初中数学中考复习 二次函数知识点总结
中考数学复习专项知识总结—二次函数(中考必备)
中考数学复习专项知识总结—二次函数（中考必备）1、定义：一般的，形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数。
其中x是自变量，a、b、c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数、常数项。
2、二次函数的图象是一条抛物线。
当a＞0时，抛物线开口向上；当a＜0时，抛物线开口向下。
|a|越大，抛物线的开口越小；|a|越小，抛物线的开口越大。
3、二次函数y=ax2+bx+c与一元二次方程ax2+bx+c=0的联系：(1)如果抛物线y=ax2+bx+c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当x=x0时，函数值是0，因此x=x0是方程ax2+bx+c=0的一个根；(2)抛物线与x轴的交点和一元二次方程的根的关系1、通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义。
2、会用描点法画出二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质。
3、会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为y=a(x-h)2+k的形式，并能由此得到二次函数图象的顶点坐标，说出图象的开口方向，画出图象的对称轴，并能解决简单实际问题。
4、会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。
1、二次函数的基本概念。
2、结合已知条件确定二次函数的表达式，利用待定系数法求二次函数的解析式。
3、根据二次函数的图象及性质解决相关问题，如不等式、一元二次方程。
4、二次函数图象的平移。
5、二次函数与实际问题，二次函数与综合问题(与几何、函数、方程等的综合)。
1、下列各点中，在函数y =-x 2图象上的点是（ ）A 、(-2，4)B 、(2，-4)C 、(-4，2)D 、(4，-2)2、二次函数y =(3m -2)x 2+mx +1的图象开口向上，则m 的取值范围是 。
3、抛物线21(3)52y x =---的开口方向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，与x 轴的交点个数是 个。
4、二次函数21522y x x =+-的图象的顶点坐标是 。
5、二次函数y =2(x -1)2+5图象的对称轴和顶点P 的坐标分别是（ ） A 、直线x =-1，P(-1，5) B 、直线x =-1，P(1，5) C 、直线x =1，P(1，5) D 、直线x =1，P(-1，5) 6、把抛物线y =-4x 2向上平移2个单位，再向左平移3个单位，得到的抛物线是（ ）A 、y =-4(x +3)2+2B 、y =-4(x +3)2-2C 、y =-4(x -3)2+2D 、y =-4(x -3)2-27、在平面直角坐标系中，将二次函数y =-2(x -1)2-2的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，则其顶点变为（ ）A 、（0,0）B 、（1，-2）C 、（0，-1）D 、（-2,1）8、二次函数y=(x-1)2+2的最小值是（）A、2B、1C、-1D、-29、已知二次函数y=3x2+2x+a与x轴没有交点，则a的取值范围是。
初中数学中考复习二次函数知识点总结归纳整理
初中数学中考复习二次函数知识点总结归纳整理二次函数是指形如y=ax²+bx+c的函数，其中a、b、c为常数且a ≠ 0。
二次函数是初中数学中的重要内容，掌握了二次函数的知识，能够帮助我们理解函数的基本概念、图像和性质，同时也是后续学习函数、解析几何和微积分等内容的基础。
一、二次函数的定义和基本性质1.二次函数是一个以抛物线形状为特征的函数，其图像在平面直角坐标系中呈现出对称轴和顶点。
2.对于任意的a、b、c，二次函数的图像都存在对称轴，并且过对称轴的顶点。
3.当a>0时，二次函数的图像开口向上；当a<0时，二次函数的图像开口向下。
4. 当Δ=b²-4ac>0时，二次函数的图像与x轴有两个不同的交点，即该二次函数的解存在两个不同的实根；当Δ=0时，二次函数的图像与x轴有一个交点，即该二次函数的解存在一个实根；当Δ<0时，二次函数的图像与x轴没有交点，即该二次函数无实根。
5. 二次函数的顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))，其中f(x) =ax²+bx+c。
二、二次函数的图像与平移1. 对于y=ax²+bx+c，当a>0时，整个二次函数图像上移a个单位；当a<0时，整个二次函数图像下移a个单位。
2. 对于y=ax²+bx+c，当c>0时，整个二次函数图像上移c个单位；当c<0时，整个二次函数图像下移c个单位。
3. 对于y=ax²+bx+c，当b>0时，整个二次函数图像向左平移b个单位；当b<0时，整个二次函数图像向右平移b个单位。
三、二次函数的解和性质1.根据二次函数的定义，可以用求根公式计算二次函数的解，即x=(-b±√Δ)/(2a)。
2.根据二次函数的判别式Δ的大小，可以判断二次函数的解的情况，进而判断图像的开口方向和顶点的位置。
3.根据二次函数的顶点坐标和开口方向，可以确定二次函数的整个图像。
初中数学二次函数知识点总结
初中数学二次函数知识点总结1. 二次函数的定义：二次函数是指形如 $y=ax^2+bx+c$ 的函数，其中$a≠0$。
2. 二次函数的图像：二次函数的图像是一个开口向上或向下的抛物线。
当 $a>0$ 时，抛物线开口向上；当 $a<0$ 时，抛物线开口向下。
3. 二次函数的对称轴：二次函数的对称轴是抛物线的中心线，一定经过抛物线的顶点。
对称轴的方程为 $x=-\frac{b}{2a}$。
4. 二次函数的顶点（最值点）：当 $a>0$ 时，抛物线的顶点是最小值点；当$a<0$ 时，抛物线的顶点是最大值点。
顶点的坐标为$\left(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a}\right)$。
5. 二次函数的零点：二次函数的零点是函数图像与 $x$ 轴交点的横坐标。
可以通过求根公式来求得二次函数的零点。
求根公式为 $x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，$x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$。
6. 二次函数的判别式：判别式是指 $b^2-4ac$ 的值，用于判断二次函数的零点个数及其性质。
当判别式 $b^2-4ac>0$ 时，函数有两个不相等的实数根；当判别式$b^2-4ac=0$ 时，函数有两个相等的实数根；当判别式 $b^2-4ac<0$ 时，函数没有实数根。
7. 二次函数的增减性：当 $a>0$ 时，二次函数是增函数；当 $a<0$ 时，二次函数是减函数。
10. 二次函数在平面直角坐标系中的表示：二次函数在平面直角坐标系中的图像，以抛物线的形式展现。
其中，参数 $a$ 决定了抛物线的开口方向和大小，参数 $b$ 决定了抛物线在 $x$ 轴上的位置，参数 $c$ 决定了抛物线在 $y$ 轴上的位置。
初中数学二次函数知识点总结
初中数学二次函数知识点总结一、二次函数的定义和性质：二次函数是形如f(x) = ax² + bx + c（a ≠ 0）的函数，其中a、b、c为常数，且a 的值决定了抛物线的开口方向。
1. 二次函数的图像是一条抛物线，可以分为三种情况：a）当a > 0时，抛物线开口向上，函数的最小值为c；b）当a < 0时，抛物线开口向下，函数的最大值为c；c）当a = 0时，函数为线性函数，图像为一条直线。
