第五章大连理工大学考研信号与系统课件

Kk
lim (s sk )N (s) lim
ssk D(s)
ssk
d ds
(s
sk
)N (s)
d ds
D(s)
N (s) D ( s)
ssk
展开式中每个部分分式对应一个指数函数，即
Kk s sk
K k e skt ε(t)
n
f (t) 1{F (s)} 1{
Kk
}
n
1{
Kk
}
k 1 s sk
拉普拉斯变换分析法的优点：
1、可一次求出全响应； 2、可将微积分运算转换成乘除法运算； 3、可将复杂的函数转换为简单的初等函数； 4、可将卷积运算转换为乘积运算。
同时可以引出系统的一个重要概念：系统函数。 它是描述系统特性的重要概念
§5.2 拉普拉斯变换
若信号本身不满足绝对可积条件，其付立叶变换就不
§5.3 拉普拉斯变换的收敛域
信号 f (t) 与收敛因子 et 相乘是否收敛，
取决于两个因素：
1、信号本身的收敛性； 2、收敛因子中的取值，即复变量 s 实部的取值。
我们把使 f (t)et 满足绝对可积的 的取值
范围叫做信号 f (t)的拉普拉斯变换的收敛域。
只有在此收敛域内取值时，信号的拉氏变换 才存在，即F(s)才有意义，否则信号的拉氏变换 不存在。
存在。为使信号收敛，用一叫做收敛因子的指数函数
e t去乘 f (t)
f (t)
f (t)e t
1
1
t
t
0
0
f
(t )
1 e
t
t 0 t0
f (t)e t
e t
e
t
e
t
t 0 t 0
只要 0 且 0 ， f (t)et 就双向收敛
F { f (t)et } f (t)et e jt dt
σ a
ε (t) lim eat ε (t)
a0
ε(t) 1
s
σ 0
2、正弦信号 sint
sin ω t 1 (e jω t e jω t ) 2j
sin ω t
1 2j
(
s
1 jω
s
1 jω
)
s2
ω ω 2
3、余弦信号 cost
σ 0
cosω t 1 (e jω t e jω t ) 2
f (t) e( j)t dt f (t) est dt
j s 称为复变量
则
F (s) f (t ) e st dt
称上式为信号 f (t) 双边拉普拉斯变换的定义式
反变换：
f (t)e t 1 F (s) e jt d 2
f (t) 1 F (s) eσ t e jωt dω 2π
s 1
s(s 3) (s 2)(2s 3) s2 (s 3)2
s 1
3 4
2
1
1
3
即： F (s) 3 12 2 4
s s 3 (s 1) 2 s 1
f (t) 2 ε (t) 1 e3tε (t) 1 te tε (t) 3 etε (t)
3
12
2
4
例：求
F(s)
chβ
t
s2
s β
2
σ β
σ β
二、t 的正冪函数
f (t) t n
由定义：
F (s) {t n} f (t)est dt t nest dt
0
0
t n est
s
0
n s
t n e 1 st dt
0
n {t n1} s
n n 1 {t n2} n n 1 2 {t}
5、衰减余弦信号 et cost
e α t cosω t
s α
(s α )2 ω 2
σ α
6、双曲正弦信号 sht
shβ t 1 (eβ t eβ t ) 2
shβ t 1 ( 1 1 ) β 2 s β s β s2 β 2
7、双曲余弦信号 cht
chβ t 1 (eβ t eβ t ) 2
对单边拉氏变换，信号 f (t)et 满足绝对可积的条件是：
lim f (t) et 0
t
根据信号 f (t)本身的特性，总可以找到一个 0 值, 当
0 时，上式成立。因此单边拉氏变换的收敛域为：
σ σ0
jω σ j
收敛域的 图示表示
收敛轴
收
敛
0 σ0 域 σ
收敛坐标
S平面
σ j
