第二章CAD建模理论基础

i
ti Pi1 Pi Pi1
◆ t为参数 ◆ ti为Pi1和Pi间的弦长 ◆ 当t＝0时，Qi (t) Pi＝di , Qi' (t ) Pi'＝ci ◆ 当t＝ti时，Qi (t) Pi1＝aiti3 biti2 citi di
Qi' (t ) Pi' 1＝3aiti2 2biti 2020c/i3/5
的法向向量，以确定平面；
◆如何求？思考； ◆解析几何；

n (i, j, k)
◆并可判断出某点(x,y,z)是否在平面上？外部还是内部？
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第2章 CAD建模的理论基础
第1节 计算机几何造型基础知识
3.三维几何模型的表示方法 ★多边形网格表示
◆三维形体认为是由三角形或者四边形网格拼接组成。 ◆三角形网格：n个顶点用n－2个三角形来表示；
(2-2)
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第2章 CAD建模的理论基础
第1节 计算机几何造型基础知识
4.自由曲线设计理论基础
★三次参数样条曲线
◆ 将ai、bi、ci、di代入到 Qi (t) ait 3 bit 2 cit di
◆有
Qi (t) [1 3(t / ti )2 2(t / ti )3]Pi
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第2章 CAD建模的理论基础
第1节 计算机几何造型基础知识
3.三维几何模型的表示方法 ★八叉树表示法
◆将三维空间区域分为8个卦限，然后剖分立方体，形成 层次树状结构，最后用无数个微小平行六面体来表示，每 个形体包含8个数据元素，提取每个节点（顶点）的数据， 来表示三维形体。
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第2章 CAD建模的理论基础
第1节 计算机几何造型基础知识
4.自由曲线设计理论基础 ★几个名词
◆型值点：用来定义曲线的互不关联的离散点； ◆曲线的拟合：由一系列给定的型值点构造曲线的方法； ◆曲线拟合的方法：分段拟合、然后将各段光滑地连接； ◆曲线的插值：通过给定型值点来求出曲线上其他点的方法。
◆缺点：不能描述内部及特征，很多分析不能进行
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第2章 CAD建模的理论基础
第1节 计算机几何造型基础知识
2.三维形体的几何模型 ★实体模型
◆确定了表面的方向性； ◆可定义材料的物理性能等； ◆是几何和拓扑意义上信息最为完备的模型； ◆一般实体模型均定义为正则实体。
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第2章 CAD建模的理论基础
第2章 CAD建模的理论基础
内容简介：
本章主要从计算机图形学的角度，对 CAD模型（图形和形体）生成的原理做一 个简单介绍。
涉及到几何造型基础知识、自由曲线与 曲面理论基础、图形变换与投影变换等。
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第2章 CAD建模的理论基础
学习目的与要求：
★了解计算机几何造型的基础知识； ★掌握常见自由曲线，如Hermite、Bezier、B-spline
◆最为普遍的一种表示方式；
◆用多边形来表示平面形体；
◆如果遇到曲面，则只能采用网格划分，无限逼近、近似 的方法； ◆原理：存储顶点表、边表、面表来实现。
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第2章 CAD建模的理论基础
第1节 计算机几何造型基础知识
3.三维几何模型的表示方法
★平面方程表示
◆给出3个点，即可求出A、B、C、D。从而定出平面
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第2章 CAD建模的理论基础
第1节 计算机几何造型基础知识
4.自由曲线设计理论基础
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第2章 CAD建模的理论基础
第1节 计算机几何造型基础知识
4.自由曲线设计理论基础
★三次参数样条曲线
◆三次样条曲线的力学背景：弹性细梁在集中荷载作用 下的变形曲线
◆参数曲线的优点：控制性能好；便于用矢量和矩阵表 示；曲线的形状仅与定义它的特征矢量的位置有关，而 与坐标系无关（曲线表示的几何不变性)。形状数学描述 的标准形式（Ferguson,1964）
第2章 CAD建模的理论基础
第1节 计算机几何造型基础知识
3.三维几何模型的表示方法 ★翼边结构表示法
◆将几何信息和拓扑信息（位置）结合起来考虑； ◆设计一种数据结构，记录并处理三维形体的几何 信息与拓扑信息，来表示～； ◆最早由美国Stanford University 的学者提出。
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◆写成矩阵形式：
Qi (t) t3
t2
t
1
•
23//tit3i 2 0