2. 抛物线的对称轴方程为x = -b/(2a)。
3. 抛物线的顶点坐标为对称轴上的点，可以通过对称轴方程求得。
4. 当抛物线开口向上时，函数的值随着x的增大而增大；当抛物线开口向下时，函数的值随着x的增大而减小。
5. 当二次函数与x轴交点时，即f(x) = 0，可以通过因式分解、配方法或求根公式求得x的值。
二、二次函数的图像及其性质的应用：1. 求解二次不等式：可以通过函数图像的性质进行解题，即判断图像与x轴的交点的情况。
2. 求解实际问题：如抛物线模型、最值问题等，将实际问题转化为二次函数的问题，再通过函数图像的性质求解。
三、二次函数的基本变形：1. y = a(x - h)² + k：顶点坐标为(h, k)，对称轴方程为x = h，图像开口方向与a 的正负有关。
2. y = ax² + bx + c + d：在基本函数的基础上进行平移，平移量为(d, d)。
3. y = a(x - h)² + k + d：在基本函数的基础上进行平移和伸缩，平移量为(d, d)，伸缩量为a。
4. y = a(x - h)² + k + d：在基本函数的基础上进行平移、伸缩和翻转，平移量为(d, d)，伸缩量为a，翻转轴为直线x = h。
四、二次函数的相关概念：1. 零点：即函数与x轴交点的横坐标，可以通过因式分解、配方法或求根公式求得。
2. 最值：当二次函数开口向上时，函数的最小值为c；开口向下时，函数的最大值为c。
中考复习二次函数知识点总结
中考复习二次函数知识点总结二次函数是中考数学中的重要知识点之一、下面我将从函数的定义、图像特征、解析式以及一些常见题型进行总结，希望对中考复习有所帮助。
一、函数的定义：函数是数学中最基本的概念之一，它是描述两个集合之间对应关系的规则。
在二次函数中，我们通常用y来表示函数的值，用x表示自变量。
二、图像特征：1.开口方向：二次函数的图像在x轴上开口的方向可以通过二次项的系数（即a的正负性）来判断。
当a>0时，二次函数的图像开口向上；当a<0时，二次函数的图像开口向下。
2.对称轴：二次函数的图像总是关于一个垂直于x轴的直线对称。
这条直线称为二次函数的对称轴，它的方程为x=-b/(2a)。
3.顶点坐标：对称轴与二次函数图像的交点称为顶点，它的坐标为：(-b/(2a),f(-b/(2a)))4.单调性：当a>0时，二次函数图像在对称轴左侧递减，在对称轴右侧递增；当a<0时，二次函数图像在对称轴左侧递增，在对称轴右侧递减。
注意：二次函数的图像开口向上时，在对称轴上有一个最小值，反之开口向下时，在对称轴上有一个最大值。
三、解析式：一般情况下，二次函数的解析式可以写成：y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数，且a≠0。
特殊情况下，二次函数的解析式还有以下两种形式：1.完全平方式：y=a(x-p)^2+q，其中p、q为常数。
此时，二次函数的对称轴的方程为x=p，顶点的坐标为(p,q)。
2.二次项因式可能性：y=a(x-h)(x-k)，其中h、k为常数。
此时，二次函数的对称轴的方程为x=(h+k)/2，顶点的坐标为((h+k)/2,a(h+k)/4)。
四、常见题型：1.求顶点坐标：根据二次函数的解析式，可以直接读出顶点的坐标。
2.求对称轴方程：根据二次函数的解析式，可以直接读出对称轴的方程。
3.求图像开口方向：判断二次项的系数a的正负性即可。
4.求单调性：根据图像特征可以判断。
5. 求零点：令y=0，解方程ax^2+bx+c=0即可。
初三的二次函数知识点总结
初三的二次函数知识点总结一、二次函数的定义二次函数是一个形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c是常数且a≠0。
二次函数的图像是一个抛物线，开口方向由a的符号决定，a>0时开口向上，a<0时开口向下。
二、二次函数的顶点二次函数的顶点是抛物线的最低点或最高点，顶点的横坐标可以用公式x=-b/2a来求得，纵坐标可以代入x的值计算得到。
三、二次函数的平移对于一般的二次函数f(x)=ax^2+bx+c，如果f(x)变为f(x)+m或f(x)-m，就是把抛物线上下平移了m个单位。
如果f(x)变为f(x)+m或f(x)-m，就是把抛物线左右平移了m个单位。
四、二次函数的对称轴二次函数的对称轴是与顶点横坐标相等的直线，即x=-b/2a。
五、二次函数的判别式二次函数的判别式Δ=b^2-4ac，当Δ>0时，函数在x轴上有两个不同的实根；当Δ=0时，函数在x轴上有一个重根；当Δ<0时，函数在x轴上没有实根。
六、二次函数的图像二次函数的图像是一条抛物线，它的开口方向和顶点的位置可以通过二次函数的系数来描述。
七、二次函数的性质1. 当a>0时，抛物线开口向上，函数的最小值为y轴的对称轴。
2. 当a<0时，抛物线开口向下，函数的最大值为y轴的对称轴。
3. 当a>0时，函数在对称轴的一侧是单调递增的，另一侧是单调递减的。
4. 当a<0时，函数在对称轴的一侧是单调递减的，另一侧是单调递增的。
八、二次函数的应用二次函数在生活中有很多应用，比如抛物线的运动轨迹、抛物线的优化问题、抛物线的张力问题、抛物线的最大值与最小值等等。
以上就是初三二次函数的知识点总结。
希望同学们能够掌握这些知识，为以后的学习打下坚实的基础。
(完整版)初中数学二次函数知识点总结
初中数学二次函数知识点总结I.定义与定义表达式一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax^2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.）则称y为x的二次函数。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
II.二次函数的三种表达式一般式：y=ax^2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）顶点式：y=a(x-h)^2+k [抛物线的顶点P（h，k）]交点式：y=a(x-x₁)(x-x ₂) [仅限于与x轴有交点A（x₁，0）和B（x₂，0）的抛物线]注：在3种形式的互相转化中，有如下关系:h=-b/2a k=(4ac-b^2)/4a x₁,x₂=(-b±√b^2-4ac)/2aIII.二次函数的图像在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图像，可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。
IV.抛物线的性质1.抛物线是轴对称图形。
对称轴为直线x = -b/2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）2.抛物线有一个顶点P，坐标为：P ( -b/2a ，(4ac-b^2)/4a )当-b/2a=0时，P在y 轴上；当Δ= b^2-4ac=0时，P在x轴上。
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。
|a|越大，则抛物线的开口越小。
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。
5.常数项c决定抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于（0，c）6.抛物线与x轴交点个数Δ= b^2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。
Δ= b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。
(完整版)初三数学二次函数知识点总结
