期权定价原理(PDF 28页)
期权定价的基本原理及方法
一个简单套利的例子
• 对一个欧式买权，假设 c=3 S0 = 20 T=1 r = 10% K = 18 D=0 • 这个期权的定价是否存在套利机会呢?
为了说明这个问题，我们可以构造如下简单的组合： 卖出一份股票，然后买入一份买权，多余的资金买入相同期限的无风险债券。 该组合初始投入为零。
买权到期时组合的收益情况: 若,ST K 执行期权，获得一份股票，该组合的收益为 Pay off=(S0 c) * (1 r) K (20 3) * (1 0.1) 18 0.7 若，ST K 不执行期权，通过市场买入一份股票，该组合的收益为 Pay off=(S0 c) * (1 r) ST (20 3) * (1 0.1) 18 0.7 因此，无论股价朝哪个方向运行，我们的策略都可以获得大于0. 元的利润。 7 所以这个期权的定价明显偏低。
11 12 13
期权价格 期权价格
买权价格
0 5
10
5
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 19 18 17 16 15
期权内在价值 利率增加后的价格 红利率增加后的价格
14
利率对买权价值的影响
红利对买权价值的影响
2年期期权价格 期权内在价值 5年期期权价格
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
期权价格
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
期权内在价值 波动率增加后的价格
期限对买权价值的影响
波动率对卖权价值的影响
买权价格
10 15 20 25 10 15 20 25 0
12第十二章期权定价理论
FP
7
❖ 看跌期权的执行净收入，被称为“看跌期权到期 日价值”，它等于执行价格减去股票价格的价差 。 ——（股票价格≥执行价格，到期日价值为0）
• （3）到期日
——到期日之后，期权失效（欧式期权、美式期权）
• （4）期权的执行
——依据期权合约购进或售出标的资产的行为（执行价格）
FP
4
3、看涨期权和看跌期权
❖ （1）看涨期权——指期权赋予持有人在到期日或到期日 之前，以固定价格购买标的资产的权利。（也叫择购期权 、买入期权、买权）
❖ 例如：一股每股执行价格为80元的ABC公司股票的3个月 后到期的看涨期权，允许其持有人在到期日之前的任意一 天，包括到期日当天，以80元的价格购入ABC公司的股 票。（与ABC公司的股票市价进行对比，决定是否执行期 权）
FP
24
❖ ① “实值期权”：当执行期权能给持有人带来正回报时
，称该期权为实值期权，或说它处于“溢价状态”。
❖ ②“虚值期权”：当执行期权给持有人带来负回报时，称 该期权为“虚值期权”，或说它处于“折价状态”。
❖ ③“平价期权”：当资产的现行市价等于执行价格时，称 期权为“平价期权”，或说它处于“平价状态”。
FP
12
2、卖出看涨期权
❖看涨期权的出售者收取“期权费”，他处于空头 状态，持有看涨期权空头头寸。
❖ [例2]卖方出售1股看涨期权，其他数据与前例相同。标
的股票的当前市价为100元，执行价格为100元，到期日 为1年后的今天，期权价格为5元。其到期日的损益有以下 四种可能：
期权定价理论
期权定价理论期权是一种独特的衍生金融产品，它使买方能够避免坏的结果，同时，又能从好的结果中获益。
金融期权创立于20世纪70年代，并在80年代得到了广泛的应用。
今天，期权已经成为所有金融工具中功能最多和最激动人心的工具。
因此，了解期权的定价对于了解几乎所有证券的定价，具有极其重要的意义。
而期权定价理论被认为是经济学中唯一一个先于实践的理论。
当布莱克（Black）和斯科尔斯（Scholes）于1971年完成其论文，并于1973年发表时，世界上第一个期权交易所——芝加哥期权交易所（CBOE）才刚刚成立一个月（1973年4月26日成立），定价模型马上被期权投资者所采用。
后来默顿对此进行了改进。
布莱克—斯科尔斯期权定价理论为金融衍生产品市场的快速发展奠定了基础。
期权定价理论并不是起源于布莱克—斯科尔斯定价模型（以下记为B—S定价模型）。
在此之前，许多学者都研究过这一问题。
最早的是法国数学家路易·巴舍利耶（Lowis Bachelier）于1900年提出的模型。
随后，卡苏夫(Kassouf，1969年)、斯普里克尔（Sprekle，1961年）、博内斯（Boness，1964年）、萨缪尔森（Samuelson，1965年）等分别提出了不同的期权定价模型。
但他们都没能完全解出具体的方程。
本讲主要讨论以股票为基础资产的欧式期权的B—S定价理论。
一、预备知识（一）连续复利我们一般比较熟悉的是以年为单位计算的利率，但在期权以与其它复杂的衍生证券定价中，连续复利得到广泛的应用。
