第二章 离散时间傅立叶变换(DTFT)
第二章 z变换与离散时间傅里叶变换(DTFT)
2.2 z变换
定义： X ( z ) = ΖT [ x (n) ]
注意符号：时域小写 x 变换域大写 X
＝ ∑ x(n)z − n
n =−∞ ∞
∞
=
n =−∞
∑ x(n)r
− n − jω n
e
复变量： z = re jω ，复平面上的点 r = z 幅度，到原点的距离 ω 数字角频率, 与水平轴之间的夹角
重叠区域。一般缩小，个别扩大
十一、时域乘积定理 x(n) ⋅ h(n) ←⎯ → X ( z) ∗ H ( z) Rx − Rh− < z < Rx + Rh + 1 ⎛ z ⎞ −1 = ⎟ν dν ∫ X (ν )H ⎜ 2π j C ν ⎝ ⎠ 1 ⎛ z ⎞ −1 = ⎟ν dν ∫ H (ν )X ⎜ 2π j C ν ⎝ ⎠
Rx − < z < Rx +
Rx − < z < Rx +
2.4 z变换的基本性质和定理
若
ZT x(n) ←⎯→ X ( z)
Rx − < z < Rx +
五、共轭序列 x *(n) ←⎯ → X * ( z *)
Rx − < z < Rx +
六、翻摺序列
⎛1⎞ → X ⎜ ⎟, x(− n) ←⎯ ⎝z⎠ 1 1 < z < Rx + Rx −
实用公式——根据极点的阶，用相应的公式求留数
若zr 是X ( z )z n -1 的多重极点（l 阶极点），则该点处的留数
n -1 ⎤ X z Res ⎡ ( )z ⎣ ⎦ z = zr
1 d l −1 ⎡ l = ⋅ l −1 ( z − zr ) X ( z )z n -1 ⎤ ⎦ z = zr ( l－1)! dz ⎣
实验2 离散时间傅里叶变换
电 子 科 技 大 学实 验 报 告学生：项阳 学 号： 2010231060011 指导教师：邓建一、实验项目名称：离散时间傅里叶变换二、实验目的：熟悉序列的傅立叶变换、傅立叶变换的性质、连续信号经理想采样后进行重建，加深对时域采样定理的理解。
三、实验容：1. 求下列序列的离散时间傅里叶变换(a) ()(0.5)()n x n u n = (b) (){1,2,3,4,5}x n =2. 设/3()(0.9),010,j n x n e n π=≤≤画出()j X e ω并观察其周期性。
3. 设()(0.9),1010,n x n n =--≤≤画出()j X e ω并观察其共轭对称性。
4. 验证离散时间傅里叶变换的线性、时移、频移、反转（翻褶）性质。
5. 已知连续时间信号为t a e t x 1000)(-=，求：(a) )(t x a 的傅里叶变换)(Ωj X a ；(b) 采样频率为5000Hz ，绘出1()j X e ω,用理想插函数sinc()x 重建)(t x a ，并对结果进行讨论；(c) 采样频率为1000Hz ，绘出2()j X e ω，用理想插函数sinc()x 重建)(t x a ，并对结果进行讨论。
四、实验原理：1. 离散时间傅里叶变换(DTFT)的定义：2．周期性：()j X e ϖ是周期为2π的函数(2)()()j j X e X e ϖϖπ+= 3．对称性：对于实值序列()x n ，()j X e ϖ是共轭对称函数。
*()()Re[()]Re[()]Im[()]Im[()]()()()()j j j j j j j j j j X e X e X e X e X e X e X e X e X e X e ϖϖϖϖϖϖϖϖϖϖ-----===-=∠=-∠4．线性：对于任何12,,(),()x n x n αβ，有1212[()()][()][()]F x n x n F x n F x n αβαβ+=+5．时移[()][()]()j k j j k F x n k F x n e X e e ωωω---==6．频移00()[()]()j n j F x n e X e ωωω-=7．反转（翻褶）[()]()j F x n X e ω--=[()]()()(),()j j jn z e n n F x n X e X z x n e x n ωωω∞-==-∞∞=-∞===<∞∑∑收敛条件为：五、实验器材（设备、元器件）：PC机、Windows XP、MatLab 7.1六、实验步骤：本实验要求学生运用MATLAB编程产生一些基本的离散时间信号，并通过MATLAB的几种绘图指令画出这些图形，以加深对相关教学容的理解，同时也通过这些简单的函数练习了MATLAB的使用。
§5-6 离散时间傅里叶变换----DTFT
《信号与系统》