【 【(h >0)【【【(h <0)【【 【 |k|【【【【 【(k >0)【【【(k <0)【【 【 |k |【【【y=a (x-h )2y=ax 2+ky=ax 2y=a (x-h )2+k初三数学 二次函数 知识点总结一、二次函数概念：1. 二次函数的概念：一般地，形如 y = ax 2 + bx + c （ a ，， b c 是常数， a ≠ 0 ）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数 a ≠ 0 ，而b ， 体实数．2. 二次函数 y = ax 2 + bx + c 的结构特征：c 可以为零．二次函数的定义域是全⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量 x 的二次式， x 的最高次数是 2． ⑵ a ，， b c 是常数， a 是二次项系数， b 是一次项系数， c 是常数项．二、二次函数的基本形式二次函数的基本形式 y = a (x - h )2+ k 的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质a > 0向上(h ， k )X=hx > h 时， y 随 x 的增大而增大； x < h 时，y 随 x 的增大而减小； x = h 时， y 有最小值 k ．a < 0向下(h ， k )X=hx > h 时， y 随 x 的增大而减小； x < h 时， y 随 x 的增大而增大； x = h 时， y 有最大值 k ．三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式 y = a (x - h )2+ k ，确定其顶点坐标(h ，k )；⑵ 保持抛物线 y = ax 2 的形状不变，将其顶点平移到(h ， k )处，具体平移方法如下：【【(k >0)【【【【(k <0)【【【 |k |【【【【 【(h >0)【【【(h <0)【 【 【 |k|【【【【 【(h >0)【【【(h <0)【【 【 |k|【【【【【(k >0)【【【(k <0)【【【 |k |【【【2. 平移规律在原有函数的基础上“ h 值正右移，负左移； k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：2a ⑴ y = ax 2 + bx + c 沿 y 轴平移:向上（下）平移 m 个单位， y = ax 2 + bx + c 变成y = ax 2 + bx + c + m （或 y = ax 2 + bx + c - m ）⑵ y = ax 2 + bx + c 沿轴平移：向左（右）平移 m 个单位， y = ax 2 + bx + c 变成y = a (x + m )2 + b (x + m ) + c （或 y = a (x - m )2 + b (x - m ) + c ） 四、二次函数 y = a (x - h )2+ k 与 y = ax 2 + bx + c 的比较从解析式上看， y = a (x - h )2+ k 与 y = ax 2 + bx + c 是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前⎛ b ⎫24ac - b 2 b 4ac - b 2者，即 y = a x + ⎪ + ⎝ ⎭4a ，其中 h = - ， k = ．2a 4a五、二次函数 y = ax 2 + bx + c 图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数 y = ax 2 + bx + c 化为顶点式 y = a (x - h )2 + k ，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点(0， c )、以及(0， c )关于对称轴对称的点(2h ，c )、与 x 轴的交点(x 1 ， 0)， (x 2 ， 0)（若与 x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与 x 轴的交点，与 y 轴的交点.六、二次函数 y = ax 2 + bx + c 的性质b ⎛ b 4ac - b 2 ⎫ 1. 当 a > 0 时，抛物线开口向上，对称轴为 x = - 2a ，顶点坐标为 - 2a ， 4a ⎪ ．当 x < - b2a时， y 随 x 的增大而减小；当 x > - b 2a ⎝ ⎭时， y 随 x 的增大而增大；当 x = - b 2a时， y 有最4ac - b 2 小值 ．4ab⎛ b4ac - b 2 ⎫ b2. 当 a < 0 时，抛物线开口向下，对称轴为 x = - 2a ，顶点坐标为 - 2a ， 4a ⎪ ．当x < - 2a 时， ⎝ ⎭b b 4ac - b 2y 随 x 的增大而增大；当 x > - 2a 时， y 随 x 的增大而减小；当 x = - 2a 时，y 有最大值 ． 4a七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式： y = ax 2 + bx + c （ a ， b ， c 为常数， a ≠ 0 ）；2. 顶点式： y = a (x - h )2 + k （ a ， h ， k 为常数， a ≠ 0 ）；3. 两根式： y = a (x - x 1 )(x - x 2 ) （ a ≠ 0 ， x 1 ， x 2 是抛物线与 x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与 x 轴有交点，即b 2 - 4ac ≥ 0 时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数 a二次函数y =ax2+bx +c 中，a 作为二次项系数，显然a ≠ 0 ．a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小．2.一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴．bab 的符号的判定：对称轴x =-2a“左同右异”在y 轴左边则ab > 0 ，在y 轴的右侧则ab < 0 ，概括的说就是3.常数项c c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a ，，b c 都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1.已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2.已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3.已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4.已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数与一元二次方程：1.二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程ax2+bx +c = 0 是二次函数y =ax2+bx +c 当函数值y = 0 时的特殊情况.图象与x 轴的交点个数：① 当∆=b2- 4ac > 0 时，图象与x 轴交于两点A(x ，0，)，B (x 0)(x ≠x ) ，其中的x ，x 是一元二次方1 2 1 2 1 2程ax2+bx +c = 0(a ≠ 0)的两根．这两点间的距离AB =x2-x1=. ② 当∆= 0 时，图象与x 轴只有一个交点；③ 当∆< 0 时，图象与x 轴没有交点. 1' 当a > 0 时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有y > 0 ；2 '有y < 0 ．