充要条件、逻辑连接词
讲命题逻辑连接词充要条件
第二讲 命题、量词、逻辑联结词一．明确考试大纲1. 理解命题的概念.2. 理解全称量词与存在量词的意义,能正确地对含有一个量词的命题进行否定.3. 了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义,知道复合命题与构成它的简单命题的真假关系.二．知识点梳理1．命题的概念:2．全称量词与存在量词（1）全称量词与全称命题①短语“ ”、“ ”等在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“ ”表示. ②含有 的命题,叫做全称命题.③全称命题“对 A 中任意一个x ,有P (x )成立”可用符号简记为: ,读作“对任意x 属于A ,有P (x )成立”.（2）存在量词与特称命题①短语“ ”、“ ”等在逻辑中通常叫做存在量词,并用符号“ ”表示. ②含有 的命题,叫做特称命题.③特称命题“存在 A 中的一个x 0,使P (x 0)成立”可用符号简记为: ,读作“存在一个x 0属于A ,使P (x 0)成立”.（3）含有一个量词的命题的否定命题:∀x ∈A ,P (x ),命题的否定:_______________________.命题:∃x 0∈A ,P (x 0),命题的否定: _______________________.3．逻辑联结词、简单命题与复合命题（1）“ ”这些词叫做逻辑联结词;不含有逻辑联结词的命题是 命题;由简单命题和逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题是 命题.（2）构成复合命题的形式:p 或q (记作“ ”);p 且q (记作“ ”);非p (记作“ ”).（3）“或”、 “且”、 “非”的真值判断①“非p ”形式复合命题的真假与p 的真假相反;②“p 且q ”形式复合命题当p 与q 同为真时为真,其他情况时为假;③“p 或q ”形式复合命题当p 与q 同为假时为假,其他情况时为真.基础检测1.下列关系式中不正确的是 ( )（A ）0∉∅ （B ）{}0∉∅ （C ）{}∅∈∅ （D ）{}00⊆2.已知命题2:0p a ≥ (a ∈R),命题2q:>0a (a ∈R),下列命题为真命题的是 ( )(A)p ∨q . (B)p ∧q . (C)(⌝p )∧(⌝q ). (D)(⌝p )∨q .3.给定下列四个命题:①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行;②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直;③垂直于同一直线的两条直线相互平行;④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.其中为真命题的是 ( )(A)①和②. (B)②和③. (C)③和④. (D)②和④.4. 命题“有些负数满足不等式(1+x )(1-9x 2)>0”用符号“∃”写成特称命题为三．典例分析题型1 对“或”“且”“非”的理解例1 写出下列各组命题构成的“p ∨q ”、“p ∧q ”、“⌝p ”形式的复合命题,并判断这些复合命题的真假:(1)p :平行四边形的对角线相等;q :平行四边形的对角线互相垂直;(2)p :方程x 2+x -1=0的两实根符号相同;q :方程x 2+x -1=0的两实根的绝对值相等.变式训练1 (1)命题p :所有有理数都是实数,命题q :正数的对数都是负数,则下列命题中为真命题的是 (A)(⌝p )∨q . (B)p ∧q . (C)(⌝p )∧(⌝q ). (D)(⌝p )∨(⌝q ).(2)已知命题p :∃x ∈R,使tan x =1,命题q :x 2-3x +2<0的解集是{x |1<x <2},下列结论:①命题“p ∧q ”是真命题;②命题“p ∧(⌝q )”是假命题;③命题“(⌝p )∨q ”是真命题;④命题“(⌝p )∨(⌝q )”是假命题.正确的是 ( )(A)②③. (B)①②④. (C)①③④. (D)①②③④.题型2 全(特)称命题及真假判断例2 判断下列命题是否是全称命题或特称命题,若是,用符号表示,并判断其真假.(1)有一个实数a , sin 2a +cos 2a ≠1;(2)任何一条直线都存在斜率;(3)所有的实数a ,b ,方程ax +b =0恰有唯一解;(4)存在实数x ,使得2+2+3=0x x变式训练2 判断下列命题的真假:(1)每个指数函数都是单调函数;(2)任何实数都有算术平方根;(3)任意x ∈{x |x 是无理数},x 2是无理数;(4)存在x ∈R,x 3≤0.题型3 全(特)称命题的否定例3 写出下列命题的否定并判断其真假:(1)p :不论m 取何实数,方程x 2+mx -1=0必有实数根;(2)p :有的三角形的三条边相等;(3)p :菱形的对角线互相垂直;(4)p :∃x ∈N,使得x 2-2x +1≤0.【总结】常见词语的否定形式有:变式训练3 写出下列命题的否定形式:(1)有些三角形的三个内角都等于60°;(2)能够被3整除的整数,能够被6整除;(3)∃θ∈R,使得函数y =sin(2x +θ)是偶函数;(4)∀x ,y ∈R,|x +1|+|y -1|>0.题型4 与逻辑联结词、全(特)称命题有关的参数问题例4 已知r (x ):sin x +cos x >m ,s (x ):x 2+mx +1>0.如果对∀x ∈R,r (x )与s (x )有且仅有一个是真命题,求实数m 的取值范围.变式训练4 已知p : “∀x ∈[1, 2],x 2-a ≥0”,q :“∃x ∈R,x 2+2ax +2-a =0”,若命题“p 且q ”是真命题,求实数a 的取值范围.第三讲 充要条件一．明确考试大纲1. 了解“若p ,则q ”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题,会分析四种命题的相互关系.2. 理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.二．知识点梳理1．四种命题及其关系（1）四种命题原命题:______________________________ 逆命题: ______________________________否命题: ______________________________ 逆否命题: ______________________________（2）四种命题的相互关系一个命题和它的 是等价的.（3）当判断一个命题的真假有困难时,可转化为其等价命题(如逆否命题)来判断真假,在四个命题中,真命题的个数只能为 .（4）当一个命题有大前提,而要求写出其他三个命题时,应保留大前提,大前提不能变动.（5）“否命题”与“命题的否定”的区别:否命题是对原命题“若p 则q ”的条件和结论都否定,即“_____________________ ”;而原命题“若p 则q ”的否定是:“______________________”,即只否定原命题的结论.2．充要条件（1）若p ⇒q ,则称p 是q 的 ,或称q 是p 的 .（2）若q ⇒p ,则称p 是q 的 ,或称q 是p 的 .（3）3.若p ⇔q ,则称p 是q 的 .基础检测1．">2"x 是11"<"2x 的 （ ）(A)充分不必要条件. (B)必要不充分条件. (C)充要条件. (D)既不充分也不必要条件.2.“m <14”是“一元二次方程2++=0x x m 有实数解”的 ( ) (A)充分不必要条件. (B)必要不充分条件. (C)充要条件. (D)既不充分也不必要条件.3.如果x ,y 是实数,那么“|x +y |=|x |+|y |”是“xy >0”的 ( )(A)充分不必要条件. (B)必要不充分条件. (C)充要条件. (D)既不充分也不必要条件.4.下列命题:①若ac 2>bc 2,则a >b ;②若sin α=sin β,则α=β;③“a =0”是“直线x -2ay =1和直线2x -2ay =1平行”的充要条件;④若f (x )=log 2x ,则f (|x |)是偶函数.其中所有正确命题的序号是 .三．典例分析题型1 四种命题的关系及真假判断例1以下关于命题的说法正确的有 ( )①“若log2a>0,则函数f(x)=log a x(a>0,a≠1)在其定义域内是减函数”是真命题;②命题“若a=0,则ab=0”的否命题是“若a≠0,则ab≠0”;③命题“若x,y都是偶数,则x+y也是偶数”的逆命题为真命题;④命题“若a∈M,则b∉M”与命题“若b∈M,则a∉M”等价.(A)①②④. (B)②④. (C)②③④. (D)①②③④.变式训练1 命题“若f(x)是奇函数,则f(-x)是奇函数”的否命题是 ( )(A)若f(x)是偶函数,则f(-x)是偶函数.(B)若f(x)不是奇函数,则f(-x)不是奇函数.(C)若f(-x)是奇函数,则f(x)是奇函数.(D)若f(-x)不是奇函数,则f(x)不是奇函数.题型2 充分条件与必要条件的判断例2 a、b为非零向量,“a⊥b”是“函数f(x)=(x a+b)·(x b-a)为一次函数”的 ( )(A)充分不必要条件. (B)必要不充分条件. (C)充要条件. (D)既不充分也不必要条件.变式训练2给出下列命题:①“数列{a n}为等比数列”是“数列{a n a n+1}为等比数列”的充分不必要条件;②“a=2”是“函数f(x)=|x-a|在区间[2,+∞)上为增函数”的充要条件;③“m=3”是“直线(m+3)x+my-2=0与直线mx-6y+5=0互相垂直”的充要条件;④设a,b,c分别是△ABC三个内角A,B,C所对的边,若a=1,b= ,则“A=30°”是“B=60°”的必要不充分条件. 其中真命题的序号是 (写出所有真命题的序号).题型3 充分条件、必要条件的应用例3 已知命题2:-5-60p x x ≤,命题22:-2+1-40(>0)q x x a a ≤,若⌝p 是⌝q 的必要不充分条件,求实数a 的取值范围.变式训练3 已知-1:1-23x p ≤,22:-2+1-0(m>0)q x x m ≤,若⌝p 是⌝q 的必要而不充分条件,求实数m 的取值范围.【技巧归纳】1.判断逻辑关系的关键是分清条件和结论.2.判断“p 是q 的什么条件”的本质是判断命题“若p ,则q ”及“若q ,则p ”的真假.3.逻辑关系的判定有四种方法:①定义法:若p ⇒q ,则p 是q 的充分条件,q 是p 的必要条件;若p ⇔q ,则p 是q 的充要条件.②利用原命题和逆否命题的等价性来确定.p ⇒q 等价于q ⇒p .③利用集合的包含关系:记条件p 、q 对应的集合分别为A 、B ,若A ⊆B ,则p 是q 的充分条件,q 是p 的必要条件;。
(完整版)常用逻辑用语知识点总结
常用逻辑用语一、命题1、命题的概念在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2、四种命题及其关系(1)、四种命题(2)、四种命题间的逆否关系(3)、四种命题的真假关系**两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；*两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．二、充分条件与必要条件1、定义1．如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．2．如果p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件．2、四种条件的判断1.如果“若p则q”为真，记为p q⇒，如果“若p则q”为假，记为p q⇒/.2.若p q⇒，则p是q的充分条件，q是p的必要条件3.判断充要条件方法：（1）定义法：①p是q的充分不必要条件⇔p qp q⇒⎧⎨⇐/⎩②p是q的必要不充分条件⇔p qp q⇒⎧/⎨⇐⎩③p是q的充要条件⇔p qq p⇒⎧⎨⇒⎩④p是q的既不充分也不必要条件⇔p qp q⇒⎧/⎨⇐/⎩（2）集合法：设P={p}，Q={q}，①若P Q，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件.②若P=Q，则p是q的充要条件（q也是p的充要条件）.③若P Q且Q P，则p是q的既不充分也不必要条件.（3）逆否命题法：①⌝q是⌝p的充分不必要条件⇔p是q的充分不必要条件②⌝q是⌝p的必要不充分条件⇔p是q的充分不必要条件③⌝q是⌝p的充分要条件⇔p是q的充要条件④⌝q是⌝p的既不充分又不必要条件⇔p是q的既不充分又不必要条件三、简单的逻辑联结词(1)命题中的“且”“或”“非”叫做逻辑联结词．①用联结词“且”联结命题p和命题q，记作p∧q，读作“p且q”．②用联结词“或”联结命题p和命题q，记作p∨q，读作“p或q”．③对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作¬p，读作“非p”或“p的否定”．