动力学课后思考题答案

B
解: (1) 由动能定理: T2 T1 WA
1
2
3 2
mR
2
2

1 2
1 12
m2R2

2R 2 m 2 0 mgR
C
2 12g
2 3g
23R
23R

(2)
VC R 2
3gR 23
C
B
(3) 轮杆组合体运动到任意位置时由机械能
m1
R
2

x O R


t 0
FRdt
即是 两式联立可得:
m1 x m2 x m2R cos
t
Fdt
0
1
2
m1 x


t
Fdt
0
3 2
m1 x

m2 x

m2R cos

0
(1)
由系统的动能定理: T2 T1 WA
x C
3 4
1. 如图所示, 均质圆轮质量为m, 半径为R, 放在粗糙水平面上, 均质杆BC质量 亦为m , 长为2R, 二者固结如图示. 开始时系统静止, 杆BC位于铅锤位置. 设杆 BC受小的扰动后倒下, 圆盘在地面上作纯滚动, 求当杆BC运动到水平位置时, (1)杆BC的角速度的大小; (2) 圆轮心C的速度的大小; (3) 圆轮心C的加速度的 大小; (4) 杆上B点的加速度的大小; (5) 地面对圆轮的法向反力和摩擦力的大 小.
守恒可得:
T V C
选过C水平面为重力势能零点, 对任意位置, 系统有
1 2
J D 2

1 2
m VO2

1 2
JO 2

m gRcos

C
1 3 mR2 2 1 m R R cos 2 2R2 sin2 1 1 m2R2 2 mgRcos C
轮心C加速度大小
aC
R 210g 529
由动量定理:
mi ai Fie
FN
x 方向: maC maOx F
F 210mg 66mg 144 mg 529 529 529
y 方向: ma Oy FN 2mg
FN ma Oy 2mg
210mg 848
6
B
O
mgR
C
R
D
23 mR2 2mR2cos mR2 2 sin mgRsin 0
6
当 = 900 时
2 2 12g 23R
上式为
23 mR2 mR2 12g mgR 0
6
23R
B
O
mgR
C
R
D
y
上式为
23 mR2 mR2 12g mgR 0
6
23R
210g
529R
轮心C加速度大小
aC

R

210g 529
(4) 杆上B点的加速度的大小
2Fra Baidu bibliotek 2 12g
23R 210g
529R
C
aC
Oa
n BC
B aC
x
mg
a
t BC
m1
210g 12g 66g 529 23 529
aOy


R


210g 529
FN
y
(5) 求地面对圆轮的法向反力和摩擦力的大小.

C
arn O ae B x
mg aC
art
mg
F
aOx R 2 R
66g 529
aOy


R


210g 529
B
M gC

1 2
m R2
mD 0
M gO

1 3
m R2
mg
MgC

MgO

FgC

R
FgeO

R
Fr gOy

R
Fr gOx

R
mgR
0
F
D
FN
2 2 12g 23R
1 mR2 1 mR2 mR2 mR2 mR2 m 2R2 mgR 0
(1)杆BC的角速度的大小; (2) 圆轮心C的速度的大小; (3) 杆BC的角加速度的大小;
(4) 圆轮心C的加速度的大小; (5) 地面对圆轮的法向反力和摩擦力的大小.
B
解: 系统有两个自由度, 选 x 、 为广义坐标
x

x
F

C x
FCy
F
C
FCx
FN
O

C m2g
FN
B
取系统分析:

由动量定理的水平方向投影
22
2
2 12
3 m R2 2 m R2 2 m R2 2 cos 1 m R2 2 m gRcos C
4
6
23 mR2 2 mR2 2 cos mgRcos C
12
两边对时间t求导数
23 mR2 2mR2cos mR2 3 sin mgR sin 0
FN 2m g
529
mg 529
另解: 求解某时刻的加速度和约束力, 还可用达朗伯原理.


FgC mR FgeO mR
M gC
FgrOy
M gO
Fr gOx

m 2R
Fr gOy

mR
FgC
C
aC
mg
aOr x
FgeO
O aOe
FgrOx
aOr y
R
m1 x m2 x R cos 0
t
Fdt
0
取圆轮分析:
由对质心的动量矩定理
1
2
m1
R
2

x O R


t
FRdt
0
B
O

x
C
R
m2 g
m1 x m2 x R cos 0
t
Fdt
0
1
2
2
3
5 mR2 3mR2 m 2R2 m gR
6
210g
529R
X 0 F 144 mg 529
Y 0
FN

848 mg 529
2. 如图所示, 均质圆轮质量为m1, 半径为R, 放在粗糙水平面上, 均质杆BC质量为m2 , 长 为2R, 用铰链连接于轮心C. 开始时系统静止, 杆BC位于铅锤位置. 杆BC受小的扰动后 倒下, 设圆盘在地面上作纯滚动, 求当杆BC运动到水平位置时,
a Bx
R 2 2 R
210g 24g 342g 529 23 529
aBy

2R


420g 529
F
y
FN
(5) 求地面对圆轮的法向反力和摩擦力的大小.

x
C
arn O ae B
aC
art
mg
F
先求BC杆中心O点的加速度
aOx R 2 R