简谐振动的相位
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2 2
v0 ar ctg ; x 0
固有频率和固有周期：
k m 2 m 1 1 k T 2 ; T 2 m k
----周期和频率由振动系统本身 的性质所决定，与A和无关
二.谐振动的旋转矢量表示法
OM A 逆时针旋转
旋转矢量法
A sin 0 sin 0 2 x 2 cos( t ) m 2
又
v0
即
x 0, v 0
2
2
O
x
[例3]质量为0.01kg物体作周期为4s、 振幅为 0.24m 的简谐振动。 t=0 时 , 位 移 x=0.24m 。 求 (1) 谐 振 动 表 达 式 ； (2)t=0.5s时,物体的位置和所受的力； (3)物体从初始位置运动至x=-0.12m处 所需的最短时间。
A----简谐振动的振幅, 物体离开
----简谐振动的相位
t
----简谐振动的初相位
讨论： 由初始条件可确定A和 ： 设 t =0 时，x
x A cos(t )
x0 v v 0
x0 A cos v0 A sin
v0 A x0
F ma m x
2
2 0.01 ( ) 0.17 2 3 4.19 10 N
Байду номын сангаас
2 (3) t min 2 3 tmin 3 0.12 2 34 s 0.24 0 0.24 x tmin 23 T T 或 t min T T T 4 12 6 12 4 4 A x A s 0 3
d y 在y处时 mg F m 2 dt F k ( y y0 ) 2 k d y m mg ky ky0 m 2 y d t 2 m 0 d y k 即 y 0 2 y dt m 2 k d y 2 设 则 ----得证 y 0 2 m dt
t =0：
M
A
振幅矢量
M1
x0 A cos
t 时刻
A
x A cos( t )
x x 0 O
t
A M0
x
参考圆
[例1]用旋转矢量法讨论质点初始时 刻位移为以下情况时谐振动的初相 位：A；-A；0，且向负方向运 动；-A/2，且向正方向运动。
0 2
[ 例 4] 一弹性系数为 k 的轻弹簧 , 下挂一质量为 m 的砝码。开始 k 时用手托住砝码 ,使弹簧为原长 m ,放手后砝码开始振动。证明砝 码作谐振动,并写出振动表达式 m y0 0 解：建立如图坐标系，原点为 物体静平衡时位置，它距 y 弹簧原长位置为 y0
ky0 mg
y0 mg k
解：(1)设振动表达式为
x A cos( t ) 2 A 0.24 m T 4s 2 T
x0 A
由旋转矢量法得
x 0.24 cos t m 2
(2) t=0.5s:
0
0.24
0
0.24
x
1 x 0.24 cos 0.17 m 2 2
dx 速度 v A sin( t ) dt
vm sin( t )
2
d x 2 A cos( t ) 加速度 a 2 dt am cos( t )
即
a x
2
----简谐振动的运动学特征
平衡位置最大位移的绝对值 ----圆频率(2秒内的振动次数)
[例2]如图的谐振动x-t 曲线，试求 其振动表达式。 x/m 2 解：由图知
A 2m , T 2s 2 T
设振动表达式为
O
1
2t / s
x A cos( t ) v A sin( t ) t =0时： x 0 即 0 A cos 2
0
2
设振动表达式为 由旋转矢量法得
y A cos( t )
0
mg t=0时 y A cos A y0 k mg A k
A
A y
mg k y cos( t ) k m
[ 例 5] 如图系统，已知物体质量为 m ，光 滑斜面倾角为 , 自由转动的定滑轮半径 为 R, 转动惯量为 J, 弹簧弹性系数为 k 。 开始时物体静止 , 弹簧为原长 , 重物下滑 后开始振动。(1)证明重物作谐振动,并 写出振动表达式；(2)求 重物下滑的最大 m 距离,并用机械 能守恒定律验证
§15-1 简谐振动
机械振动：物
体在一定位置的 附近作来回往复 的运动(周期性 或非周期性)
成因：物体的惯性和所受的回复力
一.简谐振动的特征
简谐振动:物体距平衡
位置的位移(或角位移) 随时间按余弦(或正弦) 函数变化
1.动力学特征 胡克定律：物体 所受弹性力与物 体的位移成正比 而反向
解：由旋转矢量法得
2 4 或 3 3
A
4 A 3 2 2
A
O
x
三.相位差和相位的超前与落后 设 x1 A1 cos(1t 1 )
x2 A2 cos( 2 t 2 )
相位差 ( 2 t 2 ) (1t 1 )
( 2 1 )t ( 2 1 ) 同频率 2 1 时 2 1 ----初相差与t 无关
0 即 2 1
----同相
即 2 1
----反相
0 即 2 1
----第二个谐振动超前 第一个谐振动
F 0
m
0
F
x
m
0
x
即
F kx
----动力学特征
2.运动学特征
d x F m 2 kx dt 2 k d x 2 2 令 2 x 0 m dt
解得
2
x A cos( t )