当a < 0 时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都2.抛物线y =ax2+bx +c 的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0 ，c) ；3.二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数y =ax2+bx +c 中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.二次函数考查重点与常见题型1.考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x 为自变量的二次函数y = (m - 2)x 2+m2-m - 2 的图像经过原点，则m 的值是2.综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考ay0 1查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：如图，如果函数y =kx +b 的图像在第一、二、三象限内，那么函数y =kx 2+bx - 1的图像大致是（）y10 x xC D3.考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为x =5，求这条抛物线的解析式。
初中数学-初三数学二次函数知识点总结及经典习题含答案
初三数学 二次函数 知识点总结一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2．⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。
a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0a >向上()00， y 轴0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值0．0a < 向下()00，y 轴0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值0．a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0a >向上()0c ， y 轴0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值c ． 0a < 向下()0c ，y 轴0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值c ．3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。
4. ()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 向右(h >0)【或左(h <0)】平移 |k|个单位向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位向上(k >0)【或向下(k <0)】平移|k |个单位y=a (x-h )2+ky=a (x-h )2y=ax 2+ky=ax 22. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 四、二次函数()2y a x h k =-+与2y a x b x c =++的比较 a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0a >向上()0h ， X=hx h >时，y 随x 的增大而增大；x h <时，y 随x 的增大而减小；x h =时，y 有最小值0． 0a < 向下 ()0h ，X=hx h >时，y 随x 的增大而减小；x h <时，y 随x 的增大而增大；x h =时，y 有最大值0．a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0a >向上()h k ，X=hx h >时，y 随x 的增大而增大；x h <时，y 随x 的增大而减小；x h =时，y 有最小值k ．0a < 向下 ()h k ，X=hx h >时，y 随x 的增大而减小；x h <时，y 随x 的增大而增大；x h =时，y 有最大值k ．从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a<-时，y 随x 的增大而减小； 当2bx a>-时，y 随x 的增大而增大； 当2b x a =-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a-．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式（交点式）：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴．（同左异右 b 为0对称轴为y 轴）3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．. ② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点；③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2'当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <． 2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；二次函数对应练习试题一、选择题1. 二次函数247y x x =--的顶点坐标是( )A.(2,－11)B.（－2，7）C.（2，11）D. （2，－3） 2. 把抛物线22y x =-向上平移1个单位，得到的抛物线是（ ）A. 22(1)y x =-+ B. 22(1)y x =-- C. 221y x =-+ D. 221y x =-- 3.函数2y kx k =-和(0)ky k x=≠在同一直角坐标系中图象可能是图中的( )4.已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示,则下列结论: ①a,b 同号;②当1x =和3x =时,函数值相等;③40a b +=④当2y =-时, x 的值只能取0.其中正确的个数是( )A.1个B.2个C. 3个D. 4个5.已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标（-1，-3.2）及部分图象(如图),由图象可知关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=的两个根分别是121.3x x ==和（ ）Ａ．－１.３ B.-2.3 C.-0.3 D.-3.3 6. 已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则点(,)ac bc 在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 7.方程222x x x-=的正根的个数为（ ） A.0个 B.1个 C.2个. 3 个8.已知抛物线过点A(2,0),B(-1,0),与y 轴交于点C,且OC=2.则这条抛物线的解析式为A. 22y x x =--B. 22y x x =-++C. 22y x x =--或22y x x =-++D. 22y x x =---或22y x x =++二、填空题9．二次函数23y x bx =++的对称轴是2x =，则b =_______。
中考数学复习二次函数知识点总结
