最新2-2中值定理汇总

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微分中值定理(2024版)

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由的任意性知, 在(a,b)上为常数 . 推论2 设x (a,b),有f (x) g(x),则f (x) g(x) C,x (a,b)
C为确定的常数
例10 证明等式证: 设
令x=0,得
又
故所证等式在定义域
(常数) 上成立.
例
用微分法证 sin2x cos2 x 1
题型五:用柯西中值定理证明不等式
则 (a,b),使得 F() 0.
即 f () f (b) f (a) 0 ba
或 f (b) f (a) f ()(b a).
拉格朗日中值公式
注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.
几何解释:
在曲线弧 AB 上至少有一点 C ,在该点处的切线平行于弦 AB.
至少存在一点 (0,1),使 f ( ) 2[ f (1) f (0)].
分析: 结论可变形为
f (1) f (0) 10
f () 2
f ( x) ( x 2 )
x .
证设 g(x) x2 ,
则 f ( x), g( x) 在[0,1]上满足柯西中值定理的条件,
在(0,1)内至少存在一点, 有
例5 设f(x)在[a,b]连续,在(a,b)可导,且f(a)=f(b), 证明 (a,b),使f ()-f()=0
例6 证明方程 x5 5x 1 0 有且仅有一个小于
1 的正实根.
证设 f ( x) x5 5x 1, 则 f ( x)在[0,1]连续,
且 f (0) 1, f (1) 3.
lim
x 0
f
(
x) x
f
()
0;
f()

高中数学选修22知识点总结

数学选修2-2知识点总结一、导数1．函数的平均变化率为y ff(x 2) f(x 1)f(x 1 x)f(x 1)x x x 2 x 1 x注1：其中x 是自变量的改变量，可正，可负，可零。

注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。

2、导函数的概念:函数在x x 0处的瞬时变化率是，那么称函数在点处可导，并把这个极限叫做在处的导数，记作或，即 =. 函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。

导数的背景〔1〕切线的斜率；〔2〕瞬时速度；〔3〕边际本钱。

5、常见的函数导数和积分公式函数导函数不定积分y cy' 0————————nxn1y x nn N * y' n1x dxnxn1y a x a0,a1y' a x lnaa x dxa xlnaye xy'e xe x dxe xy log a x a0,a1,x0y'1————————xlnay lnxy' 11dxlnxxxy sinxy' cosx cosxdx sinxy cosxy'sinxsinxdx cosx6、常见的导数和定积分运算公式:假设f x ，gx 均可导〔可积〕，那么有：和差的导数运算'f '(x)g '(x)f(x)g(x)'f '(x)g(x) f(x)g '(x)f(x)g(x) 积的导数运算特别地：Cfx 'Cf' xf (x)g(x)''(x)g(x)f(x)g '(x)f2(g(x)0)g(x)商的导数运算特别地：1 g'(x)gx'2xg复合函数的导数y xy u u xbxdx〔其中f微积分根本定理aF'x fx 〕和差的积分运算特别地：积分的区间可加性6.用导数求函数单调区间的步骤 :①求函数f(x)的导数f'(x)②令f'(x)>0,解不等式，得x 的范围就是递增区间.③令f'(x)<0,解不等式，得x 的范围，就是递减区间；[注]：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。

中值定理大全

中值定理大全中值定理是微积分中的一组重要定理，包括了拉格朗日中值定理、柯西中值定理和罗尔中值定理。

下面是这三个定理的详细介绍：1. 拉格朗日中值定理（Lagrange's Mean Value Theorem）：如果一个函数在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导，那么在开区间(a,b)上至少存在一个点c，使得函数的导数在这个点的值等于函数在区间[a,b]上的平均变化率。

即：若$f(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$上可导，则至少存在一个$c \in (a,b)$，使得$f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$。

2. 柯西中值定理（Cauchy's Mean Value Theorem）：如果两个函数在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导，并且其中一个函数在区间的每一点的导数都不为零，那么存在一个点c，使得这两个函数在这个点的导数之比等于它们在区间的函数值之比。

即：若$f(x)$和$g(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$上可导，且$g'(x)$不为零，则存在一个$c \in (a,b)$，使得$\frac{f'(c)}{g'(c)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$。

3. 罗尔中值定理（Rolle's Mean Value Theorem）：如果一个函数在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导，并且在区间的两个端点处的函数值相等，那么至少存在一个点c，使得函数在这个点的导数为零。

即：若$f(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$上可导，且$f(a)=f(b)$，则存在一个$c \in (a,b)$，使得$f'(c)=0$。

