2019-2020学年海淀区初三期末数学试卷(附答案)
北京市海淀区2019-2020学年初一期末数学试题及答案
海 淀 区 七 年 级 第 一 学 期 期 末 调 研一、选择题（本题共30分，每小题3分）1． “V”字手势表达胜利，必胜的意义．它源自于英国，“V”为英文Victory（胜利）的首字母．现在“V”字手势早已成为世界用语了．右图的“V”字手势中，食指和中指所夹锐角α的度数为A ．25︒B ．35︒C ．45︒D ．55︒2． 2019年10月1日国庆阅兵是中国特色社会主义进入新时代的首次阅兵，也是人民军队改革重塑后的首次集中亮相．此次阅兵编59个方（梯）队和联合军团，总规模约1.5万人. 将“1.5万”用科学记数法表示应为A ．31.510⨯B ．31510⨯C ．41.510⨯D ．41510⨯ 3． 下表是11月份某一天北京四个区的平均气温：区县 海淀怀柔密云昌平 气温o (C)+132这四个区中该天平均气温最低的是 A ．海淀B ．怀柔C ．密云D ．昌平4． 下列计算正确的是A ．220m n nm -=B ． m n mn +=C ．325235m m m +=D ． 3223m m m -=-5． 已知关于x 的方程2mx x +=的解是3x =，则m 的值为A ．13B ．1C ．53D ． 36． 有理数a ，b ，c ，d 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是A ．4a <-B ．0bd >C ．0b c +>D ．||||a b >7． 下列等式变形正确的是A ． 若42x =，则2x =B ． 若4223x x -=-，则4322x x +=-C ． 若4(1)32(1)x x +-=+，则4(1)2(1)3x x +++=D．若3112123x x+--=，则3(31)2(12)6x x+--=8．北京大兴国际机场采用“三纵一横”全向型跑道构型，可节省飞机飞行时间，遇极端天气侧向跑道可提升机场运行能力. 跑道的布局为：三条南北向的跑道和一条偏东南走向的侧向跑道. 如图，侧向跑道AB在点O南偏东70°的方向上，则这条跑道所在射线OB与正北方向所成角的度数为A．20° B．70° C．110°D．160°9．已知线段8AB=cm，6AC=cm，下面有四个说法：①线段BC长可能为2cm；①线段BC长可能为14cm；①线段BC长不可能为5cm；① 线段BC长可能为9cm．所有正确说法的序号是A．①① B．①① C．①①① D．①①①①10．某长方体的展开图中，P、A、B、C、D（均为格点）的位置如图所示，一只蚂蚁从点P 出发，沿着长方体表面爬行．若此蚂蚁分别沿最短路线爬行到A、B、C、D四点，则蚂蚁爬行距离最短的路线是A．P→A B．P→BC．P→C D．P→D二、填空题（本题共16分，每小题2分）11．厂家检测甲、乙、丙、丁四个足球的质量，超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，结果如图所示，其中最接近标准质量的足球是_______．+1.5 −3.5 +0.7 −0.6甲乙丙丁12．一个单项式满足下列两个条件：①系数是2-；①次数是3．请写出一个同时满足上述两个条件的单项式_______．13．计算48396731''︒+︒的结果为_______．14．如图，将五边形ABCDE沿虚线裁去一个角得到六边形ABCDGF，则该六边形的周长一定比原五边形的周长_______ (填：大或小)，北O ABGFAB E理由为__________________________________________________ ． 15．已知一个长为6a ，宽为2a 的长方形，如图1所示，沿图中虚线裁剪成四个相同的小长方形，按图2的方式拼接，则阴影部分正方形的边长是_______．（用含a 的代数式表示）图1 图216．如下图，点C 在线段AB 上，D 是线段CB 的中点. 若47AC AD ==，，则线段AB 的长为_______.17． 历史上数学家欧拉最先把关于x 的多项式用记号()f x 来表示，把x 等于某数a 时的多项式的值用()f a 来表示．例如，对于多项式3()5f x mx nx =++，当2x =时，多项式的值为(2)825f m n =++，若(2)6f =，则(2)f -的值为_______．18．小明家想要从某场购买洗衣机和烘干机各一台，现在分别从A 、B 两个品牌中各选中一款洗衣机和一款烘干机，它们的单价如表1所示. 目前该商场有促销活动，促销方案如表2所示.则选择_______品牌的洗衣机和_______品牌的烘干机支付总费用最低，支付总费用最低为_______元.三、解答题（本题共25分，第19题8分，第20题8分，第21题4分，第22题5分） 19．计算：（1）()76(4)(3)--+-⨯- （2）2313(2)1()2-⨯--÷-2a6aB C20．解方程：（1）3265x x -=-+ （2） 325123x x +--=21．先化简，再求值：222222(2)(6)3xy x y x y xy x y --++，其中2,1x y ==-．22．如图，已知平面上三点A ，B ，C ，请按要求完成下列问题： （1）画射线AC ，线段BC ；（2）连接AB ，并用圆规在线段AB 的延长线上截取BD BC =，连接CD （保留画图痕迹）； （3）利用刻度尺取线段CD 的中点E ，连接BE .四、解答题（本题共10分，第23题4分，第24题6分） 23．下图是一个运算程序：（1）若2x =-，3y =，求m 的值；（2）若4x =，输出结果m 的值与输入y 的值相同，求y 的值．||3m x y=+ ||3m x y=-24．2019年9月29日，中国女排以十一连胜的战绩夺得女排世界杯冠军，成为世界三大赛的“十冠王”. 2019年女排世界杯的参赛队伍为12支，比赛采取单循环方式，五局三胜，积分规则如下：比赛中以30-或者3-1取胜的球队积3分，负队积0分；而在比赛中以3-2取胜的球队积2分，负队积1分．前四名队伍积分榜部分信息如下表所示． （1）中国队11场胜场中只有一场以3-2取胜，请将中国队的总积分填在表格中． （2）巴西队积3分取胜的场次比积2分取胜的场次多5场，且负场积分为1分，总积分见下表，求巴西队胜场的场数．五、解答题（本题共19分，第25题6分，第26题6分，第27题7分）25．在数轴上，四个不同的点A ，B ，C ，D 分别表示有理数a ，b ，c ，d ，且a b <，c d <． （1）如图1，M 为线段AB 的中点，①当点M 与原点O 重合时，用等式表示a 与b 的关系为__________________； ①求点M 表示的有理数m 的值（用含a ，b 的代数式表示）；图1（2）已知a b c d +=+，①若A ，B ，C 三点的位置如图所示，请在图中标出点D 的位置；图2①a ，b ，c ，d 的大小关系为__________________．（用“< ”连接）OBA26．阅读下面材料：小聪遇到这样一个问题：如图1，AOB α∠=，请画一个AOC ∠，使AOC ∠与BOC ∠互补．图1 图2 图3小聪是这样思考的：首先通过分析明确射线OC 在AOB ∠的外部，画出示意图，如图2所示；然后通过构造平角找到AOC ∠的补角COD ∠，如图3所示；进而分析要使AOC ∠与BOC ∠互补，则需BOC COD ∠=∠．因此，小聪找到了解决问题的方法：反向延长射线OA 得到射线OD ，利用量角器画出BOD ∠的平分线OC ，这样就得到了BOC ∠与AOC ∠互补．（1）小聪根据自己的画法写出了已知和求证，请你完成证明； 已知：如图3，点O 在直线AD 上，射线OC 平分①BOD. 求证：①AOC 与①BOC 互补.（2）参考小聪的画法，请在图4中画出一个AOH ∠，使AOH ∠与BOH ∠互余．（保留画图痕迹）（3）已知EPQ ∠和FPQ ∠互余，射线PM 平分EPQ ∠，射线PN 平分FPQ ∠. 若EPQ β∠=（090β︒<<︒），直接写出锐角MPN ∠的度数是__________________．OBAOCBAODCBA27．给定一个十进制下的自然数x ，对于x 每个数位上的数，求出它除以2的余数，再把每一个余数按照原来的数位顺序排列，得到一个新的数，定义这个新数为原数x 的“模二数”，记为2()M x ．如2(735)111M =，2(561)101M =．对于“模二数”的加法规定如下：将两数末位对齐，从右往左依次将相应数位上的数分别相加，规定：0与0相加得0；0与1相加得1；1与1相加得0，并向左边一位进1．如735、561的“模二数”111、101相加的运算过程如右图所示．根据以上材料，解决下列问题：（1）2(9653)M 的值为 ，22(58)(9653)M M +的值为 ；（2）如果两个自然数的和的“模二数”与它们的“模二数”的和相等，则称这两个数“模二相加不变”． 如2(124)100M =，2(630)010M =， 因为22(124)+(630)110M M =，2(124630)110M +=,所以222(124+630)(124)+(630)M M M =，即124与630满足“模二相加不变”． ①判断12，65，97这三个数中哪些与23“模二相加不变”，并说明理由；①与23“模二相加不变”的两位数有 个．1111011100+七年级第一学期期末调研数学参考答案 2020.1一、选择题（本题共30分，每小题3分）二、填空题（本题共16分，每小题2分）11. 丁. 12. 32x （不唯一） 13. 0′1°116 14. 小，两点之间线段最短 15. 2a 16. 1017. 418. B ，B ，12820注：① 第12题答案不唯一，只要符合题目要求的均可给满分；② 第14题每空1分；③ 第18题前两个空均答对给1分，第三个空1分.三、解答题（本大题共24分，第19题8分，第20题8分，第21题4分，第22题4分） 19．（每小题满分4分）（1）解：7(6)(4)(3)7612 …………………………………..2分 25 …………………………………..4分（2）解：2313(2)1()2341(8) …………………………………..2分128 …………………………………..3分 4 …………………………………..4分20．（每小题满分4分）（1）解：3265x x3562x x …………………………………..2分 24x…………………………………..3分2x …………………………………..4分（2）解：325123x x 3(32)2(5)16x x …………………………………..1分962106x x …………………………………..2分710x…………………………………..3分107x…………………………………..4分 21．（本小题满分4分）解： 222222(2)(6)3xy x y x y xy x y=222224263xy x y x y xy x y …………………………………..2分=22xy …………………………………..3分当2,1x y 时，原式222(1)4 ………………………………..4分22. （本小题满分5分） （1）（2）（3）如图所示：正确画出射线AC ，线段BC ………………………………….2分 正确画出线段AB 及延长线，点D 以及线段CD ………………………………….4分 正确画出点E 以及线段BE ………………………………….5分四、解答题（本大题共10分，第23题4分，第24题6分）23. （本小题满分4分） 解：(1) ∵2x，3y ，∴x y ， ………………………………..１分 ∴32337mx y. ………………………………..2分 （2）由已知条件可得4,x y m ，当4m 时，由43m m ，得2m ，符合题意； ………………………………..3分当4m 时，由43m m 得1m ，不符合题意，舍掉.∴2y. …………………………………..4分24. （本小题满分4分）解：(1) 32 …………………………………..1分A (2) 设巴西队积3分取胜的场数为x 场，则积2分取胜的场数为(5)x 场 ………………..2分 依题意可列方程 32(5)121x x ………………………………….4分 3210121x x 530x6x …………………………………..5分则积2分取胜的场数为51x ，所以取胜的场数为617答：巴西队取胜的场数为7场. …………………………………..6分 五、解答题（本大题共19分，25~26每题6分，27题7分） 25. （本小题满分6分） (1)① 0a b…………………………………..1分②∵M M 为AB 中点， ∴AMBM . …………………………………..2分∴m a b m . ∴2+=ba m . …………………………………..3分 (2) ①如图所示 …………………………………..4分②a c d b 或者c a b d …………………………………..6分26. （本小题满分6分）（1）证明：点O 在直线AD 上， ∴180AOB BOD . 即180AOB BOCCOD .∴180AOCCOD . …………………………………..1分OC 平分BOD ， ∴BOC COD .∴180AOCBOC .AOC BOC 与互补. ………………………………….2分（2）如图所示第 11 页 共 11 页或 ………………………4分 （3）45或|45| ………………………6分27．（本小题满分7分）解：（1） 10111101，………………………2分 （2）①2(23)01M ，2(12)10M ,22(12)(23)11M M ，2(1223)11M∴222(12)(23)(1223)M M M ，∴12与23 满足“模二相加不变”.2(23)01M ，2(65)01M ，22(65)(23)10M M ，2(6523)00M222(65)(23)(6523)M M M ,∴65与23不满足“模二相加不变”.2(23)01M ，2(97)11M ，22(97)(23)100M M ，2(9723)100M222(97)(23)(9723)M M M ,∴97与23满足“模二相加不变”…………………….5分 ②38……………………7分。
海淀区2023年初三二模数学试题及答案
海淀区九年级第二学期期末练习数 学 2023.05学校 姓名 准考证号第一部分 选择题一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1. 一个正五棱柱如右图摆放，光线由上到下照射此正五棱柱时的正投影是（A ） （B ） （C ） （D ）2. 下列运算正确的是 （A ）23a a +=25a（B ）a a a ⋅⋅=3a （C ）32()a =5a（D ）()a m n +=am an +3. 实数a 在数轴上对应点的位置如图所示．若实数b 满足a +b <0，则b 的值可以是（A ）2-（B ）1- （C ）0（D ）14. 如图，由正六边形和正三角形组成的图形为轴对称图形，该图形的对称轴的条数为 （A ）1 （B ）2 （C ）3（D ）45. 投掷两枚质地均匀的骰子，两枚骰子向上一面的点数相同的概率是 （A ）112（B ）16（C ）13（D ）126. 如果2a b -=，那么代数式221b a b a b ⎛⎫⋅+ ⎪+-⎝⎭的值是（A ）12（B ）1（C（D ）27. 如图，在正方形网格中，以点O 为位似中心，△ABC 的位似图形可以是 （A ）△DEF （B ）△DHF（C ）△GEH（D ）△GDH8.小明近期计划阅读一本总页数不低于300页的名著，他制定的阅读计划如下：若小明按照计划从星期x 开始连续阅读，10天后剩下的页数为y ，则y 与x 的图象可能为（A ） （B ）（C ） （D ）第二部分 非选择题二、填空题（共16题，每题2分） 9. 若代数式12x-有意义，则实数x 的取值范围是 ．10. 分解因式：24ax a -= ．l DCBA11. 用一个x 的值说明x =”是错误．．的，则x 的值可以是 ． 12. 如图，正方形ABCD ，点A 在直线l 上，点B 到直线l 的距离为3，点D 到直线l 的距离为2，则正方形的边长为 ．13. 在平面直角坐标系xOy 中，点1(1)A y ，和点2(3)B y ，在反比例函数k y x=的图象上．若12y y <，写出一个满足条件的k 的值 ．14. 咖啡树种子的发芽能力会随着保存时间的增长而减弱．咖啡树种子保存到三个月时，发芽率约为95％；从三个月到五个月，发芽率会逐渐降到75％；从五个月到九个月，发芽率会逐渐降到25％．农科院记录了某批咖啡树种子的发芽情况，结果如下表所示：据此推测，下面三个时间段中，这批咖啡树种子的保存时间是 （填“三个月内”“三至五个月”或“五至九个月”）．15．如图，AB 为☉O 的弦，C 为☉O 上一点，OC ⊥AB 于点D . 若OA =AB =6，则tan AOD ∠= ．16．四个互不相等的实数a ，b ，c ，m 在数轴上的对应点分别为A ，B ，C ，M ，其中a =4，b =7，c 为整数，m =0.2（a +b +c ）． （1）若c =10，则A ，B ，C 中与M 距离最小的点为 ；（2）若在A ，B ，C 中，点C 与点M 的距离最小，则符合条件的点C 有 个． 三、解答题（共 68 分，第 17 - 20 题，每题 5 分，第 21 题 6 分，第 22 题 5 分，第 23- 24 题，每题 6 分，第 25 题 5 分，第 26 题 6 分，第 27 - 28 题，每题 7 分） 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．计算：011t 1an 60(π20223--++-⎛⎫ ⎪⎝⎭o ）．18．解不等式12123x x --≥，并把它的解集在数轴上表示出来．19．如图，在△ABC 中，AB =AC ．（1）使用直尺和圆规，作AD ⊥BC 交BC 于点D （保留作图痕迹）；（2）以D 为圆心，DC 的长为半径作弧，交AC 于点E ，连接BE ，DE ．①∠BEC = °； ②写出图中一个．．与∠CBE 相等的角 ．20．已知关于x 的一元二次方程220x x m -+=(0m <).（1）判断方程根的情况，并说明理由；（2）若方程一个根为1-，求m 的值和方程的另一个根．21．在平面直角坐标系xOy 中，直线1y kx =-与12y x =交于点A （2，m ) ．（1）求k ，m 的值；（2）已知点P （n ，0) ，过点P 作垂直于x 轴的直线交直线1y kx =-于点M ，交直线12y x =于点N ．若MN=2，直接写出n 的值．22．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，E 为OA 中点．连接DE 并延长至点F ，使得EF=DE ．连接AF ，BF ． （1）求证：四边形AFBO 为平行四边形；（2）若∠BDA =∠BDC ，求证：四边形AFBO 为矩形．23．某企业生产甲、乙两款红茶，为了解两款红茶的质量，请消费者和专业机构分别测评．随机抽取25名消费者对两款红茶评分，并对数据进行整理、描述和分析，下面给出了部FEODCBA CBA分信息．a ．甲款红茶分数（百分制）的频数分布表如下：b ．甲款红茶分数在85≤x ＜90这一组的是：86 86 86 86 86 87 87 88 88 89c ．甲、乙两款红茶分数的平均数、众数、中位数如下表所示：根据以上信息，回答下列问题：（1）补全甲款红茶分数的频数分布直方图； （2）表格中m 的值为_______，n 的值为_______； （3）专业机构对两款红茶的条索、色泽、整碎、净度、内质、香气、滋味醇厚度、汤色、叶底来进行综合评分如下：甲款红茶93分，乙款红茶87分．若以这25名消费者评分的平均数和专业机构的评分按照6:4的比例确定最终成绩，可以认定_______款红茶最终成绩更高（填“甲”或“乙”）．24．如图，P 为☉O 外一点，P A ，PB 是☉O 的切线，A ，B 为切点，点C 在☉O 上，连接OA ，OC ，AC ．（1）求证：∠AOC =2∠P AC ；（2）连接OB ，若AC ∥OB ，☉O 的半径为5，AC =6，求AP 的长．25．小明发现某乒乓球发球器有“直发式”与“间发式”两种模式．在“直发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线；在“间发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条直线，球第一次接触台面到第二次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线．如图1和图2分别建立平面直角坐标系xOy ．图1 直发式 图2 间发式通过测量得到球距离台面高度y （单位：dm ）与球距离发球器出口的水平距离x （单位：dm ）的相关数据，如下表所示：表1 直发式表2 间发式根据以上信息，回答问题：（1）表格中m =_________，n =_________；（2）求“直发式”模式下，球第一次接触台面前的运动轨迹的解析式；（3）若“直发式”模式下球第一次接触台面时距离出球点的水平距离为1d ，“间发式”模式下球第二次接触台面时距离出球点的水平距离为2d ，则1d ______2d （填“>”“ =” 或“<”） ．26．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线220y ax bx a a =+++>（）过点（1，4a ＋2）．（1）求该抛物线的顶点坐标；（2）过抛物线与y 轴的交点作y 轴的垂线l ，将抛物线在y 轴右侧的部分沿直线l 翻折，其余部分保持不变，得到图形G ，()11M a y --，，()21N a y -+，是图形G 上的点，设12t y y =+. ①当1a =时，求t 的值； ②若69t ≤≤，求a 的取值范围．27．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC =2α（45°＜α＜90°），D 是BC 的中点，E 是BD 的中点，连接AE ．将射线AE 绕点A 逆时针旋转α得到射线AM ，过点E 作EF ⊥AE 交射线AM 于点F .（1）①依题意补全图形；②求证：∠B＝∠AFE；（2）连接CF，DF，用等式表示线段CF，DF之间的数量关系，并证明．28．在平面直角坐标系xOy中，对于△OAB和点P（不与点O重合）给出如下定义：若边OA，OB上分别存在点M，点N，使得点O与点P关于直线MN对称，则称点P为△OAB的“翻折点”．（1）已知A（3，0），B（0，．①若点M与点A重合，点N与点B重合，直接写出△OAB的“翻折点”的坐标；②P是线段AB上一动点，当P是△OAB的“翻折点”时，求AP长的取值范围；（2）直线34y x b=-+（b＞0）与x轴，y轴分别交于A，B两点，若存在以直线AB为对称轴，且斜边长为2的等腰直角三角形，使得该三角形边上任意一点都为△OAB的“翻折点”，直接写出b的取值范围．海淀区九年级第二学期期末练习数学试卷答案第一部分选择题一、选择题（共16分，每题2分）第二部分非选择题二、填空题（共16分，每题2分）9．2x≠10．()()22a x x+-11．1-（答案不唯一）1213．1-（答案不唯一）14．三至五个月15．316．A，3三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21题6分，第22题5分，第23-24题，每题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．（本题满分5分）解：原式211= (4)分=．……………………………………………………………5分18．（本题满分5分）解：去分母，得3(1)46x x-≥-． (1)分去括号，得3346x x-≥-．………………………………………………………2分移项，得3463x x-≥-+．合并同类项，得3x-≥-.……………………………………………………………3分系数化为1，得3x≤．………………………………………………………………4分解集在数轴上表示如图所示：…………………………………5分19．（本题满分5分）解：（1）∴AD即为所求. ………………………………………………………2分（2）①90；……………………………………………………………………4分②DEB∠（答案不唯一）. ………………………………………………5分20．（本题满分5分）解：（1）方程有两个不相等的实数根. …………………………………………………1分D CBAFEODCBA 理由如下：∵1a =，2b =-，c m =， ∴2(2)444m m ∆=--=-. ∵0m <， ∴0∆>.∴方程有两个不相等的实数根. ………………………………………………2分 （2）∵方程的一个根为1-，∴120m ++=.∴3m =-.………………………………………………………………………3分 ∴2230x x --=. ∴13x =，21x =-.∴方程的另一个根为3x =.……………………………………………………5分21. （本题满分6分）解：（1）∵点(2)A m ，在直线12y x =上， ∴1212m =⨯=. …………………………………………………………………2分∴点(21)A ，在直线1y kx =-上. ∴211k -=.∴1k =. …………………………………………………………………………4分 （2）2-或6.……………………………………………………………………………6分 22．（本题满分5分）（1）证明：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴OB OD =.…………………………………………………………………1分 ∵EF DE =， ∴OE BF ∥，12OE BF =. ∵E 为OA 中点， ∴12OE OA =.∴OA BF =.∴四边形AFBO 为平行四边形. …………………………………………3分（2）证明：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AD BC ∥. ∴CBD BDA ∠=∠. ∵BDA BDC ∠=∠， ∴CBD BDC ∠=∠. ∴CB CD =.∴平行四边形ABCD 为菱形.P∴AC BD ⊥. ∴90AOB ∠=°.∵四边形AFBO 为平行四边形，∴四边形AFBO 为矩形. ……………………………………………5分23．（本题满分6分）（1）补全甲款红茶分数的频数分布直方图………………………………2分（2）86，87；……………………………………………………………………………4分 （3）甲．…………………………………………………………………………………6分 24．（本题满分6分）（1） 证明：∵P A 是e O 的切线，切点为A ， ∴OA ⊥P A . ∴∠OAP =90°. ∴∠OAC =90°－∠P AC . ∵OA =OC ，∴∠OAC =∠OCA .∴∠AOC =180°－2∠OAC .∴∠AOC =2∠P AC . ………………………………………3分（2）解：延长AC 交PB 于点D ，过点O 作OE ⊥AC 于E . ∴∠OEC =90°. ∵OA =OC ，∴AE =EC ，∠AOE =∠COE. ∵∠AOC =2∠P AC ， ∴∠AOE =12∠AOC =∠P AC . ∵AC =6，e O 的半径为5，∴AE=12AC =3. ∴4OE ==. ∴cos ∠AOE =45OE OA =.∴cos ∠P AC =cos ∠AOE =45. ∵ PB 是e O 的切线，切点为B ， ∴ OB ⊥PB .∴∠OBP =90°. ∵AC ∥OB ，∴∠ADB =180°－∠OBP =90°. ∵∠OEC =90°， ∴四边形OEDB 是矩形. ∴ED =OB =5.∴AD =AE +ED =8. 在△APD 中，∠APD =90°， ∴AP =10cos ADPAC=∠. …………………………………………………6分25．（本题满分5分）（1）3.84，2.52； ………………………………………………………………………2分 （2）由题意可知，抛物线的顶点为（4，4），∴设抛物线的解析式为2(4)4y a x =-+. ∵当x ＝6时，y ＝3.96，∴23.96(64)4a =-+，解得 0.01a =-.∴抛物线的解析式为20.01(4)4y x =--+. ………………………………………4分 （3）= . ……………………………………………………………………………………5分 26.（本题满分6分）（1）∵抛物线22y ax bx a =+++ 过点()142a +，， ∴422a a b a +=+++.∴2b a =.………………………………………………………………………1分 ∴()222212y ax ax a a x =+++=++.∴抛物线的顶点坐标为()12-，.……………………………………………………2分 （2）①∵1a =，∴点()()1220M y N y -，，，，()212y x =++.∴12 3.y y ==∴12 6.t y y =+=…………………………………………………………………3分②∵222y ax ax a =+++， ∴直线l 的解析式为2y a =+. 当01a ＜＜时，110a a --+＜-＜，∴点M N ，在原抛物线上. ∴点M N ，关于1x =-对称. ∴12y y =.当0x =时，02y a =+. ∵0a ＞，∴抛物线开口向上.∴1x ≥-时，y 随x 的增大而增大. ∴20y y <.∴122(2)6t y y a =+<+<，不符合题意.当1a =时，由①可知6t =，符合题意. 当1a >时，101a a --<<+-.∴点M 在原抛物线上，点N 在原抛物线沿直线l 翻折后的抛物线上.∴点N 关于直线l 的对称点N '在原抛物线上.∴点()11M a y --，与点N '2124a a y -++-（，）关于1x =-对称.∴1224y a y =+-. ∴1224t y y a =+=+. ∵69t ≤≤， ∴512a ≤≤. ∴512a <≤. 综上所述， a 的取值范围是512a ≤≤.…………………………………………6分27.（本题满分7分）（1）①依题意补全图形.………………………………………1分②∵AB AC =，2BAC α∠=, ∴1802902B C αα︒-∠=∠==︒-.∵EF AE ⊥, ∴90AEF ∠=︒. ∵EAF α∠=, ∴90AFE α∠=︒-.∴B AFE ∠=∠. ………………………………3分（2） 线段CF 与DF 的数量关系为CF =DF . ………………………………4分证明：延长FE 至点G ，使EG =EF ，连接AG ，BG . ∵AE ⊥EF ， ∴AE 垂直平分GF . ∴AG =AF .∴∠GAE =∠EAF =α.∴∠GAF =∠GAE ＋∠EAF =2α. ∵∠BAC =2α， ∴∠GAF =∠BAC . ∴∠GAB =∠F AC . ∵AB =AC ，AG =AF ， ∴△AGB ≌△AFC （SAS ）. ∴GB =FC . ∵E 为BD 中点，BC∠°∠°MC∴BE=DE.∵∠GEB=∠DEF，∴△GBE≌△FDE（SAS）.∴GB=DF.∴DF=CF. ………………………………………………………………………7分28.（本题满分7分）（1）①9(2；…………………………………………………………………………2分②∵如图,点O与点P关于直线MN对称，∴MN垂直平分OP.∴OM=PM，ON=PN.∴点P为分别以点M，N为圆心，MO，NO为半径的圆的交点（其中一个交点为O，另一个交点为P）.………………………………………………………3分∵点M，N分别在OB，OA上，∴如图，点P所在的区域为分别以点A，B为圆心，OA，OB为半径的两圆内部的公共部分（含边界，不含点O），设两圆与线段AB分别交于C，D两点，则点P在线段CD上运动.∵A（3，0），B（0，，∴OA=AC=3，OB=BD=∵∠AOB=90°，∴AB=6.∴AP的最大值为3，AP的最小值为6-.∴63AP-≤.………………………………………………………………5分（2）b≥…………………………………………………………………………7分。
北京市海淀区2022-2023学年上学期期末九年级数学试卷及参考答案
