探究应用新思维数学7年级1140
探究应用新思维讲解
探究应用新思维讲解随着科技的飞速发展，应用新思维成为各行各业追求创新与突破的关键所在。
本文将围绕应用新思维的内涵、特点以及实际应用案例进行探讨，帮助读者更好地理解和掌握这一重要概念。
一、应用新思维的内涵应用新思维，是指在解决问题、开展业务、研发产品等过程中，运用创新、跨界、整合等思维方式，寻找新的解决方案和业务模式。
与传统思维相比，应用新思维更注重以下几个方面：1.创新性：敢于突破传统框架，尝试新的方法和技术。
2.跨界性：跨越行业、领域界限，实现资源整合和优势互补。
3.整合性：整合各类资源，形成协同效应，提高解决问题和业务发展的效率。
二、应用新思维的特点1.开放性：应用新思维倡导开放、包容的心态，鼓励跨界合作，汲取不同领域的优秀成果。
2.灵活性：应用新思维具有很高的适应性，能够根据实际情况灵活调整策略和方法。
3.效率性：应用新思维强调资源的整合和优化配置，提高解决问题的效率。
4.创造性：应用新思维鼓励创新，激发人们的创造潜能，为问题解决和业务发展提供源源不断的创意。
三、应用新思维的实际应用案例1.共享经济：共享经济是应用新思维的典型代表，通过整合闲置资源，实现资源的高效利用，为用户提供便捷、低成本的出行、住宿等服务。
2.互联网医疗：互联网医疗运用跨界思维，将互联网技术与医疗行业相结合，为患者提供在线咨询、预约挂号、远程诊疗等服务，提高医疗资源的利用效率。
3.新零售：新零售通过整合线上线下渠道、物流、大数据等资源，打造全新的购物体验，实现商品、服务、场景的全面升级。
4.教育信息化：教育信息化运用创新思维，将信息技术与教育教学相结合，推动教育改革，提高教学质量。
四、总结应用新思维是新时代背景下解决问题、推动业务发展的重要手段。
掌握和应用新思维，有助于我们更好地应对挑战，把握机遇，实现个人和企业的共同成长。
七年级·数学探究应用新思维
七年级·数学探究应用新思维近几年，小学数学教学改革的发展变得越来越迅速，有越来越多的教育专家倡导采用以探究、实践为主的课堂模式，以开发学生的创新能力，调动学生学习数学的积极性，提高学生学习数学的能力。
在这样的情况下，越来越多的学校采取了“七年级数学探究应用新思维”的教学模式。
七年级数学探究应用新思维，主要侧重于培养学生探究式思维，实现对新技能、新知识的探究与应用，渗透跨学科连接，学习数学的积极性激发得更加明显。
其核心就是培养学生的自主学习能力，让他们学会从多方面思考问题，综合分析数据，培养从多角度探究数学知识、解决问题的能力。
首先，教师要让学生掌握数学知识点，围绕某一学科数学知识，使学生深入探究、提出问题，让学生能够多角度探究、探究思维的形成成为可能；其次，要培养学生的实践能力和分析能力，教师可以指导学生运用新发现的知识，发现一些规律，并通过实际操作，加深对数学的理解和应用；最后，要激发学生的创新精神，让学生能发挥自己身上的能力，用独到的角度、思维去探究和解决问题。
在探究应用过程当中，教师要采用较多的多媒体和科技设备，比如电脑设备、科学仪器等，通过这些辅助设备，教师可以对学生实施更加有效、有趣、针对性的辅导，同时可以激发学生的创新能力，让他们学会以多方面角度探究和解决问题。
此外，学校可以在开展七年级数学探究应用新思维的教学模式的同时，开展科技教育、社会实践教育等一系列活动，让学生参与其中，扩展学生的知识面和眼界，建立起学术论文写作与课程学习的联系，真正做到教学和课外活动的有机结合，让学生学会以探究、实践为主的思维，获得真正的数学学习成果。
教学改革是一场长期的斗争，紧密相连的每一节课都要为改革的深入而努力。
“七年级数学探究应用新思维”的教学模式正是让学生拥有更多学习数学的机会和时间，让学生学会以探究、实践为主的思维，从而推进数学教学改革，更好、更深地挖掘学生的潜能，实现中学数学教学改革的最终目标。
探究应用新思维-数学7年级
1．数形结合话数轴解读课标数学是研究“数”和“形”的一门学科，从古希腊时期起，人们就已试图把它们统一起来.在日常生活中我们通常对有形的东西认识比较快，而对抽象的东西认识比较慢，这正是现阶段数学学习的特点，以形助数是数学学习的一个重要方法．运用数形结合思想解题的关键是建立数与形之间的联系，现阶段数轴是数形联系的有力工具，主要反映在：1．利用数轴形象地表示有理数；2．利用数轴直观地解释相反数；3．利用数轴解决与绝对值有关的问题；4．利用数轴比较有理数的大小．问题解决例1 (1)已知a 、b 为有理数，且0a >，0b <，0a b +<，将四个数a 、b 、a -、b -按由小到大的顺序排列是__________．（《时代学习报》数学文化节试题）(2)已知数轴上有A 、B 两点，A 、B 之间的距离为1，点A 与原点O 的距离为3，那么点B 对应的数是__________．（广西竞赛题）试一试 对于(1)，赋值或借助数轴比较大小；对于(2)确定A 、B 两点在数轴上的位置，充分考虑A 、B 两点的多种位置关系.例2如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位，点A 、B 、C 、D 对应的数分别是整数a 、b 、c 、d ，且210d a -=，那么数轴的原点应是( )．A.A 点B.B 点C.C 点D.D 点（江苏省竞赛题） 试一试 从寻找d 与a 的另一关系式入手．例3 已知两数a 、b ，如果a 比b 大，试判断||a 与||b 的大小.试一试 因a 、b 符号未定，故a 比b 大有多种情形，借助数轴可直观全面比较||a 与||b 的大小．例4电子跳蚤落在数轴上的某点0K ，第一步从0K 向左跳1个单位到1K ，第二步由1K 向右跳2个单位到2K ，第三步由2K 向左跳3个单位到3K ，第四步由3K 向右跳4个单位到4K ，……，按以上规律跳了100步时，电子跳蚤落在数轴上的点100K 所表示的数恰是19.94，试求电子跳蚤的初始位置0K 点所表示的数．（“希望杯”邀请赛试题）试一试 设0K 点表示的数为x ，把1K 、2K 、、100K 点所表示的数用x 的式子表示．例5 已知数轴上的点A 和点B 之间的距离为28个单位长度，点A 在原点的左边，距离原点8个单位长度，点B 在原点的右边．(1)求A 、B 两点所对应的数．(2)数轴上点A 以每秒1个单位长度出发问左运动，同时点B 以每秒3个单位长度的速度向左运动，在点C 处追上了点A ，求C 点对应的数．(3)已知在数轴上点M 从点A 出发向右运动，速度为每秒1个单位长度，同时点N 从点B 出发向右运动，速度为每秒2个单位长度，设线段NO 的中点为P (O 为原点)，在运动的过程中线段PO AM -的值是否变化？若不变，求其值；若变化，请说明理由．分析与解 对于(3)，设M 点运动时间为t 秒，把PO AM -用2的式子表示．(1)A 、B 两点所对应的数分别为8,20-；(2)C 点对应的数为22-； (3)202,102t AM t OP t +===+(为什么？)，则1010PO AM t t -=+-=，即PO AM -的值不变．生活启示例6 李老师从油条的制作中受到启发，设计了一个数学问题．如图，在数轴上截取从原点到1的对应点的线段AB ，对折后（点A 与点B 重合），固定左端向右均匀地拉成1个单位长度的线段，这一过程称为一次操作（例如，在第一次操作后，原线段AB 上的14，34均变成12；12变成1；等等）.那么在线段AB 上（除点A 、点B 外）的点中，在第二次操作后，求恰好被拉到与1重合的点所对应的数字之和.（浙江省绍兴市中考题）分析 捕捉问题所蕴含的信息，阅读理解“一次操作”的意义：将线段沿中点翻折，中点左侧的点不动，中点右侧的点翻折到左侧的对应位置上，由原来的一个等分点变为两个等分点．解故在第二次操作后，恰好被拉到与1重合的点所对应的数字之和是13144+=． 数学冲浪知识技能广场1.数轴上有A 、B 两点，若点A 对应的数是2-，且A 、B 两点的距离为3，则点B 对 应的数是__________.2.电影《哈利·波特》中，小哈利，波特穿墙进入“394站台”的镜头（如示意图中的M 站台），构思奇妙，能给观众留下深刻的印象，若A 、B 站台分别位于2-，1-处，2AN NB =，则N 站台用类似电影中的方法可称为“__________站台”． （“《时代学习报》数学文化节”试题）3.已知点A 、B 、P 在数轴上，点B 表示的数为6，8AB =，5AP =，那么点P 表示的数是__________．4.如图所示，按下列方法将数轴的正半轴绕在一个圆（该圆周长为3个单位长，且在圆周的三等分点处分别标上了数字0、1、2）上：先让原点与圆周上数字0所对应的点重合，再将正半轴按顺时针方向绕在该圆周上，使数轴上1、2、3、4、所对应的点分别与圆周上1、2、0、1所对应的点重合.这样，正半轴上的整数就与圆周上的数字建立了一种对应关系．(1)圆周上的数字a 与数轴上的数5对应，则a =__________；(2)数轴上的一个整数点刚刚绕过圆周n 圈（n 为正整数）后，并落在圆周上数字1所对应的位置，这个整数是__________（用含n 的代数式表示）．（江西省中考题）5.有理数a 、b 在数轴上的位置如图所示：，则下列各式正确的是( )．A.0a b +>B.0ab >C.||0a b +<D.0a b -> （2012年湖南省常德市中考题）6.文具店、书店、玩具店依次坐落在一条东西走向的大街上，文具店在书店西20米，玩具店位于书店东100米处．小明从书店沿街向东走了40米，接着又向东走了60-米，此时小明的位置在( )．A.文具店B.玩具店C.文具店西边40米D.玩具店东60-米7.将一刻度尺如图所示放在数轴上（数轴的单位长度是1cm ），刻度尺上的“0cm ”“15cm ”分别对应数轴上的 3.6-和x ，则( )．A.910x <<B.1011x <<C.1112x <<D.1213x <<（浙江省绍兴市中考题）8.在数轴上任取一条长度为119999的线段，则此线段在这条数轴上最多能盖住的整数点的个数是( )．A.1998B.1999C.2000D.2001（重庆市竞赛题）9.一个跳蚤在一条直线上，从O 点开始，第1次向右跳1个单位，紧接着第2次晾左跳2个单位，第3次向右跳3个单位，第4次向左跳4个单位……依此规律剧下去，当它跳第100次落下时，求落点处离O 点的距离（用单位表示）．（江苏省无锡市中考题）10.已知数轴上有A 、B 两点，A 、B 之间的距离为1，点A 与原点O 的距离为3，求所有满足条件的点B 与原点O 的距离的和．（北京市“迎春杯”竞赛题）--思维方法天地-- 11.在数轴上，点A 、B 分别表示13-和15，则线段AB 的中点所表示的数是____. 12.在数轴上，表示数(2)2a +，的点M 与表示数(3)3a +，的点N 关于原点对称，则a 的值为__________．13.数形相伴(1)如图所示，点A 、B 所代表的数分别为1-,2，在数轴上画出与A 、B 两点的距离和为5的点（并标上字母）． (2)若数轴上点A 、B 所代表的数分别为a 、b ，则A 、B 两点之间的距离可表示为||AB a b =-，那么，当|1||2|7x x ++-=时，x =__________；当|1||2|5x x ++->时，数x 所对应的点在数轴上的位置是在__________．（《时代学习报》数学文化节试题）14.点A 、B 分别是数3-、12-在数轴上对应的点，使线段AB 沿数轴向右移动为A B ''，且线段A B ''的中点对应的数是3，则点A '对应的数是__________，点A 移动的距离是__________.（江苏省竞赛题）15.点1A 、2A 、3A 、、n A （n 为正整数）都在数轴上，点1A 在原点O 的左边，且11A O =，点2A 在点1A 的右边，且212A A =;点3A 在点2A 的左边，且323A A =，点4A 在点3A 的右边，且434A A =，，依照上述规律，点2008A 、2009A 所表示的数分别为( )． A.2008,2009-B.2008-,2009C.1004,1005-D.1004,1004-（福建省泉州市中考题）16.如图：，数轴—上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位，点A 、B 、C 、D 对应的数分别是整数a 、b 、c 、d ，且29b a -=，那么数轴的原点对应点是（ ）.A.A 点B.B 点C.C 点D.D 点17.有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图，式子||||a b ++||||a b b c ++-化简结果为( )．A.23a b c +-B.3b c -C.b c +D.c b -18.不相等的有理数a 、b 、c 在数轴上对应点分别为A 、B 、C ,若||||||a b b c a c -+-=-那么点B ( )．A.在A 、C 点右边B.在A 、C 点左边C.在A 、C 点之间D.以上均有可能 (“希望杯”邀请赛题)19.在数轴上，N 点与O 点的距离是N 点与30所对应点之间的距离的4倍，那么N 点表示的数是多少?(“CASIO 杯”河南省竞赛题)20.已知数轴上有A 、B 、C 三点，分别代表24-、10-、10,两只电子蚂蚁甲、乙分别从A 、C 两点同时相向而行.甲的速度为4个单位/秒.(1)问多少秒后甲到A 、B 、C 的距离和为40个单位?(2)若乙的速度为6个单位/秒，两只电子蚂蚁甲、乙分别从A 、C 两点同时相向1而行，问甲、乙在数轴上的哪个点相遇?(3)在(1)、(2)的条件下，当甲到A 、B 、C 的距离和为40个单位时，甲调头返回，问甲、乙还能在数轴上相遇吗?若能，求出相遇点；若不能，请说明理由.21.操作与探究对数轴上的点P 进行如下操作：先把点P 表示的数乘以13再把所得数对应的点向右平移1个单位，得到点P 的对应点P '.点A ,B 在数轴上，对线段AB 上的每个点进行上述操作后得到线段A B '',其中，点A ,B 的对应点分别为A B '',如图所示，若点A 表示的数是3-,则点A '表示的数是__________；若点B '表示的数是2,则点B '表示的数是__________；已知线段AB 上的点E 经过上述操作后得到的对应点E '与点E 重合，则点E 表示的数是__________.〔2012年北京市中考题〕22.—动点P 从数轴上的原点出发，沿数轴的正方向以每前进5个单位、后退3个单位的程序运动.已知点P 每秒前进或后退1个单位，设n x 表示第n 秒点P 在数轴上的位置所对应的数(如44x =，55x =，64x =)，求2011x 所对应的数.2.聚焦绝对值绝对值是数学中的一个基本概念，这一概念是学习相反数、有理数运算、算术根的基础；绝对值又是数学中的一个重要概念，绝对值与其他知识融合形成绝对值 方程、绝对值不等式、绝对值函数等，在代数式化简求值、解方程、解不等式等方面有广泛的应用，理解、掌握绝对值应注意以下几个方面：1.脱去绝对值符号是解绝对值问题的切入点脱去绝对值符号常用到相关法则、分类讨论、数形结合等知识方法.2.恰当地运用绝对值的几何意义从数轴上看||a 表示数a 的点到原点的距离；||a b -表示数a 、数b 的两点间的距离.3.灵活运用绝对值的基本性质①||0a ≥；②222||||a a a ==；③||||||ab a b =⋅；④||||()||a ab a b b =≠ 例1已知: |||20||20|y x b x x b =-+-+--其中020b <<,20b x ≤≤，那么y 的最小值为__________.(“CASIO 杯”河南省竞赛题)试一试 结合已知条件判断出每一个绝对值符号内式子的正负性，再去掉绝对值符号.例2式子||||||a b ab a b ab ++的所有可能的值有( ). A.2个 B.3个 C.4个 D.无数个试一试根据a 、b 的符号所有可能情况，去掉绝对值符号，这是解本例的关键.例 3 (1)已知|2||2|0ab a -+-=,求111(1)(1)(2)(2)ab a b a b ++++++1(2005)(2006)a b +⋅⋅⋅+++的值.(“华罗庚杯”香港中学竞赛题)(2)设a 、b 、c 为整数，且||||1a b c a -+-=，求||||||c a a b b c -+-+-的值.(“希望杯”邀请赛试题)试一试 对于（1),由非负数的性质先导出a 、b 的值;对于(2)，1写成两个非负整数的和的形式又有几种可能?这是解(2)的突破口.例4阅读下列材料并解决有关问题：我们知道(0),||0(0),(0).x x x x x x >⎧⎪=-⎨⎪-<⎩现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式|1||2|x x ++-|时，可令：10x +=和20x -=，分别求得1x =-，2x = (称1-，2分别为|1|x +与|2|x -的零点值)在有理数范围内，零点值1x =-和2x =可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：(1)1x <-；(2)12x -≤<；(3)2x ≥.从而化简代数式|1||2|x x ++-可分以下3种情况：(1)当1x <- 时，原式(1)(2)21x x x =-+--=-+;(2)当12x -≤<时，原式1(2)3x x =+--=；(3)当2x ≥时，原式1221x x x =++-=-.综上讨论，原式21(1),3(12),21(2).x x x x x -+<-⎧⎪=-≤<⎨⎪-≥⎩通过以上阅读，请你解决以下问题：(1)分别求出|2|x +和|4|x -的零点值；(2)化简代数式|2||4|x x ++-.(云南省中考题)试一试 在阅读理解的基础上化简求值.例5 (1）当x 取何值时，|3|x -有最小值?这个最小值是多少?（2）当x 取何值时，5|2|x -+有最大值?这个最大值是多少?（3）求|4||5|x x -++的最小值.（4）求|7||8||9|x x x -+-+-的最小值.分析对于（3）、（4）可先运用零点分段讨论法去掉绝对值符号，再求最小值;也可利用绝对值的几何意义，即在数轴上找一表示x 的点，使之到表示4、5的点 (:或表示7、8、9的点）的距离和最小.解(1）当3x =时，原式有最小值，最小值为0.（2）当2x =-时，原式有最大值，最大值为5.（3）当45x ≤≤时，原式有最小值，最小值为1.（4）当8x =时，原式有最小值，最小值为2.对于（3），给出另一种解法：当4x ≤时，原式(4)(5)92x x x =----=-，最小值为1；当45x <≤时，原式4(5)1x x =---=，最小值为1；当5x >时，原式4529x x x =-+-=-,最小值为1.综上所述，原式有最小值等于1.