这些中值定理在微积分中有广泛的应用，可以用来证明诸如极值存在性、方程的根的存在性等问题，是微积分中的重要工具。

[整理]2中值定理

§2 中值定理【考试要求】1.理解并会应用罗尔定理、拉格朗日中值定理和泰勒定理，了解并会用柯西中值定理.2.掌握用洛必达法则求未定式极限的方法.--------------------------一、基本定理 1.费尔马定理设函数()f x 在点0x 处可导，且在点0x 的某个邻域()0U x 内，有()()0f x f x ≤或()()()0f x f x ≥，则()00f x '=.2.罗尔定理-------------------------- 设函数()f x满足条件（1）在[],a b上连续；（2）在(),a b内可导；（3）()()f a f b=，则(),a bξ∃∈，使得()0fξ'=.3. 拉格朗日中值定理设函数()f x满足条件（1）在[],a b上连续；（2）在(),a b内可导，则(),a bξ∃∈，使得--------------------------()()()()f b f a f b a ξ'-=- ()a b ξ<<，或写成 ()()()()f b f a f a b a b a θ'⎡⎤-=+--⎣⎦()(),01a b a ξθθ=+-<<.注拉格朗日中值公式也可写成()()()f x x f x f x x x θ'+∆-=+∆⋅∆()01θ<<,--------------------------称为函数的有限增量公式.推论1 设函数()f x 在(),a b 内可导，且()0f x '≡，则()f x C ≡（常数）.推论2 设函数()f x 与 ()g x 在(),a b 内可导，且()()f x g x ''≡，则()()f x g x C ≡+.4.柯西中值定理--------------------------设函数()f x 和()g x 满足条件（1）在闭区间[],a b 上连续；（2）在(),a b 内可导，且()0g x '≠，则(),a b ξ∃∈，使得()()()()()()f b f a fg b g a g ξξ'-='- ()a b ξ<<.5.泰勒公式定理1 设函数()f x 在0x 的某个邻域()0U x 内--------------------------n 阶可导，则有泰勒公式()()()()()()()()()200000()002!,!n nn f x f x f x f x x x x x fx x x R x n '''=+-+-++-+其中 ()()()0nR x x x ο=-()0x x →称为皮亚诺型余项.定理2 设函数()f x 在含有0x 的某个开区--------------------------(),a b 内1n +阶可导，则当(),x a b ∈时，有泰勒公式()()()()()()()()()200000()002!,!n nn f x f x f x f x x x x x fx x x R x n '''=+-+-++-+--------------------------其中 ()()()()(1)101!n n fR x x x n ξ++=-+（ξ在x 与0x 之间），称为拉格朗日型余项.当00x =时，得麦克劳林公式()()()()()()2()0002!0,!n n nf f x f f x xfx Rx n '''=+++++--------------------------其中 ()()nR x xο=()0x →或()()()()111!n n fR x x n ξ++=+ （ξ在0与x 之间）,也可写为()()()()111!n n fx R x x n θ++=+()01θ<<.常用的麦克劳林公式-------------（1）()231e e 12!3!!1!n xn x x x x x n n ξ+=+++++++ （ξ在0与x 之间），或()23e 12!3!!nxn x x x x x n ο=++++++；（2）-------------()()()3521121sin 3!5!21sin 21,21!21!m m m x xx x m x x m m ξπ--+=-+-+⎛⎫+ ⎪⎝⎭+-+-+ 或()()()3521121sin 1;3!5!21!m m m x xx x x x m ο---=-+-+-+--------------（3）()()()24221cos 12!4!21cos 21,2!21!mm m x xx m x x m m ξπ+=-+-+⎛⎫+ ⎪⎝⎭+-++ 或()()()2422cos 112!4!2!mmmx xx x x m ο=-+-+-+；-------------（4）()()()()()23111ln 12311,11nnn n n x xx x x x n n ξ-+++=-+--+-+++或()()()231ln 11;23nn nx xx x x x nο-+=-+-+-+-------------（5）()()21112!x x x αααα-+=+++()()()()()()111111,!1!n n n n n x x n n αααααααξ--+--+--++++ 或--------------------------()()21112!x x x αααα-+=+++()()()11!n nn x x n αααο--+++.二、重要结论求辅助函数（原函数）时常用的几个求导公式:-------------（1） ()()()xf x f x xf x ''⎡⎤=+⎣⎦；（2）()()()e e xxf x f x f x λλλ''⎡⎤⎡⎤=+⎣⎦⎣⎦；（3）()()()()()()f x g x f x g x f x g x '''⎡⎤⋅=⋅+⋅⎣⎦；（4）()()f x kx f x k ''⎡⎤+=+⎣⎦；-------------（5）()()()d xaf t tf x '=⎰；（6）()()()()bf x ag x bf x ag x '''⎡⎤-=-⎣⎦；（7）()()()ln ln f x f x x f x x x''⎡⎤⋅=+⎣⎦；三、典型例题题型1 关于∃一个ξ，使--------------------------()()0n fξ=()1,2,n =的证明提示：证法有以下三条思路: （1）验证()()1n fx -在[],a b 上.s t 罗尔定理条件，可得证明；（2）利用泰勒公式证明（适合于二阶及二阶以上可导的情况）；--------------------------（3）利用费尔马定理证明.例1 设()f x 在[]0,1上连续，在()0,1内可导，且()()1233d 0f x x f =⎰，证明：在()0,1内至少存在一点ξ，使得()0f ξ'=．提示：利用积分中值定理，找合适的子区间[]()12,0,1x x ⊂，使()()12f x f x =，在子区间--------------------------[]12,x x 上应用罗尔定理即可.证明由积分中值定理知12,13ξ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，使()()12133d f x x f ξ=⎰，即()()10,f f ξ=又()f x 在[]10,ξ上连续，在()10,ξ內可导，由罗尔定理知，()()10,0,1,ξξ∃∈⊂使()0f ξ'=.□--------------------------例2 设()f x 在[]0,2上连续，在()0,2内具有二阶导数，且()12lim0cos πx f x x→=，()()1122d 2f x x f =⎰，证明()0,2ξ∃∈，使得()0f ξ''=．提示：在[]0,2上寻找不同的两点12,x x ，构--------------------------造子区间[]()12,0,2x x ⊂，使()()12f x f x =，再对()f x '在[]12,x x 应用罗尔定理即可．证明由条件()()1122d 2f x x f =⎰及积分中值定理知，11,12ξ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，使()()12f f ξ=，对()f x 在子区间[]1,2ξ上应用洛尔定理知，--------------------------()21,2ξξ∃∈，使()20f ξ'=，又已知()f x 在()0,2内具有二阶导数，知()f x '连续，()()1122limlim0cos ππsin πx x f x f x xx→→'∴==-，()121lim 02x f x f →⎛⎫''⇒== ⎪⎝⎭，再对()f x '在区间--------------------------21,2ξ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上应用洛尔定理知，()211,,20,222ξξ⎛⎫⎛⎫∃∈⊂⊂ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，使()0f ξ''=.例3 已知()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内()f x ''存在，又连结()(),A a f a ，()(),B b f b 两点的直线交曲线()y f x =于点()(),C c f c ，且--------------------------a cb <<，试证：∃一个(),a b ξ∈，使得()0f ξ''=．提示：由点,,A B C 共线()()()()()()f c f a f b f c f b f a c ab cb a---⇒==---.