【小奥】2016同步讲义-五年级春季(共15讲)-第08讲-沙漏与金字塔(2)

一、

沙漏与金字塔（五下）

如图，太阳照下来在桌面上形成一个圆形的亮斑，如图1所示，我们将图形抽象成三角形，如图2所示．观察一下， 这个图形与生活中的什么东西比较像？对了，沙漏！今天，就让我们来学习一下有关“沙漏”的知识．

沙漏有一个必要条件：线段AB 平行于线段CD ，如图2所示．大沙漏中，我们总结出了如下性质：

AB AO BO

DC DO CO ==

．

这就是我们今天要研究的平行线间的比例关系——即沙漏形三角形间的比例关系，简称沙漏．

在沙漏模型中，各线段的长度有比例关系，各区域的面积也有比例关系．如图所示，

如果沙漏形的上下底之比为:a b ，四个三角形的面积之比为22

:::a ab ab b ．

太阳

纸片 桌面上的太阳

D

C

B

A

O

图1

图2

第8讲 沙漏与金字塔

知识点

我们发现，沙漏模型由一组平行线和一组相交线构成，且相交线的交点在平行线之间．如果交点在两条平行线的同一侧，就会构成一种新的模型，我们形象的称之为金字塔模型．在金字塔模型中也有相应的比例关系．

一、 沙漏与金字塔认识

1、如图，AB 与CD 垂直，交点为O ．已知4AO =，3CO =，5AC =，15BD =．求△BOD 的面积．

【答

案

】

54 【

解析】

由沙漏模型知，

1

3AC AO CO BD OB OD ===，所以3412OB =⨯=，339OD =⨯=．又因为△BOD A O

D

C

B 2a

2

1a

1a 1b 2b

2b

1b

1c

1c 2c

2c

沙漏模型

金字塔模型

111

222

a b c a b c == 11

22

a b a b = 11112122

a b c

a a

b b

c ==++ ab

ab

2a

2b

例题

中OB 和OD 垂直，所以△BOD 的面积是912254⨯÷=．

2、如图所示，梯形ABCD 的面积是36，下底长是上底长的2倍，阴影三角形的面积是多少？

【答

案

】

16 【

解析】

由于下底长是上底长的2倍，因此组成该梯形的四个小三角形的面积之比是1:2:2:4，阴

影三角形的面积是

4

3616

1224⨯

=+++．

3、如图，梯形ABCD 中，:2:5AB CD =．已知△COD 的面积是5，那么梯形的面积是多少？

【答

案

】

9.8 【解析】

如图所示，梯形中各部分的面积份数．因为△COD 的面积是5，所以梯形的面积是()52541010259.8

÷⨯+++=．

A

O

D

C

B

4、如图，直角三角形ABC 中，4AB =，6BC =．又知:1:3BE EC =，求△CDE 的面积．

【答

案

】

6.75 【

解析】

由金字塔模型知，::3:4DE AB CE CE ==，则3434DE =⨯=．又知道3

6 4.5

4CE =⨯=，可

求出△CDE 的面积为3 4.52 6.75⨯÷=．

5、图中的两个正方形的边长分别为6分米和8分米，则阴影部分的面积为____________．

【答案】

2

10

7平方分米

【解析】 阴影部分是一个直角三角形，其中一条直角边的长度是6分米，另一条直角边的长度是

A

E

D

C B

A

O D

C B 4 10

10

25

6248687⨯

=

+分米，面积是

24

6271027⨯

=平方分米

6、已知三角形ADE 的面积为3平方百米，D 是AB 边的三等分点（靠近A 点），且DE 与BC 平行，请求出三角形OBC 的面积为多少平方厘米？

【

答

案

】

13.5 【

解析】

由金字塔模型知，::1:3AD AB DE BC ==，设△ODE 的面积为1份，则△ODB 的面积为3份，△OEC 的面积为3份，△OBC 的面积为9份．又因为△ADE 与△DEC 等高，可知△ADE 的面积为2份，由此可知△OBC 的面积为32913.5÷⨯=平方厘米．

二、 综合应用

7、如图，平行四边形ABCD 的面积是90．已知E 点是AB 上靠近A 点的三等分点，求阴影部分的面积．

【答

案

】

33 【

解析】

A O

E

D

C

B

A

O

E

D

C B

由沙漏模型可知，:::2:3BE CD BO OD EO OC ===，设△OBE 的面积为4份，则△OBC 的面积为6份，△OCD 的面积为9份，△OBC 的面积与△OCD 的面积之和为整个平行四边形面积的一半，因此平行四边形的面积为30份，总面积为90，则一份对应的面积为3，阴影部分占了11份，面积为33．

8、如图，两个等腰直角三角形拼在一块形成一个四边形，小等腰直角三角形直角边长为1，阴影部分的面积为多少？

【

答

案

】

13

【解析】

如图所示，△ABC 的面积是△ACD 面积的一半，所以:1:2AB CD =．根据沙漏模型知，

::1:2AO OC AB CD ==，所以阴影部分的面积是△ABC 面积的23，即2121

1233⨯⨯=

．

9、如图，在三角形ABC 中，D 、E 为AB 、AC 的三等分点，DF 、EG 分别垂直BC 于F 、G ，矩形DEGF 面积为6，那么三角形ABC 面积为__________．

A

O

D

C

B