以退求进例6少年科技组制成一台单项功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后 再取绝对值的运算，其运算过程是:输人第一个整数1x ，只显示不运算，接着再输人整数2x 心后则显示12||x x -的结果，此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差取绝对值的运算.现小明将从1到1991这1991个整数随意地一个一个地输人,全部输入完毕之后显示的最后结果设为P ，试求出P 的最大值，并说明理由.分析 先考虑输入个数较少的情形，并结合奇偶分析调整估值，一步步求出P 的最大值.解 由于输入的数都是非负数，当10x ≥,20x ≥时，12||x x -不超过1x 、2x 中最大的数，对10x ≥，20x ≥,30x ≥,则123||||x x x --不超过工1x 、2x 、3x 中最大的数，设小明输入这1991个数的次序是1x ,2x ⋅⋅⋅,1991x .相当于计算: 12319901991||||||||x x x x x P --⋅⋅⋅--=，因此P 的值1991x ≤.另外从运算奇偶性分析，1x 、2x 为整数，12||x x -与12||x x +奇偶性相同，因此P 与121991x x x ++⋅⋅⋅+的奇偶性相同，但121991121991x x x ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+=偶数.于是断定1990P x ≤，我们证明P 可以取到1990.对 1,2,3,4,按如下次序：|||13|4|2|0---=，|||(41)(43)|(44)|(42)|0k k k k +-+-+-+=,对于0,1,2,k =⋅⋅⋅均成立.因此，1~1988可按上述办法依次输入最后显示结果为0,而后||19891990|1991|1990--=，故P 的最大值为1990.数学冲浪知识技能广场1.数a 在数轴上的位置如图所示，，且|1|2a +=,则|37|a +=____.2.已知||5a =，||3b =,且||a b b a -=-，那么a b +=____.3.化简1111111120032003200220022001202004200401-+-+--=____. (北京市竞赛题）4.已知有理数a 、b 、c 在数轴上的对应位置如图所示: ,则|1|||||c a c a b -+-+-化简后的结果是__________.5.已知整数1a ，2a ，3a ，4a ，⋅⋅⋅满足下列条件：10a =, 21|1|a a =-+，32|2|a a =-+，43|3|a a =+，⋅⋅⋅，依次类推，则2012a 的值为（ ）.A.1005-B.1006-C.1007-D.2012-〔2012年江苏省盐城市中考题）6.已知||a a =-,化简|1||2|a a ---所得的结果是（ ）.A.1-B.1C.23a -D.32a -7.若m 是有理数，则m m -一定是（ ）.A.零B.非负数C.正数D.负数8.有理数a 、b 、c 的大小关系如图： 则下列式子中一定成立的是（ ）.A.0a b c ++>B.||a b c +<C.||||a c a c -=+D.||||b c c a ->-(“希望杯”遨请赛试题)9.化简(1)|3|x -； (2)|1||2|x x +++.10.阅读下面材料并回答问题.AB. 点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为||。
七年级·数学探究应用新思维
七年级·数学探究应用新思维
近年来，数学教育更加注重学生自主学习能力和解决实际问题的能力，以促进学生学习数学的兴趣和科学素养。
数学探究应用新思维就是一种新的数学教学模式，主要是由学生自主探究而得到，侧重培养学生的学习习惯和能力，使学生能够灵活运用知识驱动回答问题的能力，发展创新思维。
首先，数学探究应用新思维以学生为主体，由他们自主探究，解决问题，不仅注重学生心智发展，而且培养学生自主学习、自我反思和研究问题的能力。
例如，从学生现有知识出发，引导学生尝试推翻概念，解决问题，拓展、发掘学生原有知识；同时，可以让学生通过比较不同概念之间的差异，思考和发现新的概念，进行探究，形成新的数学知识体系，有助于培养学生的分析、总结、推理、创新能力。
其次，数学探究应用新思维由学生自主发现，选择新方法并根据实际情况调整。
通过小组讨论，学生可以相互交流，寻求问题的解决方案，并自我协调和研究。
此外，也可以让学生在实践中发现规律，学会使用新方法，熟练掌握数学解决问题的方法，解决生活中的实际问题，提高数学实践能力。
此外，数学探究应用新思维还有助于改善学生的学习习惯和兴趣，鼓励学生发挥自己的知识和技能，并且培养学生勤奋努力、勇于探索、解决实际问题的意识，培养新思维。
通过数学探究应用新思维，发挥学生创造力、挑战性思维，增强学生的主观能力，发展学生的自主学习能力、创新能力、解决问题的
能力，更加深入和灵活地学习数学，提高学生数学素养。
因此，数学探究应用新思维在七年级数学教育中具有重要意义。
寒假作业 探究应用新思维 初一 数学
寒假作业探究应用新思维初一数学
一、引言
数学是一门基础学科，它涉及到我们日常生活中的方方面面。
在初一阶段，学生们开始接触更复杂的数学概念，如代数、几何和概率。
寒假即将来临，为了帮助大家巩固和拓展数学知识，我们设计了这份探究应用新思维的初一数学寒假作业。
二、作业内容
1. 代数部分：
a. 完成教材中的代数练习题，掌握代数的基本运算规则。
b. 尝试解决一些生活中的实际问题，如购物时的找零、距离与速度的换算等，用代数表达式来表示并解决这些问题。
2. 几何部分：
a. 绘制不同类型的三角形，并总结三角形的基本性质。
b. 探究三角形的内角和定理，并通过多种方法证明该定理。
3. 概率与统计部分：
a. 记录春节期间家庭聚会时大家参加的活动的频率，如打牌、看电视、聊天等。
b. 分析这些活动发生的概率，并尝试预测下一次聚会时最可能发生的活动。
三、作业要求
1. 独立完成作业，确保理解每一道题目的解题思路。
2. 对于较难的问题，可以查阅教材、参考书或网络资源来寻找答案。
3. 在完成作业的过程中，注重探究和思考，尝试从多个角度来解决问题。
4. 鼓励创新思维和实际应用，将数学知识与生活相结合。
5. 作业提交日期为XXXX年XX月XX日。
四、总结
通过这份寒假作业，我们希望同学们能够巩固初一数学的基础知识，提高解决实际问题的能力，培养探究和创新思维。
希望大家能够认真完成作业，为下学期的数学学习打下坚实的基础。
探究应用新思维-数学7年级1-10
1．数形分离话数轴之阳早格格创做解读课标数教是钻研“数”战“形”的一门教科，从古希腊时期起，人们便已试图把它们统所有去.正在凡是死计中咱们常常对付有形的物品认识比较快，而对付抽象的物品认识比较缓，那正是现阶段数教教习的特性，以形帮数是数教教习的一个要害要领．使用数形分离思维解题的闭键是修坐数与形之间的通联，现阶段数轴是数形通联的有力工具，主要反映正在：1．利用数轴局里天表示有理数；2．利用数轴曲瞅天阐明好异数；3．利用数轴办理与千万于值有闭的问题；4．利用数轴比较有理数的大小．问题办理例1 (1)已知a、b为有理数，且0+<，将四a ba>，0b<，0个数a、b、a-、b-按由小到大的程序排列是__________．（《时代教习报》数教文化节试题）(2)已知数轴上有A、B二面，A、B之间的距离为1，面A与本面O的距离为3，那么面B对付应的数是__________．（广西竞赛题）试一试对付于(1)，赋值或者借帮数轴比较大小；对付于(2)决定A、B二面正在数轴上的位子，充分思量A、B二面的多种位子闭系.例2如图，数轴上标出若搞个面，每相邻二面相距1个单位，面A 、B 、C 、D 对付应的数分别是整数a 、b 、c 、d ，且210d a -=，那么数轴的本面应是()．A.A 面B.B 面C.C 面D.D 面（江苏省竞赛题）试一试 从觅找d 与a 的另一闭系式进脚．例3已知二数a 、b ，如果a 比b 大，试推断||a 与||b 的大小. 试一试 果a 、b 标记已定，故a 比b 大有多种情形，借帮数轴可曲瞅周到比较||a 与||b 的大小．例4电子跳蚤降正在数轴上的某面0K ，第一步从0K 背左跳1个单位到1K ，第二步由1K 背左跳2个单位到2K ，第三步由2K 背左跳3个单位到3K ，第四步由3K 背左跳4个单位到4K ，……，按以上程序跳了100步时，电子跳蚤降正在数轴上的面100K 所表示的数恰是19.94，试供电子跳蚤的初初位子0K 面所表示的数．（“期视杯”邀请赛试题）试一试设0K 面表示的数为x ，把1K 、2K 、、100K 面所表示的数用x 的式子表示．例5已知数轴上的面A 战面B 之间的距离为28个单位少度，面A 正在本面的左边，距离本面8个单位少度，面B 正在本面的左边．(1)供A 、B 二面所对付应的数．(2)数轴上面A 以每秒1个单位少度出收问左疏通，共时面B 以每秒3个单位少度的速度背左疏通，正在面C 处逃上了面A ，供C 面对付应的数．(3)已知正在数轴上面M 从面A 出收背左疏通，速度为每秒1个单位少度，共时面N 从面B 出收背左疏通，速度为每秒2个单位少度，设线段NO 的中面为P (O 为本面)，正在疏通的历程中线段PO AM -的值是可变更？若没有变，供其值；若变更，请道明缘由．分解与解对付于(3)，设M 面疏通时间为t 秒，把PO AM -用2的式子表示．(1)A 、B 二面所对付应的数分别为8,20-；(2)C 面对付应的数为22-； (3)202,102t AM t OP t +===+(为什么？)，则1010PO AM t t -=+-=，即PO AM-的值没有变． 死计开示例6李教授从油条的创造中受到开收，安排了一个数教问题．如图，正在数轴上截与从本面到1的对付应面的线段AB ，对付合后（面A 与面B 沉合），牢固左端背左匀称天推成1个单位少度的线段，那一历程称为一次支配（比圆，正在第一次支配后，本线段AB 上的14，34均形成12；12形成1；等等）.那么正在线段AB 上（除面A 、面B 中）的面中，正在第二次支配后，供恰佳被推到与1沉合的面所对付应的数字之战.（浙江省绍兴市中考题）分解捕获问题所蕴含的疑息，阅读明白“一次支配”的意思：将线段沿中面翻合，中面左侧的面没有动，中面左侧的面翻合到左侧的对付应位子上，由本去的一个仄分面形成二个仄分面．解故正在第二次支配后，恰佳被推到与1沉合的面所对付应的数字之战是131+=．44数教冲浪知识技能广场A、B二面，若面A对付应的数是2-，且A、B二面的距离为3，则面B对付应的数是__________.站台”的2.影戏《哈利·波特》中，小哈利，波特脱墙加进“394镜头（如示企图中的M站台），构思奇妙，能给瞅寡留住深刻的影像，若A、B站台分别位于2-，1-处，2=，则N站AN NB台用类似影戏中的要领可称为“__________站台”．（“《时代教习报》数教文化节”试题）A、B、P正在数轴上，面B表示的数为6，8AP=，那AB=，5么面P表示的数是__________．4.如图所示，按下列要领将数轴的正半轴绕正在一个圆（该圆周少为3个单位少，且正在圆周的三仄分面处分别标上了数字0、1、2）上：先让本面与圆周上数字0所对付应的面沉合，再将正半轴按逆时针目标绕正在该圆周上，使数轴上1、2、3、4、所对付应的面分别与圆周上1、2、0、1所对付应的面沉合.那样，正半轴上的整数便与圆周上的数字修坐了一种对付应闭系．(1)圆周上的数字a 与数轴上的数5对付应，则a =__________； (2)数轴上的一个整数面刚刚刚刚绕过圆周n 圈（n 为正整数）后，并降正在圆周上数字1所对付应的位子，那个整数是__________（用含n 的代数式表示）．（江西省中考题）a 、b 正在数轴上的位子如图所示：，则下列各式精确的是()．A.0a b +>B.0ab >C.||0a b +<D.0a b ->（2012年湖北省常德市中考题）6.文具店、书籍店、玩具店依次坐降正在一条物品走背的大街上，文具店正在书籍店西20米，玩具店位于书籍店东100米处．小明从书籍店沿街背东走了40米，交着又背东走了60-米，此时小明的位子正在()．4060-米7.将一刻度尺如图所示搁正在数轴上（数轴的单位少度是1cm ），刻度尺上的“0cm ”“15cm ”分别对付应数轴上的 3.6-战x ，则()．A.910x <<B.1011x <<C.1112x <<D.1213x <<（浙江省绍兴市中考题）119999的线段，则此线段正在那条数轴上最多能挡住的整数面的个数是()．A.1998B.1999C.2000D.2001（沉庆市竞赛题）9.一个跳蚤正在一条曲线上，从O 面开初，第1次背左跳1个单位，紧交着第2次晾左跳2个单位，第3次背左跳3个单位，第4次背左跳4个单位……依此程序剧下去，当它跳第100次降下时，供降面处离O 面的距离（用单位表示）．（江苏省无锡市中考题）A 、B 二面，A 、B 之间的距离为1，面A 与本面O 的距离为3，供所有谦脚条件的面B 与本面O 的距离的战．（北京市“迎秋杯”竞赛题）--思维要领天天--11.正在数轴上，面A 、B 分别表示13-战15，则线段AB 的中面所表示的数是____.12.正在数轴上，表示数(2)2a +，的面M 与表示数(3)3a +，的面N闭于本面对付称，则a 的值为__________．(1)如图所示，面A 、B 所代表的数分别为1-,2，正在数轴上绘出与A 、B 二面的距离战为5的面（并标上字母）．(2)若数轴上面A 、B 所代表的数分别为a 、b ，则A 、B 二面之间的距离可表示为||AB a b =-，那么，当|1||2|7x x ++-=时，x =__________；当|1||2|5x x ++->时，数x 所对付应的面正在数轴上的位子是正在__________．（《时代教习报》数教文化节试题）A 、B 分别是数3-、12-正在数轴上对付应的面，使线段AB 沿数轴背左移动为A B ''，且线段A B ''的中面对付应的数是3，则面A '对付应的数是__________，面A 移动的距离是__________.（江苏省竞赛题）1A 、2A 、3A 、、n A （n 为正整数）皆正在数轴上，面1A 正在本面O 的左边，且11AO =，面2A 正在面1A 的左边，且212A A =;面3A 正在面2A 的左边，且323A A =，面4A 正在面3A 的左边，且434A A =，，依照上述程序，面2008A 、2009A 所表示的数分别为()．A.2008,2009-B.2008-,2009C.1004,1005-D.1004,1004-（祸修省泉州市中考题）16.如图：，数轴—上标出若搞个面，每相邻二面相距1个单位，面A、B、C、D对付应的数分别是整数a、b、c、d，且29-=，那么数轴的本面对付应面是b a（）.A.A面B.B面C.C面D.D面a、b、c正在数轴上的位子如图，式子++-化简截止为( )．a b b ca b++||||||||A.23+- B.3b c- C.b c+D.c b-a b ca、b、c正在数轴上对付应面分别为A、B、C,若-+-=-那么面B( )．||||||a b b c a cA、C A、C面左边A、C(“期视杯”邀请赛题) 19.正在数轴上，N面与O面的距离是N面与30所对付应面之间的距离的4倍，那么N面表示的数是几?(“CASIO杯”河北省竞赛题)-、10,二只电子蚂蚁甲、乙A、B、C三面，分别代表24-、10分别从A、C4个单位/秒.(1)问几秒后甲到A、B、C的距离战为40个单位?(2)若乙的速度为6个单位/秒，二只电子蚂蚁甲、乙分别从A、C二面共时相背1而止，问甲、乙正在数轴上的哪个面相逢?(3)正在(1)、(2)的条件下，当甲到A、B、C的距离战为40个单位时，甲调头返回，问甲、乙还能正在数轴上相逢吗?若能，供出相逢面；若没有克没有及，请道明缘由.对付数轴上的面P举止如下支配：先把面P表示的数乘以13再把所得数对付应的面背左仄移1个单位，得到面P的对付应面P'.面A,B正在数轴上，对付线段AB上的每个面举止上述支配后得到线段A B'',其中，面A,B的对付应面分别为A B'',如图所示，若面A表示的数是3-,则面A'表示的数是__________；若面B'表示的数是2,则面B'表示的数是__________；已知线段AB上的面E通过上述支配后得到的对付应面E'与面E沉合，则面E表示的数是__________.〔2012年北京市中考题〕22.—动面P从数轴上的本面出收，沿数轴的正目标以每前进5个单位、退却3P每秒前进或者退却1个单位，设n x表示第n秒面P正在数轴上的位子所对付应的数(如44x=，55x=，64x=)，供2011x所对付应的数.千万于值是数教中的一个基础观念，那一观念是教习好异数、有理数运算、算术根的前提；千万于值又是数教中的一个要害观念，千万于值与其余知识混合产死千万于值圆程、千万于值没有等式、千万于值函数等，正在代数式化简供值、解圆程、解没有等式等圆里有广大的应用，明白、掌握千万于值应注意以下几个圆里：脱去千万于值标记时常使用到相闭规则、分类计划、数形分离等知识要领.从数轴上瞅||a 表示数a 的面到本面的距离；||a b -表示数a 、数b 的二面间的距离.①||0a ≥；②222||||a a a ==；③||||||ab a b =⋅；④||||()||a ab a b b =≠ 例1已知: |||20||20|y x b x x b =-+-+--其中020b <<,20b x ≤≤，那么y 的最小值为__________.(“CASIO 杯”河北省竞赛题)试一试 分离已知条件推断出每一个千万于值标记内式子的正背性，再去掉千万于值标记.例2式子||||||a b ab a b ab ++的所有大概的值有( ). A.2个 B .3个 C.4试一试根据a 、b 的标记所有大概情况，去掉千万于值标记，那是解本例的闭键.例 3 (1)已知|2||2|0ab a -+-=,供111(1)(1)(2)(2)ab a b a b ++++++1(2005)(2006)a b +⋅⋅⋅+++的值.(“华罗庚杯”香港中教竞赛题)(2)设a 、b 、c 为整数，且||||1a b c a -+-=，供||||||c a a b b c -+-+-的值.(“期视杯”邀请赛试题)试一试对付于（1),由非背数的本量开初出a 、b 的值;对付于(2)，1写成二个非背整数的战的形式又有几种大概?那是解(2)的突破心.例4阅读下列资料并办理有闭问题：咱们知讲(0),||0(0),(0).x x x x x x >⎧⎪=-⎨⎪-<⎩当前咱们不妨用那一论断去化简含有千万于值的代数式，如化简代数式|1||2|x x ++-|时，可令：10x +=战20x -=，分别供得1x =-，2x = (称1-，2分别为|1|x +与|2|x -的整面值)正在有理数范畴内，整面值1x =-战2x =可将部分有理数分成没有沉复且没有遗漏的如下3种情况：(1)1x <-；(2)12x -≤<；(3)2x ≥.