(2)简单复合命题的真值表：p qp∧q p∨q¬p真真真真假假真假真真真假假真假假假假假真*p∧q：p、q有一假为假，*p∨q：一真为真，*p与¬p：真假相对即一真一假．四、量词1、全称量词与存在量词(1)常见的全称量词有：“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等．(2)常见的存在量词有：“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”等．(3)全称量词用符号“∀”表示；存在量词用符号“∃”表示．2 全称命题与特称命题(1)含有全称量词的命题叫全称命题: “对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M，p(x)，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”．(2)含有存在量词的命题叫特称命题: “存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为∃x0∈M，P(x0)，读作“存在M 中的元素x 0，使p (x 0)成立”． 3命题的否定(1) 含有量词命题的否定全称命题p ：,()x M p x ∀∈的否定⌝p ：(),x M p x ∃∈⌝；全称命题的否定为存在命题 存在命题p ：(),x M p x ∃∈的否定⌝p ：(),x M p x ∀∈⌝；存在命题的否定为全称命题 其中()p x p （x ）是一个关于x 的命题. (2) 含有逻辑连接词命题的否定 “p 或q ”的否定：“ ⌝p 且⌝q ” ； “p 且q ”的否定：“ ⌝p 或⌝q ”(3) “若p 则q “命题的否定：只否定结论特别提醒：命题的“否定”与“否命题”是不同的概念，命题的否定：只否定结论；否命题：全否 对命题p 的否定（即非p ）是否定命题p 所作的判断，而“否命题”是 “若⌝p 则⌝q ”。
选修2-1第一章《充分必要条件、简单的逻辑联结词》
因为p且q为假，p或q为真
故p和q中有一真一假
P真q假，则
P假q真，则
综上， 或
练习：已知 ( ).若 是 的充分而不必要条件,求正实数 的取值范围.,
答案：P：x^2-8x-20>0 ===》(x-10)(x+2)>0 ===> x>10或x<-2
Q：x^2-2x+1-a^2>0 ==》(x-1)^2>a^2
答案：p为假：（—1，1）；q为假：a不为0和2；
故a（-1,0）∪（0，1）
4.已知p：|x－3|≤2，q：(x－m＋1)(x－m－1)≤0，若非p是非q的充分而不必要条件，求实数m的取值范围．
答案：p: |x-3|≤2
-2≤x-3≤2
1≤x≤5
所以非p：x＜1或者x＞5
q：(x-m+1)(x-m-1)≤0
3．给定命题p：x>3，q：|x－1|>2，则p是q的（D）
A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4.a=1是直线y=ax+1和直线y=（a- 2）x-1垂直的（C）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C．充要条件D.既不充分也不必要条件
5.已知a、b、c为非零的平面向量。甲：a b=a c，乙：b=c，则（B）
学科教师辅导讲义
讲义编号
学员编号：年级：高二课时数：3
学员姓名：辅导科目：数学学科教师：
学科组长签名及日期
教务长签名及日期
课题
充分必要条件、简单的逻辑联结词
教学目标
1.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义
2.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义
逻辑联结词、四种命题、充分条件与必要条件
逻辑联结词、四种命题、充分条件与必要条件逻辑联结词、四种命题、充分条件与必要条件1. 主要内容：命题、真命题、假命题的概念，逻辑连接词、简单命题、复合命题的概念、复合命题的真值表，四种命题、四种命题的关系，反证法、充分条件、必要条件的概念、充分条件的判断。
2. 重点：判断复合命题真假的方法，四种命题的关系，关于充要条件的判断。
3. 难点：逻辑连结词的理解与日常用语的区别，反证法的理解和应用，关于充要条件的判断。
【例题选讲】例1. 分别指出下列复合命题的形式及构造的简单命题。
（1）小李是老师，小赵也是老师。
（2）1是合数或质数。
（3）他是运动员兼教练员。
（4）不仅这些文学作品艺术上有缺点，而且政治上有错误。
解：（1）这个命题是p且q的形式，其中p：小李是老师，q：小赵是老师。
（2）这个命题是p或q的形式，其中p：1是合数，q：1是质数。
（3）这个命题是p且q的形式，其中，p：他是运动员，q：他是教练员。
（4）这个命题是p且q的形式，其中，p：这些文学作品艺术上有缺点，q：这些文学作品政治上有错误。
小结：正确理解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义是解题的关键。
应根据组成上述各复合命题的语句中所出现的逻辑联结词，或语句的意义确定复合命题的形式。
例2. 已知p：方程x2+mx+1=0有两个不等的负根；q：方程4x2+4(m-2)x+1=0无实根。
若p或q为真，p且q为假，求m的取值范围。
解：若方程4x2+4(m-2)x+1=0无实根，解得：1<m<m<3。
<="">因p 或q 为真，所以p 、q 至少有一为真，又p 且q 为假，所以p 、q 至少有一为假，因此，p 、q 两命题应一真一假，即p 为真，q 为假或p 为假，q 为真。
∴或或m m m m m >≤≥≤<<213213解得：或。
m m ≥<≤312小结：由简单命题的真假可根据真值表来判断复合命题的真假。
数学逻辑连接词
数学逻辑连接词数学逻辑连接词: 因果关系、充分条件、必要条件、等价、充分充要、充分非必要、必要非充分、充分非必要非、充分充要非、等价非、充分非必要非充分、必要非充分、充分充要非必要、等价非充分、充分非必要非充分非、必要非充分非、充分充要非必要非、等价非充分非、充分非必要非充分非必要非、必要非充分非必要非、等价非充分非必要非充分非必要非因果关系是数学逻辑中常见的一种连接词。
它表示两个事件或者两个命题之间的因果关系。
例如，如果A发生，那么B也会发生。
在数学推理中，我们经常使用因果关系来推导结论。
充分条件是另一种常见的逻辑连接词。
它表示如果A成立，那么B 也一定成立。
充分条件是一个充分推理的条件，它能够帮助我们得出结论。
必要条件是与充分条件相对应的逻辑连接词。
它表示如果B成立，那么A一定成立。
必要条件是一个必要推理的条件，它能够帮助我们确定前提。
等价是逻辑中常见的一种关系。
它表示两个命题具有相同的真值。
如果两个命题互为真或者互为假，那么它们是等价的。
等价关系可以帮助我们简化复杂的逻辑推理。
充分充要是充分条件与必要条件的合并。
它表示如果A成立，那么B一定成立，并且如果B成立，那么A也一定成立。
充分充要是一个同时包含充分条件和必要条件的逻辑连接词。
充分非必要是充分条件的否定。
它表示如果A成立，那么B不一定成立。
充分非必要是一个只包含充分条件的逻辑连接词。
必要非充分是必要条件的否定。
它表示如果B成立，那么A不一定成立。
必要非充分是一个只包含必要条件的逻辑连接词。
充分非必要非是充分条件和必要条件的否定。
它表示如果A成立，那么B不一定成立，并且如果B成立，那么A也不一定成立。
充分非必要非是一个同时包含充分条件和必要条件的逻辑连接词。
充分充要非是充分条件、必要条件和否定的合并。
它表示如果A成立，那么B一定成立，并且如果B成立，那么A也一定成立。
充分充要非是一个同时包含充分条件、必要条件和否定的逻辑连接词。
等价非是等价关系的否定。
充要条件的逻辑关联词
充要条件的逻辑关联词在逻辑学中，存在着一些重要的逻辑关联词，它们用于表达命题之间的逻辑关系。
在命题逻辑中，充要条件是一种非常重要的逻辑关系，我们将在本文中详细讨论充要条件以及与之相关的逻辑关联词。
充要条件是指两个命题之间存在一种必要性和充分性的关系。
也就是说，如果一个命题A是另一个命题B的充分条件，那么只要A成立，B就一定成立；而如果A是B的必要条件，那么只有当B成立时，A才能成立。
在逻辑学中，我们常用到以下几种逻辑关联词来表示充要条件：1.当且仅当：表示两个命题的真值完全一致，其中一个命题成立时另一个命题也成立，两者是相互依存的关系。
用符号"⇔"表示。
例如，命题A当且仅当命题B成立可以表示为A⇔B。
2.只有当：表示只有在某个条件满足时，另一个命题才成立。
用符号"⇒"表示。
例如，命题A只有当命题B成立时才成立可以表示为A⇒B。
3.若...则...：表示如果某个条件成立，那么另一个命题也一定成立。
用符号"→"表示。
例如，若A成立，则B成立可以表示为A→B。
4.必要条件：表示某个条件是实现另一个命题的条件，如果不满足这个条件，那么另一个命题也无法成立。
用符号"⇐"表示。
例如，命题A是命题B的必要条件可以表示为A⇐B。
5.充分条件：表示某个条件可以保证另一个命题的成立，但并不是必要条件，也就是说还有其他条件可以使得另一个命题成立。
用符号"⇒"表示。
例如，命题A是命题B的充分条件可以表示为A⇒B。
接下来，我们将通过一些例子来说明这些逻辑关联词的具体用法。
例1：假设我们要表达"一个数是偶数当且仅当它能被2整除"这个关系。
可以表示为：命题A：这个数是偶数命题B：这个数能被2整除由于偶数除2没有余数，因此A⇒B；而对于任意能被2整除的数来说，它都可以表示为2的倍数，所以B⇒A。
因此，我们可以用"一个数是偶数当且仅当它能被2整除"来表示这个关系。
专题02 常用逻辑用语--《2023年高考数学命题热点聚焦与扩展》【原卷版】
【热点聚焦】常用逻辑用语主要从三个方面考查，分别为充分必要条件的判断、充要条件的探求、由充分条件和必要条件探求参数的取值范围以及全称量词与存在量词．由于充要条件知识载体丰富，因此题目往往具有一定综合性．【重点知识回眸】一、充要条件1.充分条件、必要条件与充要条件的概念p⇒q p是q的充分条件，q是p的必要条件p⇒q，且q p p是q的充分不必要条件p q，且q⇒p p是q的必要不充分条件p⇔q p是q的充要条件p q，且q p p是q的既不充分也不必要条件提醒：A是B的充分不必要条件是指：A⇒B且B A，A的充分不必要条件是B是指：B⇒A且A B，弄清它们区别的关键是分清谁是条件，谁是结论．2.等价转化法判断充分条件、必要条件p是q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件．其他情况依次类推．3.充分、必要条件与集合的子集之间的关系设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}．(1)若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．(2)若A B，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件．(3)若A＝B，则p是q的充要条件．二、全称量词和存在量词1.全称量词：短语“所有的”“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示．2.存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示．3．全称命题、特称命题及含有一个量词的命题的否定命题名称语言表示符号表示命题的否定全称命题对M中任意一个x，有p(x)成立∀x∈M，p(x)∃x0∈M，p(x0)特称命题存在M中的一个x0，使p(x0)成立∃x0∈M，p(x0)∀x∈M，p(x)提醒：含有一个量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论”． 三、简单的逻辑联结词【新教材地区不含此内容！】 1.命题中的或、且、非叫做逻辑联结词． 2.命题p 且q 、p 或q 、非p 的真假判断pqp 且q p 或q 非p真 真 真 真 假 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假假真3.提醒：“命题的否定”与“(1)命题的否定只是否定命题的结论，而否命题既否定其条件，也否定其结论．(2)命题的否定与原命题的真假总是相对立的，即一真一假，而否命题与原命题的真假无必然联系．4.含有逻辑联结词的命题真假的判断规律(1)p ∨q ：“有真则真，全假才假”，即p ，q 中只要有一个真命题，则p ∨q 为真命题，只有p ，q 都是假命题时，p ∨q 才是假命题．(2)p ∧q ：“有假则假，全真才真”，即p ，q 中只要有一个假命题，则p ∧q 为假命题，只有p ，q 都是真命题时，p ∧q 才是真命题． (3) p ： p 与p 的真假相反．