证明对()f x 在[],a c 和[],c b 上分别应用拉格朗日中值定理得--------------------------()()()()11,,f c f a f a c c a ξξ-'=∈-，()()()()22,,f b f c f c b b cξξ-'=∈-，由切线∥弦AB 及,,A B C 三点共线可知，()()()()12f b f a f f b aξξ-''==-，再对()f x '在[]12,ξξ上应用罗尔定理知，--------------------------()()12,,a b ξξξ∃∈⊂，使()0f ξ''=.例4 若()f x 在[],a b 上具有n 阶导数，且()()()()()()10n f a f b f b f b fb -'''======，则(),a b ξ∃∈，使得()()0n fξ=．提示：有两种方法（1）连续使用n 次罗尔定理，即()()1,,n b a b ξξ-∃∈⊂，使()()0n fξ=；--------------------------（2）若题设条件为()f x n 阶可导，选取合适的点0x ，使()f x 在0x 展成比n 低一阶的泰勒公式，使问题得证．证法1 对()f x 在[],a b 上应用罗尔定理知，()1,a b ξ∃∈，使()10f ξ'=，()()10f f b ξ''∴==；对()f x '在[]1,b ξ上应用--------------------------罗尔定理知，()21,b ξξ∃∈，使()20f ξ''=，()()20f f b ξ''''∴==；再对()f x ''在[]2,b ξ上应用罗尔定理知，()32,b ξξ∃∈，使()30,,f ξ'''=()()()()1110n n n ffb ξ---∴==；最后再对()()1n fx -在[]1,n b ξ-上应用罗尔定--------------------------理知，()()1,,n b a b ξξ-∃∈⊂，使()()0n fξ=. □证法2 取()()()()()(100n x bf b f b f b fb -'''======，将()f x 在0x b =展开为1n -阶泰勒公式，即()()()()()()22!f b f x f b f b x b x b '''=+-+-+-------------()()()()()()()1111!!n n n nfb fx b x b n n ξ--+-+--（1ξ在x 与b 之间）.由条件()()()()()()10n f a f b f b f b fb -'''======得-------------()()()()1!n nff x x b n ξ=-.令()()()()(),,!n nfx a f a a b a b n ξξ=⇒=-∈，()0,0,f a a b =-≠ 故有()()()0,,n fa b ξξ=∈.--------------------------例5 设()f x 在[],a b 上可导，且()()0f a f b +-''⋅<，则(),a b ξ∃∈，使得()0f ξ'=．提示：此题找不到子区间使两端点的函数值相等，所以不能用罗尔定理，若用泰勒公式，通常要知道一个端点的各阶导数值，条件也无，因此，只能考虑用费尔马定理.--------------------------证明由()()0f a f b +-''⋅<知，()f a +'与()f b -'异号，不妨设()()0,0f a f b +-''><，由导数定义()()()lim 0x af x f a f a x a ++→-'=>- 及()()()lim 0x bf x f b f b x b--→-'=<-.由极限的保号性--------------------------知，10δ∃>，及20δ>，当()1,x a a δ∈+及()2,x b b δ∈-时，有()()()()()0(1)f x f a f x f a x a x a ->⇒>>-，及()()()()()0(2)f x f b f x f b x b x b -<⇒><-.--------------------------又()f x 在[],a b 上连续，()f x ∴在[],a b 上必有最大值，由（1），（2）知，最大值不在[],a b 的端点上取得，必在(),a b 内部取得.不妨设(),a b ξ∈，()()()()()(),max ,,a b f f x f x f x a b ξξ=⇒≤∈，又()f x 在[],a b 上可导，由费尔马定理知--------------------------()0f ξ'=.题型2 关于存在一个ξ，使()(),,0F f f ξξξ'⎡⎤=⎣⎦的证明提示：构造辅助函数，用罗尔定理．构造函数步骤：（1）将ξ换为x ；（2）恒等变形，便于积分；（3）积分（或解微分方程）；--------------------------（4）分离常数：()(),F x f x C =，则()(),F x f x 即为所需的辅助函数．例1 设()f x 在[],a b 上可导，()()f a f b =，证明：(),a b ξ∃∈，使()()()f a f f ξξξ'-=．提示：方法1 构造辅助函数()()()F x xf x f a x =-在[],a b 上应用罗尔定--------------------------理即可.方法2 构造辅助函数()()F x xf x =，在[],a b 上应用拉格朗日中值定理即可.证明法1()()()()()0x f f f a xf x f a x ξξξξ=''⎡⎤+-=-=⎣⎦.--------------------------令()()()F x xf x f a x =-，则()F x 在[],a b 上连续，在(),a b 內可导，且()()0F a F b ==，由罗尔定理知，(),a b ξ∃∈，使()0F ξ'=，即结论成立.法2 ()()f a f b =，所证等式即--------------------------()()()()()(),x f a f f bf b af a xf x b a ξξξξ='=+-'⎡⎤⇔=⎣⎦-令()()F x xf x =，则()F x 在[],a b 上连续，在(),a b 內可导，由拉格朗日中值定理知，(),a b ξ∃∈，使()()()F b F a F b a ξ-'=-，------------- 即结论成立.注将含ξ的项移至等号的右端，左端化为差商求辅助函数.例2 设()f x ，()g x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，且对(),x a b ∀∈，有()0g x '≠，求证：(),a b ξ∃∈，使得 ()()()()()()f a f fg g b g ξξξξ'-='-．------------- 提示：构造辅助函数()()()()()()()F x f x g b f a g x fx g x =+-在[],a b 上应用罗尔定理即可.证明将结论中的ξ换为x 得()()()()()()f a f x f x g x g b g x '-='-,即()()()()f x g b f a g x ''+--------------------------()()()(),f x g x f x g x ''=+两边积分得()()()()()()f x g b f a g x f x g x C +=+，分离常数()()()()()()f x g b f a g x f x g x C +-=，令--------------------------()()()()()()()F x f x g b f a g x f x g x =+-，()()()()()()()()()()F a f a g b f a g a f a g a f a g b F b =+-== 由罗尔定理知，(),a b ξ∃∈，使()0F ξ'=，()()()()()()()()()0,F f g b f a g f g f g ξξξξξξξ'''''∴=+-+=--------------------------即 ()()()()()()f a f f g g b g ξξξξ'-='-.例3 设()f x 在[]0,1上连续，()0,1内可导，且()()010f f ==，112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，证明（1）存在1,12η⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使()f ηη=；-------------------------- （2）对任意实数λ，必存在()0,ξη∈，使得()()1f f ξλξξ'⎡⎤--=⎣⎦．提示：（1）构造辅助函数()()F x f x x =-在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上应用由零点定理即可；（2）构造辅助函数()()e xG x f x x λ-⎡⎤=-⎣⎦--------------------------在[]0,η上应用罗尔定理即可.证明（1）将结论中η换为x ，得()f x x =，令()()x f x x ϕ=-，则()x ϕ在[]1,10,12⎡⎤⊂⎢⎥⎣⎦上连续，而111111022222f ϕ⎛⎫⎛⎫=-=-=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，-------------------------- ()()11110f ϕ=-=-<，由零点定理知，1,12η⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得 ()0ϕη=，即()f ηη=.（2）把结论中ξ换为x 得()()1f x f x x λ'⎡⎤--=⎣⎦，恒等变形为。