进而化简代数式|1||2|x x ++-可分以下3种情况：(1)当1x <- 时，本式(1)(2)21x x x =-+--=-+;(2)当12x -≤<时，本式1(2)3x x =+--=；(3)当2x ≥时，本式1221x x x =++-=-.综上计划，本式21(1),3(12),21(2).x x x x x -+<-⎧⎪=-≤<⎨⎪-≥⎩通过以上阅读，请您办理以下问题：(1)分别供出|2|x +战|4|x -的整面值；(2)化简代数式|2||4|x x ++-.(云北省中考题)试一试正在阅读明白的前提上化简供值.例5(1）当x 与何值时，|3|x -有最小值?那个最小值是几?（2）当x 与何值时，5|2|x -+有最大值?那个最大值是几?（3）供|4||5|x x -++的最小值.（4）供|7||8||9|x x x -+-+-的最小值.分解对付于（3）、（4）可先使用整面分段计划法去掉千万于值标记，再供最小值;也可利用千万于值的几许意思，即正在数轴上找一表示x 的面，使之到表示4、5的面 (:或者表示7、8、9的面）的距离战最小.解(1）当3x =时，本式有最小值，最小值为0.（2）当2x =-时，本式有最大值，最大值为5.（3）当45x ≤≤时，本式有最小值，最小值为1.（4）当8x =时，本式有最小值，最小值为2.对付于（3），给出另一种解法：当4x ≤时，本式(4)(5)92x x x =----=-，最小值为1； 当45x <≤时，本式4(5)1x x =---=，最小值为1；当5x >时，本式4529x x x =-+-=-,最小值为1.综上所述，本式有最小值等于1.以退供进例6少年科技组造成一台单项功能估计器，对付任性二个整数只可完成供好后 再与千万于值的运算，其运算历程是:输人第一个整数1x ，只隐现没有运算，交着再输人整数2x 心后则隐现12||x x -1到1991那1991个整数随意天一个一个天输人,局部输进完成之后隐现的末尾截止设为P ，试供出P 的最大值，并道明缘由.分解先思量输进个数较少的情形，并分离奇奇分解安排估值，一步步供出P 的最大值.解由于输进的数皆利害背数，当10x ≥,20x ≥时，12||x x -没有超出1x 、2x 中最大的数，对付10x ≥，20x ≥,30x ≥,则123||||x x x --没有超开工1x 、2x 、3x 中最大的数，设小明输进那1991个数的序次是1x ,2x ⋅⋅⋅,1991x .相称于估计:12319901991||||||||x x x x x P --⋅⋅⋅--=，果此P 的值1991x ≤. 其余从运算奇奇性分解，1x 、2x 为整数，12||x x -与12||x x +奇奇性相共，果此P 与121991x x x ++⋅⋅⋅+的奇奇性相共， 但是121991121991x x x ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+=1990P x ≤，咱们道明P 不妨与到1990.对付 1,2,3,4,按如下序次：|||13|4|2|0---=，|||(41)(43)|(44)|(42)|0k k k k +-+-+-+=,对付于0,1,2,k =⋅⋅⋅均创造.果此，1~1988可按上述办法依次输进末尾隐现截止为0,而后||19891990|1991|1990--=，故P 的最大值为1990.数教冲浪知识技能广场a 正在数轴上的位子如图所示，，且|1|2a +=,则|37|a +=____.||5a =，||3b =,且||a b b a -=-，那么a b +=____.1111111120032003200220022001202004200401-+-+--=____. (北京市竞赛题）a 、b 、c 正在数轴上的对付应位子如图所示:,则|1|||||c a c a b -+-+-化简后的截止是__________.1a ，2a ，3a ，4a ，⋅⋅⋅谦脚下列条件：10a =,21|1|a a =-+，32|2|a a =-+，43|3|a a =+，⋅⋅⋅，依次类推，则2012a 的值为（ ）.A.1005-B.1006-C.1007-D.2012-〔2012年江苏省盐皆会中考题）||a a =-,化简|1||2|a a ---所得的截止是（ ）.A.1-B.1C.23a -D.32a -m 是有理数，则m m -一定是（ ）. a 、b 、c 的大小闭系如图：则下列式子中一定创造的是（ ）.A.0a b c ++>B.||a b c +<C.||||a c a c -=+D.||||b c c a ->-(“期视杯”遨请赛试题)(1)|3|x -； (2)|1||2|x x +++.10.阅读底下资料并回问问题.面A、B正在数轴上分别表示真数a、b，A、B二面之间的距离表示为||AB.。
七年级·数学探究应用新思维
七年级·数学探究应用新思维如今，数学教育正在发生着前所未有的变化，以探究为基础应用新思维是这一变化的重要特征之一。
探究数学思维方法能够帮助学生改变传统的学习手段，为学生提供一种更有效的学习环境，加深对数学的理解，帮助学生发现和应用数学规律，从而引发他们更多的学习兴趣。
在这种新的数学思维方式下，学生可以通过探究来深入理解数学，而不是只依靠抽象思维来记忆。
首先，探究数学思维方法主要强调“以研究为基础”，这意味着学生需要认真观察、分析、思考，甚至创新，从而探究数学知识的意义，用这种方法引导学生探究数学知识，从而获得解决问题的能力。
也就是说，学生将从数学的概念和定律出发，大胆研究，挖掘数学知识背后的自然规律，从而使学生更加深入地理解数学知识，而不是被动地记忆知识。
其次，在运用探究式学习方法教授七年级数学时，老师需要正确认识学生的需求，为学生创建有效的学习环境，激发他们的学习兴趣，搭建平台，让他们运用探究的思维方式去探究数学中的规律，帮助他们发现和把握数学中的规律。
当学生们掌握了探究的技巧后，老师还需要鼓励他们，让他们更加自信地把握这些技巧，让他们在学习数学中更充实更快乐。
最后，当老师教学时，他还需要重视学生的研究能力。
通过积极激发并培养学生研究的能力，让学生发挥自己的创造力和想象力，在探究过程中获得更多的乐趣。
例如，老师可以给学生出不同的探究课题，让学生自己探究，以找出解决问题的方法，也可以让他们参与到实践环节，以加深对数学知识的理解，最终让学生掌握数学知识，运用数学知识解决问题。
总而言之，数学探究应用新思维的方法对七年级的学生来说是非常重要的，老师们在教学中可以使用这种方法，让学生们更好地理解数学知识，更加兴趣地学习，更加有效地解决问题，以达到最终的学习效果。
只有在老师的正确引导下，学生们才能充分利用探究数学思维方法，真正融入数学知识，从而获得更好的学习效果。
见书识人黄东坡数学探究应用新思维七年级数学评测
见书识人黄东坡数学探究应用新思维七年级
数学评测
黄东坡，是宋代著名的文学家、书法家、政治家，他的文学作品不仅影响深远，而且在数学领域也有着独特的贡献。
黄东坡数学思想以求知欲强、探索精神旺盛著称，他在数学方面的探索也为后人提供了很多宝贵的经验和启示。
在七年级数学评测中，通过学生的见书识人，可以更好地了解他们对数学知识
的掌握情况。
黄东坡数学探究应用新思维，不仅可以帮助学生更好地理解数学知识，还可以培养学生的探索精神和创新能力。
通过评测，可以更好地了解学生在数学学习中的实际水平，从而为他们提供更好的学习帮助和指导。
在评测中，可以设置一些开放性问题，让学生自由发挥，展现他们的思维能力
和创造力。
例如，可以设计一些与黄东坡数学探究相关的问题，让学生根据自己的理解和想法进行解答，从而更好地展现他们的数学思维和能力。
此外，评测中也可以设置一些应用性的问题，让学生将数学知识运用到实际生
活中，培养他们的数学应用能力。
例如，可以设计一些与生活相关的数学问题，让学生通过计算和分析解决问题，从而培养他们的实际操作能力和解决问题的能力。
综上所述，通过见书识人，了解学生的数学学习情况，通过黄东坡数学探究应
用新思维，培养学生的数学思维和创新能力，通过七年级数学评测，更好地了解学生的数学学习水平，为他们提供更好的学习帮助和指导，这将有助于学生的全面发展和提高数学学习的效果。
愿学生们在数学学习中，能够不断探索，勇攀数学的高峰，为实现自己的数学梦想而努力学习！。
探究应用新思维数学7年级1140教学内容
当A 、B 两点中有一点在原点时,不妨设点A 在原点,如图①,AB OB b a b ==--|;当A 、B 两点都不在原点时,（1）如图②,点A 、B 都在原点的右边,AB OB OA b a b a a b =-=-=-=-;（2）如图③,点A 、B 都在原点的左边,()AB OB OA b a b a a b =-=-=---=- （3）如图④,点A 、B 在原点的两边,()AB OA OB a b a b a b =+=+=+-=-; 综上,数轴上A 、B 两点之间的距离AB a b =-.请回答:①数轴上表示2和5的两点之间的距离是_______,数轴上表示2-和5-的两点之间的距离是_______,数轴上表示1和3-的两点之间的距离是________;②数轴上表示x 和1-的两点A 和B 之间的距离是_______,如果2AB =,那么x 为_______; ③当代数式12x x ++-取最小值时,相应的x 的取值范围是_______.（南京市中考题）思维方法天地11.已知1a =,2b =,3c =,且a b c >>,那么a b c +-=________.（北京市“迎春杯”竞赛题）12.在数轴上,点A 表示的数是3x +,点B 表示的数是3x -,且A 、B 两点的距离为8,则x =________.（“五羊杯”竞赛题）13.已知5x =,1y =那么x y x y --+=________.（北京市“迎春杯”竞赛题）14.（1）11x x ++-的最小值为__________.（“希望杯”邀请赛试题）（2）111213x x x ++-++的最小值为________.（北京市“迎春杯”竞赛题）15.有理数a 、b 在数轴上对应的位置如图所示:,则代数式1111a ab a ba a ab b +---+-+--的值为（ ）. A.1-B.0C.1D.2 （“希望杯”邀请赛试题）16.若()2210m n ++-=,则2m n +的值为（ ）.A.4-B.1-C.0D.4（北京市中考题）17.如图,已知数轴上点A 、B 、C 所对应的数a 、b 、c 都不为0,且C 是AB 的中点.如果2220a b a c b c a b c +--+--+-=,那么原点O 的位置在（ ）.A.线段AC 上B.线段CA 的延长线上.iC.线段BC 上D.线段CB 的延长线上!（江苏省竞赛题）18.设1m x x =+-,则m 的最小值为（ ）. A.0B.1C.1-D.2（重庆市竞赛题）19.已知点A 在数轴上对应的数为a ,点B 对应的数为b ,且()2410a b ++-=,A 、B 之间的距离记作AB . （1）求线段的长AB ;（2）设点P 在数轴上对应的数为x ,当2PA PB -=时,求x 的值;（3）若点P 在A 的左侧,M 、N 分别是的中点,当点P 在A 的左侧移动时,式子PN PM -的值是否发生改变?若不变,请求其值;若发生变化,请说明理由. 20.已知a b c abcx a b c abc=+++,且a 、b 、c 都不等于0,求1的所有可能值.; （“华罗庚杯”香港中学竞赛题）应用探究乐园21.绝对值性质（1）设a 、b 为有理数,比较a b +与a b +的大小.（2）已知a 、b 、c 、d 是有理数,9a b -≤,16c d -≤,且25a b c d --+=,求b a dc ---的值.（“希望杯”邀请赛试题）22.已知数轴上两点A 、B 对应的数分别为1-,3,点P 为数轴上一动点,其对应的数为x . （1）若点P 到点A 、点B 的距离相等,求点P 对应的数.:（2）数轴上是否存在点P ,使点P 到点A 、点B 的距离之和为5?若存在,请求出x 的值;若不存在,请说明理由.（3）当点P 以每分钟1个单位长的速度从O 点向左运动时,点A 以每分钟5个单位长的速度向左运动,点B 以每分钟20个单位长的速度向左运动,问它们同时出发,几分钟后P 点到点A 、点B 的距离相等?3.有理数的运算解读课标有理数及其运算是整个数与代数的基础,有关式的所有运算都是建立在数的运算基础上.深刻理解有理数相关概念,掌握一定的有理数运算技能是数与代数学习的基础.有理数的运算不同于算术数的运算:这是因为有理数的运算每一步要确定符号,有理数的运算很多是字母运算,也就是常说的符号演算.运算能力是运算技能与推理能力的结合.这就要求我们既能正确地算出结果,又善于观察问题的结构特点,选择合理的运算路径,提高运算的速度.有理数运算常用的技巧与方法有: 利用运算律;以符代数;恰当分组;裂项相消;分解相约;错位相减等. 问题解决 例1（1）已知()()211,2,3,1n a n n ==+L ,记()1121b a =-,()()()()()21212211,,b 2111n n b a a a a a =--=---L L ,则通过计算推测n b 的表达式n b =_________.（用含n 的代数式表示）（成都市中考题）（2）若a 、b 是互为相反数,c 、d 是互为倒数,x 的绝对值等于2,则42x cdx a b +--的值是______.（“希望杯”邀请赛试题）试一试 对于（2）,运用相关概念的特征解题.例2 已知整数a 、b 、c 、d 满足25abcd =,且a b c d >>>,那么a b c d +++等于（ ）.: A.0B.10C.2D.12（江苏省竞赛题）试一试 解题的关键是把25表示成4个不同整数的积的形式. 例3 计算: （1）1121231259233444606060⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L ; （广西竞赛题）（2）111112123123100+++++++++++L L ; （“祖冲之杯”邀请赛试题）（3）77371217381727111385271739172739⎛⎫⎛⎫+-÷+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （“五羊杯”竞赛题）试一试 对于（1）,设原式S =,将各括号反序相加;对于（2）,若计算每个分母值,则易掩盖问题的实质,不妨先从考察一般情形入手;对于（3）,视除数为一整体,从寻找被除数与除数的关系入手.例4 在数学活动中,小明为了求2341111122222n +++++L 的值（结果用n 表示）,设计了如图所示的几何图形.图①图②（1）请你用这个几何图形求2341111122222n +++++L 的值; （2）请你用图②,再设计一个能求2341111122222n +++++L 的值的几何图形.（辽宁省大连市中考题）试一试 求原式的值有不同的解题方法,而剖分图形面积是构造图形的关键. 例5 在1,2,,2002L 前面任意添上正号和负号,求其非负和的最小值.分析与解 首先确定非负代数和的最小值的下限,然后通过构造法证明这个下限可以达到即可.整数的和差仍是整数,而最小的非负整数是0.代数和的最小值能是0吗?能是1吗?由于任意添“+”号或“-”号,形式多样,因此,不可能一一尝试再作解答,从奇数、偶数的性质入手. 因a b +与a b -的奇偶性相同,故所求代数和的奇偶性与()20021200212320012002100120032⨯++++++==⨯L 的奇偶性相同,即为奇数.因此,所求非负代数和不会小于1. 又()()()()1234567891011121314-++--++--++--+++Q L ()19992000200120021--+=,∴所求非负代数和的最小值为1.类比类比是一种推理方法,根据两#事物在某些特征上的相似,作出它们在其他特征上也可能相似的结论.触类旁通,即用类比的方法提出问题及寻求解决问题的途径和方法. 例6 观察下面的计算过程111111111111141122334451223344555⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-+-+-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 问:（1）从上面的解题方法中,你发现了什么?用字母表示这一规律. （2）“学问”,既要学会解答,又要学会发问.爱因斯坦曾说:“提出问题比解决问题更重要”. 请用类比的方法尽可能多地提出类似的问题. 分析与解 （1）()11111n n n n =-++.（2）从连续自然数到连续偶数,从2个到3个,从分数到整数,类比可提出下列计算问题:①111244620122014+++⨯⨯⨯L ; ②111123234201220132014+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯L ; ③12233420122013⨯+⨯+⨯++⨯L ;④22221232012++++L .数学冲浪知识技能广场1.如图,每一个小方格的面积为1,则可根据面积计算得到如下算式:()135721n +++++-=L _______.（用n 表示,n 是正整数）.（第1题）（2012年潍坊市中考题）2.某数学活动小组的20位同学站成一列做报数游戏,规则是:从前面第一位同学开始,每位同学依次报自己顺序数的倒数加1,第1位同学报111⎛⎫+ ⎪⎝⎭,第2位同学报112⎛⎫+⎪⎝⎭,第3位同学报113⎛⎫+ ⎪⎝⎭……这样得到的20个数的积为________. （2012年河北省中考题）3.计算:（1）()211455365455211545545365⨯-+⨯-⨯+⨯=______.（“希望杯”邀请赛试题）（2）23181920223222-----+=L _______.（广西桂林市中考题）4.“数学王子”高斯从小就善于观察和思考,在他读小学时就能在课堂上快速地计算出12398991005050++++++=L ,今天我们可以将高斯的做法归纳如下: 1239899100S =++++++L ① 1009998321S =++++++L ② ①+②有()21100100S =+⨯,5050S =. 请类比以上做法,回答下列问题:若n 为正整数,()35721168n +++++=L ,则n =_______.（2012年湖北省黄石市中考题）5.设0a <,在代数式|a ,a -,2009a ,2010a,a -,2a a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭,2a a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭中负数的个数是（ ）. A.1B.2C.3D.4（“希望杯”邀请赛试题）6.