图论 第6章 树和割集

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第6-8章 图论2

第6-8章   图论2

5.设D是有向图,当且仅当D中有一条通过每个 D 结点的通路时,D为( )连通的。 答案:单向 6.设有向图D=<V,E>,V={a,b,c,d}, E={<a,b><a,d><d,c><b,d><c,d>},则D是 ( )连通的,c的可达集为(),d(c,a)=()
6.设有向图D=<V,E>,V={a,b,c,d,}, E={<a,b>,<a,d>,<d,c>,<b,d>,<c,d>}, 则D是( )连通的,c的可达集为( ),d(a,b)=() 答案:单向 {c,d} 7.图6-1的点连通度为(),边连通度为() 答案: 1 1 8.k5的点连通度为(),边连通度为()。 答案: 4 4
7.若无向图中恰有2个度数为奇数的结点,则这两个结 点必连通。( ) 答案:T 8.在有向图中,结点间的可达关系是等价关系。( ) 答案:F 9. 若有向图中有两个奇度结点,则它们中一个可达另 一个或互相可达。( ) 答案:F
10.若图G不连通,则 G 必连通。( ) 答案:T 11.有向图的每个结点恰位于一个单向分图中。( ) 答案:F 12.图6-3为无强分图( ) 答案:F 13.若图G的边e不包含在G的某简 图6-3 单回路中,则e是G的割边。( ) 答案:T
22.设G= <V,E>为连通的简单平面图,若|V|>=3,则 所有结点v,有deg(v)<=5.( ) 答案:F
第7章 树 章
树是图论中最重要的概念之一,它是基尔霍夫在解决 电路理论中求解联立方程时首先提出的。它又是图论 中结构最简单,用途最广泛的一种平面图,在计算机 科学的算法分析、数据结构等方面有着广泛的应用, 本章主要介绍树的基本概念、性质和若干应用。

第15节树和割集

第15节树和割集
集合与图论
第15节
树和割集
主要内容:
树及其性质 生成树 割点、桥和割集
1/35
集合与图论
1 树及其性质
定义1 连通且无圈的无向图称为无向树,简 称树. 一个没有圈的不连通的无向图称为无向森林, 简称森林. 仅有一个顶点的树称为平凡树. 例如:
(a)
(b)
2/35
集合与图论
树的等价定义
12/35
集合与图论
树的性质
性质1 任一非平凡树中至少有两个度为1的顶点.
性质2 任何一个非平凡的树都可用两种颜色给 其顶点染色,使得每条边的两个端点不同色. 偶图的充分必要条件是图中所有圈都是偶数长可 得树是偶图.
因此树可用两种颜色染色,并且每条边的两个端 点不同色.
13/35
集合与图论
2 生成树
推论1 设G是一个(p, q)连通图,则q≥p-1.
15/35
集合与图论
1
最小生成树问题
3
2 3 1 2
3
3
2

1
2

1
图G
T
给定边带权连通图G,G中边的权是一个非负实 数,生成树中各边的权之和称为该生成树的权。 图G的生成树T的权是6. G的生成树中权最小的那个生成树就是最小生成 树。10/35源自集合与图论 如果n>3,
树的等价定义证明
在圈上不相邻的两点间连一条边,则得到两个以 上的圈,与(6)矛盾. 如果n=3,由于p≥4,已知条件中G不是Kp,则 G中存在不相邻的两个顶点. 连接不相邻的两个 顶点,至少得到两个 圈,与已知条件矛盾.
11/35
集合与图论
极小连通图
图2 图1 定义2 连通图G称为是极小连通图,如果 去掉G的任意一条边后得到的都是不连通图. 定理2 图G是树当且仅当G是极小连通图.

哈工大集合论习题课-第六章 树及割集 习题课(学生)

哈工大集合论习题课-第六章 树及割集 习题课(学生)

