探究应用新思维数学7年级1140

当A 、B 两点中有一点在原点时,不妨设点A 在原点,如图①,AB OB b a b ==--|;当A 、

B 两点都不在原点时,（1）如图②,点A 、B 都在原点的右边,

AB OB OA b a b a a b =-=-=-=-;

（2）如图③,点A 、B 都在原点的左边,()AB OB OA b a b a a b =-=-=---=- （3）如图④,点A 、B 在原点的两边,()AB OA OB a b a b a b =+=+=+-=-; 综上,数轴上A 、B 两点之间的距离AB a b =-.

请回答:

①数轴上表示2和5的两点之间的距离是_______,数轴上表示2-和5-的两点之间的距离是_______,数轴上表示1和3-的两点之间的距离是________;

②数轴上表示x 和1-的两点A 和B 之间的距离是_______,如果2AB =,那么x 为_______; ③当代数式12x x ++-取最小值时,相应的x 的取值范围是_______.

（南京市中考题）

思维方法天地

11.已知1a =,2b =,3c =,且a b c >>,那么a b c +-=________.

（北京市“迎春杯”竞赛题）

12.在数轴上,点A 表示的数是3x +,点B 表示的数是3x -,且A 、B 两点的距离为8,则x =________.

（“五羊杯”竞赛题）

13.已知5x =,1y =那么x y x y --+=________.

（北京市“迎春杯”竞赛题）

14.（1）11x x ++-的最小值为__________.

（“希望杯”邀请赛试题）

（2）111213x x x ++-++的最小值为________.

（北京市“迎春杯”竞赛题）

15.有理数

a 、

b 在数轴上对应的位置如图所示:

,则代数式

111

1

a a

b a b

a a

a b b +---

+

-

+--的值为（）. A.1-

B.0

C.1

D.2 （“希望杯”邀请赛试题）

16.若()2

210m n ++-=,则2m n +的值为（）.

A.4-

B.1-

C.0

D.4

（北京市中考题）

17.如图,已知数轴上点A 、B 、C 所对应的数a 、b 、c 都不为0,且C 是AB 的中点.

如果2220a b a c b c a b c +--+--+-=,那么原点O 的位置在（）.

A.线段AC 上

B.线段CA 的延长线上.i

C.线段BC 上

D.线段CB 的延长线上!

（江苏省竞赛题）

18.设1m x x =+-,则m 的最小值为（）. A.0

B.1

C.1-

D.2

（重庆市竞赛题）

19.已知点A 在数轴上对应的数为a ,点B 对应的数为b ,且()2

410a b ++-=,A 、B 之间的距离记作AB . （1）求线段的长AB ;

（2）设点P 在数轴上对应的数为x ,当2PA PB -=时,求x 的值;

（3）若点P 在A 的左侧,M 、N 分别是的中点,当点P 在A 的左侧移动时,式子PN PM -的值是否发生改变?若不变,请求其值;若发生变化,请说明理由. 20.已知a b c abc

x a b c abc

=

+++,且a 、b 、c 都不等于0,求1的所有可能值.; （“华罗庚杯”香港中学竞赛题）

应用探究乐园

21.绝对值性质

（1）设a 、b 为有理数,比较a b +与a b +的大小.

（2）已知a 、b 、c 、d 是有理数,9a b -≤,16c d -≤,且25a b c d --+=,求

b a d

c ---的值.

（“希望杯”邀请赛试题）

22.已知数轴上两点A 、B 对应的数分别为1-,3,点P 为数轴上一动点,其对应的数为x . （1）若点P 到点A 、点B 的距离相等,求点P 对应的数.:

（2）数轴上是否存在点P ,使点P 到点A 、点B 的距离之和为5?若存在,请求出x 的值;若不存在,请说明理由.

（3）当点P 以每分钟1个单位长的速度从O 点向左运动时,点A 以每分钟5个单位长的速度向左运动,点B 以每分钟20个单位长的速度向左运动,问它们同时出发,几分钟后P 点到点A 、点B 的距离相等?

3.有理数的运算

解读课标

有理数及其运算是整个数与代数的基础,有关式的所有运算都是建立在数的运算基础上.深刻理解有理数相关概念,掌握一定的有理数运算技能是数与代数学习的基础.

有理数的运算不同于算术数的运算:这是因为有理数的运算每一步要确定符号,有理数的运算很多是字母运算,也就是常说的符号演算.

运算能力是运算技能与推理能力的结合.这就要求我们既能正确地算出结果,又善于观察问题的结构特点,选择合理的运算路径,提高运算的速度.有理数运算常用的技巧与方法有: 利用运算律;以符代数;恰当分组;裂项相消;分解相约;错位相减等. 问题解决 例

1

（

1

）

已

知

()

()2

1

1,2,3,1n a n n =

=+ ,记()

1121b a =-,

()()()()()21212211,,b 2111n n b a a a a a =--=--- ,则通过计算推测n b 的表达式n b =_________.（用含n 的代数式表示）

（成都市中考题）

（2）若a 、b 是互为相反数,c 、d 是互为倒数,x 的绝对值等于2,则42x cdx a b +--的值是______.

（“希望杯”邀请赛试题）

试一试对于（2）,运用相关概念的特征解题.

例2 已知整数a 、b 、c 、d 满足25abcd =,且a b c d >>>,那么a b c d +++等于（）.: A.0

B.10

C.2

D.12

（江苏省竞赛题）

试一试 解题的关键是把25表示成4个不同整数的积的形式. 例3 计算: （1）

1121231

2592334446060

60⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ; （广西竞赛题）

（2）111

112123123100

+

++++++++++ ; （“祖冲之杯”邀请赛试题）

（3）773712173817

27111385271739172739⎛⎫⎛⎫+-÷+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

. （“五羊杯”竞赛题）

试一试对于（1）,设原式S =,将各括号反序相加;对于（2）,若计算每个分母值,则易掩盖问题的实质,不妨先从考察一般情形入手;对于（3）,视除数为一整体,从寻找被除数与除数的关系入手.

例4在数学活动中,小明为了求

23411111

22222

n +++++ 的值（结果用n 表示）,设计了如