我国邮政国内外埠邮寄印刷品邮资标准如下:100克以内0.7元,每增加100克（不足100克按100克计）0.4元.某人从成都邮寄一本书到上海,书的质量为470克,则他应付邮资（ ）元.A.2.3B.2.6C.3D.3.5（2012年四川省竞赛题）7.为了求23200812222+++++L 的值,可令23200812222S +=++++L ,则2342009222222S ++++=+L ,,因此2009221S S -=-所以23200820091222221+++++=-L .仿照上面推理计算出23200915555+++++L 的值是（ ）. A.200951-B.201051-C.2009514-D.2010514-（湖北省鄂州市中考题）8.下面是按一定规律排列的一列数: 第1个数:11122-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭; 第2个数:()()2311111113234⎛⎫⎛⎫---⎛⎫-+++ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭; 第3个数:()()()()234511111111111423456⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-----⎛⎫-+++++ ⎪⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭; ……第n 个数:()()()232111111111112242n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫----⎛⎫-++++ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L . 那么,在第10个数、第11个数、第12个数、第13个数中,最大的数是（ ）.A.第10个数B.第11个数C.第12个数D.第13个数（江苏省中考题）观察图形,解答问题:（1）按下表已填写的形式填写表中的空格:（2012年益阳市中考题）10.观察下列等式: 第1个等式:111111323a ⎛⎫==⨯- ⎪⨯⎝⎭; 第2个等式:2111135235a ⎛⎫==⨯- ⎪⨯⎝⎭ 第3个等式:3111157257a ⎛⎫==⨯- ⎪⨯⎝⎭ 第4个等式:4111179279a ⎛⎫==⨯- ⎪⨯⎝⎭; ……请解答下列问题:（1）按以上规律列出第5个等式:5a =______=_______;（2）用含n 的代数式表示第n 个等式n a =______=_______;（n 为正整数）; （3）求1234100a a a a a +++++L 的值.（2012年广东省中考题）思维方法天地 11.计算: （1）11111111111113243546979998100⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯+⨯+⨯+⨯⨯+⨯+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ______.（“华罗庚杯”邀请赛试题）（2）1511914117111234567892612203042567290-+-+-+-+=_____. （“希望杯”邀请赛试题）（3）555111139139993311993311⎛⎫⎛⎫++÷++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭_____.（江苏省竞赛题）12.设三个互不相等的有理数,既可分别表示为1,a b +,a 的形式,又可分别表示为0,ab,b 的形式,则20042001a b +=______. 13.已知31x x =+,则()2005264489x x ++=______.（“五羊杯”竞赛题）14.已知a 、b 、c 满足()()()0a b b c c a +++=且0abc <,则代数式的a b ca b c++值是________.（四川省竞赛题）15.11111161111161621212626313136+++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯的值是（ ）. A.118 B.136 C.133 D.166（北京市竞赛题）16.如果4个不同的正整数m 、n 、p 、q 满足()()()()77774m n p q ----=,那么m n p q +++等于（ ）. A.10 B.21C.24D.26E.2817.如果3121231t t t t t t ++=,那么123123t t t t t t 的值为（ ）. A.1-B.1C.1±D.不确定（河北省竞赛题）18.观察下列各式: （1）211=; （2）32343++=; （3）2345675++++=; （4）2456789107++++++=;……请你根据观察得到的规律判断下列各式正确的是（ ）.A.210051006100730162011++++=L 2B.210051006100730172011++++=LC.210061007100830162011++++=LD.210071008100930172011++++=L（济南市中考题）19.观察下面的等式:224⨯=,224+=; 313422⨯=,313422+=; 414533⨯=,414533+=; 515644⨯=,515644+=. （1）小明归纳上面各式得出一个猜想:“两个有理数的积等于这两个有理数的和”,小明的猜想正确吗?为什么?（2）请你观察上面各式的结构特点,归纳出一个猜想,并证明你的猜想.（“希望杯”邀请赛试题）20.同学们,我们曾经研究过n n ⨯的正方形网格,得到了网格中正方形的总数的表达式为2222123n ++++L .但n 为100时,应如何计算正方形的具体个数呢?下面我们就一起来研究并解决这个问题.首先,通过探究我们已经知道()()()10112231113n n n n n ⨯+⨯+⨯++-⨯=+-L 时,我们可以这样做:（1）观察并猜想:()()()()2212101112101212120112+=+⨯++⨯=+⨯++⨯=++⨯+⨯, ()()()2221231011121231012123++=+⨯++⨯++⨯=+⨯++⨯++ ()()23123011223⨯=+++⨯+⨯+⨯,()()()22221134101112123+++=+⨯++⨯++⨯+_______101=+⨯+212323+⨯++⨯+______()()1234_______________=++++;……（2）归纳结论:()()()()222212310111212311n n n ++++=+⨯++⨯++⨯+++-⎡⎤⎣⎦L L()1012123231n n n =+⨯++⨯++⨯+++-⨯L=（_________________）+（_______________________） =____________+______________ 16=_____________;（3）实践应用::通过以上探究过程,我们就可以算出当n 为100时,正方形网格中正方形的总个数是________.（四川省内江市中考题）应用探究乐园21.我国著名数学家华罗庚曾说过:“数缺形时少直观,形少数时难入微;数形结合百般好,隔离分家万事休”.数学中,数和形是两个最主要的研究对象,它们之间有着十分密切的联系,在一定条件下,数和形之间可以相互转化,相互渗透.数形结合的基本思想,就是在研究问题的过程中,注意把数和形结合起来考察,斟酌问题的具体情形,把图形性质的问题转化为数量关系问题,或者把数量关系的问题转化为图形性质的问题,使复杂问题简单化,抽象问题具体化,化难为易,获得简便易行的成功方案.例如,求1234n +++++L 的值,其中n 是正整数.对于这个求和问题,如果采用纯代数的方法（首尾两头加）,问题虽然可以解决,但在求和过程中,需对n 的奇偶性进行讨论.如果采用数形结合的方法,即用图形的性质来说明数量关系的事实,那就非常的直观.现利用图形的性质来求1234n +++++L 的值,方案如下:如图,斜线左边的三角形图案是由上到下每层依次分别为1,2,3,,n L 个小圆圈排列组成的,而组成整个三角形小圆圈的个数恰为所求式子1234n +++++L 的值.为求式子的值,现把左边三角形倒放于斜线右边,与原三角形组成一个平行四边形.此时,组成平行四边形的小圆圈共有n 行,每行有()1n +个小圆圈,所以组成平行四边形小圆圈的总个数为()1n n +个,因此,组成一个三角形小圆圈的个数为()12n n +,即()112342n n n ++++++=L .（1）仿照上述数形结合的思想方法,设计相关图形,求()135721n +++++-L 的值,其中n 是正整数.（要求:画出图形,并利用图形作必要的推理说明）.（2）试设计另外一种图形,求()135721n +++++-L 的值,其中n 是正整数.（要求:画出图形,并利用图形作必要的推理说明）（山东省青岛市中考题）22.在“123456789□□□□□□□□□”的小方格中填上“+”、“-”号,如果可以使其代数和为n ,就称数n 是“可被表出的数”（如1是可被表出的数,这是因为123456789++--++--+是1的一种可被表出的方法）. （1）求证:7是可被表出的数,而8是不可被表出的数; （2）求25可被表出的不同方法的种数.（四川省竞赛题）4.信息技术中的数学问题解读课标伴随着计算机和网络技术的迅猛发展,人类社会已步入信息时代,并将迈入后信息化时代:IT 技术、赛伯空间、数字化技术、智能通讯等信息技术彻底改变着我们的生活方式与思维方式. 计算器、计算机正深刻影响着数学学习内容和方式,现代信息技术是学习数学和解决问题的有力工具.近年出现的以信息技术为背景的问题是中考竞赛试卷一道靓丽的风景,这类问题将信息技术与数学知识有机融合和渗透,构思巧妙、立意新颖,其托容涉及计算机常识（数制、字节等）、计算机的数据输出、计算机中的数据处理、计算机运算程序、网络与通讯等. 解决这类问题的关键是找到数学知识与其内在的联系,将其转化为数学问题. ——问题解决——例1 给出下列程序x k −−→−−→⨯−−→立方输入输出,且已知当输入的x 值为1时,输出值为1;输入的x 值为1-时,输出值为3-,则当输入的x 值为12时,输出值为____. （广西竞赛题）试一试 把程序流程图用代数式表示,由条件先求出k 、b 的值.例2 计算机利用的是二进制数,它共有两个数码0、1,将一个十进制数转化为二进制数,只需把该数写成若干个2n 数的和,依次写出1或0即可.如()()4321219162112020212110011=++=⨯+⨯+⨯+⨯+=十.为二进制下的5位数,则十进制数2004是二进制下的（ ）. A.10位数 B.11位数 C.12位数D.13位数（湖北省荆门市中考题）试一试本例渗透了计算机的基本知识—“二进制计算”,无论何种进制的数都可表示为与数位上的数字、进制值有关联的和的形式.例3 一条信息可通过如图所示的网络线由上（A 点）往下向各站点传送.例如信息到2b 点可由经1a 的站点送达,也可由经2a 的站点送达,共有两条途径传送,那么信息由A 点到达3d 的不同途径共有多少条.（第17届“希望杯”邀请赛试题）试一试 在阅读理解的基础上,画出路线示意图,穷举得出结论.例4 你觉得手机很神奇吗?它能在瞬间清晰地传递声音、文字、图像等信号,据说以后还能发送味道、触觉信息呢！这里都有手机中电脑芯片的功劳.其实,这些信号在电脑芯片中都是以二进制数的形式给出的.每个二进制数都由0和1构成,电脑芯片上电子元件的“开”、“关”分别代表“1”和“0”.一组电子元件的“开”“关”状态就表示相应的二进制数.例如“开”“开”“关”表示“110”.如图,电脑芯片的某段电路上分布着一组电子元件（假设它们首尾不相连）,且相邻的两个元件不能同时是关的.（以下各小题要求写出解答过程）（1）若此电路上有4个元件,则这4个元件所有不同的“开”“关”状态共有多少种?（请一一列出）;（2）若用k a 表示电路上()1k k ≥只电子元件所有不同的“开”“关”状态数,试探索k a 、1k a +、2k a +之间的关系式（不要求论证）;（3）试用（2）中探索出的递推关系式,计算10a 的值.（《时间学习报》数学文化节试题）试一试对于（1）,通过穷举,得出答案值;对于（2）,从特例入手,归纳出相应关系式. 例5 先阅读下面的材料,再解答后面各题.现代社会对保密要求越来越高,密码正在成为人们生活的一部分.有一种密码的明文（真实文）按计算机键盘字母排列分解,其中Q 、W 、E 、…、N 、M 这26个字母依次对应1、2、给出一个变换公式:()()(),126,3,126,,3217,331,126,318,23xx x x x x x x x x x x x x x ⎧'=⎪⎪+⎪'=+⎨⎪+⎪≤≤≤≤≤≤'=+⎪⎩是正整数被整除是正整数被整除余是正整数被整除余 将明文转换成密文,如:42417193+→+=,即R 变为L ; 111118123+→+=,即A 变为S .将密文转换成明文,如:()2132117210→⨯--=,即X 变为P ; ()133138114→⨯--=,即D 变为F .（1）按上述方法将明文NET 译为密文;（2）若按上述方法将明文译成的密文为DWN ,请找出它的明文.（湖北省十堰市中考题）试一试对于（1）,由明文选择变换公式,求得相应整数,推出密文;对于（2）,逆用变换公式,即由x'导出x值,推出明文,解题的关键是确定变换公式中x'的取值范围.电话号码的破译例6同学们看电影、看电视时,经常遇到破译密码的故事情节.在军事上、商业上,为了保密,都采用密码.破译密码需要有解密的“钥匙”.下面我们也来破译一个电话号码:一名间谍在他所追踪的人拨打电话时（话机是拨盘式的,如图,话机上的数字排列顺序是1,2,3,4,5,6,7,8,9,0,图中画出了拨数字5时相应的小孔转过的路线）,随着拨号盘转回的声音,用铅笔以同样的速度在纸上画线,他画出的6条线如下:他很快就知道了那人拨的电话号码,这个号码是多少?（《时代学习报》数学文化节试题）分析与解从电话拨盘上可以看出,拨1时,画出的线段最短,拨0时,画出的线段最长,由于画线速度相同,所以,每个数字所对应的线段应比它下一个数所对应的线段增加一个固定的长度.间谍所画下的这6条线段的长度互不相等,所表示的6个数字当然也不一样,在0~9这10个数字的6个数字中至少有2个数字是相邻的（想一想为什么）,因此,长度最接近的两条线段的长度差,就一定是上面所谈到的那个固定长度.通过对这6条线段进行度量,可以发现第一条线段与第二条线段最为接近,它们相差0.6厘米（相当于1个格子的宽度）.由于最长的线段与最短的线段相差5.4厘米（相当于9个格子的宽度）,因此可以断定最长的线段代表数字0,而最短的线段则代表1.+=,同样可推知第六条线段代第一条线段比第三条线段长3厘米,因此第一条线段代表156表3,第四条线段代表8,第二条线段代表5,所以这个电话号码是651803.数学冲浪知识技能广场1.二进制数为法国数学家莱布尼兹所创,例如二进制数1101表示十进制数3211212021⨯+⨯+⨯+,即相当于十进制数13,试将二进制数1101化为十进制数________.二进制数是现代计算机理论的基础.2.如图,是一个简单的数值运算程序,当输入x的值为1-时,则输出的数值为_____.()32x−−→⨯-−−→-−−→输入输出（江苏省南通市中考题）那么,当输入数据是时,输出的数据是_______.（广东省深圳市中考题）4.在计算器上按照下面的程序进行操作:下表中的x 与y 分别是输入的6个数及相应的计算结果:（浙江省台州市中考题）5.在计算机程序中,二叉树是一种表示数据结构的方法.如图,一层二叉树的结点总数为1,二层二叉树的结点总数为3,三层二叉树的结点总数为7……照此规律,七层二叉树的结点总数为（ ）.（第5题）A.63B.64C.127D.128（呼和浩特市中考题）6.如图所示的运算程序中,若开始输入的x 值为48,我们发现第一次输出的结果为24,第二次输出的结果为12,……,则第2010次输出的结果为（ ）. A.6 B.3C.200632 D.100332（山东省淄博市中考题）7.计算机是将信息换成二进制数进行处理的,二进制即“逢2进1”,如()21101表示二进制数,将它转换成十进制形式是321121202113⨯+⨯+⨯+=,那么将二进制数()21101转换成十进制形式是数（ ）.A.8B.15C.20D.308.按下列程序计算,把答案写在表格内:n n n n −−→−−→+−−→÷−−→-−−→平方答案（1）填写表格:（2）请将题中计算程序用代数式表达出来,并给予化简.（广东省中考题）9.密码在通信安全技术、国防军事中扮演着重要角色,下面6道算式,乍看真是莫名其妙！ ①8762+=;②535+=;③12823+=;④50954+=;⑤11155⨯=;⑥091-=. 当你知道这只是密码算式,各个密码数字各自对应另一个不同数字时,算式就合理了. 请根据算式,写出表中密码所对应的数字.密）.已知有一种密码,将英文26个小写字母,,,,a b c z L 依次对应0,1,2,3,,25L 这26个自然数（见表格）.当明文中的字母对应的序号为β时,将10β+除以26后所得的余数作为密s c按上述规定,将明文“”译成密文.（广州市中考题）思维方法天地11.我们知道在十进制加法中,逢十进一,如9817+=,也可写成()()()1010109817+=;在四进制加法中,逢四进一,如()()()4443711+=,那么在n 进制中有等式()()()5543142n n n +=,则n =______.（深圳市“启智杯”数学思维能力竞赛题）12.某综合性大学拟建校园局域网络,将大学本部A 和所属专业学院B 、C 、D 、E 、F 、G 之间用网线连接起来.经过测算,网线费用如图所示（单位:万元）,每个数字表示对应网线（线段）的费用,实际建网时,部分网线可以省略不建,但本部及所属专业学院之间可以传递信息,那么建网所需的最少网线费用为_________万元.（第12题） （第13题）13.计算机中的堆栈是一些连续的存储单元,在每个堆栈中数据的存入、取出,按照“先进后出”的原则.如图堆栈（1）的2个连续存储单元已依次存入数据b ,a ,取出数据的顺序是a ,b ;堆栈（2）的3个连续存储单元已依次存入数据e ,d ,c ,取出数据的顺序则是c ,d ,e 现在要从这两个堆栈中取出这5个数据（每次取出1个数据）,则不同顺序的取法的种数有（ ）.A.5种B.6种C.10种D.12种（江苏省竞赛题）14.如图,小圆圈表示网络的结点,结点之间的连线表示它们之间有网线相连,连线标注的数字表示该网线单位时间内可以通过的最大信息量.