海淀区九年级练习数学答案第一部分选择题一、选择题（本题共16分，每小题2分）第二部分非选择题二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（0，3）；10．3π；11．0.51（答案不唯一）；12．49<m ；13．<；14．1；15．2x >（答案不唯一，满足32x ≥即可）；16．①③④.三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21题6分，第22-23题，每题5分，第24-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）17.解：22161x x ，-+=+…………………………………………………………………………………1分2(1)7.x -=………………………………………………………………………………………3分∴1x -=.∴11x =+，21x =-.……………………………………………………………………5分18.解：∵抛物线22y x bx c =++过点（1，3）和（0，4），∴324.b c c ，ì=++ïí=ïî………………………………………………………………………………………2分解方程组，得34.b c ，ì=-ïí=ïî……………………………………………………………………4分∴抛物线的解析式是2234y x x =-+.………………………………………………………….5分19.解：∵a 为方程22310xx --=的一个根，∴22310a a --=.………………………………………………………………………1分题号12345678答案B A D AB C B B∴223 1.a a -=原式=22136a a a-+-……………………………………………………………………3分=2461a a --………………………………………………………………………4分=22(23)1a a --=211⨯-=1.…………………………………………………………………5分20.解：如图，连接AC.……………………………………………………………………1分∵»»BCCD =，∴∠DAC=∠BAC.…………………………………………2分∵50DAB ∠=o ，∴1252BAC DAB ∠=∠=o .………………………………3分∵AB 为直径，∴90ACB ∠=o .…………………………………………………………………4分∴9065B BAC ∠=-∠=o o .…………………………………………………………………5分21.解：（1）13；……………………………………………………………………2分（2）根据题意，可以画出如下树状图：……………………………………4分由树状图可以看出，所有可能出现的结果有9种，并且这些结果出现的可能性相等.小明和小天抽到同一场地训练（记为事件A ）的结果有3种，所以，P （A ）31==93.…………………………………………………………………………………6分22.（1）补全图形，如图所示：…………………………………………………………………2分（2）OA=OB ，……………………………………………………………………3分经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.…………………………………………5分23.解：如图，连接OB .……………………………………………………………………1分∵l 过圆心O ，l ⊥AB ，30AB =，∴1152BD AB ==.………………………………………3分∵5CD =，∴5DO r =-.∵222BO BD DO =+,∴22215(5)r r =+-.……………………………………………………………………4分解得25r =.∴这个紫砂壶的壶口半径r 的长为25mm .……………………………………………………………5分24.证明：（1）如图，连接OC .∵直线l 与⊙O 相切于点C ，∴OC ⊥l 于点C .………………………………………1分∴90OCD ∠=︒.∵BD l ⊥于点D ，∴90BDC ∠=︒.∴180OCD BDC ∠+∠=︒.∴OC //BD .………………………………………2分∴OCB CBD ∠=∠.∵OC OB =，∴OBC OCB ∠=∠.∴OBC CBD ∠=∠.∴BC 平分ABD ∠.………………………………………………………………………………3分（2）连接AC .∵AB 是⊙O 的直径，∴90ACB ∠=︒.…………………………………………………………………………………4分∵60ABD ∠=︒，∴OBC CBD ∠=∠=1302ABD ∠=︒.在Rt △BDC 中，∵30CBD ∠=︒，CD =3，∴26BC CD ==.…………………………………………………………………………………5分在Rt △ACB 中，∵30ABC ∠=︒，∴2AB AC =.∵222AC BC AB +=，∴AB =∴12OC AB ==.在Rt △OCD 中，∵222OC CD OD +=，∴OD =…………………………………………………………………………………6分25.解：（1）答案不唯一.如图，以抛物线顶点为原点，以抛物线对称轴为y 轴，建立平面直角坐标系.……………1分设这条抛物线表示的二次函数为y =ax 2.………………………………………………2分∵抛物线过点()5 6.25-，，∴25 6.25a =-.………………………………………………………………………………3分∴0.25a =-.∴这条抛物线表示的二次函数为20.25y x =-.………………………………………………4分（2）能实现；………………………………………………………………………………………5分a =………………………………………………………………………………………6分26.解：（1）Q 抛物线21y ax bx =++过点（2，1），∴22211a b ⋅+⋅+=.………………………………………………………………………………1分∴2b a =-.………………………………………………………………………………………2分（2）①<；…………………………………………………………………………………………3分②由（1）知2b a =-，∴221y ax ax =-+.∴抛物线对称轴为1x =.Q 抛物线过点M （﹣2，m ），N （1，n ），P （3，p ），∴81m a =+，1n a =-+，31p a =+.…………………………………………………4分当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为1x =，∴抛物线在1x =时，取得最小值n .Q M ，N ，P 恰有两点在x 轴上方，∴M ，P 在x 轴上方，N 在x 轴上或x 轴下方.∴81031010a a a +>⎧⎪+>⎨⎪-+≤⎩，解得1a ≥.………………………………………………………5分当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为1x =，∴抛物线在1x =时，取得最大值n ，且m p <.Q M ，N ，P 恰有两点在x 轴上方，∴N ，P 在x 轴上方，M 在x 轴上或x 轴下方.∴10310810a a a -+>⎧⎪+>⎨⎪+≤⎩，解得1138a -<≤-.综上，a 的取值范围是1138a -<≤-或1a ≥ (6)分27.（1）线段AD 与AE 的数量关系：AD ＝2AE ．…………………………………………………………1分证明：∵DE ⊥AC ，∴∠DEA ＝90°．∵∠BAC ＝120°，∴∠ADE ＝∠BAC －∠DEA ＝30°．∴AD ＝2AE ．…………………………………………………………2分（2）①补全图形，如图．…………………………………………………………3分②结论：△DCF是等边三角形．…………………………………………………………4分证明：延长BA至点H使AH＝AB，连接CH，FH，如图.∵AB＝AC，∴AH＝AC．∵∠HAC＝180°－∠BAC＝60°，∴△ACH是等边三角形．∴HC＝AC，∠AHC＝∠ACH＝60°．∴HF＝2AE，HF∥AE．…………………………5分∴∠FHA＝∠HAC＝60°．∴∠FHC＝∠FHA＋∠AHC＝120°．∴∠FHC＝∠DAC．∵AD＝2AE，∴HF＝AD．∵HC＝AC，∴△FHC≌△DAC．…………………………………………………………6分∴FC＝DC，∠HCF＝∠ACD．∴∠FCD＝∠ACH＝60°．∴△DCF是等边三角形．………………………………………………………7分28.（1）①P1，P3；………………………………………………………2分②线段AB融合点的轨迹为分别以点A，B为圆心，AB长为半径的圆及两圆内区域.……3分当直线y=t与两圆相切时，记为l1，l2.∵A（3，0），B（5，0），∴t=2或t=-2.………………………………………………………4分∴当-2≤t≤2时，直线y=t上存在线段AB的融合点.……………………………………………5分（21a≤≤或1a≤≤……………………………………………………7分l1l2。
北京市海淀区2022-2023学年九年级上学期期末考试数学试卷(word版,含答案)
北京市海淀区2022-2023学年九年级上学期期末考试数学试卷数 学2022.12第一部分选择题一、选择题(共16分，每题2分)第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1.刺绣是中国民间传统手工艺之一.下列刺绣图案中，是中心对称图形的为2.点A （1， 2）关于原点对称的点的坐标为(A)(-1， -2) (B) ( -1，2) (C) (1， -2) (D)(2，1)3.二次函数22y x =+的图象向左平移1个单位长度，得到的二次函数解析式为(A) 23y x =+ (B) 2(1)2y x =-+(C) 21y x =+ (D) 2(1)2y x =++4.如图，已知正方形ABCD ，以点A 为圆心，AB 长为半径作⊙A ， 点C 与⊙A 的位置关系为 (A)点C 在⊙A 外(B)点C 在⊙A 内 (C)点C 在⊙A 上(D)无法确定5.若点M(0，5)， N(2，5)在抛物线22()3y x m =-+上，则m 的值为 (A)2 (B) 1(C)0 (D) -16.勒洛三角形是分别以等边三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由 三段圆弧组成的曲边三角形.如图，该勒洛三角形绕其中心O 旋转一定角 度 a 后能与自身重合，则该角度a 可以为 (A) 30°(B ) 60°(C) 120° (D) 150°7.如图，过点A 作⊙O 的切线AB ， AC ，切点分别是B ， C ，连接BC.过BC 上 一点D 作⊙O 的切线，交AB ， AC 于煎E ，F.若∠A =90°，△AEF 的周长 为 4，则BC 的长为 (A)2 (B) 22(C)4 (D) 428.遥控电动跑车竞速是青少年喜欢的活动.如图是某赛道的部分通行路线示意图，某赛车从入口 4驶入，行至每个岔路口选择前方两条线路的可能性相同，则该赛车从F 口驶出的概率是(A)13 (B) 14 (C) 15 (D) 16第二部分非选择题二、填空题(共16分，每题2分)9.二次函数243y x x =-+的图象与y 轴的交点坐标为 . 10.半径为3，圆心角为120°的扇形的面积为 . 11.下表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果.根据以上数据，估计这名球员在罚球线上投篮一次，投中的概率为 .12.若关于x 的一元二次方程230x x m -+=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是 13.二次函数2y ax bx =+的图象如图所示，则ab 0（填“＞”“＜”或“=”）14.如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，OD ⊥AB 于点E ，若⊙O 的半径为2，∠ACB =45°，则OE= .15.对于二次函数2y ax bx c =++， y 与x 的部分对应值如表所示. x 在某一范围内，y 随x 的增大而减小，写出一个符合条件的x 的取值范围 .16.如图，AB ， AC ，AD 分别是某圆内接正六边形、正方形、等边三角形的一边.若AB= 2，下 面四个结论中，①该圆的半径为2 ； ②AC 的长为2π； ③AC 平分心∠BAD ；④连接BC ， CD ，则△ABC 与的面积比为13 所有正确结论的序号是 .三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21题6分，第22-23题，每题5分，第 24-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 17.解方程：226x x -=.18.已知抛物线22y x bx c =++过点（1， 3）和（0， 4），求该抛物线的解析式.19.已知a 为方程22310x x --=的一个根，求代数式(1)(1)3(2)a a a a +-+-的值.20.如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 为直径，BC =CD .若∠A=50°，求∠B 的度数.21.为了发展学生的兴趣爱好，学校利用课后服务时间开展了丰富的社团活动.小明和小天参加 的篮球社共有甲、乙、丙三个训练场.活动时，每个学生用抽签的方式从三个训练场中随机 抽取一个场地进行训练. （1）小明抽到甲训练场的概率为 ；（2）用列表或画树状图的方法，求小明和小天在某次活动中抽到同一场地训练的概率.22.已知：如图，AB 是⊙O 的切线，A 为切点. 求作：⊙O 的另一条切线PB ， B 为切点.作法：以P 为圆心，PA 长为半径画弧，交⊙O 于点B ； 作直线PB. 直线PB 即为所求.（1）根据上面的作法，补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面证明过程. 证明：连接OA ，OB ， OP. ∵PA 是⊙O 的切线，A 为切点， ∴OA ⊥PA. ∴∠ PAO = 90°. 在△PAO 与△PBO 中，______PA PB OP OP =⎧⎪=⎨⎪⎩∴△PAO ≌△PBO ∴∠PAO=∠PBO = 90°. ∴OB ⊥PB 于点 B. ∵是⊙O 的半径，∴PB 是⊙O的切线（ ）（填推理的依据）. 23.紫砂壶是我国特有的手工制造陶土工艺品，其制作过程需要几十种不同的工具，其中有一种工具名为“带刻度嘴巴架”，其形状及， 使用方法如图1.当制壶艺人把“带刻度嘴巴架”上圆弧部分恰好 贴在壶口边界时，就可以保证需要粘贴的壶嘴、壶把、壶口中心在一条直线上.图2是正确使用该工具时的示意图.如图3， ⊙O 为某紫砂壶的壶口，已知A ，B 两点在⊙O 上，直线l 过点O ，且l ⊥AB 于点D ，交⊙O 于点C.若AB=30mm ， CD =5mm ，求这个紫砂壶的壶口半径r 的长.24.如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上.过点C 作⊙O 的切线l ，过点B 作 BD ⊥l 于点D 。
海淀区2024届初三二模数学试题答案
海淀区九年级第二学期期末练习数学试卷参考答案第一部分选择题一、选择题（共16分，每题2分）第二部分非选择题二、填空题（共16分，每题2分）9．2x≠10．211．2312．答案不唯一，0k<即可13．135 14．<15．33 554 432 16．①③三、解答题（共68分，第17-19题，每题5分，第20-21题，每题6分，第22-23题，每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17. 解：原式1232=−⨯++………………………………………………………………..4分13=+4=+…………………………………………………………………5分18. 解：原不等式组为56342 2.x xx x+<⎧⎨−>+⎩，①②解不等式①，得1x>. ………………………………………………………………….2分解不等式②，得6x>. …………………………………………………………………..4分∴原不等式组的解集为6x>. ……………………………………………………………..5分19. 解：原式222222m mn n mn n=++−−22m n=−. ……………………………………………………………………….3分∵2230m n −−=，∴223m n −=. …………………………………………………………………………4分∴原式3=. ………………………………………………………………………… 5分 20．（1）证明：∵四边形ECDF 为平行四边形，∴EF // CD ，EF CD =. …………………………………………………………1分 ∵B ，C ，D 在一条直线上，BC CD =， ∴EF // BC ，EF =BC .∴四边形EBCF 为平行四边形. ……………………………………………………2分 ∵AE EC =，AB BC =， ∴EB AC ⊥.∴90EBC ∠=.∴四边形EBCF 为矩形. …………………………………………………………3分（2）解：∵A ，B ，C ，D 在一条直线上，AB BC CD ==，12AD =，∴4AB =. …………………………………………………………………….4分 ∵EB AC ⊥. ∴90EBA ∠=. ∵4cos 5A =. ∴5cos ABAE A==. …………………………………………………………………….5分 ∵AE EC =， ∴5EC =.∵四边形EBCF 为矩形， ∴5BF EC ==.∴BF 的长为5. ………………………………………………………………….6分21. 解：设中间弦的长度为x 个单位长. …………………………. ………………. ………………..1分由题意可得11111510x x−=−. …………………………………………………………….3分 解得 12x =. ……………………………………………………………………………. 4分 经检验，12x =是原方程的解且符合题意. ………………………………………………. 5分 答：中间弦的长度为12个单位长. ……………………………………………………….6分22．解：（1）∵一次函数(0)y kx b k =+≠的图象由函数12y x =的图象平移得到， ∴12k =. .…..…..……………………………………………………………………..1分 ∵一次函数(0)y kx b k =+≠的图象经过点(24)，，∴1242b ⨯+=. ∴3b =. .…..…..……………………………………………………………………..2分 ∴该一次函数的解析式为132y x =+. …………………...………………………..3分 （2）3n ≥. ….….….….…………………………………………………………………..5分23．解：（1）82； ….…….……………………………………..…………………………………..1分（2）143，163，1n ； ………………………………………………………………………... 4分 （3）154. ………………………………………………………………………….…..5分24.（1）证明：连接OA ，如图.∵OA OH =，AH OH =， ∴OA OH AH ==. ∴△AOH 为等边三角形.∴60AOH ∠=︒. …………………………………………………………………..….1分 ∵P A 切O 于点A ， ∴PA AO ⊥. ∴90PAO ∠=︒.∴30APO ∠=︒. ………………………………………………………………..….2分 ∵P A ，PB 分别切O 于点A ，B ， ∴PA PB =，30APO BPO ∠=∠=︒. ∴60APB ∠=︒.∴△ABP 为等边三角形. …………………………………………………………….3分（2）解：如图，连接BC .∵△ABP 为等边三角形，6AB =， ∴6PA PB AB ===.由（1）得，在Rt △P AO 中，90PAO ∠=︒，30APO ∠=︒.P∴tan 3063OA PA =︒=⨯= ∴O的半径为. ……………………………..…………………………4分 ∵△AOH 为等边三角形. ∴60HAO HOA ∠=∠=︒.由（1）得PA PB =，APO BPO ∠=∠， ∴PO AB ⊥. ∵AC // PO ， ∴AC AB ⊥. ∴90BAC ∠=︒.∴BC 是O 的直径. ………………………..…………………………5分∴BC = ∵PB 切O 于点B ， ∴PB BC ⊥. ∴90PBC ∠=︒.∴tan BC CPB PB ∠===………………………..…………………………6分 25.解：a . 6； ………………………………………………………..……………………………..1分b . 图象如下图.………………………………………..…………………………………....2分 不能. ……………………………………………………..……………………………..3分y（h ）P（1） 4； …………………………………………………………..……………………………..4分 （2） 小于. ……………………………………………..……………………………..……..5分 26.解：（1） ＜； ………………………………………………………………………………………2分（2）∵0a >， 抛物线的对称轴为x t =，∴ 当x t ≥时，y 随x 的增大而增大；当x t ≤时，y 随x 的增大而减小. ① 当7t ≥时，122t t t <<.点(2)B t n ，关于抛物线对称轴x t =的对称点为'(0)B n ，， 此时点,',A B C 均在抛物线对称轴左侧. ∵对于067x <<，都有0m y n <<，∴06,17.2t ≤⎧⎪⎨≥⎪⎩解得 14t ≥. ② 当67t <<时，取0x t =，此时0y 为最小值，与0m y <矛盾，不符合题意. ③ 当06t <≤时，122t t t <<.点1()2A t m ，关于抛物线对称轴x t =的对称点为3'()2A t m ，， 此时点',,ABC 均在抛物线对称轴右侧. ∵对于067x <<，都有0m y n <<， ∴36,227.t t ⎧≤⎪⎨⎪≥⎩解得742t ≤≤. ④ 当0t =时，122t t t ==，m n =，不符合题意. ⑤ 当0t <时，122t t t <<.点(2)B t n ，关于抛物线对称轴x t =的对称点为'(0)B n ，， 此时点',B C 在抛物线对称轴右侧. ∵'06B x x <<， ∴0n y <，不符合题意.综上所述，t 的取值范围是742t ≤≤或14t ≥. …………………………………………6分 27.（1）补全图形如图1：图1…………………………………………………………………………………………1分 证明：设E α∠=，则22BAC E α∠=∠=.∵AB AC =， ∴180902BACABC ACB α︒−∠∠=∠==︒−.由平移可知，BC // DE ，BC DE =.∴四边形BCED 为平行四边形. ……………………………………………………2分 ∴CBD E α∠=∠=. ∵BC // DE ，∴90CDE ACB α∠=∠=︒−. ∴90CBD CDE ∠+∠=︒.∴CBD ∠与CDE ∠互余. ………………………………………………………3分（2）CBD ∠与BAE ∠之间的数量关系为12CBD BAE ∠=∠. …………………4分解：如图2，连接BE ，交AC 于点O ，延长AC 至F ，使OF OA =，连接EF .图2BB由（1）可得，四边形BCED 为平行四边形.∴OB OE =.∵OA OF =，BOA EOF ∠=∠，∴△BOA ≌△EOF .∴AB FE =，BAO EFO ∠=∠. ∵AC 平分BAE ∠，∴12BAO EAO BAE ∠=∠=∠.∴EFO EAO ∠=∠. ∴AE FE =.∴AB AE =. ………………………………………………………………………5分 ∵OB OE =， ∴AC BE ⊥.∴四边形BCED 为菱形.∴BD BC =. ……………………………………………………………………………6分 ∴BDC BCD ∠=∠.∴在△BCD 中，2180CBD BCD ∠+∠=︒. ∵在△ABC 中，2180BAC BCD ∠+∠=︒. ∴BAC CBD ∠=∠.∴12CBD BAE ∠=∠. ………………………………………………………………7分28.（1）如图，四边形ABCD 即为所求.……………………………………………………………………………………………….1分x点D 的坐标为(1,2)D −. …………………………………………………………………..2分 （2）如图，弦AB 的弦切四边形为正方形ABCD ，设正方形ABCD 的边长为a ，CD 与O 的切点为E ，连接EO 并延长交AB 于点F . ∵CD 与O 的切点为E ，EF 经过圆心O ， ∴EF CD ⊥.∵四边形ABCD 为正方形， ∴AB // CD ，AB BC a ==. ∴EF AB ⊥. ∴1122AF AB a ==，EF BC a ==. ∵1OE =， ∴1OF a =−.在Rt △OAF 中，由勾股定理得，222OA OF AF =+.∴22211(1)()2a a =−+.解得 85a =. ∴AB 的长为85. ………………………………………………………………………..5分（3）05t <≤或2t =. ………………………………………………………………………..2分。
2019-2020学年北京市海淀区九年级(上)期末数学试卷
6.如图， 交 于点 ， 切 于点 ，点 在 上．若 ＝ ，则 为（）
A. B. C. D.
7.在同一平面直角坐标系 中，函数 ＝ 与 的图象可能是（）
A. B.
C. D.
8.在平面直角坐标系 中，将横纵坐标之积为 的点称为“好点”，则函数 ＝ 的图象上的“好点”共有（）
A. 个B. 个C. 个D. 个
①若点 在直线 上，则点 的 倍相关圆的半径为________．
②点 在直线 上，点 的 倍相关圆的半径为 ，若点 在运动过程中，以点 为圆心， 为半径的圆与反比例函数 的图象最多有两个公共点，直接写出 的最大值．
参考答案与试题解析
2019-2020学年北京市海淀区九年级（上）期末数学试卷
如图，在 与 中， ，且 ＝ ．求证： ．
某司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以 的平均速度用 到达目的地．
（1）当他按原路匀速返回时，汽车的速度 与时间 有怎样的函数关系？
（2）如果该司机返回到甲地的时间不超过 ，那么返程时的平均速度不能小于多少？
如图，在 中， ， 于点 ， 于点 ．
（1）求证： ＝ ；
（1）在点 ， 中，存在 倍相关圆的点是________，该点的 倍相关圆半径为________．
（2）如图 ，若 是 轴正半轴上的动点，点 在第一象限内，且满足 ＝ ，判断直线 与点 的 倍相关圆的位置关系，并证明．
（3）如图 ，已知点 的 ， ，反比例函数 的图象经过点 ，直线 与直线 关于 轴对称．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
反比例函数 的图象经过 ， 两点，则 ．（填“ ”，“＝”或“ ”）
如果关于 的一元二次方程 ＝ 的一个解是 ＝ ，则 ＝________．
2020-2021学年北京市海淀区九上期末数学(含答案)
2020-2021学年北京市海淀区九上期末数学试卷一、选择题1.已知反比例函数y=kx的图象经过点A(2,3)，则k的值为( )A．3B．4C．5D．62.围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．2017年5月，世界围棋冠军柯洁与人工智能机器人AlphaGo进行围棋人机大战．截取首局对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是( )A．B．C．D．3.不透明袋子中有1个红球和2个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，恰好是红球的概率为( )A．13B．12C．23D．14.如图，△ABC中，点D，E分别在边AB，AC的反向延长线上，且DE∥BC．若AE=2，AC=4，AD=3，则AB为( )A．9B．6C．3D．325.在下列方程中，有一个方程有两个实数根，且它们互为相反数，这个方程是( )A．x−1=0B．x2+x=0C．x2−1=0D．x2+1=06.如图，⊙O的内接正六边形ABCDEF的边长为1，则BC⏜的长为( )A．14πB．13πC．23πD．π7.已知二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，则使得函数值y大于2的自变量x的取值可以是( )A．−4B．−2C．0D．28.下列选项中，能够被半径为1的圆及其内部所覆盖的图形是( )A．长度为√5的线段B．斜边为3的直角三角形C．面积为4的菱形D．半径为√2，圆心角为90∘的扇形二、填空题9.写出一个二次函数，使得它有最小值，这个二次函数的解析式可以是．10.若点(1,a)，(2,b)都在反比例函数y=4的图象上，则a，b大小关系是：a b（填“>”“=”或“<”）．x11.如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，若腰AB与⊙O相切．则AC与⊙O的位置关系为（填“相交”、“相切”或“相离”）．12.关于x的一元二次方程x2−3x+m=0有一个根是x=1，则m=．13.某城市启动“城市森林”绿化工程，林业部门要考察某种树苗在一定条件下的移植成活率．在同样条件下，对这种树苗进行大量移植，并统计成活情况，数据如下表所示：移植总数10270400750150035007000900014000估计树苗移植成活的概率是成活数量8235369662133532036335807312628成活频率0.8000.8700.9230.8830.8900.9150.9050.8970.902（结果保留小数点后一位）．14.如图，在测量旗杆高度的数学活动中，某同学在脚下放了一面镜子，然后向后退，直到他刚好在镜子中看到旗杆的顶部．若眼睛距离地面AB=1.5m，同时量得BC=2m，CD=12m，则旗杆高度DE=m．15. 如图，在 Rt △ABC 中，∠ABC =90∘，AB =BC =3．点 D 在 AC 上，且 AD =2，将点 D 绕着点 A 顺时针方向旋转，使得点 D 的对应点 E 恰好落在 AB 边上，则旋转角的度数为 ，CE 的长为 ．16. 已知双曲线 y =−3x 与直线 y =kx +b 交于点 A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)．（1）若 x 1+x 2=0，则 y 1+y 2= ．（2）若 x 1+x 2>0 时，y 1+y 2>0，则 k 0，b 0（填“>”，“=”或“<”）．三、解答题17. 解方程：x 2−4x +3=018. 如图，在 Rt △ABC 和 Rt △ACD 中，∠B =∠ACD =90∘，AC 平分 ∠BAD ．(1) 证明：△ABC ∽△ACD ．(2) 若 AB =4，AC =5，求 BC 和 CD 的长．19. 如图 1 是博物馆展出的古代车轮实物，《周礼 ⋅ 考工记》记载：“⋯⋯ 故兵车之轮六尺有六寸，田车之轮六尺有三寸 ⋯⋯”据此，我们可以通过计算车轮的半径来验证车轮类型，请将以下推理过程补充完整． 如图 2 所示，在车轮上取 A ，B 两点，设 AB⏜ 所在圆的圆心为 O ，半径为 rcm ． 作弦 AB 的垂线 OC ，D 为垂足，则 D 是 AB 的中点，其推理依据是： ， 经测量：AB =90cm ，CD =15cm ，则 AD = cm ； 用含 r 的代数式表示 OD ，OD = cm ．在 Rt △OAD 中，由勾股定理可列出关于 r 的方程：r 2= ， 解得 r =75．通过单位换算，得到车轮直径约为六尺六寸，可验证此车轮为兵车之轮．20. 文具店购进了 20 盒“2B ”铅笔，但在销售过程中，发现其中混入了若干“HB ”铅笔．店员进行统计后，发现每盒铅笔中最多混入了 2 支“HB ”铅笔，具体数据见下表：混入"HB"铅笔数012盒数6mn(1) 用等式写出m，n所满足的数量关系．(2) 从20盒铅笔中任意选取1盒：①“盒中没有混入‘ HB’铅笔”是事件（填“必然”、“不可能”或“随机”）．②若“盒中混入1支‘ HB’铅笔”的概率为1，求m和n的值．421.如图，在平面直角坐标系xOy中，线段AB两个端点的坐标分别为A(1,2)，B(4,2)，以点O为位似中心，(x>0)的图象上．相似比为2，在第一象限内将线段AB放大得到线段CD，已知点B在反比例函数y=kx(1) 求反比例函数的解析式，并画出图象．(2) 判断点C是否在此函数图象上．(3) 点M为直线CD上一动点，过M作x轴的垂线，与反比例函数的图象交于点N，若MN≥AB，直接写出点M横坐标m的取值范围．22.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90∘，点D在BC边上，以CD为直径的⊙O与直线AB相切于点E、且E是AB中点，连接OA．(1) 求证：OA=OB．(2) 连接AD，若AD=√7，求⊙O的半径．23.在平面直角坐标系xOy中，点P(m,y1)在二次函数y=x2+bx+c的图象上点Q(m,y2)在一次函数y=−x+4的图象上．(1) 若二次函数图象经过点(0,4)，(4,4)．①求二次函数的解析式与图象的顶点坐标．②判断m<0时，y1与y2的大小关系．(2) 若只有当m≥1时，满足y1⋅y2≤0，求此时二次函数的解析式．24.已知∠MAN=45∘，点B为射线AN上一定点，点C为射线AM上一动点（不与点A重合）点D在线段BC的延长线上，且CD=CB．过点D作DE⊥AM于点E．(1) 当点C运动到如图1的位置时，点E恰好与点C重合，此时AC与DE的数量关系是．(2) 当点C运动到如图2的位置时，依题意补全图形，并证明：2AC=AE+DE．(3) 在点C运动的过程中，点E能否在射线AM的反向延长线上？若能，直接用等式表示线段AC，AE，DE之间的数量关系；若不能，请说明理由．25.如图1，对于△PMN的顶点P及其对边MN上的一点Q，给出如下定义：以P为圆心，PQ为半径的圆与直线MN的公共点都在线段MN上，则称点Q为△PMN关于点P的内联点．在平面直角坐标系xOy 中：(1) 如图2，已知点A(7,0)，点B在直线y=x+1上．①若点B(3,4)，点C(3,0)，则在点O，C，A中，点是△AOB关于点B的内联点．②若△AOB关于点B的内联点存在，求点B纵坐标n的取值范围．(2) 已知点D(2,0)，点E(4,2)，将点D绕原点O旋转得到点F．若△EOF关于点E的内联点存在．直接写出点F横坐标m的取值范围．答案一、选择题 1. 【答案】D【原文】【解析】 ∵ 反比例函数 y =kx 的图象经过点 A (2,3)， ∴k =2×3=6．2. 【答案】A【原文】3. 【答案】A【原文】【解析】 ∵ 不透明袋子中有 1 个红球和 2 个绿球，共有 3 个球，∴ 从袋子中随机取出 1 个球是红球的概率是 13．4. 【答案】B【原文】【解析】 ∵DE ∥BC ，∴AEAC =ADAB ，∵AE =2，AC =4，AD =3， ∴24=AD AB ，∴AB =6．5. 【答案】C【原文】【解析】A 选项：x −1=0，得 x =1，故A 错误；B 选项：x 2+x =x (x +1)=0，解得 x =0 或 x =−1，故B 错误；C 选项：x 2−1=(x +1)(x −1)=0，解得 x =±1，故C 正确；D 选项：x 2+1=0，得 x 2=−1，解不存在，无解，故D 错误．6. 【答案】B【原文】【解析】连接 OB ，OC ．∵ 六边形 ABCDEF 是 ⊙O 的内接正六边形，∴∠BOC =360∘6=60∘，∴BC⏜=60π×1180=π3．7. 【答案】B【原文】【解析】由二次函数的图象可得当0≤x时，y的范围为y≤2，则排除选项C，D，又二次函数的对称值x=x1，其值−2<x1<−1，则依据对称性有当x=−4时，其函数值y与x=1时的值比较接近，即y值在0的附近，故排除A选项，又依据对称性，当x=−2时，其值与x=−1时的值接近，由图象很明显的可得到x=−1时或当x值介于对称轴与0之间时(x≠0)，其函数值明显大于2．8. 【答案】D【原文】【解析】A选项：半径为1的圆中，最长的弦为2．∵√5>√4．∴√5>2．∴半径为1的圆不能覆盖长度为√5的线段．故A错误；B选项：半径为1的圆能覆盖的直角三角形的斜边长最大为2．故半径为1的圆不能覆盖斜边为3的直角三角形．故B错误；C选项：半径为1的圆能覆盖的菱形最大面积为12×2×2=2，故半径为1的圆不能覆盖面积为4的菱形．故C错误；D选项：如图所示，⊙O的半径为1．AC=BC=√2，∠ACB=90∘．扇形ACB是半径为√2，圆心角为90∘．∴半径为1的圆能覆盖半径为√2，圆心角为90∘的扇形．故D正确．二、填空题9. 【答案】y=x2（答案不唯一，开口向上的二次函数即可）；【原文】10. 【答案】>；【原文】【解析】把A(1,a)，B(2,b)代入反比例函数y=4x中得：a=41=4，b=42=2，则a>b．11. 【答案】相切；【原文】【解析】根据题意以点为圆心作圆切AB于点D，连接OD，作OF⊥AC于F，如图，∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，∴AO⊥BC，AO平分∠BAC，∵AB与⊙O相切于点D，∴OD⊥AB，而OF⊥AC，∴OF=OD，∴AC是⊙O的切线．12. 【答案】2；【原文】【解析】将x=1代入式中x有一解为1，代入式中求出m值，x2−3x+m=01−3+m=0m=2．13. 【答案】0.9；【原文】【解析】由表格中树苗的成活频率估计概率可知，树苗移植成活的概率是0.9．14. 【答案】9；【原文】【解析】根据镜面反射原理可知，∠ACB=∠DCE，∵∠ABC=∠EDC=90∘，∴△ABC∽△EDC．∴ABED =BCCD．∵CD=12，AB=1.5，BC=2，∴ED=9．故旗杆的高度DE为9米．15. 【答案】45∘；√10；【原文】【解析】∵AB=BC=3，∠ABC=90∘，∴∠BAC=∠C=45∘，∴旋转角为45∘，∵AD=AE=2，∴BE=AB−AE=1，在Rt△BCE中，CE=√BC2+BE2=√32+12=√10．16. 【答案】0；<；>；【原文】【解析】（1）∵y1=−3x1，y2=−3x2，x1+x2=0代入，y1+y2=−3x1+(−3x2)=−3(x1+x2)x1x2=0.（2）∵x1+x2>0，y1+y2>0，(x1,y1)，(x2,y2)相当于两个方程联立的解，即kx+b=−3x，∴−kx2−bx−3=0，又∵x1+x2=−bk >0，两根之和为−ba，又∵y1+y2=k(x1+x2)+2b=b>0，（x1+x2=−bk代入），∴b>0，又∵−bk>0，∴k<0，∴k<0，b>0．三、解答题17. 【答案】x2−4x+3=0,(x−1)(x−3)=0,x−1=0,x−3=0,x1=1,x2=3.【原文】18. 【原文】【答案】(1) ∵AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠CAD，∵∠B=∠ACD=90∘，∴△ABC∽△ACD．(2) 在Rt△ABC中，BC=√AC2−AB2=√52−42=3，由（1）知△ABC∽△ACD，∴ABBC =ACCD，∵AB=4，BC=3，∴43=5CD，解得CD=154．19. 