(江苏版)2018年高考数学一轮复习 专题9.7 抛物线(讲)

专题9.7 抛物线

【考纲解读】

【直击考点】

题组一 常识题

1． 已知抛物线y ＝34x 2

，则它的焦点坐标是____________．

[解析] 由y ＝34x 2得x 2

＝43y ，∴p ＝23，∴焦点坐标为⎝ ⎛⎭

⎪⎫0，13.

2． 设抛物线的顶点在原点，准线方程为x ＝－2，则抛物线的标准方程是____________．

[解析] 由抛物线的准线方程为x ＝－2，知p ＝4，且抛物线的开口向右，所以抛物线的标准方程为y 2

＝8x .

3． 斜率为1的直线经过抛物线y 2

＝4x 的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点，则线段AB 的长为________．

＋1＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝6，由抛物线的定义知，|AB |＝x 1＋x 2＋2＝8. 题组二 常错题

4．若抛物线的焦点在直线x －2y －4＝0上，则此抛物线的标准方程为________________．

[解析] 令x ＝0，得y ＝－2；令y ＝0，得x ＝4.故抛物线的焦点是F (4，0)或F (0，－2)，所以所求抛物线的标准方程为y 2

＝16x 或x 2

＝－8y .

5．抛物线x 2

＋2py ＝0的焦点到准线的距离为4，则p ＝________．

[解析] 将方程x 2＋2py ＝0变形为x 2

＝－2py ，则有|p |＝4，所以p ＝±4. 题组三 常考题

6． 抛物线x 2

＝－2y 的焦点坐标是______________．

[解析] 由已知得2p ＝－2，所以p ＝－1，故该抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，即⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12. 7． 已知焦点在x 轴上的抛物线的准线经过点(－1，1)，则抛物线方程为______________． [解析] 由题意，设抛物线方程为y 2

＝2px (p >0)，所以准线方程为x ＝－p

2.因为准线经过点(－1，1)，

所以p ＝2，所以抛物线方程为y 2

＝4x .

8． 设F 为抛物线C ：y 2

＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，则|AB |＝________．

【知识清单】

考点1 抛物线的标准方程及几何性质

考点2 抛物线的定义及应用

平面内与一个定点F 和一条定直线l （l 不经过点F ）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线． 考点3 直线和抛物线的位置关系

1.将直线的方程y kx m =+与抛物线的方程y 2

=2px （p ＞0）联立成方程组，消元转化为关于x 或y 的一元二次方程，其判别式为Δ.

2220ky py pm -+=

若0k =，直线与抛物线的对称轴平行或重合，直线与抛物线相交于一点； 若0k ≠

①Δ＞0 ⇔直线和抛物线相交，有两个交点； ②Δ＝0⇔直线和抛物线相切，有一个公共点； ③Δ＜0⇔直线和抛物线相离，无公共点． 2. 直线与抛物线的相交弦

设直线y kx m =+交抛物线22

221x y a b

-=(0,0)a b >>于点111222(,),(,),P x y P x y 两点，则

12||PP =

12|x x -

同理可得1212|||(0)PP y y k =-≠ 这里12||,x x -12||,y y -的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：

12||x x -

12||y y -【考点深度剖析】

1．抛物线的定义、标准方程及性质是高考考查的重点，直线与抛物线的位置关系是考查的热点．

2．考题以填空题为主，多为中低档题．

【重点难点突破】

考点1 抛物线的标准方程及几何性质

【1-1】已知P 是抛物线2

y x =上任意一点，则当P 点到直线20x y ++=的距离最小时，P 点与该抛物线的准线的距离是 . 【答案】

2

1 【解析】当直线b x y +-=与抛物线相切于P 点时，到直线02=++y x 的距离最小，把b x y +-=代入

02=-+b x x 2x y =得，由于相切041=-=∆∴b 得41-

=b ，因此⎪⎭

⎫

⎝⎛-41,21P ，此点到准线41-=y 的距离为

2

1

. 【1-2】已知抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴的正半轴上，若抛物线的准线与双曲线5x 2

－y 2

= 20的两条渐近线围成的三角形的面积等于54，则抛物线的方程为 . 【答案】y 2

=8x

5452

21=⨯⨯p p

，所以4=p . 【1-3】已知抛物线22(0)y px p =>的准线与圆22670x y x +--=相切，则p 的值为 . 【答案】2

【解析】圆0762

2

=--+x y x 化为16)3(2

2

=+-y x ，)0(2

>-

=p p

x 与圆16)3(22=+-y x 相切，12

-=-

∴p

，即2=p . 【1-4】一个动圆与定圆F ：1)2(2

2

=++y x 相外切，且与定直线l ：1=x 相切，则此动圆的圆心M 的轨迹方程是 . 【答案】x y 82

-=