现从结点A 向结点B 传递信息,信息可以分开沿不同的路线同时传递,由单位时间内传递的最大信息量为（ ）. A.19 B.20 C.24 D.26（第14题） （第16题）15.写出一个四位数,它的各个数位上的数字都不相等（如6847）,用这个四位数各个数位上的数字组成一个最大的数和一个最小的数,并用最大数减去最小数,得到一个新的四位数,对于新得到的四位数,重复上面过程,又得到一个新的四位数,一直重复下去,你发现了什么?请你用计算器,帮助你进行探索.16.某人租用一辆汽车由A 城前往B 城,沿途可能经过的城市以及通过两城市之间所需的时间（单位:小时）如图所示.若汽车行驶的平均速度为80千米/时,而汽车每行驶1千米需要的平均费用为1.2元,试指出此人从A 城出发到B 城的最短路线,并求出所需费用最少为多少元?（全国初中数学竞赛题）17.按下面的程序计算,若开始输入的值为正数x ,最后输出的结果为656,那么满足条件的x 的不同值最多有多少个?（浙江省中考题）18.在密码学中,你直接可以看到的内容为明码,对明码进行某种处理后得到的内容为密码.对于英文,人们将26个字母按顺序分别对应整数0到25,现有4个字母构成的密码单词,记4个字母对应的数字分别为1x ,2x ,3x ,4x .已知整数122x x +,23x ,342x x +,43x ,除以26的余数分别是9,16,23,12,请你通过推理计算破译此密码,写出这个单词,并写出此单词的汉语词意.（新疆建设兵团中考题）5.整式的加减解读课标代数式是用加、减、乘、除等运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子,是后续学习中进行运算、解决问题的基础.在代数式中,我们把那些含相同的字母,并且相同字母的次数也分别相同的单项式看作一类—称为同类项,一个多项式中的同类项可以合聚在一起——称为合并同类项,整式的加减就是合并同类项.代数式的化简求值是代数式研究的一个重要课题,解这类问题的基本方法有:将字母的值代人或字母间的关系整体代人,而关键是对代数式进行恰当变形,其中去括号、添括号能改变代数式的结构,是变形求解的常用工具. ——问题解决——例1 平、乙、丙三家超市为了促销一种定价为m 元的商品,甲超市连续两次降价20%;乙超市一次性降价40%;丙超市第一次降价30%,第二次降价10%,此时顾客要购买这种商品,最划算的超市是_______.（2012年黑龙江省绥化市中考题）试一试 用m 的式子分别表示三家超市降价后的价格.例2 下列四个数中可以写成100个连续自然数之和的是（ ）. A.1627384950 B.2345678910 C.3579111300 D.4692581470（江苏省竞赛题）试一试 用字母表示数,从揭示100个连续自然数之和的规律入手.例3 已知关于x 的二次多项式()()3223325a x x x b x x x -++++-,当2x =时的值为17-,求当2x =-时该多项式的值.（北京市“迎春杯”竞赛题）试一试 设法求出a 、b 的值,解题的突破口是根据多项式降幂排列、多项式次数等概念挖掘隐含的关于a 、b 的等式.例4 有这样的两位数,交换该数数码所得到的两位数与原数的和是一个完全平方数.例如,29就是这样的两位数,因为2299212111+==,请你找出所有这样的两位数.（江苏省竞赛题）试一试 设原数为发现的特点是解本例的出发点.例5 如图,是用棋子摆成的图案,摆第1个图案需要7枚棋子,摆第2个图案需要19枚棋子,摆第3个图案需要37枚棋子,按照这样的方式摆下去,则摆第6个图案需要________枚棋子,摆第n 个图案需要_______枚棋子.（山东省青岛市中考题）1716116a ==+=+⨯;()21916121126a ==++=++⨯; ()33716121811236a ==+++=+++⨯;……猜想()2112346331n a n n n =++++++⨯=++L ,再将6n =代入该代数式得127.解法二 数形结合,分解图形,感悟从部分研究整体的思想.问题中“按照这样的方式摆下去”,何种方式并没有明确的界定,我们可以有不同的理解,如从平行四边形角度看,把图形分成三个平行四边形. 如图,图的序列号:1,2,3,4,5,L 图中的点的数目:7,19,37,61,91,L()171123a ==+⨯⨯; ()2191233a ==+⨯⨯; ()3371343a ==+⨯⨯; ()4611453a ==+⨯⨯; ()5911563a ==+⨯⨯;……猜想()2113331n a n n n n =++⨯=++⎡⎤⎣⎦.整体思考整体思考是将问题看成一个完整的整体,从大处着眼,由整体入手,突出对问题的整体结构的分析与改造,从整体上把握问题的特征和解题方向.例6（1）已知当1x =时,226ax x +的值为3,则当2x =时,268ax x +-的值为_______.（2012年成都市中考题）（2）把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为mcm ,宽为ncm ）的盒子底部（如图②）,盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示,。
2023年思维新观察七年级数学下册人教版湖北专版
2023年的思维新观察七年级数学下册人教版湖北专版注重培养学生的思维能力和创造力，涵盖了丰富多彩的数学知识和技能。
通过深入学习，能够帮助学生全面提升数学素养，为将来的学习打下坚实的基础。
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在总体评价上，2023年思维新观察七年级数学下册人教版湖北专版是一部非常优秀的教材，它不仅注重数学知识和技能的学习，更加重视数学思维能力的培养，既符合学生的认知规律，又能够培养学生的创新能力和解决问题的能力，是一部值得推崇的教材。
探究应用新思维七年级讲解
探究应用新思维七年级讲解一、引言在当今这个信息爆炸的时代，我们越来越需要培养一种新的思维方式，以应对日新月异的问题和挑战。
这就是我们今天要探讨的主题：探究应用新思维。
本篇文章将深入浅出地讲解新思维的概念、特点和应用，帮助大家更好地理解和应用这种思维方式。
二、新思维的概念探究应用新思维是一种全新的思维方式，它强调在解决问题时，要善于运用创新的方法和视角，从多角度、多层次进行深入剖析，从而找到最佳解决方案。
这种思维方式重视实践应用，鼓励我们在实践中不断尝试、探索，通过实践来检验和修正我们的思维。
三、新思维的特点1. 创新性：新思维强调打破传统思维定式，勇于挑战常规，敢于提出新观点、新方法。
2. 实践性：新思维强调在实践中不断尝试、探索，通过实践来检验和修正我们的思维。
3. 系统性：新思维强调从多角度、多层次进行深入剖析，找到最佳解决方案。
4. 开放性：新思维鼓励接纳和吸收各种有益的思想和资源，不断拓展我们的思维边界。
四、新思维的应用1. 创新解决问题：运用新思维，我们可以从不同的角度审视问题，提出新颖的解决方案。
例如，在解决环境问题时，我们不仅可以从技术层面入手，还可以从政策、教育等方面寻找解决方案。
2. 提升学习效果：在学习过程中，运用新思维可以让我们更好地理解和掌握知识。
例如，通过多角度理解知识点，可以加深记忆和理解。
3. 促进团队合作：在团队工作中，运用新思维可以激发团队成员的创造力，提高团队的整体效率。
例如，在项目策划中，鼓励团队成员提出不同的意见和建议，可以集思广益，找到更好的解决方案。
4. 引领未来发展：在未来的发展中，运用新思维可以帮助我们把握机遇，应对挑战。
例如，在科技领域，运用新思维可以推动科技创新，引领未来发展潮流。
五、结语通过以上的讲解，我们可以看到探究应用新思维的重要性。
在未来的学习和工作中，我们应该不断培养和运用这种思维方式，以更好地应对各种挑战和机遇。
希望本篇文章能对大家有所启发和帮助。
探究应用新思维七年级讲解
探究应用新思维七年级讲解全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：探究应用新思维是一门综合性课程，旨在培养学生的创新能力、解决问题的能力和批判性思维能力。
作为七年级的学生，初步接触这门课程，将对他们今后的学习和生活产生深远的影响。
在这篇文章中，我们将探讨探究应用新思维课程的重要性，课程内容以及如何帮助学生培养新思维。
探究应用新思维课程的重要性不可忽视。
在现代社会，知识更新日新月异，传统的死记硬背已经无法满足学生的需求。
而探究应用新思维课程注重培养学生的问题解决能力和创新思维，让学生在面对实际问题时能够迅速提出解决方案，有助于他们适应未来社会的发展。
探究应用新思维课程包括许多内容，如科学探究、数学探究、社会探究等。
这些内容将帮助学生建立扎实的学科基础，培养跨学科的思维能力。
通过实践活动和探究任务，学生将学会如何主动获取知识、如何与他人合作解决问题，以及如何运用所学知识解决真实问题。
探究应用新思维课程将帮助学生培养新思维。
新思维是一种积极的思考方式，能够帮助学生挖掘问题背后的本质，提出创新的解决方案。
通过课程的学习，学生将懂得如何积极主动地思考问题，如何灵活运用所学知识解决难题，以及如何与他人合作共同探究问题。
探究应用新思维课程对七年级学生的成长至关重要。
通过学习这门课程，学生将不仅仅掌握了知识，更重要的是培养了解决问题的能力和创新思维，为未来的学习和生活奠定了坚实的基础。
希望学生们能够积极参与课程学习，发挥自己的潜力，成为具有创新能力的优秀学生。
【文章2000字】。
第二篇示例：探究应用新思维七年级讲解一、引言在当今社会，新思维的重要性越来越被人们所认可。
随着科技的不断发展和社会的不断进步，传统的思维方式已经不能满足现代社会的需求。
探究应用新思维成为现代教育的重要内容之一。
在初中七年级的课程教学中，也越来越强调培养学生的新思维能力。
本文将探究应用新思维七年级讲解进行详细探讨。
二、新思维的重要性新思维是指独立思考、创新思维、综合思维等多种思维方式的统称。
七年级探究应用新思维 奥数教程
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2020年探究应用新思维-数学7年级1-10
作者：败转头作品编号44122544：GL568877444633106633215458时间：2020.12.131．数形结合话数轴解读课标数学是研究“数”和“形”的一门学科，从古希腊时期起，人们就已试图把它们统一起来.在日常生活中我们通常对有形的东西认识比较快，而对抽象的东西认识比较慢，这正是现阶段数学学习的特点，以形助数是数学学习的一个重要方法．运用数形结合思想解题的关键是建立数与形之间的联系，现阶段数轴是数形联系的有力工具，主要反映在：1．利用数轴形象地表示有理数；2．利用数轴直观地解释相反数；3．利用数轴解决与绝对值有关的问题；4．利用数轴比较有理数的大小．问题解决例1 (1)已知a 、b 为有理数，且0a >，0b <，0a b +<，将四个数a 、b 、a -、b -按由小到大的顺序排列是__________．（《时代学习报》数学文化节试题）(2)已知数轴上有A 、B 两点，A 、B 之间的距离为1，点A 与原点O 的距离为3，那么点B 对应的数是__________．（广西竞赛题）试一试 对于(1)，赋值或借助数轴比较大小；对于(2)确定A 、B 两点在数轴上的位置，充分考虑A 、B 两点的多种位置关系.例2如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位，点A 、B 、C 、D 对应的数分别是整数a 、b 、c 、d ，且210d a -=，那么数轴的原点应是( )．A.A 点B.B 点C.C 点D.D 点（江苏省竞赛题） 试一试 从寻找d 与a 的另一关系式入手．例3 已知两数a 、b ，如果a 比b 大，试判断||a 与||b 的大小.试一试 因a 、b 符号未定，故a 比b 大有多种情形，借助数轴可直观全面比较||a 与||b 的大小．例4电子跳蚤落在数轴上的某点0K ，第一步从0K 向左跳1个单位到1K ，第二步由1K 向右跳2个单位到2K ，第三步由2K 向左跳3个单位到3K ，第四步由3K 向右跳4个单位到4K ，……，按以上规律跳了100步时，电子跳蚤落在数轴上的点100K 所表示的数恰是19.94，试求电子跳蚤的初始位置0K 点所表示的数．（“希望杯”邀请赛试题）试一试 设0K 点表示的数为x ，把1K 、2K 、、100K 点所表示的数用x 的式子表示． 例5 已知数轴上的点A 和点B 之间的距离为28个单位长度，点A 在原点的左边，距离原点8个单位长度，点B 在原点的右边．(1)求A 、B 两点所对应的数．(2)数轴上点A 以每秒1个单位长度出发问左运动，同时点B 以每秒3个单位长度的速度向左运动，在点C 处追上了点A ，求C 点对应的数．(3)已知在数轴上点M 从点A 出发向右运动，速度为每秒1个单位长度，同时点N 从点B 出发向右运动，速度为每秒2个单位长度，设线段NO 的中点为P (O 为原点)，在运动的过程中线段PO AM -的值是否变化？若不变，求其值；若变化，请说明理由．分析与解 对于(3)，设M 点运动时间为t 秒，把PO AM -用2的式子表示．(1)A 、B 两点所对应的数分别为8,20-；(2)C 点对应的数为22-； (3)202,102t AM t OP t +===+(为什么？)，则1010PO AM t t -=+-=，即PO AM -的值不变．生活启示例6 李老师从油条的制作中受到启发，设计了一个数学问题．如图，在数轴上截取从原点到1的对应点的线段AB ，对折后（点A 与点B 重合），固定左端向右均匀地拉成1个单位长度的线段，这一过程称为一次操作（例如，在第一次操作后，原线段AB 上的14，34均变成12；12变成1；等等）.那么在线段AB 上（除点A 、点B 外）的点中，在第二次操作后，求恰好被拉到与1重合的点所对应的数字之和.（浙江省绍兴市中考题）分析 捕捉问题所蕴含的信息，阅读理解“一次操作”的意义：将线段沿中点翻折，中点左侧的点不动，中点右侧的点翻折到左侧的对应位置上，由原来的一个等分点变为两个等分点．解故在第二次操作后，恰好被拉到与1重合的点所对应的数字之和是13144+=． 数学冲浪知识技能广场 1.数轴上有A 、B 两点，若点A 对应的数是2-，且A 、B 两点的距离为3，则点B 对 应的数是__________.2.电影《哈利·波特》中，小哈利，波特穿墙进入“394站台”的镜头（如示意图中的M 站台），构思奇妙，能给观众留下深刻的印象，若A 、B 站台分别位于2-，1-处，2AN NB =，则N 站台用类似电影中的方法可称为“__________站台”．（“《时代学习报》数学文化节”试题）3.已知点A 、B 、P 在数轴上，点B 表示的数为6，8AB =，5AP =，那么点P 表示的数是__________．4.如图所示，按下列方法将数轴的正半轴绕在一个圆（该圆周长为3个单位长，且在圆周的三等分点处分别标上了数字0、1、2）上：先让原点与圆周上数字0所对应的点重合，再将正半轴按顺时针方向绕在该圆周上，使数轴上1、2、3、4、所对应的点分别与圆周上1、2、0、1所对应的点重合.这样，正半轴上的整数就与圆周上的数字建立了一种对应关系．(1)圆周上的数字a 与数轴上的数5对应，则a =__________；(2)数轴上的一个整数点刚刚绕过圆周n 圈（n 为正整数）后，并落在圆周上数字1所对应的位置，这个整数是__________（用含n 的代数式表示）．（江西省中考题）5.有理数a 、b 在数轴上的位置如图所示：，则下列各式正确的是( )．A.0a b +>B.0ab >C.||0a b +<D.0a b -> （2012年湖南省常德市中考题）6.文具店、书店、玩具店依次坐落在一条东西走向的大街上，文具店在书店西20米，玩具店位于书店东100米处．小明从书店沿街向东走了40米，接着又向东走了60-米，此时小明的位置在( )．A.文具店B.玩具店C.文具店西边40米D.玩具店东60-米7.将一刻度尺如图所示放在数轴上（数轴的单位长度是1cm ），刻度尺上的“0cm ”“15cm ”分别对应数轴上的 3.6-和x ，则( )．A.910x <<B.1011x <<C.1112x <<D.1213x <<（浙江省绍兴市中考题）8.在数轴上任取一条长度为119999的线段，则此线段在这条数轴上最多能盖住的整数点的个数是( )．A.1998B.1999C.2000D.2001（重庆市竞赛题）9.一个跳蚤在一条直线上，从O 点开始，第1次向右跳1个单位，紧接着第2次晾左跳2个单位，第3次向右跳3个单位，第4次向左跳4个单位……依此规律剧下去，当它跳第100次落下时，求落点处离O 点的距离（用单位表示）．（江苏省无锡市中考题）10.已知数轴上有A 、B 两点，A 、B 之间的距离为1，点A 与原点O 的距离为3，求所有满足条件的点B 与原点O 的距离的和．（北京市“迎春杯”竞赛题）--思维方法天地--11.在数轴上，点A 、B 分别表示13-和15，则线段AB 的中点所表示的数是____. 12.在数轴上，表示数(2)2a +，的点M 与表示数(3)3a +，的点N 关于原点对称，则a 的值为__________．13.数形相伴(1)如图所示，点A 、B 所代表的数分别为1-,2，在数轴上画出与A 、B 两点的距离和为5的点（并标上字母）． (2)若数轴上点A 、B 所代表的数分别为a 、b ，则A 、B 两点之间的距离可表示为||AB a b =-，那么，当|1||2|7x x ++-=时，x =__________；当|1||2|5x x ++->时，数x 所对应的点在数轴上的位置是在__________．（《时代学习报》数学文化节试题）14.点A 、B 分别是数3-、12-在数轴上对应的点，使线段AB 沿数轴向右移动为A B ''，且线段A B ''的中点对应的数是3，则点A '对应的数是__________，点A 移动的距离是__________.（江苏省竞赛题）15.点1A 、2A 、3A 、、n A （n 为正整数）都在数轴上，点1A 在原点O 的左边，且11A O =，点2A 在点1A 的右边，且212A A =;点3A 在点2A 的左边，且323A A =，点4A 在点3A 的右边，且434A A =，，依照上述规律，点2008A 、2009A 所表示的数分别为( )． A.2008,2009-B.2008-,2009C.1004,1005-D.1004,1004-（福建省泉州市中考题）16.如图：，数轴—上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位，点A 、B 、C 、D 对应的数分别是整数a 、b 、c 、d ，且29b a -=，那么数轴的原点对应点是（ ）.A.A 点B.B 点C.C 点D.D 点 17.