因而，熟悉连续复利的计算是十分必要的。
假设数额为A 的资金，以年利率r 投资了n 年，如果利率按一年计一次算，则该笔投资的终值为n r A )1(+。
如果每年计m 次利息，则终值为：mnmr A )1(+。
当m 趋于无穷大时，以这种结果计息的方式就称为连续复利。
在连续复利的情况下，金额A 以利率r 投资n 年后，将达到：rn Ae 。
期权定价课件
2020/4/17
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• 到期时间
• 较长的到期时间能增加看涨期权的价值；
• 利率
• 高利率降低执行价格的现值，看涨期权的价值增加；
• 股票的股利收益率
• 高股利分配政策将减少看涨期权的价值
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二叉树期权定价模型
• 假设股票现在的价格为100美元，年末，股价要么在 乘数u=1.2作用下上升至120美元，要么在乘数d=0.9 的作用下下降至90美元。该股票的一个看涨期权的 执行价格为110美元，到期时间是一年，利率是10%。 则该年末看涨期权的持有人的收入要么为零（股价 下跌时），要么为10美元（当股价升至120美元时）
了；
• 其中：C0是当前看涨期权的价值 • S0是当前股票价格； • N(d)是随机地偏离标准正态分布的概率小于d;
• X是执行价格；
• δ是标的股票的年股利收益率；
• R是无风险利率
• T是期权到期前的时间（以年为单位）
• σ是股票连续年收益率的标准差
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• 例子：对一个看涨期权定价：
• 启示：只要给出股票价格、执行价格、利率和股价 的波动性，就可以算出期权的公平价格
• 大部分的期权定价公式都运用了“复制”这个概念
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布莱克—斯科尔斯期权定价模型
•
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• 利率r和方差 σ2都是常量 • 股票价格是连续的，即突然的、剧烈的价格波动被排除
第三章 期权定价
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1
内在价值与时间价值
期权定价理论课件
除了金融资产，现实中还存在许多非金融资产，如房地产、艺术品等。将这些资产的价格和风险特性纳入期权定 价模型中，可以更好地服务于实物期权定价和风险管理。
运用计算机技术提高模型计算效率
采用更高效的算法
随着计算机技术的发展，可以采用更高效的算法来计算期 权价格，如蒙特卡洛模拟算法、有限元方法等。这些算法 可以更快地得到期权价格估计值。
、城市规划、自然资源开发等多个领域。
06
期权定价理论的发展趋势与展望
改进现有模型的局限性
01
引入更复杂的因素
随着金融市场的变化和经济的发展，期权定价理论需要引入更多的影响
因素，如宏观经济因素、市场情绪因素等，以更准确地预测期权价格。
02 03
完善假设条件
现有的期权定价模型通常基于一些假设条件，如无摩擦市场、完全竞争 等。为了更真实地反映市场情况，需要进一步放宽或修改这些假设条件 。
期权类型
按行权时间可分为欧式期 权和美式期权；按交易场 所可分为场内期权和场外 期权。
期权持有者权利
期权持有者具有在到期日 之前按照行权价买入或卖 出标的资产的权利。
期权定价模型的起源与发展
起源
期权定价模型最初由BlackScholes模型和二叉树模型两
种主要方法所主导。
发展历程
随着金融市场的不断发展和完善， 各种新型期权定价模型如随机波动 率模型、跳跃扩散模型等逐渐被引 入。
：P = (1 - e^(-rT)) / (1 + d) - K / (1 + d)^T, 其中P表示期权价格，r表示无风险利率，T表示时间步长，d表 示上涨与下跌的比率。 • 模型应用：基于二叉树模型的数字期权定价方法适用于美式期权和欧式期权的定价，具有较高的计算效率和适 用性。
第六章期权定价理论
情况二： ，那么期权持有者在期权1上亏损： 元，期权2也亏： 元；
情况三： ，期权1的亏损仍为2.21元，而期权2的亏损则为 元，期权1的亏损小于期权2。
由此可见，无论未来A股票的涨是跌还是平，期权1均优于期权2，因此期权1的时间价值不应该等于期权2，而应该大于期权2。
（3.2）
由（3.1）和（3.2），我们知：
在这里， 和 是未知量。解之得：
（3.3）
那么
（3.4）
由无套利假设知：
事实上，若 ，则用无风险利率借入 的资产，然后购买一支股票，在到期日 时，股票的最少价格为 ，用卖出股票的钱还债则有无风险收益（最少）：
