【小奥】2016同步讲义-五年级春季(共15讲)-第08讲-沙漏与金字塔(2)

一、沙漏与金字塔（五下）如图，太阳照下来在桌面上形成一个圆形的亮斑，如图1所示，我们将图形抽象成三角形，如图2所示．观察一下， 这个图形与生活中的什么东西比较像？对了，沙漏！今天，就让我们来学习一下有关“沙漏”的知识．沙漏有一个必要条件：线段AB 平行于线段CD ，如图2所示．大沙漏中，我们总结出了如下性质：AB AO BODC DO CO ==．这就是我们今天要研究的平行线间的比例关系——即沙漏形三角形间的比例关系，简称沙漏．在沙漏模型中，各线段的长度有比例关系，各区域的面积也有比例关系．如图所示，如果沙漏形的上下底之比为:a b ，四个三角形的面积之比为22:::a ab ab b ．太阳纸片 桌面上的太阳DCBAO图1图2第8讲 沙漏与金字塔知识点我们发现，沙漏模型由一组平行线和一组相交线构成，且相交线的交点在平行线之间．如果交点在两条平行线的同一侧，就会构成一种新的模型，我们形象的称之为金字塔模型．在金字塔模型中也有相应的比例关系．一、 沙漏与金字塔认识1、如图，AB 与CD 垂直，交点为O ．已知4AO =，3CO =，5AC =，15BD =．求△BOD 的面积．【答案】54 【解析】由沙漏模型知，13AC AO CO BD OB OD ===，所以3412OB =⨯=，339OD =⨯=．又因为△BOD A ODCB 2a21a1a 1b 2b2b1b1c1c 2c2c沙漏模型金字塔模型111222a b c a b c == 1122a b a b = 11112122a b ca ab bc ==++ abab2a2b例题中OB 和OD 垂直，所以△BOD 的面积是912254⨯÷=．2、如图所示，梯形ABCD 的面积是36，下底长是上底长的2倍，阴影三角形的面积是多少？【答案】16 【解析】由于下底长是上底长的2倍，因此组成该梯形的四个小三角形的面积之比是1:2:2:4，阴影三角形的面积是436161224⨯=+++．3、如图，梯形ABCD 中，:2:5AB CD =．已知△COD 的面积是5，那么梯形的面积是多少？【答案】9.8 【解析】如图所示，梯形中各部分的面积份数．因为△COD 的面积是5，所以梯形的面积是()52541010259.8÷⨯+++=．AODCB4、如图，直角三角形ABC 中，4AB =，6BC =．又知:1:3BE EC =，求△CDE 的面积．【答案】6.75 【解析】由金字塔模型知，::3:4DE AB CE CE ==，则3434DE =⨯=．又知道36 4.54CE =⨯=，可求出△CDE 的面积为3 4.52 6.75⨯÷=．5、图中的两个正方形的边长分别为6分米和8分米，则阴影部分的面积为____________．【答案】2107平方分米【解析】 阴影部分是一个直角三角形，其中一条直角边的长度是6分米，另一条直角边的长度是AEDC BAO DC B 4 1010256248687⨯=+分米，面积是246271027⨯=平方分米6、已知三角形ADE 的面积为3平方百米，D 是AB 边的三等分点（靠近A 点），且DE 与BC 平行，请求出三角形OBC 的面积为多少平方厘米？【答案】13.5 【解析】由金字塔模型知，::1:3AD AB DE BC ==，设△ODE 的面积为1份，则△ODB 的面积为3份，△OEC 的面积为3份，△OBC 的面积为9份．又因为△ADE 与△DEC 等高，可知△ADE 的面积为2份，由此可知△OBC 的面积为32913.5÷⨯=平方厘米．二、 综合应用7、如图，平行四边形ABCD 的面积是90．已知E 点是AB 上靠近A 点的三等分点，求阴影部分的面积．【答案】33 【解析】A OEDCBAOEDC B由沙漏模型可知，:::2:3BE CD BO OD EO OC ===，设△OBE 的面积为4份，则△OBC 的面积为6份，△OCD 的面积为9份，△OBC 的面积与△OCD 的面积之和为整个平行四边形面积的一半，因此平行四边形的面积为30份，总面积为90，则一份对应的面积为3，阴影部分占了11份，面积为33．8、如图，两个等腰直角三角形拼在一块形成一个四边形，小等腰直角三角形直角边长为1，阴影部分的面积为多少？【答案】13【解析】如图所示，△ABC 的面积是△ACD 面积的一半，所以:1:2AB CD =．根据沙漏模型知，::1:2AO OC AB CD ==，所以阴影部分的面积是△ABC 面积的23，即21211233⨯⨯=．9、如图，在三角形ABC 中，D 、E 为AB 、AC 的三等分点，DF 、EG 分别垂直BC 于F 、G ，矩形DEGF 面积为6，那么三角形ABC 面积为__________．AODCB【答案】13.5 【解析】过A 向BC 边做垂线，设交于点P ．由D 是BA 三等分点可知F 为BP 三等分点，可知矩形左半部分为△ABP 面积的49，同理可得右半部分．矩形总面积为△ABC 面积的49，可得△ABC 面积为13.5．10、如图19-24，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，CD 的中点，已知正方形ABCD 的面积为60平方厘米，求阴影部分的面积．CFP CGF BACGFBA【答案】10平方厘米． 