的顶点集)之间的顶点。
不妨假设,若某条边关联中的两个顶点,设为和,又因为根据上述
的标记法则,有到的路和到的路。设与离和最近的顶点为,所以,树中
存在回路:,与树中无回路的性质矛盾。所以,任意边只能关联(标记
为1的顶点集)和(标记为0的顶点集)之间的顶点。所以,任意一棵非
平凡树都是偶图。
证2 设是任一棵非平凡树,则无回路,即中所有回路长都是零。而
第六章 树及割集
习题课1
课堂例题 例1 设T是一棵树,T有3个度为3顶点,1个2度顶点,其余均是1度 顶点。则 (1)求T有几个1度顶点? (2)画出满足上述要求的不同构的两棵树。 分析:对于任一棵树,其顶点数和边数的关系是:且,根据这些性 质容易求解。 解:(1)设该树的顶点数为,边数为,并设树中有个1度顶点。于 是 且,,得。 (2)满足上述要求的两棵不同构的无向树,如图1所示。
在(4),(5)中有三个星形图,但三个星形图是各有两个是
同构的,因而各可产生两棵非同构的树,分别设为和。
在(6)中,有四个星形图,有三个是同构的,考虑到不同的排
列情况,共可产生三棵非同构的树,设为。
在(7)中,有五个星形图,都是同构的,因而可产生1棵树,
设为。
七个顶点的所有非同构的树如图2所示。
T1
零是偶数,故由偶图的判定定理可知是偶图。
例7(1)一棵无向树有个度数为的顶点,。均为已知数,问应为多少?
(2)在(1)中,若未知,均为已知数,问应为多少?
解:(1)设为有个顶点,条边无向树,则,。由握手定理:
,有,即


由式①可知:

(2)对于,由①可知:

例8证明:任一非平凡树最长路的两个端点都是树叶。

离散数学 第六章 图论(3)

离散数学 第六章 图论(3)
16
i 1
离散数学
定义2.森林(forest) 设G=(V, E) 是无向图。若图G 是无圈的,则称图G为 森林。
注:森林是无圈的无向图; 森林中每一个连通分图都是一棵树,所以森林是由树构成的;
定理2.具有n个结点、p个分图的森林,有m=n-p条边。 [证].比较容易,留给读者。
定义3.生成树(generating tree) 设G=( V, E ) 是无向图,G̃=( Ṽ, Ẽ )是 G的生成子图, 若G̃ 还是一棵树,则称 G̃ 是G 的一棵生成树或支撑树 (shanning tree)。
9
离散数学
中产生(不然,去掉u,v间所增加的边,此圈仍存在,这 与已知G无圈矛盾!) ,所以,此圈只能在这两个分图之 间存在;因此,去掉u,v间所增加的 u v 边,这两点间还有路可通,这就与 已设G不连通, u,v间无路矛盾! 图4
(参见图4所示) (6)(2): 只需证明G中任二结点间最多只有一条路即可(有一条 路由G的连通性保证);采用反证法证明如下: 假若不然,G中必至少存在着两个结点,设其是u,v, u,v间有两条不同的路可通。其中必有某一路上的某条边 e,不在另一条路上(否则,两条路将相同。参见图5所示 )。因此,删去此路上的这一条边e,不会破坏另一条路 10
3
离散数学
在人工智能及机器人设计、软件体系结构设计、层次控 制结构设计、VLSI-设计理论、总线设计理论及网络设 计理论中都有相应的树模型设计理论。 定义1.自由树(free tree) 无向树(undirected tree) 设G=(V, E) 是无向图。若图G 是连通的且是无圈的, 则称图G为自由树或无向树,简称树(tree) 。
注:[证明].(数学归纳法)至少有n-p条边不在具有p个结点的初级圈C 上 当图G\C有n-p=1个结点时,有1条边不在C上(参见图6(a)) ; 当图G\C有n-p=2个结点时,有2条边不在C上(参见图6(b)) ;

图论树与割集

图论树与割集

4)无回路,如在任意两结点之间添上一条
边,得到一个且仅一个基本回路。(n ≥ 2) 必要性:设T是树.故无回路,由(3)已证任 意两点vi与vj之间有且只有一条基本路 径,故添上一条边(vi,vj),只能得到唯 一的一条基本回路,故条件(4)成立。 充分性:设条件(4)成立,因而图无回路, 往证明图是连通的,若图不连通,则存在 两点,这两点之间不存在路径,则在这两 点之间添上一条边就不可能得到一个回路 与条件矛盾。
定理3.2 当且仅当连通无向图的每一条边均 为割边时,该图才是一棵树。 证: 必要性 设图G是一棵树, e是G的任一条边,因为 树不含回路,所以e不在回路中, 由定理 2.10知,e是割边。 充分性 设G的任一条边均为割边,则去掉 任一条边图将不连通,由定理3.1(5)知, 定理2.10 当且仅当无向图G的一条边e 图是树。
定理3.5 一个连通图至少有一棵生成树。 证: 如果连通图G无回路,根据的定义,则G本身就是 一棵生成树。 如果连通图G有回路,去掉回路的任一条边得到生 成子图G1,显然G1仍然是连通的,如果G1不含回 路,则G1就是G的生成树,否则又可去掉回路的任 一条边得到另一个生成子图,只要生成图还有回 路,就去掉回路的一条边,由于图的有限性,最 后一定得到不含回路的生成子图T,由于每次去掉 回路的一条边,并不破坏图的连通性,所以T是G 的生成树。
Kruskal算法: 设G是有n个结点,m条边(m≥n-1)的连通 图. S=Φ i=0 j=1 将所有边按照权升序排序: e1, e2, e3,… ,em S=S∪{ai} j=j+1 ai=ej i=i+1 N |S|=n-1 Y 输出S N 取ej使得 S∪{ ej}有回路? Y j=j+1 停
平凡树