中考数学复习二次函数知识点总结二次函数是中学数学中的重要内容，也是考试中常见的题型之一、在复习二次函数时，需要掌握其基本概念、性质、图像和应用等方面的知识。
下面是关于二次函数的知识点总结。
一、基本概念1.二次函数的定义二次函数是形如y=ax²+bx+c（a≠0）的函数，其中a、b、c为常数，且a为二次函数的二次系数。
2.二次函数的导数与二次系数的关系二次函数的导数为一次函数，二次系数a决定了导数的单调性，当a>0时，导数在整个定义域上单调递增；当a<0时，导数在整个定义域上单调递减。
3.二次函数的对称轴二次函数的对称轴是二次函数的图像关于该轴对称的直线。
对称轴的方程为x=-b/2a，其中a、b是二次函数的系数。
4.二次函数的顶点二次函数的顶点是二次函数的图像的最低点或最高点，对称轴上的点。
顶点的横坐标为对称轴的横坐标，纵坐标为代入对称轴横坐标得到的纵坐标。
二、性质1.零点性质二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的零点是方程ax²+bx+c=0的解，当方程有解时，二次函数与x轴交于两点，也可能与x轴重合。
2.二次函数图像的开口方向当a>0时，二次函数的图像开口向上；当a<0时，二次函数的图像开口向下。
3.二次函数的最值当a>0时，二次函数的最小值是顶点的纵坐标；当a<0时，二次函数的最大值是顶点的纵坐标。
4.判别式二次函数方程ax²+bx+c=0的判别式Δ=b²-4ac可以判断二次函数方程的解的情况：当Δ>0时，方程有两个不相等实数解；当Δ=0时，方程有两个相等实数解；当Δ<0时，方程没有实数解。
三、图像1.开口向上的二次函数图像特点开口向上的二次函数图像在顶点处为最小值，两侧递增；对称轴为y 轴且在第四象限，二次系数a为正数。
2.开口向下的二次函数图像特点开口向下的二次函数图像在顶点处为最大值，两侧递减；对称轴为y 轴且在第一象限，二次系数a为负数。
数学二次函数知识点总结【通用6篇】
数学二次函数知识点总结【通用6篇】（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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初中数学二次函数知识点总结
初中数学二次函数知识点总结（实用版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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二次函数(最全的中考二次函数知识点总结
二次函数(最全的中考二次函数知识点总结二次函数是初中数学中的一个重要内容，下面是关于二次函数的最全的中考知识点总结：1. 定义：二次函数是形如 f(x) = ax^2 + bx + c （a≠0）的函数，其中a、b、c是实数，并且a不等于0。
2.图像特征：a)抛物线的开口方向与a的正负有关，当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下。
b)顶点是抛物线的最高点或最低点，横坐标为-b/2a，纵坐标为f(-b/2a)。
c)轴对称性：抛物线关于顶点对称。
d)零点是使f(x)=0的x值，可以通过解一元二次方程来求得。
3. 判别式：对于一元二次方程 ax^2 + bx + c = 0，判别式 D =b^2 - 4ac 是一个重要的指标，它可以告诉我们方程的解的情况。
a)当D>0时，方程有两个不相等的实数解。
b)当D=0时，方程有两个相等的实数解。
c)当D<0时，方程无实数解。
4.数轴上的二次函数图像和解的关系：a)当a>0时，函数图像与x轴有两个交点，对应方程有两个不相等的实数解。
b)当a<0时，函数图像与x轴有两个交点，对应方程有两个不相等的实数解。
c)当抛物线与x轴相切时，对应方程有一个重根。
d)当抛物线与x轴没有交点时，对应方程无实数解。
5.平移：a) 左移和右移：对于函数 f(x) = ax^2 + bx + c，当将x的值替换成 x-h 时（h>0），抛物线将向右移动h个单位；当将x的值替换成 x+h 时，抛物线将向左移动h个单位。
b) 上移和下移：对于函数 f(x) = ax^2 + bx + c，当将f(x)的值替换成 f(x)+k 时（k>0），抛物线将向上移动k个单位；当将f(x)的值替换成 f(x)-k 时，抛物线将向下移动k个单位。
6.直线与抛物线的交点：a)当直线与抛物线相交时，方程的解就是交点的横坐标。
b)如果直线与抛物线有两个交点，则方程有两个实数解。
初中数学中考二次函数重点知识点梳理汇总
初中数学中考二次函数重点知识点梳理汇总一、定义与定义表达式一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax 2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下，IaI 还可以决定开口大小，IaI越大开口就越小，IaI越小开口就越大），则称y为x的二次函数。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
二、二次函数的三种表达式一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）顶点式：y=a(x-h)2+k[抛物线的顶点P（h，k）]交点式：y=a(x-x?)(x-x?)[仅限于与x轴有交点A（x?，0）和B（x?，0）的抛物线]注：在3种形式的互相转化中，有如下关系：h=-b/2ak=(4ac-b2)/4ax?,x?=(-b±√b2-4ac)/2a三、二次函数的图像在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图像，可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。
四、抛物线的性质1.抛物线是轴对称图形。
对称轴为直线x=-b/2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）。
2.抛物线有一个顶点P，坐标为：P(-b/2a，(4ac-b 2)/4a)。
当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ=b2-4ac=0时，P在x轴上。
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。
|a|越大，则抛物线的开口越小。
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。
5.常数项c决定抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于（0，c）。
6.抛物线与x轴交点个数：Δ=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。
Δ=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。
Δ=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点。
初三数学二次函数知识点总结
初三数学二次函数知识点总结初三数学二次函数知识点总结一、二次函数概念：二次函数是形如y=ax²+bx+c（a≠0）的函数。
需要强调的是，和一元二次方程类似，二次项系数a≠0，而b、c可以为零。
二次函数的定义域是全体实数。
二、二次函数的基本形式二次函数的基本形式为y=a(x-h)²+k，其中a、h、k为常数。
a的绝对值越大，抛物线的开口越小。
a的符号决定了抛物线的开口方向，顶点坐标为(h,k)，对称轴为x=h。
当a>0时，抛物线开口向上，当a<0时，抛物线开口向下。
三、二次函数图象的平移平移二次函数的步骤为：确定顶点坐标，保持抛物线形状不变，将顶点平移。