【典型考题解析】热点一 充分、必要条件的判定【典例1】（2022·天津·高考真题） “x 为整数”是“21x +为整数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不允分也不必要条件【典例2】（2022·浙江·高考真题）设x ∈R ，则“sin 1x =”是“cos 0x =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【典例3】（2019·天津·高考真题（文））设x ∈R ，则“05x <<”是“11x -<”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【典例4】（2018·北京·高考真题（理））设向量,a b 均为单位向量，则“|3||3|a b a b -=+”是“a b ⊥”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 【规律方法】充要条件的三种判断方法：(1)定义法：根据p ⇒q ，q ⇒p 进行判断；(2)集合法：根据由p ，q 成立的对象构成的集合之间的包含关系进行判断；(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题． 热点二 充分条件、必要条件的探求与应用【典例5】（2023·全国·高三专题练习）“不等式20x x m -+>在R 上恒成立”的充要条件是（ ） A ．14m >B ．14m <C ．1m <D ． 1m【典例6】（2017·上海·高考真题）已知a 、b 、c 为实常数，数列{}n x 的通项2n x an bn c =++，*n ∈N ，则“存在*k ∈N ，使得100k x +、200k x +、300k x +成等差数列”的一个必要条件是（ ）A ．0a ≥B ．0b ≤C ．0cD ．20a b c -+=【典例7】【多选题】（2023·全国·高三专题练习）“关于x 的不等式220x ax a -+> 对R x ∀∈恒成立”的一个必要不充分条件是（ ） A ．01a << B ．01a ≤≤C ．103a <<D ．0a ≥【总结提升】充分、必要条件的探求方法(与范围有关)先求使结论成立的充要条件，然后根据“以小推大”的方法确定符合题意的条件． 热点三 利用充分、必要条件求参数的取值范围【典例8】（2023·全国·高三专题练习）若“2340x x -->”是“223100x ax a -->”的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是_________. 【总结提升】利用充要条件求参数的两个关注点(1)巧用转化求参数：把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．(2)端点取值慎取舍：在求参数范围时，要注意边界或区间端点值的检验，从而确定取舍． 热点四 全称命题、特称命题的否定与真假判断【典例9】（2020·山东·高考真题）下列命题为真命题的是（ ） A ．10>且34> B ．12>或45> C ．x R ∃∈，cos 1x >D ．x R ∀∈，20x ≥【典例10】（2016·浙江·高考真题（理））命题“*,x R n N ∀∈∃∈，使得2n x ≥”的否定形式是 A ．*,x R n N ∀∈∃∈，使得2n x < B ．*,x R n N ∀∈∀∈，使得2n x < C ．*,x R n N ∃∈∃∈，使得2n x <D ．*,x R n N ∃∈∀∈，使得2n x <【典例11】（2022·全国·高三专题练习）已知命题p ：0x R ∃∈，01x =-或02x =，则（ ） A ．p ⌝：x R ∀∈，1x ≠-或2x ≠ B ．p ⌝：x R ∀∈，1x ≠-且2x ≠ C ．p ⌝：x R ∀∈，1x =-且2x =D ．p ⌝：0x R ∃∉，01x =-或02x =【典例12】（2021·全国·高考真题（理））已知命题:,sin 1p x x ∃∈<R ﹔命题:q x ∀∈R ﹐||e 1x ≥，则下列命题中为真命题的是（ ） A ．p q ∧B ．p q ⌝∧C ．p q ∧⌝D ．()p q ⌝∨【典例13】（2023·全国·高三专题练习）已知命题p ：[]21,2,1x x a ∀∈+≥，命题q ：[]1,1x ∃∈-，使得210x a +->成立，若p 是真命题，q 是假命题，则实数a 的取值范围为 _____. 【总结提升】1．全称命题与特称命题的否定(1)改量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写．(2)否结论：对原命题的结论进行否定． 2．全称命题与特称命题真假的判断方法命题名称 真假 判断方法一 判断方法二 全称命题 真 所有对象使命题真 否定为假 假 存在一个对象使命题假 否定为真 特称命题真存在一个对象使命题真否定为假3．根据全(特)称命题的真假求参数的思路与全称命题或特称命题真假有关的参数取值范围问题的本质是恒成立问题或有解问题．解决此类问题时，一般先利用等价转化思想将条件合理转化，得到关于参数的方程或不等式(组)，再通过解方程或不等式(组)求出参数的值或范围．【精选精练】一、单选题1．（2020·山东·高考真题）已知a ∈R ，若集合{}1,M a =，{}1,0,1N =-，则“0a =”是“M N ⊆”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．（2023·全国·高三专题练习）已知命题p ：∀x ＞0，总有（x +1）ln x ＞1，则¬p 为（ ） A ．∃x 0≤0，使得（x 0+1）ln x 0≤1 B ．∃x 0＞0，使得（x 0+1）ln x 0≤1 C ．∃x 0＞0，总有（x 0+1）ln x 0≤1 D ．∃x 0≤0，总有（x 0+1）ln x 0≤13．（2023·全国·高三专题练习）已知()sin f x x x =-，命题P ： 0,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，()0f x <，则（ ）A ．P 是假命题，()0,02P x f x π⎛⎫∀∈≥ ⎪⎝⎭￢：，B ．P 是假命题，()000,02P x f x π⎛⎫∃∈≥ ⎪⎝⎭￢：，C ．P 是真命题，()0,02P x f x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭￢：，＞D ．P 是真命题，()000,02P x f x π⎛⎫∃∈≥ ⎪⎝⎭￢：，4．（2021·天津·高考真题）已知a ∈R ，则“6a >”是“236a >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．（2021·北京·高考真题）已知()f x 是定义在上[0,1]的函数，那么“函数()f x 在[0,1]上单调递增”是“函数()f x 在[0,1]上的最大值为(1)f ”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件6．（2021·浙江·高考真题）已知非零向量,,a b c ，则“a c b c ⋅=⋅”是“a b =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件7．（2021·全国·高考真题（理））等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，设甲：0q >，乙：{}n S 是递增数列，则（ ） A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件8．（2022·北京·高考真题）设{}n a 是公差不为0的无穷等差数列，则“{}n a 为递增数列”是“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．（2020·浙江·高考真题）已知空间中不过同一点的三条直线m ，n ，l ，则“m ，n ，l 在同一平面”是“m ，n ，l 两两相交”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10.（2017·山东·高考真题（文））已知命题p ：x R ∃∈，210x x -+≥；命题q ：若22a b <，则.a b <下列命题为真命题的是（ ） A ．p q ∧B ．p q ∧⌝C ．p q ⌝∧D ．p q ⌝∧⌝11．（2021·陕西·西安中学高三期中）已知命题“R x ∃∈，使212(1)02x a x +-+≤”是假命题，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,1)-∞- B ．(1,3)- C ．(3,)-+∞D ．(3,1)-12．（2023·全国·高三专题练习）“2log (1)0x +<”成立的一个必要而不充分条件是（ ） A ．112x -<<-B ．0x >C ．10x -<<D ．0x <二、多选题13．（2023·全国·高三专题练习）若“2340x x +-<”是“222()330x k x k k -+++≥”的充分不必要条件，则实数k 可以是（ ） A ．8- B ．5- C ．1 D ．4三、填空题14．（2018·北京·高考真题（理））能说明“若f （x ）>f （0）对任意的x ∈（0，2］都成立，则f （x ）在［0，2］上是增函数”为假命题的一个函数是__________．15．（2023·全国·高三专题练习）若“对任意实数02，π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x ，sin ≤x m ”是真命题，则实数m 的最小值为__.16．（2023·全国·高三专题练习）若命题“∃x ∈R ，使得x 2﹣（a +1）x +4≤0”为假命题，则实数a 的取值范围为__.17．（2020·全国·高考真题（理））设有下列四个命题： p 1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.p 2：过空间中任意三点有且仅有一个平面. p 3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行. p 4：若直线l ⊂平面α，直线m ⊥平面α，则m ⊥l . 则下述命题中所有真命题的序号是__________. ①14p p ∧②12p p ∧③23p p ⌝∨④34p p ⌝∨⌝ 四、解答题18．（2023·全国·高三专题练习）已知不等式102x x+≥-的解集为条件p ，关于x 的不等式222310x mx m m +---<（23m >-）的解集为条件q ． (1)若p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围； (2)若p 的充分不必要条件是q ，求实数m 的取值范围．。
常用逻辑用语知识点归纳ying
常用逻辑用语知识点归纳1. 四种命题，（原命题、否命题、逆命题、逆否命题）（1）四种命题的关系，（2）等价关系（互为逆否命题的等价性）小结：原命题与其逆否命题同真、同假。
（b ）否命题与逆命题同真、同假。
2. 充分条件、必要条件、充要条件（1）定义：若p 成立，则q 成立，即q p ⇒时，p 是q 的充分条件。
同时q 是p 的必要条件。
若p 成立，则q 成立，且q 成立，则p 成立 ，即q p ⇒且p q ⇒，则p 与q 互为充要条件。
（2）判断方法：（i ）定义法，（ii ）集合法：设使p 成立的条件组成的集合是A ，使q 成立的条件组成的集合为B ，①若B A ⊆ 则p 是q 的充分条件。
（同时q 是p 的必要条件）②若A B 则p 是q 的充分非必要条件。
③若B ⊆A 则p 是q 的必要条件④若B A 则p 是q 的必要非充分条件⑤若A=B ，则p 与q 互为充要条件。
（iii ）命题法：假设命题：“若p 则q ”。
当原命题为真时，p 是q 的充分条件。
当其逆命题也为真时，p 与q 互为充要条件。
小结：注意充分条件与充分非必要条件的区别：用集合法判断看，前者：集合A 是集合B 的子集；后者：集合A 是集合B 的真子集。
3. 全称命题、特称命题（含有全称量词的命题叫全称命题，含有存在量词的命题叫特称命题）（1）关系：全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题。
（2）全称量词与存在量词的否定。
关键词否定词 关键词 否定词 关键词 否定词 关键词 否定词 都是 不都是 至少一个 一个都没有 至多一个 至少两个 属于 不属于4. 逻辑连结词“或”，“且”，“非”。
（1）构造复合命题的方式：简单命题+逻辑连结词（或、且、非）+简单命题。