Electronic Technology Teaching & Research Section
二、离散时间傅里叶变换的举例
1、单边指数序列 于是
X (e ) =
jω ∞ n = −∞
x ( n)
a>0 0
1 2 3 45
x ( n) = a n u ( n)
− jω n
a <1
n − jωቤተ መጻሕፍቲ ባይዱn
π
《信号与系统》
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于是，我们得到一对变换关系：
X ( e ) = DTFT { x ( n )} =
jω − jω n x ( n ) e -------DTFT变换式 ∑ ∞
n = −∞
π
1 jω jω jωn x(n) = IDTFT{X (e )} = X ( e ) e dω -------DTFT反变换式 ∫ 2π −π
5、奇、偶、虚、实性 设
DTFT x ( n ) = x r ( n ) + jx i ( n ) ←⎯ ⎯→ X ( e jω ) = X R ( ω) + jX I ( ω)
= X ( e jω ) e jϕ ( ω )
当x(n)是实序列，即 则
x(n) = x* (n)
X ( e jω ) = X * ( e − jω )
ω
0
π
2π
ω
《信号与系统》
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DTFT x ( n ) ← ⎯ ⎯→ X ( e jω ) 例题：设
离散时间信号的傅里叶变换和离散傅里叶变换
离散时间信号的傅里叶变换和离散傅里叶变换摘要本文主要介绍了离散时间信号的离散时间傅里叶变换及离散傅里叶变换，说明其在频域的具体表示和分析，并通过定义的方法和矩阵形式的表示来给出其具体的计算方法。
同时还介绍了与离散时间傅里叶变换（DTFT ）和离散傅里叶变换（DFT ）相关的线性卷积与圆周卷积，并讲述它们之间的联系，从而给出了用圆周卷积计算线性卷积的方法，即用离散傅里叶变换实现线性卷积。
1. 离散时间傅里叶变换1.1离散时间傅里叶变换及其逆变换离散时间傅里叶变换为离散时间序列x[n]的傅里叶变换，是以复指数序列｛｝的序列来表示的（可对应于三角函数序列），相当于傅里叶级数的展n j e ω-开，为离散时间信号和线性时不变系统提供了一种频域表示，其中是实频率ω变量。
时间序列x[n]的离散时间傅里叶变换定义如下：)(ωj e X （1.1）∑∞-∞=-=nnj j e n x e X ωω][)(通常是实变量的复数函数同时也是周期为的周期函数，并且)(ωj e X ωπ2的幅度函数和实部是的偶函数，而其相位函数和虚部是的奇函数。
)(ωj e X ωω这是由于：（1.2）)()()(tan )()()()(sin )()()(cos )()(222ωωωωωωωωωωθωθωθj re j im j im j re j j j im j j re e X e X e X e X e X e X e X e X e X =+===由于式（1.1）中的傅里叶系数x[n]可以用下面给出的傅里叶积分从中算出：)(ωj e X 1（1.3）ωπωππωd e eX n x n j j )(21][⎰-=故可以称该式为离散时间傅里叶逆变换（IDTFT ），则式（1.1）和（1.3）构成了序列x[n]的离散时间傅里叶变换对。
上述定义给出了计算DTFT 的方法，对于大多数时间序列其DTFT 可以用收敛的几何级数形式表示，例如序列x[n]=,此时其傅里叶变换可以写成简单n α的封闭形式。
数字信号处理____第二章 离散时间傅里叶变换(DTFT)
x a (t )e
st
e
jk
2 T
t
dt
用傅里叶级数表示
即：Z变换可看成是x(n)乘以指数序列r-n后的傅里叶变换。 2、单位圆上的Z变换就是序列的傅里叶变换
X a ( s jk s )
k
周期延拓
z re
j
r 1 z e
j
X (z)
ze
sT
X (e
M N
y (n)
m 0
bm x (n m )
k 1
ak y (n k )
23
24
4
§2.3 离散线性移不变（LSI）系统的频域特征
2、变换域中的表述 用系统函数H(z)来表征（指明收敛域）
§2.3 离散线性移不变（LSI）系统的频域特征
用频率响应来H(ejω)表征
H (e
x ( n )e
j ( n )
]
X (e
*
j
)
满足共轭反对称性
X o (e
j
) X o (e
)
19
20
§2.2 离散时间傅里叶变换（DTFT)
4、信号的实部和虚部的傅里叶变换