位移
x A cos( t )
----简谐振动表达式
v0 ar ctg ; x 0
固有频率和固有周期：
k m 2 m 1 1 k T 2 ; T 2 m k
----周期和频率由振动系统本身 的性质所决定，与A和无关
二.谐振动的旋转矢量表示法
OM A 逆时针旋转
旋转矢量法
A sin 0 sin 0 2 x 2 cos( t ) m 2
又
v0
即
x 0, v 0
2
2
O
x
[例3]质量为0.01kg物体作周期为4s、 振幅为 0.24m 的简谐振动。 t=0 时 , 位 移 x=0.24m 。 求 (1) 谐 振 动 表 达 式 ； (2)t=0.5s时,物体的位置和所受的力； (3)物体从初始位置运动至x=-0.12m处 所需的最短时间。
A----简谐振动的振幅, 物体离开
----简谐振动的相位
t
----简谐振动的初相位
讨论： 由初始条件可确定A和 ： 设 t =0 时，x
x A cos(t )
x0 v v 0
x0 A cos v0 A sin
v0 A x0
F ma m x
2
2 0.01 ( ) 0.17 2 3 4.19 10 N
Байду номын сангаас
2 (3) t min 2 3 tmin 3 0.12 2 34 s 0.24 0 0.24 x tmin 23 T T 或 t min T T T 4 12 6 12 4 4 A x A s 0 3
d y 在y处时 mg F m 2 dt F k ( y y0 ) 2 k d y m mg ky ky0 m 2 y d t 2 m 0 d y k 即 y 0 2 y dt m 2 k d y 2 设 则 ----得证 y 0 2 m dt
t =0：
M
A
振幅矢量
M1
x0 A cos
t 时刻
A
x A cos( t )
x x 0 O
t
A M0
x
参考圆
[例1]用旋转矢量法讨论质点初始时 刻位移为以下情况时谐振动的初相 位：A；-A；0，且向负方向运 动；-A/2，且向正方向运动。
0 2
[ 例 4] 一弹性系数为 k 的轻弹簧 , 下挂一质量为 m 的砝码。开始 k 时用手托住砝码 ,使弹簧为原长 m ,放手后砝码开始振动。证明砝 码作谐振动,并写出振动表达式 m y0 0 解：建立如图坐标系，原点为 物体静平衡时位置，它距 y 弹簧原长位置为 y0
ky0 mg
y0 mg k
解：(1)设振动表达式为
x A cos( t ) 2 A 0.24 m T 4s 2 T
x0 A
由旋转矢量法得
x 0.24 cos t m 2
(2) t=0.5s:
0
0.24
0
0.24
x
1 x 0.24 cos 0.17 m 2 2
dx 速度 v A sin( t ) dt
vm sin( t )
2
d x 2 A cos( t ) 加速度 a 2 dt am cos( t )
即
a x
2
----简谐振动的运动学特征
平衡位置最大位移的绝对值 ----圆频率(2秒内的振动次数)
[例2]如图的谐振动x-t 曲线，试求 其振动表达式。 x/m 2 解：由图知
A 2m , T 2s 2 T
设振动表达式为
O
1
2t / s
x A cos( t ) v A sin( t ) t =0时： x 0 即 0 A cos 2
0
2
设振动表达式为 由旋转矢量法得
y A cos( t )
0
mg t=0时 y A cos A y0 k mg A k
A
A y
mg k y cos( t ) k m
[ 例 5] 如图系统，已知物体质量为 m ，光 滑斜面倾角为 , 自由转动的定滑轮半径 为 R, 转动惯量为 J, 弹簧弹性系数为 k 。 开始时物体静止 , 弹簧为原长 , 重物下滑 后开始振动。(1)证明重物作谐振动,并 写出振动表达式；(2)求 重物下滑的最大 m 距离,并用机械 能守恒定律验证
§15-1 简谐振动
机械振动：物
体在一定位置的 附近作来回往复 的运动(周期性 或非周期性)
成因：物体的惯性和所受的回复力
一.简谐振动的特征
简谐振动:物体距平衡
位置的位移(或角位移) 随时间按余弦(或正弦) 函数变化
1.动力学特征 胡克定律：物体 所受弹性力与物 体的位移成正比 而反向
解：由旋转矢量法得
2 4 或 3 3
A
4 A 3 2 2
A
O
x
三.相位差和相位的超前与落后 设 x1 A1 cos(1t 1 )
x2 A2 cos( 2 t 2 )
相位差 ( 2 t 2 ) (1t 1 )
( 2 1 )t ( 2 1 ) 同频率 2 1 时 2 1 ----初相差与t 无关
0 即 2 1
----同相
即 2 1
----反相
0 即 2 1
----第二个谐振动超前 第一个谐振动
F 0
m
0
F
x
m
0
x
即
F kx
----动力学特征
2.运动学特征
d x F m 2 kx dt 2 k d x 2 2 令 2 x 0 m dt
解得
2
x A cos( t )
位移
x A cos( t )
----简谐振动表达式