运算由右至左连续施行两次。
§ 2.1 线性空间
§ 2 线性空间
四、线性子空间
设V是F上的线性空间，如果 V V
（即 V 是V中的某些向量的集合），且满足：
（1）对任意的 x,y V ,(xy) V
（2）对任意的 F ,x V ,则 x V
定V中的一个元素y, 记为 y x ,数乘满足：
1x x ( ) x ( x ) ( ) x x x (x y) x y
数1的数乘 结合律 左分配律 右分配律
则称V是数域F上的线性空间（向量空间），记为V(F)。 （以上8个公式为线性空间的8个公理）
§ 2.1 线性空间
数学物理方法概论课件
§ 2.1 线性空间
§ 2 线性空间
一、群
设G是一元素集，“.”是某种定义在G上的运算，对任意
aG,bG有 abG 这种运算称为封闭运算。
定义：群为由集合G和封闭运算“.”所组成的系统，记为 G ,
它满足以下三个公理：
（1）运算满足结合律： (ab)ca(bc)
（2） 存在单位元素e，有 e a a e a
§ 2 线性空间
例：n个对象置换的集合。不满足交换律，不是Abel群。 以n=3 为例。该集合包含3！=6个元素，可以表示为
1 1
2 2
33=I
1 3
2 1
23=F
1 2
2 3
13=D
1 2
2 1
33=A
1 1
2 3
23=C
1 3
2 2
13=B
定义一个乘法“*”，其法则是两个置换的乘积仍是一个置换， 运算由右至左连续施行两次。
《数学物理方法》课件
弹性力学方程的求解
总结词
弹性力学方程是描述弹性物体变形和应力分布的偏微分方程 ，通过求解该方程可以了解物体的弹性和稳定性。
详细描述
弹性力学方程的一般形式为 $nabla cdot sigma = f$，其中 $sigma$ 是应力张量，$f$ 是体力密度，$nabla cdot$ 是散 度算子。求解该方程可以得到应力分布、应变能和弹性常数 等。
在工程学中的应用
机械工程
数学物理方法在机械工程 中广泛应用于分析力学、 热传导、流体力学等问题 。
电子工程
在电子工程中，数学物理 方法用于描述电磁波的传 播、散射和吸收等。
土木工程
在土木工程中，数学物理 方法用于分析结构力学、 地震工程等问题。
在经济学中的应用
金融建模
数学物理方法在金融领域中用于 建立复杂的金融模型，如期权定
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数学物理方法将进一步发展，以适应未来科技发展的需求 ，特别是在能源、环境、生物医学等领域。
在此添加您的文本16字
随着人工智能和机器学习的发展，数学物理方法将与这些 技术相结合，以实现更高效、精确的问题解决方案。
06 数学物理方法的实际案例分析
一维波动方程的求解
总结词
一维波动方程是描述一维波动现象的基本方程，通过求解该方程可以了解波的传播规律 。
这些概念在描述物理现象的变化规律 和求解物理问题中发挥着关键作用， 例如在描述速度、加速度、功和能量 等物理量时。
微积分中的基本概念包括极限、连续 性、导数和积分等。
微分方程
微分方程是描述物理现象变化规律的数学工具，它表示一个或多个未知函数的导数 之间的关系。
微分方程的基本类型包括常微分方程、偏微分方程和积分微分方程等。
数学物理方法第三版.ppt
在极坐标下，先令z沿径向逼近零，
即z ei 0
则：lim lim lim ei z0 z 0 z 0
lim
0
u iv
ei
u
i
v
e
i
再令z沿横向逼近于零，
即z ei iei 0
则：lim lim lim ei z0 z 0 z 0
i ei lim u iv
u(x, x
y)
v( x, y
y)
v(x, y) u(x, y)
x
y
以上条件为复数z可导的必要条件，又称 为柯西—黎曼条件（简称C-R条件）。