x ( n ) Re[ x ( n )] j Im[ x ( n )]
§2.2 离散时间傅里叶变换（DTFT)
j
)] X e ( e
j
)
Im[ X ( e
j
)] Im[ X ( e
j
奇函数
j Im[ x ( n )]
1 2
[ x ( n ) x ( n )] 1 2
实验2离散时间傅里叶变换
电 子 科 技 大 学实 验 报 告学生：项阳 学 号： 2010231060011 指导教师：邓建一、实验项目名称：离散时间傅里叶变换二、实验目的：熟悉序列的傅立叶变换、傅立叶变换的性质、连续信号经理想采样后进行重建，加深对时域采样定理的理解。
三、实验容：1. 求下列序列的离散时间傅里叶变换(a) ()(0.5)()n x n u n =(b) (){1,2,3,4,5}x n =2. 设/3()(0.9),010,j n x n e n π=≤≤画出()j X e ω并观察其周期性。
3. 设()(0.9),1010,n x n n =--≤≤画出()j X e ω并观察其共轭对称性。
4. 验证离散时间傅里叶变换的线性、时移、频移、反转（翻褶）性质。
5. 已知连续时间信号为t a e t x 1000)(-=，求：(a) )(t x a 的傅里叶变换)(Ωj X a ；(b) 采样频率为5000Hz ，绘出1()j X e ω,用理想插函数sinc()x 重建)(t x a ，并对结果进行讨论；(c) 采样频率为1000Hz ，绘出2()j X e ω，用理想插函数sinc()x 重建)(t x a ，并对结果进行讨论。
四、实验原理：1. 离散时间傅里叶变换(DTFT)的定义：2．周期性：()j X e ϖ是周期为2π的函数(2)()()j j X e X e ϖϖπ+=3．对称性：对于实值序列()x n ，()j X e ϖ是共轭对称函数。
*()()Re[()]Re[()]Im[()]Im[()]()()()()j j j j j j j j j j X e X e X e X e X e X e X e X e X e X e ϖϖϖϖϖϖϖϖϖϖ-----===-=∠=-∠4．线性：对于任何12,,(),()x n x n αβ，有1212[()()][()][()]F x n x n F x n F x n αβαβ+=+5．时移[()][()]()j k j j k F x n k F x n e X e e ωωω---==6．频移00()[()]()j n j F x n e X e ωωω-=7．反转（翻褶）[()]()j F x n X e ω--=五、实验器材（设备、元器件）：PC 机、Windows XP 、MatLab 7.1六、实验步骤：本实验要求学生运用MATLAB 编程产生一些基本的离散时间信号，并通过MATLAB 的几种绘图指令画出这些图形，以加深对相关教学容的理解，同时也通过这些简单的函数练习了MATLAB 的使用。
数字信号处理-z变换与离散时间傅立叶变换(DTFT)
N a i y i ( n ) T a i xi ( n ) i 1 i 1
N
9
4.移不变系统
——系统的响应与激励施加于系统的时刻无关
x ( n)
移位m
T[ ]
T [ x(n m)]
x ( n)
T[ ]
移位m
y ( n m)
10
5.单位抽样响应与卷积和
序列x(n)的Fourier反变换定义：
a<-1
0<a<1
-1<a<0
a=1
a=-1
7
5.复指数序列 x(n) Ca n
x(n) C a n cos(0 n ) j sin( 0 n )
|a|=1
C C e j a a e j0
|a|>1
|a|<1
8
3.线性系统
——满足叠加原理（可加性、比例性）
15
1.1 z变换的定义
序列x(n)的Z变换定义为：
X ( z) Z x(n) x(n) z
n
n
Z是复变量，所在的平面称为Z平面
16
1.2 z变换的收敛域
对于任意给定的序列x(n)，使其Z变换X(z)收敛的所有z值
的集合称为X(z)的收敛域(Region of convergence,ROC)。
=X (e
jT
ˆ ( j ) ) X a
抽样序列在单位圆上的z变换=其理想抽样信号的傅里叶变换
52
第五节 序列的傅立叶变换（DTFT）
5.1 序列的傅立叶变换定义
序列x(n)的Fourier变换定义：
X (e ) DTFT [ x(n)]
第二章离散时间傅立叶变换DTFT
jX I (e j ) FT[xo (n)] xo (n)e jn n
即序列对称、反对称分解，频域作实部、虚部的分解