这个组合是一套利机会，与假设相矛盾。同理可得： 。
例1设股票价格为 ，股票价格以 的概率向上和向下波动，无风险利率为15%， ， ，那么股票的变化情况为
试求协议价格为 的看涨期权的价格（到期日就是T时刻）。
解：由上面的分析，
，
， ，
所以看涨期权的价格为
说明：1、由此可知，构造投资组合所需的投资为： ，而在期末投资的总价值为： ；
2、此投资组合的回报率为：
股票S：经历两期，每期都有两个状态：向上 ，向下 。不妨假定： ， 。
根据假定，可知：
由一期模型的讨论知：风险中性概率
，
我们考虑看涨期权：到期日为 时刻，敲定价格为 。那么在 时刻，期权金
从 到 ，可以看作一期模型，因此可以得到：
同理，从 到 仍可以看作一期模型，那么有
得：
如果期权的执行价格为 ，则 ， ， ，则期权的价格为
（元）
第三节B—S期权定价公式
期权定价原理及应用
原则：世上没有免费的午餐，你必须为你的权利 埋单！那么，如何给“权利”定价？ Q1：“权利”给你带来了什么好处？ A1：可以按约定以优于市场的价格买入或者卖出 标的。以“long call”为例，若当前市场价格大于 执行价格（S＞X），以X的价格买价值为S的标的， 净赚S-X。
Q2：如何为“权利”埋单？ A2：根据无免费午餐法则（风险中性理论）：假 如你有一 定的可能性未来吃到午餐（通过权利获 取收益），那么在订立合约之初，你就得为这顿午 餐提前埋单。而价格就为未来可能收益的“折现”。 即： C=（S-X）*P*折现因子 其中，P就是代表可能性
1，对于负值的Gamma，得到与前述相反的结论 2，期权的多头拥有正值的Gamma，投资者拥有正 值的Gamma意味着：标的资产往头寸有利方向变 动时，头寸增值速度加快，往不利方向变动时，头 寸价值速度降低。因此，拥有正值的Gamma对投 资者有利。
标的资产 90.00 → 剩余到期时间 30 → 90 Call
变动
90.00 → 90.00 20 → 10
−0.67
3.63 → 1.48 →
2.96 → 0.94 →
96 Call
变动
−18% −36%
−0.54
−29% −61%
−0.58
−0.87
2.09 0.36
期权价值
剩余到期时间
-0- 天
期权随着时间流逝，其价值逐渐衰减. 不同类型的期权对 应不同的减值速度 (实值，平值，虚值)
白糖1309期货合约 剩余到期时间 (50天期权) 4800 Call 330 5000 Call 150 5200 Call 70 5400 Call 25
第九章 期权定价理论
现货看涨期权的定价模型
假设年利率为20％，有效期限为半年，敲定价格为$105， 股票现行价格为$100，股票价格波动率为5%。那么，该股票 欧式看涨期权的价格为多少？
显然，S0＝1OO，X＝105，r＝0.20，t＝0.50，σ＝0.05 用公式计算：
d1=1.47 ； d2=1.43
查正态分布数值表（标准正态曲线下的面积—累积概率）： N(d1)=N(1.47)=0.9292； N(d2)=N(1.43)=0.9236 用公式计算： C = $5.17
p≥max[D+Xe-r(T-t)－S，0]
19
期权价格的下限
美式看涨期权价格的下限
无收益资产美式看涨期权价格的下限
提前执行无收益资产美式看涨期权是不明智的。因此，同 一种无收益标的资产的美式看涨期权和欧式看涨期权的价值是 相同的，即：C=c 我们可以得到无收益资产美式看涨期权价格的下限： 由于r>0，所以C>max(S－X,0)
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一、布莱克—斯科尔斯模型的假 设条件
布莱克—斯科尔斯模型共有七个假设条件：
(1)期权的基础资产是股票，该股票允许被自由地买进或卖出； (2)期权是欧式是看涨期权，在期权有效期内其基础资产不存在现金股利的支
付；
(3)市场不存在交易成本和税收，所有证券均完全可分割； (4)市场不存在无风险的套利机会；
p S Xe r (T t ) p Xe r (T t ) S
由于期权价值一定为正，因此无收益资产欧式看跌期权价格下限为：
p max[Xe r (T t ) S ,0]
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期权价格的下限
有收益资产欧式看跌期权价格的下限
我们只要将上述组合B的现金改为就可得到有收益 资产欧式看跌期权价格的下限为：
期权定价理论
期权定价理论期权定价理论是衡量期权合约价格的数学模型。
它基于一系列假设和推导出的公式，通过评估期权的相关因素来确定其合理的市场价格。
这些因素包括标的资产价格、期权执行价格、期限、波动率以及无风险利率等。
期权的定价理论中最著名的模型是布莱克-斯科尔斯模型（Black-Scholes Model）。
