二维随机变量的定义、分布函数

Ae
(2 x 3 y)
故A 6.
(2 x 3 y ) 6 e , x 0, y 0 求：⑵F(x,y)； f ( x, y) 0, 其它
解（ 2） 当x 0, y 0时，
F ( x, y)
6e 0 0
x y
( 2 x 3 y )
0
-1
1
2
X
Y X
-1
0
1 2


Y


F ( x , y ) P{ X x , Y y } 1 P{ X 1, Y 1}
X
当 1 x 2 且 1 y 0 时
0
-1
1
2
4
Y X
-1
0
1 2


Y


P{ X 1, Y 1}
当 2 x, 且 1 y 0 时 F ( x , y ) P { X x , Y y }
例1 飞机的重心在空中的位置是由 三个随机变量(三个坐标)来确定的.
身高Y
例2：检查某大学的全体学生的身体状况,
从其中随机抽取一个学生，
分别以X 和Y 表示其体重和身高.
体重X
例如 E：抽样调查15-18岁青少年的身高 X与体重 Y,
以研究当前该年龄段青少年的身体发育情况。
任务： 需要研究的不仅仅是X及Y各自的性质，
3.1.3 二维连续型随机变量
定义3.1.4 (二元连续型随机变量)
若存在非负函数 f（x，y），使对任意实数x，y， 二元随机变量(X,Y)的分布函数可表示成如下形式
F ( x , y ) PX x , Y y
f (u, v )dudv
x
y
则称(X,Y)是二元连续型随机变量。
若二维 随机变量 （X，Y）的
所有可能取值只有限对或可列对，
则称（X，Y）为二维离散型随机变量。
（X，Y）的联合概率分布（分布律）
表达式形式 表格形式
P{X＝xi ,Y=yj}＝pij，i,j=1,2, …
X
Y
y1 … ym …
x1
x2
…
xn
…
p11
… …
p12
… …
p1n
…
pm1
（4）（X,Y)落在平面区域G上的概率
P{( X , Y ) G }
几何解释

G =曲顶柱体的体积
f(x,y)

f ( x , y )dxdy
f ( x, y )
G
o
x
例题讲解
例1： 已知二维随机变量(X,Y)的概率密度
(2 x 3 y) Ae , x 0, y 0 f ( x, y) 0, 其它
若（X，Y）是随机变量，对于任意的实数 x,y.
F ( x, y ) P( X x ) (Y y )
记作P{ X x, Y y}
称为二维随机变量的联合分布函数
二维随机变量(X,Y)的分布函数F(x,y)的含义 F ( x, y) P( X x ) (Y y)
P{ X 0, Y 1} 10 2
12 11
P{ X 1, Y 0} 2 10
12
11
P{ X 1, Y 1} 2 1
12 11
(X,Y)的联合分布律 X 0 1
Y
0
15 22 5 33
5 33 1 66
1
例2.设随机变量 X 在 1,2,3 中等可能地取值,
dxdy
故
(1 e 2 x )(1 e 3 (1 e 2 x )(1 e 3 y ), F ( x, y) 0,
(2 x 3 y ) , x 0, y 0 6e f ( x, y) 0, 其它
求：⑴系数A；⑵F(x,y)；⑶P{X<2,Y<1}; (4)P{2X+3Y≤6}
解(1)：由F ( ,)
即：
A A 2x 3y (e ) (e ) 1 6 6 0 0
0 0

f ( x, y)dxdy 1
dxdy 1
y 1
f(x,y) ≠0
解(3): P{ X<2, Y<1}


2
{ x 2, y 1}
f ( x, y )dxdy
1 2 x 3 y
0 dx 0 6e
dy
{x<2, y<1}
2 x
4 3 1 e 1 e
-1
1
1 1 4 4
Y X
-1
0
1 2


Y


F ( x , y ) P{ X x , Y y }
当 x 2, 且0 y 时
1
0
-1
1
2
X
Y=-1
X =1
Y=
0




X =2
0 x 1或y 1 1 1 x 2且 1 y 0 4 1 1 F ( x, y) 1 x 2且0 y 4 4 1 1 2 x且 1 y 0 6 4 x 2且y 0 1
上服从均匀分布，则
x 0, y 0, x y 1

1 1 P{0 x ,0 y } 2 2

1 1 2 dx 2 2dy 0 0

=
2, f ( x, y) 0,
x 0, y 0, x y 1; 其他
6e ( 2 x 3 y ) , x 0, y 0 f ( x, y) 0, 其它
解(4):
y
2
f(x,y) ≠0
P{2 X 3Y 6}

2x 3 y6

6e
(2 x 3 y )
dxdy
0
3 x

三角形
3 0

6e
( 2 x 3 y )
P{ X 2, Y 1} 1 1 4 6
0
-1
1
2
X
Y X
-1
0
1 2


Y


F ( x , y ) P{ X x , Y y } P{ X 1, Y 1}
P{ X 1, Y 0}
2 X
当 1 x 2, 且0 y 时
0
F(x2,y2)
-F(x2,y1)
x1 , y1
x1

x2 , y1
x2
-F(x1,y2)
+F(x1,y1)
P（x1 X x2，y1 Y y2） = F(x2,y2)- F(x2,y1)- F(x1,y2) + F(x1,y1)
二维随机变量的联合分布函数的性质
性质（1） F(x,y)分别关于X和Y 性质（2） 0 单调不减； . ≤ F(x,y) ≤ 1 . F(x, － ∞)= 0 ；F(－ ∞,y)= 0 . F(－ ∞, － ∞)= 0 ；F(+ ∞, + ∞) = .1 F(x,y)分别关于X和Y 右连续； .
y
几何解释 ： F(x, y) 表示 随机点(X ,Y )落在 以(x,y )为顶点,且 位于该点左下方的 无穷矩形内的概率.
( x, y )
o
x
用联合分布函数F(x,y)表示矩形域概率
P（x1 X x2，y1 Y y2）
y2
y1
x1 , y2

x2 , y2

X 1 2 3
Y
1
1/3 1/6 1/9
2
0 1/6 1/9
3
0 0 1/9
=++ =2/ 3
例：(X,Y)的联合分布律如下：
Y X
-1
0
求（1）k=?; (2) F(x,y)=?
1 2



k
+ + +k=1
k =
Y X
-1
0
1 2
当 x1 或
Y




0
y 1 时， F ( x , y ) P{ X x , Y y }
1 1 3 i
F ( x , y) = P ( X x , Y y)
F ( 2 , 2) = P ( X 2, Y 2)
P ( X 1, Y 1 ) P ( X 1, Y 2 ) P ( X 2, Y 1 ) P ( X 2 , Y 2 )
Y 在 1—X 中等可能地取整数值, 求( X, Y )的分布列及F(2,2).
解
X Y
1
1/3 0
2
1/6
1/6 0
3
1/9 1/9
1
2
3
0
1/9
P ( X i , Y j ) P( X i ) P ( Y j X i ) ( i 1, 2, 3, j i )
例题讲解
例1： 设二维随机变量（X,Y)在区域G上服从均匀分 布，其中G是曲线 y=x2 和y=x 所围成的区域，则
(X,Y)的联合概率密度
fx,y=
1 SG 0,
x x dx
1 2 0
1
6, ( x , y ) G; 其他
0
1