极坐标系下的C-R条件
u
v
u
v
推导极坐标下的C-R方程
证明：由定义可知
u(x, y) iv(x, y) u(,) iv(,)
习题
例一
求解析函数u(x, y) x2 y2的虚部v(x, y)
解：因为：u 2x，u 2 y
x
y
所以：v 2 y，v 2x
x
y
即dv 2 ydx 2xdy
v 2 ydx 2xdy c
既然积分与路径无关，为方便计 算，取如图所示路径积分可得：
Y
(X,Y)
0
(X,0)
X
v
外点： Zo及其邻域均不属于点集E，则 该点叫作E的外点。
境界线：若Zo及其邻域内既有属于E的点， 也有不属于E的点，则该点为境界 点，境界点的全体称为境界线。
境界线 内点 境界点 外点
区域
区域：（1）点集中的每个点都是内点 （2）点集是连通的，即点集中
的任何两点都可以用一条曲线连接起来 ，且线上的点全属于该点集。
cos z 1 (e2y e2 y ) 2(cos2 x sin2 x) 2
即z ei 0
则：lim lim lim ei z0 z 0 z 0
lim
0
u iv
ei
u
i
v
e
i
再令z沿横向逼近于零，
即z ei iei 0
则：lim lim lim ei z0 z 0 z 0
i ei lim u iv
u(x, x
y)
v( x, y
y)
v(x, y) u(x, y)
x
y
以上条件为复数z可导的必要条件，又称 为柯西—黎曼条件（简称C-R条件）。
极坐标系下的C-R条件
u
v
u
v
推导极坐标下的C-R方程
证明：由定义可知
u(x, y) iv(x, y) u(,) iv(,)
习题
例一
求解析函数u(x, y) x2 y2的虚部v(x, y)
解：因为：u 2x，u 2 y
x
y
所以：v 2 y，v 2x
x
y
即dv 2 ydx 2xdy
v 2 ydx 2xdy c
既然积分与路径无关，为方便计 算，取如图所示路径积分可得：
Y
(X,Y)
0
(X,0)
X
v
外点： Zo及其邻域均不属于点集E，则 该点叫作E的外点。
境界线：若Zo及其邻域内既有属于E的点， 也有不属于E的点，则该点为境界 点，境界点的全体称为境界线。
境界线 内点 境界点 外点
区域
区域：（1）点集中的每个点都是内点 （2）点集是连通的，即点集中
的任何两点都可以用一条曲线连接起来 ，且线上的点全属于该点集。
cos z 1 (e2y e2 y ) 2(cos2 x sin2 x) 2
《数学物理方法》第一章.ppt
一元三次方程 x3 px q 0 (其中 p,q 为实数)的求根公
式，通常也叫做卡丹诺（Cardano）公式：
x 3 q (q)2 ( p)3 3 q (q)2 ( p)3
22 3
22 3
需特别指出：可以证明当有三个不同的实根 时，若要用公式法来求解，则不可能不经过负数 开方(参考：范德瓦尔登著《代数学》,丁石孙译, 科学出版社，1963年)。至此，我们明白了这样 的事实，此方程根的求得必须引入虚数概念。
第一节 复数 第二节 复变函数的基本概念 第三节 复球面与无穷远点
第一节 复数
复数的概念
复数
形如 z=x+i y 的数被称为复数，
其中x , y∈R。x=Rez，y=Imz分别
为z的实部和虚部，i为虚数单位， 其意义为i2=-1
复数相等
复数四则运算？
z1=z2当且仅当 Rez1= Rez2 且 Imz1= Imz2
复平面
（几何表示） 虚轴
复数z=x+iy
z平面
复数与平面向量一一对应
实轴 0的幅角呢？
复数不能 比较大小
模 | z | r x2 y2
主幅角
幅角 2k arg z Argz
复数的表示
代数表示： z=x+iy
三角表示： z=r(cosθ+isinθ)
指数表示： z=reiθ
i
sin
2
n
wn ?