证明
由：
xe (n)
1 2
[x(n)
x(n)]
xo (n)
1 2
[x(n)
x(n)]
有：
FT [ xe
(n)]
1 2
[X
(e
j
)
X
* (e
j
)]
X
R
(e
j
)
FT[xo (n)]
RN (n)e jn e jn
nn01 e jN 1 Nhomakorabeae je (e jN / 2 jN / 2 e jN / 2 ) e j / 2 (e j / 2 e j / 2 )
e j(N 1) / 2 sin( N / 2) sin( / 2)
| X (e j ) | sin(N / 2) sin( / 2)
n
2
内容：时域、频域能量守恒。 即信号时域的总能量等于频域的总能量。
X (e j ) 2 称为能量谱密度
证明：
2
x(n) x(n)x*(n)
x*(n)[ 1
X (e j )e jnd)]
n
n
n
2
1 X (e j ) x (n)e jnd
2
n
1 X (e j ) X *(e j )d
[x(n)
x(n)]
例 x(n)=anu(n); 0<a<1; 求其偶函数xe(n) 和奇函数xo(n)。
解: 序列x(n)
共轭对称部分xe(n)
共轭反对称部分xo(n)
2.3 周期序列的离散傅立叶级数 及傅立叶变换
2.1离散时间序列的傅里叶变换DTFT
jω
n = −∞ π
−
∑ x ( n )e
∫ π X (e
jω
∞
− jωn
)e
jωn
dω
2、时移与频移性 4、时域卷积定理 6、帕斯维尔定理 8、周期性
DTFT的周期性
由序列的傅里叶变换公式：
X ( e jω ) =
n取整数，可以把频率分成两部分 ω → ω + 2πM
n = −∞
∑ x(n)e − jωn
-28-
序列分成共轭对称部分和共轭反对称部分 x(n) = xe (n) + xo (n)
傅里叶变换
= X ( e jω ) DTFT = [ x ( n )] DTFT [ xe ( n ) + xo ( n )] = DTFT [ xe ( n )] + DTFT [ xo ( n )] =
n = −∞
∞ *
( )
( )
( ) ( )
DTFT性质应用举例
例2.1.7
P38
-19-
时域卷积定理
设 则
y (n ) = x(n ) * h(n )
Y (e jω )=X (e jω )H (e jω )
该定理说明，两序列卷积的DTFT，服从相乘的 关系。对于线性时不变系统输出的DTFT等于输 。 入信号的 DTFT乘以单位脉冲响应DTFT。因此 求系统的输出信号，可以在时域用卷积公式计算， 也可以在频域求出输出的DTFT，再作逆DTFT 求出输出信号。
由上式表明,共轭对称序列的实部确实是偶 函数,虚部是奇函数。
-25-
一般序列 分解为 其中
= x ( n ) xe ( n ) + xo (n )
变换与序列的傅里叶变换(DTFT).
反因果序列
z R
1
X (z) x(n)zn
n
例： x(n) anu(n 1) (0 a 1)
解
X (z) Z
x(n)
1
n
az 1
n
n 1
a 1 z
n
1
a 1 z a1z
z 1 z a 1 az1
z a
j Im[z]
anu(n 1)
n 0
Re[z]
(圆环)
园环内极点——因果子序列 z变换的极点 园环外极点——反因果子序列 z变换的极点例： Nhomakorabeax(n)
an bn
n0 (0 a b 1)
n 1
解
X (z) Z
x(n)
1
1 az
1
1
1 bz1
2z2 (a b)z (z a)(z b)
a z b
jIm[z]
[注]双边序列z变换的收敛域边界为
z变换式一定要注明收敛域才能唯一地确定序列
➢ z变换收敛域的形式与序列的形式相对应：
n
x(n) z n R z R
n
z平面
j Im[s]
jΩ
j Im[z]
0
s平面
(s j )
σ
Re[s]
0
z平面
z平面 两个特殊点—— 0 和∞点 有限 z 平面（0 < |z| < ∞ ）
Re[z]
X (z) x(n)zn n
n=0 时，与z 无关
L L x(2)z2 x(1)z x(0) x(1)z1 x(2)z2 L L
根据非零值范围的不同，序列分为：
有限长序列
n1 n n2
dtft公式
dtft公式DTFT公式DTFT全称为离散时间傅里叶变换，是数字信号处理中一种重要的分析工具。