有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图，式子||||a b ++||||a b b c ++-化简结果为( )． A.23a b c +- B.3b c - C.b c + D.c b -18.不相等的有理数a 、b 、c 在数轴上对应点分别为A 、B 、C ,若||||||a b b c a c -+-=-那么点B ( )．A.在A 、C 点右边B.在A 、C 点左边C.在A 、C 点之间D.以上均有可能 (“希望杯”邀请赛题)19.在数轴上，N 点与O 点的距离是N 点与30所对应点之间的距离的4倍，那么N 点表示的数是多少?(“CASIO 杯”河南省竞赛题)20.已知数轴上有A 、B 、C 三点，分别代表24-、10-、10,两只电子蚂蚁甲、乙分别从A 、C 两点同时相向而行.甲的速度为4个单位/秒.(1)问多少秒后甲到A 、B 、C 的距离和为40个单位?(2)若乙的速度为6个单位/秒，两只电子蚂蚁甲、乙分别从A 、C 两点同时相向1而行，问甲、乙在数轴上的哪个点相遇?(3)在(1)、(2)的条件下，当甲到A 、B 、C 的距离和为40个单位时，甲调头返回，问甲、乙还能在数轴上相遇吗?若能，求出相遇点；若不能，请说明理由.作者：败转头作品编号44122544：GL568877444633106633215458时间：2020.12.1321.操作与探究对数轴上的点P 进行如下操作：先把点P 表示的数乘以13再把所得数对应的点向右平移1个单位，得到点P 的对应点P '.点A ,B 在数轴上，对线段AB 上的每个点进行上述操作后得到线段A B '',其中，点A ,B 的对应点分别为A B '',如图所示，若点A 表示的数是3-,则点A '表示的数是__________；若点B '表示的数是2,则点B '表示的数是__________；已知线段AB 上的点E 经过上述操作后得到的对应点E '与点E 重合，则点E 表示的数是__________.〔2012年北京市中考题〕22.—动点P 从数轴上的原点出发，沿数轴的正方向以每前进5个单位、后退3个单位的程序运动.已知点P 每秒前进或后退1个单位，设n x 表示第n 秒点P 在数轴上的位置所对应的数(如44x =，55x =，64x =)，求2011x 所对应的数. 2.聚焦绝对值绝对值是数学中的一个基本概念，这一概念是学习相反数、有理数运算、算术根的基础；绝对值又是数学中的一个重要概念，绝对值与其他知识融合形成绝对值 方程、绝对值不等式、绝对值函数等，在代数式化简求值、解方程、解不等式等方面有广泛的应用，理解、掌握绝对值应注意以下几个方面：1.脱去绝对值符号是解绝对值问题的切入点脱去绝对值符号常用到相关法则、分类讨论、数形结合等知识方法.2.恰当地运用绝对值的几何意义从数轴上看||a 表示数a 的点到原点的距离；||a b -表示数a 、数b 的两点间的距离.3.灵活运用绝对值的基本性质①||0a ≥；②222||||a a a ==；③||||||ab a b =⋅；④||||()||a ab a b b =≠例1已知: |||20||20|y x b x x b =-+-+--其中020b <<,20b x ≤≤，那么y 的最小值为__________.(“CASIO 杯”河南省竞赛题)试一试 结合已知条件判断出每一个绝对值符号内式子的正负性，再去掉绝对值符号.例2式子||||||a b ab a b ab ++的所有可能的值有( ). A.2个 B.3个 C.4个 D.无数个试一试根据a 、b 的符号所有可能情况，去掉绝对值符号，这是解本例的关键.例 3 (1)已知|2||2|0ab a -+-=,求111(1)(1)(2)(2)ab a b a b ++++++1(2005)(2006)a b +⋅⋅⋅+++的值.(“华罗庚杯”香港中学竞赛题)(2)设a 、b 、c 为整数，且||||1a b c a -+-=，求||||||c a a b b c -+-+-的值.(“希望杯”邀请赛试题)试一试 对于（1),由非负数的性质先导出a 、b 的值;对于(2)，1写成两个非负整数的和的形式又有几种可能?这是解(2)的突破口.例4阅读下列材料并解决有关问题：我们知道(0),||0(0),(0).x x x x x x >⎧⎪=-⎨⎪-<⎩现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式|1||2|x x ++-|时，可令：10x +=和20x -=，分别求得1x =-，2x = (称1-，2分别为|1|x +与|2|x -的零点值)在有理数范围内，零点值1x =-和2x =可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：(1)1x <-；(2)12x -≤<；(3)2x ≥.从而化简代数式|1||2|x x ++-可分以下3种情况：(1)当1x <- 时，原式(1)(2)21x x x =-+--=-+;(2)当12x -≤<时，原式1(2)3x x =+--=；(3)当2x ≥时，原式1221x x x =++-=-.综上讨论，原式21(1),3(12),21(2).x x x x x -+<-⎧⎪=-≤<⎨⎪-≥⎩通过以上阅读，请你解决以下问题：(1)分别求出|2|x +和|4|x -的零点值；(2)化简代数式|2||4|x x ++-.(云南省中考题)试一试 在阅读理解的基础上化简求值.例5 (1）当x 取何值时，|3|x -有最小值?这个最小值是多少?（2）当x 取何值时，5|2|x -+有最大值?这个最大值是多少?（3）求|4||5|x x -++的最小值.（4）求|7||8||9|x x x -+-+-的最小值.分析对于（3）、（4）可先运用零点分段讨论法去掉绝对值符号，再求最小值;也可利用绝对值的几何意义，即在数轴上找一表示x 的点，使之到表示4、5的点 (:或表示7、8、9的点）的距离和最小.解(1）当3x =时，原式有最小值，最小值为0.（2）当2x =-时，原式有最大值，最大值为5.（3）当45x ≤≤时，原式有最小值，最小值为1.（4）当8x =时，原式有最小值，最小值为2.对于（3），给出另一种解法：当4x ≤时，原式(4)(5)92x x x =----=-，最小值为1；当45x <≤时，原式4(5)1x x =---=，最小值为1；当5x >时，原式4529x x x =-+-=-,最小值为1.综上所述，原式有最小值等于1.以退求进例6少年科技组制成一台单项功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后 再取绝对值的运算，其运算过程是:输人第一个整数1x ，只显示不运算，接着再输人整数2x 心后则显示12||x x -的结果，此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差取绝对值的运算.现小明将从1到1991这1991个整数随意地一个一个地输人,全部输入完毕之后显示的最后结果设为P ，试求出P 的最大值，并说明理由.分析 先考虑输入个数较少的情形，并结合奇偶分析调整估值，一步步求出P 的最大值.解 由于输入的数都是非负数，当10x ≥,20x ≥时，12||x x -不超过1x 、2x 中最大的数，对10x ≥，20x ≥,30x ≥,则123||||x x x --不超过工1x 、2x 、3x 中最大的数，设小明输入这1991个数的次序是1x ,2x ⋅⋅⋅,1991x .相当于计算: 12319901991||||||||x x x x x P --⋅⋅⋅--=，因此P 的值1991x ≤.另外从运算奇偶性分析，1x 、2x 为整数，12||x x -与12||x x +奇偶性相同，因此P 与121991x x x ++⋅⋅⋅+的奇偶性相同，但121991121991x x x ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+=偶数.于是断定1990P x ≤，我们证明P 可以取到1990.对 1,2,3,4,按如下次序：|||13|4|2|0---=，|||(41)(43)|(44)|(42)|0k k k k +-+-+-+=,对于0,1,2,k =⋅⋅⋅均成立.因此，1~1988可按上述办法依次输入最后显示结果为0,而后||19891990|1991|1990--=，故P 的最大值为1990.数学冲浪知识技能广场1.数a 在数轴上的位置如图所示，，且|1|2a +=,则|37|a +=____.2.已知||5a =，||3b =,且||a b b a -=-，那么a b +=____.3.化简1111111120032003200220022001202004200401-+-+--=____. (北京市竞赛题）4.已知有理数a 、b 、c 在数轴上的对应位置如图所示: ,则|1|||||c a c a b -+-+-化简后的结果是__________.5.已知整数1a ，2a ，3a ，4a ，⋅⋅⋅满足下列条件：10a =, 21|1|a a =-+，32|2|a a =-+，43|3|a a =+，⋅⋅⋅，依次类推，则2012a 的值为（ ）.A.1005-B.1006-C.1007-D.2012-〔2012年江苏省盐城市中考题）6.已知||a a =-,化简|1||2|a a ---所得的结果是（ ）.A.1-B.1C.23a -D.32a -7.若m 是有理数，则m m -一定是（ ）.A.零B.非负数C.正数D.负数8.有理数a 、b 、c 的大小关系如图： 则下列式子中一定成立的是（ ）.A.0a b c ++>B.||a b c +<C.||||a c a c -=+D.||||b c c a ->-(“希望杯”遨请赛试题)9.化简(1)|3|x -；(2)|1||2|x x +++.10.阅读下面材料并回答问题.点A 、B 在数轴上分别表示实数a 、b ，A 、B 两点之间的距离表示为||AB . 作者：败转头作品编号44122544：GL568877444633106633215458时间：2020.12.13。
七年级·数学探究应用新思维
七年级·数学探究应用新思维近年来，随着教育理念的改变，“数学探究应用新思维”成为数学教育的一个重要方向，它旨在帮助孩子们在学习中体会数学知识的乐趣，发展认知能力和探究精神，并帮助他们掌握有用的数学知识。
七年级数学教育通常是基础教育的重要组成部分，对于孩子们来说，学习数学知识可以增强他们的逻辑思维和分析能力，而探究型教学可以帮助他们更好地理解和运用所学知识。
而当孩子们使用新思维来探究数学知识时，他们可以获得更多的经验，并获得更深刻的理解。
首先，孩子们需要了解数学探究应用新思维的原理，这将有助于他们更好地理解和掌握数学知识。
其次，孩子们可以使用现实世界的例子来帮助自己理解和掌握数学知识，这将有助于他们更好地理解和掌握数学知识。
此外，孩子们可以通过使用电脑编程软件，开展编程活动，来帮助他们更好地理解数学知识。
在数学探究应用新思维的过程中，教师也起到着重要作用。
首先，老师需要提供良好的教学环境，并通过恰当的设计和指导，鼓励孩子们发挥主体性，自主探究，以培养孩子们的探究精神。
其次，老师还可以设计一些探究课程，通过指导孩子们解决问题，培养孩子们的分析性思维能力。
此外，老师还可以创造一个支持新思维的课堂氛围，以启发孩子们利用新思维来探究并解决问题。
七年级数学课堂中应用“数学探究应用新思维”，可以帮助孩子们建立自信心，使他们在学习中更能发挥主动作用。
它可以帮助他们充分发挥学习的潜力，在未来的学习中取得更好的成绩。
“数学探究应用新思维”也可以帮助他们培养独立思考的能力，使他们可以更好地运用所学的数学知识。
总之，七年级的数学教育应该采取“数学探究应用新思维”的方式，以帮助孩子们更好地理解和运用所学的数学知识，并为他们未来学习和发展打下扎实的基础。
初中生数学学习的新思维
初中生数学学习的新思维初中生数学学习的新思维在数学的广袤世界里，每一个初中生都像是一位探险家，探索着这个抽象而又深邃的学科。
数学不仅仅是一堆公式和算术运算的集合，它是一种思维方式的体现，是一种解决问题的工具。
对于初中生来说，数学学习不仅是为了掌握知识，更是为了培养一种全新的思维方式。
首先，数学教育正在逐渐从传统的“死记硬背”向更注重理解与应用转变。
数学仿佛是一位导师，她告诉学生们不仅要知其然，更要知其所以然。
例如，在学习代数时，初中生学会将问题分解成更小的部分，逐步解决每一步，而不是单纯地记住解题步骤。
这种新的思维方式帮助学生们建立起对数学结构和逻辑的深刻理解，使他们能够灵活运用所学知识解决现实生活中的问题。
其次，数学教育鼓励学生们尝试不同的解题方法和思维路径。
数学就像是一位引导者，她鼓励学生们勇敢地探索新的解题途径。
例如，在几何学习中，学生们可以通过绘图、推理或者几何运动来探索问题的解决方案。
这种灵活的思维方式不仅培养了学生们的创造力和想象力，还帮助他们建立起自信心，相信自己可以通过不同的角度解决复杂的数学难题。
此外，数学教育还在培养学生们的团队合作精神和沟通能力方面发挥着重要作用。
数学就像是一位激励者，她鼓励学生们相互合作，分享思维过程，共同解决难题。
例如，在小组讨论中，学生们可以通过交流不同的数学思维方式，互相启发，从而更快地理解和掌握知识。
这种协作学习不仅促进了学生们的学术成就，还培养了他们的人际交往能力和领导潜力。
最后，数学教育还在积极培养学生们的问题解决能力和批判性思维。
数学就像是一位挑战者，她通过各种难题和思维训练，锻炼学生们的逻辑思维和分析能力。
例如，在解决数学难题时，学生们不仅需要运用所学知识，还要善于分析问题的本质和关键点，从而找出最优解决方案。
这种批判性思维的培养不仅有助于学生们在数学学科中取得更好的成绩，还为他们今后面对各种挑战时提供了强大的思维工具。
综上所述，初中生数学学习的新思维不仅是关于知识的掌握，更是关于思维方式和能力的全面发展。
数学探究应用新思维-七年级
数学探究应用新思维-七年级引言数学作为一门重要的科学学科，不仅仅限于计算和运算，还包括数学思维的培养和应用。
七年级是数学学科的重要阶段，学生开始学习并运用一些新的数学概念和思维方式。
在本文中，我们将探究一些七年级数学中的新思维应用。
抽象与模型在七年级数学中，学生开始接触到一些抽象的概念和模型。
抽象是指将具体的事物或概念转化为符号或数学语言的过程。
例如，在代数中，学生会学习到如何用字母代表数字，从而建立起代数方程和不等式模型。
这种抽象思维的培养有助于学生在解决问题时更具有逻辑性和灵活性。
探索与发现数学的学习并不仅仅是传授知识，更应该培养学生的探索和发现能力。
在七年级数学中，学生开始学习几何图形的性质，并通过实际的观察和推理来发现其中的规律。
例如，在学习三角形时，学生会学习到三角形内角和等于180度的规律。
通过观察和实际的绘制，学生可以自己验证这一规律，并从中发现一些有趣的性质。
推理与证明除了发现规律，七年级数学还培养学生的推理和证明能力。
在学习几何图形的性质时，学生需要通过推理和证明来解决一些问题。
例如，在证明两条直线平行时，学生需要运用到平行线的性质和定理，并通过逻辑推理来得出结论。
这种推理和证明能力的培养不仅有助于数学问题的解决，还可以培养学生的逻辑思维能力，并且对其他学科的学习也有一定的帮助。
创新与应用数学的学习追求的是解决实际问题的能力，而创新思维和应用能力在其中扮演着重要角色。
在七年级数学中，学生需要在解决问题时灵活运用所学知识，并能够通过创新思维给出不同的解决方案。
例如，在解决数列问题时，学生可以运用到数列的通项公式，并通过创新思维给出不同的递推关系式。
这种创新与应用思维的培养不仅能够在数学中发挥作用，还能够在学生的实际生活中产生价值。
总结七年级数学探究应用新思维，不仅仅是学习数学知识，更重要的是培养学生的抽象思维、探索发现能力、推理证明能力以及创新应用能力。
通过这些新思维的应用，学生可以不断发现数学中的美妙和应用之处，同时也能够为解决实际问题提供一种新的思路和方法。
探究应用新思维 数学 pdf
探究应用新思维数学应用新思维数学是指运用创新的思维方式和方法解决数学问题的过程。
传统的数学教学注重基本概念和算法的灌输，强调记忆和机械运算，而应用新思维数学则强调培养学生的创造性思维和解决问题的能力。
应用新思维数学注重培养学生的探究精神和创新意识。
传统的数学教学往往将问题的答案给出，学生只需要按照老师的指示进行计算，缺少对问题的深入思考和探索。
而应用新思维数学强调让学生参与到问题的提出和解决过程中，培养学生主动探究、质疑和发现问题的能力。
通过引导学生提出问题、分析问题、寻找解决方法，并通过实际操作、探索和验证来解决问题，培养学生的创新思维和解决问题的能力。
应用新思维数学注重跨学科的融合。
传统的数学教学往往将数学与其他学科割裂开来，学生难以将数学知识应用于实际生活和其他学科中。
而应用新思维数学强调将数学与其他学科相结合，通过跨学科的融合，使学生能够将数学知识应用于实际问题的解决中。
例如，在物理学中运用微积分来解决运动问题，在经济学中运用统计学方法来分析数据，在生物学中运用概率论来研究遗传问题等等。
通过跨学科的融合，学生可以更好地理解数学的应用领域，培养他们的创新能力和综合素质。
应用新思维数学注重培养学生的批判性思维。
传统的数学教学往往只强调正确答案的获取，忽视了学生对问题的分析和评价能力。
而应用新思维数学鼓励学生从多个角度思考问题，提出自己的见解并进行论证和验证。
学生在解决问题的过程中需要分析问题的条件和假设，评估解决方案的可行性和有效性，并对解决过程和结果进行反思和总结。
这样可以培养学生的批判性思维和判断力，使他们能够独立思考和解决复杂问题。
应用新思维数学注重培养学生的合作与沟通能力。
传统的数学教学往往是以个人为中心的，学生独立完成练习和考试，缺少与他人合作和交流的机会。
而应用新思维数学强调培养学生的合作与沟通能力。
通过小组合作、集体讨论和展示等活动，学生可以互相交流和分享思路，共同解决问题。
这样不仅能够培养学生的团队合作精神和社交能力，还能够拓宽学生的思维视野，从不同的角度理解和解决问题。
七年级·数学探究应用新思维
七年级·数学探究应用新思维
随着科技的发展和教育改革的深入，教育界不断推出各种新教育理念，推动教学模式的改革，提高教育质量。
在这种背景之下，提出了一种“探究性教学”，它发挥了学生的学习活动中的主体作用，把学生作为主导者，通过实践实践、探究研究的方式和思维引导进行学习，丰富学习内容，拓展学习方式，在教学评价上把考查学生想办法解决实际问题的能力列为比较重要的一环，实现课堂开放与学习活动实践的统一。
数学作为一门重要的学科，在学习中也需要采用探究性教学模式去提高教学质量，引入新的学习思维，培养学生的创新能力和探究精神。