【答案】垂直于弦的直径平分弦；45；(r−15)；(r−15)2+452【原文】20. 【原文】【答案】(1) m+n=14；(2) ① 随机；②根据题意，可得m20=14，∴m=5，∴n=20−6−m=14−5=9.；【解析】(1) 根据题意可得：m+n=20−6，即m+n=14．(2) ①“盒中没有混入‘ HB’ 铅笔”是随机事件．21. 【原文】【答案】(1) ∵点B(4,2)在反比例函数y=kx(x>0)的图象上，∴k=4×2=8，∴反比例函数的解析式为y=8x，反比例函数y=8x经过(1,8)，(2,4)，(4,2)，(8,1)等点，描点用平滑的曲线连接各点，即可得到函数图象，如图所示：(2) 以O为位似中心，相似比为2，将线段AB放大得到线段CD，如图所示，则C点坐标为(2,4)，∵2×4=8，∴点C(2,4)在反比例函数y=8x的图象上．(3) 0<m≤87或m≥8．【解析】(3) ∵点C的坐标为(2,4)，点D的坐标为(8,4)，∴直线CD即为y=4，∵点M在直线CD上，∴设M点坐标为(m,4)，∵MN⊥x轴，∴N点坐标为(m,8m)，∴MN=∣∣8m−4∣∣，∵MN ≥AB ，AB =3，∴MN ≥3，∴∣∣8m −4∣∣≥3，当 8m −4≥3 时，8m ≥7，0<m ≤87，当 4−8m ≥3 时，8m≤1，m ≥8， ∴ 点 M 横坐标 m 的取值范围是 0<m ≤87 或 m ≥8．22. 【原文】【答案】(1) 连接 OE ，∵⊙O 与直线 AB 相切于 E ，∴OE ⊥AB ．又 ∵E 为 AB 的中点，∴OE 为 AB 的垂直平分线，∴OA =OB ．(2) ∵OE ⊥AB ，故 ∠OEB =90∘．又 ∵∠ACB =90∘，∠B 为 △OEB 与 △ACB 的公共角，∴△OEB ∽△ACB ，∴OB AB =OE AC ，设 AC =x ，OC =OE =r ．在 △ADE 和 △AOC 中，{OE =OC,∠OEA =∠OEB =90∘,AO =AO,∴△AOE ≌△AOC (SAS )，∴AC =AE =x ．∵E 为 AB 中点，∴AB =2AE =2AC =2x ，OB =√OE 2+BE 2=√r 2+x 2，OB AB =OE AC 即 √x 2+r 22x =r x 可得 x =√3r ，在 Rt △AOC 中 AO =BO =√r 2+x 2，在 Rt △ADC 中 AD 2=AC 2+DC 2，即 (√7)2=x 2+(2r )2，将 x =√3r 代入，即 7r 2=7，r =1．23. 【原文】【答案】(1) ①代入 (0,4)，(4,4)，{c =4,16+4b +c =4, ∴{b =−4,c =4,∴y =x 2−4x +4．顶点(2,0)．②如图所示，当m=0时，y1=y2，当m<0时，y1在y2上方，故y1>y2．(2) 当m≥1时，y1⋅y2≤0，即(m2+mb+c)(−m+4)≤0，当1≤m≤4时，m2+mb+c≤0．m>4时，m2+mb+c>0．题中“只有”当m≥1时，说明1、4是二次函数两个根，代入可得b=−5，c=4，∴二次函数解析式：y=x2−5x+4．24. 【原文】【答案】(1) AC=DE；(2) 补全图如图二：在射线AM取点F，使AC=CF，在△ABC和△FDC中，{AC=CF,∠BCA=∠DCF, BE=DC,∴△ABC≌△FDC(SAS)，∵DE⊥AM，∠DFC=∠BAC=45∘，∴DE=EF，∴AF=2AC=AE+EF=AE+DE，∴2AC=AE+DE．(3) 2AC=AE−DE．【解析】(1) ∵DE⊥AM，D在线段BC的延长线上，∴B，C，D三点共线，∴BC⊥AC，在Rt△ABC中，∠BAC=45∘，∴∠ABC=45∘，∴AC=BC，又∵CD=CB，∴AC=DC=DE．(3) 结论：2AC=AE−DE，证明：如图三，作BF⊥EM，在△CED和△CFB中，{∠BCF=∠DCE,∠BFC=∠DEC, BC=CD,∴△CED≌△CFB(AAS)，∴DE=BF，CE=CF，∵∠MAN=45∘，∴BF=AF，∴AF=DE，∴AF=AC+CF=AC+EC=AC+AC+AE=2AC+AE，∵AF=DE，∴DE=2AC+AE，∴2AC=AE−DE．25. 【原文】【答案】(1) ① O，C②①点B为(0,1)时，此时以BO为半径作圆可以得到点O是△ADB关于点B的内联点，∴n≥1，此时若B往左移，作图发现将不再有内联点．②点B为(7,8)时，以BA为半径作圆可以得到点A是△AOB关于点B的内联点，∴n≤8，此时若点B往右移，作图发现将不再有内联点，综上，1≤n≤8；(2) −2√55≤m<4√55．【解析】(1) ①分别以BO，BC，BA为半径作圆，如图所示，以BO为半径作圆，OB与OA有2个公共点，且都在线段OA上，∴点O是ADB关于点B的内联点；以BC为半径作圆，只有一个公共点C，在线段OA上，符合定义；以BA为半径作圆，有2个公共点，但其中一个不在线段OA上，不符合；综上，O，C是△AOB关于点B的内联点．故答案为：O；C．(2) 将点 D 绕原点 O 旋转得到点 F ，说明点 F 在以 O 为圆心，半径为 2 的圆上，如下图：当 ∠EFO 为直角时，如下图：有两处满足条件，即上图中的点 F 和 Fʹ，其中点 F 横坐标为 0，EF =4，OF =2，同时 △EOF ≌△EOFʹ， 过点 Fʹ 作 y 轴的垂线，过点 E 作 x 轴的垂线，如下图：我们可证明 △OGFʹ∽△FʹHE ，其中 OFʹ=2，EFʹ=4，即相似比为 1:2，而 GFʹ=m ，FH =2m ，FʹH =4−m ，在 Rt △EFʹH 中，由勾股定理 16=(4−m )2+(2m )2，解得 m =0或85． 当 ∠EOF 为直角时，如下图：同样有两处满足条件，即上图中的点 F 和 Fʹ，以点 F 横坐标求解为例，我们过点 F ，E 分别向 x 轴作垂线，如下图：我们可证明 △FOM ∽△OEN ，其中 OE =2√5，OF =2，EN =2，OM =2√55，而点 F 与 Fʹ 关于原点 O 对称，因此点 F 横坐标为 −2√55，点 Fʹ 横坐标为 2√55． 故当 −2√55≤m ≤0 或 2√55≤m ≤85 时，△EOF 关于点 F 的内联点存在．。
北京市海淀区2019_2020学年七年级数学下学期期末试卷含解析
北京市海淀区2019-2020学年七年级数学下学期期末试卷一.选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有-一个.1．的平方根是（）A．3 B．±3 C．D．±2．在平面直角坐标系中，点P（﹣3，2）在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．如图，O是BC上一点，AO⊥BC于点O，直线DE经过O点，∠BOD＝25°，则∠AOE的度数为（）A．100°B．105°C．115°D．125°4．数轴上点P表示的数可能是（）A．B．C．D．5．不等式x﹣3≤3x+1的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．6．下列调查：①了解某批种子的发芽率；②了解某班学生对“社会主义核心价值观”的知晓率；③了解某地区地下水水质；④了解七年级（1）班学生参加“开放性科学实践活动”完成次数．适合采取全面调查的是（）A．①③B．②④C．①②D．③④7．已知：OA⊥OC，∠AOB：∠BOC＝1：3，则∠BOC的度数为（）A．67.5°B．135°C．67.5°或135°D．无法确定8．某调查机构对某地互联网行业从业情况进行调查统计，得到当地互联网行业从业人员年龄分布统计图和当地90后从事互联网行业岗位分布统计图：对于以下四种说法，你认为正确的是（）①在当地互联网行业从业人员中，90后人数占总人数的一半以上②在当地互联网行业从业人员中，80前人数占总人数的13%③在当地互联网行业中，从事技术岗位的90后人数超过总人数的20%④在当地互联网行业中，从事设计岗位的90后人数比80前人数少A．①③B．②④C．①②D．③④二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．若x﹣1有平方根，则实数x的取值范围是．10．已知，是二元一次方程ax+2y＝6的一个解，那么a的值为．11．平面直角坐标系数中点M（a，a+3）在x轴上，则a＝．12．把命题“对顶角相等”写成“如果…，那么…”的形式为：如果，那么．13．已知+|x2﹣3y﹣13|＝0，则x+y＝．14．如图，有一条直的等宽纸带按图折叠时，则图中∠α＝．15．已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x+y＜3，则m的取值范围为．16．下面是小满的一次作业，老师说小满的解题过程不完全正确，并在作业旁写出了批改．长跑比赛中，张华跑在前面，在离终点100m时他以4m/s的速度向终点冲刺，在他身后．10m的李明需以多快的速度同时开始冲刺，才能在张华之前到达终点？解：设李明以xm/s的速度开始冲刺．依题意，得＜，两边同时除以25，得x＞4.4．答：李明需以大于4.4m/s的速度同时开始冲刺，才能在张华之前到达终点．请回答：必须添加“根据实际意义可知，x＞0”这个条件的理由是．三.解答题（本题共68分，第17、19、20、21题，每小题5分，第18题10分，第22-25题，每小题5分，第26-27题，每小题5分）17．（5分）计算：+﹣+|﹣2|．18．（10分）解方程或方程组：（1）2（x﹣1）2＝8；（2）．19．（5分）解不等式组：，并写出该不等式组的非负整数解．20．（5分）故宫是世界上现存规模最大，保存最完整的宫殿建筑群．小赵和小钱在学校组织的综合实践活动中来到故宫学习，他们建立了相同的坐标系描述各景点的位置．小赵：“养心殿在原点的西北方向．”小钱：“太和门的坐标是（0，﹣1）．”实际上，他们说的位置都是正确的．你知道这两位同学是如何建立平面直角坐标系的吗？（1）依据两位同学的描述，可以知道他们选择景点为原点，建立了平面直角坐标系；（2）在图中画出这两位同学建立的平面直角坐标系；（3）九龙壁的坐标是，景仁宫的坐标是．21．（5分）完成下面的证明：已知：如图，DE∥BC，BE，DF分别是∠ABC，∠ADE的角平分线，求证：∠1＝∠2．证明：∵DE∥BC，∴∠ABC＝∠ADE，（）∵BE，DF分别是∠ABC，∠ADE的角平分线，∴∠3＝∠ABC；∠4＝∠ADE，∴∠3＝∠4，（）∴∥，（）∴∠1＝∠2．（）22．（6分）已知△A′B′C′是由△ABC经过平移得到的，它们各顶点在平面直角坐标系中的坐标如下表所示：△ABC A（a，1）B（3，3）C（2，﹣1）△A′B′C′A′（4，4）B′（9，b）C′（c，2）（1）观察表中各对应点坐标的变化，并填空：a＝，b＝，c＝；（2）在平面直角坐标系中画出△ABC及平移后的△A′B′C′；（3）直接写出△A′B′C′的面积是．23．（6分）“全名阅读”深入人心，好读书，读好书，让人终身受益．为满足同学们的读书需求，学校图书馆准备到新华书店采购文学名著和动漫书两类图书．经了解，20本文学名著和40本动漫书共需1600元，20本文学名著比20本动漫书多400元（注：所采购的文学名著价格都一样，所采购的动漫书价格都一样）．（1）求每本文学名著和动漫书各多少元？（2）若学校要求购买动漫书比文学名著多20本，而且文学名著不低于25本，总费用不超过2000，请求出所有符合条件的购书方案．24．（6分）经过举国上下抗击新型冠状病毒的斗争，疫情得到了有效控制，国内各大企业在2月9日后纷纷进入复工状态．为了了解全国企业整体的复工情况，我们查找了截止到2020年3月1日全国部分省份的复工率，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了一些信息：a．截止3月1日20时，全国已有11个省份工业企业复工率在90%以上，主要位于东南沿海地区，位居前三的分别是贵州（100%）、浙江（99.8%）、江苏（99%）．b．各省份复工率数据的频数分布直方图如图1（数据分成6组，分别是40＜x≤50；50＜x≤60；60＜x≤70；70＜x≤80；80＜x≤90；90＜x≤100）；c．如图2，在b的基础上，画出的扇形统计图：d．截止到2020年3月1日各省份的复工率在80＜x≤90这一组的数据是：81.3，83.9，84，87.6，89.4，90，90请解答以下问题：（1）依据题意，样本容量是，补全频数分布直方图；（2）扇形统计图中50＜x≤60这组的圆心角度数是度（精确到0.1）；（3）根据以上统计图表计算截止2020年3月1日，样本中复工率85%以上的省份占%（精确到0.1）．25．（6分）在平面直角坐标系xOy中，点P（x，y）经过变换τ得到点P′（x′，y′），该变换记作τ（x，y）＝（x′，y′），其中（a，b为常数）．例如，当a＝1，且b＝1时，τ（﹣2，3）＝（1，﹣5）．（1）当a＝﹣1，且b＝2时，τ（0，1）＝；（2）若τ（1，2）＝（﹣2，0），则a＝，b＝；（3）设点P（x，﹣2x），点P经过变换τ得到点P′（x′，y′）．若点P′与点P关于x轴对称，求a和b的值．26．（7分）如图1，AB∥CD，在AB、CD内有一条折线EPF．（1）求证：∠AEP+∠CFP＝∠EPF；（2）在图2中，画∠BEP的平分线与∠DFP的平分线，两条角平分线交于点Q，请你补全图形，试探索∠EPF与∠EQF之间的关系，并证明你的结论；（3）在（2）的条件下，已知∠BEP和∠DFP均为钝角，点G在直线AB、CD之间，且满足∠BEG＝∠BEP，∠DFG＝∠DFP，（其中n为常数且n＞1），直接写出∠EGF与∠EPF的数量关系．27．（7分）阅读材料：平面直角坐标系中点P（x，y）的横坐标x的绝对值表示为|x|，纵坐标y的绝对值表示为|y|，我们把点P（x，y）的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做点P（x，y）的折线距离，记为[P]，即[P]＝|x|+|y|，其中的“+”是四则运算中的加法，例如点P（1，2）的折线距离[P]＝|1|+|2|＝3．【解决问题】（1）已知点A（﹣2，4），B（+，﹣），直接写出[A]，[B]的折线距离；（2）若点M满足[M]＝2，①当点M在x轴的上方时，且横坐标为整数，求点M的坐标；②正方形EFGH的两个顶点坐标分别为E（t，0），F（t﹣1，0），当正方形EFGH上存在点M时，直接写出t的取值范围．2019-2020学年北京市海淀区七年级（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一.选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有-一个.1．的平方根是（）A．3 B．±3 C．D．±【分析】首先根据平方根概念求出＝3，然后求3的平方根即可．【解答】解：∵＝3，∴的平方根是±．故选：D．2．在平面直角坐标系中，点P（﹣3，2）在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】根据各象限内点的坐标特征解答即可．【解答】解：点P（﹣3，2）在第二象限，故选：B．3．如图，O是BC上一点，AO⊥BC于点O，直线DE经过O点，∠BOD＝25°，则∠AOE的度数为（）A．100°B．105°C．115°D．125°【分析】根据垂直关系知∠AOC＝90°，由对顶角相等可求∠COE，再根据角的和差关系可求∠AOE的度数．【解答】解：∵AO⊥BC，∴∠AOC＝90°，∵∠COE＝∠BOD＝25°，∴∠AOE＝90°+25°＝115°．故选：C．4．数轴上点P表示的数可能是（）A．B．C．D．【分析】首先判定出2＜＜3，由此即可解决问题．【解答】解：因为2＜＜3，所以数轴上点P表示的数可能是．故选：A．5．不等式x﹣3≤3x+1的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【分析】先根据不等式的性质：先移项，然后合并同类项再系数化1即可解得不等式，然后注意在数轴上表示时小于方向向左，包含，应用实心圆点表示．【解答】解：不等式x﹣3≤3x+1，移项得：x﹣3x≤3+1，合并同类项得：﹣2x≤4解得：x≥﹣2；在数轴上表示为：故选：D．6．下列调查：①了解某批种子的发芽率；②了解某班学生对“社会主义核心价值观”的知晓率；③了解某地区地下水水质；④了解七年级（1）班学生参加“开放性科学实践活动”完成次数．适合采取全面调查的是（）A．①③B．②④C．①②D．③④【分析】全面调查与抽样调查的优缺点：①全面调查收集的到数据全面、准确，但一般花费多、耗时长，而且某些调查不宜用全面调查．②抽样调查具有花费少、省时的特点，但抽取的样本是否具有代表性，直接关系到对总体估计的准确程度．【解答】解：①了解某批种子的发芽率，适合抽样调查；②了解某班学生对“社会主义核心价值观”的知晓率，适合全面调查；③了解某地区地下水水质，适合抽样调查；④了解七年级（1）班学生参加“开放性科学实践活动”完成次数，适合全面调查．故选：B．7．已知：OA⊥OC，∠AOB：∠BOC＝1：3，则∠BOC的度数为（）A．67.5°B．135°C．67.5°或135°D．无法确定【分析】根据垂直关系知∠AOC＝90°，由∠AOB：∠BOC＝1：3，分两种情况可求∠BOC 的度数．【解答】解：∵OA⊥OC，∴∠AOC＝90°，如图1：∵∠AOB：∠BOC＝1：3，∴∠BOC＝×90°＝67.5°；如图2：∵∠AOB：∠BOC＝1：3，∴∠BOC＝90°÷＝135°．综上所述，∠BOC的度数为67.5°或135°．故选：C．8．某调查机构对某地互联网行业从业情况进行调查统计，得到当地互联网行业从业人员年龄分布统计图和当地90后从事互联网行业岗位分布统计图：对于以下四种说法，你认为正确的是（）①在当地互联网行业从业人员中，90后人数占总人数的一半以上②在当地互联网行业从业人员中，80前人数占总人数的13%③在当地互联网行业中，从事技术岗位的90后人数超过总人数的20%④在当地互联网行业中，从事设计岗位的90后人数比80前人数少A．①③B．②④C．①②D．③④【分析】根据扇形统计图可以得出各个年龄段的人数占调查总人数的百分比，再根据条形统计图可以得出90后从事互联网行业岗位的百分比，进而求出90后从事互联网行业岗位占调查总人数的百分比，就可以比较，做出判断．【解答】解：对于选项①，互联网行业从业人员中90后占调查人数的56%，占一半以上，所以该选项正确；对于选项②，在当地互联网行业从业人员中，80前人数占调查总人数的3%，所以该选项错误；对于选项③，互联网行业中从事技术岗位的人数90后占总人数的56%×41%＝23%，所以该选项正确；对于选项④，互联网行业中，从事设计岗位的90后人数占调查人数的56%×8%＝4.48%，而80前从事互联网行业的只占1﹣56%﹣41%＝3%，因此该选项不正确；因此正确的有：①③，故选：A．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．若x﹣1有平方根，则实数x的取值范围是x≥1 ．【分析】根据非负数有平方根，列式求解即可．【解答】解：根据题意得，x﹣1≥0，解得x≥1．故答案为：x≥1．10．已知，是二元一次方程ax+2y＝6的一个解，那么a的值为 2 ．【分析】把x与y的值代入方程计算即可求出a的值．【解答】解：将代入方程ax+2y＝6，得：2a+2＝6，解得：a＝2，故答案为：2．11．平面直角坐标系数中点M（a，a+3）在x轴上，则a＝﹣3 ．【分析】根据x轴上点的纵坐标为0列方程求解即可．【解答】解：∵点M（a，a+3）在x轴上，∴a+3＝0，解得a＝﹣3．故答案为：﹣3．12．把命题“对顶角相等”写成“如果…，那么…”的形式为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．【分析】先找到命题的题设和结论，再写成“如果…，那么…”的形式．【解答】解：原命题的条件是：“两个角是对顶角”，结论是：“这两个角相等”，命题“对顶角相等”写成“如果…，那么…”的形式为：“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”．故答案为：两个角是对顶角；这两个角相等．13．已知+|x2﹣3y﹣13|＝0，则x+y＝﹣1 ．【分析】根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可得解．【解答】解：由题意得，x﹣2＝0，x2﹣3y﹣13＝0，解得x＝2，y＝﹣3，所以，x+y＝2+（﹣3）＝﹣1．故答案为：﹣1．14．如图，有一条直的等宽纸带按图折叠时，则图中∠α＝70°．【分析】根据平行线的性质，40度的同位角加上α等于折叠角的度数，又由折叠的性质可知α+α+40＝180度，由此可求出α的度数．【解答】解：根据平行线性质，折叠的角度是（α+40）度，根据折叠性质，折叠角度再加上α就是个平角180度．即α+α+40°＝180度，解得α＝70度．故答案为：70°．15．已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x+y＜3，则m的取值范围为m ＜1 ．【分析】将方程组中两个方程相加得出3x+3y＝12m﹣3，两边都除以3可得x+y＝4m﹣1，根据x+y＜3可得关于m的不等式，解之可得．【解答】解：，①+②，得：3x+3y＝12m﹣3，∴x+y＝4m﹣1，∵x+y＜3，∴4m﹣1＜3，解得m＜1，故答案为：m＜1．16．下面是小满的一次作业，老师说小满的解题过程不完全正确，并在作业旁写出了批改．长跑比赛中，张华跑在前面，在离终点100m时他以4m/s的速度向终点冲刺，在他身后．10m 的李明需以多快的速度同时开始冲刺，才能在张华之前到达终点？解：设李明以xm/s的速度开始冲刺．依题意，得＜，两边同时除以25，得x＞4.4．答：李明需以大于4.4m/s的速度同时开始冲刺，才能在张华之前到达终点．请回答：必须添加“根据实际意义可知，x＞0”这个条件的理由是不等式两边乘以x，根据不等式的性质，x的正负决定不等号的方向是否改变，所以先判断x的正负．【分析】利用分式有意义的条件和时间的实际意义求解．【解答】解：必须添加“根据实际意义可知，x＞0”这个条件的理由是不等式两边乘以x，根据不等式的性质，x的正负决定不等号的方向是否改变，所以先判断x的正负．故答案为不等式两边乘以x，根据不等式的性质，x的正负决定不等号的方向是否改变，所以先判断x的正负．三.解答题（本题共68分，第17、19、20、21题，每小题5分，第18题10分，第22-25题，每小题5分，第26-27题，每小题5分）17．（5分）计算：+﹣+|﹣2|．【分析】直接利用二次根式的性质以及绝对值的性质、立方根的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式＝8﹣2﹣1+2﹣＝7﹣．18．（10分）解方程或方程组：（1）2（x﹣1）2＝8；（2）．【分析】（1）方程整理后，利用平方根定义开方即可求出解；（2）方程组利用加减消元法求出解即可．【解答】解：（1）2（x﹣1）2＝8，整理得：（x﹣1）2＝4，开方得：x﹣1＝2或x﹣1＝﹣2，解得：x1＝3，x2＝﹣1；（2），①+②×2得：9x＝18，解得：x＝2，把x＝2代入①得：y＝1，则方程组的解为．19．（5分）解不等式组：，并写出该不等式组的非负整数解．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，从而得出其整数解．【解答】解：解不等式+2≥x，得：x≤1，解不等式3（x﹣1）﹣1＞x﹣8，得：x＞﹣2，则不等式组的解集为﹣2＜x≤1，所以不等式组的非负整数解为0和1．20．（5分）故宫是世界上现存规模最大，保存最完整的宫殿建筑群．小赵和小钱在学校组织的综合实践活动中来到故宫学习，他们建立了相同的坐标系描述各景点的位置．小赵：“养心殿在原点的西北方向．”小钱：“太和门的坐标是（0，﹣1）．”实际上，他们说的位置都是正确的．你知道这两位同学是如何建立平面直角坐标系的吗？（1）依据两位同学的描述，可以知道他们选择景点保和殿为原点，建立了平面直角坐标系；（2）在图中画出这两位同学建立的平面直角坐标系；（3）九龙壁的坐标是（2，0），景仁宫的坐标是（1，1.5）．【分析】（1）根据题意，可知图中每个两个小格子为一个单位长度，从而可以确定出原点的位置，从而可以解答本题；（2）根据题意可以画出相应的平面直角坐标系；（3）根据（2）中的坐标系可以直接写出九龙壁和景仁宫的坐标．【解答】解：（1）由题意可得，依据两位同学的描述，可以知道他们选择景点保和殿为原点，建立了平面直角坐标系，故答案为：保和殿；（2）平面直角坐标系如图所示；（3）由（2）中的坐标系，可知九龙壁的坐标是（2，0），景仁宫的坐标是（1，1.5），故答案为：（2，0），（1，1.5）．21．（5分）完成下面的证明：已知：如图，DE∥BC，BE，DF分别是∠ABC，∠ADE的角平分线，求证：∠1＝∠2．证明：∵DE∥BC，∴∠ABC＝∠ADE，（两直线平行，同位角相等）∵BE，DF分别是∠ABC，∠ADE的角平分线，∴∠3＝∠ABC；∠4＝∠ADE，∴∠3＝∠4，（等量代换）∴BE∥DF，（同位角相等，两直线平行）∴∠1＝∠2．（两直线平行，内错角相等）【分析】依据平行线的性质，即可得到∠ABC＝∠ADE，再根据角平分线的定义，即可得出∠3＝∠4，进而得到BE∥DF，最后依据平行线的性质，即可得出结论．【解答】证明：∵DE∥BC，∴∠ABC＝∠ADE，（两直线平行，同位角相等）∵BE，DF分别是∠ABC，∠ADE的角平分线，∴∠3＝∠ABC；∠4＝∠ADE，∴∠3＝∠4，（等量代换）∴BE∥DF，（同位角相等，两直线平行）∴∠1＝∠2．（两直线平行，内错角相等）故答案为：两直线平行，同位角相等；等量代换；BE；DF；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．22．（6分）已知△A′B′C′是由△ABC经过平移得到的，它们各顶点在平面直角坐标系中的坐标如下表所示：△ABC A（a，1）B（3，3）C（2，﹣1）△A′B′C′A′（4，4）B′（9，b）C′（c，2）（1）观察表中各对应点坐标的变化，并填空：a＝﹣2 ，b＝ 6 ，c＝8 ；（2）在平面直角坐标系中画出△ABC及平移后的△A′B′C′；（3）直接写出△A′B′C′的面积是9 ．【分析】（1）观察表中各对应点坐标的变化，△A′B′C′是由△ABC经过向上平移3个单位，向右平移6个单位得到的，进而可填空；（2）根据（1）即可在平面直角坐标系中画出△ABC及平移后的△A′B′C′；（3）根据割补法即可求出△A′B′C′的面积．【解答】解：（1）观察表中点A和点A′坐标的变化，点B和点B′坐标的变化可知：△A′B′C′是由△ABC经过向上平移3个单位，向右平移6个单位得到的，∴a＝﹣2，b＝6，c＝8；故答案为：﹣2，6，8；（2）如图，△ABC及△A′B′C′即为所求；（3）△A′B′C′的面积为：5×4﹣2×5﹣1×4﹣2×4＝9．故答案为：9．23．（6分）“全名阅读”深入人心，好读书，读好书，让人终身受益．为满足同学们的读书需求，学校图书馆准备到新华书店采购文学名著和动漫书两类图书．经了解，20本文学名著和40本动漫书共需1600元，20本文学名著比20本动漫书多400元（注：所采购的文学名著价格都一样，所采购的动漫书价格都一样）．（1）求每本文学名著和动漫书各多少元？（2）若学校要求购买动漫书比文学名著多20本，而且文学名著不低于25本，总费用不超过2000，请求出所有符合条件的购书方案．【分析】（1）设每本文学名著x元，每本动漫书y元，列出方程组即可解决问题；（2）设学校要求购买文学名著x本，动漫书为（x+20）本，构建不等式组，求整数解即可；【解答】解：（1）设每本文学名著x元，每本动漫书y元，根据题意可得：，解得：，答：每本文学名著和动漫书各为40元和20元．（2）设学校要求购买文学名著x本，动漫书为（x+20）本，根据题意可得：，解得：25≤x≤26，因为x取整数，所以x取25，26；方案一：文学名著25本，动漫书45本；方案二：文学名著26本，动漫书46本．24．（6分）经过举国上下抗击新型冠状病毒的斗争，疫情得到了有效控制，国内各大企业在2月9日后纷纷进入复工状态．为了了解全国企业整体的复工情况，我们查找了截止到2020年3月1日全国部分省份的复工率，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了一些信息：a．截止3月1日20时，全国已有11个省份工业企业复工率在90%以上，主要位于东南沿海地区，位居前三的分别是贵州（100%）、浙江（99.8%）、江苏（99%）．b．各省份复工率数据的频数分布直方图如图1（数据分成6组，分别是40＜x≤50；50＜x≤60；60＜x≤70；70＜x≤80；80＜x≤90；90＜x≤100）；c．如图2，在b的基础上，画出的扇形统计图：d．截止到2020年3月1日各省份的复工率在80＜x≤90这一组的数据是：81.3，83.9，84，87.6，89.4，90，90请解答以下问题：（1）依据题意，样本容量是28 ，补全频数分布直方图；（2）扇形统计图中50＜x≤60这组的圆心角度数是12.9 度（精确到0.1）；（3）根据以上统计图表计算截止2020年3月1日，样本中复工率85%以上的省份占53.6 %（精确到0.1）．【分析】（1）80＜x≤90这组的频数为7，频率为25%，可求出样本容量；计算出50＜x ≤60组的频数即可补全频数分布直方图；（2）50＜x≤60组的频数为1，样本容量为28，因此相应的圆心角的度数占360°的即可；（3）样本中，80＜x≤90组复产率超过85%的有4个，90＜x≤100组的频数为11个，可求出复产率超过85%的所占的频率．【解答】解：（1）7÷25%＝28（个），全国已有11个省份工业企业复工率在90%以上，即：90＜x≤100的频数为11，则50＜x≤60的频数为28﹣11﹣3﹣6﹣7＝1，故答案为：28，补全频数分布直方图如图所示；（2）360°×≈12.9°，故答案为：12.9；（3）（11+4）÷28≈53.6%，故答案为：53.6．25．（6分）在平面直角坐标系xOy中，点P（x，y）经过变换τ得到点P′（x′，y′），该变换记作τ（x，y）＝（x′，y′），其中（a，b为常数）．例如，当a＝1，且b＝1时，τ（﹣2，3）＝（1，﹣5）．（1）当a＝﹣1，且b＝2时，τ（0，1）＝（8，﹣4）；（2）若τ（1，2）＝（﹣2，0），则a＝﹣1 ，b＝﹣；（3）设点P（x，﹣2x），点P经过变换τ得到点P′（x′，y′）．若点P′与点P关于x轴对称，求a和b的值．【分析】（1）将a＝﹣1，b＝2，τ（0，1），代入，可求x′，y′的值，从而求解；（2）将τ（1，2）＝（﹣2，0），代入，可得关于a，b的二元一次方程组，解方程组即可求解；（3）由点P（x，﹣2x）经过变换τ得到的对应点P'（x'，y'）与点P关于x轴对称，可得τ（x，y）＝（x，y）．根据点P（x，y）在直线y＝2x上，可得关于a，b的二元一次方程组，解方程组即可求解．【解答】解：（1）当a＝﹣1，且b＝2时，x′＝﹣1×（﹣2）+2×3＝8，y′＝﹣1×（﹣2）﹣2×3═﹣4，则τ（0，1）＝（8，﹣4）；（2）∵τ（1，2）＝（﹣2，0），∴，解得a＝﹣1，b＝﹣；（3）∵点P（x，﹣2x）经过变换τ得到的对应点P'（x'，y'）与点P关于x轴对称，∴τ（x，﹣2x）＝（x，2x）．∴，即，∵x为任意的实数，∴，解得．故答案为：（8，﹣4）；﹣1，﹣．26．（7分）如图1，AB∥CD，在AB、CD内有一条折线EPF．（1）求证：∠AEP+∠CFP＝∠EPF；（2）在图2中，画∠BEP的平分线与∠DFP的平分线，两条角平分线交于点Q，请你补全图形，试探索∠EPF与∠EQF之间的关系，并证明你的结论；（3）在（2）的条件下，已知∠BEP和∠DFP均为钝角，点G在直线AB、CD之间，且满足∠BEG＝∠BEP，∠DFG＝∠DFP，（其中n为常数且n＞1），直接写出∠EGF与∠EPF的数量关系．【分析】（1）首先过点P作PG∥AB，然后根据AB∥CD，PG∥CD，可得∠AEP＝∠1，∠CFP＝∠2，据此判断出∠AEP+∠CFP＝∠EPF即可；（2）首先由（1）可得∠EPF＝∠AEP+CFP，∠EQF＝∠BEQ+∠DFQ；然后根据∠BEP的平分线与∠DFP的平分线相交于点Q，推得∠EQF＝（360﹣∠EPF），即可判断出∠EPF+2∠EQF＝360°．（3）首先由（1）可得∠EGF＝∠AEG+∠CFG，∠EPF＝∠BEP+∠DFP；然后根据∠BEP＝∠BEG，∠DFP＝∠DFG，推得∠EPF＝×（360°﹣∠EGF），即可判断出∠EGF+n∠EPF ＝360°．【解答】证明：（1）如图1，过点P作PG∥AB，，∵AB∥CD，∴PG∥CD，∴∠AEP＝∠1，∠CFP＝∠2，又∵∠1+∠2＝∠EPF，∴∠AEP+∠CFP＝∠EPF；（2）如图2，，由（1）可得：∠EPF＝∠AEP+CFP，∠EQF＝∠BEQ+∠DFQ，∵∠BEP的平分线与∠DFP的平分线相交于点Q，∴∠EQF＝∠BEQ+∠DFQ＝（∠BEP+∠DFP）＝[360°﹣（∠AEP+∠CFP）]＝（360﹣∠EPF），∴∠EPF+2∠EQF＝360°；（3）由（1）可得：∠EGF＝∠AEG+∠CFG，∠EPF＝∠BEP+∠DFP，∵∠BEP＝∠BEG，∠DFP＝∠DFG，∴∠EPF＝∠BEP+∠DFP＝（∠BEG+∠DFG）＝[360°﹣（∠AEG+∠CFG）]＝×（360°﹣∠EGF），∴∠EGF+n∠EPF＝360°．27．（7分）阅读材料：平面直角坐标系中点P（x，y）的横坐标x的绝对值表示为|x|，纵坐标y的绝对值表示为|y|，我们把点P（x，y）的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做点P（x，y）的折线距离，记为[P]，即[P]＝|x|+|y|，其中的“+”是四则运算中的加法，例如点P（1，2）的折线距离[P]＝|1|+|2|＝3．【解决问题】（1）已知点A（﹣2，4），B（+，﹣），直接写出[A]，[B]的折线距离；（2）若点M满足[M]＝2，①当点M在x轴的上方时，且横坐标为整数，求点M的坐标；②正方形EFGH的两个顶点坐标分别为E（t，0），F（t﹣1，0），当正方形EFGH上存在点M时，直接写出t的取值范围．【分析】（1）根据题意可以求得[A]，[B]的折线距离；（2）①根据题意可知y＞0，然后根据[M]＝2，即可求得点M的坐标；②由题意可得EF＝1，由正方形的性质可列不等式，即可求解．【解答】解：（1）∵点A（﹣2，4），B（+，﹣），∴[A]＝|﹣2|+|4|＝2+4＝6，[B]＝|+|+|﹣|＝++﹣＝2；（2）①∵点M在x轴的上方，其横坐标为整数，且[M]＝2，∴x＝±1时，y＝1或x＝0时，y＝2，∴点M的坐标为（﹣1，1）或（1，1）或（0，2）；②∵正方形EFGH的两个顶点坐标分别为E（t，0），F（t﹣1，0），∴EF＝1，若M（﹣1，1）在正方形EFGH上时，∴t﹣1≤﹣1≤t，∴﹣1≤t≤0，若M（1，1）在正方形EFGH上时，∴t﹣1≤1≤t，∴1≤t≤2，综上所述：t的取值范围为﹣1≤t≤0或1≤t≤2．。
2019-2020学年北京市海淀区八年级上学期期末数学试卷 (解析版)