《离散数学》第6章 图的基本概念

《离散数学》第6章  图的基本概念

E ' E )。
生成子图—— G ' G 且 V ' V 。
导出子图 ——非空 V ' V ,以 V ' 为顶点集, 以两端均在 V ' 中的边的全体为边集的 G 的 子图,称 V ' 的导出子图。 ——非空 E ' E ,以 E ' 为边集,以
E ' 中边关联的顶点的全体为顶点集的 G 的子
0 vi与ek 不关联 无向图关联的次数 1 vi与ek 关联1次 2 v 与e 关联2次(e 为环) i k k
1 vi为ek的始点 有向图关联的次数 0 vi与ek 不关联 1 v 为e 的终点 (无环) i k
点的相邻——两点间有边,称此两点相邻 相邻 边的相邻——两边有公共端点,称此两边相邻
孤立点——无边关联的点。 环——一条边关联的两个顶点重合,称此边 为环 (即两顶点重合的边)。 悬挂点——只有一条边与其关联的点,所
对应的边叫悬挂边。
(3) 平行边——关联于同一对顶点的若干条边 称为平行边。平行边的条数称为重数。 多重图——含有平行边的图。
简单图——不含平行边和环的图。
如例1的(1)中,
第六章 图的基本概念 第一节 无向图及有向图
内容:有向图,无向图的基本概念。
重点:1、有向图,无向图的定义, 2、图中顶点,边,关联与相邻,顶点 度数等基本概念,
3、各顶点度数与边数的关系
d (v ) 2m 及推论,
i 1 i
n
4、简单图,完全图,子图, 补图的概念, 5、图的同构的定义。
一、图的概念。 1、定义。 无序积 A & B (a, b) a A b B 无向图 G V , E E V & V , E 中元素为无向边,简称边。 有向图 D V , E E V V , E 中元素为有向边,简称边。

图论算法-割点、割边应用

图论算法-割点、割边应用

• 这个很显然,因为对于一棵子树,如果与 其连通,那么就都会遍历到,不然就回溯 至其祖先。
算法
• 那么在DFS的时候,我们纪录每个儿子子 树,与其相连的最高的祖先的层号,如果 这个层号>=其父亲的层号,那么删掉这个 父亲结点后这棵子树将于其祖先不连通.
• 如果这个层号>其父亲的层号,那么删掉这 条连接父亲的边,那么这棵子树将于其祖 先不连通.
任务目标
• 编一段程序,找出关键网线数 编一段程序, (TaskA)以及 ) 连接这些网线的两端结点(结点对) 连接这些网线的两端结点(结点对) (TaskB)。 )。
输入数据
• 文件 文件net.in的第一行包含 个整数: 的第一行包含4个整数 的第一行包含 个整数: 总的结点数N 总的结点数 (1 ≤ N ≤ 100 000), , 连接的网线数 M (1 ≤ M ≤ 1000 000), , 提供A服务的结点数 提供 服务的结点数 K (1 ≤ K ≤ N), , 提供B服务的结点数 (1 ≤ L ≤ N)。 提供 服务的结点数L 。 服务的结点数 • 第二行是 个整数,标明提供A服务的结点。。 第二行是K个整数,标明提供 服务的结点 服务的结点。 个整数
Example
net.in 9 10 3 4 2 4 5 4 9 8 3 1 2 4 1 2 3 4 2 1 5 5 6 6 7 6 8 7 9 8 7
net.out 3 3 2 5 6 7 9
分析
• 这题,很显然是求桥,但是这个桥有不同之 处,并不是只要图不连通就可以了.由题意 可知这些边一定是桥,但是桥不一定是这 些边. • 要是某些点得不到某种服务,那么就是要 求在其连通块中该没有服务的点.
输出文件
• 文件 文件net.out的第一行是关键网线的数目 的第一行是关键网线的数目S 的第一行是关键网线的数目 (TaskA)。 )。 • 接下来的 行各含一对整数p q (1≤ p, q ≤ 接下来的S行各含一对整数 行各含一对整数 N),分别定义了一条关键网线(TaskB) ,分别定义了一条关键网线( ) • 关键网线可以按任意顺序输出。每一条关 关键网线可以按任意顺序输出。 键网线的两个端点也可按任一顺序输出。 键网线的两个端点也可按任一顺序输出。

