第二章 离散时间傅立叶变换(DTFT)

1、连续时间周期信号
x (t ) Fn
CTFS
连续时间周期信号的傅里叶级数对
1 Fn T0 x(t )


T0 / 2
T0 / 2
x(t )e jn0t dt
n

Fn e jn0 t
特点：时域连续，频域离散
2、连续时间非周期信号
x(t ) X ( j)
n
x ( n )e
n
反变换：
1 x(n) IDTFT [ X (e )] X (e j )e jn d 2
j
n
2、序列傅立叶变换存在的条件
• 序列绝对可和，一致收敛，FT存在
n
| x(n) |

•
特殊序列（周期序列，u(n）)等，引入δ 冲
jX I (e ) FT [ xo (n)]
n
x (n)e
即序列对称、反对称分解，频域作实部、虚部的分解
证明
由：
1 xe (n ) [ x(n ) x ( n )] 2 1 xo (n ) [ x (n ) x ( n )] 2
1 FT [ xe (n)] [ X (e j ) X *(e j )] X R (e j ) 2 1 FT [ xo (n)] [ X (e j ) X *(e j )] jX I (e j ) 2
j
当N＝4时，序列x(n)及其幅度谱与相位谱如下图示。
时域离散，频域连续， 以2π 为周期。
程序清单
clc; clear;
y=[1 1 1 1]; x=0; n=[0:3];
xx=abs(x);
subplot(312); plot(w,xx); xlabel('w'); ylabel('幅度')
有：
（3）实因果序列的对称性
若x(n)是实序列， 则其FT只有共轭对称部分Xe(ejω )， 共轭反对称部分为零。
X(ejω )=Xe(ejω )=X*(e-jω )
因此实序列的FT的实部是偶函数， 虚部是奇函数， 用公式表示为：
XR(ejω )=XR(e-jω )
XI(ejω )=-XI(e-jω )
1 有： xe ( n ) [ x ( n ) x ( n )] 2 1 xo (n ) [ x (n ) x ( n )] 2
任意序列x(n)
x(n) xe (n) xo (n)
xe (n) xe (n)

xo (n) xo (n)

1 xe (n ) [ x(n ) x ( n )] 2 1 xo (n ) [ x (n ) x ( n )] 2
（2）共轭反对称序列： 若满足下式： xO(n)=-x*O(-n) 则称xO(n)为共轭反对称序列。 共轭反对称序列的性质：实部是奇函数， 虚部是偶函数。
例：共轭对称序列 共轭反对称序列 5－j －5＋j 4－j －4＋j 0 0 4＋j 4＋j 5＋j 5＋j
（3）对任意序列x(n) 任意序列可用共轭对称与共轭反对称序列之和表示， x(n)=xe(n)+xo(n) 由 x*(-n)=xe(n)-xo(n)
j

j n
d
n
X (e


j
) X (e ) d
*
1 2



X (e j ) d
2
8、 DTFT的对称性 概念： （1）共轭对称序列： 若满足下式： xe(n)=x*e(-n) 则称xe(n)为共轭对称序列。 将xe(n)用其实部与虚部表示 xe(n)=xer(n)+jxei(n) 共轭对称序列的性质：实部是偶函数， 将上式两边n用-n代替，并取共轭，得到 虚部是奇函数。 x*e(-n)=xer(-n)-jxei(-n) 对比上面两公式， 左边相等， 因此得到 xer(n)=xer(-n) xei(n)=-xei(-n)
| 1
|a|<1
|a|<1时，anu(n)的傅立叶变换存在。
2.2.2
1、FT的周期性
序列傅立叶变换的性质
X (e )
j
n
x ( n )e

j n

n
x ( n )e

j ( 2 M ) n
因此：X(ejω )以2π 为周期 其中， 0，2π ，4π … π ，3π ，5π … 对应直流分量 对于信号的最高频分量
X (e ) 称为能量谱密度
j
2
证明：
n
x ( n) x ( n) x ( n)
* n

2


n
1 x (n)[ X (e j )e jn d )] 2
*
1 2
1 2
X (e )
j


x ( n )e
CTFT
连续时间非周期信号的傅里叶变换对
X ( j) x(t )e jt dt


1 x(t ) 2


X ( j)e
j t
d
特点：时域连续，频域连续
2.2
2.2.1
离散时间傅立叶变换的定义及性质
离散时间傅立叶变换定义

（DTFT)
j n
1、正变换： X (e j ) DTFT [ x(n)]
w=0:0.01:2*pi;
subplot(311); stem(n,y); xlabel('n'); ylabel('x(n)');
yy=angle(x);
subplot(313); plot(w,yy) xlabel('w'); ylabel('相位')
for n=0:3
x=x+exp(-j*w*n); end
3、时移与频移性质
设X (e ) FT [ x(n)], 则： FT [ x(n n0 )] e
j n0
j
时域移位， 频域有相移
X (e j )
FT [e j0n x(n)] X (e j ( 0 ) )
时域调制 频域移位
4、指数加权，线性加权
e j DTFT [a n x(n)] X ( ) a
n