注意 根式函数是多值函数
例如 记
z
r
cos
2k
2
i sin
2k
式，通常也叫做卡丹诺（Cardano）公式：
x 3 q (q)2 ( p)3 3 q (q)2 ( p)3
22 3
22 3
需特别指出：可以证明当有三个不同的实根 时，若要用公式法来求解，则不可能不经过负数 开方(参考：范德瓦尔登著《代数学》,丁石孙译, 科学出版社，1963年)。至此，我们明白了这样 的事实，此方程根的求得必须引入虚数概念。
第一节 复数 第二节 复变函数的基本概念 第三节 复球面与无穷远点
第一节 复数
复数的概念
复数
形如 z=x+i y 的数被称为复数，
其中x , y∈R。x=Rez，y=Imz分别
为z的实部和虚部，i为虚数单位， 其意义为i2=-1
复数相等
复数四则运算？
z1=z2当且仅当 Rez1= Rez2 且 Imz1= Imz2
复平面
（几何表示） 虚轴
复数z=x+iy
z平面
复数与平面向量一一对应
实轴 0的幅角呢？
复数不能 比较大小
模 | z | r x2 y2
主幅角
幅角 2k arg z Argz
复数的表示
代数表示： z=x+iy
三角表示： z=r(cosθ+isinθ)
指数表示： z=reiθ
i
sin
2
n
wn ?
注意 根式函数是多值函数
例如 记
z
r
cos
2k
2
i sin
2k
数学物理方法-绪论PPT课件
-
2
1.数学物理方程（50学时）
Chap.7 数学物理定解问题 (10) Chap.8 分离变数法(12) Chap.9 二阶常微分方程级数解法(10) Chap.10 球函数(10) Chap.11 柱函数(8)
-
3
2.矢量分析与场论(14学时）
Chap.1矢量分析(6) Chap.2场论(8)
2.熟练掌握不同定解条件(初始和边界) 下三类典型偏微分方程的解法 (分离变 数法) 3.掌握基本特殊函数的主要性质和应用
4.掌握矢性函数的计算和场的描述方法
-
6
教材
1.《数学物理方法》梁昆淼 编 2. 矢量分析与场论 谢树艺 编 参考书 1.《数学物理方法》吴崇试 编著 北大 2.《数学物理方程》谷超豪等 编著 复旦 3.《数学物理方法》邵惠民 编著 南大 3.《数学物理方程》季-孝达等编 中科大 7
数学物理方法(Ⅱ)
——是物理和数学相结合的一 门边缘科学,任务是研究物理 对象在数学中的描述
-
1
绪论
一、内容简介
1.数学物理方程（50学时）
——常微分方程、微分积分方程、 偏微分方程（反映物理量在空间中 的分布和随时间的变化规律）
2.矢量分析与场论(14学时）
——矢性函数的运算、标量场和矢
量场的描述方法
-
4
二、课程特点
1.涉及到的数学知识广泛（高等数学、 常微分方程、复变函数、线性代数）
2.涉及到的物理概念多（力学、热学、 电磁学…）
3.应用广泛(电动力学、量子力学、电磁场 理论）
4.计算较繁、计算量较大（掌握常规的分析步骤）
-
Байду номын сангаас
5
三、学习目标
数学物理方法课件：场论的基本概念
的模，称矢量G(M)为函数u在点M处的梯度
u |{u , u , u}| cos({cos , cos , cos },l0 )
l x y z
G gradu {u , u , u} x y z
G gradu u i u j u k x y z
i, j, k 分别是x, y, z方向的单位矢量。
间形成的电势场）
u 1
q
4 x2 y2 z2
求解任意点M(x, y, z)的梯度。
引力场： u M
1
G x2 y2 z2
求解任意点M(x, y, z)的梯度。
方向导数、梯度的数理含义
数学含义： 数量场中每一点M处的梯度，必垂直于过该点的场 函数的等值面u(x, y, z)=c（常数）, 并指向函数增大 的方向。
场论的基本概念
《数理方法》课程必备基础； 在弹性力学、流体力学、电磁学等学科中具有应 用广泛； 掌握场论基本概念及其计算方法，对数理方程的 学习至关重要；
场的概念
场 如果在全空间或部分空间中的每一点，都对应 着某个物理量的一个确定的值，就称这空间里确定 了该物理量的场。