该模型基于以下假设：市场无摩擦，即不存在交易费用和税收；标的资产价格服从连续时间的几何布朗运动；期权可以在任意时间点以市场价格进行买卖。
布莱克-斯科尔斯模型通过以下公式计算欧式期权的价格：C = S0 * N(d1) - X * e^(-r * T) * N(d2)其中，C是期权的市场价格，S0是标的资产的当前价格，N()是标准正态分布函数，d1和d2分别是两个维度上的标准正态分布变量，X是期权的行权价格，r是无风险利率，T是期权剩余时间。
布莱克-斯科尔斯模型的原理是通过构建组合，使得期权价格与标的资产价格的变动相对冲，从而消除风险。
通过调整组合中的权重，可以确定合理的期权价格。
这一模型在市场上得到广泛应用，被视为期权定价的标准模型之一。
除了布莱克-斯科尔斯模型外，还有其他一些期权定价模型，如考虑股息的期权定价模型、跳跃扩散模型等。
这些模型在不同情况下，可以更准确地预测期权价格。
需要注意的是，期权定价理论是基于一系列假设和前提条件建立的。
市场实际情况中可能存在不符合这些假设的情况，因此实际期权价格可能与模型计算结果存在一定的差异。
此外，期权定价也受到市场供求关系、交易量以及市场情绪等因素的影响。
总之，期权定价理论是一种基于数学模型的方法，用于评估期权合约的合理价格。
布莱克-斯科尔斯模型是最著名的期权定价模型之一，通过构建相对冲抗风险的组合来确定期权价格。
然而，需要注意实际市场中的差异和其他影响因素。
期权定价理论是金融衍生品定价的核心理论之一，它对金融市场的有效运行和风险管理起着重要作用。
期权是一种约定，赋予期权持有人在未来某个特定时间以特定价格买入或卖出某个标的资产的权利，而不是义务。
期权定价理论课件
证券业协会
协助证监会和期交所进行 监管，促进期权市场的健 康发展。
期权市场的法规要求
交易规则
规定期权交易的流程、交易方式、交易时间等。
投资者适当性
确保只有符合一定条件的投资者才能参与期权交易。
信息披露
要求期权发行方及时、准确地进行信息披露。
期权市场的道德规范
诚信原则
01
所有参与期权市场的机构和个人都应遵守诚信原则，不得进行
欺诈、内幕交易等行为。
公平原则
02
确保所有投资者在期权交易中享有平等的权利和机会。
公正原则
03
监管机构应对所有市场参与者一视同仁，维护市场的公正性。
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策略是赚取权利金，获得赚取现金的机会。
日历价差期权组合
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动态对冲策略
动态对冲策略
策略是根据市场走势，不断调整持仓 比例，以降低风险。
动态对冲策略
策略是根据市场走势，不断调整持仓 比例，以降低风险。
05
期权的风险管理
希腊字母在风险管理中的应用
希腊字母
Delta、Gamma、Vega、Theta、Rho、 Lambda
应用
有限差分法广泛应用于金融衍生品定 价、数值分析和科学计算等领域。
03
期权定价的数学基础
概率论基础
概率空间
定义了随机事件、样本空间和概 率测度的概念，为期权定价提供 了基础的概率框架。
随机变量
描述了标的资产价格的可能取值 ，通过随机变量的期望和方差来 评估标的资产的预期收益和风险 。
条件概率与独立性
要点二
详细描述
期权定价是确定期权价值的过程，对于投资者和交易者来 说至关重要。通过合理的期权定价，投资者可以更好地评 估期权的风险和收益，从而做出更明智的决策。同时，对 于交易者来说，了解期权的定价原理和机制有助于制定更 好的交易策略，提高盈利机会。此外，期权定价理论也是 金融工程和风险管理等领域的重要基础。
第5章 期权定价理总结
5.1.4二项式期权定价模型
2．单期二项式期权定价模型 存在两个时刻，时刻0表示现在， 时刻1表示将来， 用s表示在0时刻的股票价格，在时刻1股票价格是随机变量， 设有两种状态：价格上涨u倍（u>1），下跌d倍（d<1）, 设无风险利率为 rf ， 令r = 1 + rf ，
5.1.3期权的应用举例
如果该股票的价格在期权到期时，依然低 于期权的施权价80美元，投资人就要以80 美元的价格买入1000股股票，由于执行期 权而产生的现金支出为8000美元，减去期 权费10500美元，总支出69500美元。
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5.1.4二项式期权定价模型
1．模型的假设 （1） 资本市场是完全竞争的市场； （2） 不考虑交易成本的税收； （3） 无卖空限制； （4） 市场存在无风险资产，其利率是固定的； （5） 股票不支付红利； （6） 投资者是理性的；
P = C - S + Ee- rt = 3 - 39 + 46e
-
1 4
= 3.50 > 2