DTFT可以将以时间为自变量的离散序列在频域上进行分析，其公式如下：$$X(\omega)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(n)e^{-j\omega n}$$其中，$x(n)$为离散时间域信号，$X(\omega)$为其对应的离散频率域信号，$\omega$为角频率。
在DTFT公式中，$e^{-j\omega n}$是傅里叶变换中的核函数，也被称为旋转因子。
旋转因子的频率为$\omega$，控制了离散序列在频域上的变化。
DTFT公式常被用于信号分析、信号滤波、通信系统设计等领域。
下面我们通过一些例子，来说明DTFT公式的应用。
例1：信号分析考虑如下的离散时间域信号：$$x(n)=\sin\left(\frac{\pi}{4}n\right),\quad-\infty<n<\infty$$应用DTFT公式，可以求出其离散频率域信号：$$\begin{aligned}X(\omega)&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(n)e^{-j\omega n}\\&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\sin\left(\frac{\pi}{4}n\right)e^{-j\omega n}\\ &=\frac{1}{2j}\left(e^{j\frac{\pi}{8}}-e^{-j\frac{\pi}{8}}\right)\sum_{n=-\infty}^{\infty}\left(e^{j\frac{\pi}{4}}\right)^n\delta(\omega-\frac{\pi}{4}-\frac{2\pi}{n})\\\end{aligned}$$上式中，$\delta(\omega)$为单位脉冲函数，$\delta(\omega-\omega_0)$表示在$\omega=\omega_0$时，函数值最大的单个脉冲。
数字信号处理——第2章 离散时间傅里叶变换与Z变换
• 总结：
①序列ZT的收敛域以极点为边界（包含0 和 ②收敛域内不含任何极点，可以包含0 ③相同的零极点可能对应不同的收敛域，即： 不同的序列可能有相同的ZT ④收敛域汇总：右外、左内、双环、有限长z平面
）
常见典型序列z变换
序列 Z变换 收敛域
z a
z b
注意：只有z变换和它的收敛域两者在一起才和序列相对应。 其它序列见P54： 表2-1 几种序列的z变换
2.3
z反变换
Z反变换: 从X(z)中还原出原序列x(n)
X ( z ) ZT [ x ( n)]
n
x (n) z n
实质：求X(z)幂级数展开式
Z反变换的求解方法： 留数定理法
部分分式法
长除法
1. 留数定理法
根据复变函数理论，可以推导出
x ( n)
1 2 j
X ( z ) z n 1dz
1 1 3z 1
n
z 2
2 n u ( n)
z 3
3
n
n
u (n 1)
x n 2 u n 3 u n 1
3. 幂级数法（长除法）
如果序列的ZT能表示成幂级数的形式，则序列x(n) 是幂 级数 说明： ①这种方法只对某些特殊的ZT有效。 ②如果ZT为有理函数，可用长除法将X(z)展开成幂级 数。 若为右边序列（特例：因果序列），将X(z)展开成负幂 级数； 若为左边序列（特例：反因果序列），将X(z)展开成正 幂级数； 中
z z 1 1 X z 1 z 2 z 3 1 2z 1 3 z 1
1 ZT [a u (n)] z a 1 1 az 1 n ZT [a u (n 1)] z a 1 1 az
第二章_DTFT及性质2011
(
)
( )
21
DTFT性质 DTFT性质： 性质：对称性
若 x(n) 为实序列 序列，则其傅氏变换有以下性质:
(a) X e jω = X * e − jω
( )
(
)
− −共轭对称
(b) Re [ X (e jω )] = Re [ X (e − jω )] − −实部是ω 的偶函数 (c) I m [ X (e jω )] = − I m [ X (e − jω )] − −虚部是 ω 的奇函数
DTFT
∫π
−
π
X ( e jθ ) ∗ H ( e j (ω −θ ) )dθ
证明:
Y (e ) =
jω
∑
n=−∞
∞
x ( n)h( n)e
− jnω
1 = ∑ x ( n) 2π n=−∞
∞
− jnω jθ jnθ H ( e ) e d θ e ∫− π
π
交换积分与求和的次序， 交换积分与求和的次序，有
时域内的卷积关系映射到频域内为相乘
x (n ) ∗ h (n ) ← → X (e
F
jω
)H (e )
jω
时域卷积
频域相乘
11
