2021浙江大学《819数学分析》配套考研真题

2021浙江大学《819数学分析》配套考研真题

浙江大学819数学分析考研真题

浙江大学攻读硕士学位研究生入学考试试题

考试科目：数学分析（A）（819）

考生注意：

1．本试卷满分为150分，全部考试时间总计180分钟；

2．答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上均无效。

一、（40分，每小题10分）

（1）；

（2）；

（3）设，表示不超过的最大整数，计算二重积分；

（4）设.求.

二、（10分）论证是否存在定义在上的连续函数使得.

三、（15分）讨论函数项级数的收敛性与一致收敛性.

四、（15分）设均为上的连续函数，且为单调递增的，

，同时对于任意，有.

证明：对于任意的，都有.

五、（5分）；

（10分）.

六、（5分）构造一个在闭区间上处处可微的函数，使得它的导函数在

上无界；

（15分）设函数在内可导，证明存在，使得在内有界.

七、（15分）设二元函数的两个混合偏导数在附近存在，且在处连续.证明：.

八、（20分）已知对于实数，有公式，其中求和是对所有不超过的素数求和.求证：

，

其中求和也是对所有不超过的素数求和，是某个与无关的常数.

第1部分数项级数和反常积分

第9章数项级数

一、判断题

1．若收敛，则存在．[重庆大学2003研]

【答案】错查看答案

【解析】举反例：，虽然，但是发散．

2．若收敛，，则收敛．[南京师范大学研] 【答案】错查看答案

【解析】举反例：满足条件，而且很容易知道

但是发散，所以发散．

二、解答题

1．求级数的和．[深圳大学2006研、浙江师范大学2006研]

解：

2．讨论正项级数的敛散性．[武汉理工大学研]

解：由于，所以当a＞1时收敛，当0＜a＜1时发散；当a＝1时，由于

，故发散．

3．证明：收敛．[东南大学研]

证明：因为，所以

又因为

而收敛，故收敛．

4．讨论：，p∈R的敛散性．[上海交通大学研]

证明：因为为增数列，而为减数列，所以．从而

所以．于是当p＞0时，由积分判别法知收敛，故由Weierstrass判别法知

收敛：当p＝0时，因为发散，所以发散：当p＜0时，

发散．

5．设级数绝对收敛，证明：级数收敛．[上海理工大学研]

证明：因为绝对收敛，所以．从而存在N＞0，使得当n＞N时，有，则有

，故由比较判别法知级数收敛．

6．求．[中山大学2007研]

解：由于，所以绝对收敛．