因此，C，P不符合买入、卖出期权平价。
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5.1.2买入期权与卖出期权平价
如果投资者构造下述投资组合： 出售一单位买入期权 +3 购买一单位卖出期权 -2 买入一单位股票 -39 按5%借入现金 +39.50 当前现金收入 +1.50
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5.1 期权概述及二项式定价公式
卖出期权在执行日的价值P为：
0 P E S
SE SE
币内期权（in the money ）、 期权可分为 币上期权（at the money ）
第5 章 期权定价理论
第5章 期权定价理论5.1 期权概述及二项式定价公式期权交易最早始于股票期权，已有数十年历史，而利率期权、外汇期权、股价指数期权等都是在股票期权的基础上，在八十年代初发明的新的投资工具。
期权交易早已有之，1973年以前，在美国就存在场外的期权交易。
由于这种交易是直接交易，交易费用很高，而且没有相应的期权二级转让市场，所以期权交易很不活跃。
1973年4月26日，芝加哥期权交易所正式挂牌，此后，投资者对期权交易很有兴趣，期权交易迅速增长。
在美国证券交易所、费城证券交易所、太平洋证券交易所等也引进了期权交易。
此外，在美国以外的欧洲、美洲的一些国家也有着非常活跃的各类期权交易。
期权市场的建立和完善保证了期权交易的发展，除此以外，70年代，80年代金融市场、商品市场的剧烈波动使得一些投资者纷纷采取期权战略进行保值，降低组合投资的风险。
而另一些投资者则利用期权作为投机工具，希望通过短线操作赚钱，所有这些因素促使期权交易迅速发展。
5.1.1期权及其由关概念1．期权的定义期权分为买入期权（Call option）和卖出期权（Put option）买入期权又称看涨期权、敲入期权，它是给予其持有者在给定时间，或在此时间之前的任一时刻按规定的价格买入一定数量某种资产的权利的一种法律合同。
卖出期权又称看跌期权、敲出期权，它是给予其持有者在给定时间，或在此时间之前的任一时刻按规定的价格卖出一定数量某种资产的权利的一种法律合同。
2．期权的要素（1）施权价（exercise price 或striking price）期权合同中规定的购入或售出某种资产的价格，称期权的施权价。
（2）施权日（maturing data ）期权合同规定的期权的最后有效日期称为期权的施权日或到期日。
（3）标的资产（underlying Asset）期权合同中规定的双方买入或售出的资产为期权的标的资产。
(4) 期权费（option premium）123124买卖双方购买或出售期权的价格称为期权费或期权价格。
期权定价理论
期权定价理论期权是一种独特的衍生金融产品，它使买方能够避免坏的结果，同时，又能从好的结果中获益。
金融期权创立于20世纪70年代，并在80年代得到了广泛的应用。
今天，期权已经成为所有金融工具中功能最多和最激动人心的工具。
因此，了解期权的定价对于了解几乎所有证券的定价，具有极其重要的意义。
而期权定价理论被认为是经济学中唯一一个先于实践的理论。
当布莱克（Black ）和斯科尔斯（Scholes ）于1971年完成其论文，并于1973年发表时，世界上第一个期权交易所——芝加哥期权交易所（CBOE ）才刚刚成立一个月（1973年4月26日成立），定价模型马上被期权投资者所采用。
后来默顿对此进行了改进。
布莱克—斯科尔斯期权定价理论为金融衍生产品市场的快速发展奠定了基础。
期权定价理论并不是起源于布莱克—斯科尔斯定价模型（以下记为B —S 定价模型）。
在此之前，许多学者都研究过这一问题。
最早的是法国数学家路易·巴舍利耶（Lowis Bachelier ）于1900年提出的模型。
随后，卡苏夫(Kassouf ，1969年)、斯普里克尔（Sprekle ，1961年）、博内斯（Boness ，1964年）、萨缪尔森（Samuelson ，1965年）等分别提出了不同的期权定价模型。
但他们都没能完全解出具体的方程。
本讲主要讨论以股票为基础资产的欧式期权的B —S 定价理论。
一、预备知识（一）连续复利我们一般比较熟悉的是以年为单位计算的利率，但在期权以及其它复杂的衍生证券定价中，连续复利得到广泛的应用。
因而，熟悉连续复利的计算是十分必要的。
假设数额为A 的资金，以年利率r 投资了n 年，如果利率按一年计一次算，则该笔投资的终值为n r A )1(+。
如果每年计m 次利息，则终值为：mnmr A )1(+。
当m 趋于无穷大时，以这种结果计息的方式就称为连续复利。
在连续复利的情况下，金额A 以利率r 投资n 年后，将达到：rnAe 。
期权定价原理及其应用概述