2019-2020学年北京市海淀区八年级（上）期末数学试卷一、选择题1．斐波那契螺旋线也称为“黄金螺旋线”，是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那契螺旋线图案．下列斐波那契螺旋线图案中属于轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．2019年被称为“5G元年”．据媒体报道，5G网络的理论下载速度为1.25GB/s，这就意味着我们下载一张2.5M的照片只需要0.002s，将0.002用科学记数法表示为（）A．2×10﹣2B．2×10﹣3C．0.2×10﹣2D．0.2×10﹣33．下列运算结果为a6的是（）A．a3•a2B．a9﹣a3C．（a2）3D．a18÷a34．在下列因式分解的过程中，分解因式正确的是（）A．x2+2x+4＝（x+2）2B．x2﹣4＝（x+4）（x﹣4）C．x2﹣4x+4＝（x﹣2）2D．x2+4＝（x+2）25．如图，经过直线AB外一点C作这条直线的垂线，作法如下：（1）任意取一点K，使点K和点C在AB的两旁．（2）以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和E．（3）分别以点D和点E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧相交于点F．（4）作直线CF．则直线CF就是所求作的垂线．根据以上尺规作图过程，若将这些点作为三角形的顶点，其中不一定是等腰三角形的为（）A．△CDF B．△CDK C．△CDE D．△DEF6．有两块总面积相等的场地，左边场地为正方形，由四部分构成，各部分的面积数据如图所示．右边场地为长方形，长为2（a+b），则宽为（）A．B．1C．D．a+b7．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的动点（点D与B，C不重合），△ABD 和△ACD的面积分别表示为S1和S2，下列条件不能说明AD是△ABC角平分线的是（）A．BD＝CD B．∠ADB＝∠ADC C．S1＝S2D．AD＝BC 8．如图，左边为参加2019年国庆70周年阅兵的武警摩托车礼宾护卫队，如果将每位队员看成一个点，队形可近似看成由右边所示的若干个正方形拼成的图形，其中与△ABC全等的三角形是（）A．△AEG B．△ADF C．△DFG D．△CEG9．若ab＝﹣4，其中a＞b，以下分式中一定比大的是（）A．B．C．D．10．已知长方形ABCD可以按图示方式分成九部分，在a，b变化的过程中，下面说法正确的有（）①图中存在三部分的周长之和恰好等于长方形ABCD的周长②长方形ABCD的长宽之比可能为2③当长方形ABCD为正方形时，九部分都为正方形④当长方形ABCD的周长为60时，它的面积可能为100．A．①②B．①③C．②③④D．①③④二、填空题（本大题共16分，每小题2分）11．请写出一个只含有字母x的分式，当x＝3时分式的值为0，你写的分式是．12．计算：（2a）3•（﹣a）4÷a2＝．13．如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，可以在池塘外取AB的垂线BF上的两点C，D，使BC＝CD，再画出BF的垂线DE，使E与A，C在一条直线上．若想知道两点A，B的距离，只需要测量出线段即可．14．如图，已知空间站A与星球B距离为a，信号飞船C在星球B附近沿圆形轨道行驶，B，C之间的距离为b．数据S表示飞船C与空间站A的实时距离，那么S的最大值是．15．平面直角坐标系xOy中，点A（4，3），点B（3，0），点C（5，3），点E在x轴上．当CE＝AB时，点E的坐标为．16．北京大兴国际机场于2019年9月25日正式投入运营．小贝和小京分别从草桥和北京站出发赶往机场乘坐飞机，出行方式及所经过的站点与路程如下表所示：出行方式途径站点路程地铁草桥﹣大兴新城﹣大兴机场全程约43公里公交北京站﹣蒲黄榆﹣榴乡桥﹣大兴机全程约54公里场由于地面交通拥堵，地铁的平均速度约为公交平均速度的两倍，于是小贝比小京少用了半小时到达机场．若设公交的平均速度为x公里/时，根据题意可列方程：．17．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，CD⊥AD，若∠ABC与∠ACD互补，CD＝5，则BC的长为．18．如图，已知∠MON，在边ON上顺次取点P1，P3，P5…，在边OM上顺次取点P2，P4，P6…，使得OP1＝P1P2＝P2P3＝P3P4＝P4P5…，得到等腰△OP1P2，△P1P2P3，△P2P3P4，△P3P4P5…（1）若∠MON＝30°，可以得到的最后一个等腰三角形是；（2）若按照上述方式操作，得到的最后一个等腰三角形是△P3P4P5，则∠MON的度数α的取值范围是．三、解答题（本大题共54分，第19题8分，20～22题每题5分，第23～26每题6分，第27题7分）19．（1）计算：（3﹣π）0﹣38÷36+（）﹣1；（2）因式分解：3x2﹣12y2．20．如图，已知AB＝AC，E为AB上一点，ED∥AC，ED＝AE．求证：BD＝CD．21．已知a2﹣2ab+b2＝0，求代数式a（4a﹣b）﹣（2a+b）（2a﹣b）的值．22．如图，AB⊥AC，AB＝AC，过点B，C分别向射线AD作垂线，垂足分别为E，F．（1）依题意补全图形；（2）求证：BE＝EF+FC．23．已知x＝a+b﹣2，y﹣2ab＝a2+b2（1）用x表示y；（2）求代数式（x﹣）•+的值．24．如图所示，将两个含30°角的三角尺摆放在一起，可以证得△ABD是等边三角形，于是我们得到：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．交换命题的条件和结论，得到下面的命题：在直角△ABC中，∠ACB＝90°，如果CB＝AB，那么∠BAC＝30°．请判断此命题的真假，若为真命题，请给出证明；若为假命题，请说明理由．25．对于代数式，不同的表达形式能表现出它的不同性质．例如代数式A＝x2﹣4x+5，若将其写成A＝（x﹣2）2+1的形式，就能看出不论字母x取何值，它都表示正数；若将它写成A＝（x﹣1）2﹣2（x﹣1）+2的形式，就能与代数式B＝x2﹣2x+2建立联系．下面我们改变x的值，研究一下A，B两个代数式取值的规律：x﹣2﹣10123 B＝x2﹣2x+2105215 A＝（x﹣1）2﹣2（x﹣1）+217105（1）完成上表；（2）观察表格可以发现：若x＝m时，B＝x2﹣2x+2＝n，则x＝m+1时，A＝x2﹣4x+5＝n．我们把这种现象称为代数式A参照代数式B取值延后，此时延后值为1．①若代数式D参照代数式B取值延后，相应的延后值为2，求代数式D；②已知代数式ax2﹣10x+b参照代数式3x2﹣4x+c取值延后，请直接写出b﹣c的值：．26．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D是边BC上的动点，连接AD，点C关于直线AD的对称点为点E，射线BE与射线AD交于点F．（1）在图中，依题意补全图形；（2）记∠DAC＝α（α＜45°），求∠ABF的大小；（用含α的式子表示）（3）若△ACE是等边三角形，猜想EF和BC的数量关系，并证明．27．在平面直角坐标系xOy中，直线l为一、三象限角平分线．点P关于y轴的对称点称为P的一次反射点，记作P1；P1关于直线l的对称点称为点P的二次反射点，记作P2．例如，点（﹣2，5）的一次反射点为（2，5），二次反射点为（5，2）．根据定义，回答下列问题：（1）点（2，5）的一次反射点为，二次反射点为；（2）当点A在第一象限时，点M（3，1），N（3，﹣1）Q（﹣1，﹣3）中可以是点A 的二次反射点的是；（3）若点A在第二象限，点A1，A2分别是点A的一次、二次反射点，△OA1A2为等边三角形，求射线OA与x轴所夹锐角的度数．附加问题：若点A在y轴左侧，点A1，A2分别是点A的一次、二次反射点，△AA1A2是等腰直角三角形，请直接写出点A在平面直角坐标系xOy中的位置．参考答案一、选择题（本大题符合题意的选项均只有一个，请将你的答案填写在下面的表格中．共30分，每小题3分）1．斐波那契螺旋线也称为“黄金螺旋线”，是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那契螺旋线图案．下列斐波那契螺旋线图案中属于轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解．解：A、是轴对称图形，故本选项正确；B、不是轴对称图形，故本选项错误；C、不是轴对称图形，故本选项错误；D、不是轴对称图形，故本选项错误．故选：A．2．2019年被称为“5G元年”．据媒体报道，5G网络的理论下载速度为1.25GB/s，这就意味着我们下载一张2.5M的照片只需要0.002s，将0.002用科学记数法表示为（）A．2×10﹣2B．2×10﹣3C．0.2×10﹣2D．0.2×10﹣3【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．解：用科学记数法表示0.002＝2×10﹣3．故选：B．3．下列运算结果为a6的是（）A．a3•a2B．a9﹣a3C．（a2）3D．a18÷a3【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，合并同类项法则，幂的乘方运算法则以及同底数幂的除法法则逐一判断即可．解：A．a3•a2＝a5，故本选项不合题意；B．a9与﹣a3不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；C．（a2）3＝a6，故本选项符合题意；D．a18÷a3＝a15，故本选项不合题意．故选：C．4．在下列因式分解的过程中，分解因式正确的是（）A．x2+2x+4＝（x+2）2B．x2﹣4＝（x+4）（x﹣4）C．x2﹣4x+4＝（x﹣2）2D．x2+4＝（x+2）2【分析】各项分解得到结果，即可作出判断．解：A、原式不能分解，不符合题意；B、原式＝（x+2）（x﹣2），不符合题意；C、原式＝（x﹣2）2，符合题意；D、原式不能分解，不符合题意，故选：C．5．如图，经过直线AB外一点C作这条直线的垂线，作法如下：（1）任意取一点K，使点K和点C在AB的两旁．（2）以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和E．（3）分别以点D和点E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧相交于点F．（4）作直线CF．则直线CF就是所求作的垂线．根据以上尺规作图过程，若将这些点作为三角形的顶点，其中不一定是等腰三角形的为（）A．△CDF B．△CDK C．△CDE D．△DEF【分析】依据尺规作图，即可得到CD＝CK，CD＝CE，DF＝EF，进而得出△CDK，△CDE，△DEF都是等腰三角形．解：由作图可得，CD，DF，CF不一定相等，故△CDF不一定是等腰三角形；而CD＝CK，CD＝CE，DF＝EF，故△CDK，△CDE，△DEF都是等腰三角形；故选：A．6．有两块总面积相等的场地，左边场地为正方形，由四部分构成，各部分的面积数据如图所示．右边场地为长方形，长为2（a+b），则宽为（）A．B．1C．D．a+b【分析】求出左边场地的面积为a2+b2+2ab，由题意可求右边场地的宽＝（a2+b2+2ab）÷2（a+b）＝（a+b）2÷2（a+b）＝．解：左边场地面积＝a2+b2+2ab，∵左边场地的面积与右边场地的面积相等，∴宽＝（a2+b2+2ab）÷2（a+b）＝（a+b）2÷2（a+b）＝，故选：C．7．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的动点（点D与B，C不重合），△ABD 和△ACD的面积分别表示为S1和S2，下列条件不能说明AD是△ABC角平分线的是（）A．BD＝CD B．∠ADB＝∠ADC C．S1＝S2D．AD＝BC【分析】由全等三角形的判定和等腰三角形的性质，依次进行推理判断即可求解．解：若BD＝CD，AB＝AC，AD＝AD，∴△ABD≌△ACD（SSS）∴∠BAD＝∠CAD，∴AD是△ABC角平分线；故A选项不符合题意；若∠ADB＝∠ADC，且∠ADB+∠ADC＝180°，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，且AB＝AC，∴AD是△ABC角平分线；故B选项不符合题意；若S1＝S2，∴BD＝CD，且AB＝AC，∴AD是△ABC角平分线；故C选项不符合题意；若AD＝BC，无法证明AD是△ABC角平分线；故选：D．8．如图，左边为参加2019年国庆70周年阅兵的武警摩托车礼宾护卫队，如果将每位队员看成一个点，队形可近似看成由右边所示的若干个正方形拼成的图形，其中与△ABC全等的三角形是（）A．△AEG B．△ADF C．△DFG D．△CEG【分析】根据勾股定理和线段的和可得△ABC和△DFG三边分别相等，从而得结论．解：设小正方形的边长为1，如图，则AB＝DF＝3，BC＝DG＝，AC＝FG＝＝，∴△ABC≌△FDG（SSS），故选：C．9．若ab＝﹣4，其中a＞b，以下分式中一定比大的是（）A．B．C．D．【分析】根据分式的约分和减法进行分析即可．解：A、＝，故此选项不合题意；B、∵ab＝﹣4＜0，∴﹣＝＜0，故此选项不合题意；C、﹣﹣＝﹣，∵，∴﹣＜，故此选项不合题意；D、，故此选项符合题意；故选：D．10．已知长方形ABCD可以按图示方式分成九部分，在a，b变化的过程中，下面说法正确的有（）①图中存在三部分的周长之和恰好等于长方形ABCD的周长②长方形ABCD的长宽之比可能为2③当长方形ABCD为正方形时，九部分都为正方形④当长方形ABCD的周长为60时，它的面积可能为100．A．①②B．①③C．②③④D．①③④【分析】根据正方形定义和长方形的周长公式判断①③，假设长方形的长宽比是2，推到出与已知的矛盾，排除②，根据长方形的周长为60，推到出该长方形的面积大于100，从而说明④错误．解：①四边形AEFG、FHKM、SKWC的周长之和等于长方形ABCD的周长；②长方形的长为a+2b，宽为2a+b，若该长方形的长宽之比为2，则a+2b＝2（2a+b）解得a＝0．这与题意不符，故②的说法不正确；③当长方形ABCD为正方形时，2a+b＝a+2b所以a＝b，所以九部分都为正方形，故③的说法正确；④当长方形ABCD的周长为60时，即2（2a+b+a+2b）＝60整理，得a+b＝10所以四边形GHWD的面积为100．故当长方形ABCD的周长为60时，它的面积不可能为100，故④的说法不正确．综上正确的是①③．故选：B．二、填空题（本大题共16分，每小题2分）11．请写出一个只含有字母x的分式，当x＝3时分式的值为0，你写的分式是（答案不唯一）．【分析】根据题意可得分子为x﹣3，再确定分母即可．解：由题意得：，故答案为：．12．计算：（2a）3•（﹣a）4÷a2＝8a5．【分析】原式利用积的乘方与幂的乘方运算法则，以及单项式乘除单项式法则计算即可求出值．解：原式＝8a3•a4÷a2＝8a5，故答案为：8a513．如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，可以在池塘外取AB的垂线BF上的两点C，D，使BC＝CD，再画出BF的垂线DE，使E与A，C在一条直线上．若想知道两点A，B的距离，只需要测量出线段DE即可．【分析】根据全等三角形的判定进行判断，注意看题目中提供了哪些证明全等的要素，要根据已知选择判断方法．解：利用CD＝BC，∠ABC＝∠EDC，∠ACB＝∠ECD，即两角及这两角的夹边对应相等即ASA这一方法，可以证明△ABC≌△EDC，故想知道两点A，B的距离，只需要测量出线段DE即可．故答案为：DE．14．如图，已知空间站A与星球B距离为a，信号飞船C在星球B附近沿圆形轨道行驶，B，C之间的距离为b．数据S表示飞船C与空间站A的实时距离，那么S的最大值是a+b．【分析】根据：三角形的任意两边的长度之和大于第三边，可得：只有空间站A与星球B、飞船C在同一直线上时，S取到最大值，据此求解即可．解：空间站A与星球B、飞船C在同一直线上时，S取到最大值a+b．故答案为：a+b．15．平面直角坐标系xOy中，点A（4，3），点B（3，0），点C（5，3），点E在x轴上．当CE＝AB时，点E的坐标为（4，0）或（6，0）．【分析】根据平行四边形的性质和等腰三角形的性质即可得到结论．解：∵点A（4，3），点C（5，3），∴AC∥x轴，AC＝1，连接AC，过C作CE∥AB交x轴于E，∴AB＝CE，BE＝AC＝1，∵点B（3，0），∴E（4，0），以C为圆心，CE为半径画弧交x轴于E′，则CE＝CE′＝AB，过C作CD⊥x轴于D，∴DE＝DE′＝1，∴E′（6，0），∴当CE＝AB时，点E的坐标为（4，0）或（6，0），故答案为：（4，0）或（6，0）．16．北京大兴国际机场于2019年9月25日正式投入运营．小贝和小京分别从草桥和北京站出发赶往机场乘坐飞机，出行方式及所经过的站点与路程如下表所示：出行方式途径站点路程地铁草桥﹣大兴新城﹣大兴机场全程约43公里全程约54公里公交北京站﹣蒲黄榆﹣榴乡桥﹣大兴机场由于地面交通拥堵，地铁的平均速度约为公交平均速度的两倍，于是小贝比小京少用了半小时到达机场．若设公交的平均速度为x公里/时，根据题意可列方程：．【分析】若设公交的平均速度为x公里/时，则地铁的平均速度为2x公里/时，根据“小贝比小京少用了半小时到达机场”列出方程即可．解：若设公交的平均速度为x公里/时，根据题意可列方程：．故答案是：．17．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，CD⊥AD，若∠ABC与∠ACD互补，CD＝5，则BC的长为10．【分析】延长AB、CD交于点E，证明△ADE≌△ADC（ASA），得出ED＝CD＝5，∠E＝∠ACD，证出∠E＝∠ACD＝∠CBE，得出BC＝CE＝2CD＝10即可．解：延长AB、CD交于点E，如图：∵AD平分∠BAC，CD⊥AD，∴∠EAD＝∠CAD，∠ADE＝∠ADC＝90°，在△ADE和△ADC中，，∴△ADE≌△ADC（ASA），∴ED＝CD＝5，∠E＝∠ACD，∵∠ABC与∠ACD互补，∠ABC与∠CBE互补，∴∠E＝∠ACD＝∠CBE，∴BC＝CE＝2CD＝10，故答案为：10．18．如图，已知∠MON，在边ON上顺次取点P1，P3，P5…，在边OM上顺次取点P2，P4，P6…，使得OP1＝P1P2＝P2P3＝P3P4＝P4P5…，得到等腰△OP1P2，△P1P2P3，△P2P3P4，△P3P4P5…（1）若∠MON＝30°，可以得到的最后一个等腰三角形是△P1P2P3；（2）若按照上述方式操作，得到的最后一个等腰三角形是△P3P4P5，则∠MON的度数α的取值范围是18°≤α＜22.5°．【分析】（1）利用等腰三角形的性质求出∠OP2P3即可判断．（2）由题意要使得得到的最后一个等腰三角形是△P3P4P5，需要满足：∠P4P3P5＝4α＜90°且∠MP4P5＝5α≥90°，解不等式即可解决问题．解：（1）∵OP1＝P1P2＝P2P3，∴∠OP2P1＝∠O＝30°，∠P2P1P3＝∠P2P3P1＝60°，∴∠OP2P3＝90°，∴△P2P3P4不存在，∴以得到的最后一个等腰三角形是△P1P2P3．故答案为△P1P2P3．（2）由题意要使得得到的最后一个等腰三角形是△P3P4P5，需要满足：∠P4P3P5＝4α＜90°且∠MP4P5＝5α≥90°，∴18°≤α＜22.5°，故答案为18°≤α＜22.5°．三、解答题（本大题共54分，第19题8分，20～22题每题5分，第23～26每题6分，第27题7分）19．（1）计算：（3﹣π）0﹣38÷36+（）﹣1；（2）因式分解：3x2﹣12y2．【分析】（1）原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，以及同底数幂的除法法则计算即（2）原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．解：（1）原式＝1﹣32+3＝1﹣9+3＝﹣5；（2）原式＝3（x2﹣4y2）＝3（x+2y）（x﹣2y）．20．如图，已知AB＝AC，E为AB上一点，ED∥AC，ED＝AE．求证：BD＝CD．【分析】由平行线的性质和等腰三角形的性质可得∠EAD＝∠DAC，由“SAS”可证△ADB≌△ADC，可得BD＝CD．【解答】证明：∵ED∥AC，∴∠EDA＝∠DAC，∵ED＝AE，∴∠EAD＝∠EDA，∴∠EAD＝∠DAC，在△ADB和△ADC中，∴△ADB≌△ADC（SAS），∴BD＝CD．21．已知a2﹣2ab+b2＝0，求代数式a（4a﹣b）﹣（2a+b）（2a﹣b）的值．【分析】根据完全平方公式求出a＝b，再根据单项式乘以多项式和平方差公式算乘法，合并同类项，代入求出即可．解：∵a2﹣2ab+b2＝0，∴（a﹣b）2＝0，∴a＝b，a（4a﹣b）﹣（2a+b）（2a﹣b）＝4a2﹣ab﹣4a2+b2＝﹣a2+a2＝0．22．如图，AB⊥AC，AB＝AC，过点B，C分别向射线AD作垂线，垂足分别为E，F．（1）依题意补全图形；（2）求证：BE＝EF+FC．【分析】（1）依题意补全图形即可；（2）证明△ABE≌△CAF（AAS）．得出BE＝AF，AE＝CF．即可得出结论．【解答】（1）解：依题意补全图形：（2）证明：∵AB⊥AC，BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠BAE+∠CAF＝90°，∠BAE+∠B＝90°，∠CFA＝∠AEB＝90°．∴∠CAF＝∠B．在△ABE和△CAF中，，∴△ABE≌△CAF（AAS）．∴BE＝AF，AE＝CF．∵AF＝AE+EF，∴BE＝EF+CF．23．已知x＝a+b﹣2，y﹣2ab＝a2+b2（1）用x表示y；（2）求代数式（x﹣）•+的值．【分析】（1）先由已知条件得到a+b＝x+2，y＝a2+2ab+b2＝（a+b）2，然后利用整体代入的方法可用x表示y；（2）先把y＝（x+2）2代入得到关于x的代数式，再把括号内通分，约分后进行同分母的加法运算即可．解：（1）∵x＝a+b﹣2，y﹣2ab＝a2+b2，∴a+b＝x+2，y＝a2+2ab+b2＝（a+b）2．∴y＝（x+2）2；（2）原式＝•+＝+＝+＝＝1．24．如图所示，将两个含30°角的三角尺摆放在一起，可以证得△ABD是等边三角形，于是我们得到：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．交换命题的条件和结论，得到下面的命题：在直角△ABC中，∠ACB＝90°，如果CB＝AB，那么∠BAC＝30°．请判断此命题的真假，若为真命题，请给出证明；若为假命题，请说明理由．【分析】延长BC至点D，使CD＝BC，连接AD，证明△ABD是等边三角形，得到∠BAD＝60°，根据等腰三角形的三线合一证明即可．解：此命题是真命题，理由如下：延长BC至点D，使CD＝BC，连接AD，∵∠ACB＝90°，CD＝BC，∴AC是线段BD的垂直平分线，∴AB＝AD，∵CB＝AB，∴BD＝AB，∴△ABD是等边三角形，∴∠BAD＝60°，∵AC⊥BD，∴∠BAC＝∠BAD＝30°．25．对于代数式，不同的表达形式能表现出它的不同性质．例如代数式A＝x2﹣4x+5，若将其写成A＝（x﹣2）2+1的形式，就能看出不论字母x取何值，它都表示正数；若将它写成A＝（x﹣1）2﹣2（x﹣1）+2的形式，就能与代数式B＝x2﹣2x+2建立联系．下面我们改变x的值，研究一下A，B两个代数式取值的规律：x﹣2﹣10123 B＝x2﹣2x+21052125 A＝（x﹣1）2﹣2（x﹣1）+217105212（1）完成上表；（2）观察表格可以发现：若x＝m时，B＝x2﹣2x+2＝n，则x＝m+1时，A＝x2﹣4x+5＝n．我们把这种现象称为代数式A参照代数式B取值延后，此时延后值为1．①若代数式D参照代数式B取值延后，相应的延后值为2，求代数式D；②已知代数式ax2﹣10x+b参照代数式3x2﹣4x+c取值延后，请直接写出b﹣c的值：7．【分析】（1）分别将x代入即可求得；（2）①D＝（x﹣2）2﹣2（x﹣2）+2＝x2﹣6x+10；②由①可得a＝3，3x2﹣4x+c＝3（x﹣m）x2﹣10（x﹣m）+b，则﹣6m﹣10＝﹣4，c＝b+3m2﹣10，则可求b﹣c＝7．解：（1）将x＝2代入B＝x2﹣2x+2中，得B＝4﹣4+2＝2；将x＝1代入A＝（x﹣1）2﹣2（x﹣1）+2得，A＝2，将x＝2代入A＝（x﹣1）2﹣2（x﹣1）+2得，A＝1，将x＝3代入A＝（x﹣1）2﹣2（x﹣1）+2得，A＝2，故答案为2，2，1，2；（2）①∵代数式D参照代数式B取值延后，相应的延后值为2，∴D＝（x﹣2）2﹣2（x﹣2）+2＝x2﹣6x+10；②由①可得a＝3，3x2﹣4x+c＝3（x﹣m）2﹣10（x﹣m）+b，∴﹣6m﹣10＝﹣4，∴m＝﹣1，∵c＝b+3﹣10，∴b﹣c＝7，故答案为7．26．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D是边BC上的动点，连接AD，点C关于直线AD的对称点为点E，射线BE与射线AD交于点F．（1）在图中，依题意补全图形；（2）记∠DAC＝α（α＜45°），求∠ABF的大小；（用含α的式子表示）（3）若△ACE是等边三角形，猜想EF和BC的数量关系，并证明．【分析】（1）根据轴对称即可得出结论；（2）先判断出AE＝AC，再表示出∠BAE，即可得出结论；（3）先判断出△BCF是直角三角形，结合△ACE是等边三角形，即可得出结论．解：（1）如图1所示；（2）如图2，连接AE，由题意可知，∠EAD＝∠CAD＝α，AC＝AE，∴∠BAE＝90°﹣2α，∵AB＝AC，∴AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB，∴；（3），证明：如备用图，连接AE，CF，由（2）可知，∠AEB＝∠ABF＝45°+α，∵AB＝AC，∴∠ABC＝45°，∴∠CBF＝α，∵点C关于直线AD的对称点为点E，∴∠ACF＝∠AEF＝135°﹣α，∴∠BCF＝90°﹣α，∵∠CBF+∠BCF＝90°，∴△BCF是直角三角形．∵△ACE是等边三角形，∴α＝30°．∴∠CBF＝30°∴．27．在平面直角坐标系xOy中，直线l为一、三象限角平分线．点P关于y轴的对称点称为P的一次反射点，记作P1；P1关于直线l的对称点称为点P的二次反射点，记作P2．例如，点（﹣2，5）的一次反射点为（2，5），二次反射点为（5，2）．根据定义，回答下列问题：（1）点（2，5）的一次反射点为（﹣2，5），二次反射点为（5，﹣2）；（2）当点A在第一象限时，点M（3，1），N（3，﹣1）Q（﹣1，﹣3）中可以是点A 的二次反射点的是N点；（3）若点A在第二象限，点A1，A2分别是点A的一次、二次反射点，△OA1A2为等边三角形，求射线OA与x轴所夹锐角的度数．附加问题：若点A在y轴左侧，点A1，A2分别是点A的一次、二次反射点，△AA1A2是等腰直角三角形，请直接写出点A在平面直角坐标系xOy中的位置．【分析】（1）根据一次反射点，二次反射点的定义解决问题即可．（2）根据一次反射点，二次反射点的定义解决问题即可．（3）由题意点A在第二象限，推出点A1，A2均在第一象限．由△OA1A2为等边三角形，A1，A2关于OB对称，推出∠A1OB＝∠A2OB＝30°，分两种情形分别求解即可解决问题．解：（1）由题意：点（2，5）的一次反射点为（﹣2，5），二次反射点为（5，﹣2）．故答案为（﹣2，5），（5，﹣2）．（2）由题意点A的二次反射点在第四象限，故答案为N点．（3）∵点A在第二象限，∴点A1，A2均在第一象限．∵△OA1A2为等边三角形，A1，A2关于OB对称，∴∠A1OB＝∠A2OB＝30°分类讨论：①若点A1位于直线l的上方，如图1所示，此时∠AOC＝∠A1OC＝15°，因此射线OA 与x轴所夹锐角为75°．②若点A1位于直线l的上下方，如图2所示，此时∠AOC＝∠A1OC＝75°，因此射线OA与x轴所夹锐角为15°．综上所述，射线OA与x轴所夹锐角为75°或15°．附加题：若点A在y轴左侧，点A1，A2分别是点A的一次、二次反射点，△AA1A2是等腰直角三角形，则点A在平面直角坐标系xOy中的位置：x轴负半轴或第三象限的角平分线．。
北京市海淀区2020届上学期初中九年级期末学业水平调研数学理试卷
北京市海淀区2020届上学期初中九年级期末学业水平调研数学试卷本调研卷满分100分。
考试时间120分钟。
一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。
1. 下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是A B C D2. 五张完全相同的卡片上，分别写有数字l ，2，3，4，5，现从中随机抽取一张，抽到的卡片上所写数字小于3的概率是A.51 B. 52 C. 53 D.54 3. 关于方程0132=--x x 的根的情况，下列说法正确的是A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 没有实数根D. 无法判断4. 如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，点E ，F 分别是边AD ，BC 上的点，AF 与BE 交于点O ，AE=2，BF=1，则△AOE 与△BOF 的面积之比为A.21B.41C. 2D. 45. 若扇形的半径为2，圆心角为90°，则这个扇形的面积为 A.2πB. πC. 2πD. 4π6. 如图，OA 交⊙O 于点B ，AD 切⊙O 于点D ，点C 在⊙O 上。
若∠A=40°，则∠C 为A. 20°B. 25°C. 30°D. 35°7. 在同一平面直角坐标系xOy 中，函数1+=kx y 与xky =（k ≠0）的图象可能是8. 在平面直角坐标系xOy 中，将横纵坐标之积为1的点称为“好点”，则函数3||-=x y 的图象上的“好点”共有A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9. 反比例函数xy 2=的图象经过A （2，y 1），B （3，y 2）两点，则y 1______y 2。
（填“>”，“=”或“<”）10. 如果关于x 的一元二次方程012=-+bx ax 的一个解是1=x ，则2020-a-b=________。
2019海淀二模数学试卷及答案
MOCBA海淀区九年级第二学期期末练习数学2019.06学校姓名准考证号考生须知1. 本试卷共8页，共三道大题，28道小题。
满分100分。
考试时间120分钟。
2. 在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号。
3. 试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
4. 在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他题用黑色字迹签字笔作答。
5. 考试结束，请将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。
一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．．．1．27-的立方根是A．3-B．3C．3±D．33-2．如图，直线AB，CD交于点O，射线OM平分∠AOC，若∠BOD=80°，则∠BOM等于A．140°B．120°C．100° D．80°3．科学家在海底下约4.8公里深处的沙岩中，发现了一种世界上最小的神秘生物，它们的最小身长只有0.000 000 02米，甚至比已知的最小细菌还要小．将0.000 000 02用科学记数法表示为A．-7210⨯B．-8210⨯C．-9210⨯D．-10210⨯4．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，若a c b-<<，则实数c的值可能是A．12-B．0 C．1 D．725．图1是矗立千年而不倒的应县木塔一角，它使用了六十多种形态各异的斗栱（dǒu gǒng）．斗栱是中国古代匠师们为减少立柱与横梁交接处的剪力而创造的一种独特的结构，位于柱与梁之间，斗栱是由斗、升、栱、翘、昂组成，图2是其中一个组成部件的三视图，则这个部件是A ．B ．C ．D ．6．已知a b >，则下列不等式一定成立的是A ．55a b ->-B ．55ac bc >C ．55a b -<+D ．55a b +>-7．下面的统计图反映了2013-2018年中国城镇居民人均可支配收入与人均消费支出的情况．（数据来源：国家统计局）根据统计图提供的信息，下列推断不合理．．．的是 A ．2013-2018年，我国城镇居民人均可支配收入和人均消费支出均逐年增加 B ．2013-2018年，我国城镇居民人均可支配收入平均每年增长超过2400元 C ．从2015年起，我国城镇居民人均消费支出超过20000元D ．2018年我国城镇居民人均消费支出占人均可支配收入的百分比超过70%8．如图，小宇计划在甲、乙、丙、丁四个小区中挑选一个小区租住，附近有东西向的交通主干道a 和南北向的交通主干道b ，若他希望租住的小区到主干道a 和主干道b 的直线距离之和最小，则下图中符合他要求的小区是 A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁二、 填空题（本题共16分，每小题2分） 9．当_______x 时，代数式2x x的值为0． 10．如图，在△ABC 中，∠BAC =90°，D 为BC 中点，若AD =52，AC =3，则AB 的长为 ．11．如图，在⊙O 中，弦BC 与半径OA 相交于点D ，连接AB ，OC ．若∠A =60°，∠ABC =20°，则∠C 的度数为 . 12．如果4m n =+，那么代数式2+m n mnn m m n ⎛⎫-⋅⎪⎝⎭的值是___________． 13．如图，在△ABC 中，P ，Q 分别为AB ，AC 的中点．若1APQ S =△，则PBCQ S 四边形=______．（第11题图）（第13题）14．某学习小组做抛掷一枚纪念币的实验，整理同学们获得的实验数据，如下表．下面有三个推断：①在用频率估计概率时，用实验5000次时的频率0.3494一定比用实验4000次时的频率0.3500更准确；②如果再次做此实验，仍按上表抛掷的次数统计数据，那么在数据表中，“正面向上”的频率有更大的可能仍会在0.35附近摆动；Q P CBADCBA③通过上述实验的结果，可以推断这枚纪念币有很大的可能性不是质地均匀的． 其中正确的是___________．15．按《航空障碍灯（MH/T6012-1999）》的要求，为保障飞机夜间飞行的安全，在高度为45米至105米的建筑上必须安装中光强航空障碍灯(Aviation Obstruction light)．中光强航空障碍灯是以规律性的固定模式闪光．在下图中你可以看到某一种中光强航空障碍灯的闪光模式，灯的亮暗呈规律性交替变化，那么在一个连续的10秒内，该航空障碍灯处于亮的状态的时间总和最长可达___________秒．16．右图是在浦东陆家嘴明代陆深古墓中发掘出来的宝玉——明白玉幻方．其背面有方框四行十六格，为四阶幻方（从1到16，一共十六个数目，它们的纵列、横行与两条对角线上4个数相加之和均为34）．小明探究后发现，这个四阶幻方中的数满足下面规律：在四阶幻方中，当数a ，b ，c ，d 有如图1的位置关系时，均有a +b =c +d =17．如图2，已知此幻方中的一些数，则x 的值为___________．三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分；第23-26题，每小题6分；第27-28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．计算： 04cos45(1)822︒+-+-－． 18．解不等式组：()48211032x x x x -<-⎧⎪⎨+>⎪⎩，．19．下面是小宇设计的“作已知直角三角形的中位线”的尺规作图过程．已知：在△ABC 中，∠C =90°．求作：△ABC 的中位线DE ，使点D 在AB 上，点E 在AC 上． 作法：如图，① 分别以A ，C 为圆心，大于12AC 长为半径画弧，两弧交于P ，Q 两点； ② 作直线PQ ，与AB 交于点D ，与AC 交于点E ． 所以线段DE 就是所求作的中位线．状态/秒暗亮图1 图2根据小宇设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：连接P A，PC，QA，QC，DC，∵P A=PC，QA=_________，∴PQ是AC的垂直平分线（________）（填推理的依据）．∴E为AC中点，AD=DC．