近几年全国卷高考文科数学线性规划高考题

《高考真题》专题13 线性规划-2019年高考文数母题题源系列(全国Ⅱ专版)(原卷版)

专题13 线性规划【母题来源一】【2019年高考全国Ⅱ卷文数】若变量x ，y 满足约束条件23603020x y x y y ⎧⎪⎨⎪⎩+-≥+-≤-≤，，，则z =3x –y 的最大值是______________．【答案】9【解析】画出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示，阴影部分表示的三角形ABC 区域，根据直线30x y z --=中的z 表示纵截距的相反数，当直线3z x y =-过点3,0C （）时，z 取最大值为9．【名师点睛】本题考查线性规划中最大值问题，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取图解法，利用数形结合思想解题．搞不清楚线性目标函数的几何意义致误，从线性目标函数对应直线的截距观察可行域，平移直线进行判断取最大值还是最小值．【母题来源二】【2018年高考全国Ⅱ卷文数】若,x y 满足约束条件25023050x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，，，则z x y =+的最大值为______________．【答案】9【解析】不等式组25023050x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，，表示的可行域是以(5,4),(1,2),(5,0)A B C 为顶点的三角形区域，如下图所示，目标函数z x y =+的最大值必在顶点处取得，易知当5,4x y ==时，max 9z =．【名师点睛】该题考查的是有关线性规划的问题，在求解的过程中，首先需要正确画出约束条件对应的可行域，之后根据目标函数的形式，判断z 的几何意义，之后画出一条直线，上下平移，判断哪个点是最优解，从而联立方程组，求得最优解的坐标，代入求值，要明确目标函数的形式大体上有三种：斜率型、截距型、距离型，根据不同的形式，应用相应的方法求解．【母题来源三】【2017年高考全国Ⅱ卷文数】设,x y 满足约束条件2+330233030x y x y y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值是A ．15-B ．9-C ．1D ．9【答案】A【解析】绘制不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，结合目标函数的几何意义可得函数在点(6,3)B --处取得最小值，最小值为min 12315z =--=-．故选A ．【名师点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想．需要注意的是：①准确无误地作出可行域；②画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；③一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得．【命题意图】1．会从实际情境中抽象出二元一次不等式组．2．了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组． 3．会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决． 4．通过考查线性规划等相关知识，考查数形结合思想的运用．【命题规律】这类试题在考查题型上主要以选择题或填空题的形式出现，主要从线性目标函数、斜率型、距离型等角度进行考查，考查数形结合思想．试题难度不大，多为中低档题．【答题模板】1．确定平面区域的方法第一步，“直线定界”，即画出边界0Ax By C ++=，要注意是虚线还是实线；第二步，“特殊点定域”，取某个特殊点00(,)x y 作为测试点，由00Ax By C ++的符号就可以断定0Ax By C ++>表示的是直线0Ax By C ++=哪一侧的平面区域；第三步，用阴影表示出平面区域．2．在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，用图解法求最优解的步骤可概括为“画、移、求、答”，即：（1）画：在平面直角坐标系中，画出可行域和直线0ax by += (目标函数为z ax by =+)；（2）移：平行移动直线0ax by +=，确定使z ax by =+取得最大值或最小值的点；（3）求：求出使z 取得最大值或最小值的点的坐标(解方程组)及z 的最大值或最小值；（4）答：给出正确答案．【方法总结】1．二元一次不等式组表示的平面区域的应用主要包括求平面区域的面积和已知平面区域求参数的取值或范围．（1）对于面积问题，可先画出平面区域，然后判断其形状（三角形区域是比较简单的情况），求得相应的交点坐标、相关的线段长度等，若图形为规则图形，则直接利用面积公式求解；若图形为不规则图形，则运用割补法计算平面区域的面积，其中求解距离问题时常常用到点到直线的距离公式．（2）对于求参问题，则需根据区域的形状判断动直线的位置，从而确定参数的取值或范围． 2．对于二元一次不等式的不同形式，其对应的平面区域有如下结论3．线性目标函数的最值问题的求法（1）平移直线法：作出可行域,正确理解z 的几何意义，确定目标函数对应的直线，平移得到最优解．对一个封闭图形而言,最优解一般在可行域的顶点处取得，在解题中也可由此快速找到最大值点或最小值点．（2）顶点代入法：①依约束条件画出可行域;②解方程组得出可行域各顶点的坐标;③分别计算出各顶点处目标函数z ax by =+的值，经比较后得出z 的最大(小)值．求解时需要注意以下几点：（ⅰ）在可行解中，只有一组(x ,y )使目标函数取得最值时，最优解只有1个．