（2）复合命题的真假判断：pq 非p p 或q p 且q 真真 假 真 真 真假 假 真 假 假真 真 真 假 假 假 真 假 假注意：“命题的否定”与“否命题”是两个不同的概念：前者只否定结论，后者结论与条件共同否定。
充要条件、逻辑联结词、全称量词与存在量词
A(二)充要条件、逻辑联结词、全称量词与存在量词一、知识清单1、可以判断真假的陈述句叫命题，四种命题及关系逆否命题等价于原命题。
2、如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；如果p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件．p: A={x/p（x）成立}，q：B={x/p（x）成立}，AB，则p是q的充分条件，A B，则p是q的充分不必要条件，反之如此。
3、用联结词“且”连接命令p和q记做p∨q；用连结词“或”连接命令p和q记做p∧q。
对于一个命题全盘否定则¬pp∧q、p∨q、¬p真假判断如下表4、全称量词用符号∀表示，表示“任意一个、一切”，存在量词用符号“∃”表示，表示存在一个等。
二、知识巩固练习1、若不等式|x-1 |<a成立的充分不必要条件是0<x<4则a的取值范围是（）A .a≥1 B.a≥3 C.a≤1 D.a≤32、设a1、b1、c1、a2、b2、c2均为非零实数，不等式a1x2+b1x+c1>0和a2x2+b2x+c2>0的解集分别为M和N，那么“a1a2=b1b2=c1c2”是“M=N”的（）。
A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充分条件D.既非充分也非必要条件3、若a、b∈R,那么a2+b2<1是ab+1>a+b的（）。
A.充分且必要条件B.必要但不充分条件C.充分但不必要条件D.既不充分也不必要条件4、已知直线L1:ax+by+c=0，直线L2:mx+ny+p=0，则ambn= -1是直线L1⊥L2的（）。
A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充分条件D.既非充分也非必要条件5、以下四种命题中，真命题的个数是（）○1命题“若x2-3x+2=0则x=1”的逆否命题为“若x≠1则x2-3x+2≠0”；○2若p∨q为假命题，则p、q均为假命题；○3命题p存在x∈R使得x2+x+1<0则¬p对于任意x∈R都有x2+x+1≥0○4在△ABC中，A<B是sinA<sinB的充分不必要条件（）。
逻辑联结词与充要条件
第2讲 逻辑联结词与充要条件【考点解读】1、 了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义，会判断简单复合命题的真假。
2.理解全称量词与存在量词的意义。
3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定，会判断含有量词的命题的真假。
4.理解命题的概念。
5.了解“若p ，则q ”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系。
6.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义。
【知识扫描】1.简单的逻辑联结词（1）“或”“且”“非”等词叫做逻辑联结词。
逻辑联结词与集合中的“交”、“并”、“补”密切相关。
① {}|,B AB x x A x =∈∈或，集合中的并集是用“或”来定义的。
是指至少满足“x A ∈”与“x B ∈”中的一个，即：x A ∈，且x B ∉；也可以是x A ∉，且x B ∈；还可以是x A ∈，且x B ∈.因此逻辑联结词“或”的含义与并集中“或”的含义基本一致.②{}|,B A B x x A x =∈∈且，集合中的交集是用“且”来定义的。
它是指“x A ∈”与“x B ∈”都要满足的意思，即：x 既属于A ，同时又属于B.③{},u C A x x U xA =蜗且，集合中的“补集”与“非”密切相关。
（2）复合命题：不含逻辑联结词的命题叫做简单命题。
由简单命题和逻辑联结词构成的命题叫做复合命题。
（3）复合命题的三种形式与真假判断： p 或q 记为p q Ú，一真即真； p 且q 记为p q Ù，一假即假；非p 记为p Ø，p 与 p Ø一真一假。
对于复合命题的真假判断可以借助下列表格进行记忆.2.全称量词与存在量词(1)短语“所有”在陈述句中表示事物的全体，逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示，含有全称量词的命题叫做全称命题.(2)短语“有一个”、“有些”、“至少有一个”在陈述句中表示事物的个体或部分，逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示，含有存在量词的命题叫做特称命题.(3)全称命题与特称命题的否定：①对于全称命题p ：)(,x p M x ∈∀，其否定为p ⌝：)(,x p M x ⌝∈∃；②对于特称命题q ：)(,x q M x ∈∃，其否定为q ⌝：)(,x q M x ⌝∈∀.常见的正面叙述的和它的否定词语如下表所示： 词语 是 一定是 都是 大于 小于 词语的否定 不是 一定不是 不都是 小于或等于 大于或等于 词语 且 必有一个 至少有n 个 至多有一个 所有x 成立 词语的否定或一个也没有至多有n -1个至少有两个存在一个x 不成立3.命题的定义及真假判断(1)用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题.其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题.一般地来说，疑问句、祈使句、感叹句等都不是命题；对于含有变量的语句，要注意根据变量的范围，看能否判断真假，若能，就是命题；若不能，就不是命题；还有一些语句，尽管目前无法判断其真假，但从事物的本质而论，语句是可辨别真假的，尤其是在科学上的一些猜想等，这类语句也叫做命题.(2)命题的常见形式是：若p ，则q.其中p 叫做命题的条件，q 叫做命题的结论.判断其真假时，首先要搞清楚该命题的结构，分清条件和结论，再和其他的相关知识联系起来，加以判断.4.命题的四种形式及其相互关系 (1)命题的四种形式:原命题:若q 则p; 逆命题: 若q 则p;否命题:若p Ø则q Ø；逆否命题：若q Ø则p Ø。
逻辑联结词,充要条件
简易逻辑教学目的：了解命题的概念和命题的构成；理解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义；理解四种命题及其互相关系；反证法在证明过程中的应用．教学重点：复合命题的构成及其真假的判断，四种命题的关系教学过程;（一）主要知识：1．简单逻辑联结词(1)命题： 叫命题．(2)逻辑联结词： 这些词叫逻辑联结词．(3)简单命题： 的命题叫做简单命题，常用p 、q 、r 、s ，…，等小写字母表示．(4)复合命题： 构成的命题叫做复合命题，构成复合命题的三种形式是： .2．由真值表判断复合命题的真假；命题“p ∧q ”与命题“p ∨q ”的真假的规定（即一假则假） （即一真则真）若p 是真命题，则￢p 必是假命题；若p 是假命题，则￢p 必是真命题；3．四种命题的关系(1)基本关系(2)原命题⇔ ，逆命题⇔ ．原命题为真，它的逆命题、否命题 为真，但原命题的逆否命题____真．例1. 分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假:(1) 若q <1，则方程x 2＋2x ＋q ＝0有实根；(2) 若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0；(3) 若x 2＋y 2＝0，则x 、y 全为零.解：(1)逆命题：若方程x 2＋2x ＋q ＝0有实根，则q ＜1，为假命题．否命题：若q ≥1，则方程x 2＋2x ＋q＝0无实根，为假命题．逆否命题：若方程x 2＋2x ＋q ＝0无实根，则q ≥1，为真命题．(2)逆命题：若a ＝0或b ＝0，则ab ＝0，为真命题．否命题：若ab ≠0，则a ≠0且b ≠0，为真命题．逆否命题：若a ≠0且b ≠0，则ab ≠0，为真命题．(3)逆命题：若x 、y 全为零，则x 2＋y 2＝0，为真命题．否命题：若x 2＋y 2≠0，则x 、y 不全为零，为真命题．逆否命题：若x 、y 不全为零，则x 2＋y 2≠0，为真命题．变式训练：写出下列命题的否命题，并判断原命题及否命题的真假：（1）如果一个三角形的三条边都相等，那么这个三角形的三个角都相等；（2）矩形的对角线互相平分且相等；（3）相似三角形一定是全等三角形.解：（1）否命题是：“如果一个三角形的三条边不都相等，那么这个三角形的三个角也不都相等”. 原命题为真命题，否命题也为真命题.（2）否命题是：“如果四边形不是矩形，那么对角线不互相平分或不相等”原命题是真命题，否命题是假命题.（3）否命题是：“不相似的三角形一定不是全等三角形”.原命题是假命题，否命题是真命题.例2 下列命题中，真命题是（ ）A ．0,00≤∈∃x e R xB ．22,x R x x >∈∀C ．0=+b a 的充要条件是1-=b a D ．1,1>>b a 是1>ab 的充分条件 分析：本题考查的知识点为复逻辑中的充要条件的判定。
充要条件与逻辑联结词
充要条件与逻辑联结词2018/10/20一、充要条件1、已知A 和B 是两个命题，如果A 是B 的充分但不必要条件，那么⌝A 是⌝B 的 条件2、已知m ，n ∈R ，则“m ≠0或n ≠0”是“mn ≠0”的 条件3、已知p:|x+1|>2和q:4312-+x x >0,则⌝p 是⌝q 的____________条件 4、函数f (x )=x |x +a |+b 是奇函数的充要条件是____________5、“θ＝2π3”是“tan θ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π2＋θ”的 条件 6、不等式1<x <2π成立是不等式（x-1）tanx>0成立的 条件 7、“m ＝12”是“直线(m ＋2)x ＋3my ＋1＝0与直线(m －2)x ＋(m ＋2)y －3＝0相互垂直”的 条件 8、设m ，n 是平面α内的两条不同直线，l 1，l 2是平面β内两条相交直线，则α⊥β的一个充分不必要条件是( ) A ．l 1⊥m ，l 1⊥n B ．m ⊥l 1，m ⊥l 2 C ．m ⊥l 1，n ⊥l 2 D ．m ∥n ，l 1⊥n9、给出以下四个命题：①若p ∨q 为真命题，则p ∧q 为真命题．②命题“若A ∩B ＝A ，则A ∪B ＝B ”的逆命题．③设a 、b 、c 分别是△ABC 三个内角A 、B 、C 所对的边，若a ＝1，b ＝3，则A ＝30°是B ＝60°的必要不充分条件．④命题“若f (x )是奇函数，则f (－x )是奇函数”的否命题，其中真命题的序号是________．10、设x 、y ∈R ,求证：|x +y |=|x |+|y |成立的充要条件是xy ≥0.11、已知a ,b 是实数，求证：a 4－b 4=1+2b 2成立的充分条件是a 2－b 2=1,该条件是否是必要条件？证明你的结论.12、已知p ：函数)32(log )(22+-=mx x x f 在),(+∞a 上是增函数；q ：方程01)2(442=+-+x m x 无实根，若p 的充分不必要条件是q ，求a 的取值范围。
高二数学逻辑用语的知识点
高二数学逻辑用语的知识点高二数学关于常用逻辑用语的知识点在我们平凡无奇的学生时代，大家都背过不少知识点，肯定对知识点非常熟悉吧！知识点也可以理解为考试时会涉及到的知识，也就是大纲的分支。
为了帮助大家更高效的学习，下面是店铺精心整理的高二数学关于常用逻辑用语的知识点，希望对大家有所帮助。
常用逻辑用语：1、四种命题：⑴原命题：若p则q；⑵逆命题：若q则p；⑶否命题：若 p则 q；⑷逆否命题：若 q则 p注：1、原命题与逆否命题等价；逆命题与否命题等价。
判断命题真假时注意转化。
2、注意命题的否定与否命题的区别：命题否定形式是；否命题是。
命题或的否定是且且的否定是或。
3、逻辑联结词：⑴且（and）：命题形式 p q； p q p q p q p⑵或（or）：命题形式 p q；真真真真假⑶非（not）：命题形式 p 。
真假假真假假真假真真假假假假真或命题的真假特点是一真即真，要假全假且命题的真假特点是一假即假，要真全真非命题的真假特点是一真一假2、充要条件由条件可推出结论，条件是结论成立的充分条件；由结论可推出条件，则条件是结论成立的必要条件。
3、全称命题与特称命题：短语所有在陈述中表示所述事物的全体，逻辑中通常叫做全称量词，并用符号表示。
含有全体量词的命题，叫做全称命题。
短语有一个或有些或至少有一个在陈述中表示所述事物的个体或部分，逻辑中通常叫做存在量词，并用符号表示，含有存在量词的命题，叫做存在性命题。
全称命题p：；全称命题p的否定 p：。