场的实例 温度场、密度场、电势场； 重力场、流场、加速度场；
x2 y2 z2
1
2k
a
3
x2 y2 z2
1 2
x
a
20
x2 y2 z2
grad及div a ,其中
x2 y2 z2
1. 2
解：grad i j k
x y z
x
x2 y2 z2
3
2 i y
x2 y2 z2
3
2j
z
x2 y2 z2
3
2k
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解： 令
a c c o 2 o c s 3 o s c s n o
b s i s 2 n i s 3 n i n s n i
W a i b co c2 s o c s 3 o s cn o i (s s i2 n i n s3 i n sn i)
z1z2 z1z2
ar z 1g z2 ) (az r1 g az r2g
3、复数的除法
z1 x1 y1i (x1y1i)(x2y2i) z2 x2 y2i (x2y2i)(x2y2i)
x1xx2 2 2 yy12 2y2ix2xy2 2 1 xy12 2y2
或指数式： z1 x1 y1i z2 x2 y2i
有三角
关系： z1z2 z1z2
z1z2 z1z2
2、复数的乘法
z 1 z 2 (x 1 y 1 i)x 2 ( y 2 i)
( x 1 x 2 y 1 y 2 ) i( x 1 y 2 x 2 y 1 )
z1z21 e i1 2 e i2
ei(12) 12
12 [c 1 o 2 ) s is( i 1 n 2 )
使用教材：数学物理方法，梁昆淼编
数学物理方法是物理类及其它相关理工类极为重要的 基础课，数学物理方法是连接数学与物理学的桥梁．是通 往科学研究和工程计算的必经之路．因为它教导我们怎样 将一个自然现象转化为一个数学方程．它非常充分地体现 了科学的精髓，即：定量化．因而数学物理方法在科学中 的地位尤为突出．
( k 0 ,1 ,2 ,3 )
故k取不同值，n z 取不同值
nz e 1/n i(2k)/n
k0 nz1/nei/n
k 1 nz1 /n e i( 2 )/n
k 2 nz1 /n e i( 4 )/n
e k n nz1 /n e i(2 /n ) 1/n i/n
注意：
1）、 zz*z2x2y2
解：z位于第二象限
argzarctgy arc(tg3) 2
x
3
Arg arzz g2k2k 2
3
共轭复数： z*(c os isin )*
(c o is si n )
ei
cos1(eiei)
2
si n1(eiei)
2i
（二） 无限远点 N
A
零点 无限远点
Riemann球面 复球面
z
S
（三）复数的运算 1、复数的加减法
把微积分延伸到复域。使微分和积分获得新的 深度和意义。
第一章 复变函数
§1.1 复数与复数运算 §1.2 复变函数 §1.3 复变函数的导数 §1.4 解析函数 §1.5 多值函数
§1.1 复数与复数运算
（一） 复数的基本 概念 1、 复数表示
复数： zxyi
几何表示：
y
复平面
zxyi
r A(x,y)
y
y1 y2 y1
z1
z 1 z 2 x 1 y 1 i ( x 2 y 2 i)
(x 1 x 2) (y 1 y2)i
y2
x1
z1 z2
z2
x
x 2 x1 x2
z1 z2 (x1x2)2(y1y2)2
az r a g[ r y 1 ( c y 2 ) / tx 1 ( g x 2 )]
2
2
a a2 b2
W 1z1/2[co 2) si(si n 2)(]
W 2 z1 /2 [co 2 2 s) (isin 2 2()] sin2
1cos
2
例：计算 c o c 2 o s c 3 s o c s n o s i s 2 n i s n 3 i n s n i
(co issi)n (c2 o isi2 n ) (cn o isin n )
e i e i 2 e i 3 e i n
W e i e i 2 e i 3 e in
W i e i 2 e e i 3 e i ( n 1 )