考研数学中值定理证明题技巧以及结论汇总

目录第一部分：中值定理结论总结 (1)1、介值定理 (1)2、零点定理 (2)3、罗尔定理 (2)4、拉格朗日中值定理 (2)5、柯西中值定理 (2)6、积分中值定理 (3)第二部分：定理运用 (3)第三部分：构造函数基本方法 (9)一、要证明的等式是一阶导数与原函数之间的关系 (10)二、二阶导数与原函数之间关系 (11)第四部分：中值定理重点题型分类汇总（包含所有题型) (14)题型一：中值定理中关于θ的问题题型二：证明f(n)(ξ)=0题型三：证明f(n)(ξ)=C0(≠0)题型四：结论中含一个中值ξ，不含a,b，导数的差距为一阶题型五：含两个中值ξ,η的问题题型六：含a,b及中值ξ的问题题型七：杂例题型八：二阶保号性问题题型九：中值定理证明不等式问题（第一部分：中值定理结论总结1、介值定理：设函数 f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在该区间的端点取不同的函数值 f(a)=A 及f(b)=B ，那么对于 A 与 B 之间的任意一个数 C ，在开区间(a,b)内至少有一点ξ使得f(ξ)=C(a<ξ<b).Ps:c 是介于 A 、B 之间的，结论中的ξ取开区间。

介值定理的推论：设函数 f(x)在闭区间[a,b]上连续,则 f(x)在[a,b]上有最大值 M ，最小值m,若 m≤C≤M,则必存在ξ∈[a,b], 使得 f(ξ)=C 。

闭区间上的连续函数必取得介于最大值 M 与最小值 m 之间的任何值。

此条推论运用较多）Ps ：当题目中提到某个函数 f(x),或者是它的几阶导函数在某个闭区间上连续，那么该函数或者其几阶导函数必可以在该闭区间上取最大值和最小值，那么就对于在最大值和最小值之间的任何一个值，必存在一个变量使得该值等于变量处函数值。

2、零点定理：设函数 f(x)在闭区间[a,b]上连续,且 f(a)与 f(b)异号，即 f(a).f(b)<0, 那么在开区间内至少存在一点ξ使得 f(ξ)=0.Ps:注意条件是闭区间连续，端点函数值异号，结论是开区间存在点使函数值为 0.3、罗尔定理：如果函数f(x)满足：（1）、在闭区间[a,b]上连续；（2）、在开区间(a,b)内可导;（3）、在区间端点处函数值相等，即f(a)=f(b).那么在(a,b)内至少有一点ξ(<aξ<b),使得f`(x)=0;4、拉格朗日中值定理：如果函数f(x)满足：（1）、在闭区间[a,b]上连续；（2）、在开区间(a,b)内可导;那么在(a,b)内至少有一点ξ(<aξ<b),使得f(b)-f(a)=f`(ξ).(b-a).5、柯西中值定理：如果函数f(x)及g(x)满足（1）、在闭区间[a,b]上连续；（2）、在开区间(a,b)内可导;（3）、对任一x(a<x<b),g`(x)≠0,那么在(a,b)内至少存在一点ξ,使得f(b)-f(a) g(b)-g(a)=f`(ξ) g`(ξ)Ps：对于罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理结论都是开开区间内取值。

