圆锥曲线三个实验

数学实验报告

实验序号：3日期：2015年3月28日班级：12组别：123成员：林佳彦林佳佳刘嘉棣郑

素萍黄永欣

1.实验名称：关于圆锥曲线产生的三个经典实验

2.实验目的：沿着历史的轨迹，重走前人发现圆锥曲线的历程。重现圆锥曲线产生

的三个经典实验——梅内克缪斯的割圆锥法、阿波罗尼奥斯的割圆锥法、Dandelin双球实验。探讨圆锥曲线的种类和各种圆锥曲线产生的条件。

3.实验方法：利用实物、模具观察，利用几何画板课件进行探讨、反思

4.实验器材：卡纸、水、橡皮泥、乒乓球、透明软文件夹

5.实验过程：（操作步骤、异常情况报告、处理方法）

一、梅内克缪斯割圆锥法——最早对圆锥曲线的命名

背景：公元前4世纪，希腊著名学者梅内克缪斯首先发现了圆锥曲线.他用平面去截圆锥曲面而得到截痕,并称之为圆锥曲线.当时的圆锥曲面都是通过直角三角形的一条直角边为旋转轴旋转而成的.根据轴三角形顶角的不同,将圆锥曲面分为锐角圆周、钝角圆锥和直角圆锥.Menaechmus用垂直于一条母线的平面去截这三种圆锥面，得到三种不同的截痕。在锐角圆锥上的截痕定义为椭圆，钝角圆锥上的截痕是双曲线（的一支），在直角圆锥上的截痕是抛物线.值得注意的是，梅内克缪斯虽然推导了圆锥曲线的一些性质，但并没有建立焦点、焦半径的概念.并且当时所使用的旋转体均为直角三角形，得到的均为正圆锥，有一定的局限性.

（1）我们小组通过用建立坐标轴的方式，将梅内克缪斯割圆锥法用现在定义的圆锥曲线方程进行验证，发现其与现在的圆锥曲线方程是相符的.即两种定义是相符的，满足了定义的一致性.

○1直角圆锥：

∵平面DEG⊥平面ABC,平面PVR⊥ABC

∴QP⊥平面ABC

∴PQ⊥RV又∵RV是直径,根据射影定理

∴PO²=RO×OV

∵△HDG∽DOV∴DO OV DO DG

=OV=

HD DG HD

∙

⇒且RO=HD

∴PO2=RO×OV=HD×DO DG

HD

∙

=DO×DG

若我们建立以D为圆心,DF为X轴的直角坐标系,P点坐标为(x,y)

则得到曲线方程为:2y DG x

=∙,其中DG由点D的位置决定,是一个常数

这正好符合我们现代解析几何中的抛物线的方程。即梅内克缪斯的定义和现代定义是

相符的！

○

2锐角圆锥

同上面直角圆锥的证明中一样，得到PQ 2=CQ ×QD

∵△CAQ ∽△FDQ ∴=CQ QD=AQ FQ CQ AQ FQ DQ

∙∙，即又∵△QDF ∽△AEG ∴

=QF QD AG QD AG AE AE

∙，即 QF=∵△QDB ∽△AEB ∴QD QB AE AB

=∴PQ 2=CQ ×QD=AQ ×FQ=AQ ×AG QD AE ∙=AQ ×AG ×QB AB =2AH AQ QB AB ⨯⨯∴22PQ AH AQ QB AB

=⨯，是一个常数若我们建立以AB 为x 轴，AB 中点为原点的直角坐标系，设P （x,y ），

Q （x,0），A(-a,0)，H(-c,0)

得到：22()()()2y a c x a a x a -=+-，化简得：22

21()

x y a a a c +=-这正好符合我们现代解析几何中的椭圆曲线的方程。即梅内克缪斯的定义和现代定义是相符的！

③钝角圆锥

类似直角和锐角圆锥，利用三角形相似，可以证明，梅内克缪斯定义的双曲线（一支）是符合我们现代解析几何中的双曲线方程的！

(2)实物形成截痕的操作：

用软硬适中的卡纸做出上述三个圆锥面.在圆锥面的内侧画一条母线，往圆锥面倒进一定量的水（我们采用了棕色透明液体和黄色卡纸,目的是形成鲜明颜色对比），倾侧液面到与所画母线垂直，观察页面与圆锥面相交的截痕.

○1直角圆锥:

当水面与图中的一条母线垂直时,可以看到,圆锥与水面的截痕接近与一条抛物线.说明梅内克缪斯的定义是与现代定义的抛物线相符的!

○2锐角圆锥

当水面与图中的一条母线垂直时,可以看到,圆锥与水面的截痕接近与一条椭圆.说明梅内克缪斯的定义是与现代定义的椭圆相符的!

○3钝角圆锥

当水面与图中的一条母线垂直时,按照梅内克缪斯的定义应该是双曲线的一支,但是由于钝角圆锥的顶角太大,操作难度较大,所以所现的截痕并不是很接近双曲线.

二、阿波罗尼奥斯割圆锥法——定义三种圆锥曲线

我们利用切割橡皮泥捏成的圆锥来还原当时阿波罗尼奥斯的割圆锥法.我们实施了如下四种切割方式，得到了四种曲线.其中图一为椭圆，图二为圆，图三为双曲线，图四为抛物线.

图一椭圆

图二圆

图三双曲线

图四抛物线

三、Dandelin双球实验

1、观看课件《Dandelin双球实验》进行模拟实验。

2、由于上述操作不易进行，下面基于同样的原理设计双球实验。

第一步，试完成如下操作：

1）用圆柱形的杯子装半杯水。

2）找两个小球，其大小与杯子口径相同，把球先后放进杯子中。

3）调整杯子中两个小球的位置，使两个小球相切。调整水量，使水面与两个小球都相切。水面轮廓的形状是怎样的？水面轮廓上点与球与水面的切点距离相等吗？

观察发现，水面轮廓近似为一个椭圆，水面轮廓上的点近似看做椭圆上的点，两个球与水面的切点可以近似看做椭圆的两个交点。这样，水面轮廓上的点满足到两个球与水面切点的距离相等的只有两个点，即两个切点构成线段的中线上。

第二步，试完成如下操作：

1）拉开小球的距离，类似地，调整水量和杯子的倾斜程度，使得水面和两个小球都相切，如右图。水面轮廓的形状是怎样的？

水面轮廓近似椭圆状，随着两个小球距离拉开，椭圆面积逐渐变大。

2）水面轮廓上点到水面与球（其中任意一个球）的切点的距离相同吗？

水面轮廓上的不同点与其中一球的切点的距离不同。如图中小球与水面切点为O，