特称命题p：；特称命题p的否定 p：高中数学常见逻辑用语：充分条件、必要条件是什么？假设p和q是两个条件：（1）如果“若p，则q”为真命题，则p成立一定能得到q成立，即q成立，则称p是q的充分条件，同时也称q是p的必要条件。
（2）如果“若q，则p”为真命题，则q成立一定能推出p成立，即p成立，则称q是p的充分条件，同时也称q是p的必要条件。
所以，“充分条件”和“必要条件”跟在”的前后位置有关，与所用的字母符号无关。
集合、充分必要条件、逻辑连接词
第1讲集合的概念和运算抓住3个考点（考点梳理）1．集合的基本概念(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法、区间法．(4)常用数集：自然数集N；正整数集N+(或N*)；整数集Z；有理数集Q；实数集R.(5)集合的分类：按集合中元素个数划分，集合可以分为有限集、无限集、空集．2．集合间的基本关系(1)子集：对任意的x∈A，都有x∈B，则A⊆B(或B⊇A)．(2)真子集：若A⊆B，且A≠B，则A B(或B A)．(3)空集：空集是任意一个集合的子集，是任何非空集合的真子集．即∅⊆A，∅B(B≠∅)．(4)集合相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.3．集合的基本运算及其性质(1)并集：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．(2)交集：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．(3)补集：∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}，U为全集，∁U A表示A相对于全集U的补集．(4)集合的运算性质①A∪B＝A⇔B⊆A，A∩B＝A⇔A⊆B；②A∩A＝A，A∩∅＝∅；③A∪A＝A，A∪∅＝A；④A∩∁U A＝∅，A∪∁U A＝U，∁U(∁U A)＝A.常用一条性质若集合A中含有n个元素，则A的子集有2n个，A的真子集有2n－1个．关注两个“易错点”(1)注意空集在解题中的应用，防止遗漏空集而导致失误，如A⊆B，A∩B＝A，A∪B＝B中A＝∅的情况需特别注意；(2)对于含参数的两集合具有包含关系时，端点的取舍是易错点，对端点要单独考虑．考点自测1．(2012·)设集合M＝{－1,0,1}，N＝{x|x2＝x}，则M∩N＝( )．A．{－1,0,1}B．{0,1} C．{1}D．{0}2．(2012·)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为( )．A ．1B ．2C ．3D ．43．(2012·皖南八校三模)设全集U ＝{1,2,3,4,5,6}，集合A ＝{1,2,4}，B ＝{3,4,5}，则图中的阴影部分表示的集合为( )．A ．{5}B ．{4}C ．{1,2}D ．{3,5}4．(2012·XX 一模)设全集U ＝{x |x ∈N *，x <6}，集合A ＝{1,3}，B ＝{3,5}，则∁U (A ∪B )A ．{1,4}B ．{1,5}C ．{2,5}D ．{2,4}5．(2012·XX)已知集合A ＝{x ∈R||x ＋2|<3}，集合B ＝{x ∈R|(x －m )(x －2)<0}，且A ∩B ＝(－1，n )，则m ＝________，n ＝________.考向一 集合的基本概念【例1】►已知a ∈R ，b ∈R ，若⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ，b a ，1＝{a 2，a ＋b,0}，则a 2 014＋b 2 014＝________.【训练1】(2012·东北四校一模)集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈N *⎪⎪⎪12x ∈Z 中含有的元素个数为( )． A ．4 B ．6 C ．8 D ．12考向二 集合间的基本关系【例2】►已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1<x <2m －1}，若B ⊆A ，XX 数m 的取值X 围．【训练2】 已知集合A ＝{x |log 2x ≤2}，B ＝(－∞，a )，若A ⊆B ，则实数a 的取值X 围是(c ，＋∞)，其中c ＝________.考向三 集合的基本运算【例3】►(1)(2012·)设集合A ＝{x |－3≤2x －1≤3}，集合B 为函数y ＝lg(x －1)的定义域，则A ∩B ＝( )．A ．(1,2)B ．[1,2]C ．[1,2)D ．(1,2](2)(2012·)已知全集U ＝{0,1,2,3,4}，集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2,4}，则(∁U A )∪B 为( )．A ．{1,2,4}B ．{2,3,4}C ．{0,2,4}D ．{0,2,3,4}【训练3】 集合A ＝{0,2，a }，B ＝{1，a 2}，若A ∪B ＝{0,1,2,4,16}，则a 的值为( )．A ．0B ．1C ．2D ．4热点突破1：集合问题的求解策略【命题研究】高考对集合的考查有两种形式：一是考查集合间的包含关系或交、并、补的基本运算；二是以集合为工具考查集合语言和集合思想在方程、不等式、解析几何等中的运用．一、集合与不等式交汇问题的解题策略【真题探究1】►(2012·)已知集合A ＝{x ∈R|3x ＋2>0}，B ＝{x ∈R|(x ＋1)(x －3)>0}，则A ∩B ＝( )．A ．(－∞，－1) B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1，－23C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，3D ．(3，＋∞) 【试一试1】 已知全集U ＝{y |y ＝log 2x ，x >1}，集合P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪⎪y ＝1x ，x >3，则∁U P ＝( )． A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞ B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13C ．(0，＋∞) D．(－∞，0)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞ 二、集合中新定义问题的求解策略【真题探究2】►(2012·新课标全国)已知集合A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x －y ∈A }，则B 中所含元素的个数为( )．A ．3 B ．6 C ．8 D ．10【试一试2】 定义集合运算：A B ＝{z |z ＝xy ，x ∈A ，y ∈B }，设A ＝{－2 014,0,20 14}，B ＝{ln a ，e a }，则集合A B 的所有元素之和为( )．A ．2 014B ．0C ．－2 014D ．ln 2 014＋e 2 014限时训练A 级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2012·新课标全国)已知集合A ＝{x |x 2－x －2<0}，B ＝{x |－1<x <1}，则( )．A ．AB B ．B AC ．A ＝BD ．A ∩B ＝∅2．(2012·)设全集U ＝{1,2,3,4,5,6}，集合P ＝{1,2,3,4}，Q ＝{3,4,5}，则P ∩(∁U Q )＝A ．{1,2,3,4,6}B ．{1,2,3,4,5}C ．{1,2,5}D ．{1,2}3．(2012·XX 质检)设集合U ＝{x |x <5，x ∈N *}，M ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}，则∁U M ＝( )．A ．{1,4}B ．{1,5}C ．{2,3}D ．{3,4}4．(2012·XX 名校联考)若集合A ＝{x ||x |>1，x ∈R}，B ＝{y |y ＝2x 2，x ∈R}，则(∁R A )∩BA ．{x |－1≤x ≤1} B．{x |x ≥0}C．{x |0≤x ≤1}D．∅二、填空题(每小题5分，共10分)5．(2013·XX 模拟)设集合A ＝{－1,1,3}，B ＝{a ＋2，a 2＋4}，A ∩B ＝{3}，则实数a ＝6．(2012·XX)集合A ＝{x ∈R||x －2|≤5}中的最小整数为________．三、解答题(共25分)7．(12分)若集合A ＝{－1,3}，集合B ＝{x |x 2＋ax ＋b ＝0}，且A ＝B ，XX 数a ，b .8．(13分)已知集合A ＝{－4,2a －1，a 2}，B ＝{a －5,1－a,9}，分别求适合下列条件的a 的值．(1)9∈(A ∩B )；(2){9}＝A ∩B .B 级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(2012·XX 一模)已知全集U ＝R ，函数y ＝1x 2－4的定义域为M ，N ＝{x |log 2(x －1)<1}，则如图所示阴影部分所表示的集合是( )．A ．[－2,1)B ．[－2,2]C ．(－∞，－2)∪[3，＋∞) D．(－∞，2) 2．(2012·潍坊二模)设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x 24＋3y 24＝1，B ＝{y |y ＝x 2}，则A ∩B ＝( )． A ．[－2,2] B ．[0,2]C ．[0，＋∞) D．{(－1,1)，(1,1)}二、填空题(每小题5分，共10分)3．给定集合A ，若对于任意a ，b ∈A ，有a ＋b ∈A ，且a －b ∈A ，则称集合A 为闭集合，给出如下三个结论：①集合A ＝{－4，－2,0,2,4}为闭集合；②集合A ＝{n |n ＝3k ，k ∈Z}为闭集合；③若集合A 1，A 2为闭集合，则A 1∪A 2为闭集合．其中正确结论的序号是________． 4．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪6x ＋1≥1，x ∈R ，B ＝{x |x 2－2x －m <0}，若A ∩B ＝{x |－1<x <4}，则实数m 的值为________．三、解答题(共25分)5．(12分)设U ＝R ，集合A ＝{x |x 2＋3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2＋(m ＋1)x ＋m ＝0}．若(∁U A )∩B＝∅，则XX数m的值．6．(13分)(2013·XX模拟)设全集I＝R，已知集合M＝{x|(x＋3)2≤0}，N＝{x|x2＋x－6＝0}．(1)求(∁I M)∩N；(2)记集合A＝(∁I M)∩N，已知集合B＝{x|a－1≤x≤5－a，a∈R}，若B∪A＝A，XX数a的取值X围．第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件抓住2个考点（考点梳理）1．四种命题及其关系(1)命题的概念可以判断真假、用文字或符号表述的语句叫作命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．(2)四种命题间的相互关系(3)四种命题的真假判断①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性．②两个命题互为逆命题或否命题，它们的真假性没有关系．2．充分条件、必要条件与充要条件(1)“若p则q”命题为真时，记作p⇒q，称p是q的充分条件，q是p的必要条件．(2)如果既有p ⇒q ，又有q ⇒p ，记作p ⇔q ，则p 是q 的充要条件，q 也是p 的充要条件．一个等价关系互为逆否命题的两个命题的真假相同，对于难于判断的命题转化为其等价命题来判断． 两种方法充分条件、必要条件的判断方法：(1)定义法：直接判断若p 则q 、若q 则p 的真假．(2)集合法：记A ＝{x |x ∈p }，B ＝{x |x ∈q }．若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件或q 是p 的必要条件；若A ＝B ，则p 是q 的充要条件．考点自测1．(2012·)命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是( )． A ．若α≠π4，则tan α≠1 B．若α＝π4，则tan α≠1 C ．若tan α≠1，则α≠π4D ．若tan α≠1，则α＝π42．