具体平移方法为：向右（左）平移h个单位，向上（下）平移k个单位。
平移规律可以概括为“左加右减，上加下减”。
四、二次函数y=a(x-h)²+k与y=ax²+bx+c的比较二次函数y=a(x-h)²+k和y=ax²+bx+c的区别在于表示方式不同，但它们的图象形状相同。
y=a(x-h)²+k更便于确定顶点坐标和对称轴，y=ax²+bx+c更便于确定一次项系数和常数项。
二次函数的特点和与其他函数的关系，如：设函数f(x)为一次函数，g(x)为二次函数，且在同一坐标系内，若f(x)和g(x)的图像均经过点(1,3)，则下列说法正确的是（）A．f(x)和g(x)的图像均经过点(2,6)B．f(x)和g(x)的图像均经过点(3,9)C．f(x)的图像经过点(2,6)，g(x)的图像经过点(2,5)D．f(x)的图像经过点(3,9)，g(x)的图像经过点(2,5)3．考查利用二次函数解决实际问题的能力，题的特点是给出具体的问题场景，需要学生根据题意列出方程并解答，如：一家餐馆销售汉堡，售价为每个3元，每天售出x个汉堡，该餐馆的总收入为y元．若这家餐馆每天的固定成本为32元，每售出一个汉堡的变动成本为1元，求这家餐馆每天售出多少个汉堡时，能收益最大？二次函数的解析式：二次函数的解析式由系数a、b、c决定，其中a决定了抛物线的开口方向，b决定了抛物线在y轴的位置，c决定了抛物线与y轴的交点位置。
初三数学二次函数知识点总结及经典习题
《二次函数》知识点总结一. 二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c=++(a b c，，是常数，0a≠)的函数,叫做二次函数.这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a≠,而b c，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2。
二次函数2y ax bx c=++的结构特征：⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．⑵a b c，，是常数,a是二次项系数,b是一次项系数,c是常数项．二。
二次函数的图像和性质表达式(a≠0) a值图像开口方向对称轴顶点坐标增减性最值①y=ax2a＞0 向上y轴（0,0）①当x＞0时,y随x的增大而增大②当x＜0时,y随x的增大而减小当x=0时，y有最小值，即最小值y=0 a＜0 向下y轴（0，0）①当x＞0时，y随x的增大而减小②当x＜0时,y随x的增大而增大当x=0时,y有最大值,即最大值y=0②y=ax2+k a＞0 向上y轴(0，k）①当x＞0时，y随x的增大而增大②当x＜0时，y随x的增大而减小当x=0时，y有最小值，即最小值y=k a＜0 向下y轴（0，k）①当x＞0时，y随x的增大而减小②当x＜0时，y随x的增大而增大当x=0时,y有最大值，即最大值y=k③y=a（x—h)2a＞0 向上直线x=h （h,0）①当x＞h时，y随x的增大而增大②当x＜0时，y随x的增大而减小当x=h时，y有最小值，即最小值y=0 a＜0 向下直线x=h (h，0)①当x＞h时，y随x的增大而减小②当x＜0时,y随x的增大而增大当x=h时,y有最大值，即最大值y=0④y=a（x-h）2+k a＞0 向上直线x=h (h,k）①当x＞h时，y随x的增大而增大②当x＜h时,y随x的增大而减小当x=h时,y有最小值，即最小值y=ka ＜0向下 直线x=h (h,k ）①当x ＞h 时，y 随x的增大而减小 ②当x ＜h 时,y 随x 的增大而增大当x=h 时，y 有最大值，即最大值y =k⑤y=ax 2+bx+c 可化为： y=a （x+)2ab 2+a ＞0 向上直线x=-ab 2（—ab 2，ab ac 442-）①当x ＞-ab 2时，y随x 的增大而增大 ②当x ＜-ab 2时，y随x 的增大而减小当x=—ab 2时，y 有最小值，最小值y =a b ac 442- a ＜0向下直线x=—ab2(-ab 2，ab ac 442-） ①当x ＞—a b 2时，y随x 的增大而减小②当x ＜—a b2时,y随x 的增大而增大当x=-ab 2时，y 有最大值，即 y 最大值=ab ac 442-三。
初中数学二次函数知识点汇总(史上最全)
二次函数知识点一、基本概念：1．二次函数的概念：一般地，形如y =ax2 +bx +c （a ，b，c是常数，a ≠ 0 ）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a ≠ 0 ，而b ，c 可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数y =ax2 +bx +c 的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2．⑵ a ，b ，c 是常数， a 是二次项系数， b 是一次项系数， c 是常数项．二、基本形式1.二次函数基本形式：y =ax2 的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2.y=ax2 +c的性质：（上加下减）向右(h >0)【或左(h <0)】平移 |k|个单位向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位y=a (x-h )2y=ax 2+ky=ax 2y=a (x-h )2+k3. y = a (x - h )2的性质：（左加右减）a 的符号 开口方向顶点坐 标 对称 轴 性质a > 0向上(h ，0)X=h x > h 时，y 随 x 的增大而增大；x < h 时，y 随x 的增大而减小； x = h 时， y 有最小值0 ．a < 0向下(h ，0)X=h x > h 时，y 随 x 的增大而减小；x < h 时，y 随x 的增大而增大； x = h 时， y 有最大值0 ．4. y = a (x - h )2+ k 的性质：a 的符号 开口方向顶点坐 标 对称 轴 性质a > 0向上(h ，k )X=h x > h 时，y 随 x 的增大而增大；x < h 时，y 随x 的增大而减小； x = h 时， y 有最小值k ．a < 0向下(h ，k )X=h x > h 时，y 随 x 的增大而减小；x < h 时，y 随x 的增大而增大； x = h 时， y 有最大值k ．三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法 1：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式 y = a (x - h )2+ k ，确定其顶点坐标(h ，k )； ⑵ 保持抛物线 y = ax 2 的形状不变，将其顶点平移到(h ，k )处，具体平移方法如下：向上(k >0)【或向下(k <0)】平移|k |个单位向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“ h 值正右移，负左移； k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减， 上加下减”．2a 方法 2：⑴ y = ax 2 + bx + c 沿 y 轴平移:向上（下）平移m 个单位， y = ax 2 + bx + c 变成y = ax 2 + bx + c + m （或 y = ax 2 + bx + c - m ）⑵ y = ax 2+ bx + c 沿轴平移：向左（右）平移m 个单位， y = ax 2+ bx + c 变成y = a (x + m )2 + b (x + m ) + c （或 y = a (x - m )2 + b (x - m ) + c ）四、二次函数 y = a (x - h )2+ k 与 y = ax 2 + bx + c 的比较从解析式上看， y = a (x - h )2+ k 与 y = ax 2 + bx + c 是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到⎛ b ⎫24ac - b 2 b 4ac - b 2前者，即 y = a x + ⎪ +⎝ ⎭4a ，其中h = - ，k = ． 