还要说明的是，凡是可以通过与指数收敛因子相 乘而达到收敛的函数，通常都称为指数阶函数。 电子技术中实际遇到的有始信号大都是指数阶信 号且分段连续，因此这些信号的拉氏变换都存在， 所不同的仅仅是收敛域的不同。至于双边拉氏变 换的收敛域问题，可类推得到。
2π j c
i 1
而拉氏反变换为：
f
(t)
1 2π j
1 F (s) est dω 2π
其中 s j ，则 ds jd ，或 d 1 ds
: ~ s : j ~ j j
f (t) 1
j
F
(s)
e
st
ds
2j j
上式称为拉普拉斯反变换定义式。记为：
F (s) { f (t)} f (t) e st dt
§5.4 常见函数的拉普拉斯变换
拉氏变换是广义的付立叶变换，因此当信号绝对可积 时，即其拉氏变换的收敛域包含虚轴时，信号的傅氏 变换与拉氏变换有如下简单的互换关系：
F (s) F ( jω) jωs
F ( jω) F(s) s jω
当信号不绝对可积时，信号的傅氏变换不存在，拉 氏变换需根据定义式求解。
ω
(s α )2 ω 2
eα t cosω t
s α
(s α) 2 ω 2
F(s)
s2
s 2s
5
(s
s 11 1)2 22
(s
s 1 1)2
22
(s
1 2
2
1)2
22
f
(t)
1{F (s)}
e t
cos 2tε(t)
1 2
e t
sin
2tε(t)
2、 m n, D(s) 0 有重根的情况
其中： K1 s F(s) s0
s2 (s 3)(s 1)2
s0
2 3
K2 (s 3) F(s) s3
s2 s(s 1)2
s 3
1 12
K32
(s 1)2 F(s)
s1
s2 s(s 3)
s 1
1 2
K31
d ds
[(s
1)2
F(s)]
s 1
d s2 ds s(s 3)
f (t) F(s)
拉普拉斯变换也叫广义傅立叶变换。通常 F(s) 称为 f (t) 的象函数，而 f (t) 称为 F(s) 的原函数。
工程中常遇到的信号是有始信号，今后讨论以单边 拉普拉斯变换为主。jBiblioteka jω0σ0
s 平面，也叫复平面
t
t
t
对应不同复变量复指数信号 est
的变化模式。
也称复变量 s 为复频率。
0
收敛域为整个 s 平面。
§5.5 拉普拉斯反变换
一、部分分式展开法（海维塞展开法）
该方法适合于象函数为有理函数的情况，即：
F (s) N (s) bm s m bm1s m1 b1s b0 D(s) s n an1s n1 a1s a0
其中 a, b 均为常数，m 和 n 为正整数。
其中
F1 (s)
s2
1 2
s
2
5 2
s
3 2
将F1(s)展开成部分分式和的形式：
F1 ( s )
s2
1 2
s
2
5 2
s
3 2
(s
1 2
s2
3 2
)(
s
1)
K1 K2
s
3 2
s 1
K1
(s
3 2
)
F1
(
s)
s
3 2
1 2
s
2
s 1
s
3 2
5 2
K 2 (s 1)F1 (s) s1
1 2
s
2
s
3 2
s1 3
f (t) 1{F (s)} 1{2
5 2
3}
s
3 2
s 1
2
(t)
5
e
3 2
t
(t
)
3et
(t
)
2
例：求 F(s) s
的原函数。
s2 2s 5
解：此象函数分母多项式的根是一对共轭复根，可象 前例按单根的情况处理，此外还可根据常见拉氏变换 对求其原函数。
e α t sin ω t
t n e at ε(t)
n!
(s a) n1
例：求
F(s)
s2
s(s 3)(s 1) 2
的原函数。
解： D(s) s(s 3)(s 1)2 0 的根为
s1 0 s2 3 s3 1（二阶）
F (s) K1 K 2 K 32 K 31 s s 3 (s 1) 2 s 1
ss
ss s
n n 1 2 1 {ε (t)} n n 1 2 1 1
s s ss
s s sss
n! s n1
σ 0
即： t n
n!
s n1
σ 0
利用上述结果有:
n 1