x(n ) ∗ h(n ) → X (e jω )H (e jω )
证明： 证明：
F [ x(n) ∗ h(n)] =
=
=
− jnω ( ) [ x ( n ) ∗ h n ] e ∑ n = −∞
jω
∧
∞ − jn ω jω 级数收敛的条件是 = X ( e ) x ( n ) e ∞ ∑ x ( n) < ∞ n = −∞ ∑ ∴ n = −∞ π 1 j jn ω ω x(n) = X (e )e dω ∫ 2π −π ——离散时间信号的傅氏变换对
第二章 信号的傅里叶变换与分析
式（2.2-5）表明将周期序列分解为N次谐波，第k个谐波的频率为 ~ k (2 / N )k , 幅度为 (1/ N ) X (k ) 。基波分量的频率是 2 / N ，幅度 是 (1/ N ) X (1) 。一个周期序列可以用其DFS表示它的频谱分布规律。
~
~ 周期序列 X x (n) 的一个周期 x(n)作Z变换， (k ) 可看为是对 ~ 然后将其Z变换在Z平面单位圆上按等间隔角频率抽样 再延拓而得到的。例：
3. 时间翻转性
DTFT [ x(n)] X (e j )
（2.1-7）
即按时间翻转的结果是DTFT按频率翻转。
4. 时域卷积定理
若 则
y(n) x(n) * h(n)
Y (e j ) X (e j ) H (e j )
（2.1-8）
5. 频域卷积定理
若
则
y(n) x(n) h(n)
2反转定理若有限长序列的离散傅里叶变换为序列的循环移位设为有限长序列长度为n则的循环移位定义为2313时域循环移位定理设为有限长序列长度为n2314其中将有限长序列的时域循环移位定理与傅氏变换时移性质比较由于傅氏变换区间在因此无论如何位移不会影响变换区间而dft的变换区间为移位时必须考虑到
第一节 离散时间序列傅里叶变换
H (e j ) H ( z ) | j z e
为离散时间系统的频率响应特性。
DTFT成立的充分条件为满足绝对可和：
n
x ( n)
（2.1-2）
注意：若在频域引入冲激函数，则非绝对可和序 列的 DTFT也可能存在。
序列的傅里叶反变换：
x ( n) 1 2
1 X e (e j ) [ X (e j ) X * (e j )] 2
2.z变换与离散时间傅里叶变换(DTFT)
z 变换与离散时间Fourier 1、z 变换2、离散时间3、序列的z Fourier 变换的关系4、离散系统的系统函数，系统的频率响应信号与系统的分析方法：时域分析方法 变换域分析方法连续时间信号与系统： Fourier Laplace离散时间信号与系统： z 变换离散时间信号与系统的分析方法2.1.1 z 变换的定义2.1 z 变换：z X )(其中成一个复平面，称为ωj e r z ⋅=(x z 反变换：其中，积分路径是在逆时针旋转的闭合围线。
在数字信号处理中，不需要用围线积分来求2.1.2 z 变换的收敛域对任意给定序列的所有z 值的集合称为z 变换公式的级数收敛的充要条件是满足绝对可和，对某一具体的使该不等式成立，这个域，收敛域内不能有极点。
n ∞=−∞∑2.1.3 4 种典型序列的除0 和∞两点是否收敛与n 1和n 2取值情况有关外，整个z 平面均收敛。
1. 有限长序列x (n ) 只在n 1≤n ()()z X z x n 其变换：即要求： ROC 至少为：1()()X z x n z −=0(0)x z +如果n 2 ≤0 n 1<0，n 2≤如果n 1≥0 n 1≥0，n 2> 0如果n 1< 0 <n 1<0，n 2 > 0 1100n n Roc ∴≥<当时， 当时， 因果序列的处收敛在∞处收敛的变换，其序列必为因果序列在工程中，人们感兴趣的主要是因果序列。
1()()n n X z x n ∞==∑2. 右边序列x (n ) 在n ≥n 1时有值，在2200n n Roc ∴≤>当时， 当时，2()()()n n n X z x n x n =−∞=−∞==∑∑3. 左边序列x (n ) 在n ≤n 2 时有值，在x x x x x R R R R z R −+−++∴≥<<<当时， 当时，0()()()nn n X z x n x n z ∞−=−∞==∑ Roc: 0≤前式 Roc: x R −后式4. 双边序列n 为任意值时x 例1：x (n )=δ(变换及收敛域。
第二章 z变换与离散时间傅里叶变换(DTFT)
F(e
jωC
1 ) F(e j 0 ) 2
1
2
1 a 2a cosωC
1 2( 1 a)
ωC 0.006 rad
1
c f f s 15 Hz 2π
F ( e j )
...