x2 y2 x 2
为 (x1)2y2(1)2 圆上各点
4
4
例：计算 W aib
解： 令
zaibz(co sisin)
W a ib [z(c o issi) n 1 /] 2
z a2 b2
sin b
a2 b2
z1 /2 [co 2 k s)( isin 2 k ()]cos
W i W e e i(n 1 ) e i
Wei(ne1i)1ei eiei/2/(2e(ie(ni1//22)eiei/2/)2)
Weiei/2/(2e(ie(ni1//22)eiei/2/)2)
cn o 1 /s 2 )( isn i 1 n /2 )( co /2 )s is(i/2 n ) 2 isi/2 n ) (
x
(k 0 , 1 , 2 )
0arzg2
Байду номын сангаас
Argz y
r
x
为辐角的主值，为主
辐角，记为 argz
y Argz
r
x
复数的三角表示： zco sisin
复数的指数表示： z(co is sin ) ei
应用： e2ki 1 1ei
i e(2k/2)i (k0,1,) ie(2k3/2)i
例：求 z1 3i 的Argz与argz
式中 i 1
x
x、y为实数，称为
复数的实部与虚部 z r x2 y2为复数的模
xRez() yImz()
arc(yt/g x) 为复数的辐角
xcos
ysin
xcos ysin
arc(yt/g x) Argz
由于辐角的周期性， 辐角有无穷多
Ar gz2k
y
r A
A(x, y)
rgz x
r Ayrgz
zzz2(xy)ix (y)i x2y2i2xy
2）、 1(zz*)Rez 2
1(zz*)Imz 2i
3）、 1 2(z1z2)*1 2(z1*z2*)
例：讨论式子 Re 1/(z)2在复平面上的意义
解：
Re 1/(z)2
zxyi
1 1 x yi z x yi x2 y 2
x Re1(/z)x2 y2 2
1e i1 2 e i 2
z1 z2
1 2
ei(12)2 1[c o1 s2 ()isin 1(2)]
4、复数的乘方与方根
乘方 zn ( ei)n nein
n(cno sisin n)
故： (cosisin)nconsisinn
方根 n z n ei e 1/n i/n
e 1/n i(2k)/n
a c c o 2 o c s 3 o s c s n o
b s i s 2 n i s 3 n i n s n i
W a i b co c2 s o c s 3 o s cn o i (s s i2 n i n s3 i n sn i)
z1z2 z1z2
ar z 1g z2 ) (az r1 g az r2g
3、复数的除法
z1 x1 y1i (x1y1i)(x2y2i) z2 x2 y2i (x2y2i)(x2y2i)
x1xx2 2 2 yy12 2y2ix2xy2 2 1 xy12 2y2
或指数式： z1 x1 y1i z2 x2 y2i
有三角
关系： z1z2 z1z2
z1z2 z1z2
2、复数的乘法
z 1 z 2 (x 1 y 1 i)x 2 ( y 2 i)
( x 1 x 2 y 1 y 2 ) i( x 1 y 2 x 2 y 1 )
z1z21 e i1 2 e i2
ei(12) 12
12 [c 1 o 2 ) s is( i 1 n 2 )
使用教材：数学物理方法，梁昆淼编
数学物理方法是物理类及其它相关理工类极为重要的 基础课，数学物理方法是连接数学与物理学的桥梁．是通 往科学研究和工程计算的必经之路．因为它教导我们怎样 将一个自然现象转化为一个数学方程．它非常充分地体现 了科学的精髓，即：定量化．因而数学物理方法在科学中 的地位尤为突出．
( k 0 ,1 ,2 ,3 )
故k取不同值，n z 取不同值
nz e 1/n i(2k)/n
k0 nz1/nei/n
k 1 nz1 /n e i( 2 )/n
k 2 nz1 /n e i( 4 )/n
e k n nz1 /n e i(2 /n ) 1/n i/n
注意：
1）、 zz*z2x2y2