树的基本割集

树的基本割集

树的基本割集是求解树的最重要的概念之一,它可以用来描述一棵树的结构和特征。

树的基本割集分为三种类型:不割集、半割集和割集。

通俗的说,不割集是从树图中删除某些节点后,图不会变成孤立的节点;半割集是删除某些节点后,图还剩下部分连通;割集是删除某些节点后,图会变成完全不连通。

以下是一个通俗的解释方法:
假设有一棵树,我们用集合T表示,集合中的元素是树的节点。

每个节点可以是根节点或叶节点。

如果从树中删除一个不割集的节点,那么这个节点所在的子树就会失去根节点,从而变成不连通的。

半割集和割集的情况也是类似的,只是删除节点后,图的连通性会部分或完全被破坏。

我们可以用基本割集的概念来求解树。

具体来说,我们需要计算树的基本割集,然后根据最小割集定理,找到一组最小割集,它们可以描述树的完整结构和特征。

这个过程需要用到电路理论中的卡诺布朗路定理等工具。

总的来说,树的基本割集是一个非常有用的概念,可以帮助我们更好地理解和描述树的结构和特征。

高等电路分析之割集

高等电路分析之割集
根据有向图的关联矩阵a很容易求aa在a中增加对应于参考结点的一行增加该行后矩阵每列元素之根据aa画出有向图以结点4为参考结点111111练习写出图示电路的关联矩阵a解
§ 1、2 割集
一、割集的概念 割集Q是连通图G中一个支路的集合,具有下述性质: 1、 把Q 中全部支路移去,将图分成两个分离部分; 2、保留Q 中的任一条支路,其余都移去, G还是连通的。
2、基本回路矩阵Bf


① 16 2




3 1
选取的独立回路对应于一个树的单连支回路,则得
到的回路矩阵称为基本回路矩阵Bf
规定 ➢ 连支电流方向为回路电流方向; ➢ 支路排列顺序为先连支后树支, ➢ 回路顺序与连支顺序一致。
例:选 2、5、6为树,连支顺序为1、 3 、 4 。
回 支1 3 4 2 5 6
n
每一列对应一条支路。
矩阵Aa的每一个元素定义为: ajk=1 支路 k 与结点 j 关联,方向背离结点;
ajk ajk= -1 支路 k 与结点 j 关联,方向指向结点; ajk =0 支路 k 与结点 j 无关。







结 123456

① ③ Aa= ②
-1 0
-1 0
1 -1
0 -1
B= 回 l b

l
注意 每一行对应一个独立回路, 每一列对应一条支路。
矩阵B的每一个元素定义为:
1 支路 k 在回路 j 中,且方向一致;
bjk -1 支路 k 在回路 j中,且方向相反; 0 支路 j 不在回路 j 中。
取网孔为独立回路,顺时针方向