中值定理知识点总结

中值定理知识点总结中值定理的表述：若函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，则存在一个点c∈(a, b)，满足f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a)。

中值定理的证明比较简单，可以根据函数的连续性和可导性来进行推导。

接下来我们来详细介绍中值定理的知识点。

一、中值定理的条件中值定理的前提是函数在闭区间上连续，在开区间上可导。

这两个条件都是至关重要的，只有同时满足这两个条件，中值定理才成立。

1. 函数在闭区间上连续：闭区间[a, b]是一个包含了a和b的区间，函数在闭区间上连续意味着函数在这个区间内没有间断点，没有跳跃点，图象是一条连续的曲线。

一般来说，函数在有限区间上都是连续的，因此这个条件通常是满足的。

2. 函数在开区间上可导：开区间(a, b)是一个不含a和b的区间，函数在开区间上可导意味着函数在这个区间上具有导数。

可导性是指函数在这个区间内存在切线，即函数在这个区间内是光滑的。

这个条件比较严格，只有在一些特殊的情况下才能满足。

二、中值定理的应用中值定理主要用来描述函数在某个区间内的平均变化率与瞬时变化率之间的关系。

它可以推导出一些重要的结论和定理，对于理解函数的性质和特点有很大的帮助。

1. 平均变化率和瞬时变化率：中值定理可以用来比较函数在闭区间上的平均变化率和在开区间上的瞬时变化率。

平均变化率指的是函数在某个区间内的整体变化情况，而瞬时变化率指的是函数在某一点的瞬间变化情况。

中值定理表明，这两者之间存在着某种联系，通过中值定理可以求得函数在某个区间内的平均变化率和在某一点的瞬时变化率之间的对应关系。

2. 函数的增减性：中值定理可以用来研究函数的增减性。

通过中值定理可以求得函数在某个区间内的导数值，在这个区间上的函数是增加还是减小。

这对于研究函数的极值和拐点有很大的帮助。

3. 函数的凹凸性：中值定理可以用来研究函数的凹凸性。

通过中值定理可以求得函数在某个区间内的二阶导数值，根据二阶导数的正负性可以判断函数在这个区间上的凹凸性，这对于求解函数的拐点和凹凸区间有很大的帮助。

最新2中值定理汇总

2中值定理§2 中值定理【考试要求】1.理解并会应用罗尔定理、拉格朗日中值定理和泰勒定理，了解并会用柯西中值定理.2.掌握用洛必达法则求未定式极限的方法.一、基本定理仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢11.费尔马定理设函数«Skip Record If...»在点«Skip Record If...»处可导，且在点«Skip Record If...»的某个邻域«Skip Record If...»内，有«Skip Record If...»或«Skip Record If...»，则«Skip Record If...».仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢22.罗尔定理设函数«Skip Record If...»满足条件（1）在«Skip Record If...»上连续；（2）在«Skip Record If...»内可导；（3）«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»，使得«Skip Record If...».仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢33. 拉格朗日中值定理设函数«Skip Record If...»满足条件（1）在«Skip RecordIf...»上连续；（2）在«Skip Record If...»内可导，则«Skip Record If...»，使得«Skip 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢4Record If...»«Skip RecordIf...»，或写成«Skip Record If...»«Skip Record If...».注拉格朗日中值公式也可写成«Skip Record If...»«Skip Record If...»,仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢5称为函数的有限增量公式.推论1 设函数«Skip Record If...»在«Skip Record If...»内可导，且«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»（常数）.推论2 设函数«Skip Record If...»与«Skip Record If...»在«Skip Record 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢6If...»内可导，且«Skip Record If...»，则«Skip Record If...».4.柯西中值定理设函数«Skip Record If...»和«Skip Record If...»满足条件（1）在闭区间«Skip Record If...»上连续；（2）在«Skip Record If...»内可导，且«Skip 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢7Record If...»，则«Skip Record If...»，使得«Skip Record If...»«Skip Record If...».5.泰勒公式定理1 设函数«Skip Record If...»在«Skip Record If...»的某个邻域«Skip Record If...»内«Skip 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢8Record If...»阶可导，则有泰勒公式«Skip Record If...»其中«Skip Record If...»«Skip Record If...»称为皮亚诺型余项.定理2 设函数«Skip Record If...»在含有«Skip Record If...»的某个开区仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢9«Skip Record If...»内«Skip Record If...»阶可导，则当«Skip Record If...»时，有泰勒公式«Skip Record If...»其中«Skip Record If...»10（«Skip Record If...»在«Skip Record If...»与«Skip Record If...»之间），称为拉格朗日型余项.当«Skip Record If...»时，得麦克劳林公式«Skip Record If...»11其中«Skip Record If...»«Skip Record If...»或«Skip Record If...»（«Skip Record If...»在«Skip Record If...»与«Skip Record If...»之间）,也可写为«Skip Record If...»«Skip Record If...».常用的麦克劳林公式12（1）«Skip Record If...»（«Skip Record If...»在«Skip Record If...»与«Skip Record If...»之间），或«Skip Record If...»；（2）«Skip Record If...»13或«Skip Record If...»（3）«Skip Record If...»或«Skip Record If...»；（4）«Skip Record If...»或«Skip Record If...»（5）«Skip Record If...»«Skip RecordIf...»14或«Skip Record If...»«Skip Record If...».二、重要结论求辅助函数（原函数）时常用的几个求导公式:（1）«Skip Record If...»；（2）«Skip Record If...»；15（3）«Skip Record If...»；（4）«Skip Record If...»；（5）«Skip Record If...»；（6）«Skip Record If...»；（7）«Skip Record If...»；三、典型例题16题型1 关于«Skip Record If...»一个«Skip Record If...»，使«Skip Record If...»«Skip Record If...»的证明提示：证法有以下三条思路:（1）验证«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上«Skip Record If...»罗尔定理条件，可得证明；17（2）利用泰勒公式证明（适合于二阶及二阶以上可导的情况）；（3）利用费尔马定理证明.例1 设«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上连续，在«Skip Record If...»内可导，且«Skip Record If...»，证明：在«Skip Record If...»内至少存在18一点«Skip Record If...»，使得«Skip Record If...»．提示：利用积分中值定理，找合适的子区间«Skip Record If...»，使«Skip Record If...»，在子区间«Skip Record If...»上应用罗尔定理即可.证明由积分中值定理知«Skip Record If...»，使«Skip Record If...»，即19«Skip Record If...»又«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上连续，在«Skip Record If...»內可导，由罗尔定理知，«Skip Record If...»使«Skip Record If...».□例2 设«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上连续，在«Skip20Record If...»内具有二阶导数，且«SkipRecord If...»，«Skip Record If...»，证明«Skip Record If...»，使得«Skip Record If...»．提示：在«Skip Record If...»上寻找不同的两点«Skip Record If...»，构造子区间«Skip Record If...»，使«Skip21Record If...»，再对«Skip RecordIf...»在«Skip Record If...»应用罗尔定理即可．证明由条件«Skip Record If...»