∴∠DAC=∠DCA，又在Rt△ABC中，有∠BAC+∠ABC=90°，∠DCA+∠DCB=90°．∴∠ABC=∠DCB（________）（填推理的依据）．∴DB=DC．∴AD=BD=DC．∴D为AB中点．∴DE是△ABC的中位线．20．关于x的一元二次方程22(21)10x k x k--+-=，其中0k<．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）当1k=-时，求该方程的根．21．如图，在□ABCD中，∠BAD的角平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，连接DE．（1）求证：DA=DF；（2）若∠ADE=∠CDE=30°，DE=求□ABCD的面积．22．如图，AB是⊙O的直径，P A，PC与⊙O分别相切于点A，C，连接AC，BC，OP，AC 与OP相交于点D．（1）求证：90B CPO∠+∠=︒；（2）连结BP，若AC＝125，sin∠CPO＝35，求BP的长．23．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y x b =+与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，与双曲线2y x=的交点为M ，N ． （1）当点M 的横坐标为1时，求b 的值；（2）若3MN AB ≤，结合函数图象，直接写出b 的取值范围．24．有这样一个问题：探究函数2118y x x=-的图象与性质．小宇从课本上研究函数的活动中获得启发，对函数2118y x x=-的图象与性质进行了探究．下面是小宇的探究过程，请补充完整：（1）函数2118y x x=-的自变量x 的取值范围是 ；（2）如图，在平面直角坐标系xOy 中，完成以下作图步骤：①画出函数214yx 和2y x的图象； ②在x 轴上取一点P ，过点P 作x 轴的垂线l ，分别交函数214y x 和2y x的图象于点M ，N ，记线段MN 的中点为G ；③在x轴正半轴上多次改变点P 的位置，用②的方法得到相应的点G ，把这些点用平滑的曲线连接起来，得到函数2118y x x=-在y 轴右侧的图象．继续在x 轴负半轴上多次改变点P 的位置，重复上述操作得到该函数在y 轴左侧的图象．（3）结合函数2118y x x=-的图象， 发现：①该函数图象在第二象限内存在最低点，该点的横坐标约为 （保留小数点后一位）；②该函数还具有的性质为：_________________（一条即可）．25．某学校共有六个年级，每个年级10个班，每个班约40名同学．该校食堂共有10个窗口，中午所有同学都在食堂用餐．经了解，该校同学年龄分布在12岁（含12岁）到18岁（含18岁）之间，平均年龄约为15岁．小天、小东和小云三位同学，为了解全校同学对食堂各窗口餐食的喜爱情况，各自进行了抽样调查，并记录了相应同学的年龄，每人调查了60名同学，将收集到的数据进行了整理．小天从初一年级每个班随机抽取6名同学进行调查，绘制统计图表如下：小东从全校每个班随机抽取1名同学进行调查，绘制统计图表如下：小云在食堂门口，对用餐后的同学采取每隔10人抽取1人进行调查，绘制统计图表如下：根据以上材料回答问题：（1）写出图2中m 的值，并补全图2；（2）小天、小东和小云三人中，哪个同学抽样调查的数据能较好地反映出该校同学对各窗口餐食的喜爱情况，并简要说明其余同学调查的不足之处；（3）为使每个同学在中午尽量吃到自己喜爱的餐食，学校餐食管理部门应为______窗口尽量多的分配工作人员，理由为_________________________________ __．26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：223y ax ax =-+与直线l ：y kx b =+交于A ，B 两点，且点A 在y 轴上，点B 在x 轴的正半轴上． （1）求点A 的坐标；（2）若1a =-，求直线l 的解析式； （3）若31k -<<-，求a 的取值范围．yx–1–2–3–41234–1–2–3–41234O27．已知C 为线段AB 中点，ACM α∠=．Q 为线段BC 上一动点（不与点B 重合），点P在射线CM 上，连接P A ，PQ ，记BQ kCP =． （1）若60α=︒，1k =，①如图1，当Q 为BC 中点时， 求PAC ∠的度数； ②直接写出P A 、PQ 的数量关系；（2）如图2，当45α=︒时．探究是否存在常数k ，使得②中的结论仍成立？若存在，写出k 的值并证明；若不存在，请说明理由．图1 图228．对于平面直角坐标系xOy 中的两个图形M 和N ，给出如下定义：若在图形M 上存在一点A ，图形N 上存在两点B ，C ，使得△ABC 是以BC 为斜边且BC =2的等腰直角三角形，则称图形M 与图形N 具有关系()M N ，φ．（1）若图形X 为一个点，图形Y 为直线y x ，图形X 与图形Y 具有关系()X Y ，φ，则点1(0P ，2(11)P ，，3(22)P -，中可以是图形X 的是_____； （2）已知点()20P ，，点()02Q ，，记线段PQ 为图形X ． ①当图形Y 为直线y x 时，判断图形X 与图形Y 是否既具有关系()X Y ，φ又具有关系()Y X ，φ，如果是，请分别求出图形X 与图形Y 中所有点A 的坐标；如果不是，请说明理由；②当图形Y 为以(0)T t ，T 时，若图形X 与图形X 具有关系()X Y ，φ，求t 的取值范围．海淀区九年级第二学期期末练习参考答案数学2019．06一、选择题（本题共16分，每小题2分）二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．210．4 11．40 12．813．314．②③15．716．1三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分；第23-26题，每小题6分；第27-28题，每小题7分）17．（本小题满分5分）解：原式=2412222（-）=32．18．（本小题满分5分）解：原不等式组为482(1)1032xxxx，．①②解不等式①，得3x．解不等式②，得2x．∴原不等式组的解集为2x．19．（本小题满分5分）（1）补全的图形如图所示：（作等弧交于两点P,Q点1分，直线PQ 1分）（2）QC到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上等角的余角相等20．（本小题满分5分）解：（1）依题意可知，22(21)4(1)54k k k ∆=---=-, ∵0k , ∴0．∴方程有两个不相等的实数根. （2）当1k 时，方程为230x x ．解得123,0x x ．21．（本小题满分5分）（1）证明：∵ 四边形ABCD 为平行四边形，∴ AB ∥CD ． ∴ ∠BAF =∠F ． ∵AF 平分∠BAD ， ∴ ∠BAF =∠DAF ． ∴ ∠F =∠DAF ． ∴ AD =FD ．（2）解： ∵∠ADE =∠CDE =30°，AD =FD ，∴ DE ⊥AF ．∵tan ∠ADE＝AE DE =，DE = ∴2AE =．∴2ABCDADESSAE DE ==⋅=22．（本小题满分5分） （1）证明：连接OC ，如图.∵ P A ，PC 与⊙O 分别相切于点A ，C ，∴ OC ⊥PC ，OA ⊥P A ，∠APC =2∠CPO ． ∴ ∠OCP =∠OAP =90°．∵ ∠AOC +∠APC +∠OCP +∠OAP =360°， ∴ ∠AOC +∠APC =180°． ∵ ∠AOC =2∠B ， ∴ 90B CPO ∠+∠=︒．（2）解： 连接BP ，如图．∵ AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB =90°．∴∠ABC+∠BAC =90°． ∵90ABC CPO ∠+∠=︒， ∴ ∠BAC =∠CPO =∠APO . ∵AC ＝125，sin ∠BAC ＝35,∴ 3AB =,32OA =． ∵32OA =，sin ∠APO ＝35,∴ 2AP =.∴PB =23．（本小题满分6分） 解：（1）∵点M 是双曲线2y x=上的点，且点M 的横坐标为1， ∴点M 的坐标为（1，2）．∵点M 是直线y x b =+上的点，∴1b =． （2）当1b 时，满足3MN AB ，结合函数图像可得，b 的取值范围是1b ≤-或1b ≥．24．（本小题满分6分） （1）0x ≠；（2）（3）① 1.6-；(在 1.9 1.3至--之间即可)②该函数的其它性质：当0x >时，y 随x 的增大而增大. （写出一条即可）25．（本小题满分6分）解：（1）15.0（2）小东． 理由：小天调查的不足之处：仅对初一年级抽样，不能代表该学校学生总体的情况； 小云调查的不足之处：抽样学生的平均年龄为16岁，远高于全校学生的平均年龄，不能代表该学校学生总体情况.（3）6号和8号（或者只有8；或者5，6，8）．理由：从小东的调查结果看，这几个窗口受到更多的同学的喜爱，应该适当增加这几个窗口的工作人员.注意：（2）（3）的答案不唯一26．（本小题满分6分）（1）∵ 抛物线C ：223y ax ax =-+与y 轴交于点A ，∴ 点A 的坐标为（0，3）. （2）当1a =-时，抛物线C 为223y x x =-++.∵ 抛物线C 与x 轴交于点B ，且点B 在x 轴的正半轴上，∴ 点B 的坐标为（3，0）. ∵ 直线l ：y kx b =+过A ，B 两点，∴ 330.b k b =⎧⎨+=⎩，解得1,3.k b =-⎧⎨=⎩∴ 直线l 的解析式为3y x =-+. （3）如图，当0a >时，当3a =时，抛物线C 过点B （1，0），此时3k =-. 结合函数图象可得3a >. 当0a <时，当1a =-时，抛物线C 过点B （3，0），此时1k =-. 结合函数图象可得1a <-.综上所述，a 的取值范围是1a <-或3a >.27．（本小题满分7分）（1）①解：在CM上取点D，使得CD=CA，连接AD.∵60ACM∠=︒，∴△ADC为等边三角形．∴60DAC∠=︒.∵C为AB的中点，Q为BC的中点，∴AC=BC=2BQ.∵BQ=CP,∴AC=BC=CD =2CP.∴AP平分∠DAC.∴∠P AC=∠P AD =30°.②P A=PQ.（2）存在k=.证明：过点P作PC的垂线交AC于点D.∵45ACM∠=︒，∴∠PDC=∠PCD=45°.∴PC=PD，∠PDA=∠PCQ=135°.∵CD=，BQ=，∴CD= BQ.∵AC=BC，∴AD= CQ.∴△P AD≌△PQC.∴P A=PQ. M28．（本小题满分7分） （1）1P ； （2）① 是， 图1如图1，在直线y x =上取点B ，C ，且BC =2，则满足△ABC 是以BC 为斜边的等腰直角三角形的点A ，在到直线y x =距离为1的两条平行直线上. 这两条平行直线与PQ 分别交于1A ，2A 两点. 故图形X 与图形Y 满足(),X Y ϕ.直线y x =与线段PQ 交于点M （1，1），过点M 作MH ⊥y 轴于H ，与1A B交于点N ，则11MA =，2MN =，可得1A （12-，12+）. 同理可求得 2A （12+，12-）. 如图2，在线段PQ 上取点B ，C ，且BC =2，则满足△ABC 是以BC 为斜边的等腰直角三角形的点A 在图中的两条线段上，这两条线段与直线y x =交于3A ，4A 两点. 故图形X 与图形Y 满足(),YX ϕ.同上可求得3A（12-，12-），4A （12+，12+）.② 1t ≤≤-或25t ≤≤.。
2019-2020第一学期海淀高三期末数学试卷
海淀区高三年级第一学期期末练习数学 2020. 01本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}1,3,5A =，{}2,3,4B =，则集合UA B 是（A ）{1,3,5,6}（B ）{1,3,5} （C ）{1,3} （D ）{1,5}（2）抛物线24y x =的焦点坐标为 （A ）(0,1)（B ）(10，) （C ）(0,1-) （D ）(1,0)-（3）下列直线与圆22(1)(1)2x y -+-=相切的是（A ）y x =- （B ）y x =（C ）2y x =- （D ）2y x =（4）已知,a b R ，且a b ，则（A ）11a b（B ）sin sin a b（C ）11()()33ab （D ）22a b（5）在51()x x-的展开式中，3x 的系数为 （A ）5（B ）5（C ）10（D ）10（6）已知平面向量,,a b c 满足++=0a b c ，且||||||1===a b c ，则⋅a b 的值为（A ）12（B ）12（C ）32（D ）2（7）已知α, β, γ是三个不同的平面，且=m αγ，=n βγ，则“m n ∥”是“αβ∥”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（8）已知等边△ABC 边长为3. 点D 在BC边上，且BD CD >，AD =下列结论中错误的是（A ）2BDCD= （B ）2ABDACDS S ∆∆= （C ）cos 2cos BADCAD∠=∠ （D ）sin 2sin BAD CAD ∠=∠（9）声音的等级()f x （单位：dB ）与声音强度x （单位：2W/m ）满足12()10lg110x f x -=⨯⨯.喷气式飞机起飞时，声音的等级约为140dB ；一般说话时，声音的等级约为60dB ，那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的 （A ）610倍（B ）810倍（C ）1010倍（D ）1210倍（10）若点N 为点M 在平面上的正投影，则记()Nf M . 如图，在棱长为1的正方体1111ABCDA B C D 中，记平面11AB C D 为，平面ABCD 为，点P 是棱1CC 上一动点（与C ，1C 不重合），1[()]Q f f P ，2[()]Q f f P . 给出下列三个结论：①线段2PQ长度的取值范围是1[2；②存在点P 使得1PQ ∥平面；③存在点P 使得12PQ PQ .其中，所有正确结论的序号是（A ）①②③（B ）②③（C ）①③（D ）①②第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
北京市海淀区2019-2020学年第二学期期末练习九年级数学试题-数学二模试题及参考答案2020.6
北京市海淀区初三二模数学试卷及参考答案2020.06一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1． 下面的四个图形中，是圆柱的侧面展开图的是ABCD2. 若代数式12x -有意义，则实数x 的取值范围是A.0x =B.2x =C.0x ≠D. 2x ≠3. 如图，在△ABC 中，AB= 3 cm ，通过测量，并计算△ABC的面积，所得面积与下列数值最接近的是A.1.5 cm 2B.2 cm 2C.2.5 cm 2D.3 cm 24． 右图中阴影部分是由4个完全相同的的正方形拼接而成，若要在①, ②, ③, ④四个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是中心对称图形，则这个正方形 应该添加在A ．区域①处B ．区域②处C ．区域③处D ．区域④处CBA5. 如图，在△ABC 中，EF ∥BC ，ED 平分∠BEF ，且∠DEF =70°，则∠B 的度数为A ．70°B ．60°C ．50°D ．40°6． 如果220a a --=，那么代数式2(1)(2)(2)a a a -++-的值是A. 1B. 2C. 3D. 4 7. 如图，⊙O 的半径等于4，如果弦AB 所对的圆心角等于90°，那么圆心O 到弦AB 的距离为A.B. 2C.D. 8. 在平面直角坐标系xOy 中，对于点P (a , b )，若ab >0，则称点P 为“同号点”. 下列函数的图象中不存在．．． “同号点”的是 A.1y x =-+B.22y x x =-C.2y x=-D.21y x x=+二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9. 单项式23x y 的系数是_________.10. 如图，点A , B , C 在O 上，点D 在O 内，则∠ACB _____∠ADB .（填“＞”，“=”或“＜”）11.根据上表，这名篮球运动员投篮一次，投中的概率约为_________.（结果精确到0.01）12. 函数1(0)y kx k =+≠的图象上有两点1122(1,),(1,)P y P y -, 若12y y <，写出一个符合题意的k 的值：_______.BEDFCA13. 如图，在△ABC 中，AB ＝BC ，∠ABC ＝120°，过点B 作BD ⊥BC ，交AC 于点D ，若AD =1，则CD 的长度为_________．14. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点(3,2)C ，将△ABC 关于直线x =4对称，得到111A B C △，则点C 的 对应点1C 的坐标为________; 再将111A B C △向上平移 一个单位长度，得到222A B C △，则点1C 的对应点2C的坐标为_________.15. 小华和小明周末到北京三山五园绿道骑行.他们按设计好的同一条线路同时出发，小华每小时骑行18 km ，小明每小时骑行12 km ，他们完成全部行程所用的时间，小明比小华多半小时. 设他 们这次骑行线路长为x km ，依题意，可列方程为______________.16. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，有五个点(2,0)A ，(0,2)B -，(2,4)C -，(4,2)D -，(7,0)E ，将二次函数2(2)y a x m =-+(0)m ≠的图象记为W . 下列的判断中 ① 点A 一定不在W 上；② 点B ，C ，D 可以同时在W 上； ③ 点C ，E 不可能同时在W 上. 所有正确结论的序号是 ．三、 解答题（本题共68分，第17~22题，每小题5分，第23~26题，每小题6分，第27~28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17．计算：11(2020π)1|2cos302-⎛⎫+-+-︒ ⎪⎝⎭.D CBA18 . 解不等式2(1)4x x-<-，并在数轴上表示出它的解集.19.下面是小王同学“过直线外一点作该直线的平行线”的尺规作图过程.已知：直线l及直线l外一点P.求作：直线PQ，使得PQ//l.作法：如图，①在直线l外取一点A，作射线AP与直线l交于点B，②以A为圆心，AB为半径画弧与直线l交于点C，连接AC，③以A为圆心，AP为半径画弧与线段AC交于点Q，则直线PQ即为所求.根据小王设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，（____________________）.（填推理的依据）∵AP=_________,∴∠APQ =∠AQP.∵∠ABC+∠ACB+∠A=180°，∠APQ +∠AQP+∠A=180°，∴∠APQ =∠ABC.∴PQ∥BC（____________________）.（填推理的依据）即PQ//l.20. 已知关于x的一元二次方程220x x n-+=．（1）如果此方程有两个相等的实数根，求n的值;（2）如果此方程有一个实数根为0，求另外一个实数根.21.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB边的中点，连接CD，过点A作AG∥DC，过点C作CG∥DA，AG与CG相交于点G.（1）求证: 四边形ADCG是菱形;（2）若AB=10，3tan=4CAG∠，求BC的长.x1234–1–2–3–4lPlAPDACBG22. 坚持节约资源和保护环境是我国的基本国策，国家要求加强生活垃圾分类回收与再生资源回收有效衔接，提高全社会资源产出率，构建全社会的资源循环利用体系. 图1反映了2014-2019年我国生活垃圾清运量的情况.图2反映了2019年我国G 市生活垃圾分类的情况.图 2根据以上材料回答下列问题： （1）图2中，n 的值为________;（2）2014-2019年，我国生活垃圾清运量的中位数是________;（3）据统计，2019年G 市清运的生活垃圾中可回收垃圾约为0.02亿吨，所创造的经济总价值约为40亿元.若2019年我国生活垃圾清运量中，可回收垃圾的占比与G 市的占比相同，根据 G 市的数据估计2019年我国可回收垃圾所创造的经济总价值是多少. 23. 如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，⊙O 的切线BD 交OC 的延长线于点D.（1）求证：DBC OCA ∠=∠；（2）若∠BAC =30°，AC =2. 求CD 的长.图 10 2.52.32.22.01.91.83.22.41.60.82019201820172016201520142014-2019年我国生活垃圾清运量统计图清运量/亿吨年份厨余垃圾 55%其他垃圾 n %有毒有害垃圾7 %20 %OC24. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，函数2(0)y x x=>的图象与直线(0)y kx k =≠交于点P (1, p ).M 是函数2(0)y x x=>图象上一点，过M 作x 轴的平行线交直线(0)y kx k =≠于点N .（1）求k 和p 的值； （2）若点M 的横坐标为m .①求点N 的坐标；（用含m 的代数式表示） ②若△OMN 的面积大于12，结合图象直接写 出m 的取值范围.25. 如图1，在四边形ABCD 中，对角线AC 平分∠BAD ，∠B =∠ACD =90°，AC －AB =1. 为了研究图中线段之间的数量关系，设AB =x ，AD =y .（1）由题意可得()AB AC AD=，（在括号内填入图1中相应的线段） y 关于x 的函数表达式为y = ； （2）如图2，在平面直角坐标系xOy 中，根据（1）中y 关于x 的函数表达式描出了其图象上的一部分点，请依据描出的点画出 该函数的图象;（3）结合函数图象，解决问题：①写出该函数的一条性质： ；图 2图 1BDC A26. 在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数y =mx 2+2mx +3的图象与x 轴交于点(3,0)A -，与y 轴交于点B ，将其图象在点A ，B 之间的部分（含A , B 两点）记为F . （1）求点B 的坐标及该函数的表达式；（2）若二次函数y =x 2+2x +a 的图象与F 只有一个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围.27．如图1，等边三角形ABC 中，D 为BC 边上一点，满足BD CD <, 连接AD , 以点A 为中心,将射线AD 顺时针．．．旋转60°，与△ABC 的外角平分线BM 交于点E . （1）依题意补全图1； （2）求证：AD =AE ；（3）若点B 关于直线AD 的对称点为F ，连接CF .① 求证：AE ∥CF ；② 若BE CF AB +=成立，直接写出∠BAD 的度数为__________°.28．在平面内，对于给定的△ABC ，如果存在一个半圆或优弧与△ABC 的两边相切，且该弧上的所有 点都在△ABC 的内部或边上，则称这样的弧为△ABC 的内切弧．当内切弧的半径为最大时，称该 内切弧为△ABC 的完美内切弧．（注：弧的半径指该弧所在圆的半径） 在平面直角坐标系xOy 中，A (8,0)，B (0,6).（1）如图1，在弧G 1，弧G 2，弧G 3中，是△OAB 的内切弧的是 ；（2）如图2，若弧G 为△OAB 的内切弧，且弧G 与边AB ，OB 相切，求弧G 的半径的最大值； （3）如图3，动点M (m ,3)，连接OM ，AM .①直接写出△OAM 的完美内切弧半径的最大值；②记①中得到的半径最大时的完美内切弧为弧T ．点P 为弧T 上的一个动点，过点P 作x 轴 的垂线，分别交x 轴和直线AB 于点D ，E ，点F 为线段PE 的中点，直接写出线段DF 长度AB CM备用图图 1图 1图2图 3备用图北京市海淀区初三二模数学试卷及参考答案和评分标准2020.6一、选择题二、填空题9. 3 10. <11. 0.68 12. 1 (答案不唯一)13. 214. （5，2），（5，3）15.112182x x -=16. ①②注：第14题每空1分；第16题答对一个得1分，答对2个得满分，含有错误答案得0分 三、解答题17. 解：原式=2+1+√3−1−2×√32=218 . 解：去括号，得：224x x -<-.移项，得：2+42x x <+.合并同类项，得：36x <. 系数化成1得：2x <．该不等式的解集在数轴上表示为：19. 解：（1）补全图形如图所示：（2）等边对等角.AQ .同位角相等，两直线平行.20. 解:（1）∵原方程有两个相等实数根，∴Δ=0.即2(2)40n --=.∴1n =.（2）∵原方程有一个实数根为0， ∴20200n -⨯+=即0n =.∴原方程可化为220x x -=. l21.（1）证明：∵AG ∥DC ，CG ∥DA , ∴四边形ADCG 为平行四边形.∵Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，D 为AB 边的中点, ∴AD CD BD ==. ∴四边形ADCG 是菱形.（2）解：∵四边形ADCG 是菱形， ∴CAG BAC ∠=∠.∵3tan =4CAG ∠,∴3tan =4BAC ∠.∴34BC AC =. ∵10AB =, ∴6BC =.22. 解：（1）18.（2）2.1.（3）2.520%0.5()⨯=亿吨400.022000()÷=亿元/亿吨20000.5=1000⨯（亿元）答：根据G 市的数据估计2019年我国可回收垃圾所创造的经济总价值是1000亿元. 23. （1）证明：∵DB 是⊙O 的切线，∴∠OBD =∠OBC +∠DBC =90°. ∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB =∠OCA +∠OCB =90°. ∵OC =OB ，∴∠OBC =∠OCB .∴∠DBC =∠OCA .（2）解：在Rt △ACB 中， ∠A=30°，AC =2，可得CB=AC tan A ∵∠A =30°，∴∠COB =2∠A =60°. ∴∠D =90°-∠COB =30°. ∵OA=OC ，∴∠OCA =∠A =30°. ∴∠DBC =∠OCA =30°.∴CB =CD . ∴CD24．解：（1）依题意，P (1, p )在函数2(0)y x x=>的图象上，可得21p ==2，得点P （1,2）.将P （1,2）代入直线(0)y kx k =≠，得2k =.（2）①由于M 是函数2(0)y x x =>图象上一点，且点M 的横坐标为m ，可得点M 的纵坐标为2m.又因为过M 作x 轴的平行线交直线(0)y kx k =≠于点N ， 得22x m =，解得1x m =，即N 点坐标为(1m , 2m).②0m <<m > 25.解：（1）AC ，2(1)x x+.（2）如图所示：（3） ①当x ＞1时，y 随x 的增大而增大（答案不唯一）.②4.8. 26. 解：（1）∵y =mx 2+2mx +3的图象与与y 轴交于点B ，∴点B 的坐标为(0, 3).∵y =mx 2+2mx +3的图象与x 轴交于点(3,0)A -， ∴将(3,0)A -代入y =mx 2+2mx +3可得9630m m -+=.∴ m = -1.∴该函数的表达式为y =-x 2-2x +3.图 2（2）∵将二次函数y =mx 2+2mx +3的图象在点A ，B 之间的部分（含A , B 两点）记为F ，∴F 的端点为A , B ，并经过抛物线y =mx 2+2mx +3的 顶点C （其中C 点坐标为(-1,4)）. ∴可画F 如图1所示.∵二次函数y =x 2+2x +a 的图象的对称轴为x =-1，且与F 只有一个公共点,∴可分别把A , B , C 的坐标代入解析式y =x 2+2x +a 中. ∴可得三个a 值分别为-3，3，5. 可画示意图如图2所示.∴结合函数图象可知： 二次函数y =x 2+2x +a的图象与F 只有一个公共点时，a 的取值范围是-3≤a <3或a =5.27．（1）依题意补全图形（2）证明：∵ △ABC 是等边三角形，∴ AB =AC ，∠BAC =∠ABC =∠C =60°. ∴ ∠1+∠2=60°.∵ 射线AD 绕点A 顺时针旋转60°得到射线AE ， ∴ ∠DAE =60°. ∴ ∠2+∠3=60°. ∴ ∠1=∠3.∵ ∠ABC =60°，∴ ∠ABN =180°-∠ABC =120°. ∵ BM 平分∠ABN ， ∴ ∠4=∠5=60°. ∴ ∠4=∠C. ∴ △ABE ≌△ACD .C图 1图 2∴ AD =AE .（3）① 证明：连接AF ，设∠BAD =α， ∵ 点B 与点F 关于直线AD 对称， ∴ ∠F AD =∠BAD =α，F A =AB . ∵ ∠DAE =60°，∴ ∠BAE =∠DAE -∠DAB =60°-α. ∵ 等边三角形ABC 中，∠BAC =60°， ∴ ∠EAC =∠BAE +∠BAC =120°-α. ∵ AB =AC ，AF =AB ， ∴ AF =AC . ∴ ∠F =∠ACF .∵ ∠F AC =∠BAC -∠F AD -∠BAD =60°-2α， 且∠F +∠ACF +∠F AC =180°， ∴ ∠ACF =60°+α.∴ ∠EAC +∠ACF =180°. ∴ AE ∥CF .② 20°.28. 解：（1）弧G 2，弧G 3.（2）∵ 弧G 为△OAB 的内切弧，且弧G 与边AB ，OB 相切,∴ 弧G 所在圆的圆心在∠OBA 的角平分线BI 上. 易知若弧G 的半径最大，则弧G 所在圆的圆心I 在 △OAB 的边OA 上. 设弧G 与边AB ，OB 相切分别 切于点O ，H. ∴ IH ⊥AB . ∵ A (8,0)，B (0,6),∴ BO ＝6，AO ＝8 ，AB10. ∵ ∠IOB ＝∠ IHB ＝90°，OI ＝IH ，BI ＝BI , ∴ △IOB ≌△IHB .∴ BH ＝BO ＝6.∴ AH ＝AB －BH =4，AI ＝AO －OI ＝8－OI ，OI ＝HI . 在Rt△AIH 中, AI 2＝AH 2＋HI 2, 即222(8)4OI OI -=+. 解得OI ＝3.（3）①△OAM 的完美内切弧半径的最大值为125.②线段DF 长度的取值范围是335DF ≤≤且4825DF ≠.FDNEABCM注：本试卷各题中若有其他合理的解法请酌情给分.。
2023-2024学年北京市海淀区九年级(上)期末数学试卷及答案解析