图论 第6章 树和割集

图论 第6章 树和割集
推论1 任一非平凡树中至少有两个度为1的顶点。 推论2 任一非平凡树都是偶图。 推论3 任一非平凡树都是2-色的。
1.3 极小连通图
定义2 若连通图G中去掉任一条边后得到一个不连通图,则称G 为极小连通图。 推论4 图G是树当且仅当G是极小连通图。
1.4 树的中心
定义3 设G=(V,E)是连通图,v∈V,数 e(v)=max{d(v,u)} 称为v在G中的偏心率。 数 r(G)=min{e(v)} 称为G的半径。 满足r(G)=e(v)的顶点v称为G的中心点。G的所有中心点组成 的集合称为G的中心,G的中心记为C(G)。 定理2 每棵树的中心或含有一个顶点,或含有两个邻接的顶点。
(2)∑deg v=2q
(3)根据具体的题设条件进行特殊的不等式的放缩[解题关键] 例3 设G是一棵树且Δ(G)≥k,证明:G中至少有k个1度顶点。
1.7 生成树(包含所有顶点的树)
定义1 设G=(V,E)是一个图,若G的一个生成子图 T=(V,F)是树,则称T是G的生成树。 定义2 设G=(V,E)是一个图,若G的一个生成子图 T=(V,F)是一个森林,则称T是G的生成森林。
1.8 生成树存在问题
定理1 图G有生成树的充分必要条件是G为一个连通图。
3极小连通图定义2若连通图g中去掉任一条边后得到一个不连通图则称g为极小连通图
第六章
树和割集
内容
树及其性质、生成树、割集
第一节
1.1 树和森林向树,简称树, 记为T。 定义2 无圈的无向图称为无向森林,简称森林。
1.2 树的特征性质
定理1 设G=(V,E)是一个(p,q)图,则下列命题等价: (1) G是树; (2) G的任两个不同顶点间有唯一的一条路联结; (3) G连通且 p=q+1; (4) G无圈且 p=q+1; (5) G无圈且任加一条边得到有唯一圈; (6) G连通且任去掉一条边得不连通图。

图论中的割点、割边、圈与块(黄劲松)

图论中的割点、割边、圈与块(黄劲松)
图论中的圈与块
绍兴县柯桥中学 黄劲松
基本概念
圈(环) 割点 割边(桥) 块 强连通子图(强连通分量(支,块))
2020/10/28
浙江省2006年集训讲义
2
圈及其相关知识
MST(最小生成树)另类算法 最小环问题
2020/10/28
浙江省2006年集训讲义
3
MST另类算法
任意构造一棵原图的生成树,然后不断的添 边,并删除新生成的环上的最大边。
2020/10/28
浙江省2006年集训讲义
9
水管局长(6)
这里我们采取父亲表示法来存储一棵最小生 成树,如图所示:
A
2020/10/28
现我如在们果添根被加据删入被边一删在条边B到红所L色在CA的(A边位,B置A)B{来A和决 定B的AB最的近定公向共祖先}的那条路径上, 则定义AB的方向为B->A,即A是 B的父亲,并将被删边到B的这条 路径上的所有边反向(同理可得被 删边在A到LCA(A,B)的那条路径 上的情况)
最小环则是min(u,v) + e(u,v) 时间复杂度是EV2
2020/10/28
浙江省2006年集训讲义
13
一个错误的算法
预处理出任意两点之间的最短路径,记作 min(u,v)
枚举三个点w,u,v,最小环则是min(u,w) + min(w,v) + e(u,v)的最小值
如果考虑min(u,w)包含边u-v的情况? 讨论:是否有解决的方法?
由于a点肯定不是我们所求的点,所以可以以 a为根开始DFS遍历整张图。
对于生成的DFS树,如果点v是割点,如果以 他为根的子树中存在点b,那么该点是问题所 求的点。
2020/10/28

图论-总结PPT课件

图论-总结PPT课件
q-p+1条弦。 (2) 若G是一个(p,q)连通图,则T至少有多少个圈?(q-p+1) 若G是一个(p,q)连通图,则T有多少个圈? 若G是一个(p,q)连通图,则T至少(多)有多少个生成树?
.
16
第三节 割点、桥和割集
3.1 割点和桥(割边)
定义1 设v是图G的一个顶点,若G-v的支数大于 G的支数,则称顶点v为图G的一个割点(如图)。
degu + degv≥p-1,
则G是连通的。[这个定理是一个充分条件]
定理3 设G=(V,E)是至少有一个顶点不是弧立顶 点的图。若对任意v∈V,degv为偶数,则G中 有回路。
定理4 若图G中的两个不同顶点u与v间有两条不 同的路联结,则G中有回路。
.
6
例1 若G是一个恰有两个奇度顶点u和v的无向图,则 G连通G+uv连通。
.
8
第五节 欧拉图(Euler)
5.1 欧拉图
定义1 设(G,V)是一个图,则包含图的所有顶 点和所有边的闭迹称为欧拉闭迹;存在一 条欧拉闭迹的图称为欧拉图。
定理1 图G是欧拉图当且仅当G是连通的且每 个顶点的度都是偶数。
(定理1对多重图也成立)
.
9
第六节 哈密顿图
6.1 哈密顿图 定义1 设G是一个图,则图G中包含G的所有顶
数称为顶点v的度,记为degv。 定理1 (握手定理)设G=(V,E)是一个具有p个顶点q条边的图,
则G中各顶点度的和等于边的条数q的两倍,即∑degv=2q。 推论1任一图中,度为奇数的顶点的数目必为偶数。
.
3
定义3 设G是图,若Δ(G)=δ(G)=r,即G的每个顶点的 度都等于r,则G称为r度正则图。