解：z位于第二象限
argzarctgy arc(tg3) 2
x
3
Arg arzz g2k2k 2
3
共轭复数： z*(c os isin )*
(c o is si n )
ei
cos1(eiei)
2
si n1(eiei)
2i
（二） 无限远点 N
A
零点 无限远点
Riemann球面 复球面
z
S
（三）复数的运算 1、复数的加减法
把微积分延伸到复域。使微分和积分获得新的 深度和意义。
第一章 复变函数
§1.1 复数与复数运算 §1.2 复变函数 §1.3 复变函数的导数 §1.4 解析函数 §1.5 多值函数
§1.1 复数与复数运算
（一） 复数的基本 概念 1、 复数表示
复数： zxyi
几何表示：
y
复平面
zxyi
r A(x,y)
y
y1 y2 y1
z1
z 1 z 2 x 1 y 1 i ( x 2 y 2 i)
(x 1 x 2) (y 1 y2)i
y2
x1
z1 z2
z2
x
x 2 x1 x2
z1 z2 (x1x2)2(y1y2)2
az r a g[ r y 1 ( c y 2 ) / tx 1 ( g x 2 )]
2
2
a a2 b2
W 1z1/2[co 2) si(si n 2)(]
W 2 z1 /2 [co 2 2 s) (isin 2 2()] sin2
1cos
2
例：计算 c o c 2 o s c 3 s o c s n o s i s 2 n i s n 3 i n s n i
(co issi)n (c2 o isi2 n ) (cn o isin n )
e i e i 2 e i 3 e i n
W e i e i 2 e i 3 e in
W i e i 2 e e i 3 e i ( n 1 )
x2 y2 x 2
为 (x1)2y2(1)2 圆上各点
4
4
例：计算 W aib
解： 令
zaibz(co sisin)
W a ib [z(c o issi) n 1 /] 2
z a2 b2
sin b
a2 b2
z1 /2 [co 2 k s)( isin 2 k ()]cos
W i W e e i(n 1 ) e i
Wei(ne1i)1ei eiei/2/(2e(ie(ni1//22)eiei/2/)2)
Weiei/2/(2e(ie(ni1//22)eiei/2/)2)
cn o 1 /s 2 )( isn i 1 n /2 )( co /2 )s is(i/2 n ) 2 isi/2 n ) (
x
(k 0 , 1 , 2 )
0arzg2
Байду номын сангаас
Argz y
r
x
为辐角的主值，为主
辐角，记为 argz
y Argz
r
x
复数的三角表示： zco sisin
复数的指数表示： z(co is sin ) ei
应用： e2ki 1 1ei
i e(2k/2)i (k0,1,) ie(2k3/2)i
例：求 z1 3i 的Argz与argz
式中 i 1
x
x、y为实数，称为
复数的实部与虚部 z r x2 y2为复数的模
xRez() yImz()
arc(yt/g x) 为复数的辐角
xcos
ysin
xcos ysin
arc(yt/g x) Argz
由于辐角的周期性， 辐角有无穷多
Ar gz2k
y
r A
A(x, y)
rgz x
r Ayrgz
zzz2(xy)ix (y)i x2y2i2xy
2）、 1(zz*)Rez 2
1(zz*)Imz 2i
3）、 1 2(z1z2)*1 2(z1*z2*)
例：讨论式子 Re 1/(z)2在复平面上的意义
解：
Re 1/(z)2
zxyi
1 1 x yi z x yi x2 y 2
x Re1(/z)x2 y2 2
1e i1 2 e i 2
z1 z2
1 2
ei(12)2 1[c o1 s2 ()isin 1(2)]
4、复数的乘方与方根
乘方 zn ( ei)n nein
n(cno sisin n)
故： (cosisin)nconsisinn
方根 n z n ei e 1/n i/n
e 1/n i(2k)/n