人工智能和机器学习技术在期权定价中的应用涉及到金融 学、数学、统计学等多个学科的交叉。这种跨学科的研究 和应用有助于推动期权市场的发展和创新。
感谢您的观看
THANKS
02
期权定价模型的应用
金融衍生品定价
总结词
金融衍生品是依赖于基础资产价格变动的金融产品，期权定价模型为其提供了定 价依据。
详细描述
金融衍生品包括远期合约、期货、期权等，它们的价格与基础资产价格密切相关 。期权定价模型通过考虑多种因素，如基础资产价格波动、利率、汇率等，为这 些金融衍生品提供合理的定价。
总结词
人工智能和机器学习的广泛应用
详细描述
人工智能和机器学习技术基于大量数据进行分析和预测， 为投资者提供更加准确和及时的决策支持。
详细描述
近年来，人工智能和机器学习技术在期权定价中得到了广 泛应用。这些技术有助于提高定价精度和效率，降低人为 干预的风险。
总结词
数据驱动的决策
总结词
交叉学科的研究和应用
信用衍生品定价模型
信用衍生品
信用衍生品是指基于信用风险的金融衍生品 ，如信用违约掉期、信用联结票据等。
定价模型
信用衍生品定价模型根据债务人的信用评级 、违约概率等信息，对信用衍生品进行定价 。常见的信用衍生品定价模型有违约概率模
型、结构化模型等。
04
期权定价模型在实践中的 挑战和解决方案
市场不完全有效性问题
详细描述
期权定价模型可以帮助保险公司根据潜在的风险和收益计算保费，以实现保险产品的合理定价。此外 ，该模型还可以用于评估保险公司的投资组合风险和回报，以制定更为合理的投资策略。
03
期权定价模型的扩展
随机过程和跳跃扩散模型
期权定价理论
Su - K Cu = Max {
0 Sd - K Cd = Max { 0
2. 定价原理 股票价格
Su =120 100
Sd = 80
期权价值
Cu =20 C
Cd = 0
如何来求解期权到期前的价值C？ • 我们可以通过构造一份无风险资产组合的方法来
第三节 双向式期权定价模型（Binomial Option`s Pricing Model）
1．模型的假定(以股票为例) 某种股票的现行市场价为每股S0,一段时
间后，股票的价格可能出现两种变化： 股价上涨（Su） 股价下降（Sd） 设定未来的价格变化只有以上这两种可
能。
在看涨期权到期时，期权的价值有可能增加或减 少：
第八讲 期权定价理论
• 模型如同汽车：你可以拥有世界上 最好的汽车，但是如果你没有拥有 合适的驾驶技能，纵然是最好的汽 车也无法保护你免于车祸。
－－－ Mamdouh Barakat
Risk,1997
期权定价的两种基本思路:
一种方法是对基础金融资产在期权有效期内的价 格变动作出假定，进而估计期权到期时的预期价格 。利用这种方法对期权定价就是著名的布莱克—斯 科尔斯模型。
上利用金融产品在不同的时间和空间上所存 在的定价差异、或不同金融产品之间在风险 程度和定价上的差异，同时进行一系列组合 交易，获取无风险利润的行为。
2．跌——涨平价定理（put-call parity） 推导.
将以下几笔交易组合起来，构成某种综
合金融结构：
• 某投资者借入一笔资金 • 用这笔资金购买股票
另一种定价方法是在出售期权时，设计一种无风 险保值方案，然后根据基础金融资产市场价格的变 化，对这种保值方案不断进行调整，直至期权到期 。这种期权定价方法就是所谓的“双向式模型”。
期权定价原理
期权定价原理永安期货研究院周博2013年5月⏹期权定价模型的演化历程⏹期权定价模型及原理⏹影响期权定价的因素⏹期权风险参数及其应用期权定价模型的演化历程⏹B-S模型之前的期权定价理论⏹B-S模型期权定价理论⏹B-S模型之后的期权定价理论B-S模型之前的期权定价理论（一）Bachelier（1900）（二）Sprenkle（1964）（三）Boness（1964）（四）Samnelson（1965）B-S模型期权定价理论Black与Scholes（1973）提出，推导出了无红利支付股票的衍生证券所需满足的微分方程，并根据欧式期权所确定的边界条件，给出了股票欧式期权价值的解析表达式。
B-S模型之后的期权定价理论（一）连续股利支付的B-S定价模型（Merton（1973））（二）随机无风险利率的B-S定价模型（Merton（1976））（三）带跳的B-S定价模型（Cox和Ross（1975））（四）波动率修正的B-S定价模型（Black和Cox（1976））“波动率微笑”效应（五）CRR二项式定价模型（Cox，Ross和Rubinstein（1979））（六）美式期权定价模型研究（Barone-Adesi和Whaley（1987））期权定价模型及原理⏹B-S期权定价模型（欧式现货期权）⏹Black（76）期权定价模型（欧式期货期权）⏹二叉树期权定价模型（欧式、美式、现货、期货）B-S期权定价模型⏹假设：标的价格服从标的价格波动率和预期收益率为常数的几何布朗运动，即⏹原理：通过卖出一手看涨期权，买入份股票，构造了一份无风险投资组合由无套利原理可知，该组合的收益率和无风险资产的收益率相同，即⏹场景：印度国家证券交易所（NSE）采取Black-Sholes模型为S&P CNX Nifty指数期权提供参考价。