2a 4a五、二次函数 y = ax2+ bx + c 图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数 y = ax 2 + bx + c 化为顶点式 y = a (x - h )2 + k ，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与 y 轴的交点(0，c )、以及(0，c )关于对称轴对称的点(2h ，c )、与 x 轴的交点(x 1 ，0)， (x 2 ，0)（若与 x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与 x 轴的交点，与 y 轴的交点.六、二次函数 y = ax2+ bx + c 的性质b⎛ b 4ac - b 2 ⎫1. 当a > 0 时，抛物线开口向上，对称轴为 x = - 2a ，顶点坐标为 - 2a ， 4a ⎪ ．当 x < - b2a时， y 随 x 的增大而减小；当 x > - b 2a ⎝ ⎭时， y 随 x 的增大而增大；当 x = - b 2a时， y 有最小值4ac - b 2． 4ab⎛ b4ac - b 2 ⎫ b2. 当a < 0 时，抛物线开口向下，对称轴为 x = - 2a ，顶点坐标为 - 2a ， 4a ⎪ ．当 x < - 2a 时，y ⎝ ⎭b b 4ac - b 2随 x 的增大而增大；当 x > - 时， y 随 x 的增大而减小；当 x = - 时， y 有最大值．2a 2a4a七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式： y = ax 2 + bx + c （ a ， b ， c 为常数， a ≠ 0 ）；2. 顶点式： y = a (x - h )2 + k （ a ， h ， k 为常数， a ≠ 0 ）；3. 两根式： y = a (x - x 1 )(x - x 2 ) （ a ≠ 0 ， x 1 ， x 2 是抛物线与 x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即b2 - 4ac ≥ 0 时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1.二次项系数a二次函数y =ax2 +bx +c 中，a 作为二次项系数，显然a ≠ 0 ．⑴ 当a > 0 时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大；⑵ 当a < 0 时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向， a 的大小决定开口的大小．2.一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下， b 决定了抛物线的对称轴．⑴ 在a > 0 的前提下，当b > 0 时，-b2a 当b = 0 时，-b2a 当b < 0 时，-b2a < 0 ，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；= 0 ，即抛物线的对称轴就是y 轴；> 0 ，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵ 在a < 0 的前提下，结论刚好与上述相反，即当b > 0 时，-b2a 当b = 0 时，-b2a 当b < 0 时，-b2a > 0 ，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；= 0 ，即抛物线的对称轴就是y 轴；< 0 ，即抛物线对称轴在y 轴的左侧．总结起来，在a 确定的前提下， b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴x =-b 2a是“左同右异”总结：3.常数项c在y 轴左边则ab > 0，在y 轴的右侧则ab < 0，概括的说就⑴ 当c > 0 时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正；⑵ 当c = 0 时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0 ；⑶ 当c < 0 时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a ，b ，c 都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1.已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2.已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3.已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4.已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1.关于x 轴对称y =ax2 +bx +c 关于x 轴对称后，得到的解析式是y =-ax2 -bx -c ；y=a(x-h)2 +k关于x轴对称后，得到的解析式是y=-a(x-h)2 -k；2.关于y 轴对称y =ax2 +bx +c 关于y 轴对称后，得到的解析式是y =ax2 -bx +c ；y=a(x-h)2 +k关于y轴对称后，得到的解析式是y=a(x+h)2 +k；3.关于原点对称y =ax2 +bx +c 关于原点对称后，得到的解析式是y =-ax2 +bx -c ；y=a(x-h)2 +k关于原点对称后，得到的解析式是y=-a(x+h)2 -k；4.关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）y =ax2+bx +c 关于顶点对称后，得到的解析式是y =-ax2b2-bx +c -；2ay=a(x-h)2 +k关于顶点对称后，得到的解析式是y=-a(x-h)2 +k．5.关于点(m ，n)对称y=a(x-h)2 +k关于点(m，n)对称后，得到的解析式是y=-a(x+h-2m)2 +2n-k根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此 a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与 x 轴交点情况）：一元二次方程ax 2 + bx + c = 0 是二次函数 y = ax 2 + bx + c 当函数值 y = 0 时的特殊情况.图象与 x 轴的交点个数：① 当∆ = b 2 - 4ac > 0 时，图象与 x 轴交于两点 A (x ，0)，B (x ，0 ) (x ≠ x ) ，其中的 x ，x 是一元二121212次方程ax 2+ bx + c = 0(a ≠ 0)的两根．这两点间的距离 AB = x 2 - x 1 =.② 当∆ = 0 时，图象与 x 轴只有一个交点； ③ 当∆ < 0 时，图象与 x 轴没有交点.1' 当a > 0 时，图象落在 x 轴的上方，无论 x 为任何实数，都有 y > 0 ；2 ' 当a < 0 时，图象落在 x 轴的下方，无论 x 为任何实数，都有 y < 0 ．2. 