(2012·XX)设x ∈R ，则“x >12”是“2x 2＋x －1>0”的( )． A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．(课本习题改编)命题“如果b 2－4ac ＞0，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个不相等的实根”的否命题、逆命题和逆否命题中是真命题的个数为( )．A ．0B ．1C ．2D ．34．已知a ，b ，c ∈R ，命题“若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2≥3”的否命题是( )．A ．若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2＜3B ．若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2＜3C ．若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2≥3D．若a 2＋b 2＋c 2≥3，则a ＋b ＋c ＝35．下列命题中所有真命题的序号是________．①“a ＞b ”是“a 2＞b 2”的充分条件；②“|a |＞|b |”是“a 2＞b 2”的必要条件； ③“a ＞b ”是“a ＋c ＞b ＋c ”的充要条件．考向一 四种命题及其关系【例1】►(2012·XX 模拟)下列有关命题的说法正确的是( )．A ．命题“若xy ＝0，则x ＝0”的否命题为“若xy ＝0，则x ≠0”B ．“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题为真命题C ．命题“∃x ∈R ，使得2x 2－1<0”的否定是“∀x ∈R ，均有2x 2－1<0”D ．命题“若cos x ＝cos y ，则x ＝y ”的逆否命题为真命题【训练1】 以下关于命题的说法正确的有________(填写所有正确命题的序号)．①“若log 2a >0，则函数f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)在其定义域内是减函数”是真命题； ②命题“若a ＝0，则ab ＝0”的否命题是“若a ≠0，则ab ≠0”；③命题“若x ，y 都是偶数，则x ＋y 也是偶数”的逆命题为真命题；④命题“若a ∈M ，则b ∉M ”与命题“若b ∈M ，则a ∉M ”等价．考向二 充分条件与必要条件的判断【例2】►(2013·XX 省九校联考)已知a ，b ∈R ，那么“a 2＋b 2<1”是“ab ＋1>a ＋b ”（ ）A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件【训练2】(2012·东北三校联合模拟)“λ<1”是“数列a n ＝n 2－2λn (n ∈N *)为递增数列”A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 考向三 充要条件的探求【例3】►(2011·)设n ∈N *，二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数根的充要条件是n （ ）【训练3】(2012·)已知向量a ＝(x －1,2)，b ＝(2,1)，则a ⊥b 的充要条件是( )．A ．x ＝－12B ．x ＝1C ．x ＝5D ．x ＝0a >0且a ≠1，则“函数f (x )＝a x 在R 上是减函数”是“函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数”的( )．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【试一试】 若a ，b 为实数，则“ab <1”是“0<a <1b”的( )． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2012·)命题“若p ，则q ”的逆命题是( )．A ．若q ，则pB ．若非p ，则非qC ．若非q ，则非pD ．若p ，则非q2．命题“若f (x )是奇函数，则f (－x )是奇函数”的否命题是( )．A ．若f (x )是偶函数，则f (－x )是偶函数B ．若f (x )不是奇函数，则f (－x )不是奇函数C ．若f (－x )是奇函数，则f (x )是奇函数D ．若f (－x )不是奇函数，则f (x )不是奇函数3．方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是( )．A ．0<a ≤1 B．a <1C ．a ≤1 D．0<a ≤1或a <04．A ＝{x |x －2>0}，B ＝{x |x <0}，C ＝{x |x (x －2)>0}，则“x ∈A ∪B ”是“x ∈C ”的( )．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题(每小题5分，共10分)5．(2013·XX 质检)“m <14”是“二次方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解”的________条件． 6．(2013·XX 模考)下列四个说法：①一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真；②命题“设a ，b ∈R ，若a ＋b ≠6，则a ≠3或b ≠3”是一个假命题；③“x >2”是“1x <12”的充分不必要条件；④原命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真．其中说法不正确的序号是________．三、解答题(共25分)7．(12分)分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．(1)若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0；(2)若x 2＋y 2＝0，则x ，y 全为零．8．(13分)已知p ：x 2－8x －20≤0，q ：x 2－2x ＋1－a 2≤0(a >0)．若p 是q 的充分不必要条件，XX 数a 的取值X 围．B 级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(2012·潍坊二模)下列说法中正确的是( )．A ．命题“若am 2<bm 2，则a <b ”的逆命题是真命题B ．若函数f (x )＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋2x ＋1的图象关于原点对称，则a ＝3 C ．∃x ∈R ，使得sin x ＋cos x ＝43成立 D ．已知x ∈R ，则“x >1”是“x >2”的充分不必要条件2．(2013·潍坊一模)命题“∀x ∈[1,2]，x 2－a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( )．A ．a ≥4 B．a ≤4 C．a ≥5 D ．a ≤5二、填空题(每小题5分，共10分)3．(2013·XX 模拟)若方程x 2－mx ＋2m ＝0有两根，其中一根大于3一根小于3的充要条件是________．4．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪12<2x <8，x ∈R ，B ＝{x |－1<x <m ＋1，x ∈R}，若x ∈B 成立的一个充分不必要的条件是x ∈A ，则实数m 的取值X 围是________． 三、解答题(共25分)5．(12分)求证：关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1的充要条件是a ＋b ＋c ＝0.6．(13分)已知全集U ＝R ，非空集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ x －2x －3a ＋1<0，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x －a 2－2x －a <0. (1)当a ＝12时，求(∁U B )∩A ； (2)命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，若q 是p 的必要条件，XX 数a 的取值X 围．第3讲全称量词与存在量词、逻辑联结词“且、或、非”考点梳理）1．简单的逻辑联结词命题中的“或”、“且”、“非”叫作逻辑联结词．2．全称量词与存在量词(1)常见的全称量词有：“任意一个”、“一切”、“每一个”、“任给”、“所有的”(2)常见的存在量词有：“存在一个”、“至少有一个”、“有些”、“有一个”、“某个”、“有的”等．(3)全称命题与特称命题①含有全称量词的命题叫全称命题．②含有存在量词的命题叫特称命题．3．命题的否定(1)全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题．(2)p或q的否定为：非p且非q；p且q的否定为：非p或非q.一个逆用p∧q为真，p，q都为真．p∨q为真，p，q至少有一个为真．p∨q为假，两个都假．两点提醒(1)注意命题是全称命题还是特称命题，是正确写出命题的否定的前提．(2)注意命题所含的量词，对于量词隐含的命题要结合命题的含义显现量词，再进行否定．考点自测1．若p是真命题，q是假命题，则( )．A．p∧q是真命题B．p∨q是假命题C．非p是真命题D．非q是真命题2．(2012·)命题“存在实数x，使x>1”的否定是( )．A．对任意实数x，都有x>1 B．不存在实数x，使x≤1C．对任意实数x，都有x≤1 D．存在实数x，使x≤13．若命题“∃x∈R，有x2－mx－m<0”是假命题，则实数m的取值X围是________．4．下列四个命题中，其中为真命题的是( )．A ．∀x ∈R ，x 2＋3<0B ．∀x ∈N ，x 2≥1C．∃x ∈Z ，使x 5<1 D ．∃x ∈Q ，x 2＝35．p ，q 是两个简单命题，那么“p ∧q 是假命题”是“p ∨q 是假命题”的( )．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件含有逻辑联结词的命题的真假判断【例1】►已知命题p ：∃x ∈R ，使tan x ＝1，命题q ：x 2－3x ＋2<0的解集是{x |1<x <2}，给出下列结论：①命题“p ∧q ”是真命题；②命题“p ∧非q ”是假命题；③命题“非p ∨q ”是真命题；④命题“非p ∨非q ”是假命题．其中正确的是( )．A ．②③B ．①②④C ．①③④D ．①②③④【训练1】 已知命题p ：∅⊆{0}，q ：{1}∈{1,2}，由它们构成的“p 或q ”，“p 且q ”，“ 非p ”形式的命题中，真命题有( )．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个考向二 含有一个量词的命题的否定【例2】►(2012·)命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是( )．A ．任意一个有理数，它的平方是有理数B ．任意一个无理数，它的平方不是有理数C ．存在一个有理数，它的平方是有理数D ．存在一个无理数，它的平方不是有理数【训练2】(2012·长安一中模拟)命题“∃x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，tan x 0>sin x 0”的否定是________．【例3】►下列命题中，真命题是( )．A ．∃m 0∈R ，使函数f (x )＝x 2＋m 0x (x ∈R)是偶函数B ．∃m 0∈R ，使函数f (x )＝x 2＋m 0x (x ∈R)是奇函数C ．∀m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R)都是偶函数D ．∀m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R)都是奇函数【训练3】(2012·XX 模拟)下列命题中的假命题是( )．A ．∃x 0∈R ，lg x 0＝0B ．∃x 0∈R ，tan x 0＝3C ．∀x ∈R ，x 3＞0D ．∀x ∈R,2x ＞0p ：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的图象关于直线x ＝π2对称．则下列判断正确的是( )． A ．p 为真 B ．非q 为假C ．p ∧q 为假 D ．p ∨q 为真【试一试】 已知命题p ：抛物线y ＝2x 2的准线方程为y ＝－12；命题q ：若函数f (x ＋1)为偶函数，则f (x )关于x ＝1对称．