信号与系统3-3微分方程的拉氏变换解课件

(s2 5s 6)Y (s) 3 s 4 s 1
6
例 3.21
Y (s)
3 s4 s 1 s2 5s 6
3 (s 4)(s 1) (s 1)(s2 5s 6)
3 (s 4)(s 1) K1 K2 K3 (s 1)(s 2)(s 3) s 1 s 2 s 3
L [ y(t)] s[s2Y (s) s y(0 ) y(0 )] y(0 ) s3Y (s) s2 y(0 ) sy(0 ) y(0 )
1
微分方程的拉氏变换解
二阶系统
d 2 y(t) dy(t)
d 2 f (t) df (t)
a2 dt 2 a1 dt a0 y(t) b2 dt 2 b1 dt b0 f (t)
11
电路元件的S域模型
电阻元件
u(t) R i(t) U (s) R I (s)
i(t) R u(t)
I(s) R U (s)
时域模型
S域模型
12
电路元件的S域模型
返回
电感元件
u(t)
L
d i(t) dt
U (s)
L
s
I (s)
Li(0 )
I (s) sL －Li(0＋)
i(t) L
解1： L [ y(t)] s2Y (s) s y(0 ) y(0 ) s2Y (s) s 1
L [y(t)] sY (s) y(0 ) sY (s) 1
L [ f (t)] 1 s 1
对微分方程进行拉氏变换为：
s2Y (s) s 1 5sY (s) 5 6Y (s) 3 1 s 1
h( )es(t )d est h( )es d
yzs (t) H (s) e st
本征信号
系统函数可视为系统对复指数信号的加权系数
5
例 3.21
微分性质
系统方程为 y(t) 5y(t) 6y(t) 3 f (t)，其中：f (t) et (t),
y(0 ) 1, y(0 ) 1，求系统的响应。
2
微分方程的拉氏变换解
解代数方程得
Y (s) b2 s 2 b1s b0 F(s) (a2 s a1 ) y(0 ) a2 y(0 )
a2 s 2 a1s a0
a2 s 2 a1s a0
零状态响应
零输入响应
反变换可得时间函数
y(t) yzs (t) yzi (t)
பைடு நூலகம்
3
系统函数
10
拉氏变换分析动态电路的思路
用拉普拉斯变换分析动态电路是如何解决时域 分析动态电路时所存在的问题呢？
与正弦稳态电路中的相量法相似。 先找出R、L、C在复频域的模型，称为S域模
型。 推导出电路定律的复频域形式，引出阻抗和导
纳的概念。 这种分析方法称为复频域法。与正弦稳态电路
的相量法完全类似。
对上式两边取拉普拉斯变换
dy(t) dt
sY (s)
y(0 )
d
2 y(t) dt 2
s 2Y (s)
sy (0
)
y (0
)
df (t) sF (s) dt
d
2 f (t) dt 2
s 2 F (s)
微分方程变为代数方程
[a2 s 2 a1s a0 ]Y (s) [b2 s 2 b1s b0 ]F (s) [a2 s a1 ]y(0 ) a2 y(0 )
4
系统函数包含了两层含义
系统函数与冲激响应
yzs (t) h(t) f (t)
Yzs (s) H (s)F (s)
可见系统函数可h视(t)为系统H对(s复) 指数信号的加权
系系统数函，数它与与输复入指无数关信，号反映系统本身特性。只
不复过 频h域(yt的)zs是(描t)系述统h。(在t) 时f域(t)的描h(述t) ，eHst (s)是对系统在
K1
3 (s (s
4)(s 1) 2)(s 3)
S 1
3 2
K2
3 (s 4)(s 1) (s 1)(s 3)
S 2
1
K3
3 (s 4)(s 1) (s 1)(s 2)
S 3
1 2
y(t) 3 et (t) e2 t (t) 1 e3t (t)
2
2
7
例 3.21
可以分别求出零输入响应和零状态响应
U (s)
u(t)
U (s)
sL
I (s)
定义
H (s)
零状态响应的拉氏变换 激励信号的拉氏变换
Yzs (s) F (s)
二阶系统零状态响应
Yzs (s)
b2 s 2 a2s2
b1s b0 a1s a0
F(s)
H (s)F (s)
对n阶LTI系统的系统函数
H (s)
bm s m an s n
bm1s m1 b1s b0 an1s n1 a1s a0
1)
1.5 s 1
3 s2
1.5 s3
yzs (t) (1.5et 3e2t 1.5e3t ) (t)
零输入响应为 yzi (t) C1e2t C2e3t
代入初始条件 C1 C2 1 2C1 3C2 1
解得 C1 2, C2 1
yzi (t) (2e2t e3t ) (t) 全响应 y(t) yzi (t) yzs (t) (1.5et e2t 0.5e3t ) (t)
3.4 微分方程的拉氏变换解
返回
用拉氏变换求解线性常系数微分方程，主要用到拉氏变换 的微分性质：
• 对于一阶导数： L [ y(t)] sY (s) y(0 )
• 对于二阶导数：L [ y(t)] s[sY (s) y(0 )] y(0 )
• 对于三阶导数：
s2Y (s) s y(0 ) y(0 )
(s2 5s 6)Y (s) 3 s 4 s 1
3
Y (s)
s2
s 1 5s
6
s2
s4 5s
6
零状态响应
零输入响应
y(t) yzs (t) yzi (t)
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例 3.21
解2
系统函数为
H (s)
s2
3 5s
6
零状态响应为
Yzs
(s)
H (s)F(s)
(s
3)( s
3
2)( s
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3.5 动态电路的拉氏变换分析
对于一般动态电路的时域分析，存在以下问题：
对一般的二阶或二阶以上的电路，建立微分方程困难。 确定微分方程所需要的初始条件，以及确定微分方程解
中的积分常数也很烦琐。 动态电路的分析方法无法与电阻性电路和正弦稳态电路
的分析统一起来。 当激励源是任意函数时，求解也不方便。