⏹优点：封闭解析解，计算速度快，精确。
⏹缺点：适用范围有限，不能计算美式期权。
Black（76）期权定价模型⏹介绍：由Fischer Black在1976年的《商品合约的定价》一文中首次详述。
期权定价理论
期权定价理论期权定价是所有金融应用领域数学上最复杂的问题之一。
第一个完整的期权定价模型由Fisher Black和Myron Scholes创立并于1973年公之于世〔有关期权定价的进展历史大伙儿能够参考书上第358页，有爱好的同学也能够自己查找一下书上所列出的经典文章，只是这要求你有专门深厚的数学功底才能够看明白〕。
B—S期权定价模型发表的时刻和芝加哥期权交易所正式挂牌交易标准化期权合约几乎是同时。
不久，德克萨斯仪器公司就推出了装有依照这一模型运算期权价值程序的运算器。
现在，几乎所有从事期权交易的经纪人都持有各家公司出品的此类运算机，利用按照这一模型开发的程序对交易估价。
这项工作对金融创新和各种新兴金融产品的面世起到了重大的推动作用。
为此，对期权定价理论的完善和推广作出了庞大奉献的默顿和Scholes在1997年一起荣获了诺贝尔经济学奖〔Black在1995年去世，否那么他也会一起获得这份殊荣〕。
原始的B—S模型仅限于这类期权：资产可用于卖出期权；能够评估价值，资产价格行为随时刻连续运动。
随后建立在原始的B—S模型上的研究以及许多其他期权定价模型的变体相继显现，用于处理其他类型的标的资产以及其他类型的价格行为。
在大多数情形下，期权定价模型的推倒基于随机微积分〔Stochastic Calculus〕的数学知识。
没有严密的数学推演，演示这种模型只是摸棱两可的。
但是，这并非要紧的问题，因为确定期权公平价格的必要运算已自动化，且达到上述目的的软件在大型运算机及微机中均可获得。
因此，在那个地点，我只简单介绍一下B—S模型的关键几个要素，至于具体的数学推导〔专门复杂〕，感爱好的同学能够在课后阅读一下相关资料〔一样差不多上在期权定价理论章节的附录中〕。
第一，我们来回忆一下套利的含义套利套利〔arbitrage〕通常是指在金融市场上利用金融产品在不同的时刻和空间上所存在的定价差异、或不同金融产品之间在风险程度和定价上的差异，同时进行一系列组合交易，猎取无风险利润的行为。
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“走进期权”系列（第8期）
——期权定价原理
一、期权定价背景
郁金香期权合约
17世纪出现了具有期权性质的合约——郁金香期权合约，可以作为套保或投资工具
注：有关“郁金香事件”可参见第6期相关内容
决定合约价格
劳伦斯·巴施里耶Louis Bachelier
开创期权定价理论研究
先河
TIPS：
布朗运动——是一种正态分布的独立增量连续随机过程
1900年，在论文《投机理论》中首次股票期权进行定价运用布朗运动对股票价格变化给予了严谨的数学描述
劳伦斯·巴施里耶Louis Bachelier
局限性价格随机游走
股价可能为负值未考虑货币的时间价值
研究模型具有以下局限性：
理念超前，无人问津劳伦斯·巴施里耶
Louis Bachelier
巴施里耶领先于时代的研究在当时并
未得到重视，甚至花了很长一段时间才在
一个不出名的大学获得教职。
他的论文原稿曾一度遗失，直到20世
纪50年代才被萨缪尔逊重新进行评价。
虽然巴施里耶的研究存在问题，但实际上该模型对预测短期看涨期权的价格仍非常适用。
20世纪60年代
场外期权交易逐渐活跃，巴施里耶的理论被学者们重新认
识，学术界激起一波期权定价研究的潮流
……
各种经验公式、计量定价模型
纷纷问世
BS模型问世
1973年，Black和Scholes运用了无套利定价方法，构造一个由标的股票和期权的适当组合，使得组合收益不受价格波动影响，在此基础上，得出了欧式认购期权的定价公式。
在实证中发现，BS定价公式给出的理论价格和市场价格非常接近。
标的股票
期权
二、期权定价原理
预备知识
利用一个或多个市场存在的价格差异，可以在没有任何损失且无
需自有资金的情况下获取利润
套利
小进
小进发现，国外奢侈品价格几乎是国内的一半，如果进行代购生意利润非常可观。
于是在出国前，小进接了许多代购订单，并回国销售从而套利。
当越来越多的小进加入代购队伍，
销售价格将会被逐步压低
套利的利润空间渐渐压缩，
最终支出成本可能会大于收益
套利机会消失，回到均衡状态
金融市场中价格变化非常快，因此套利机会一闪即逝，价格上的
“错误”会被及时修正
在市场不存在套利机会的前提下，经典BS模型通过构建无风险组合
对期权进行定价
无风险组合的收益率
等于
市场无风险利率