【解析】设AE 、AF 与对角线BD 的交点分别为M 、N ；12BM BE DM AD ==，因此13BM BD=；同理13DN BD =，因此13MN BD =；116010332AMN ABD S S ==⨯=△△平方厘米．11、如图，边长为8厘米和12厘米的两个正方形并排放在一起，求图中阴影部分的面积．【答案】45平方厘米 【解析】1212722GEF S ⨯==△平方厘米，8125123EO BE GO GF +===，55538EO EG ==+，因此5=458GEF EOF S S =△阴影△平方厘米．1、如图所示，梯形的面积是48平方厘米，下底是上底的3倍，求阴影部分的面积．【答案】27平方厘米 【解析】AD OH随堂练习上底与下底之比是1:3，由沙漏模型可知四个三角形的面积之比是1:3:3:9，那么阴影部分的面积是()481339927÷+++⨯=平方厘米．2、如图，正方形ABCD 的边长是6，E 点是BC 的中点．求△AOD 的面积．【答案】12 【解析】连接DE ，因为BE 与AD 之比是1:2，可如图所示设份数．可知△AOD 的面积是正方形面积的13，是12．3、如图所示，图中的两个正方形的边长分别是10和6，那么阴影部分的面积是多少？A HG FED C B AEO DC B1 42 32AEOD C B【答案】40013【解析】58AH AD HG BG ==，那么△ABH 与△BGH 的面积之比也是5:8，△ABH 的面积是△ABG 面积的513．△ABH 的面积是5400101621313⨯÷⨯=．4、如图，EF 和BC 平行，:1:2AE EB =．已知2AF =，3EF =，那么CF 的长度是多少？AC 的长度是多少？BC 的长度是多少？【答案】4，6，9 【解析】12AE AF EB FC ==，可求出4CF =，6AC =．13EF AE BC AB ==，可求出9BC =．1、如图所示，AB 与CD 平行．已知:3:4AB CD =，6AO =，那么OC =__________．BFEC A课后作业【答案】 8【解析】 由沙漏模型知，::3:4AB CD AO OC ==，6AO =，则8OC =．2、如图所示，AC 与BD 平行，AB 与CD 垂直，交点为O ．已知2AO =，4OB =，3OC =，则△OBD 的面积是△AOC 面积的__________倍．【答案】 4【解析】 由沙漏模型知，::1:2AO OB OC OD ==，3OC =，则6OD =．由三角形面积公式，△OBD 的面积是46212⨯÷=，△AOC 的面积是2323⨯÷=，所以△OBD 的面积是△AOC 面积的4倍．3、如图所示，BC 与DE 平行．已知4AD =，5BD =，16DE =，则BC =__________． A ODCB【答案】 36【解析】 由金字塔模型， ::4:9AD AB DE BC ==，16DE =，则36BC =．4、如图所示，DE 与BC 平行，已知4AD =，5BD =，△ADE 的面积为32，则四边形DECB 面积为_________．【答案】 130【解析】:4:9AD AB =，则:4:9AE AC =，△ADE 是△ABC 面积的1681，则△ABC 的面积为162，四边形DEBC 的面积为130．5、如图所示，梯形ABCD 的面积是50，下底长是上底长的1.5倍，阴影三角形的面积是_________．【答案】 18【解析】 上底与下底的长度比是2:3，设△OCD 面积是4份，则△AOD 与△BOC 的面积均为6份，△ABO 的面积为9份，总面积为50，故一份所对应的面积为2．则△ABO 的面积为18．6、如图所示，正方形ABCD 的边长是6，E 点是BC 的三等分点．△AOD 的面积为_________．【答案】 13.5【解析】 由沙漏模型可知，::1:3BE AD BO OD ==，△AOB 与△AOD 等高，面积比为1:3，因此△AOD 的面积为366213.54⨯÷⨯=．7、如图，平行四边形ABCD 的面积是12，13DE AD =，AC 与BE 的交点为F ，那么图中阴影部分面积是__________．【答案】4.4 AO EDCB【解析】:2:3AE BC =，设份数如图，可知ABCD 为30份，△AEF 为4份，阴影部分占11份，面积为1112 4.430⨯=．8、如图所示，图中的两个正方形的边长分别是8和4，那么阴影部分的面积是__________．【答案】 19.2【解析】由条件知，:2:3AD BG =，:2:3DH HB =，△ABH 的面积为388219.25⨯÷⨯=．9、如图所示，图中的两个正方形的边长分别是6和4，那么阴影部分的面积是__________．【答案】A H G FEDC BH F EC D G BA4 11 9 610.8【解析】 ::3:2DH HC AD CG ==，可求出AD 的长为()6323 3.6÷+⨯=，阴影部分的面积是6 3.6210.8⨯÷=．10、如图，一个动物园的形状是梯形，两条对角线正好把动物园分成4个区．已知爬行类区的面积是鸟类区面积的2倍．两栖类区中池塘的面积占两栖类区面积的13．请问这个动物园中陆地面积和池塘面积之比是多少？【答案】 23:4【解析】可知梯形的上下底之比为1:2，则四个区的面积依次为1、2、2、4份，池塘面积为43份，陆地面积为233份，陆地与池塘的面积之比为23:4．。