及积分中值定理知，«Skip Record If...»，使«Skip Record If...»，对«Skip RecordIf...»在子区间«Skip Record If...»上应22用洛尔定理知，«Skip Record If...»，使«Skip Record If...»，又已知«Skip Record If...»在«Skip Record If...»内具有二阶导数，知«Skip Record If...»连续，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，再对«Skip Record If...»在区间«Skip Record If...»上应用洛尔定理知，23«Skip Record If...»，使«Skip Record If...».例3 已知«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上连续，在«Skip Record If...»内«Skip Record If...»存在，又连结«Skip Record If...»，«SkipRecord If...»两点的直线交曲线«Skip24Record If...»于点«Skip RecordIf...»，且«Skip Record If...»，试证：«Skip Record If...»一个«Skip Record If...»，使得«Skip Record If...»．提示：由点«Skip Record If...»共线«Skip Record If...».25证明对«Skip Record If...»在«Skip Record If...»和«Skip Record If...»上分别应用拉格朗日中值定理得«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，由切线∥弦«Skip Record If...»及«Skip Record If...»三点共线可知，26«Skip Record If...»，再对«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上应用罗尔定理知，«Skip Record If...»，使«Skip Record If...».例4 若«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上具有«Skip RecordIf...»阶导数，且«Skip Record If...»，27则«Skip Record If...»，使得«SkipRecord If...»．提示：有两种方法（1）连续使用«Skip Record If...»次罗尔定理，即«Skip Record If...»，使«Skip RecordIf...»；（2）若题设条件为«Skip RecordIf...»«Skip Record If...»阶可导，选取28合适的点«Skip Record If...»，使«Skip Record If...»在«Skip Record If...»展成比«Skip Record If...»低一阶的泰勒公式，使问题得证．证法1 对«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上应用罗尔定理知，«Skip Record If...»，使«Skip Record29If...»，«Skip Record If...»；对«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上应用罗尔定理知，«Skip Record If...»，使«Skip Record If...»，«Skip Record If...»；再对«Skip Record If...»在«Skip RecordIf...»上应用罗尔定理知，«Skip Record30If...»，使«Skip Record If...»«Skip Record If...»；最后再对«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上应用罗尔定理知，«Skip Record If...»，使«Skip Record If...». □31证法2 取«Skip Record If...»，将«Skip Record If...»在«Skip Record If...»展开为«Skip Record If...»阶泰勒公式，即«Skip Record If...»«Skip Record If...»32（«Skip Record If...»在«Skip Record If...»与«Skip Record If...»之间）.由条件«Skip Record If...»得«Skip Record If...».令«Skip Record If...»，«Skip Record If...»故有«Skip Record If...».33例5 设«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上可导，且«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»，使得«Skip Record If...»．提示：此题找不到子区间使两端点的函数值相等，所以不能用罗尔定理，若用泰勒公34式，通常要知道一个端点的各阶导数值，条件也无，因此，只能考虑用费尔马定理.证明由«Skip Record If...»知，«Skip Record If...»与«Skip Record If...»异号，不妨设«Skip Record If...»，由导数定义35«Skip Record If...»及«Skip Record If...».由极限的保号性知，«Skip Record If...»，及«Skip Record If...»，当«Skip Record If...»及«Skip Record If...»时，有«Skip Record If...»，及«Skip Record If...».36又«Skip Record If...»在«Skip RecordIf...»上连续，«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上必有最大值，由（1），（2）知，最大值不在«Skip Record If...»的端点上取得，必在«Skip Record If...»内部取得.不妨设«Skip RecordIf...»，«Skip Record If...»，37又«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上可导，由费尔马定理知«Skip Record If...».题型2 关于存在一个«Skip Record If...»，使«Skip Record If...»的证明提示：构造辅助函数，用罗尔定理．38构造函数步骤：（1）将«Skip Record If...»换为«Skip Record If...»；（2）恒等变形，便于积分；（3）积分（或解微分方程）；（4）分离常数：«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»即为所需的辅助函数．39例1 设«Skip Record If...»在«SkipRecord If...»上可导，«Skip Record If...»，证明：«Skip Record If...»，使«Skip Record If...»．提示：方法1 构造辅助函数«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上应用罗尔定理即可.40方法2 构造辅助函数«Skip RecordIf...»，在«Skip Record If...»上应用拉格朗日中值定理即可.证明法1 «Skip Record If...».令«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上连续，在«Skip Record If...»內可导，且41«Skip Record If...»，由罗尔定理知，«Skip Record If...»，使«Skip Record If...»，即结论成立.法2 «Skip Record If...»，所证等式即«Skip Record If...»令«Skip Record If...»，则«Skip RecordIf...»在«Skip Record If...»上连续，在42«Skip Record If...»內可导，由拉格朗日中值定理知，«Skip Record If...»，使«Skip Record If...»，即结论成立.注将含«Skip Record If...»的项移至等号的右端，左端化为差商求辅助函数.43例2 设«Skip Record If...»，«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上连续，在«Skip Record If...»内可导，且对«Skip Record If...»，有«Skip Record If...»，求证：«Skip Record If...»，使得«SkipRecord If...»．44提示：构造辅助函数«Skip RecordIf...»在«Skip Record If...»上应用罗尔定理即可.证明将结论中的«Skip Record If...»换为«Skip Record If...»得«Skip Record If...»,即«Skip Record If...»45«Skip Record If...»两边积分得«Skip Record If...»，分离常数«Skip Record If...»，令«Skip Record If...»，«Skip Record If...»46由罗尔定理知，«Skip Record If...»，使«Skip Record If...»，«Skip Record If...»即«Skip Record If...».例3 设«Skip Record If...»在«SkipRecord If...»上连续，«Skip Record47If...»内可导，且«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，证明（1）存在«Skip Record If...»，使«Skip Record If...»；（2）对任意实数«Skip Record If...»，必存在«Skip Record If...»，使得«Skip Record If...»．48提示：（1）构造辅助函数«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上应用由零点定理即可；（2）构造辅助函数«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上应用罗尔定理即可.49。