1 2 1 a
0
n
2
c
2
三、FT与DTFT的关系
1 j ˆ a ( j) | T X a ( j 2k ) X (e ) X T k T
z e
数字频率表示z平面的辐角，它和模拟角频率的 关系为
f T 2 fs fs
所以说，数字频率是模拟角频率的归一化值，或 是模拟频率对抽样频率的相对比值乘以2
X ( z ) |z e
j
1 2k j X (e ) X a ( j ) T k T
FT
x1 (n) e
jω0 n
DTFT
X 1 (e jω ) 2π
FT
m
(ω ω
0
2mπ )
2） cosω0t π [δ (Ω ω0 ) δ (Ω ω0 )]
x2 (n) cosω0 n
DTFT
π
m
[ (ω ω
1 1 n 1 x ( n) |z|1 X ( z) z dz 2 2j
X (e
j
)e
jwn
dw
• 序列的傅里叶变换是序列的z变换在单位圆 上的值
• 利用ZT和DTFT的关系可以有ZT计算DTFT。
例1、计算门序列的DTFT
五种傅里叶变换
五种傅里叶变换介绍傅里叶分析是一种将一个信号分解为其频率成分的技术。
傅里叶变换是傅里叶分析的数学工具，它将一个信号从时间域转换到频率域，并提供了各个频率成分的详细信息。
傅里叶变换在信号处理、图像处理、音频处理等领域都有广泛的应用。
在傅里叶变换中，有五种常见的变换方法：离散傅里叶变换（DFT）、快速傅里叶变换（FFT）、连续傅里叶变换（CTFT）、离散时间傅里叶变换（DTFT）和快速傅里叶变换（DFT）。
在本文中，我们将详细介绍这五种傅里叶变换的原理、特点和应用。
离散傅里叶变换（DFT）离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）是将一个离散信号从时域转换到频域的方法。
DFT通过计算信号在一组复指数函数上的投影来实现，其中这组复指数函数是正交的。
DFT的计算公式如下：X(k) = Σ x(n) * exp(-j * 2π * k * n / N)其中，X(k)表示频域上的信号，x(n)表示时域上的信号，N是信号的长度。
DFT的优点是计算结果精确，可以对任何离散信号进行处理。
然而，它的计算复杂度较高，需要O(N^2)次操作，对于较长的信号将会非常耗时。
快速傅里叶变换（FFT）快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）是一种高速计算DFT的算法。
FFT算法通过将一个长度为N的DFT转换为两个长度为N/2的DFT的操作，从而实现了计算速度的加快。
FFT算法的计算复杂度为O(NlogN)，比DFT的O(N^2)速度更快。
因此，FFT在实际应用中更为常见。
FFT广泛应用于信号处理、图像处理、音频处理等领域。
连续傅里叶变换（CTFT）连续傅里叶变换（Continuous Fourier Transform，CTFT）是将一个连续信号从时域转换到频域的方法。
CTFT可以将一个连续信号表示为一组连续的频率分量。
CTFT的计算公式如下：X(ω) = ∫ x(t) * exp(-jωt) dt其中，X(ω)表示频域上的信号，x(t)表示时域上的信号，ω是角频率。
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激函数，FT也存在。
3、序列的幅度谱与相位谱
• 频谱用实部和虚部表示
X (e j )
n
x(n)e jn
X (e j ) X R (e j ) jX I (e j )
•
频谱用幅度和相位表示
X (e ) | X (e ) | e
j j jarg[X (e j )]
（2）共轭反对称序列： 若满足下式： xO(n)=-x*O(-n) 则称xO(n)为共轭反对称序列。 共轭反对称序列的性质：实部是奇函数， 虚部是偶函数。
例：共轭对称序列 共轭反对称序列 5－j －5＋j 4－j －4＋j 0 0 4＋j 4＋j 5＋j 5＋j
（3）对任意序列x(n) 任意序列可用共轭对称与共轭反对称序列之和表示， x(n)=xe(n)+xo(n) 由 x*(-n)=xe(n)-xo(n)
r为任意整数
周期序列不绝对可和,因此周期序列的DTFT不存在，与 连续信号一样，用傅立叶级数表示，即：DFS
~
一、 x ( n ) 的离散傅立叶级数（DFS）
d DTFT [nx(n)] j [ X (e j )] d
5、时域卷积定理 设 y(n)=x(n)*h(n), 时域卷积， 频域乘法
则
证明：
Y(ejω )=X(ejω )·H(ejω )
y ( n)
j
m
x ( m) h( n m)
Y (e ) FT [ y ( n)]
3、时移与频移性质
设X (e ) FT [ x(n)], 则： FT [ x(n n0 )] e
j n0
j
时域移位， 频域有相移
X (e j )
FT [e j0n x(n)] X (e j ( 0 ) )
时域调制 频域移位
4、指数加权，线性加权
e j DTFT [a n x(n)] X ( ) a
j N / 2
(e e ) j / 2 j / 2 j / 2 e (e e )
sin( N / 2) sin( / 2)
j N / 2
j N / 2
e
j ( N 1) / 2
sin( N / 2) | X (e ) | sin( / 2)
j
( N 1) sin( N / 2) arg[ X (e )] arg[ ] 2 sin( / 2)
w=0:0.01:2*pi;
subplot(311); stem(n,y); xlabel('n'); ylabel('x(n)');