本科图论-树6-11

本科图论-树6-11

(5)G中没有回路,但在任何两个不同的顶点之间加一条新边,在所得图中得到 惟一的一个含新边的初级回路. G无回路:n=1时成立, 归纳看n: 至少有一个结点度数为1(不然,结点的度>=2则边>=n) 去掉此结点所得到的G’无回路,再加上结点及边也无回路 任何二个结点有通路,增加一条新边构成简单回路(若不是初级的则删去 此边,则G中必有简单回路) (6)G是连通的,但删去任何一条边后,所得图不连通. G连通:存在二个结点无通路,则在二个结点添加边后不会出现回路 由于无回路则删去任一条边,图不连通 只要证G无回路:若有回路-则删去一条边后仍连通-与条件矛盾 3)树的性质 对于给定的无向图—树是边数最小的连通图(m<n-1则不连通) 树是边数最多的无回路图(m>n-1则有回路) 结点的度: Σd(vi) =2(n-1) =2 m 定理: 设T是n阶非平凡的无向树,则T中至少有两片树叶 设:所有结点度>=2 则 Σd(vi) >=2n 有一个结点度为1其余的>=2 则 Σd(vi)>=2(n-1)+1=2n-1 (也可以设k个度为1的结点,其余结点的度大于等于2 ) 例:无向树T中度为4、3、2的结点各一个,其余为树叶,树叶=?
3、生成树的应用 要建5个工厂,修建连接的通路 (见图),为使5处都有路相通,至少要 建几条路?如何铺设? 由于n=5 所以建4条路即可 4、无向图G的生成树的确定: 二种方法:1、破圈法:每次去掉回路中的一条边, 去掉总数为 m-n+1 条弦 2、避圈法:由一个结点开始选一条边, 逐加与边关联的结点(只要不构成回路即可) 直到所有结点被添加
§16.3 根树及其应用 设D是有向图,若D的基图是无向树,则称D为有向树 在所有的有向树中,根树最重要,所以在此只讨论根树。

图论算法-割点、割边应用

图论算法-割点、割边应用

• 这个很显然,因为对于一棵子树,如果与 其连通,那么就都会遍历到,不然就回溯 至其祖先。
算法
• 那么在DFS的时候,我们纪录每个儿子子 树,与其相连的最高的祖先的层号,如果 这个层号>=其父亲的层号,那么删掉这个 父亲结点后这棵子树将于其祖先不连通.
• 如果这个层号>其父亲的层号,那么删掉这 条连接父亲的边,那么这棵子树将于其祖 先不连通.
任务目标
• 编一段程序,找出关键网线数 编一段程序, (TaskA)以及 ) 连接这些网线的两端结点(结点对) 连接这些网线的两端结点(结点对) (TaskB)。 )。
输入数据
• 文件 文件net.in的第一行包含 个整数: 的第一行包含4个整数 的第一行包含 个整数: 总的结点数N 总的结点数 (1 ≤ N ≤ 100 000), , 连接的网线数 M (1 ≤ M ≤ 1000 000), , 提供A服务的结点数 提供 服务的结点数 K (1 ≤ K ≤ N), , 提供B服务的结点数 (1 ≤ L ≤ N)。 提供 服务的结点数L 。 服务的结点数 • 第二行是 个整数,标明提供A服务的结点。。 第二行是K个整数,标明提供 服务的结点 服务的结点。 个整数
• 于是我们只需要在求桥的基础上加上 • (Suma=na)or(Suma=0)or(Sumb=0)or(Sumb =nb) • 就可以了
• 于是算法也就是在求桥的基础上加上这个 判断条件,和求Suma,Sumb的值.
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分析
• 这题是一题割边的应用,当然用复杂度再 高点的算法也可以. • 这题的算法就是割边,是练习割边的基础 题.
பைடு நூலகம்
嗅探器(PTSC.ZJ04) 嗅探器

