数值计算 总结

第1章 数值计算方法的一般概念
1.2 误差
相对误差 相对误差：是指近似值与真正值之比或比的绝对 值，即
相对误差界：用一个满足 相对误差的大小，并记为
的数
,来表示
相对误差界常用百分数表示
第1章 数值计算方法的一般概念
1.2 误差
准确数字
各 位 数 字 皆 准 确 的 近 似 数 称 为 有 效 数 . 此 时 各 准 确 数 字 也 称 为 有 效 数 字
误差分类
模型误差 数据误差 截断误差 计算误差 在建立数学模型时，忽略次要因素而造成的 由于问题中的值通过观察得到的，从而产生误差 通过近似替代，简化为较易求解的问题 由于计算机中数的位数限制而造成的
第1章 数值计算方法的一般概念
1.2 误差
~ x 设 为真值, x 为真值的近似值
绝对误差 绝对误差：是指近似值与真正值之差或差的绝对 值，即 xxx , 或 x 绝对误差界：用一个满足 绝对误差的大小，并记为 的数 ,来表示
2.回代运算量
求 x 需 做 1 次 除 法 , 求 x 需 做 1 次 乘 法 和 1 次 除 法 , . . . , 求 x 需 n 1 次 n n 1 1 乘 法 和 1 次 除 法 , 因 此 所 需 乘 除 次 数 : n ( n 1 ) N 12. . . n 2 32 n 2 n 因 此 , NN 1 N n 2 3 3
第1章 数值计算方法的一般概念
1.2.3 数据误差影响的估计
第1章 数值计算方法的一般概念
1.2.3 数据误差影响的估计
在 误 差 估 计 式 (1-1),(1-2)中 y (x1,x2,...,xn ) xi xi i=1
n n
(x1,x2,...,xn )xi y xi xi i=1 xi 或 xi 表 示 解 的 误 差 相 对 参 量 xi的 误 差 的 放 大 或 缩 小 "倍 数 " xi
写成矩阵形式为
(2 -1 )
A x b
a11 a12 a a22 21 其中 A an1 an2
(A 0 )
a1n a2n ann
x1 x x 2 xn
b1 b b 2 bn

数值计算方法总结
பைடு நூலகம்
数值计算方法的一般概念 解线性代数方程组的直接法 插值法与最小二乘法 数值微积分
方程与方程组的迭代解法
第1章 数值计算方法的一般概念
1.1 算法
定义 算法是指由基本算术运算及运算顺序的规定构成 的完整的解题步骤. 描述 算法可以使用框图、算法语言、数学语言、自然 语言来进行描述。 具有的特征 正确性、有穷性、适用范围广、运算工作量少、 使用资源少、逻辑结构简单、便于实现 计算结果可靠
2.[回代] 按相反顺序求解上三角形方程组,得到方程组的解
第 一 步 得 到 x , 第 二 步 得 到 x , . . . , 第 n 步 得 到 x n n 1 1
将方程组写成增广矩阵的形式,将有利于计算机实现
A Ab
第2章 解线性代数方程的直接法
2.1 高斯消去法 2.1.2 运算量估计 高斯消去法运算量估计 1.消去算法运算量
1 ( x ) x 2 x ( x ) 1 x 2
第2章 解线性代数方程的直接法
求解n阶线性代数方程组
a a 1 1x 1 a 1 2x 2 1 nx n b 1 a a 2 1x 1 a 2 2x 2 2nx n b 2 a a n 1x 1 a n2x 2 n nx n b n
第1章 数值计算方法的一般概念
1.1 算法 计算机的计算结果通常是近似的，因此算法必有误差，并且 应能估计误差。

稳定性 计算过程中的误差能得到控制，各步误差对计算 结果不致产生过大的影响 解 收敛性 通过增加计算量，能使近似计算解充分接近理论
第1章 数值计算方法的一般概念
1.2 误差
定义 误差是指近似值与真正值之差
3 即 , 运 算 量 为 o ( n )
第2章 解线性代数方程的直接法
2.1 高斯消去法 2.1.3 选主元技术
这些系数的绝对值称为求y问题的条件数，其值很大时的问题 称为坏条件问题或病态问题
凡是计算结果接近于零的问题往往是病态问题。
应避免相近数相减,小除数和大乘数
第1章 数值计算方法的一般概念
1.2.3 数据误差影响的估计
由 误 差 估 计 式 (1 1 ) 可 知 ( x 1 x 2 ) x 1 x 2 x1 x2 ( x x ) x x2 1 2 1 x1 x 2 x1 x 2 ( x 1 x 2 ) x 2 x 1 x1 x 2 (x1x2) x1 x2 x 1 x1 x1 ( x ) x x 2 x 2 2 2 2 ( x1 ) x x 1 2 x 2
直接法指的是不计舍入误差时,通过有限次算术运算能求得准确解的方法
第2章 解线性代数方程的直接法
2.1 高斯消去法 2.1.1 基本步骤 高斯消去法步骤 1.[消去] 经过n-1步将方程组化为同解的上三角形方程组
第 一 步 消 去 a 下 方 元 素 , 第 二 步 消 去 a 下 方 元 素 , . . . , 1 1 2 2 第 n 1 步 消 去 a 下 方 元 素 nn 1 , 1
分 为 n 1, 步 第 k 步 变 换行 n k: 求 倍 数 , 再 从 n 1 k 个 元 素 中 减 去 第 k 行 对 应 列 的 倍 数 , 因 此 所 需 乘 除 次 数 :
3 2 n n 5 n N ( nkn ) ( 1 k 1 ) 1 3 2 6 k 1 n