反比例函数专题复习及中考真题

★★★(I)考点突破★★★

考点1：反从例函数的意义及其图象和性质

一、考点讲解：

1．反比例函数：一般地，如果两个变量x 、y 之间的关系可以表示成y=

x

k

(k 为常数，k ≠0）的形式，那么称y 是x 的反比例函数． 备注：反比例函数的另外两种形式，

k xy kx y ==-,1(k ≠0).

2．注意：(1)k 为常数，必须强调k ≠0；例如y= k

x

就不是反比例函数；（2）

x

k

中分母x 的指数为1； (3)自变量x 的取值范围是x ≠0；（4）因变量y 的取值范围是y ≠0． 3．反比例函数的图象和性质．

利用画函数图象的方法，可以画出反比例函数的图象，它的图象是双曲线，反比例函数y=k

x

具有如下

的性质（见下表）①当k ＞0时，函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，曲线从左到右下降，也就是在每个象限内，y 随x 的增加而减小；②当k ＜0时，函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，曲线从左到右上升，也就是在每个象限内，y 随x 的增加而增大．

注意：分析反比例函数增减性时，必须强调“在每一个象限内或者X ﹥0，X ﹤0”。 4．反比例函数y=

x

k

（k ≠0）中k 的几何意义 过反比例函数y=

x

k

图象上任一点P 作x 轴、y 轴的垂线PM 、PN ，垂足为M 、 N （如图），则矩形PMON 的面积S=PM ·PN=|y |·|x |=|xy |=|k |。所以，对双曲线上任意一点作x 轴、y 轴的垂线，它们与x 轴、y 轴所围成的矩形面积为

常数

k

。从而有

注意：所围矩形的面积为

k

，而不是k 。若其面积为6，则k=±6。

二、经典考题剖析：

【考题1、】（2009、宁安）函数y= k

x

与y=kx+k 在同一坐标系的图象大致是图 1－5－l 中的（ ）

解：B 点拨：A 中，y= k

x 的图象过第一、三象限，则k ＞0．而y=kx+b 过第一、二、四象限，则k ＜0，

矛盾；C 中，由y= k

x 的图象知，在k ＜0．但一次函数y=kx ＋k 与y 轴交于正半轴，和k ＜0矛盾；D 中，

由y= k

x

的图象知，k ＜0．Y=kx ＋k 中，k ＞0，矛盾．故选B ．

【考题2】（2009、潍坊）若M （－12 ，y 1），N （－14 ，y 2），P （12 ，y 3）三点都在函数y= k

x （k ＜0）中

的图象上，则y 1，y 2，y 3，的大小关系为（ ） A ．y 2 ＞y 3＞y 1 B 、y 2＞y 1＞y 3 C ．y 3 ＞y 1＞y 2 D 、y 3＞y 2＞y 1

解：如上图数形结合得B ；还可以由y= k

x 中k ＜0，故y 的值在每个

象限内随x 的增大而增大．而－14 ＞－1

2 ，故 y 2＞y 1＞0．由于 P 点

在第四象限，故y 3 <0 .

【考题3】（2009、湟中）点P 既在反比例函 数y=－ 3

x

（x ＞0）的图象上，又在一次函数y =－x －2的图

象上，则P 点的坐标是（ ， ）

解：点P 是两函数的交点，则同时满足两个解析式，联立解析式得 ⎪⎩⎪⎨⎧

--=-

=,

2,3x y x

y 得到－ 3x =－x —2，化简得0322=-+x x ，

解得3,121-==x x （舍去）。将x=1代入反比例函数得y=－3.故点P （1，－3）.

点拨：当题目是一次函数与反比例函数相交求交点问题时，可将联立两个函数解析式求解。 【考题4】如图，已知双曲线

x

k

y =

(k ＞0)经过矩形OABC 边AB 的中点F ，交BC 于点E ，且四边形OEBF 的面积为2，则k ＝______________。

解：由反比例函数比例系数k 的几何意义，结合上图可知：△OCE 、△OAF

的面积均为k 21，若设F 点的纵坐标为b,则点F 的横坐标为b k

故点B 的坐标为（b k ，2b ）（因为F 是AB 的中点），所以矩形OABC 的面积为b

k ×2b=2k ，

根据四边形OEBF 的面积为2，可得2k-k 21-k 2

1

=2，所以k=2.

三、针对性训练：

1．若反比例函数y= k

x的图象经过（a，－a），则a的值为（）

A． 2 B．－ 2 C．± 2 D．±2

2．已知一次函数y= kx+b的图象经过第一、二、四象限，则y= kb

x反比函数的图象在（）

A．第一、二象限B．第三、四象限C．第一、三象限D．第二、四象限

3．设x＜0，函数y=x和y= 1

x在同一直角坐标系中的大致图象是图l－5－4中的（）

4．函数y=－4

x的图象与x轴交点的个数是（）A．0个B．l个C．2个D．不能确定

5．三角形的面积为1时，底y与高x之间满足的的数系的图象是图1－5－5中的（）

6．已知一个三角形的面积为5，一边长为x，这边上的高为y，则y关于x的函数关系式为y= 10

x(x＞0)

该函数图象在第________象限．

7．点（1，6）在双曲线y= k

x上，则k=________．

8．已知力F，物体在力的方向上通过的距离s，力F所做的功W，三者之间有以下关系式成立：W=Fs，则当W为定值时，F与s的图象大致是图1－5－6中的（）

9 若函数y=

25

(2)k

k x-

-是反比例函数，则k=___．

10 点A(a，4)在函数y= 8

x的图象上，则a的值为___________。

11 函数y= 3

x的自变量x的取值范围是______；当x＜0时，y随x的增大而_____．

12 如图1－5－7所示为反比例函数y= k

x的图象，那么k的取值范围是____

13 已知函数y=（m2－1）

21

m m

x--，当m=_____时，它的图象是双曲线．