割集法计算题

割集法计算题

割集法计算题一、割集法的基本概念割集法是一种在图论或者网络分析中超级有用的方法呢。

简单来说呀,割集就是能把一个连通图分成两个不连通部分的边的集合。

这就像是在一个大的交通网络里,你把某些关键的道路给堵住了,整个交通就被分成了两块不能互相到达的区域啦。

二、割集法计算题的类型1. 简单连通图的割集计算比如说给你一个简单的三角形的连通图,让你找出所有的割集。

这种情况下呢,这个三角形的三条边就分别是三个割集啦,因为你去掉任何一条边,这个三角形就不再是一个连通的图形啦。

这就好比在一个三角形的小岛,有三条桥连接着,你拆掉任何一座桥,这个岛就被分成了两块啦。

2. 复杂连通图的割集计算当图变得复杂起来,比如有好多节点和边的那种图。

这时候找割集就没那么容易啦。

你得一个一个地去分析哪些边组合起来可以把图断开。

就像是在一个超级大的迷宫里,你要找到哪些墙推倒了就能把迷宫分成两块一样难呢。

三、割集法计算题的解题步骤1. 观察图形先仔细看看这个图长啥样,有多少个节点和边。

这就像是你要去探索一个新地方,得先看看这个地方的大概布局一样。

2. 从简单边入手先看看那些单独去掉就可能把图断开的边。

这就像是在一个连锁结构里,先找找那些最脆弱的一环。

3. 组合边的分析然后再分析一些边的组合,看看它们能不能把图断开。

这就像是在玩拼图,你要试试不同的碎片组合起来能不能达到你想要的效果。

四、割集法的实际应用1. 电路分析中的应用在电路里呀,割集法可以用来分析电流的流向呢。

比如说一个复杂的电路网络,你可以把某些线路看成是割集,这样就能更好地理解电流是怎么在这个网络里流动的啦。

2. 交通网络规划中的应用在交通规划的时候呢,割集法可以帮助规划者找到那些关键的道路。

如果这些道路出现问题,整个交通就会瘫痪,所以要重点保护或者规划好这些道路的备份呢。

五、割集法计算题的易错点1. 遗漏割集有时候在复杂的图里,很容易就漏掉一些边的组合可以成为割集。

这就像是在找宝藏的时候,可能忽略了一些小角落一样。

图论中的割集算法设计与分析

图论中的割集算法设计与分析

图论中的割集算法设计与分析在图论中,割集(Cut Set)是指将图的顶点集合分成两个不相交的子集,使得其中一个子集与剩余部分构成一个切割。

割集算法是一种用于寻找割集的方法,它在诸多领域中都有广泛的应用。

本文将对割集算法的设计与分析进行探讨。

一、割集算法的概述割集算法的目标是寻找图中的最小割集,即将图划分成两个子图,并且割集中的边数最少。

最常用的割集算法是基于图的最大流最小割定理的Ford-Fulkerson算法。

该算法通过不断增加流量来找到切割,直到无法再增加为止。

然而,该算法在实践中的效率并不高,因此人们提出了许多改进的割集算法。

二、割集算法的设计1. Stoer-Wagner算法Stoer-Wagner算法是一种启发式算法,它通过迭代地计算图的最小割来找到割集。

该算法的基本思想是将图中的所有顶点分为两个集合,然后计算两个集合之间的最小割。

重复此过程,每次都将最小割的集合合并,直到只剩下一个顶点为止。

最后得到的割集即为图的最小割集。

2. Kernighan-Lin算法Kernighan-Lin算法是一种以贪心策略为基础的割集算法。

该算法的主要思想是通过不断地交换顶点,使得交换后的两个子图之间的割集权重最小。

算法的具体步骤如下:(1)初始时,将图的顶点随机分为两个子集。

(2)计算两个子集之间的割集权重。

(3)选择两个子集中的一个顶点v,将其从一个子集中移动到另一个子集中,并计算割集权重的变化量。

(4)重复步骤(3),直到无法得到更优的割集权重为止。

三、割集算法的分析1. 时间复杂度割集算法的时间复杂度与算法的设计有关。

对于Ford-Fulkerson算法,其时间复杂度为O(E * F),其中E是图中的边数,F是最大流的值。

而对于启发式算法如Stoer-Wagner算法和Kernighan-Lin算法,其时间复杂度通常为O(V^3)或O(V^4),其中V是图中的顶点数。

2. 空间复杂度割集算法的空间复杂度主要取决于图的表示方法。

第6-8章---图论2PPT课件

第6-8章---图论2PPT课件