yy=angle(x);
subplot(313); plot(w,yy) xlabel('w'); ylabel('相位')
for n=0:3
x=x+exp(-j*w*n); end
jX I (e ) FT [ xo (n)]
n
x (n)e
即序列对称、反对称分解，频域作实部、虚部的分解
证明
由：
1 xe (n ) [ x(n ) x ( n )] 2 1 xo (n ) [ x (n ) x ( n )] 2
1 FT [ xe (n)] [ X (e j ) X *(e j )] X R (e j ) 2 1 FT [ xo (n)] [ X (e j ) X *(e j )] jX I (e j ) 2
例
x(n)=anu(n); 0<a<1; 求其偶函数xe(n) 和奇函数xo(n)。
解: 序列x(n)
共轭对称部分xe(n)
共轭反对称部分xo(n)
2.3
周期序列的离散傅立叶级数 及傅立叶变换
2.3.1
周期序列的离散傅立叶级数（DFS)
设 ~ ( n ) 是一个周期为N的周期序列， 即 x
~(n) ~(n rN ) x x
X ( )e j ( )
– 幅度特性
– 相位特性
2 X ( ) | X (e j ) | X R (e j ) X I2 (e j )
X I (e j ) ( ) arg[X (e j )]=arg X R (e j )
由：
X (e
•
j( 2 M )
1、连续时间周期信号
x (t ) Fn
CTFS
连续时间周期信号的傅里叶级数对
1 Fn T0 x(t )
T0 / 2
T0 / 2
x(t )e jn0t dt
n
Fn e jn0 t
特点：时域连续，频域离散
2、连续时间非周期信号
x(t ) X ( j)
n
[
x( m) h( n m)]e j n
m
令k=n-m
Y (e j )
k
j k
h( k )e j k x (m)e j m
பைடு நூலகம்
m
k
h ( k )e
m
x (m)e j m
H (e j ) X (e j )
n
即序列实、虚部分解，频域作共轭对称与反对称的分解
（2）若序列x(n)分成 x(n)=xe(n)+xo(n) 则 X(ejω )=XR(ejω )+jXI(ejω )
其中
X R (e j ) FT [ xe (n)]
j
n
xe (n)e j n
j n o
（4）对序列x(n)的X(ejω )
X(ejω )=Xe(ejω )+Xo(ejω ) Xe(ejω )=X*e(e-jω )
j
Xo(ejω )=-X*o(e-jω )
1 j j X e ( e ) [ X ( e ) X (e )] 2 1 j j j X o (e ) [ X (e ) X (e )] 2
1 有： xe ( n ) [ x ( n ) x ( n )] 2 1 xo (n ) [ x (n ) x ( n )] 2
任意序列x(n)
x(n) xe (n) xo (n)
xe (n) xe (n)
xo (n) xo (n)
1 xe (n ) [ x(n ) x ( n )] 2 1 xo (n ) [ x (n ) x ( n )] 2
j
j n
d
n
X (e
j
) X (e ) d
*
1 2
X (e j ) d
2
8、 DTFT的对称性 概念： （1）共轭对称序列： 若满足下式： xe(n)=x*e(-n) 则称xe(n)为共轭对称序列。 将xe(n)用其实部与虚部表示 xe(n)=xer(n)+jxei(n) 共轭对称序列的性质：实部是偶函数， 将上式两边n用-n代替，并取共轭，得到 虚部是奇函数。 x*e(-n)=xer(-n)-jxei(-n) 对比上面两公式， 左边相等， 因此得到 xer(n)=xer(-n) xei(n)=-xei(-n)
CTFT
连续时间非周期信号的傅里叶变换对
X ( j) x(t )e jt dt
1 x(t ) 2
X ( j)e
j t
d
特点：时域连续，频域连续
2.2
2.2.1
离散时间傅立叶变换的定义及性质
离散时间傅立叶变换定义
（DTFT)
j n
1、正变换： X (e j ) DTFT [ x(n)]
| 1
|a|<1
|a|<1时，anu(n)的傅立叶变换存在。
2.2.2
1、FT的周期性
序列傅立叶变换的性质
X (e )
j
n
x ( n )e
j n
n
x ( n )e
j ( 2 M ) n
因此：X(ejω )以2π 为周期 其中， 0，2π ，4π … π ，3π ，5π … 对应直流分量 对于信号的最高频分量
X (e ) 称为能量谱密度
j
2
证明：
n
x ( n) x ( n) x ( n)
* n
2
n
1 x (n)[ X (e j )e jn d )] 2
*
1 2
1 2
X (e )
j
x ( n )e
对信号频谱只需分析－π ～π 之间或0～2 π 之间
2、线性性质
设X 1 (e j ) FT [ x1 (n)], X 2 (e j ) FT [ x2 (n)], 则：
FT [ax1 (n) bx2 (n)] aX 1 (e j )＋bX 2 (e j )其中a, b为常数
n
x ( n )e
n
反变换：
1 x(n) IDTFT [ X (e )] X (e j )e jn d 2
j
n
2、序列傅立叶变换存在的条件
• 序列绝对可和，一致收敛，FT存在
n
| x(n) |
•
特殊序列（周期序列，u(n）)等，引入δ 冲
例：令因果性指数序列为x(n)=anu(n)，写出其傅立