则下列命题是真命题的是( )．A ．p ∧qB ．p ∨非qC ．非p ∧非qD ．p ∨q级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2012·XX 二模)如果命题“p 且q ”是假命题，“綈q ”也是假命题，则( )．A ．命题“非p 或q ”是假命题B ．命题“p 或q ”是假命题C ．命题“非p 且q ”是真命题D ．命题“p 且非q ”是真命题2．(2013·XX 模拟)已知命题p ：有的三角形是等边三角形，则( )．A ．非p ：有的三角形不是等边三角形B ．非p ：有的三角形是不等边三角形C ．非p ：所有的三角形都是等边三角形D ．非p ：所有的三角形都不是等边三角形 3．(2012·XX 质检)下列命题中的真命题是( )．A ．∃x ∈R ，使得sin x ＋cos x ＝32B ．∀x ∈(0，＋∞)，e x >x ＋1C ．∃x ∈(－∞，0)，2x <3xD ．∀x ∈(0，π)，sin x >cos x4．(2013·潍坊模拟)已知命题p ：∃a 0∈R ，曲线x 2＋y 2a 0＝1为双曲线；命题q ：x 2－7x ＋12＜0的解集是{x |3＜x ＜4}．给出下列结论：①命题“p 且q ”是真命题；②命题“p 且非q ”是假命题；③命题“非p 或q ”是真命题；④命题“非p 或非q ”是假命题．其中正确的是( )．A ．②③B ．①②④C ．①③④D ．①②③④二、填空题(每小题5分，共10分)5．命题“存在x ∈R ，使得x 2＋2x ＋5＝0成立”的否定是________．6．(2012·XX 调研)存在实数x ，使得x 2－4bx ＋3b <0成立，则b 的取值X 围是________．三、解答题(共25分)7．(12分)写出由下列各组命题构成的“p 或q ”，“p 且q ”，“非p ”形式的新命题，并判断其真假．(1)p ：2是4的约数，q ：2是6的约数；(2)p ：矩形的对角线相等，q ：矩形的对角线互相平分；(3)p ：方程x 2＋x －1＝0的两个实根的符号相同，q ：方程x 2＋x －1＝0的两实根的绝对值相等．8．(13分)写出下列命题的否定，并判断真假．(1)所有的矩形都是平行四边形；(2)每一个素数都是奇数；(3)有些实数的绝对值是正数；(4)某些平行四边形是菱形．B 级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(2012·XX 二模)给出如下几个结论：①命题“∃x ∈R ，cos x ＋sin x ＝2”的否定是“∃x ∈R ，cos x ＋sin x ≠2”；②命题“∃x ∈R ，cos x ＋1sin x ≥2”的否定是“∀x ∈R ，cos x ＋1sin x<2”； ③对于∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，tan x ＋1tan x ≥2；④∃x ∈R ，使sin x ＋cos x ＝ 2. 其中正确的为( )．A ．③B ．③④C ．②③④D ．①②③④2．(2012·XX 六校联考)已知命题p ：“∀x ∈[1,2]都有x 2≥a ”．命题q ：“∃x ∈R ，使得x 2＋2ax ＋2－a ＝0成立”，若命题“p 且q ”是真命题，则实数a 的取值X 围是( )．A ．(－∞，－2]B ．(－2,1)C ．(－∞，－2]∪{1}D ．[1，＋∞)二、填空题(每小题5分，共10分)3．若命题“∀x ∈R ，ax 2－ax －2≤0”是真命题，则实数a 的取值X 围是________．4．(2013·XX 调研)下列结论：①p ：∃x ∈R ，tan x ＝33；q ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1>0.则“p ∧非q ”是假命题； ②已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0，l 2：x ＋by ＋1＝0，则l 1⊥l 2的充要条件是a b＝－3； ③命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题为：“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”．其中正确结论的序号为________．三、解答题(共25分)5．(12分)已知c >0，设命题p ：函数y ＝c x 在R 上为减函数．命题q ：当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2时，函数f (x )＝x ＋1x >1c恒成立．如果“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，求c 的取值X 围．.6．(13分)已知命题p ：方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负根；命题q ：方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根．若“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，XX 数m 的取值X 围．小题专项集训（一）集合与常用逻辑用语一、选择题(每小题5分，共50分)1．(2012·XX 调研)设全集U ＝{1,3,5,6,8}，A ＝{1,6}，B ＝{5,6,8}，则(∁U A )∩B ＝( )．A ．{6}B ．{5,8}C ．{6,8}D ．{5,6,8}2．(2012·)命题“∃x 0∈∁R Q ，x 30∈Q”的否定是( )．A ．∃x 0∉∁R Q ，x 30∈QB ．∃x 0∈∁R Q ，x 30∉QC ．∀x ∉∁R Q ，x 3∈QD ．∀x ∈∁R Q ，x 3∉Q3．(2012·)已知集合M ＝{1,2,3,4}，N ＝{－2,2}，下列结论成立的是( )．A ．N ⊆MB ．M ∪N ＝MC ．M ∩N ＝ND ．M ∩N ＝{2}4．(2013·XX 重点中学联考)已知集合A ＝{圆}，B ＝{直线}，则A ∩B 为( )．A．∅B．单元素集C．两个元素的集合D．以上情况均有可能5．(2012·)设a，b∈R，则“a＝0”是“复数a＋b i是纯虚数”的( )．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．已知集合A＝{x|x2－2x＋a>0}，且1∉A，则实数a的取值X围是( )．A．(－∞，1] B．[1，＋∞)C．[0，＋∞) D．(－∞，－1)7．(2013·“江南十校”联考)命题p：若a·b>0，则a与b的夹角为锐角；命题q：若函数f(x)在(－∞，0]及(0，＋∞)上都是减函数，则f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数．下列说法中正确的是( )．A．“p或q”是真命题B．“p或q”是假命题C．非p为假命题D．非q为假命题8．(2012·XX模拟)若函数f(x)＝1－x的定义域为A，函数g(x)＝lg(x－1)，x∈[2,11]的值域为B，则A∩B等于( )．A．(－∞，1] B．(－∞，1) C．[0,1] D．[0,1)9．(2012·哈师大附中模拟)设x，y是两个实数，则命题“x，y中至少有一个数大于1”成立的充分不必要条件是( )．A．x＋y＝2 B．x＋y>2C．x2＋y2>2 D．xy>110．(2013·XX四校联考)下列有关命题的说法正确的是( )．A．命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2＝1，则x≠1”B．“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的必要不充分条件C．命题“∃x∈R，使得x2＋x－1<0”的否定是“∀x∈R，均有x2＋x－1>0”D．命题“若x＝y，则sin x＝sin y”的逆否命题为真命题二、填空题(每小题5分，共25分)11．(2012·XX调研)已知全集U＝R，集合A＝(－∞，0)，B＝{－1，－3，a}，若(∁A)∩B≠∅，则实数a的取值X围是________．U12．(2013·XX模拟)已知集合A＝{x|x<－1或x>1}，B＝{x|log2x>0}，则A∩B＝________.13．(2012·苏北四市三调)命题“若实数a满足a≤2，则a2<4”的否命题是________命题(填“真”或“假”)．14．(2013·XX质检)若命题“∃x∈R，x2＋(a－3)x＋4<0”为假命题，则实数a的取值X围是________．15．已知下列命题：①命题“∃x∈R，x2＋1>3x”的否定是“∀x∈R，x2＋1<3x”；②已知p ，q 为两个命题，若“p ∨q ”为假命题，则“綈p ∧綈q ”为真命题；③“a >2”是“a >5”的充分不必要条件；④“若xy ＝0，则x ＝0且y ＝0”的逆否命题为真命题．真命题的序号是________． 易失分点1 集合中元素的特征认识不明【示例1】► 已知集合M ＝{x |y ＝－x 2＋3x }，N ＝{x ||x |>2}，则M ∩N ＝( )．A ．{x |1<x <3}B ．{x |0<x <3}C ．{x |2<x <3}D ．{x |2<x ≤3}易失分点2 遗忘空集【示例2】► 设集合A ＝{x |x 2＋4x ＝0，x ∈R}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0，a ∈R ，x ∈R}，若B ⊆A ，XX 数a 的取值X 围．易失分点3 忽视集合中元素的互异性【示例3】► 已知集合A ＝{a ＋2，(a ＋1)2，a 2＋3a ＋3}，若1∈A ，XX 数a 的取值集合．易失分点4 充分必要条件颠倒致误【示例4】► 若p ：a ∈R ，|a |<1，q ：关于x 的二次方程x 2＋(a ＋1)x ＋a －2＝0的一个根大于零，另一个根小于零，则p 是q 的( )．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 易失分点5 对含有量词的命题的否定不当【示例5】► 命题“对任意的x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0”的否定是( )．A ．不存在x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0B．存在x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0C ．存在x ∈R ，x 3－x 2＋1>0D ．对任意的x ∈R ，x 3－x 2＋1>0第一章章末检测一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．(2010·)若集合A ＝{x |log 12x ≥12}，则∁R A 等于( )A ．(－∞，0]∪(22，＋∞)B．(22，＋∞)C．(－∞，0]∪[22，＋∞)D．[22，＋∞) 2．(2010·)“m <14”是“一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解”的( ) A ．充分非必要条件 B ．充分必要条件C ．必要非充分条件D ．非充分必要条件3．(2010·XX 一中期中)已知命题p ：∀x ∈R ，x >sin x ，则( )A ．非p ：∃x ∈R ，x <sin xB ．非p ：∀x ∈R ，x ≤sin xC ．非p ：∃x ∈R ，x ≤sin xD ．非p ：∀x ∈R ，x <sin x4．(2010·华南师大附中期中)设集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{0,1,2,4,5}，全集U ＝A ∪B ，则集合∁U (A ∩B )中的元素共有( )A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个5．(2010·XX 一中期中)设集合M ＝{x |2x 2－2x <1}，N ＝{x |y ＝lg(4－x 2)}，则( )A ．M ∪N ＝MB ．(∁R M )∩N ＝RC ．(∁R M )∩N ＝∅D ．M ∩N ＝M6．(2010·XX 交大附中月考)下列命题错误的是( )A ．命题“若m ≤0，则方程x 2＋x ＋m ＝0有实数根”的逆否命题为：“若方程x 2＋x ＋m ＝0无实数根，则m >0”B．“x ＝2”是“x 2－x －2＝0”的充分不必要条件C ．若p ∧q 为假命题，则p ，q 中必有一真一假D ．对于命题p ：∃x ∈R ，x 2＋x ＋1<0，则綈p ：∀x ∈R ，x 2＋x ＋1≥07．