1
2 / ti3 3 / ti2
0
0
1/ ti2 2 / ti
1 0
1/ ti 1/
0 0
2
ti

•
Pi Pi1 PPi 'i '1

◆四边形网格： n行m列个顶点，有（n-1）*（m-1）个网格。
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第2章 CAD建模的理论基础
第1节 计算机几何造型基础知识
3.三维几何模型的表示方法 ★扫掠表示(Sweep)
◆包括拉伸和旋转； ◆拉伸：平面图形沿着指定曲线扫掠 ； ◆旋转：平面图形围绕确定轴线进行旋转；
◆想想上述拉伸和旋转如何实现？
加工。
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第2章 CAD建模的理论基础
第1节 计算机几何造型基础知识
2.三维形体的几何模型 ★表面模型
◆定义：用有序连接的棱边围成的有限区域来定 义立体的表面，再由表面的集合来定义立体所得 到的三维模型，称为表面模型；
◆数据结构：顶点表＋边表＋面表；
◆优点：信息更完整，可准确定义形体，可用于 NC加工；
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第2章 CAD建模的理论基础
第1节 计算机几何造型基础知识
4.自由曲线设计理论基础
★三次参数样条曲线
◆可以求出 ai、bi、ci、di ◆ 如何求？
Qi (t) ait 3 bit 2 cit di
Pi '
P' i 1
t [0, ti ]
◆
ai、bi、ci、d
为待定系数
曲线的构成、特点、性质等；
★了解常见自由曲面的构成原理； ★掌握图形和形体的几何变换与投影变换。
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第2章 CAD建模的理论基础
重点：
几何造型原理、自由曲线与曲面设计基础、模 型的几何变换与投影变换。
难点：
自由曲线与曲面，模型变换原理。
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第2章 CAD建模的理论基础
第1节 计算机几何造型基础知识
第1节 计算机几何造型基础知识
1.三维几何造型的基本元素
★环 ◆有序、有向边界组成的封闭边界； ◆环分为外环和内环； ◆外环：确定面的最大外边界的环称为外环，按逆时针排序； ◆内环：外环内部的封闭边界称为内环；方向按顺时针（与外 环相反）；
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第2章 CAD建模的理论基础
第1节 计算机几何造型基础知识
◆边界的确定性：根据实体的边界能够确定实体的内部和外部； ◆封闭性：经过一系列刚体运动及任意系列的集合运算之后，仍然保 持有效的实体。
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第2章 CAD建模的理论基础
第1节 计算机几何造型基础知识
2.三维形体的几何模型 ★按模型包含信息的完整性，分为
◆线框模型（wire frame model） ◆表面模型(surface model)
1.三维几何造型的基本元素 ★体
◆由封闭表面围成的空间； ◆分为正则形体和非正则形体两种；
1、正则形体：形体上任一点的足够小的邻域在拓扑上是一个等价 的封闭圆（单连通域）。
形象的说，正则实体是由其内部的点集及紧紧包着这些点的表皮 组成的。
2、非正则形体：不满足上述条件。
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第2章 CAD建模的理论基础
◆实体模型(solid model)
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第2章 CAD建模的理论基础
第1节 计算机几何造型基础知识
2.三维形体的几何模型 ★线框模型
◆定义：用多边形线框来描述三维形体的轮廓得 到的模型称为～； ◆数据结构：顶点表＋边表； ◆优点：简单，仅需要端点信息； ◆缺点：信息不完整，有二义性，不能用于NC
fi1(t) 3(t / ti )2 2(t / ti )3
gi1(t) t2 / ti t3 / ti2
中
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第2章 CAD建模的理论基础
第1节 计算机几何造型基础知识
4.自由曲线设计理论基础
★三次参数样条曲线
◆即有： Qi (t) fi (t)Pi fi1(t)Pi1 gi (t)Pi' gi1(t)Pi' 1
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第2章 CAD建模的理论基础
第1节 计算机几何造型基础知识
1.三维几何造型的基本元素
★面 ◆是形体上一个有界、有向的区域； ◆一般由一个外环和若干个内环来界定其范围； ◆一个面可以没有内环，但必须有且只有一个外环； ◆面具有方向性：外法矢方向为正，反之则为负。
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第2章 CAD建模的理论基础
[3(t / ti )2 2(t / ti )3]Pi1 [t 2t 2 / ti t3 / ti2 ]Pi'
◆令
[t 2 / ti t3 / ti2 ]Pi' 1
fi (t) 1 3(t / ti )2 2(t / ti )3
gi (t) t 2t2 / ti t3 / ti2
第2章 CAD建模的理论基础
第1节 计算机几何造型基础知识
3.三维几何模型的表示方法 ★结构实体几何表示法(CSG)
◆Constructive Solid Geometry
◆将三维实体视为基本体素如圆柱、圆锥、球体等以及它 们之间的交、并、差等布尔（boolean）操作组成。 ◆参看教材图2－14
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第2章 CAD建模的理论基础
第1节 计算机几何造型基础知识
1.三维几何造型的基本元素
在计算机中定义三维几何形体，采用的是从简单几 何元素开始到完整形体描述的层次结构，依次为点、边、 面、环、外壳、体。
★点 最基本的几何元素
★边 两个相邻表面的交集，分为直线边和曲线边；
直线边由2个端点确定，曲线边则由一系列控制点来确定。
第1节 计算机几何造型基础知识
1.三维几何造型的基本元素
★一个实体的表面必须具有的性质
◆连通性：位于实体表面上的任意两个点都可由实体表面上的一条路 径连接起来； ◆有界性：实体表面可将空间分为互不连通的两部分，其中一部分是 有界的； ◆非自相交性：实体的表面不能自相交；
◆可定向性：表面的两侧可明确定义出属于实体的内侧或者外侧；
第1节 计算机几何造型基础知识
3.三维几何模型的表示方法
◆多边形表面表示； ◆平面方程表示； ◆多边形网格表示； ◆扫描表示（Sweep）； ◆八叉树（四叉树）表示法； ◆翼边结构表示法；
◆结构实体几何(CSG)
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第2章 CAD建模的理论基础
第1节 计算机几何造型基础知识
3.三维几何模型的表示方法 ★多边形表面表示
第2章 CAD建模的理论基础
第1节 计算机几何造型基础知识
4.自由曲线设计理论基础
★三次参数样条曲线
di Pi
ci