高二数学2-2知识点总结

高二数学2-2知识点总结第一章导数及其应用
一、导数概念的引入
二、导数计算
三、导数在研究函数中的应用
四、生活中的优化问题
利用导数的知识,,求函数的最大(小)值,从而解决实际问题第二章推理与证明
反证法法证明一个命题的一般步骤：
(1)（反设）假设命题的结论不成立；
(2)（推理）根据假设进行推理,直到导出矛盾为止；
(3)（归谬）断言假设不成立；
(4)（结论）肯定原命题的结论成立.
第三章数系的扩充与复数的引用
(4) 共轭复数:当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数互为共轭复数.
(5) 复平面:建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x 轴叫做实轴，y 轴除去原点的部分叫做虚轴。

(6) 两个实数可以比较大小，但两个复数如果不全是实数就不能比较大小
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考研中值定理 -回复

考研中值定理 -回复
中值定理是微积分中的重要定理之一，常用于研究函数在某个区间上的性质。

中值定理包括拉格朗日中值定理和柯西中值定理。

拉格朗日中值定理是说，如果一个函数在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，那么在这个区间内，至少存在一点c，
使得函数在a和b之间的斜率等于函数在这个点c处的导数。

柯西中值定理是说，如果两个函数在闭区间[a, b]上连续，在
开区间(a, b)上可导，并且第二个函数在这个区间内的导数不
为零，那么在这个区间内，至少存在一点c，使得两个函数在
这个点c处的斜率相等。

这两个定理都是基于函数连续性和可导性的前提条件，并利用导数与函数斜率的关系，通过定理结论来描述函数在一个区间内的性质。

在考研中，这些定理常用于证明或推导题目，也可用于求解问题等。

高中数学选修2-2知识点总结(最全版)

高中数学选修2-2知识点总结第一章、导数1．函数的平均变化率为=∆∆=∆∆xfx y x x f x x f x x x f x f ∆-∆+=--)()()()(111212 注1：其中x ∆是自变量的改变量，平均变化率可正，可负，可零。

注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。

2、导函数的概念:函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim 0000，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或|'x x y =，即)(0'x f =xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim 0000.3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。

4导数的背景（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；5、常见的函数导数函数导函数 (1)y c ='y =0 (2)n y x =()*n N ∈ 1'n y nx -=(3)x y a =()0,1a a >≠ 'ln x y a a = (4)x y e ='x y e =(5)log a y x =()0,1,0a a x >≠> 1'ln y x a =(6)ln y x = 1'y x=(7)sin y x = 'cos y x = (8)cos y x = 'sin y x =-6、常见的导数和定积分运算公式:若()f x ，()g x 均可导（可积），则有：和差的导数运算[]'''()()()()f x g x f x g x ±=±积的导数运算[]'''()()()()()()f x g x f x g x f x g x ⋅=±特别地：()()''Cf x Cf x =⎡⎤⎣⎦商的导数运算[]'''2()()()()()(()0)()()f x f x g x f x g x g x g x g x ⎡⎤-=≠⎢⎥⎣⎦ 特别地：()()21'()'g x g x g x ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦复合函数的导数x u x y y u '''=⋅微积分基本定理()baf x dx =⎰F(a)--F(b)（其中()()'F x f x =）和差的积分运算1212[()()]()()bb baaaf x f x dx f x dx f x dx±=±⎰⎰⎰ 特别地：()()()bbaakf x dx k f x dx k =⎰⎰为常数积分的区间可加性()()()()bc baacf x dx f x dx f x dx a c b =+<<⎰⎰⎰其中.用导数求函数单调区间的步骤: ①求函数f (x )的导数'()f x②令'()f x >0,解不等式，得x 的范围就是递增区间. ③令'()f x <0,解不等式，得x 的范围，就是递减区间； [注]：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。