(2011·威海模拟)已知命题p ：无穷数列{a n }的前n 项和为S n ，若{a n }是等差数列，则点列{(n ，S n )}在一条抛物线上；命题q ：若实数m >1，则mx 2＋(2m －2)x －1>0的解集为(－∞，＋∞)．对于命题p 的逆否命题s 与命题q 的逆命题r ，下列判断正确的是( )A ．s 是假命题，r 是真命题B ．s 是真命题，r 是假命题C ．s 是假命题，r 是假命题D ．s 是真命题，r 是真命题8．已知命题p ：关于x 的不等式x 4－x 2＋1x2>m 的解集为{x |x ≠0，x ∈R}；命题q ：f (x )＝－(5－2m )x 是减函数．若“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，则实数m 的取值X 围是( )A ．(1,2)B ．[1,2)C ．(－∞，1]D ．(－∞，1)9．(2011·XX 月考)已知集合M ＝{a |a ＝(1,2)＋λ(3,4)，λ∈R}，N ＝{a |a ＝(－2，－2)＋λ(4,5)，λ∈R}，则M ∩N 等于( )A ．{(1,1)}B ．{(1,1)，(－2，－2)}C ．{(－2，－2)}D ．∅10．设f (x )是R 上的减函数，且f (0)＝3，f (3)＝－1，设P ＝{x ||f (x ＋t )－1|<2}，Q ＝{x |f (x )<－1}，若“x ∈P ”是“x ∈Q ”的充分不必要条件，则实数t 的取值X 围是( )A ．t ≤0 B．t ≥0C．t ≤－3 D ．t ≥－311．(2011·XX 模拟)若集合A ＝{x |x 2－9x <0，x ∈N *}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y |4y ∈N *，y ∈N *，则A ∩B 中元素的个数为( )A ．0 B ．1 C ．2 D ．312．(2010·XX 实验中学高三月考)已知f (x )＝(12)x ，命题p ：∀x ∈[0，＋∞)，f (x )≤1，( ) A ．p 是假命题，非p ：∃x 0∈[0，＋∞)，f (x 0)>1B ．p 是假命题，非p ：∀x ∈[0，＋∞)，f (x )≥1C ．p 是真命题，非p ：∃x 0∈[0，＋∞)，f (x 0)>1D ．p 是真命题，非p ：∀x ∈[0，＋∞)，f (x )≥1 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．(2010·XX 一中期中)“lg x >lg y ”是“10x >10y ”的________条件．14．命题“∃x <0，有x 2>0”的否定是______________．15．已知条件p：|x＋1|>2，条件q：5x－6>x2，则非p是非q的________条件．16．(2010·XX苏北三市高三联考)若命题“∃x∈R，使得x2＋(a－1)x＋1<0”是真命题，则实数a的取值X围为______．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知A＝{a＋2,2a2＋a}，若3∈A，求a的值．18．(12分)(2011·XX月考)已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，S＝{x|1－m≤x≤1＋m}，是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件，若存在，求出m的X围．19．(12分)(2011·XX模拟)设命题p：(4x－3)2≤1；命题q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，若非p是非q的必要不充分条件，XX数a的取值X围．20．(12分)已知a>0，设命题p：函数y＝a x在R上单调递增；命题q：不等式ax2－ax＋1>0对∀x∈R恒成立．若p且q为假，p或q为真，求a的取值X 围．21．(14分)(2011·XX模拟)已知三个集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－ax＋a－1＝0}，C＝{x|x2－bx＋2＝0}，问同时满足B A，A∪C＝A的实数a、b是否存在？若存在，求出a、b；若不存在，请说明理纠错集训1．设集合A ＝错误!，B ＝{(x ，y )|y ＝3x }，则A ∩B 的子集的个数是( )．A ．4B ．3C ．2D ．12．设集合A ＝{x ||x －2|≤2，x ∈R}，B ＝{y |y ＝－x 2，－1≤x ≤2}，则∁R (A ∩B )＝( )．A ．RB ．{x |x ∈R ，x ≠0}C．{0} D ．∅3．若条件p ：|x ＋1|≤4，条件q ：x 2<5x －6，则非p 是非q 的( )．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．对于数列{a n }，“a n ＋1>|a n |(n ＝1,2,3，…)”是“{a n }为递增数列”的( )．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．下列命题的否定中真命题的个数是( )．①p ：当Δ<0时，方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0，a ，b ，c ∈R)无实根；②q ：存在 一个整数b ，使函数f (x )＝x 2＋bx ＋1在[0，＋∞)上是单调函数； ③r ：存在x ∈R ，使x 2＋x ＋1≥0不成立．A ．0B ．1C ．2D ．36．已知集合A ＝{x ，xy ，lg(xy )}＝{0，|x |，y }＝B ，则x ＋y ＝________.7．已知集合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ，b a ，1＝{a 2，a ＋b,0}，则a －b ＝________.8．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪⎪ ⎩⎨⎧ x ＋2≥05－x ≥0，B ＝{x |p ＋1≤x ≤2p －1}，若A ∩B ＝B ，XX 数p 的取值X 围．9．已知集合A ＝{1,3，－x 3}，B ＝{1，x ＋2}，是否存在实数x ，使得B ∪(∁A B )＝A ？若存在，求出集合A ，B ；若不存在，请说明理由．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
命制人：张银环 审核人：孙翠玲 使用时间： 2014.
高二数学复习学案（文科） 班级： 姓名： 课题：1.2.2充分必要条件、简单的逻辑连接词、全称量词与存在量词
学习目标：1、进一步理解必要条件、充分条件与充要条件的含义；2、了解逻辑连接词“或”“且”“非”的含义；3、理解全称量词与存在量词的含义
重难点：根据充分必要条件求参数的取值范围.
一、知识梳理
1．如果p ⇒q ，则p 是q 的 ，q 是p 的 .如果p ⇒q ，q ⇒p ，则p 是q 的 .
2、简单的逻辑联结词
（1）用联结词“且”联结命题p, q ，记作 ;用联结词“或”联结命题p , q ，记作 ;对一个命题p 全盘否定，就得到一个新命题，记作 ．
（2）命题p ∧q ，p ∨q ，p ⌝的真假判断： .
3、全称量词与存在量词
（1）全称量词与全称命题 .
（2）存在量词与特称命题 .
4、含有一个量词的命题的否定
二、再现性题组
1、(2011·北京高考)若p 是真命题，q 是假命题，则 ( )
A ．p ∧q 是真命题
B ．p ∨q 是假命题
C ．p ⌝是真命题
D ．q ⌝是真命题
2、（2013.重庆高考）命题“对任意R x ∈，都有02≥x ”的否定为（ ）
A.存在R x ∈ ，使得02< x
B.对任意R x ∈，都有02<x
C.存在R x ∈ ，使得02≥ x
D.不存在R x ∈ ，使得02< x
3、下列命题中的假命题是 （ ）
A. 21,=+∈∃
x x R x B. 1sin ,-=∈∃ x R x C .0,2>∈∀x R x D. 02,>∈∀x R x 4、已知}2,1{}1{:},0{:∈⊆q p φ.由他们构成的新命题“p ∧q ”，“p ∨q ”，“p ⌝”，“q ⌝”中，真命题有 （ ）
A. 1个
B. 2个
C.3个
D. 4个
命题 命题的否定
∀x ∈M ，p (x )
∃x 0∈M ，p (x 0)
只有比别人更勤奋，才能品尝成功的滋味
三、巩固型题组
例1、写出下列命题的否定，并判断其真假.
（1）04
1,2≥+-∈∀x x R x （2）所有的正方形都是矩形； （3）022,2≤++∈∃ x x R x （4）至少有一个实数 x ，使013=+ x .
例2、设条件p ：2x 2－3x ＋1≤0，条件q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．
例3、已知0>c ，且1≠c ，设:p 函数x c y =在R 上单调递减；:q 函数12)(2+-=cx x x f 在),21(+∞上为增函数，若“p ∧q ”为假，“p ∨q ”为真，求实数c 的取值范围.
四、提高型题组
1、已知条件1:≤x p ，条件11:<x
q ，则p ⌝是q 的 （ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
2、“不等式02>+-m x x 在R 上恒成立”的一个充分不必要条件是 （ ）
A. 4
1>m B. 10<<m C. 0>m D. 1>m 3、已知命题,:R m p ∈且01≤+m ；命题01,:2>++∈∀mx x R x q 恒成立，若q p ∧为真命题，求m 的取值范围 .
变式：将“若q p ∧为真命题”该为“若q p ∧为假命题”.
五、课后作业
A 组
1、(2012·湖北高考)命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是( )
A ．任意一个有理数，它的平方是有理数
B ．任意一个无理数，它的平方不是有理数
C ．存在一个有理数，它的平方是有理数
D ．存在一个无理数，它的平方不是有理数
2、命题"11,:"2≥+∈∀x R x p ，则p ⌝是 （ ）
A. 11,2<+∈∀x R x
B. 11,2≤+∈∃x R x
C. 11,2<+∈∃x R x
D.11,2≥+∈∃x R x
3、下列命题中，真命题是( )
A ．∃x 0∈R ，e x 0≤0
B ．∀x ∈R,2x ＞x 2
C ．a ＋b ＝0的充要条件是a b
＝－1 D ．a ＞1，b ＞1是ab ＞1的充分条件 4、已知命题:p 若0)2)(1(≠--x x ，则1≠x 且2≠x ；命题:q 存在实数 x ，使02
< x .下列选中正确的是 （ ）
A. p ⌝
B.q
C.q p ∨⌝
D.p q ∧⌝
5、已知命题2
5sin ,:=∈∃x R x p 使；命题01,:2>++∈∀x x R x q 都有.下列结论中正确的是 （ ） ①命题“q p ∧”是真命题； ②命题“q p ∨⌝”是真命题；
③命题“q p ⌝∨⌝”假命题； ④命题“q p ⌝∧”是假命题；
A. ②③
B. ②④
C. ③④
D.①②③
6、(2012·江西盟校联考)已知命题p ：“∀x ∈[0,1]，a ≥e x ”，命题q ：“∃x ∈R ，x 2＋4x ＋a ＝0”，若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是( )
A ．(4，＋∞)
B ．[1,4]
C ．[e,4]
D ．(－∞，1]
7、若存在,R x ∈ 使022
<++a x ax ,则实数a 的取值范围（ ）
A. 1<a
B. 1≤a
C. 11<<-a
D. 11≤<-a
8、已知:p 方程012=++mx x 有两个不等的负实根；:q 方程01)2(442=+-+x m x 无实根，若p 或q 为真，p 且q 为假，求m 的取值范围.
只有比别人更勤奋，才能品尝成功的滋味
1、(2013·兰州调研)“x ∈{3，a }”是不等式2x －5x －3≥0成立的一个充分不必要条件，则实数a 的取值范围是( )
A ．(3，＋∞) B.),3[)21,(+∞⋃--∞ C.]21,(--∞ D.),3(]2
1,(+∞⋃--∞ 2、已知实数b a ,满足0,0≥≥b a ，且0=ab ，则称b a 与互补.记b a b a b a --+=22),(ϕ，那么0),(=b a ϕ是b a 与互补的 （ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
3、已知集合M ＝{x|x<－3或x>5}，P ＝{x|(x －a )·(x －8)≤0}．
(1)求实数a 的取值范围，使它成为M∩P ＝{x|5<x≤8}的充要条件；
(2)求实数a 的取值范围，使它成为M∩P ＝{x|5<x≤8}的一个必要但不充分条件.。