2023-2024学年北京市海淀区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．（2分）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．下图为部分“卦”的符号，其中是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．（2分）抛物线y＝﹣（x﹣1）2+2的顶点坐标是（）A．（1，﹣2）B．（1，2）C．（﹣1，﹣2）D．（﹣1，2）3．（2分）若关于x的一元二次方程2x2+x﹣m＝0有一个根为1，则m的值为（）A．3B．0C．﹣2D．﹣34．（2分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c ＝0的根的情况为（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．有实数根D．没有实数根5．（2分）如图，在⊙O中，AB为直径，C，D为圆上的点，若∠CDB＝51°，则∠CBA的大小为（）A．51°B．49°C．40°D．39°6．（2分）如图，⊙O的半径为2，将⊙O的内接正六边形ABCDEF绕点O顺时针旋转，第一次与自身重合时，点A经过的路径长为（）A．2B．C．D．4π7．（2分）林业部门考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，统计数据如下：移植总数m1027075015003500700014000成活数n823566213353180629212628成活的频率（结果保留0.8000.8700.8830.8900.9090.8990.902小数点后三位）下列说法正确的是（）A．若移植10棵幼树，成活数将为8棵B．若移植270棵幼树，成活数不会超过235棵C．移植的幼树越多，成活率越高D．随着移植总数的增加，幼树移植成活的频率总在0.900左右摆动，显示出一定的稳定性，可以估计该幼树在同等条件下移植成活的概率为0.9008．（2分）如果一个圆的内接三角形有一边的长度等于半径，那么称其为该圆的“半径三角形”．给出下面四个结论：①一个圆的“半径三角形”有无数个；②一个圆的“半径三角形”可能是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形；③当一个圆的“半径三角形”为等腰三角形时，它的顶角可能是30°，120°或150°；④若一个圆的半径为2，则它的“半径三角形”面积最大值为．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A．①②B．②③C．①②③D．①②④二、填空题（共16分，每题2分）9．（2分）在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y＝3x2向下平移1个单位，得到的抛物线表达式为．10．（2分）如图，由5个相同的正方形组成的十字形纸片沿直线AB和EF剪开后重组可得到矩形ABCD，那么②可看作①通过一次得到（填“平移”“旋转”或“轴对称”）．11．（2分）若关于x的一元二次方程ax2＝16有整数根，则整数a的值可以是（写出一个即可）．12．（2分）已知y是x的二次函数，表中列出了部分y与x的对应值：x012y01﹣1则该二次函数有（填“最小值”或“最大值”）．13．（2分）“青山绿水，畅享生活”，人们经常将圆柱形竹筒改造成生活用具，图1所示是一个竹筒水容器，图2为该竹筒水容器的截面．已知截面的半径为10cm，开口AB宽为12cm，这个水容器所能装水的最大深度是cm．14．（2分）如图，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B，∠P＝60°．若⊙O的半径为3，则图中阴影部分的面积为（结果保留π）．15．（2分）如图，将面积为25的正方形ABCD的边AD的长度增加a，变为面积为22的矩形AEGF．若正方形ABCD和矩形AEGF的周长相等，则a的值是．16．（2分）小云将9张点数分别为1～9的扑克牌以某种分配方式全部放入A，B两个不透明的袋子中（每个袋子至少放一张扑克牌），从两个袋子中各随机抽取一张扑克牌，将两张扑克牌的点数之和为k，这一事件的概率记为P k．（1）若将点数为1和2的扑克牌放入A袋，其余扑克牌放入B袋，则P8＝；（2）对于所有可能的分配方式以及所有的k，P k的最大值是．三、解答题（共68分，第17-19题，每题5分，20题6分，第21-23题，每题5分，第24-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．（5分）解方程：x2+x＝1．18．（5分）已知2a2﹣3a+1＝0，求代数式（a﹣3）2+a（a+3）的值．19．（5分）如图，在△ABC中，∠B＝45°，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB'C'，使点B'在BC的延长线上．求证：BB'⊥C'B'．20．（6分）已知关于x的方程x2﹣2mx+m2﹣n＝0有两个不相等的实数根．（1）求n的取值范围；（2）若n为符合条件的最小整数，且该方程的较大根是较小根的2倍，求m的值．21．（5分）如图，P是⊙O外一点，PA与⊙O相切，切点为A．画出⊙O的另一条切线PB，切点为B．小云的画法是：①连接PO，过点A画出PO的垂线交⊙O于点B；②画出直线PB．直线PB即为所求．（1）根据小云的画法，补全图形；（2）补全下面的证明．证明：连接OA，OB．∵OA＝OB，AB⊥PO，∴PO垂直平分AB，∠OAB＝∠OBA．∴PA＝①．∴∠PAB＝②．∴∠PAO＝∠PBO．∵PA是⊙O的切线，A为切点，∴OA⊥AP．∴∠PAO＝90°．∴∠PBO＝90°．∴OB⊥PB于点B．∵OB是⊙O的半径，∴PB是⊙O的切线（③）（填推理的依据）．22．（5分）不透明袋子中装有1个红球，1个绿球和2个黄球，这些球除颜色外无其他差别．（1）从袋子中随机摸出1个球，摸出的球是黄球的概率为；（2）从袋子中随机摸出一个球后，不放回，再从剩余的球中随机摸出一个．请利用列表或画树状图的方法，求摸出的两个球恰好是一个红球和一个黄球的概率．23．（5分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（0，2），B（3，﹣1）．（1）求该抛物线的表达式；（2）过点（0，t）与y轴垂直的直线l与抛物线交于点P（x1，y1），Q（x2，y2），其中x1＜x2，与直线AB交于点N（x3，y3）．若x1＜x3＜x2，直接写出t的取值范围．24．（6分）如图，在边长为4cm的正方形ABCD各边上取点E，F，G，H（可与A，B，C，D重合），使得四边形EFGH为正方形．设AE为x cm，正方形EFGH的面积为y cm2．（1）y关于x的函数表达式是，自变量x的取值范围是；（2）在下面的平面直角坐标系xOy中，画出（1）中函数的图象；（3）当x＝cm时，正方形EFGH面积有最小值cm2．25．（6分）如图，AB为半圆O的直径，点C，D在半圆O上，直线CM与半圆O相切于点C，CM∥AD．（1）若∠MCD＝α，求∠COA的大小（用含α的式子表示）；（2）过点O作OE⊥CD交CM于点E，交CD于点F，若CD∥AB，AB＝6，求CE的长．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣1，m），点B（3，n）在抛物线y＝ax2+bx+c （a＞0）上．设抛物线的对称轴为直线x＝t．（1）当t＝2时，①直接写出b与a满足的等量关系；②比较m，n的大小，并说明理由；（2）已知点C（x0，p）在该抛物线上，若对于3＜x0＜4，都有m＞p＞n，求t的取值范围．27．（7分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边AC，BC上，连接DE，∠EDC ＝∠B．（1）求证：ED＝EC；（2）连接BD，点F为BD的中点，连接AF，EF．①依题意补全图形；②若AF⊥EF，求∠BAC的大小．28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，将中心为T的正方形记作正方形T，对于正方形T 和点P（不与O重合）给出如下定义：若正方形T的边上存在点Q，使得直线OP与以TQ为半径的⊙T相切于点P，则称点P为正方形T的“伴随切点”．（1）如图，正方形T的顶点分别为点O，A（2，2），B（4，0），C（2，﹣2）．①在点P1（2，1），P2（1，1），P3（1，﹣1）中，正方形T的“伴随切点”是；②若直线y＝x+b上存在正方形T的“伴随切点”，求b的取值范围；（2）已知点T（t，t+1），正方形T的边长为2．若存在正方形T的两个“伴随切点”M，N，使得△OMN为等边三角形，直接写出t的取值范围．2023-2024学年北京市海淀区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．（2分）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．下图为部分“卦”的符号，其中是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据中心对称图形的定义：平面内一个图形绕某点旋转180°后与初始图形重合，这个图形叫做中心对称图形，对所给选项进行判断即可得解．【解答】解：A、是中心对称图形；故此选项符合题意；B、不是中心对称图形，故此选项不合题意；C、不是中心对称图形，故此选项不合题意；D、不是中心对称图形，故此选项不合题意．故选：A．【点评】此题考查中心对称图形的概念，熟练掌握中心对称图形的概念是解答此题的关键．2．（2分）抛物线y＝﹣（x﹣1）2+2的顶点坐标是（）A．（1，﹣2）B．（1，2）C．（﹣1，﹣2）D．（﹣1，2）【分析】根据抛物线y＝﹣（x﹣1）2+2，可以直接写出该抛物线的顶点坐标，本题得以解决．【解答】解：∵抛物线y＝﹣（x﹣1）2+2，∴该抛物线的顶点坐标为（1，2），故选：B．【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．3．（2分）若关于x的一元二次方程2x2+x﹣m＝0有一个根为1，则m的值为（）A．3B．0C．﹣2D．﹣3【分析】把x＝1代入一元二次方程得到2+1﹣m＝0，然后解一次方程即可．【解答】解：把x＝1代入方程2x2+x﹣m＝0得2+1﹣m＝0，解得m＝3．故选：A．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．4．（2分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c ＝0的根的情况为（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．有实数根D．没有实数根【分析】依据题意，关于x的方程ax2+bx+c＝0的根就是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的交点的横坐标，据此即可求解．【解答】解：∵y＝ax2+bx+c的图象与x轴没有交点，且方程ax2+bx+c＝0的根就是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的交点的横坐标，∴关于x的方程ax2+bx+c＝0的根的情况是没有实数根．故选：D．【点评】本题主要考查了方程ax2+bx+c＝0的根的情况，关键是看函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的交点．5．（2分）如图，在⊙O中，AB为直径，C，D为圆上的点，若∠CDB＝51°，则∠CBA的大小为（）A．51°B．49°C．40°D．39°【分析】由于AB是⊙O的直径，由圆周角定理可知∠ACB＝90°，则∠A和∠CBA互余，欲求∠CBA需先求出∠A的度数，已知了同弧所对的圆周角∠CDB的度数，则∠A＝∠CDB，由此得解．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠A+∠CBA＝90°，又∵∠A＝∠CDB＝51°，∴∠CBA＝90°﹣∠A＝39°．故选：D．【点评】本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理进行求解是解决本题的关键．6．（2分）如图，⊙O的半径为2，将⊙O的内接正六边形ABCDEF绕点O顺时针旋转，第一次与自身重合时，点A经过的路径长为（）A．2B．C．D．4π【分析】根据题意第一次与自身重合时旋转角是60°，然后根据弧长公式即可求得．【解答】解：∵正六边形ABCDEF绕中心O顺时针旋转第一次与自身重合时旋转角是60°，∴点A运动的路径长＝＝．故选：C．【点评】本题考查了旋转对称图形，也考查了学生的理解能力和计算能力，解此题的关键是求出第一次重合的旋转角．7．（2分）林业部门考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，统计数据如下：移植总数m1027075015003500700014000成活数n8235662133531806292126280.8000.8700.8830.8900.9090.8990.902成活的频率（结果保留小数点后三位）下列说法正确的是（）A．若移植10棵幼树，成活数将为8棵B．若移植270棵幼树，成活数不会超过235棵C．移植的幼树越多，成活率越高D．随着移植总数的增加，幼树移植成活的频率总在0.900左右摆动，显示出一定的稳定性，可以估计该幼树在同等条件下移植成活的概率为0.900【分析】根据统计图中的数据和频率与概率的关系，可以判断各个小题中的结论是否成立，从而可以解答本题．【解答】解：若移植10棵幼树，成活数不一定是8棵，因此选项A不符合题意；若移植270棵幼树，成活数可能会超过235棵，因此选项B不符合题意；移植的幼树越多，幼树移植成活的频率总在0.900左右摆动，因此选项C不符合题意；随着移植总数的增加，幼树移植成活的频率总在0.900左右摆动，显示出一定的稳定性，可以估计该幼树在同等条件下移植成活的概率为0.900，因此选项D符合题意；故选：D．【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率＝所求情况数与总情况数之比．8．（2分）如果一个圆的内接三角形有一边的长度等于半径，那么称其为该圆的“半径三角形”．给出下面四个结论：①一个圆的“半径三角形”有无数个；②一个圆的“半径三角形”可能是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形；③当一个圆的“半径三角形”为等腰三角形时，它的顶角可能是30°，120°或150°；④若一个圆的半径为2，则它的“半径三角形”面积最大值为．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A．①②B．②③C．①②③D．①②④【分析】根据圆的“半径三角形”的概念判断①②；根据圆周角定理、等腰三角形的概念判断③；根据垂径定理求出AH，根据勾股定理求出OH，求出△ABC的最大面积，判断④．【解答】解：如图，AB＝OA，即AB的长度等于半径，以AB为边的圆的内接三角形有无数个，∴一个圆的“半径三角形”有无数个，故①结论正确；∵OA＝OB＝AB，∴△OAB为等边三角形，∴∠AOB＝60°，当点C在优弧AB上时，∠C＝30°，当点C在劣弧AB上时，∠C＝150°，当点C在圆上移动时，∠CAB可能是90°，∴一个圆的“半径三角形”可能是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形，故②结论正确；由以上可知，∠C可以是30°或150°，当AC＝AB，∠C＝30°时，∠CAB＝180°﹣30°3﹣30°＝120°，∴当一个圆的“半径三角形”为等腰三角形时，它的顶角可能是30°，120°或150°，故③结论正确；过点O作OH⊥AB于H，则AH＝HB＝AB＝1，∴OH＝＝，当点C为优弧AB的中点时，△ABC的面积最大，最大面积为：×2×（2+）＝2+，故④结论错误；故选：C．【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、等腰三角形的性质、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．二、填空题（共16分，每题2分）9．（2分）在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y＝3x2向下平移1个单位，得到的抛物线表达式为y＝3x2﹣1．【分析】根据二次函数图象平移规律：上加下减，进行求解即可．【解答】解：将抛物线y＝3x2向下平移1个单位，得到的抛物线表达式为y＝3x2﹣1，故答案为：y＝3x2﹣1．【点评】本题主要考查了二次函数图象的平移，熟知二次函数图象的平移规律是解题的关键．10．（2分）如图，由5个相同的正方形组成的十字形纸片沿直线AB和EF剪开后重组可得到矩形ABCD，那么②可看作①通过一次旋转得到（填“平移”“旋转”或“轴对称”）．【分析】利用旋转变换的性质判断即可．【解答】解：观察图形可知：②可看作①绕点A顺时针旋转90°得到．故答案为：旋转．【点评】本题考查几何变换的类型，正方形的性质，矩形的性质，剪纸问题等知识，解题的关键是读懂图象信息．11．（2分）若关于x的一元二次方程ax2＝16有整数根，则整数a的值可以是4（答案不唯一）（写出一个即可）．【分析】根据一元二次方程的定义得到a≠0，至少有一个整数根，则为完全平方数，即可求解．【解答】解：由题意知，a≠0，ax2＝16，x2＝，∵关于x的一元二次方程ax2＝16有整数根，∴为完全平方数，∴a＝1或4或16，故答案为：4（答案不唯一）．【点评】本题主要考查一元二次方程的整数根，得出为完全平方数是解题的关键．12．（2分）已知y是x的二次函数，表中列出了部分y与x的对应值：x012y01﹣1则该二次函数有最大值（填“最小值”或“最大值”）．【分析】根据二次函数图象上点的坐标判断即可．【解答】解：由表格数据可知，函数值先随x的增大而增大，然后随x的增大而减小，∴二次函数的图象开口向下，∴该二次函数有最大值．故答案为：最大值．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的性质是解题的关键．13．（2分）“青山绿水，畅享生活”，人们经常将圆柱形竹筒改造成生活用具，图1所示是一个竹筒水容器，图2为该竹筒水容器的截面．已知截面的半径为10cm，开口AB宽为12cm，这个水容器所能装水的最大深度是18cm．【分析】连接AB，OB，过点O作OC⊥AB于点C，延长CO交⊙O于点D，利用勾股定理求出OC即可解答．【解答】解：连接AB，OB，过点O作OC⊥AB于点C，延长CO交⊙O于点D，∵OC⊥AB，∴AC＝CB＝6cm，由题意可知，OB＝10cm，∴在Rt△OBC中，OC＝＝8（cm），∴CD＝OC+OD＝8+10＝18（cm），即这个水容器所能装水的最大深度是18cm．【点评】本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．14．（2分）如图，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B，∠P＝60°．若⊙O的半径为3，则图中阴影部分的面积为3π（结果保留π）．【分析】先根据切线的性质得到∠OAP＝∠OBP＝90°，再利用四边形的内角和计算出∠AOB＝120°，然后根据扇形的面积公式计算．【解答】解：∵PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∴∠AOB+∠P＝180°，∵∠P＝60°，∴∠AOB＝120°，∴图中阴影部分的面积＝＝3π．故答案为：3π．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了扇形面积的计算．15．（2分）如图，将面积为25的正方形ABCD的边AD的长度增加a，变为面积为22的矩形AEGF．若正方形ABCD和矩形AEGF的周长相等，则a的值是．【分析】根据正方形的面积可得正方形ABCD的边长为5，再根据正方形ABCD和矩形AEGF的周长相等，可得AE＝5﹣a，再由矩形的面积建立方程求解即可得出答案．【解答】解：∵正方形ABCD的面积为25，∴正方形ABCD的边长为5，由题意得：DF＝a，AF＝5+a，∵正方形ABCD和矩形AEGF的周长相等，∴2（AE+AF）＝5×4，∴AE＝5﹣a，∵矩形AEGF的面积为22，∴AE•AF＝22，即（5﹣a）（5+a）＝22，解得：a1＝，a2＝﹣，∵a＞0，∴a＝，故答案为：．【点评】本题考查了矩形、正方形的性质，一元二次方程的解法等，是常考的基础题．16．（2分）小云将9张点数分别为1～9的扑克牌以某种分配方式全部放入A，B两个不透明的袋子中（每个袋子至少放一张扑克牌），从两个袋子中各随机抽取一张扑克牌，将两张扑克牌的点数之和为k，这一事件的概率记为P k．（1）若将点数为1和2的扑克牌放入A袋，其余扑克牌放入B袋，则P8＝；（2）对于所有可能的分配方式以及所有的k，P k的最大值是．【分析】（1）用列表法表示将点数为1和2的扑克牌放入A袋，其余扑克牌放入B袋，从两个袋子中各随机抽取一张扑克牌，将两张扑克牌的点数之和为k的所有等可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可；（2）列举出所有可能出现的结果，再由概率的定义进行计算即可．【解答】解：（1）用列表法表示将点数为1和2的扑克牌放入A袋，其余扑克牌放入B 袋，从两个袋子中各随机抽取一张扑克牌，将两张扑克牌的点数之和为k的所有等可能出现的结果如下：共有14种等可能出现的结果，其中两张扑克牌的点数之和为8的有2种，所以两张扑克牌的点数之和为8的概率，即P8＝＝，故答案为：；（2）当P k的值最大时，A袋中、B袋中各含有4个数、5个数，此时共有20种等可能出现的结果，两张扑克牌的点数之和为k出现的次数最多为4次，因此P k的最大值为＝．故答案为：．【点评】本题考查列表法或树状图法求简单随机事件发生的概率，列举出所有等可能出现的结果是正确解答的关键．三、解答题（共68分，第17-19题，每题5分，20题6分，第21-23题，每题5分，第24-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．（5分）解方程：x2+x＝1．【分析】将方程整理为一般形式，找出a，b及c的值，代入求根公式即可求出方程的解．【解答】解：x2+x＝1，移项得：x2+x﹣1＝0，这里a＝1，b＝1，c＝﹣1，∵b2﹣4ac＝1+4＝5＞0，∴x＝，则x1＝，x2＝．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣公式法，利用此方法解方程时首先将方程整理为一般形式，找出二次项系数a，一次项系数b及常数项c，然后计算出b2﹣4ac的值，当b2﹣4ac≥0时，将a，b及c的值代入求根公式即可求出解．18．（5分）已知2a2﹣3a+1＝0，求代数式（a﹣3）2+a（a+3）的值．【分析】直接利用完全平方公式化简，再利用已知代入得出答案．【解答】解：（a﹣3）2+a（a+3）＝a2﹣6a+9+a2+3a＝2a2﹣3a+9，∵2a2﹣3a+1＝0，∴2a2﹣3a＝﹣1，∴原式＝﹣1+9＝8．【点评】此题主要考查了整式的混合运算—化简求值，正确掌握相关运算法则是解题关键．19．（5分）如图，在△ABC中，∠B＝45°，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB'C'，使点B'在BC的延长线上．求证：BB'⊥C'B'．【分析】首先根据旋转的性质可以得到AB＝AB′，然后利用等腰三角形的性质可以得到∠AB′B的度数，然后利用∠B＝45°即可证明．【解答】解：∵△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB'C'，∴AB＝AB′，∠B＝∠AB′C′＝45°，而点B'在BC的延长线上．∠B＝45°，∴∠AB′B＝45°，∴∠BB′C′＝∠AB′C′+∠AB′B＝90°，∴BB'⊥C'B'．【点评】本题主要考查旋转的性质、等腰三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．20．（6分）已知关于x的方程x2﹣2mx+m2﹣n＝0有两个不相等的实数根．（1）求n的取值范围；（2）若n为符合条件的最小整数，且该方程的较大根是较小根的2倍，求m的值．【分析】（1）根据一元二次方程的根的判别式，建立关于n的不等式，求出n的取值范围；（2）由题意可得n＝1，设该方程的根是a，2a，根据根与系数的关系列方程求解即可．【解答】解：（1）∵关于x的方程x2﹣2mx+m2﹣n＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝（﹣2m）2﹣4（m2﹣n）＝4m2﹣4m2+4n＞0，∴n＞0；（2）∵n为符合条件的最小整数，n＞0，∴n＝1，∴原方程为：x2﹣2mx+m2﹣1＝0，设该方程的根是a，2a，∴a+2a＝2m，a•2a＝m2﹣1，解得a＝2，m＝3或a＝﹣2，m＝﹣3（不合题意，舍去），∴m的值为3．【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，熟知一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系是解题的关键．21．（5分）如图，P是⊙O外一点，PA与⊙O相切，切点为A．画出⊙O的另一条切线PB，切点为B．小云的画法是：①连接PO，过点A画出PO的垂线交⊙O于点B；②画出直线PB．直线PB即为所求．（1）根据小云的画法，补全图形；（2）补全下面的证明．证明：连接OA，OB．∵OA＝OB，AB⊥PO，∴PO垂直平分AB，∠OAB＝∠OBA．∴PA＝①PB．∴∠PAB＝②∠PBA．∴∠PAO＝∠PBO．∵PA是⊙O的切线，A为切点，∴OA⊥AP．∴∠PAO＝90°．∴∠PBO＝90°．∴OB⊥PB于点B．∵OB是⊙O的半径，∴PB是⊙O的切线（③过半径的外端垂直半径的直线是圆的切线）（填推理的依据）．【分析】（1）根据要求作出图形；（2）证明OB⊥PB即可．【解答】（1）解：图形如图所示：（2）证明：连接OA，OB．∵OA＝OB，AB⊥PO，∴PO垂直平分AB，∠OAB＝∠OBA．∴PA＝PB．∴∠PAB＝∠PBA．∴∠PAO＝∠PBO．∵PA是⊙O的切线，A为切点，∴OA⊥AP．∴∠PAO＝90°．∴∠PBO＝90°．∴OB⊥PB于点B．∵OB是⊙O的半径，∴PB是⊙O的切线（过半径的外端垂直半径的直线是圆的切线）．故答案为：PB，PBA，过半径的外端垂直半径的直线是圆的切线．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，切线的判定和性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，正确作出图形．22．（5分）不透明袋子中装有1个红球，1个绿球和2个黄球，这些球除颜色外无其他差别．（1）从袋子中随机摸出1个球，摸出的球是黄球的概率为；（2）从袋子中随机摸出一个球后，不放回，再从剩余的球中随机摸出一个．请利用列表或画树状图的方法，求摸出的两个球恰好是一个红球和一个黄球的概率．【分析】（1）直接利用概率公式可得答案．（2）画树状图得出所有等可能的结果数以及摸出的两个球恰好是一个红球和一个黄球的结果数，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：（1）由题意得，从袋子中随机摸出1个球，摸出的球是黄球的概率为＝．故答案为：．（2）列表如下：红绿黄黄红（红，绿）（红，黄）（红，黄）绿（绿，红）（绿，黄）（绿，黄）黄（黄，红）（黄，绿）（黄，黄）黄（黄，红）（黄，绿）（黄，黄）共有12种等可能的结果，其中摸出的两个球恰好是一个红球和一个黄球的结果有4种，∴摸出的两个球恰好是一个红球和一个黄球的概率为＝．【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．23．（5分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（0，2），B（3，﹣1）．（1）求该抛物线的表达式；（2）过点（0，t）与y轴垂直的直线l与抛物线交于点P（x1，y1），Q（x2，y2），其中x1＜x2，与直线AB交于点N（x3，y3）．若x1＜x3＜x2，直接写出t的取值范围．【分析】（1）用待定系数法即可解决问题．（2）【解答】解：（1）将点A和点B坐标代入函数解析式得，，解得．所以该抛物线的表达式为y＝x2﹣4x+2．（2）二次函数的图象如图所示，当直线y＝t在点A和点B之间时满足x1＜x3＜x2，所以t的取值范围是：﹣1＜t＜2．【点评】本题考查待定系数法求二次函数解析式及二次函数图象上点的坐标特征，熟知待定系数法及数形结合思想的巧妙运用是解题的关键．24．（6分）如图，在边长为4cm的正方形ABCD各边上取点E，F，G，H（可与A，B，C，D重合），使得四边形EFGH为正方形．设AE为x cm，正方形EFGH的面积为y cm2．（1）y关于x的函数表达式是y＝2x2﹣8x+16，自变量x的取值范围是0≤x≤4；（2）在下面的平面直角坐标系xOy中，画出（1）中函数的图象；（3）当x＝2cm时，正方形EFGH面积有最小值8cm2．【分析】（1）证明△BGF≌△CHG≌△DEH≌△AEF，利用正方形EFGH的面积＝正方形ABCD的面积﹣4×三角形AEF的面积，即可得出y与x之间的函数关系式；（2）结合（1）即可画出函数的图象；（3）根据二次函数的性质即可求出最值，【解答】解：（1）在边长为4cm的正方形ABCD中，AB＝AD＝BC＝CD＝4cm，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，∵四边形EFGH为正方形，∴EF＝EH，∠HEF＝90°，∵∠AFE+∠AEF＝90°，∠AEF+∠DEH＝90°，∴∠AFE＝∠DEH，在△AFE和△DEH中，，∴△AFE≌△DEH（AAS），∴AF＝DE＝（4﹣x）cm，同理，可证出：△BGF≌△CHG≌△DEH，＝S正方形ABCD﹣4S△AEF＝4×4﹣4×x（4﹣x）＝2x2﹣8x+16，∴S正方形EFGH即y＝2x2﹣8x+16（0≤x≤4）；故答案为：y＝2x2﹣8x+16，0≤x≤4；（2）如图，即为函数y＝2x2﹣8x+16（0≤x≤4）的图象；（3）y＝2x2﹣8x+16＝2（x2﹣4x+4）+8＝2（x﹣2）2+8．∴当x＝2cm时，正方形EFGH面积有最小值为8cm2．故答案为：2，8．【点评】本题考查正方形的性质，二次函数的图象和性质，二次函数最值，全等三角形的判定与性质，根据各数量之间的关系，找出y与x之间的函数关系式是解题的关键．25．（6分）如图，AB为半圆O的直径，点C，D在半圆O上，直线CM与半圆O相切于点C，CM∥AD．（1）若∠MCD＝α，求∠COA的大小（用含α的式子表示）；（2）过点O作OE⊥CD交CM于点E，交CD于点F，若CD∥AB，AB＝6，求CE的长．【分析】（1）先根据平行线的性质得到∠ADC＝∠MCD＝α，然后根据圆周角定理得到∠COA＝2α；（2）先根据切线的性质得到OC⊥CM，再根据平行线的性质得到CM∥AD，接着证明∠AOC＝2∠COE，则计算出∠COE＝30°，然后在Rt△COE中利用含30度角的直角三角形三边的关系可求出CE的长．【解答】解：（1）∵CM∥AD，∴∠ADC＝∠MCD＝α，∴∠COA＝2∠ADC＝2α；（2）∵直线CM与半圆O相切于点C，∴OC⊥CM，∴∠OCE＝90°，∵CM∥AD，∴OC⊥AD，∵OE⊥CD，CD∥AB，∴CE⊥AB，∠ADC＝∠OAD，∴∠AOE＝90°，∵∠AOC+∠OAD＝90°，∠AOC+∠COE＝90°，∴∠COE＝∠OAD，∵∠AOC＝2∠ADC，∴∠AOC＝2∠COE，∴2∠COE+∠COE＝90°，解得∠COE＝30°，∵直线CM与半圆O相切于点C，∴OC⊥CM，∴∠OCE＝90°，∵AB＝6，∴OC＝3，在Rt△COE中，∵∠COE＝30°，∴CE＝OC＝．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣1，m），点B（3，n）在抛物线y＝ax2+bx+c （a＞0）上．设抛物线的对称轴为直线x＝t．（1）当t＝2时，。
2019-2020学年北京市海淀区高三上学期期中数学试卷及答案
2019-2020学年北京市海淀区高三（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合{|10}A x x =+，{|}B x x a =，若A B R =，则实数a 的值可以为( )A ．2B ．1C ．0D ．2−2．（5分）下列函数中，在区间(0,)+∞上不是单调函数的是( )A ．y x=B ．2y x =C ．y x x=+D ．|1|y x =− 3．（5分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若33S a =，且30a ≠，则43(S S = ) A ．1 B ．53C ．83D ．34．（5分）不等式11x>成立的一个充分不必要条件是( ) A ．102x <<B ．1x >C ．01x <<D ．0x <5．（5分）如图，角α以Ox 为始边，它的终边与单位圆O 相交于点P ，且点P 的横坐标为35，则sin()2πα+的值为( )A ．35−B ．35C ．45−D ．456．（5分）在四边形ABCD 中，//AB CD ，设(,)AC AB AD R λμλμ=+∈．若32λμ+=，则||(||CD AB = ) A ．13B ．12C ．1D ．27．（5分）已知函数32()2||f x x x x k =+−−．若存在实数0x ，使得00()()f x f x −=−成立，则实数k 的取值范围是( ) A ．[1−，)+∞B ．(−∞，1]−C ．[0，)+∞D ．(−∞，0]8．（5分）设集合A 是集合*N 的子集，对于*i N ∈，定义1,()0,i i AA i A ϕ∈⎧=⎨∉⎩，给出下列三个结论：①存在*N 的两个不同子集A ，B ，使得任意*i N ∈都满足()0i A B ϕ=且()1i AB ϕ=；②任取*N 的两个不同子集A ，B ，对任意*i N ∈都有()i i A B ϕϕ=（A ）i ϕ⋅（B ）；③任取*N 的两个不同子集A ，B ，对任意*i N ∈都有()i i A B ϕϕ=（A ）i ϕ+（B ）．其中，所有正确结论的序号是( ) A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．（5分）已知向量(1,2)a =，(3,)b t =，且//a b ，则t = ． 10．（5分）函数()6f x x x =−−的零点个数是 ．11．（5分）已知数列{}n a 的前n 项和为2log n S n =，则1a = ，5678a a a a +++= ．12．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1．从A ，B ，C ，D 四点中任取两个点作为向量b 的始点和终点，则a b ⋅的最大值为 ．13．（5分）已知数列{}n a 的通项公式为n a lnn =，若存在p R ∈，使得n a pn 对任意的*n N ∈都成立，则p 的取值范围为14．（5分）已知函数()2f x x ω=，()2g x x ω=，其中0ω>，A ，B ，C 是这两个函数图象的交点，且不共线．①当1ω=时，ABC ∆面积的最小值为 ；②若存在ABC ∆是等腰直角三角形，则ω的最小值为 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（13分）已知数列{}n a 为各项均未正数的等比数列，n S 为其前n 项和，23a =，3436a a += （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若121n S <，求n 的最大值．16．（13分）已知函数()2sin cos()3f x x x π=+．（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）若()0f x m +对[0,]2x π∈恒成立，求实数m 的取值范围．17．（13分）已知函数321()3f x ax x bx c =+++，曲线()y f x =在(0，(0))f 处的切线方程为1y x =+．（Ⅰ）求b ，c 的值；（Ⅱ）若函数()f x 存在极大值，求a 的取值范围．18．（13分）在ABC ∆中，7a =，5b =，8c =． （Ⅰ）求sin A 的值；（Ⅱ）若点P 为射线AB 上的一个动点（与点A 不重合），设APk PC=． ①求k 的取值范围；②直接写出一个k 的值，满足：存在两个不同位置的点P ，使得APk PC =．19．（14分）已知函数()xlnxf x e =． （Ⅰ）判断函数()f x 在区间(0,1)上的单调性，并说明理由； （Ⅱ）求证：1()2f x <．20．（14分）已知集合*M N ⊆，且M 中的元素个数n 大于等于5．若集合M 中存在四个不同的元素a ，b ，c ，d ，使得a b c d +=+，则称集合M 是“关联的”，并称集合{a ，b ，c ，}d 是集合M 的“关联子集”；若集合M 不存在“关联子集”，则称集合M 是“独立的”．（Ⅰ）分别判断集合{2，4，6，8，10}和集合{1，2，3，5，8}是“关联的”还是“独立的”？若是“关联的”，写出其所有的关联子集；（Ⅱ）已知集合1{a ，2a ，3a ，4a ，5}a 是“关联的”，且任取集合{i a ，}j a M ⊆，总存在M 的关联子集A ，使得{i a ，}j a A ⊆．若12345a a a a a <<<<，求证：1a ，2a ，3a ，4a ，5a 是等差数列；（Ⅲ）集合M 是“独立的”，求证：存在x M ∈，使得294n n x −+>．。
北京市各区2020届九年级上学期期末数学试卷精选汇编：代数综合专题(含答案)