即序列实、虚部分解，频域作共轭对称与反对称的分解
（2）若序列x(n)分成 x(n)=xe(n)+xo(n) 则 X(ejω )=XR(ejω )+jXI(ejω )
其中
X R (e j ) FT [ xe (n)]
j
n


xe (n)e j n
j n o
r为任意整数
周期序列不绝对可和,因此周期序列的DTFT不存在，与 连续信号一样，用傅立叶级数表示，即：DFS
~
一、 x ( n ) 的离散傅立叶级数（DFS）
对称性： （1）若序列x(n)分成实部xr(n)与虚部xi(n)
x(n)=xr(n)+jxi(n)
则
X(ejω )=Xe(ejω )+Xo(ejω )
其中
X e (e j ) FT [ xr (n)]
n
证明略


xr (n)e j n
X o (e j ) FT [ jxi (n)] j xr (n)e j n
例：令因果性指数序列为x(n)=anu(n)，写出其傅立
叶变换，并讨论其收敛性。 解：此序列的傅立叶变换为：
X (e )
j
n
a u ( n )e
n

j n
a n e j n
n 0

(ae
n 0

j n
)
1 j 1 ae
| ae
j
第二章 时域离散信号与系统的频域分析 学习内容：
• 离散时间傅立叶变换的定义
• DTFT的主要性质
• 周期序列的离散傅立叶变换 • 时域离散信号的FT和模拟信号的FT之间的关系 • 离散系统的频域特性
学习重点、难点：
•序列的傅立叶变换、基本性质及应用 •离散系统的频域特性
知识回顾
2.1 连续时间信号和系统的频域分析
对信号频谱只需分析－π ～π 之间或0～2 π 之间
2、线性性质
设X 1 (e j ) FT [ x1 (n)], X 2 (e j ) FT [ x2 (n)], 则：
FT [ax1 (n) bx2 (n)] aX 1 (e j )＋bX 2 (e j )其中a, b为常数
X ( )e j ( )
– 幅度特性
– 相位特性
2 X ( ) | X (e j ) | X R (e j ) X I2 (e j )
X I (e j ) ( ) arg[X (e j )]=arg X R (e j )
由：
X (e
•
j( 2 M )
d DTFT [nx(n)] j [ X (e j )] d
5、时域卷积定理 设 y(n)=x(n)*h(n), 时域卷积， 频域乘法
则
证明：
Y(ejω )=X(ejω )·H(ejω )
y ( n)
j
m


x ( m) h( n m)
Y (e ) FT [ y ( n)]
例
x(n)=anu(n); 0<a<1; 求其偶函数xe(n) 和奇函数xo(n)。
解: 序列x(n)
共轭对称部分xe(n)
共轭反对称部分xo(n)
2.3
周期序列的离散傅立叶级数 及傅立叶变换
2.3.1
周期序列的离散傅立叶级数（DFS)
设 ~ ( n ) 是一个周期为N的周期序列， 即 x
~(n) ~(n rN ) x x
激函数，FT也存在。
3、序列的幅度谱与相位谱
• 频谱用实部和虚部表示
X (e j )
n
x(n)e jn

X (e j ) X R (e j ) jX I (e j )
•
频谱用幅度和相位表示
X (e ) | X (e ) | e
j j jarg[X (e j )]
n

[


x( m) h( n m)]e j n
m
令k=n-m
Y (e j )
k

j k


h( k )e j k x (m)e j m

m
k


h ( k )e
m

x (m)e j m
H (e j ) X (e j )
（4）对序列x(n)的X(ejω )
X(ejω )=Xe(ejω )+Xo(ejω ) Xe(ejω )=X*e(e-jω )
j
Xo(ejω )=-X*o(e-jω )
1 j j X e ( e ) [ X ( e ) X (e )] 2 1 j j j X o (e ) [ X (e ) X (e )] 2
) X (e )
j
频谱是ω 的连续周期函数，周期为2π 。
•
DTFT频谱特点：时域离散，频域连续，
以2π 为周期。
例2.2.1 设x(nห้องสมุดไป่ตู้=RN(n)，求x(n)的FT。
解:
X (e j )
n

e

RN (n)e jn e jn
n 0
N 1
1 e j N 1 e j
|X(ejw)|－－－－幅度是w的偶函数 arg[X(ejw)]－－－－相角是w的奇函数
x(n)为实序列： x(n)=xe(n)+xo(n)
1 xe (n ) [ x(n ) x ( n )] 2 1 xo (n ) [ x (n ) x ( n )] 2
1 xe (n) [ x(n) x(n)] 2 1 xo (n) [ x(n) x(n)] 2
6、频域卷积定理 频域卷积， 时域乘法 设 则 y(n)=x(n)•h(n),
1 Y (e ) X (e j )* H (e j ) 2
j
7、帕斯瓦尔定理（Parseval）
n


1 x ( n) 2
2



X (e ) d
j
2
内容：时域、频域能量守恒。 即信号时域的总能量等于频域的总能量。

j N / 2
(e e ) j / 2 j / 2 j / 2 e (e e )
sin( N / 2) sin( / 2)
j N / 2
j N / 2
e
j ( N 1) / 2
sin( N / 2) | X (e ) | sin( / 2)
j
( N 1) sin( N / 2) arg[ X (e )] arg[ ] 2 sin( / 2)