STEP 1-1
定义字母
S 0
期初期末
S u
S d
股票价格
基础定价解析
基础
=
假设期末股票只可能上涨至S u 或下跌至S d 两种情况
u d
上升系数下降系数S 0
S u =
S 0
S d 期初与期末股价关系可以用升降系数表示：
C 0
期初
期末
C u
C d
期权价格
假设某认购期权行权价格为K ，该期权价格的涨跌变化与股价变化相对应
STEP 1-2
定义字母
上涨
下跌
C u =max(S u -K,0)
C d =max(S d -K,0)
到期时，期权价格为内在价值，则：
STEP 2
构建组合
卖出
1
份认购期权
买入
H
份股票
思路：假设构建这样一个组合，组合包括1份期权与H 份股票
+
1份×C H 份×S
组合
期初资产
多头——股票：HS 0空头——期权：C
HS 0-C 0
STEP 3
计算期末资产
股票上涨
股票下跌
HuS 0-C u HdS 0-C d
根据对应价格计算
组合
期末资产
STEP 4计算H
思路：寻找适当的H，使得无论标的价格上涨还是下跌，投资者持有的组合
在期末价格都是相同的
HuS0-C u HdS0-C d
=
H=C u-C d (u-d)S0
期末收益
涨跌
STEP 5以无风险利率
r 计算期末收益
思路：由于组合实已锁定期末收益，股价不受市场风险影响，因此组合期末应获得无风险收益
期初投资
期末收益
HS 0-C 0(HS 0-C 0)(1+r)
=
HuS 0-C u HdS 0-C d
联立期末收益等式，可以计算出C 0
无论涨跌
等式均成立
涨跌
期末收益获得无风险收益
STEP 6
计算权利金C 0
1
C 0=
(u-d) (1+r)
联立等式可得：
2
由于到期时，期权时间价值为0，只剩下内在价值，则：
C u =max(uS 0-K,0)C d =max(dS 0-K,0)
(1+r-d) C u + (u-1-r) C d
现在市场上有个认购期权（行权价格100元）价格为7元，挂钩的标的证券现价100元，期末可以涨至110元
或跌至90元，那购买这个期权是否合算呢？
期权市场价格期权理论价格
7元
佳佳
其中，
股票现价S=100期权执行价格K=100
上升系数u=1.1 下降系数d=0.9
无风险利率r=5%
根据推导公式，可以计算得到期权理论价格
C 0 =(u-d) (1+r)
(1+r-d) C u + (u-1-r) C d
=
(1.1-0.9) (1+5%)
(1+5%-0.9) ×(1.1×100-100)+ (1.1-1-5%) ×0
= 7.15元
佳佳
还是详细来看一下推导过程吧！
C u =max(uS 0-K,0)C d =max(dS 0-K,0)
推导过程100
110
90
到期时期权价格
10
=max(110-100,0)
=max(90-100,0)
H=10-0
（1.1-0.9）×100
= 0.5
即购买0.5份股票，
卖出1份认购期权可
以构成无风险组合股票涨跌变化
组合构建
首先，构建无风险组合，计算H
组合期末收益=H ×S-C 上涨
下跌
=0.5×110-10=45=0.5×90-0=45
期末收益
45元
根据step 5可知,由期初投资计算出的期末收益与上值相等
(HS 0-C 0)(1+r)=45
(0.5×100-C 0)(1+5%)=45
期权价格为
7.15元
购买0.5份股票，卖出1份认购期权
无风险组合
以无风险利率计算
佳佳
然后，将期末收益的两个等式联立计算
期权市场价格期权理论价格7元7.15元
佳佳
计算后可以发现，期权价格实际被低估了，因
此应该果断买入期权，这个期权价格非常合算！
期权价格被低估
进阶定价解析进阶
u与d可以使用波动率来确定
标的证券波动率越大，
上升、下降系数越大
TIPS：
波动率一般参考标的证券的历史波动率，或者期权的隐含波动率进行设定
上述案例中股票价格仅发生两种变化，实际上股票价格千变万化，因此在定价过程中还需引入“波动率”概念。
无风险利率波动率
股票现价行权价格
时间期限将前述模型的时间段看成非常小的区间
极限+积分
推导得到经典的BS公式
综合考虑相关要素
BS模型被广泛应用于海外期权产品的定价，在期权市场数十年的发展过程中得到了检验，被证实为有效的。
参数
)
()(210d N Ke
d N S c rT
--=)
()(102d N S d N Ke
p rT
---=-()T
T
r K S d σσ）2/(/ln 201++=
T
d d σ-=12认购期权价格：认沽期权价格：
其中
C ：认购期权权利金P ：认沽期权权利金
S 0：标的资产现价K ：行权价格
T ：剩余期限r ：无风险利率
N(d 1)、N(d 2)：标准正态累积分布函数
公式
，
下期预告：“走进期权”系列（第9期）
——期权组合投资策略之二
未完待续……。