代数综合专题西城区26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2–2m x–2m–2．（1）若该抛物线与直线y= 2交于A，B两点，点B在y轴上．求该抛物线的表达式及点A的坐标；（2）横坐标为整数的点称为横整点．①将（1）中的抛物线在 A，B两点之间的部分记作G1(不含A，B两点)，直接写出G1上的横整点的坐标；②抛物线y=x2–2m x–2m–2与直线y=–x–2交于C，D两点，将抛物线在C，D两点之间的部分记作G2（不含C，D两点），若G2上恰有两个横整点，结合函数的图象，求m的取值范围．26．解：（1）∵抛物线y=x2-2m x-2m-2与直线y=2交于A，B两点，点B在y轴上，∴点B的坐标为（0，2）．∴-2m - 2= 2．∴m = -2．∴抛物线的表达式为y=x2+4x+ 2．∵A，B两点关于直线x =-2对称，∴点A的坐标为（-4，2）．（2）①y=x2+4x+2的图象，如图1所示．G1上的横整点分别是（-3，-1），（-2，-2），（-1，-1）．②对于任意的实数m，抛物线y=x2-2m x-2m–2与直线y= -x-2总有一个公共点（-1，-1），不妨记为点C．当m≤-1时，若G2上恰有两个横整点，则横整点的横坐标为-3，-2，如图2.∴ -2≤32m<-．当m＞-1时，若G2上恰有两个横整点，则横整点的横坐标为0，1，如图3.∴12m<≤1．图1图2 图3综上，G2恰有两个横整点，m的取值范围是-2≤32m<-或12m<≤1．··························································································6分东城区26 ．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=a-4ax与x轴交于A，B两点(A在B的左侧)．(1)求点A，B的坐标；(2)已知点C(2，1)，P(1，-a)，点Q在直线PC上，且Q点的横坐标为4．①求Q点的纵坐标（用含a的式子表示）；②若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围海淀区．26在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线G：2240)y ax ax a=-+≠（.（1）当a =1时，①抛物线G 的对称轴为x =_____________；②若在抛物线G 上有两点12(2,),(,)y m y ，且21y y >，则m 的取值范围是____________；（2）抛物线G 的对称轴与x 轴交于点M ，点M 与点A 关于y 轴对称，将点M 向右平移3个单位得到点B ，若抛物线G 与线段AB 恰有一个公共点，结合图象，求a 的取值范围.26．解：（1）①1； ②m >2或m <0;（2）∵抛物线G ：224y ax ax =-+的对称轴为x =1，且对称轴与x 轴交于点M ， ∴点M 的坐标为（1，0）. ∵点M 与点A 关于y 轴对称， ∴点A 的坐标为（-1，0）. ∵点M 右移3个单位得到点B , ∴点B 的坐标为（4，0）.依题意，抛物线G 与线段AB 恰有一个公共点， 把点A （-1，0）代入224y ax ax =-+可得43a =-；把点B （4，0）代入224y ax ax =-+可得12a =-；把点M （1，0）代入224y ax ax =-+可得4a =. 根据所画图象可知抛物线G 与线段AB 恰有一个 公共点时可得 41432a a -<≤-=或.大兴区25.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线与x 轴的交点为A , B （点A 在点B 的左侧）.（1）求点A,B 的坐标;（2）横、纵坐标都是整数的点叫整点. ①直接写出线段AB 上整点的个数；沿x 翻折，得到新抛物线，直接写出新抛物线在x 轴上方的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界）整点的个数.25.解：（1）得中，令）（在,01-1412=-=y x y 1,321-==x x ……………………………………………………………..1分∴点A 的坐标为（-1，0），点B 的坐标为（3，0）………………………..2分 （2）①5；……………………………………………………………………..3分②6. ……………………………………………………………………..5分石景山26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线24(0)y ax ax c a =-+≠与y 轴交于点A ，将点A 向右平移2个单位长度，得到点B .与x 轴，y 轴分别交于点C ，D .（1）求抛物线的对称轴；（2）若点A 与点D 关于x 轴对称， ①求点B 的坐标；②若抛物线与线段BC 恰有一个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围.26．解：（1）∵24y ax ax c =-+2(2)4a x a c =--+，∴抛物线的对称轴是直线2x =． ………………………… 2分 （2）①∵直线335y x =-与x 轴，y 轴分别交于点C ，D ， ∴点C 的坐标为(5,0)，点D 的坐标为(0,3)-． ∵抛物线与y 轴的交点A 与点D 关于x 轴对称， ∴点A 的坐标为(0,3)．∵将点A 向右平移2个单位长度，得到点B ，∴点B 的坐标为(2,3)． ………………………… 3分 ②抛物线为243(0)y ax ax a =-+≠，顶点为(2,34)P a -． （ⅰ）当0a >时，如图1.令5x =，得25203530y a a a =-+=+>， 即点(5,0)C 总在抛物线上的点(5,53)E a +的下方． ∵P B y y <∴点(2,3)B 总在抛物线顶点P 的上方，结合函数图象，可知当0a >时，抛物线与线段BC 恰有一个公共点．（ⅱ）当0a <时，如图2. 当抛物线过点(5,0)C 时， 252030a a -+=，解得35a =-.结合函数图象，可得35a -≤.综上所述，a 的取值范围是35a -≤或0a >. …………………… 6分丰台区25．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线1C ：221y mx mx m =++-沿x 轴翻折得到抛物线2C . （1）求抛物线2C 的顶点坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．① 当1m =时，求抛物线1C 和2C 围成的封闭区域内(包括边界)整点的个数；② 如果抛物线1C 和2C 围成的封闭区域内(包括边界)恰有7个整点，求出m 的取值范围．25.（1）顶点坐标为（1-，1）；…….…....………….....…………….…...….….....…………2分 （2）①当1m =时，21:2C y x x =+，22:2C y x x =--． ….…...….….....…………3分 根据图象可知，1C 和2C 围成的区域内(包括边界)整点有5个．…4分②抛物线在1C 和2C 围成的区域内 (包括边界) 恰有7个整点，结合函数图象，可得抛物线与x 轴的一个交点的横坐标的取值范围为 1≤2x ＜．将（1，0）代入221y mx mx m =++-，得到 14m =， …….....………5分 将（2，0）代入221y mx mx m =++-，得到 19m =，结合图象可得 19m ＜≤14． ….…...…..….....………….........………6分顺义区26．在平面直角坐标系 中，抛物线与 轴交于点A ，将点A 向左平移3个单位长度，得到点B ，点B 在抛物线上．（1）求点B 的坐标（用含m 的式子表示）； （2）求抛物线的对称轴；（3）已知点P (-1,-m )，Q (-3,1)．若抛物线与线段PQ 恰有一个公共点，结合函数图象，求m 的取值范围．26．解：（1）依题意得：A （0，-m ）．………………………………………………… 1分 ∴B （-3，-m ）． ………………………………………………………… 2分 （2）∵点A ，B 关于抛物线的对称轴对称， ∴抛物线的对称轴为x ＝32-；………………………………………… 4分（3）当m ＞0时，点A （0，-m ）在y 轴负半轴， 此时，点P ，Q 位于抛物线内部（如图1）．所以，抛物线与线段PQ 无交点． ……………………… 5分当m ＜0时，点A （0，-m ）在y 轴正半轴，当AQ 与x 轴平行，即A （0，1）时（如图2）， 图1 抛物线与线段PQ 恰有一个交点Q （-3，1）．6分26轴交于点A ．（1）直接写出点A 的坐标；（2）点A 、B 关于对称轴对称，求点B 的坐标；（3）已知点(4,0)P ，PQ 恰有两个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围．26．解：（1）()0,3-； ················································································· 1 （2）∵212b ax a a-=-=-=； ∴()2,3B -． ··········································································· 2 （3）当抛物线过点P （4,0）时，38a =， ················································ 3 ∴8,03Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭．此时，抛物线与线段PQ有两个公共点．当抛物线过点1(,0)Qa-时，a=1，此时，抛物线与线段PQ有两个公共点．∵抛物线与线段PQ恰有两个公共点，∴318a≤≤． (5)当抛物线开口向下时，3a<-． (6)综上所述，当318a≤≤或3a<-时，抛物线与线段PQ恰有两个公共点．昌平区26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线2y ax bx c=++与y轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上．（1）①直接写出抛物线的对称轴是________；②用含a的代数式表示b；（2）横、纵坐标都是整数的点叫整点．点A恰好为整点，若抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（不含边界）恰有1个整点，结合函数的图象，直接写出a的取值范围．26．（1）①对称轴是：x＝1．…………………………………………………………………… 1分②b＝－2a．…………………………………………………………………… 3分（2）－2≤a＜－1或1＜a≤2．……………………………………………………………………6分门头沟26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线()2420y ax ax a a=-+≠的顶点为P，且与y轴交于点A，与直线y a=-交于点B，C（点B在点C的左侧）.（1）求抛物线()2420y ax ax a a=-+≠的顶点P的坐标（用含a的代数式表示）；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记抛物线与线段AC围成的封闭区域（不含边界）为“W区域”.①当2a=时，请直接写出“W区域”内的整点个数；②当“W区域”内恰有2个整点时，结合函数图象，直接写出a的取值范围.房山区.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线1+2-2-=2m mx mx y 与x 轴交于点A ，B . （1）若2=AB ，求m 的值；（2）过点)20(，P 作与x 轴平行的直线，交抛物线于点M ，N .当2≥MN 时，求m 的取值范围.26. （1）抛物线对称轴为直线1=22--=mmx . …………1分 ⸪点A 、B 关于直线1=x 对称，AB =2∴ 抛物线与x 轴交于点（0，0）、（2，0）.…………2分将（0，0）代入1+2-2-=2m mx mx y 中， 得0=1+2-m 即21=m . …………3分 （2）抛物线1+2-2-=2m mx mx y 与x 轴有两个交点∴0>Δ 即()0>1+-2(4-2-2）m m m …………4分 解得： 0<31>m m 或①若0>m ，开口向上，如图26-1当2≥MN 时，有2≤1+2-m 解得21-≥m 图26-1结合※可得31>m …………5分②若0<m ，开口向下，如图26-2当2≥MN 时，有2≥1+2-m 解得21-≤m 结合※可得21-≤m …………6分 综上所述m 的取值范围为31>m 或21-≤m 图26-2密云区26. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2258y ax ax a =-++(0a ≠)． （1）写出抛物线顶点的纵坐标 (用含a 的代数式表示)；（2）若该抛物线与x 轴的两个交点分别为点A 和点B ，且点A 在点B 的左侧，AB =4． ① 求a 的值；② 记二次函数图象在点 A ，B 之间的部分为W (含 点A 和点B )，若直线 y kx b =+ (0k ≠)经过（1，-1），且与 图形W 有公共点，结合函数图象，求 b 的取值范围．25. （1）4a +8 ………………………………1分（2）①解：∵抛物线的对称轴是x =1又∵ 抛物线与x 轴的两个交点分别为点A 和点B ，AB =4∴ 点A 和点B 各距离对称轴2个单位 ∵ 点A 在点B 的左侧∴A （-1,0），B （3，0） ………………………………3分 ∴将B （3，0）代入2258y ax ax a =-++ ∴9a -6a +5a+8=0a=-1 ………………………………4分②当 y kx b =+(0k ≠)经过（1，-1）和A （-1,0）时， 当 y kx b =+(0k ≠)经过（1，-1）和B （3，0）时， ∴………………………………6分朝阳区26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y ax bx =+经过点(3，3) . (1)用含a 的式子表示b ；(2)直线4+4y x a =+与直线4y =交于点B ，求点B 的坐标（用含a 的式子表示）；(3)在(2)的条件下，已知点A (1，4)，若抛物线与线段A B 恰有一个公共点，直接写出10k b k b +=-⎧⎨-+=⎩12b =-130k b k b +=-⎧⎨+=⎩32b =-1322b b ≥-≤-或a(a＜0)的取值范围.通州区26.在平面直角坐标系中，存在抛物线以及两点和.(1)求该抛物线的顶点坐标;(2)若该抛物线经过点，求此抛物线的表达式;(3)若该抛物线与线段只有一个公共点，结合图象，求的取值范围.26. （1）顶点坐标为（）·····1分（2）·····2分·····3分(3)如图1抛物线顶点在线段上时，............................... 4分如图2抛物线顶过点时，·····5分综上： 或····6分燕山区26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2221y x mx m =-+-． (1) 求抛物线顶点C 的坐标(用含m 的代数式表示)；(2) 已知点A (0，3)，B (2，3)，若该抛物线与线段AB 有公共点，结合函数图象，求出m 的取值范围．26．解：(1) 2221y x mx m -+-＝＝2()1x m --∴抛物线顶点为C (m ，－1)． ………………………2分(2)把A (0，3)的坐标代入2221y x mx m =-+-得231m -＝， 解得 2m ±＝．把B (2，3)的坐标代入2221y x mx m -+-＝得2232221m m -⨯+-＝， 即240m m -＝， 解得 0m ＝，或4m ＝．结合函数图象可知：20m -≤≤，或24m ≤≤． ………………………6分。
北京市海淀区2023~2024学年第一学期初三期末数学参考答案
海淀区九年级第一学期期末练习数学试卷参考答案第一部分 选择题一、选择题 （共16分，每题2分）第二部分 非选择题二、填空题（共16分，每题2分）9．231y x =− 10．旋转11．1（答案不唯一） 12．最大值 13．18 14．3π 1516．（1）17，（2）15三、解答题（共68分，第17-19题，每题5分，第20题6分，第21-23题，每题5分，第24-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17. 解：方程化为210x x +−=.111a b c ===−，，.24b ac ∆=−2141(1)50=−⨯⨯−=>.方程有两个不相等的实数根x = ，即 1x =2x = 18. 解：∵22310a a −+=， ∴2231a a −=−.∴原式22693a a a a =−+++2239a a =−+ 19=−+ 8=.19. 证明：∵将△ABC 绕点A 逆时针旋转得到△AB'C'， ∴△ABC ≌△AB'C'.∴AB AB'=，45B AB'C'∠=∠=︒. ∴45AB'B B ∠=∠=︒.∴454590BB'C AB'B AB'C'∠=∠+∠=︒+︒=︒. ∴BB'C'B'⊥.20. 解：（1）∵关于x 的方程2220x mx m n −+−=有两个不相等的实数根， ∴∆22(2)4()0m m n =−−−>. 解得 0n >.（2）∵n 为符合条件的最小整数， ∴1n =.∴方程可化为22210x mx m −+−=. 解方程，得 11x m =−，21x m =+. ∵1(1)20m m +−−=>， ∴11m m +>−.∵该方程的较大根是较小根的2倍， ∴12(1)m m +=−. ∴3m =. 21.（1）作图如下：（2） ① PB ；② ∠PBA ；③ 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.22.（1）12. （2）解：画树状图如下：由树状图可知，所有可能出现的结果共有12种，即（红，绿），（红，黄1），（红，黄2），（绿，红），（绿，黄1），（绿，黄2），（黄1，红），（黄1，绿），（黄1，黄2），（黄2，红），（黄2，绿），（黄2，黄1），并且它们出现的可能性相等. 其中，摸出的两个球恰好是一个红球和一个黄球（记事件A ）的结果有4种，即（红，黄1），（红，黄2），（黄1，红），（黄2，红）.∴41()123P A ==. 23. 解：（1）∵抛物线经过点(0,2)A 和(3,1)B −，∴2,931,c b c =⎧⎨++=−⎩ 得42.b c =−⎧⎨=⎩，∴抛物线的表达式为242y x x =−+. （2） 12t −<<.24. （1）22816y x x =−+， 04x ≤≤；（2）（3）2，8．25. 解：（1）∵CM ∥AD ，∴CDA MCD α∠=∠=.∴22COA CDA α∠=∠=.（2）∵CM 与半圆O 的切线相切于点C ，∴OC CM ⊥. ∴90ECO ∠=︒. 即90DCO MCD ∠+∠=︒. ∵CD ∥AB ,∴2DCO COA α∠=∠=. ∴390α=︒.∴30α=︒.∴60DCO ∠=︒.∵OE CD ⊥于F ，∴90CFO ∠=︒.∴90906030COE DCO ∠=︒−∠=︒−︒=︒.∴ 2OE CE =.∵AB 为直径，6AB =， ∴3OC =.在Rt △OCE 中，由勾股定理得222OC CE OE +=. ∴2223(2)CE CE +=.∴CE =. 26.解：（1）① 4b a =−； ② m n >.理由如下： 由① ，4b a =−，∴224y ax bx c ax ax c =++=−+.∵点(1,)A m −，点(3,)B n 在抛物线24(0)y ax ax c a =−+>上， ∴45m a a c a c =++=+， 9123n a a c a c =−+=−+.∵0a >， ∴53a a >−.∴53a c a c +>−+. ∴m n >. （2）解法一：∵0a >，∴当x t ≥时，y 随x 的增大而增大，当x t ≤时，y 随x 的增大而减小. ① 当1t ≤−时，∵034x <<， ∴013t x ≤−<<.∴m n p <<，不符合题意. ② 当13t −<≤时，设点(1,)A m −关于抛物线对称轴x t =的对称点为点(,)A A x m ''，则A x t '>，(1)A t x t '−−=−. ∴21A x t '=+.（ⅰ）当11t −<≤时， ∵11t −<≤，034x << ∴012+13t x <≤<. ∴m n p <<，不符合题意. （ⅱ）当312t <<时， 令021x t =+，则m p =，不符合题意. （ⅲ）当332t ≤≤时， ∵332t ≤≤，034x <<， ∴0342+1t x t ≤<<≤. ∴m p n >>，符合题意. ③当3t >时，令03x t <<，且034x <<，则n p >，不符合题意.综上所述，t 的取值范围是332t ≤≤. 解法二：∵0a >，∴当x t ≥时，y 随x 的增大而增大，当x t ≤时，y 随x 的增大而减小. ∵当034x <<时，都有p n >， ∴03t x ≤<. ① 当1t ≤−时， ∵13t ≤−<，∴n m >，不符合题意.② 当13t −<≤时，设点(1,)A m −关于抛物线对称轴x t =的对称点为点''(,)A A x m ，则'A x t >，'(1)A t x t −−=−. ∴'21A x t =+. ∵ m p >，∴021t x +>.∵当034x <<时，都有m p >， ∴214t +≥. ∴32t ≥. ∴332t ≤≤.综上所述，t 的取值范围是332t ≤≤. 27.（1）证明：∵AB AC =，∴B C ∠=∠.∵EDC B ∠=∠，∴EDC C ∠=∠.∴.ED EC = （2）① 依题意补全如下图.② 延长EF 至点M ，使MF EF =，连接BM ，AM ，AE .∵点F 是BD 的中点， ∴BF FD =.又∵MFB EFD ∠=∠， ∴△FMB ≌△FED .∴MB ED =,MBF EDF ∠=∠. ∵ED EC =, ∴MB EC =.∵AF EF ⊥,FM EF =， ∴AM AE =. 又∵AB AC =, ∴△AMB ≌△AEC . ∴ABM C ∠=∠.设C α∠=，则ABM ABC EDC α∠=∠=∠=. ∴2MBC α∠=. ∵MBF EDF ∠=∠， ∴MB ∥DE .∴2DEC MBC α∠=∠=. ∵180DEC EDC C ∠+∠+∠=︒, ∴2180ααα++=︒. ∴=45α︒.∴45.ABC C ∠=∠=︒ ∴90.BAC ∠=︒28.（1）① 23P P ，；② 依题意可知，点(2,0)T ，点Q 2TQ ≤≤. ∵OP 与以TQ 为半径的⊙T 相切于点P ，∴OP TP ⊥，TP TQ =. ∴90OPT ∠=︒.∴点P 在以OT 为直径的⊙D 2TP ≤≤，其中点(1,0)D .∴符合条件的点P 组成的图形为EOF （点O 除外），其中点(1,1)E ,(1,1)F −，如图.当直线y x b =+与D 相切时，设切点为G ，与x 轴交点为H ，则DG ⊥直线y x b =+，45GHD ∠=︒.由1DG =,可得DH =∴(1H .将(1H 代入y x b =+中可得1b .当直线y x b =+过点(0,0)时，0b =，此时直线y x b =+也经过点(1,1).当直线y x b =+过点(1,1)−时，2b =−. ∵直线y x b =+上存在伴随切点，∴b 的取值范围是21b −≤≤.（2t ≤≤t ≤≤.。
2019-2020学年北京市海淀区七年级(下)期末数学试卷(含解析)
2019-2020学年北京市海淀区七年级（下）期末数学试卷1.放风筝是我国人民非常喜爱的一项户外娱乐活动，下列风笋剪紙作品中，不是轴对称图形的是( )A. B.C. D.2.代数式√x+1x−1有意义，则x的取值范围是( )A. x≥−1且x≠1B. x≠1C. x≥1且x≠−1D. x≥−13.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=42∘，DE垂直平分AC，则∠BCD的度数为( )A. 23∘B. 25∘C. 27∘D. 29∘4.若“存在x>1.使x+a=1成立“是真命题，则a的取值范围是( )A. a<0B. a≤0C. a>0D. a≥05.“1a<1”是“a>1”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6.在平面直角坐标系中，以A(0,2)，B(−1,−1)，C(3,0)，D为顶点构造平行四边形，下列各点中，不能作为顶点D的坐标是( )A. (2,−3)B. (−4,1)C. (4,3)D. (−4,0)7.已知x+y=−5，xy=4，则x√yx +y√xy的值是( )A. 4B. −4C. 2D. −28.小殷设计了一个随机碰撞模拟器：在模拟器中有A、B、C三种型号的小球，它们随机运动，当两个小球相遇时会发生碰撞(不考虑多个小球同时相撞的情况).若相同型号的两个小球发生碰撞，会变成一个C型小球；若不同型号的两个小球发生碰撞，则会变成另外一种型号的小球.例如，一个A型小球和一个C型小球发生碰撞，会变成一个B型小球.初始，模拟器中有A型小球6个，B型小球5个，C型小球8个，若经过各种两两碰撞后，最后只剩一个小球.以下判断：①最后剩下的小球可能是A型小球；②最后剩下的小球一定是B型小球：③最后剩下的小球一定不是C型小球.其中，正确的判断是( )A. ①B. ②③C. ③D. ①③9.在如图所示的正方形网格中，△ABC的顶点均格点上，画出△ABC的一条中位线DE(非尺规作图，保留所有画图痕迹).10.为作∠AOB的平分线OM，小齐利用尺规作图，作法如下：①以O为圆心，任意长为半径作弧，分别交OA、OB于点P、Q；②分别以点P、Q为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点M.则射线OM为∠AOB的平分线.OM为∠AOB的平分线的原理是______ .11.如果点P(m,1−2m)在第四象限，那么m的取值范围是______ .12.在平面直角坐标系中，已知P(0,2)，Q(−3,0).将线段PQ绕点P逆时针旋转90∘得到线段PM，点Q的对应点为M，则点M的坐标为______ .13.某直角三角形的周长为24，斜边上的中线长为5，则该三角形的面积等于______.14.如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AB、BC上，AB，将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在且AE=13AD边上的点P处.重新展开，连接BP交EF于点Q，对于下列结论：①PE=2AE；②PF=2PE；③FQ=3EQ；④四边形PBFD是菱形.其中，正确的结论是______ .(写出所有正确结论的序号)15.如图，在平面直角坐标系xOy中，△OCD可以看作是△ABO经过若干次图形的变化(平移、轴对称、旋转)得到的，写出一种由△ABO得到△OCD的过程：______.16.如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，BC=4，AB=8，点D是BC上一个动点，以AD、DB为邻边的所有平行四边形ADBE中，对角线DE的最小值是______ .17. 计算与化简： (1)√12−2√3+1+(3−π)0+|1−√3|(2)1x −1x +y ⋅(x +y 2x−x −y)18. 解下列关于x 的方程或不等式(组).(1)4x 2−1−x x+1=−1；(2){4(x +1)+3>x x−42≤x−53； (3)|2x +1|<1−x ；(4)a(x −2a)(x −3)<0.19. 国家实施高效节能电器的财政补贴政策，某款空调在政策实施后，客户每购买一台可获得补贴500元，若同样用6万元购买此款空调，补贴后可购买的台数比补贴前多20%.该款空调补贴前的售价为每台多少元？20.某汽车租赁公司要购买轿车和面包车共10辆，其中轿车至少要购买3辆，轿车每辆12万元，面包车每辆8万元，公司可投入的购车款不超过100万元；(1)符合公司要求的购买方案有几种？请说明理由；(2)如果每辆轿车的日租金为250元，每辆面包车的日租金为150元，假设新购买的这10辆车每日都可租出，要使这10辆车的日租金不低于2000元，那么应选择以上哪种购买方案？21.如图，在▱ABCD中，∠ABC=60∘，BC=2AB，点E、F分别是BC、DA的中点．(1)求证：四边形AECF是菱形；(2)若AB=2，求BD的长．22.已知，如图，点A(0,4)，B(3,0)，点C在坐标轴上，使得△ABC是等腰三角形，计算点C的坐标.23.定义：在平面直角坐标系xOy中，由某点分别向两坐标轴作垂线，称两垂足之间的线段长度为该点的轴垂距.比如点P(3,4)的轴垂距为5.并规定，坐标轴上的点在该轴上的垂足为自己，在另一轴上的垂足为原点.比如点Q(0,2)的轴垂距为2.(1)①点A(−3,0)的轴垂距为______ ，点B(4,−3)的轴垂距为______ .②若一个非坐标轴上的点C的轴垂距为4，请写出满足条件的点C的一个坐标______ .(写出一个即可)(2)设点M(−6,0)，点N(0,2√3)，点D是线段MN上的一个动点(含端点)，求点D的轴垂距的取值范围.24.如图，已知在菱形ABCD中，∠ABC=120∘，点E是边BC上的动点，点C关于直线DE的对称点为F，F在直线BC的下方，连结AF，取AF的中点为M，连结DM.设∠BCF=α.(1)①补全图形；②求∠FAD的大小(用含α的式子表示)；(2)探究AF、BF、CF之间的等量关系，并证明你的结论.答案和解析【答案】1. B2. A3. C4. A5. A6. D7. B8. D9. 解：如图，线段DE或DE′即为所求(答案不唯一).10. SSS11. m>1212. (2,−1)13. 2414. ①③15. 将△ABO沿x轴向下翻折，再沿x轴向左平移2个单位长度得到△OCD16. 4√317. 解：(1)√12−√3+1(3−π)0+|1−√3|=2√3−√3+1+1+√3−1=2√3+1；(2)1x−1x+y⋅(x+y2x−x−y)=1x−1x+y⋅x+y2x+1x+y⋅(x+y)=1x−12x+1=12x+1.18. 解：(1)去分母得：4−x(x−1)=1−x2，解得：x=−3，经检验x=−3是分式方程的解；，由①得：x >−74，由②得：x ≤2，则不等式组的解集为−74<x ≤2； (3)∵|2x +1|<1−x 等价于2x +1<1−x 或2x +1>x −1，解2x +1<1−x 得，x <0；解2x +1>x −1得，x >−2，∴不等式的解集为−2<x <0；(4)当a >0时，则有{x −2a >0x −3<0或{x −2a <0x −3>0， 当0<a <32时，解得2a <x <3，当a >32时，解得3<x <2a ；当a <0时，则有{x −2a >0x −3>0或{x −2a <0x −3<0， 解得x >3或x <2a. 19. 解：设该款空调补贴前的售价为每台x 元，由题意，得：60000x ×(1+20%)=60000x−500，解得：x =3000，经检验得：x =3000是原方程的根，答：该款空调补贴前的售价为每台3000元．20. 解：(1)设公司购买x 辆轿车，则购买(10−x)辆面包车，依题意，得：{x ≥312x +8(10−x)≤100， 解得：3≤x ≤5，又∵x 为正整数，∴x 可以取3，4，5，∴该公司共有3种购买方案，方案1：购买3辆轿车，7辆面包车；方案2：购买4辆轿车，6辆面包车；方案3：购买5辆轿车，5辆面包车．(2)依题意，得：250x +150(10−x)≥2000，解得：x ≥5，又∵3≤x ≤5，∴x=5，∴公司应该选择购买方案3：购买5辆轿车，5辆面包车．21. (1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC//AD，BC=AD.∵E，F分别是BC，AD的中点∴BE=CE=12BC，AF=12AD，∴CE=AF，CE//AF，∴四边形AECF是平行四边形，∵BC=2AB，∴AB=BE，∵∠ABC=60∘，∴△ABE是等边三角形，∴AE=BE=CE，∴平行四边形AECF是菱形；(2)解：作BG⊥AD于G，如图所示：则∠ABG=90∘−∠ABC=30∘，∴AG=12AB=1，BG=√3AG=√3，∵AD=BC=2AB=4，∴DG=AG+AD=5，∴BD=√BG2+DG2=√(√3)2+52=2√7.22. 解：如图所示：AB=√32+42=5，①AB=AC时，点C的坐标为(0,9)，(0,−1)，(−3,0)；,0)；②AC=BC时，点C的坐标为(0,0.875)，(−76③AB=BC时，点C的坐标为(0,−4)，(8,0)，(−2,0).,0)；(0,−4)，(8,0)，综上所述，点C的坐标为(0,9)，(0,−1)，(−3,0)；(0,0.875)，(−76(−2,0).23. 35(2√2,2√2)(答案不唯一)24. 解：(1)①如图1所示：②∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=120∘，∴∠ADC=120∘，∠BAD=∠BCD=60∘，AD=CD=AB=BC，∵点C关于直线DE的对称点为F，∴EF=EC，DF=DC，∴∠EFC=∠ECF=α，∠DCF=∠DFC=∠BCD+∠BCF=60∘+α，∵AD=DF=DC，∴∠DAF=∠DFA，∵∠DAF+∠DFA+∠ADC+∠DCF+∠DCF=360∘，∴2∠DAF+120∘+120∘+2α=360∘，∴∠DAF=60∘−α；(2)AF=CF+√3BF，理由如下：如图2，在AF上截取AH=CF，连接BH，过点B作BN⊥AF于N，∵∠BAF=∠BAD−∠DAF=60∘−(60∘−α)=α，∴∠BAF=∠BCF，又∵AB=BC，AH=CF，∴△ABH≌△CBF(SAS)，∴BH=BF，∠ABH=∠CBF，∴∠ABC=∠HBF=120∘，∴∠BHF=∠BFH=30∘，∵BN⊥AF，∴HN=NF，BF=2BN，NF=√3BN，∴NF=√3BF，2∴HF=√3BF，∴AF=AH+HF=CF+√3BF.【解析】1. 解：A、是轴对称图形，故此选项不合题意；B、不是轴对称图形，故此选项符合题意；C、是轴对称图形，故此选项不合题意；D、是轴对称图形，故此选项不合题意．故选：B.根据轴对称图形的概念求解．本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．2. 解：依题意，得x+1≥0且x−1≠0，解得x≥−1且x≠1.故选：A.此题需要注意分式的分母不等于零，二次根式的被开方数是非负数．本题考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．3. 解：∵AB=AC，∠A=42∘，∴∠ABC=∠ACB=69∘，∵DE垂直平分AC，∴AD=CD，∴∠A=∠ACD=42∘，∴∠BCD=∠ACB−∠ACD=27∘.故选：C.首先根据等腰三角形的性质可求出∠ABC=∠ACB，利用线段垂直平分线的性质推出∠A=∠DCA，易求∠BCD的度数．本题考查的是等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．4. 解：若“存在x>1.使x+a=1成立“是真命题，则a的取值范围是a<0，故选：A.根据不等式的性质解答即可．本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解不等式的性质，难度不大．5. 解：a>1⇒1<1，a<1不能推出a>1，而1a<1是a>1的充分不必要条件，所以1a故选：A.根据推理和论证的条件判断即可．此题考查推理和论证，关键是根据推理和论证的条件解答．6. 解：若以AB为对角线，则D(−4,1)，若以BC为对角线，则D(2,−3)，若以AC为对角线，则D(4,3)，因此不能作为顶点D的坐标是选项D，故选：D.根据平行四边形的性质结合平面直角坐标系可以解决问题．此题主要考查了平行四边形的性质，关键是掌握平行四边形两组对边分别相等．7. 解：∵x+y=−5<0，xy=4>0，∴x<0，y<0，∴原式=x√xyx +y√y=−x⋅√xyx−y⋅√xyy=−2√xy，∵xy=4，∴原式=−2√4=−2×2=−4.故选：B.先确定x<0，y<0，再利用二次根式的性质化简得到原式=−2√xy，然后把xy=4代入计算即可．本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．8. 解：假设6个A球中每两个A球进行碰撞，则可以得到3个C球，5个B球中让其中4个B球每两个进行碰撞，则可以得到2个C球，加上原来的C球，共13个C球，让这13个C球互相碰撞，重复进行直至剩下一个C球，再和剩下的B球碰撞，可以得到一个A球，由此可知①正确，②错误．事实上，无论怎么碰撞，A球数量与B球数量奇偶性总是不一样(一奇一偶).(AA)→C，A与B一奇一偶；(BB)→C，A与B一奇一偶；(CC)→C，A与B一奇一偶；(AB)→C，A与B一奇一偶；(AC)→B，A与B一奇一偶；(BC)→A，A与B一奇一偶．由此可知，A与B的数量不可能同时为0，所以最后剩下的小球一定不是C型小球，③正确．故选：D.①和②可以举一个特例进行判定．通过分析所有可能碰撞所导致的A、B数量的奇偶性来判断③的正确与否．本题是一个推理与论证的题目，主要考查对实际问题中数据变化的分析能力和综合推理能力，发现A、B数量的奇偶性始终不一样是解答本题的关键．9. 取AB的中点D，格点M，N，连接DM交AC于E，连接DN交BC于E′，线段DE 或线段DE′即为所求(答案不唯一).本题考查作图-复杂作图，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．10. 解：如图，连接PM，PQ.∵OP=OQ，PM=QM，OM=OM，∴△POM≌△QOM(SSS)，∴∠POM=∠QOM，即OM是∠AOB的角平分线．故答案为SSS.根据SSS判断三角形全等即可．