抛物线 y = ax 2 + bx + c 的图象与 y 轴一定相交，交点坐标为(0 ， c ) ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与 x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数 y = ax 2 + bx + c 中a ， b ， c 的符号，或由二次函数中a ， b ， c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与 x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax 2 + bx + c (a ≠ 0) 本身就是所含字母 x 的二次函数；下面以a > 0 时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：二次函数考查重点与常见题型1．考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x 为自变量的二次函数y = (m - 2)x 2 +m 2 -m - 2 的图像经过原点，则m 的值是2．综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：如图，如果函数y =kx +b 的图像在第一、二、三象限内，那么函数y =kx 2 +bx - 1的图像大致是（）y y y y1 10 x o-1 x 0 x 0 -1 xA B C D3．考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为x =5，求这条抛物线的解析式。
二次函数知识点总结初中数学
二次函数y=ax 2(a ≠0)与y=ax 2+c (a ≠0)的图象与性质要点一、二次函数的概念 1.二次函数的概念一般地，形如y=ax 2+bx+c （a ≠0，a, b, c 为常数）的函数是二次函数. 若b =0，则y=ax 2+c ； 若c =0，则y=ax 2+bx ； 若b=c =0，则y=ax 2.以上三种形式都是二次函数的特殊形式，而y=ax 2+bx+c （a ≠0）是二次函数的一般式. 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①y=ax 2（a ≠0）；②y=ax 2+k （a ≠0）；③y=a(x-h)2（a ≠0）；④y=a(x-h)2+k （a ≠0），其中abh 2-=,a b ac k 442-=；⑤y=ax 2+bx+c （a ≠0）. 要点诠释：如果y=ax 2+bx+c(a,b,c 是常数，a ≠0)，那么y 叫做x 的二次函数．这里，当a =0时就不是二次函数了，但b 、c 可分别为零，也可以同时都为零．a 的绝对值越大，抛物线的开口越小.2.二次函数解析式的表示方法1. 一般式：y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 为常数，a ≠0）；2. 顶点式：y=a(x-h)2+k （a ，h ，k 为常数，a ≠0）；3. 两根式：))((21x x x x a y --=（a ≠0，x 1，x 2是抛物线与x 轴两交点的横坐标）（或称交点式）.要点诠释：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.x 240b ac -≥要点二、二次函数y=ax2（a≠0）的图象及性质1.二次函数y=ax2(a≠0)的图象用描点法画出二次函数y=ax2（a≠0）的图象，如图，它是一条关于y轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线.因为抛物线y=x2关于y轴对称，所以y轴是这条抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，从图上看，抛物线y=x2的顶点是图象的最低点。
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二次函数知识点总结20110311二次函数知识点：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2．⑵a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质：左图画2221,2,2y x y x y x ===，右图画2221,2,2y x y x y x =-=-=-结论：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
总结：2. 2y ax c =+的性质：左图画221,1y x y x =+=-，右图画221,1y x y x =-+=--结论：上加下减。
总结：3. ()2y a x h =-的性质：左图画22(1),(1)y x y x =+=-，右图画22(1),(1)y x y x =-+=--结论：左加右减。
总结：4.()2y a x h k =-+的性质：左图画22(1)1,(1)1y x y x =++=--，右图画22(1)1,(1)1y x y x =-++=---总结：二次函数图象的平移1. 平移步骤：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．三、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较请将2245y x x =++利用配方的形式配成顶点式。
请将2y ax bx c =++配成()2y a x h k =-+。
总结：从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，．四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 左图画2221,21y x x y x x =++=--，右图画2221,21y x x y x x =-++=--+五、二次函数2y ax bx c =++的性质1.当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-． 2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -．六、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.七、二次函数的图象与各项系数之间的关系1.二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置． 总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置． 总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．二、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-；4. 关于顶点对称2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：①当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-=.②当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1'当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2'当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <． 2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.。