中值定理

f ( ) f (b) f (a)
ba
几何意义
• 在曲线弧AB上至少存在一点C, 在该点处的切线平行于弦AB.
y
C1
y=f (x) B
C2 A
O a
h bx
证明作辅助函数
F(x) f (x) f (a) f (b) f (a) (x a)， ba
容易验证, F( x) 满足罗尔定理的条件,
第四章中值定理与导数的应用
1. 中值定理 2. 洛必达法则 3. 函数的单调性与极值 4. 函数的最值及应用 5. 函数曲线的凹凸性及Ferma)引理一．罗尔(Rolle)定理二．拉格朗日(Lagrange)中值定理三．柯西(Cauchy)中值定理
说明：如果取g(x)x，就变成了拉格朗日中值定理.
证明思路: 辅助函数为
F ( x) f ( x) f (a) f (b) f (a) [g( x) g(a)] g(b) g(a)
作业：习题四(A)P137~138
1. (1), (2) 2. 3. 4. (2) 5. (2) 6. 7.
推论2 如果 f ( x) 和 g( x) 在 (a, b) 内可导 ,且在 (a, b) 内恒有 f ( x) g( x) , 则在 (a, b) 内 f ( x) 和 g(x) 最多相差一个常数.
证明作辅助函数 (x) f (x) g(x) ,
则 (x) f (x) g(x) 0 , 由推论 1 知 ( x) f ( x) g( x) C ，
三. 柯西(Cauchy)中值定理
设函数f (x)及g (x)满足条件： (1)在闭区间[a, b]上连续， (2)在开区间(a, b)内可导， (3)在(a, b)内任何一点处g(x)均不为零，

「精品」高中数学选修2-2知识点复习

高中数学选修2-2第一章导数及其应用一、基础知识【理解去记】1．极限定义：（1）若数列{u n }满足，对任意给定的正数ε，总存在正数m ，当n>m 且n ∈N 时，恒有|u n -A|<ε成立（A 为常数），则称A 为数列u n 当n 趋向于无穷大时的极限，记为)(lim ),(lim x f x f x x -∞→+∞→，另外)(lim 0x f x x +→=A 表示x 大于x 0且趋向于x 0时f(x)极限为A ，称右极限。

类似地)(lim 0x f x x -→表示x 小于x 0且趋向于x 0时f(x)的左极限。

2．极限的四则运算：如果0lim x x →f(x)=a, 0lim x x →g(x)=b ，那么0lim x x →[f(x)±g(x)]=a ±b, 0lim x x →[f(x)•g(x)]=ab,limx x →).0()()(≠=b bax g x f 3.连续：如果函数f(x)在x=x 0处有定义，且0lim x x →f(x)存在，并且0lim x x →f(x)=f(x 0)，则称f(x)在x=x 0处连续。

4．最大值最小值定理：如果f(x)是闭区间[a,b]上的连续函数，那么f(x)在[a,b]上有最大值和最小值。

5．导数：若函数f(x)在x0附近有定义，当自变量x 在x 0处取得一个增量Δx 时（Δx 充分小），因变量y 也随之取得增量Δy(Δy=f(x 0+Δx)-f(x 0)).若xyx ∆∆→∆0lim存在，则称f(x)在x 0处可导，此极限值称为f(x)在点x 0处的导数（或变化率），记作'f (x 0)或0'x x y =或x dxdy ，即000)()(lim)('0x x x f x f x f x x --=→。

由定义知f(x)在点x 0连续是f(x)在x 0可导的必要条件。

若f(x)在区间I 上有定义，且在每一点可导，则称它在此敬意上可导。

高中数学选修2-2知识点总结(最全版)精品

高中数学选修2-2知识点总结(最全版)精品课时一：常见函数的性质1、关于指数函数：（1）其指数运算正比关系：若a>b，则ea>eb ;若a<b，则ea<eb。

（2）其图像倾斜向上，且随x的增加而迅速增大；（3）其函数值总是大于零，并且在定义域上无上下限；（4）其图像关于y轴对称；（5）其反函数为对数函数。

3、关于三角函数：（1）其图像周期性质：端点处的六个三角函数的值均为1或-1；（2）特殊点处的三角函数的值有所不同：对于正弦函数，正半周期处值为1，负半周期处值为-1；对于余弦函数，正半周期处值为1，负半周期处值为-1；对于正切函数，而非角度值特殊点处值始终为无穷大。

（3）其图像过曲线处点：正弦函数图像过Π/2处的点；正切函数图像过Π/4、3Π/4处的点；余弦函数图像过0、Π，2Π处点。

课时二：指数与对数之间的转换1、关于转换公式：指数函数和对数函数之间的转换公式∶ea=y⇒y=loga2、关于应用：（1）利用指数函数求解：解决问题的过程中，可运用ea=y，将对数指数函数转化为指数函数，从而进行有关指数的运算、计算和求解；（2）利用对数函数求解：解决问题的过程中，可运用loga=y，将指数函数转化为对数函数，从而进行有关对数的运算、计算和求解。

课时三：指数函数与对数函数的性质1、关于指数函数的性质：（1）其导数为其本身：即，ea的导数为ea；（2）其函数系数正比关系：a的函数系数正比于a的函数值；（3）其函数增长性质：an是an-1的函数值的n倍；（4）其函数在无穷点是存在极小值；（5）其函数反函数是多项式函数；（6）其函数在有穷间隔上，对称轴是y轴。