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8.判别一个二部图中存在完备匹配的相异性条件和t条 件分别是充要条件和充分条件,但t条件对任一二部图能 极容易地进行检验,因而在考虑用较为复杂的相异性条 件之前,可首先用t条件判断,如果t条件不成立,再用相异 性条件判断。
9.图是点(边或面)k-可着色的,是指能用k种颜色给 图的结点(边或面)着色,但k不一定是最少的颜色数。 图是点(边或面)k-色的,是指最少要用k种颜色绘图 的结点(边或面)着色。平面图的面着色问题一般化 为对其偶图的点着色问题。Welch-Powell算法是近似 算法,它给出的结点着色的颜色数不一定是最少的, 而是较少的。
6.掌握最小点覆盖、最小边覆盖、最大点独立集、最 大边独立集(匹配)、最大匹配、完美匹配、完备匹 配、可增广路径等概念,能够利用相异性条件和t条件
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判定二部图中是否存在完备匹配,了解可增广路径求 完备匹配的方法和思想。
7.掌握结点着色、边着色、面着色等概念及有关性质, 能够用Welch—power算法确定一个使图的颜色数尽可 能少的结点着色。
数目。
3.掌握求图中某个结点到其他任一结点的最短路径的 Dijkstra算法,以及求图中任意两个结点的最短路径的
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Warshsll算法。
4.掌握欧拉图和哈密尔顿图的概念及其判别方法,能 够利用fleury
算法求欧拉回路,了解邮路问题,能够用近邻法求哈 密尔顿回路。
5.掌握平面图、面、边界、极大平面图、同胚等概念 及有关性质,能够判定一个图是否为平面图。
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§6.3基本题
§6.3.1选择题
1.设D=<V,E>为有向图,则有(
A. E ∈ V*V
B.EV*V
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1.8 生成树存在问题
定理1 图G有生成树的充分必要条件是G为一个连通图。
推论1 任一非平凡树中至少有两个度为1的顶点。 推论2 任一非平凡树都是偶图。 推论3 任一非平凡树都是2-色的。
1.3 极小连通图
定义2 若连通图G中去掉任一条边后得到一个不连通图,则称G 为极小连通图。 推论4 图G是树当且仅当G是极小连通图。
பைடு நூலகம்
1.4 树的中心
定义3 设G=(V,E)是连通图,v∈V,数 e(v)=max{d(v,u)} 称为v在G中的偏心率。 数 r(G)=min{e(v)} 称为G的半径。 满足r(G)=e(v)的顶点v称为G的中心点。G的所有中心点组成 的集合称为G的中心,G的中心记为C(G)。 定理2 每棵树的中心或含有一个顶点,或含有两个邻接的顶点。
第六章
树和割集
内容
树及其性质、生成树、割集
第一节
1.1 树和森林
树及其性质
定义1 连通且无圈的无向图称为无向树,简称树, 记为T。 定义2 无圈的无向图称为无向森林,简称森林。
1.2 树的特征性质
定理1 设G=(V,E)是一个(p,q)图,则下列命题等价: (1) G是树; (2) G的任两个不同顶点间有唯一的一条路联结; (3) G连通且 p=q+1; (4) G无圈且 p=q+1; (5) G无圈且任加一条边得到有唯一圈; (6) G连通且任去掉一条边得不连通图。
1.5 例题
例1 分别画出具有4、5、6个顶点的所有树(同构的只算一个)。 例2 设T是一棵树,T有3个度为3顶点,1个2度顶点,其余均是 1度顶点。则 (1)求T有几个1度顶点? (2)画出满足上述要求的不同构的两棵树。
1.6 关于树的问题的解题模式(等式与不等式 )
使用公式如下: (1)q=p-1
(2)∑deg v=2q
(3)根据具体的题设条件进行特殊的不等式的放缩[解题关键] 例3 设G是一棵树且Δ(G)≥k,证明:G中至少有k个1度顶点。
1.7 生成树(包含所有顶点的树)
定义1 设G=(V,E)是一个图,若G的一个生成子图 T=(V,F)是树,则称T是G的生成树。 定义2 设G=(V,E)是一个图,若G的一个生成子图 T=(V,F)是一个森林,则称T是G的生成森林。
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