例如，在七年级数学课上，老师可以采用“探究式教学”，在课堂设置一系列有趣的活动，启发学生的探究精神，如围绕一个让学生容易理解的小问题，变换不同的材料，让学生重新研究、探究或发现，在学习中增加趣味性，培养学生的逻辑分析能力和解决实际问题的能力；此外，老师也可以开展一些小组活动，让学生在小组内围绕一个相关的数学问题展开探讨，互相学习，在团队协作中锻炼自身的思维能力，培养创新思维。
另外，在数学学习中，老师也可以利用一些信息技术手段，如计算机、教学软件等，通过计算机软件动画形象，让学生从动画形象中来理解相关的数学知识点，学习的过程中也可以随时暂停和重放，减少对老师的讲解负担，提高学生的学习效率。
以上就是数学探究式应用新思维的概念，它主要的思想是将学生
的学习活动从被动转变为主动，培养学生的创新精神与探究能力，激发学生的学习热情与兴趣，引导学生萌发出学习创造力，以探究式教学模式促使学生学习的兴趣。
虽然在实施过程中，仍有许多不能被忽视的问题，但这种学习模式是可以提高学生的学习、思维的能力的，可以为学生的未来学习和发展奠定基础，这也正是教育界在努力实践的方向。
数学思维教材第七年级的教学解析
数学思维教材第七年级的教学解析数学思维是培养学生逻辑思维和创造性思维的重要途径，对于学习和应用数学知识具有重要意义。
在教学过程中，合理使用数学思维教材是提高学生数学思维能力的关键。
本文将对《数学思维教材第七年级》进行教学解析，旨在帮助教师更好地利用该教材进行教学。
一、教材概述《数学思维教材第七年级》是为培养学生数学思维能力而设计的教材，内容涵盖了数学思考、逻辑推理、问题解决等方面的知识。
通过学习该教材，学生可以逐步形成独立思考和解决问题的能力。
二、教材特点1. 强调思维能力的培养：该教材注重培养学生的逻辑思维和创造性思维，通过启发性的问题设计，激发学生的思考，引导他们独立解决问题。
2. 知识与方法的结合：教材将基础知识与数学思维方法相结合，使学生在学习知识的同时，学会灵活运用各种思维方法解决问题。
3. 突出实际应用：教材在设计题目过程中，注重融入实际生活情境，使学生感受到数学在实际应用中的重要性和意义。
三、教学方法1. 激发学生的学习兴趣：在教学过程中，教师可以通过插入趣味性问题或生动的例子，激发学生的兴趣，使他们更加主动地参与学习。
2. 启发性教学：教师在教学中可以采用启发性问题引导学生思考，引导他们从不同的角度解决问题，培养他们的创造性思维能力。
3. 合作学习：教师可以引导学生进行小组合作学习，通过合作解决问题，培养学生的合作能力和团队意识。
四、教学步骤1. 引入：教师可以通过讲解一个有趣或实际的问题引起学生的兴趣，激发他们思考的欲望。
2. 理解与掌握：教师在教学过程中应注重逐步引导学生理解和掌握基础知识，同时，培养他们将知识应用于实际问题的能力。
3. 拓展与延伸：教师应在教学中充分考虑学生的实际水平，对于掌握较好的学生，可以适当提供拓展和延伸问题，深化他们的数学思维。
4. 总结与归纳：教师在课堂结束前，应引导学生总结归纳所学的知识和解题方法，加深他们对知识的理解和记忆。
五、评价与反思在教学过程中，教师可以根据学生的作业和课堂表现进行评价，及时发现学生存在的问题并进行指导。
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当A 、B 两点中有一点在原点时,不妨设点A 在原点,如图①,AB OB b a b ==--|;当A 、B 两点都不在原点时,（1）如图②,点A 、B 都在原点的右边,AB OB OA b a b a a b =-=-=-=-;（2）如图③,点A 、B 都在原点的左边,()AB OB OA b a b a a b =-=-=---=- （3）如图④,点A 、B 在原点的两边,()AB OA OB a b a b a b =+=+=+-=-; 综上,数轴上A 、B 两点之间的距离AB a b =-.请回答:①数轴上表示2和5的两点之间的距离是_______,数轴上表示2-和5-的两点之间的距离是_______,数轴上表示1和3-的两点之间的距离是________;②数轴上表示x 和1-的两点A 和B 之间的距离是_______,如果2AB =,那么x 为_______; ③当代数式12x x ++-取最小值时,相应的x 的取值范围是_______.（南京市中考题）思维方法天地11.已知1a =,2b =,3c =,且a b c >>,那么a b c +-=________.（北京市“迎春杯”竞赛题）12.在数轴上,点A 表示的数是3x +,点B 表示的数是3x -,且A 、B 两点的距离为8,则x =________.（“五羊杯”竞赛题）13.已知5x =,1y =那么x y x y --+=________.（北京市“迎春杯”竞赛题）14.（1）11x x ++-的最小值为__________.（“希望杯”邀请赛试题）（2）111213x x x ++-++的最小值为________.（北京市“迎春杯”竞赛题）15.有理数a 、b 在数轴上对应的位置如图所示:,则代数式1111a ab a ba aa b b +---+-+--的值为（）. A.1-B.0C.1D.2 （“希望杯”邀请赛试题）16.若()2210m n ++-=,则2m n +的值为（）.A.4-B.1-C.0D.4（北京市中考题）17.如图,已知数轴上点A 、B 、C 所对应的数a 、b 、c 都不为0,且C 是AB 的中点.如果2220a b a c b c a b c +--+--+-=,那么原点O 的位置在（）.A.线段AC 上B.线段CA 的延长线上.iC.线段BC 上D.线段CB 的延长线上!（江苏省竞赛题）18.设1m x x =+-,则m 的最小值为（）. A.0B.1C.1-D.2（重庆市竞赛题）19.已知点A 在数轴上对应的数为a ,点B 对应的数为b ,且()2410a b ++-=,A 、B 之间的距离记作AB . （1）求线段的长AB ;（2）设点P 在数轴上对应的数为x ,当2PA PB -=时,求x 的值;（3）若点P 在A 的左侧,M 、N 分别是的中点,当点P 在A 的左侧移动时,式子PN PM -的值是否发生改变?若不变,请求其值;若发生变化,请说明理由. 20.已知a b c abcx a b c abc=+++,且a 、b 、c 都不等于0,求1的所有可能值.; （“华罗庚杯”香港中学竞赛题）应用探究乐园21.绝对值性质（1）设a 、b 为有理数,比较a b +与a b +的大小.（2）已知a 、b 、c 、d 是有理数,9a b -≤,16c d -≤,且25a b c d --+=,求b a dc ---的值.（“希望杯”邀请赛试题）22.已知数轴上两点A 、B 对应的数分别为1-,3,点P 为数轴上一动点,其对应的数为x . （1）若点P 到点A 、点B 的距离相等,求点P 对应的数.:（2）数轴上是否存在点P ,使点P 到点A 、点B 的距离之和为5?若存在,请求出x 的值;若不存在,请说明理由.（3）当点P 以每分钟1个单位长的速度从O 点向左运动时,点A 以每分钟5个单位长的速度向左运动,点B 以每分钟20个单位长的速度向左运动,问它们同时出发,几分钟后P 点到点A 、点B 的距离相等?3.有理数的运算解读课标有理数及其运算是整个数与代数的基础,有关式的所有运算都是建立在数的运算基础上.深刻理解有理数相关概念,掌握一定的有理数运算技能是数与代数学习的基础.有理数的运算不同于算术数的运算:这是因为有理数的运算每一步要确定符号,有理数的运算很多是字母运算,也就是常说的符号演算.运算能力是运算技能与推理能力的结合.这就要求我们既能正确地算出结果,又善于观察问题的结构特点,选择合理的运算路径,提高运算的速度.有理数运算常用的技巧与方法有: 利用运算律;以符代数;恰当分组;裂项相消;分解相约;错位相减等. 问题解决 例1（1）已知()()211,2,3,1n a n n ==+ ,记()1121b a =-,()()()()()21212211,,b 2111n n b a a a a a =--=--- ,则通过计算推测n b 的表达式n b =_________.（用含n 的代数式表示）（成都市中考题）（2）若a 、b 是互为相反数,c 、d 是互为倒数,x 的绝对值等于2,则42x cdx a b +--的值是______.（“希望杯”邀请赛试题）试一试对于（2）,运用相关概念的特征解题.例2 已知整数a 、b 、c 、d 满足25abcd =,且a b c d >>>,那么a b c d +++等于（）.: A.0B.10C.2D.12（江苏省竞赛题）试一试 解题的关键是把25表示成4个不同整数的积的形式. 例3 计算: （1）1121231259233444606060⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ; （广西竞赛题）（2）111112123123100+++++++++++ ; （“祖冲之杯”邀请赛试题）（3）77371217381727111385271739172739⎛⎫⎛⎫+-÷+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （“五羊杯”竞赛题）试一试对于（1）,设原式S =,将各括号反序相加;对于（2）,若计算每个分母值,则易掩盖问题的实质,不妨先从考察一般情形入手;对于（3）,视除数为一整体,从寻找被除数与除数的关系入手.例4在数学活动中,小明为了求2341111122222n +++++ 的值（结果用n 表示）,设计了如图所示的几何图形.图①图②（1）请你用这个几何图形求2341111122222n +++++ 的值; （2）请你用图②,再设计一个能求2341111122222n +++++ 的值的几何图形.（辽宁省大连市中考题）试一试求原式的值有不同的解题方法,而剖分图形面积是构造图形的关键. 例5 在1,2,,2002 前面任意添上正号和负号,求其非负和的最小值.分析与解首先确定非负代数和的最小值的下限,然后通过构造法证明这个下限可以达到即可.整数的和差仍是整数,而最小的非负整数是0.代数和的最小值能是0吗?能是1吗?由于任意添“+”号或“-”号,形式多样,因此,不可能一一尝试再作解答,从奇数、偶数的性质入手. 因a b +与a b -的奇偶性相同,故所求代数和的奇偶性与()20021200212320012002100120032⨯++++++==⨯的奇偶性相同,即为奇数.因此,所求非负代数和不会小于1. 又()()()()1234567891011121314-++--++--++--+++()19992000200120021--+=,∴所求非负代数和的最小值为1.类比类比是一种推理方法,根据两#事物在某些特征上的相似,作出它们在其他特征上也可能相似的结论.触类旁通,即用类比的方法提出问题及寻求解决问题的途径和方法. 例6 观察下面的计算过程111111111111141122334451223344555⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-+-+-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 问:（1）从上面的解题方法中,你发现了什么?用字母表示这一规律. （2）“学问”,既要学会解答,又要学会发问.爱因斯坦曾说:“提出问题比解决问题更重要”. 请用类比的方法尽可能多地提出类似的问题. 分析与解（1）()11111n n n n =-++.（2）从连续自然数到连续偶数,从2个到3个,从分数到整数,类比可提出下列计算问题:①111244*********+++⨯⨯⨯ ; ②111123234201220132014+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯ ;③12233420122013⨯+⨯+⨯++⨯ ;④22221232012++++ .数学冲浪知识技能广场1.如图,每一个小方格的面积为1,则可根据面积计算得到如下算式:()135721n +++++-= _______.（用n 表示,n 是正整数）.（第1题）（2012年潍坊市中考题）2.某数学活动小组的20位同学站成一列做报数游戏,规则是:从前面第一位同学开始,每位同学依次报自己顺序数的倒数加1,第1位同学报111⎛⎫+ ⎪⎝⎭,第2位同学报112⎛⎫+⎪⎝⎭,第3位同学报113⎛⎫+ ⎪⎝⎭……这样得到的20个数的积为________. （2012年河北省中考题）3.计算:（1）()211455365455211545545365⨯-+⨯-⨯+⨯=______.（“希望杯”邀请赛试题）（2）23181920223222-----+= _______.（广西桂林市中考题）4.“数学王子”高斯从小就善于观察和思考,在他读小学时就能在课堂上快速地计算出12398991005050++++++= ,今天我们可以将高斯的做法归纳如下: 1239899100S =++++++ ① 1009998321S =++++++ ② ①+②有()21100100S =+⨯,5050S =. 请类比以上做法,回答下列问题:若n 为正整数,()35721168n +++++= ,则n =_______.（2012年湖北省黄石市中考题）5.设0a <,在代数式|a ,a -,2009a ,2010a,a -,2a a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭,2a a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭中负数的个数是（）. A.1B.2C.3D.4（“希望杯”邀请赛试题）6.我国邮政国内外埠邮寄印刷品邮资标准如下:100克以内0.7元,每增加100克（不足100克按100克计）0.4元.某人从成都邮寄一本书到上海,书的质量为470克,则他应付邮资（）元. A.2.3 B.2.6 C.3 D.3.5（2012年四川省竞赛题）7.为了求232012222+++++ 的值,可令232012222S +=++++,则2342009222222S ++++=+ ,,因此2009221S S -=-所以2321222221+++++=- .仿照上面推理计算出23200915555+++++ 的值是（）. A.200951-B.201051-C.2009514-D.2010514-（湖北省鄂州市中考题）8.下面是按一定规律排列的一列数: 第1个数:11122-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭; 第2个数:()()2311111113234⎛⎫⎛⎫---⎛⎫-+++ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭; 第3个数:()()()()234511111111111423456⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-----⎛⎫-+++++ ⎪⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭; ……第n 个数:()()()232111111111112242n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫----⎛⎫-++++ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.那么,在第10个数、第11个数、第12个数、第13个数中,最大的数是（）.A.第10个数B.第11个数C.第12个数D.第13个数（江苏省中考题）观察图形,解答问题:（1）按下表已填写的形式填写表中的空格:（2012年益阳市中考题）10.观察下列等式: 第1个等式:111111323a ⎛⎫==⨯- ⎪⨯⎝⎭; 第2个等式:2111135235a ⎛⎫==⨯- ⎪⨯⎝⎭第3个等式:3111157257a ⎛⎫==⨯- ⎪⨯⎝⎭ 第4个等式:4111179279a ⎛⎫==⨯- ⎪⨯⎝⎭; ……请解答下列问题:（1）按以上规律列出第5个等式:5a =______=_______;（2）用含n 的代数式表示第n 个等式n a =______=_______;（n 为正整数）; （3）求1234100a a a a a +++++ 的值.（2012年广东省中考题）思维方法天地 11.计算: （1）11111111111113243546979998100⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯+⨯+⨯+⨯⨯+⨯+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭______.（“华罗庚杯”邀请赛试题）（2）1511914117111234567892612203042567290-+-+-+-+=_____. （“希望杯”邀请赛试题）（3）555111139139993311993311⎛⎫⎛⎫++÷++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭_____.（江苏省竞赛题）12.设三个互不相等的有理数,既可分别表示为1,a b +,a 的形式,又可分别表示为0,ab,b 的形式,则20042001a b +=______. 13.已知31x x =+,则()2005264489x x ++=______.（“五羊杯”竞赛题）14.已知a 、b 、c 满足()()()0a b b c c a +++=且0abc <,则代数式的a b ca b c++值是________.（四川省竞赛题）15.11111161111161621212626313136+++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯的值是（）. A.118 B.136 C.133 D.166（北京市竞赛题）16.如果4个不同的正整数m 、n 、p 、q 满足()()()()77774m n p q ----=,那么m n p q +++等于（）. A.10 B.21C.24D.26E.2817.如果3121231t t t t t t ++=,那么123123t t t t t t 的值为（）. A.1-B.1C.1±D.不确定（河北省竞赛题）18.观察下列各式: （1）211=; （2）32343++=; （3）2345675++++=; （4）2456789107++++++=;……请你根据观察得到的规律判断下列各式正确的是（）. A.210051006100730162011++++= 2 B.210051006100730172011++++=C.210061007100830162011++++=D.210071008100930172011++++=（济南市中考题）19.