本题考查作图-基本作图，全等三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．11. 解：∵P(m,1−2m)在第四象限，∴m>0，1−2m<0..解得m>12点在第四象限的条件是：横坐标是正数，纵坐标是负数．本题主要考查了平面直角坐标系中各象限内点的坐标的符号根据条件可以转化为不等式或不等式组的问题．12. 解：如图，由作图可知，M(2,−1).故答案为(2,−1).利用旋转变换的性质作出图形即可解决问题．本题坐标与图形变化-旋转，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．13. 解：∵CD是直角三角形ABC斜边上的中线，∴AB=2CD=10，∵直角三角形ABC的周长是24，∴AC+BC=14，两边平方得：AC2+2AC⋅BC+BC2=196，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2=100，∴2AC⋅BC=96，∴AC×BC=48，∴S△ABC=12AC×BC=12×48=24.故答案为24.根据直角三角形斜边上的中线求出AB，求出AC+BC，两边平方后代入AB求出AC×BC 的值，即可求出答案．本题主要考查对三角形的面积，勾股定理，直角三角形斜边上的中线，完全平方公式等知识点的理解和掌握，能根据性质求出AC×BC的值是解此题的关键．14. 解：∵AE=13AB，∴BE=2AE，由翻折的性质得，PE=BE，∴PE=2AE，故①正确；∴∠APE=30∘，∴∠AEP=90∘−30∘=60∘，∴∠BEF=12(180∘−∠AEP)=12(180∘−60∘)=60∘，∴∠EFB=90∘−60∘=30∘，∴EF=2BE，∵BE=PE，∴EF=2PE，∵EF>PF，∴PF<2PE，故②错误；由翻折可知EF⊥PB，∴∠EBQ=∠EFB=30∘，∴BE=2EQ，EF=2BE，∴FQ=3EQ，故③正确；如图，连接DF，由折叠的性质可得：BF=PF，∠BFE=∠PFE=30∘，∴∠BFP=60∘，∴△BFP是等边三角形，∵AD长度无法确定，∴无法判断四边形PBFD是菱形，故④错误，故答案为①③．求出BE=2AE，判断出①正确；根据翻折的性质可得PE=BE，再根据直角三角形30∘角所对的直角边等于斜边的一半求出∠APE=30∘，然后求出∠AEP=60∘，再根据翻折的性质求出∠BEF=60∘，根据直角三角形两锐角互余求出∠EFB=30∘，然后根据直角三角形30∘角所对的直角边等于斜边的一半可得EF=2BE=2PE，由直角三角形的性质，可得EF>PF，判断出②错误；求出BE=2EQ，EF=2BE，然后求出FQ=3EQ，判断出③正确；由题意无法证明PB=PD，可判断④错误，即可求解．本题考查了翻折变换的性质，直角三角形30∘角所对的直角边等于斜边的一半的性质，直角三角形两锐角互余的性质，等边三角形的判定等知识，熟记各性质并准确识图是解题的关键．15. 【分析】本题考查了坐标与图形变化-轴对称，坐标与图形变化-平移，解题时需要注意：平移的距离等于对应点连线的长度，对称轴为对应点连线的垂直平分线．根据轴对称的性质，平移的性质即可得到由△ABO得到△OCD的过程．【解答】解：将△ABO沿x轴向下翻折，再沿x轴向左平移2个单位长度得到△OCD，故答案为：将△ABO沿x轴向下翻折，再沿x轴向左平移2个单位长度得到△OCD.16. 解：设AB、DE交于点O，如图：∵在Rt△ABC中，∠C=90∘，∴BC⊥AC.∵四边形ABCD是平行四边形，∴OD=OE，OA=OB.∴当OD取得最小值时，对角线DE最小，此时OD⊥BC，∴OD//AC.又∵点O是AB的中点，∴OD是△ABC的中位线，∴OD=12 AC.在Rt△ABC中，∠C=90∘，BC=4，AB=8，∴由勾股定理得：AC=√AB2−BC2=√82−42=4√3.∴OD=12×4√3=2√3.∴DE=2OD=4√3.故答案为：4√3.由平行四边形的对角线互相平分、垂线段最短知，当OD⊥BC时，DE线段取最小值；由勾股定理可求得AC的长；由三角形的中位线定理可求得OD的最小值，再乘以2即可得出DE的最小值．本题考查了平行四边形的性质、垂线段最短、三角形的中位线定理及勾股定理等知识点，数形结合并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．17. (1)先进行二次根式的化简、零指数幂的运算，去绝对值，然后合并即可得到答案；(2)原式第二项利用乘法分配律计算，再根据异分母分式减法法则进行计算即可得到答案．本题考查了二次根式以及分式的混合运算，掌握运算法则是解答本题的关键．18. (1)去分母化成整式方程，然后解整式方程，把解得的整式方程的解代入最简公分母检验即可；(2)分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．(3)不等式等价于2x+1<1−x或2x+1>x−1，解得即可；(4)分类讨论，列出不等式组，解不等式组即可．本题考查了解分式方程，解不等式组，解绝对值方程以及含字母系数的不等式等，熟练掌握运算法则是解题的关键．19. 设该款空调补贴前的售价为每台x元，根据补贴后可购买的台数比补贴前前多20%，可建立方程，解出即可．本题考查了分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．20. (1)设公司购买x辆轿车，则购买(10−x)辆面包车，根据“轿车至少要购买3辆，且公司可投入的购车款不超过100万元”，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，再结合x为正整数，即可得出各购买方案；(2)根据这10辆车的日租金不低于2000元，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，再结合3≤x≤5，即可得出应该选择的购买方案．本题考查了一元一次不等式组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．21. (1)先证四边形AECF是平行四边形，再证△ABE是等边三角形，得AE=BE=CE，即可得出结论；AB=1，BG= (2)作BG⊥AD于G，则∠ABG=30∘，由直角三角形的性质得AG=12√3AG=√3，求出DG=AG+AD=5，由勾股定理求出BD即可．本题考查平行四边形的性质、菱形的判定和性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的判定和直角三角形的性质，属于中考常考题型．22. 分为三种情况：①AB=AC，②AC=BC，③AB=BC，即可得出答案．本题考查了坐标与图形性质，等腰三角形的判定，关键是用了分类讨论思想解答．23. 解：(1)①∵(−3−0)2+(0−0)2=32，∴点A(−3,0)的轴垂距为：3，∵(4−0)2+(0+3)2=52，∴点B(4,−3)的轴垂距为：5，故答案为：3，5；②∵(2√2)2+(2√2)2=42，∴非坐标轴上的点C的轴垂距为4，点C的一个坐标为：(2√2,2√2)，故答案为：(2√2,2√2)；(2)∵点M(−6,0)，点N(0,2√3)，∴MN2=(−6−0)2+(0−2√3)2=(4√3)2，∴MN=4√3，过点O作OH⊥MN于H，如图所示：则点H的轴垂距等于线段OH的长，此时线段MN上H点的轴垂距最小，∵点M(−6,0)，点N(0,2√3)，∴OM=6，ON=2√3，∴线段MN上点的轴垂距最大为6，∵S△MON=12OM⋅ON=12MN⋅OH，∴12×6×2√3=12×4√3×OH，∴OH=3，∴点D的轴垂距的取值范围为：3≤点D的轴垂距≤6.(1)①由轴垂距的定义即可得出答案；②由(2√2)2+(2√2)2=42，即可得出结论；(2)求出MN=4√3，过点O作OH⊥MN于H，则点H的轴垂距等于线段OH的长，此时线段MN上H点的轴垂距最小，求出线段MN上点的轴垂距最大为6，由三角形面积求出OH=3，即可得出结论．本题是三角形综合题目，考查了新定义“点的轴垂距”、坐标与图形性质、两点间的距离公式、三角形面积等知识；熟练掌握新定义“点的轴垂距”和三角形面积公式是解题的关键．24. (1)①依照题意画出图形；②由菱形的性质可得∠ADC=120∘，∠BCD=60∘，AD=CD=AB=BC，由轴对称的性质可得EF=EC，DF=DC，由等腰三角形的性质和四边形内角和定理可求解；(2)如图2，在AF上截取AH=CF，连接BH，过点B作BN⊥AF于N，由“SAS”可证△ABH≌△CBF，可得BH=BF，∠ABH=∠CBF，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可求HF=√3BF，可得结论．本题是四边形的综合题，考查了菱形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．。
2021-2022海淀区初三(上)期末数学试卷及答案
2021～2022学年海淀区九上期末数学试卷2022.01学校姓名准考证号注意事项1．本调研卷共8页，满分100分，时间120分钟。
2．在调研卷和答题纸上准确填写学校名称、姓名和准考证号。
3．调研卷答案一律填涂或书写在答题纸上，在调研卷上作答无效。
4．在答题纸上，选择题用2B 铅笔作答，其他题用黑色字迹签字笔作答。
第一部分选择题一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．在平面直角坐标系xOy 中，下列函数的图象经过点(00)，的是(A)1y x =+(B)2y x =(C)2(4)y x =-(D)1y x=2．下列各曲线是在平面直角坐标系xOy 中根据不同的方程绘制而成的，其中是中心对称图形的是(A)(B)(C)(D)3．抛物线2(2)1y x =-+的顶点坐标是(A)(21)，(B)(12)，(C)(21)，-(D)(12)，-4．在△ABC 中，CA CB =，点O 为AB 中点．以点C 为圆心，CO 长为半径作⊙C ，则⊙C 与AB的位置关系是(A)相交(B)相切(C)相离(D)不确定5．小明将图案绕某点连续旋转若干次，每次旋转相同角度α，设计出一个外轮廓为正六边形的图案（如图），则α可以为(A)30°(B)60°(C)90°(D)120°6．把长为2m 的绳子分成两段，使较长一段的长的平方等于较短一段的长与原绳长的积．设较长一段的长为x m ，依题意，可列方程为(A)22(2)x x =-(B)22(2)x x =+(C)2(2)2x x-=(D)22x x=-7．如图，A ，B ，C 是某社区的三栋楼，若在AC 中点D 处建一个5G 基站，其覆盖半径为300m ，则这三栋楼中在该5G 基站覆盖范围内的是(A)A ，B ，C 都不在(B)只有B (C)只有A ，C(D)A ，B ，C8．做随机抛掷一枚纪念币的试验，得到的结果如下表所示：抛掷次数m 5001000150020002500300040005000“正面向上”的次数n 26551279310341306155820832598“正面向上”的频率nm0.5300.5120.5290.5170.5220.5190.5210.520下面有3个推断：①当抛掷次数是1000时，“正面向上”的频率是0.512，所以“正面向上”的概率是0.512；②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.520附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.520；③若再次做随机抛掷该纪念币的实验，则当抛掷次数为3000时，出现“正面向上”的次数不一定是1558次．其中所有合理推断的序号是(A)②(B)①③(C)②③(D)①②③第二部分非选择题二、填空题（共16分，每题2分）9．已知某函数当0x >时，y 随x 的增大而减小，则这个函数解析式可以为________．10．在一个不透明袋子中有3个红球和2个黑球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则取出红球的概率是________．11．若点1(1,)A y -，2(2,)B y 在抛物线22y x =上，则1y ，2y 的大小关系为：1y ________2y （填“＞”，“=”或“＜”）．12．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 2,0（-），点B 0,1（）．将线段BA 绕点B 旋转180°得到线段BC ，则点C 的坐标为__________．13．若关于x 的方程220x x k -+=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是________．14．如图，PA ，PB 分别切⊙O 于点A ，B ，Q 是优弧 AB 上一点，若∠P =40°，则∠Q 的度数是________．15．小明烘焙了几款不同口味的饼干，分别装在同款的圆柱形盒子中．为区别口味，他打算制作“**饼干”字样的矩形标签粘贴在盒子侧面．为了获得较好的视觉效果，粘贴后标签上边缘所在弧所对的圆心角为90°（如图）．已知该款圆柱形盒子底面半径为6cm ，则标签长度l 应为_______cm ．（π取3.1）16．给定二元数对（p ，q ），其中0p =或1，0q =或1．三种转换器A ，B ，C 对（p ，q ）的转换规则如下：规则a ．转换器A 当输入()1,1时，输出结果为1；其余输出结果均为0．转换器B 当输入()0,0时，输出结果为0；其余输出结果均为1．转换器C 当输入()1,1时，输出结果为0；其余输出结果均为1．b ．在组合使用转换器时，A ，B ，C 可以重复使用．（1）在图1所示的“A —B —C ”组合转换器中，若输入()1,0，则输出结果为________；（0，1）CBA（1，0）图1（2）在图2所示的“①—C —②”组合转换器中，若当输入()1,1和()0,0时，输出结果均为0，则该组合转换器为“____—C —____”（写出一种组合即可）．（_，_）②C①（p ，q ）图2三、解答题（共68分，第17-21题，每题5分，第22题6分，第23题5分，第24-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．解方程：2680x x -+=．18．已知a 是方程22710x x --=的一个根，求代数式(27)5a a -+的值．19．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2(3)1y a x =--经过点(2,1)．（1）求该抛物线的表达式；（2）将该抛物线向上平移_______个单位后，所得抛物线与x 轴只有一个公共点．20．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠BAC =30°，将线段CA 绕点C 逆时针旋转60°，得到线段CD ，连接AD ，BD ．（1）依题意补全图形；（2）若BC =1，求线段BD 的长．21．“化圆为方”是古希腊尺规作图难题之一，即：求作一个正方形，使其面积等于给定圆的面积．这个问题困扰了人类上千年，直到19世纪，该问题被证明仅用直尺和圆规是无法完成的．如果借用一个圆形纸片，我们就可以化圆为方，方法如下：已知：⊙O （纸片），其半径为r ．求作：一个正方形，使其面积等于⊙O 的面积．作法：①如图1，取⊙O 的直径AB ，作射线BA ，过点A 作AB 的垂线l ；②如图2，以点A 为圆心，OA 为半径画弧交直线l 于点C ；③将纸片⊙O 沿着直线l 向右无滑动地滚动半周，使点A ，B 分别落在对应的A '，B '处；④取CB '的中点M ，以点M 为圆心，MC 为半径画半圆，交射线BA 于点E ；⑤以AE 为边作正方形AEFG ．正方形AEFG 即为所求．图1图2根据上述作图步骤，完成下列填空：（1）由①可知，直线l 为⊙O 的切线，其依据是________________________________．（2）由②③可知，AC r =，AB r π'=，则MC =_____________，MA =____________（用含r的代数式表示）．（3）连接ME ，在Rt △AME 中，根据222AM AE EM +=，可计算得2AE =_________（用含r的代数式表示）．由此可得正方形o AEFG S S = ．22．已知关于x 的一元二次方程2(2)10x m x m +-+-=．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若0m <，且此方程的两个实数根的差为3，求m 的值．23．如图，△ABC 内接于⊙O ，高AD 经过圆心O ．（1）求证：AB AC =；（2）若8BC =，⊙O 的半径为5，求△ABC 的面积．24．邮票素有“国家名片”之称，方寸之间，包罗万象．为宣传2022年北京冬奥会，中国邮政发行了一套冬奥会邮票，其中有一组展现雪上运动的邮票，如图所示：越野滑雪（4-1）J高山滑雪（4-2）J冬季两项（4-3）J自由式滑雪（4-4）J①②③④某班级举行冬奥会有奖问答活动，答对的同学可以随机抽取邮票作为奖品．（1）在抢答环节中，若答对一题，可从4枚邮票中任意抽取1枚作为奖品，则恰好抽到“冬季两项”的概率是___________；（2）在抢答环节中，若答对两题，可从4枚邮票中任意抽取2枚作为奖品，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到“高山滑雪”和“自由式滑雪”的概率．25．如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD AB ⊥于E ，连接AC ，过A 作AF AC ⊥，交⊙O 于点F ，连接DF ，过B 作BG DF ⊥，交DF 的延长线于点G ．（1）求证：BG 是⊙O 的切线；（2）若30DFA ∠=︒，DF =4，求FG 的长．26．在平面直角坐标系xOy 中，点(4,3)在抛物线23(0)y ax bx a =++>上．（1）求该抛物线的对称轴；（2）已知0m >，当222+m x m -≤≤时，y 的取值范围是13y -≤≤，求a ，m 的值；（3）在（2）的条件下，是否存在实数n ，当2n x n -<<时，y 的取值范围是3335n y n -<<+，若存在，直接写出n 的值；若不存在，请说明理由．27．如图，在△ABC 中，90BAC ∠=︒，1AB AC ==，延长CB ，并将射线CB 绕点C 逆时针旋转90°得到射线l ，D 为射线l 上一动点，点E 在线段CB 的延长线上，且BE CD =，连接DE ，过点A 作AM DE ⊥于M ．（1）依题意补全图1，并用等式表示线段DM 与ME 之间的数量关系，并证明；（2）取BE 的中点N ，连接AN ，添加一个条件：CD 的长为_______，使得12AN DE =成立，并证明．图1备用图28．在平面直角坐标系xOy 中，图形W 上任意两点间的距离有最大值，将这个最大值记为d ．对点P 及图形W 给出如下定义：点Q 为图形W 上任意一点，若P ，Q 两点间的距离有最大值，且最大值恰好为2d ，则称点P 为图形W 的“倍点”．（1）如图1，图形W 是半径为1的⊙O ．①图形W 上任意两点间的距离的最大值d 为_________；②在点1P (0，2)，2P (3，3)，3P (3-，0)中，⊙O 的“倍点”是________；（2）如图2，图形W 是中心在原点的正方形ABCD ，已知点A (1-，1)，若点E (t ，3)是正方形ABCD 的“倍点”，求t 的值；（3）图形W 是长为2的线段MN ，T 为MN 的中点，若在半径为6的⊙O 上存在MN 的“倍点”，直接写出满足条件的点T 所构成的图形的面积．图1图21P 3P 2P2021～2022学年海淀区九上期末参考答案及评分标准2022.1第一部分选择题一、选择题（共16分，每题2分）题号12345678答案BCABBADC第二部分非选择题二、填空题（共16分，每题2分）9．不唯一，例如y x =-，21y x =-等10．3511．＜12．（2，2）13．1k <14．70°15．9.316．（1）1，（2）不唯一，A/A 或B/A 均可三、解答题（共68分，第17-21题，每题5分，第22题6分，第23题5分，第24-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．（本题满分5分）解：2691x x -+=()231x -=31x -=±14x =，22x =．18．（本题满分5分）解：(27)5a a -+=2275a a -+.∵a 是方程22710x x --=的根，∴22710a a --=．∴2271a a -=．∴原式=6．19．（本题满分5分）（1）解：∵抛物线()231y a x =--经过点（2，1），∴11a -=．解得：2a =．∴该抛物线的表达式为()2231y x =--．（2）1．20．（本题满分5分）（1）如图所示:（2）解：∵∠ACB =90°，∠BAC =30°，BC =1，∴AB =2BC =2．∴AC =．∵线段CA 绕点C 逆时针旋转60°得到线段CD ，∴CA =CD 且∠ACD =60°．∴△ACD 是等边三角形．∴AD =AC ，∠DAC =60°．∴∠DAB =∠DAC +∠CAB =90°．∴在Rt △ABD 中，BD ==．21．（本题满分5分）（1）经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；（2）()12rπ+，()12rπ-；（3）2r π.（1）证明：依题意，得()()2241m m ∆=---=24444m m m -+-+=2m ．∵20m ≥，∴0∆≥.∴该方程总有两个实数根．（2）解：解方程，得11x =-，21x m =-．∵0m <，∴11m ->-．∵该方程的两个实数根的差为3，∴1(1)3m ---=.∴3m =-．23．（本题满分5分）（1）证明：在⊙O 中，∵OD ⊥BC 于D ，∴BD =CD ．∴AD 垂直平分BC ．∴AB =AC ．（2）解：连接OB ，∵BC =8，又由（1）得BD =CD ，∴142BD BC ==．∵5OA OB ==，∴3OD =.∴8AD AO OD =+=.∴△ABC 的面积1322ABC S BC AD =⋅= ．（1）14；（2）解：直接使用图中的序号代表四枚邮票.方法一：由题意画出树状图由树状图可知，所有可能出现的结果共有12种，即①②，①③，①④，②①，②③，②④，③①，③②，③④，④①，④②，④③，并且它们出现的可能性相等.其中，恰好抽到“高山滑雪”和“自由式滑雪”（记为事件A ）的结果有2种，即②④或④②.∴()21126P A ==.方法二：由题意列表第二枚第一枚①②③④①①②①③①④②②①②③②④③③①③②③④④④①④②④③由表可知，所有可能出现的结果共有12种，即①②，①③，①④，②①，②③，②④，③①，③②，③④，④①，④②，④③，并且它们出现的可能性相等.其中，恰好抽到“高山滑雪”和“自由式滑雪”（记为事件A ）的结果有2种，即②④或④②.∴()21126P A ==.25．（本题满分6分）（1）证明：∵C ，A ，D ，F 在⊙O 上，∠CAF =90°，∴∠D =∠CAF =90°．∵AB ⊥CE ，BG ⊥DF ，∴∠BED =∠G =90°．∴四边形BEDG 中，∠ABG =90°.∴半径OB ⊥BG ．∴BG 是⊙O 的切线．（2）解：连接CF ，∵∠CAF =90°，∴CF 是⊙O 的直径．∴OC =OF ．∵直径AB ⊥CD 于E ，∴CE =DE ．∴OE 是△CDF 的中位线．∴122OE DF ==．∵ AD AD =，∠AFD =30°，∴∠ACD =∠AFD =30°．∴9060CAE ACE ∠=︒-∠=︒．∵OA =OC ，∴△AOC 是等边三角形．∵CE ⊥AB ，∴E 为AO 中点，∴OA =2OE =4，OB =4．∴6BE BO OE =+=.∵∠BED =∠D =∠G =90°，∴四边形BEDG 是矩形．∴DG =BE =6．∴2FG DG DF =-=.26．（本题满分6分）（1）解：依题意，∵抛物线23y ax bx =++过点（0，3），（4，3），∴该抛物线的对称轴为直线2x =.（2）解：∵抛物线23y ax bx =++对称轴为直线2x =，∴22b a-=，即4b a =-①.∵0m >，∴2222m m -<<+.∵0a >，抛物线开口向上，∴当2x =时，函数值在222m x m -≤≤+上取得最小值1-.即4231a b ++=-②.联立①②，解得1a =，4b =-.∴抛物线的表达式为243y x x =-+，即()221y x =--．∵0m >，∴当22m x -≤≤时，y 随x 的增大而减小，当2x m =-时取得最大值，当222x m ≤≤+时，y 随x 的增大而增大，当22x m =+时取得最大值，∵对称轴为2x =，∴2x m =-与2x m =+时的函数值相等.∵2222m m <+<+，∴当22x m =+时的函数值大于当2x m =+时的函数值，即2x m =-时的函数值.∴当22x m =+时，函数值在222m x m -≤≤+上取得最大值3.代入有2413m -=，舍去负解，得1m =.（3）存在，1n =．27．（本题满分7分）（1）补全图形如下图，DM 与ME 之间的数量关系为DM =ME .证明：连接AE ，AD ，∵∠BAC =90°，AB =AC ，∴∠ABC =∠ACB =45°．∴∠ABE =180°-∠ABC =135°．∵由旋转，∠BCD =90°，∴∠ACD =∠ACB +∠BCD =135°．∴∠ABE =∠ACD ．∵AB =AC ，BE =CD ，∴△ABE ≌△ACD ．∴AE =AD ．∵AM ⊥DE 于M ，∴DM =EM ．（2）CD =证明：连接AD ，AE ，BM .∵AB =AC =1，∠BAC =90°，∴BC =∵BE CD ==，∴BE BC =．∵由（1）得DM =EM ，∴BM 是△CDE 的中位线．∴12BM CD =，BM ∥CD .∴∠EBM =∠ECD =90°．∵∠ABE =135°，∴∠ABM =135°=∠ABE ．∵N 为BE 中点，∴1122BN BE CD ==．∴BM =BN ．∵AB =AB ，∴△ABN ≌△ABM ．∴AN =AM ．∵由（1），△ABE ≌△ACD ，∴∠EAB =∠DAC ，AD =AE ．∵∠BAC =∠DAC +∠DAB =90°，∴∠EAD =90°．∵DM =EM ，∴12AM DE =．∴12AN DE =．28．（本题满分7分）（1）①2；②3P ；（2）解：如图所示，正方形ABCD 上的任意两点间距离的最大值为依题意，若点E （t ，3）是正方形ABCD 的“倍点”，则点E 到ABCD 上的点的最大距离恰好为当0t <时，点E 到ABCD 上的点的最大距离为EC 的长.取点H （1，3），则CH ⊥EH 且CH =4，此时可求得EH =4，从而点E 的坐标为()13,3E -，即3t =-；当0t >时，点E 到ABCD 上的点的最大距离为ED 的长.由对称性可得点E 的坐标为()23,3E ，即3t =.当0t =时，显然不符合题意.综上，t 的值为3或3-.（3）π.。
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初三第一学期期末学业水平调研
数 学
2020.1
一、选择题（本题共16分，每小题2分）
第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1.下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是
A B C D
2． 五张完全相同的卡片上，分别写有数字1，2，3，4，5，现从中随机抽取一张，抽到的卡片上所写数字小于3的概率是
A ．15
B ．25
C ．35
D ．4
5
3． 关于方程2310x x --=的根的情况，下列说法正确的是
A ．有两个不相等的实数根
B ．有两个相等的实数根
C ．没有实数根
D ．无法判断 4.如图，在四边形ABCD 中，AD //BC ，点
E ，
F 分别是边AD ，BC 上的点, AF 与BE 交于点O ，AE=2，BF=1，则AOE △与BOF △的面积之比为
A ．1
2B ．1
4
C ．2
D ．4
5.若扇形的半径为2，圆心角为90°，则这个扇形的面积为
A ．π2
B ．π
C ．2π
D ．4π
6.如图，OA 交⊙O 于点B ，AD 切⊙O 于点D ，点C 在⊙O 上. 若∠A ＝40°，则∠C 为
A ．20°
B ．25°
C ．30°
D ．
35°
B
7． 在同一平面直角坐标系xOy 中，函数1y kx =+与(0)k y k x =
≠的图象可能是 A
B C D 8.在平面直角坐标系xOy 中，将横纵坐标之积为1的点称为“好点”，则函数||3y x =-的图象上的“好
点”共有
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9． 反比例函数2y x
=的图象经过12(2,),(3,)y y 两点，则1y ______2y .（填“>”，“=”或“<”） 10.如果关于x 的一元二次方程210ax bx +-=的一个解是1x =，则2020a b --=_______.
11.如图，在△ABC 中，点D ，E 分别是边AB ，AC 上的点，
//,1,2DE BC AD BD AE ===, 则EC 的长为__________. 12.如图，在平面直角坐标系中有两点A (6,0)和B (6,3)，以原
点O 为位似中心，相似比为12，把线段AB 缩短为线段 CD ，其中点C 与点A 对应，点D 与点B 对应，且CD 在 y 轴右侧，则点D 的坐标为 .
13．下表是某种植物的种子在相同条件下发芽率试验的结果.
根据上表中的数据，可估计该植物的种子发芽的概率为_______.
14.如图，⊙O 是△ABC 的外接圆， D 是AC 的中点，连结AD , BD ，其中
BD 与AC 交于点E . 写出图中所有与△ADE 相似的三角形：___________.
C A
15.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知函数()130y x x =
> 和()210y x x
=-<，点M 为y 轴正半轴上一点，N 为x 轴 上一点，过M 作y 轴的垂线分别交1y ，2y 的图象于A , B
两点，连接AN BN ，，则ABN △的面积为 ． 16.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (1,0), B (3,0)，
C 为平面内的动点，且满足∠ACB =90°，
D 为直线y =x 上
的动点，则线段CD 长的最小值为__________.
三、 解答题（本题共68分，第17~22题，每小题5分，第23~26题，每小题6分，第27~28题，
每小题7分）
解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
17．解一元二次方程：2230x x --=．
18． 如图，在ABC △与ADE △中，
AB AC AD AE
=，且=EAC DAB ∠∠. 求证：ABC ADE △∽△． 19.某司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以80 km/h 的平均速度用6 h 到达目的地.
（1）当他按原路匀速返回时，汽车的速度v 与时间t 有怎样的函数关系？
（2）如果该司机返回到甲地的时间不超过5 h ，那么返程时的平均速度不能小于多少？
B C
E
D A
20.如图，在O 中，AC CB =，CD ⊥OA 于点D ，CE ⊥OB 于点E .
（1）求证：CD =CE ；
（2）若∠AOB =120°，OA =2，求四边形DOEC 的面积.21．已知关于x 的一元二次方程21=0x mx m -+-.
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根为负数，求m 的取值范围.
22.一个不透明的布袋中有完全相同的三个小球，把它们分别标号为1，2，3. 小林和小华做一个游戏，
按照以下方式抽取小球：先从布袋中随机抽取一个小球，记下标号后放回布袋中搅匀，再从布袋中随机抽取一个小球, 记下标号. 若两次抽取的小球标号之和为奇数，小林赢；若标号之和为偶数， 则小华赢.
（1）用画树状图或列表的方法，列出前后两次取出小球上所标数字的所有可能情况；
（2）请判断这个游戏是否公平，并说明理由.
23.如图，90ABC ∠=︒，2,8AB BC ==，射线CD ⊥BC 于点C ，E 是线段BC 上一点，F 是射线CD
上一点，且满足90AEF ∠=︒.
（1）若3BE =，求CF 的长；
（2）当BE 的长为何值时，CF 的长最大，并求出这个最大值.
24．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 是直线1322y x =
+上一点，过点A 分别作x 轴，y 轴的垂 线，垂足分别为点B 和点C ，反比例函数k y x
=的图象经过点A ． （1）若点A 是第一象限内的点，且AB AC =，求k 的值；
（2）当AB AC >时，直接写出k 的取值范围．
E D
F
C
B A
25．如图，AB 是O 的直径，直线MC 与O 相切于点C . 过点A 作MC 的垂线，垂足为D ，线段
AD 与O 相交于点E .
（1）求证：AC 是∠DAB 的平分线；
（2
）若10,AB AC ==AE 的长.
26．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线G ：2240)y ax ax a =-+≠（.
（1）当a =1时，
①抛物线G 的对称轴为x =_____________；
②若在抛物线G 上有两点12(2,),(,)y m y ，且21y y >，则m 的取值范围是____________；
（2）抛物线G 的对称轴与x 轴交于点M ，点M 与点A 关于y 轴对称，将点M 向右平移3个单位得到点B ，若抛物线G 与线段AB 恰有一个公共点，结合图象，求a 的取值范围.
27．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1, 记∠ABC=α，点D为射线BC上的动点，连接AD，将射线DA绕点D顺时针旋转α角后得到射线DE，过点A作AD的垂线，与射线DE交于点P，点B关于点D的对称点为Q，连接PQ．
（1）当△ABD为等边三角形时，
①依题意补全图1；
②PQ的长为_____________；
（2）如图2，当α=45°，且
4
3
BD 时, 求证：PD=PQ；
（3）设BC = t, 当PD=PQ时，直接写出BD的长.（用含t的代数式表示）
图 1
图 2
备用图
28.在平面直角坐标系xOy 中，对于点P （a ，b ）和实数(0)k k >，给出如下定义：当0ka b +>时，
将以点P 为圆心，ka b +为半径的圆，称为点P 的k 倍相关圆．
例如，在如图1中，点P (1,1)的1倍相关圆为以点P 为圆心，2为半径的圆．
（1）在点P 1(2,1)，P 2(1,3-)中，存在1倍相关圆的点是_____，该点的1倍相关圆半径为_______．
（2）如图2，若M 是x 轴正半轴上的动点，点N 在第一象限内，且满足∠MON ＝30°，判断直
线ON 与点M 的12
倍相关圆的位置关系，并证明． （3）如图3，已知点A 的(0,3)，B (1,m )，反比例函数6y x =
的图象经过点B ，直线l 与直线AB 关 于y 轴对称．
①若点C 在直线l 上，则点C 的3倍相关圆的半径为
． ②点D 在直线AB 上，点D 的31倍相关圆的半径为R ，若点D 在运动过程中，以点D 为圆
心，hR 为半径的圆与反比例函数6y x
=的图象最多有两个公共点，直接写出h 的最大值.
图 1
图 2
图 3。