Pi '
bi

ຫໍສະໝຸດ Baidu
3(Pi1 ti2
Pi )

2 Pi '
ti
Pi' 1
ai

Pi
' 1

ti2
Pi '

2(Pi1 ti3
Pi )
研究CAD建模基础理论的必要性 ★CAD技术研究的基本内容之一； ★熟悉和了解用计算机生成图形和形体的技术； ★在较深的层次上理解CAD技术的内涵； ★为进一步深入研究CAD技术打下基础； ★社会发展对我们专业人员的客观要求。
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第2章 CAD建模的理论基础
第1节 计算机几何造型基础知识
◆闭合性：表面由表面上多边形网格各元素的拓扑所决定。
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第2章 CAD建模的理论基础
第1节 计算机几何造型基础知识
1.三维几何造型的基本元素 ★一个有效的实体应具有的性质
◆刚性：一个有效的实体必须具有不变的形状，即形状与实体的位置 和方向无关； ◆维数一致性：在三维空间中，一个实体的各部分均应是三维的； ◆有限性：一个实体必须占有有限的空间；
定义： 研究用计算机生成、处理、存取、输出三维空间 形体的理论和技术称为计算机几何造型 用以完成几何造型功能的计算机软件系统称为几何 造型系统
请思考：点、线、面、体在计算机内是如何生成的？
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第2章 CAD建模的理论基础
第1节 计算机几何造型基础知识
1.三维几何造型的基本元素
表达三维几何形体需要2个最基本的信息： ★几何信息 形体的形状特征、尺寸、位置等； ★拓扑信息 形体几何元素相互之间的连接 关系。