观察下面的等式:224⨯=,224+=; 313422⨯=,313422+=; 414533⨯=,414533+=; 515644⨯=,515644+=. （1）小明归纳上面各式得出一个猜想:“两个有理数的积等于这两个有理数的和”,小明的猜想正确吗?为什么?（2）请你观察上面各式的结构特点,归纳出一个猜想,并证明你的猜想.（“希望杯”邀请赛试题）20.同学们,我们曾经研究过n n ⨯的正方形网格,得到了网格中正方形的总数的表达式为2222123n ++++ .但n 为100时,应如何计算正方形的具体个数呢?下面我们就一起来研究并解决这个问题.首先,通过探究我们已经知道()()()10112231113n n n n n ⨯+⨯+⨯++-⨯=+- 时,我们可以这样做:（1）观察并猜想:()()()()2212101112101212120112+=+⨯++⨯=+⨯++⨯=++⨯+⨯, ()()()2221231011121231012123++=+⨯++⨯++⨯=+⨯++⨯++ ()()23123011223⨯=+++⨯+⨯+⨯,()()()22221134101112123+++=+⨯++⨯++⨯+_______101=+⨯+212323+⨯++⨯+______()()1234_______________=++++;……（2）归纳结论:()()()()222212310111212311n n n ++++=+⨯++⨯++⨯+++-⎡⎤⎣⎦()1012123231n n n =+⨯++⨯++⨯+++-⨯ =（_________________）+（_______________________） =____________+______________ 16=_____________;（3）实践应用::通过以上探究过程,我们就可以算出当n 为100时,正方形网格中正方形的总个数是________.（四川省内江市中考题）应用探究乐园21.我国著名数学家华罗庚曾说过:“数缺形时少直观,形少数时难入微;数形结合百般好,隔离分家万事休”.数学中,数和形是两个最主要的研究对象,它们之间有着十分密切的联系,在一定条件下,数和形之间可以相互转化,相互渗透.数形结合的基本思想,就是在研究问题的过程中,注意把数和形结合起来考察,斟酌问题的具体情形,把图形性质的问题转化为数量关系问题,或者把数量关系的问题转化为图形性质的问题,使复杂问题简单化,抽象问题具体化,化难为易,获得简便易行的成功方案.例如,求1234n +++++ 的值,其中n 是正整数.对于这个求和问题,如果采用纯代数的方法（首尾两头加）,问题虽然可以解决,但在求和过程中,需对n 的奇偶性进行讨论.如果采用数形结合的方法,即用图形的性质来说明数量关系的事实,那就非常的直观.现利用图形的性质来求1234n +++++ 的值,方案如下:如图,斜线左边的三角形图案是由上到下每层依次分别为1,2,3,,n 个小圆圈排列组成的,而组成整个三角形小圆圈的个数恰为所求式子1234n +++++ 的值.为求式子的值,现把左边三角形倒放于斜线右边,与原三角形组成一个平行四边形.此时,组成平行四边形的小圆圈共有n 行,每行有()1n +个小圆圈,所以组成平行四边形小圆圈的总个数为()1n n +个,因此,组成一个三角形小圆圈的个数为()12n n +,即()112342n n n ++++++= .（1）仿照上述数形结合的思想方法,设计相关图形,求()135721n +++++- 的值,其中n 是正整数.（要求:画出图形,并利用图形作必要的推理说明）.（2）试设计另外一种图形,求()135721n +++++- 的值,其中n 是正整数.（要求:画出图形,并利用图形作必要的推理说明）（山东省青岛市中考题）22.在“123456789□□□□□□□□□”的小方格中填上“+”、“-”号,如果可以使其代数和为n ,就称数n 是“可被表出的数”（如1是可被表出的数,这是因为123456789++--++--+是1的一种可被表出的方法）. （1）求证:7是可被表出的数,而8是不可被表出的数; （2）求25可被表出的不同方法的种数.（四川省竞赛题）4.信息技术中的数学问题解读课标伴随着计算机和网络技术的迅猛发展,人类社会已步入信息时代,并将迈入后信息化时代:IT 技术、赛伯空间、数字化技术、智能通讯等信息技术彻底改变着我们的生活方式与思维方式. 计算器、计算机正深刻影响着数学学习内容和方式,现代信息技术是学习数学和解决问题的有力工具.近年出现的以信息技术为背景的问题是中考竞赛试卷一道靓丽的风景,这类问题将信息技术与数学知识有机融合和渗透,构思巧妙、立意新颖,其托容涉及计算机常识（数制、字节等）、计算机的数据输出、计算机中的数据处理、计算机运算程序、网络与通讯等. 解决这类问题的关键是找到数学知识与其内在的联系,将其转化为数学问题. ——问题解决——例1 给出下列程序x k −−→−−→⨯−−→立方输入输出,且已知当输入的x 值为1时,输出值为1;输入的x 值为1-时,输出值为3-,则当输入的x 值为12时,输出值为____. （广西竞赛题）试一试 把程序流程图用代数式表示,由条件先求出k 、b 的值.例2 计算机利用的是二进制数,它共有两个数码0、1,将一个十进制数转化为二进制数,只需把该数写成若干个2n数的和,依次写出1或0即可.如()()4321219162112020212110011=++=⨯+⨯+⨯+⨯+=十.为二进制下的5位数,则十进制数2004是二进制下的（）. A.10位数 B.11位数 C.12位数D.13位数（湖北省荆门市中考题）试一试本例渗透了计算机的基本知识—“二进制计算”,无论何种进制的数都可表示为与数位上的数字、进制值有关联的和的形式.例3 一条信息可通过如图所示的网络线由上（A 点）往下向各站点传送.例如信息到2b 点可由经1a 的站点送达,也可由经2a 的站点送达,共有两条途径传送,那么信息由A 点到达3d 的不同途径共有多少条.（第17届“希望杯”邀请赛试题）试一试 在阅读理解的基础上,画出路线示意图,穷举得出结论.例4 你觉得手机很神奇吗?它能在瞬间清晰地传递声音、文字、图像等信号,据说以后还能发送味道、触觉信息呢！这里都有手机中电脑芯片的功劳.其实,这些信号在电脑芯片中都是以二进制数的形式给出的.每个二进制数都由0和1构成,电脑芯片上电子元件的“开”、“关”分别代表“1”和“0”.一组电子元件的“开”“关”状态就表示相应的二进制数.例如“开”“开”“关”表示“110”.如图,电脑芯片的某段电路上分布着一组电子元件（假设它们首尾不相连）,且相邻的两个元件不能同时是关的.（以下各小题要求写出解答过程）（1）若此电路上有4个元件,则这4个元件所有不同的“开”“关”状态共有多少种?（请一一列出）;（2）若用k a 表示电路上()1k k ≥只电子元件所有不同的“开”“关”状态数,试探索k a 、1k a +、2k a +之间的关系式（不要求论证）;（3）试用（2）中探索出的递推关系式,计算10a 的值.（《时间学习报》数学文化节试题） 试一试对于（1）,通过穷举,得出答案值;对于（2）,从特例入手,归纳出相应关系式. 例5 先阅读下面的材料,再解答后面各题.现代社会对保密要求越来越高,密码正在成为人们生活的一部分.有一种密码的明文（真实文）按计算机键盘字母排列分解,其中Q 、W 、E 、…、N 、M 这26个字母依次对应1、2、给出一个变换公式:()()(),126,3,126,,3217,331,126,318,23xx x x x x x x x x x x x x x ⎧'=⎪⎪+⎪'=+⎨⎪+⎪≤≤≤≤≤≤'=+⎪⎩是正整数被整除是正整数被整除余是正整数被整除余 将明文转换成密文,如:42417193+→+=,即R 变为L ; 111118123+→+=,即A 变为S .将密文转换成明文,如:()2132117210→⨯--=,即X 变为P ; ()133138114→⨯--=,即D 变为F .（1）按上述方法将明文NET 译为密文;（2）若按上述方法将明文译成的密文为DWN ,请找出它的明文.（湖北省十堰市中考题）试一试对于（1）,由明文选择变换公式,求得相应整数,推出密文;对于（2）,逆用变换公式,即由x'导出x值,推出明文,解题的关键是确定变换公式中x'的取值范围.电话号码的破译例6 同学们看电影、看电视时,经常遇到破译密码的故事情节.在军事上、商业上,为了保密,都采用密码.破译密码需要有解密的“钥匙”.下面我们也来破译一个电话号码:一名间谍在他所追踪的人拨打电话时（话机是拨盘式的,如图,话机上的数字排列顺序是1,2,3,4,5,6,7,8,9,0,图中画出了拨数字5时相应的小孔转过的路线）,随着拨号盘转回的声音,用铅笔以同样的速度在纸上画线,他画出的6条线如下:他很快就知道了那人拨的电话号码,这个号码是多少?（《时代学习报》数学文化节试题）分析与解从电话拨盘上可以看出,拨1时,画出的线段最短,拨0时,画出的线段最长,由于画线速度相同,所以,每个数字所对应的线段应比它下一个数所对应的线段增加一个固定的长度.间谍所画下的这6条线段的长度互不相等,所表示的6个数字当然也不一样,在0~9这10个数字的6个数字中至少有2个数字是相邻的（想一想为什么）,因此,长度最接近的两条线段的长度差,就一定是上面所谈到的那个固定长度.通过对这6条线段进行度量,可以发现第一条线段与第二条线段最为接近,它们相差0.6厘米（相当于1个格子的宽度）.由于最长的线段与最短的线段相差5.4厘米（相当于9个格子的宽度）,因此可以断定最长的线段代表数字0,而最短的线段则代表1.+=,同样可推知第六条线段代第一条线段比第三条线段长3厘米,因此第一条线段代表156表3,第四条线段代表8,第二条线段代表5,所以这个电话号码是651803.数学冲浪知识技能广场1.二进制数为法国数学家莱布尼兹所创,例如二进制数1101表示十进制数3211212021⨯+⨯+⨯+,即相当于十进制数13,试将二进制数1101化为十进制数________.二进制数是现代计算机理论的基础.2.如图,是一个简单的数值运算程序,当输入x的值为1-时,则输出的数值为_____.()32x−−→⨯-−−→-−−→输入输出（江苏省南通市中考题）那么,当输入数据是时,输出的数据是_______.（广东省深圳市中考题）4.在计算器上按照下面的程序进行操作:下表中的x 与y 分别是输入的6个数及相应的计算结果:（浙江省台州市中考题）5.在计算机程序中,二叉树是一种表示数据结构的方法.如图,一层二叉树的结点总数为1,二层二叉树的结点总数为3,三层二叉树的结点总数为7……照此规律,七层二叉树的结点总数为（）.（第5题）A.63B.64C.127D.128（呼和浩特市中考题）6.如图所示的运算程序中,若开始输入的x 值为48,我们发现第一次输出的结果为24,第二次输出的结果为12,……,则第2010次输出的结果为（）. A.6 B.3C.200632 D.100332（山东省淄博市中考题）7.计算机是将信息换成二进制数进行处理的,二进制即“逢2进1”,如()21101表示二进制数,将它转换成十进制形式是321121202113⨯+⨯+⨯+=,那么将二进制数()21101转换成十进制形式是数（）. A.8 B.15 C.20 D.308.按下列程序计算,把答案写在表格内:n n n n −−→−−→+−−→÷−−→-−−→平方答案（1）填写表格:（2）请将题中计算程序用代数式表达出来,并给予化简.（广东省中考题）9.密码在通信安全技术、国防军事中扮演着重要角色,下面6道算式,乍看真是莫名其妙！ ①8762+=;②535+=;③12823+=;④50954+=;⑤11155⨯=;⑥091-=. 当你知道这只是密码算式,各个密码数字各自对应另一个不同数字时,算式就合理了. 请根据算式,写出表中密码所对应的数字.10.为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文密文（加密）,接收方由密文明文（解密）.已知有一种密码,将英文26个小写字母,,,,a b c z 依次对应0,1,2,3,,25 这26个自然数（见表格）.当明文中的字母对应的序号为β时,将10β+除以26后所得的余数作为密按上述规定,将明文“”译成密文.（广州市中考题）思维方法天地11.我们知道在十进制加法中,逢十进一,如9817+=,也可写成()()()1010109817+=;在四进制加法中,逢四进一,如()()()4443711+=,那么在n 进制中有等式()()()5543142n n n +=,则n =______.（深圳市“启智杯”数学思维能力竞赛题）12.某综合性大学拟建校园局域网络,将大学本部A 和所属专业学院B 、C 、D 、E 、F 、G 之间用网线连接起来.经过测算,网线费用如图所示（单位:万元）,每个数字表示对应网线（线段）的费用,实际建网时,部分网线可以省略不建,但本部及所属专业学院之间可以传递信息,那么建网所需的最少网线费用为_________万元.（第12题） （第13题）13.计算机中的堆栈是一些连续的存储单元,在每个堆栈中数据的存入、取出,按照“先进后出”的原则.如图堆栈（1）的2个连续存储单元已依次存入数据b ,a ,取出数据的顺序是a ,b ;堆栈（2）的3个连续存储单元已依次存入数据e ,d ,c ,取出数据的顺序则是c ,d ,e 现在要从这两个堆栈中取出这5个数据（每次取出1个数据）,则不同顺序的取法的种数有（）.A.5种B.6种C.10种D.12种（江苏省竞赛题）14.如图,小圆圈表示网络的结点,结点之间的连线表示它们之间有网线相连,连线标注的数字表示该网线单位时间内可以通过的最大信息量.现从结点A 向结点B 传递信息,信息可以分开沿不同的路线同时传递,由单位时间内传递的最大信息量为（）. A.19 B.20 C.24 D.26（第14题） （第16题）15.写出一个四位数,它的各个数位上的数字都不相等（如6847）,用这个四位数各个数位上的数字组成一个最大的数和一个最小的数,并用最大数减去最小数,得到一个新的四位数,对于新得到的四位数,重复上面过程,又得到一个新的四位数,一直重复下去,你发现了什么?请你用计算器,帮助你进行探索.16.某人租用一辆汽车由A 城前往B 城,沿途可能经过的城市以及通过两城市之间所需的时间（单位:小时）如图所示.若汽车行驶的平均速度为80千米/时,而汽车每行驶1千米需要的平均费用为1.2元,试指出此人从A 城出发到B 城的最短路线,并求出所需费用最少为多少元?（全国初中数学竞赛题）17.按下面的程序计算,若开始输入的值为正数x ,最后输出的结果为656,那么满足条件的x 的不同值最多有多少个?（浙江省中考题）18.在密码学中,你直接可以看到的内容为明码,对明码进行某种处理后得到的内容为密码.对于英文,人们将26个字母按顺序分别对应整数0到25,现有4个字母构成的密码单词,记4个字母对应的数字分别为1x ,2x ,3x ,4x .已知整数122x x +,23x ,342x x +,43x ,除以26的余数分别是9,16,23,12,请你通过推理计算破译此密码,写出这个单词,并写出此单词的汉语词意.（新疆建设兵团中考题）5.整式的加减解读课标代数式是用加、减、乘、除等运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子,是后续学习中进行运算、解决问题的基础.在代数式中,我们把那些含相同的字母,并且相同字母的次数也分别相同的单项式看作一类—称为同类项,一个多项式中的同类项可以合聚在一起——称为合并同类项,整式的加减就是合并同类项.代数式的化简求值是代数式研究的一个重要课题,解这类问题的基本方法有:将字母的值代人或字母间的关系整体代人,而关键是对代数式进行恰当变形,其中去括号、添括号能改变代数式的结构,是变形求解的常用工具. ——问题解决——例1 平、乙、丙三家超市为了促销一种定价为m 元的商品,甲超市连续两次降价20%;乙超市一次性降价40%;丙超市第一次降价30%,第二次降价10%,此时顾客要购买这种商品,最划算的超市是_______.（2012年黑龙江省绥化市中考题）试一试 用m 的式子分别表示三家超市降价后的价格.例2 下列四个数中可以写成100个连续自然数之和的是（）. A.1627384950 B.2345678910 C.3579111300 D.4692581470（江苏省竞赛题）试一试 用字母表示数,从揭示100个连续自然数之和的规律入手.例3 已知关于x 的二次多项式()()3223325a x x x b x x x -++++-,当2x =时的值为17-,求当2x =-时该多项式的值.（北京市“迎春杯”竞赛题）试一试 设法求出a 、b 的值,解题的突破口是根据多项式降幂排列、多项式次数等概念挖掘隐含的关于a 、b 的等式.例4 有这样的两位数,交换该数数码所得到的两位数与原数的和是一个完全平方数.例如,29就是这样的两位数,因为2299212111+==,请你找出所有这样的两位数.（江苏省竞赛题）试一试 设原数为发现的特点是解本例的出发点.例5 如图,是用棋子摆成的图案,摆第1个图案需要7枚棋子,摆第2个图案需要19枚棋子,摆第3个图案需要37枚棋子,按照这样的方式摆下去,则摆第6个图案需要________枚棋子,摆第n 个图案需要_______枚棋子.（山东省青岛市中考题）1716116a ==+=+⨯;()21916121126a ==++=++⨯; ()33716121811236a ==+++=+++⨯;……猜想()2112346331n a n n n =++++++⨯=++ ,再将6n =代入该代数式得127.解法二 数形结合,分解图形,感悟从部分研究整体的思想.问题中“按照这样的方式摆下去”,何种方式并没有明确的界定,我们可以有不同的理解,如从平行四边形角度看,把图形分成三个平行四边形. 如图,图的序列号:1,2,3,4,5, 图中的点的数目:7,19,37,61,91,()171123a ==+⨯⨯; ()2191233a ==+⨯⨯; ()3371343a ==+⨯⨯; ()4611453a ==+⨯⨯; ()5911563a ==+⨯⨯;……猜想()2113331n a n n n n =++⨯=++⎡⎤⎣⎦.整体思考整体思考是将问题看成一个完整的整体,从大处着眼,由整体入手,突出对问题的整体结构的分析与改造,从整体上把握问题的特征和解题方向.例6（1）已知当1x =时,226ax x +的值为3,则当2x =时,268ax x +-的值为_______.（2012年成都市中考题）（2）把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为mcm ,宽为ncm ）的盒子底部（如图②）,盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示,。