如边界为实线的可行域，当目标函数对应的直线不与边界平行时，会在某个顶点处取得最值．（ⅱ）同时有多个可行解取得一样的最值时，最优解有多个．如边界为实线的可行域，目标函数对应的直线与某一边界线平行时，会有多个最优解．（ⅲ）可行域一边开放或边界线为虚线均可导致目标函数找不到相应的最值，此时也就不存在最优解． 4．距离问题常涉及点到直线的距离和两点间的距离，熟悉这些模型有助于更好地求解非线性目标函数的最值．（1）对形如||z Ax By C =++型的目标函数，可先变形为z =的形式，将问题化为求可行域内的点(x ，y )到直线0Ax By C =++倍的最值．（2）对形如22()()z x a y b =-+-型的目标函数均可化为可行域内的点(x ，y )与点(a ，b )间距离的平方的最值问题．5．斜率问题是线性规划延伸变化的一类重要问题，其本质仍然是二元函数的最值问题，不过是用模型形态呈现的．因此有必要总结常见模型或其变形形式．对形如(0)ay bz ac cx d+=≠+型的目标函数，可先变形为()()b y a a z d c x c--=⋅--的形式，将问题化为求可行域内的点(x ，y )与点(,)d b c a --连线的斜率的a c倍的取值范围、最值等．6．若目标函数中有参数，要从目标函数的结论入手，对图形进行动态分析，对变化过程中的相关量进行准确定位，这是求解这类问题的主要思维方法．7．若约束条件中含有参数，则会影响平面区域的形状，这时含有参数的不等式表示的区域的分界线是一条变动的直线，注意根据参数的取值确定这条直线的变化趋势，从而确定区域的可能形状． 8．用线性规划求解实际问题的一般步骤（1）模型建立：正确理解题意，将一般文字语言转化为数学语言，进而建立数学模型，这需要在学习有关例题解答时，仔细体会范例给出的模型建立方法．（2）模型求解：画出可行域，并结合所建立的目标函数的特点，选定可行域中的特殊点作为最优解．（3）模型应用：将求解出来的结论反馈到具体的实例中，设计出最佳的方案．注意：（1）在实际应用问题中变量,x y 除受题目要求的条件制约外，可能还有一些隐含的制约条件不要忽略．（2）线性目标函数的最优整数解不一定在可行域的顶点或边界处取得，此时不能直接代入顶点坐标求最值，可用平移直线法、检验优值法、调整优值法求解．1．【吉林省长春市吉林省实验中学2019届高三上学期第三次月考】已知实数，满足，则的取值范围是 A ．， B ．， C ．，D ．，2．【黑龙江省大庆市2019届高三第三次教学质量检测】已知实数x ，y 满足0022x x y y x ≥⎧⎪-≥⎨⎪≥-⎩，则(0)z ax ya =+>的最小值为 A ．0 B ．a C ．22a +D ．-23．【西南名校联盟重庆市第八中学2019届高三5月高考适应性月考】设,x y 满足约束条件21032120230x y x y y --≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩，则4z x y =+的最大值为 A ．294B ．9C ．14D ．184．【陕西省宝鸡市2019届高考模拟检测三】设x ，y 满足约束条件2003x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则22(1)z x y =++的最大值为 A ．41 B ．5 C ．25D ．15．【甘肃省2019年高三第二次高考诊断】若实数,x y满足约束条件2040250x yx yx y-+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，则z x y=+的最大值与最小值之和为A．4 B．16 C．20 D．246．【宁夏六盘山高级中学2019届高三下学期第二次模拟】若变量,x y满足约束条件10280x yx yx-+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则3z x y=+的最小值为A．1B．3 C．4D．97．【北京市人大附中2019届高考模拟预测卷四】设不等式组1325xx yx y≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩表示的平面区域为D．若直线ax y-=上存在区域D上的点，则实数a的取值范围是A．1[,2]2B．1[,3]2C．[1,2]D．[2,3]8．【辽宁省辽阳市2019届高三二模】设x，y满足约束条件326020480x yx yx y--≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩，则目标函数2z x y=-的最小值是A．-4 B．-2 C．0 D．29．【山东省实验中学等四校2019届高三联合考试】已知实数x，y满足约束条件202201x yx yx+-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则目标函数21yzx-=+的最小值为A．23-B．54-C．43-D．12-10．【新疆乌鲁木齐市2019届高三第二次诊断性测试】若变量,x y满足约束条件340x yx yx y+≥⎧⎪-≥⎨⎪+-≤⎩，则32x y+的最大值是A．0 B．2 C．5 D．611．【广东省韶关市2019届高考4月模拟测试】若x，y满足约束条件22201y xx yy≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩，则z x y=-的最大值为A．35-B．12C．5 D．612．【新疆乌鲁木齐2019届高三第二次质量检测】若实数x，y满足430352501x yx yx-+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则函数2z x y=+的最大值为A．12 B．32 5C．3 D．1513．【黑龙江省哈尔滨市第六中学2019届高三第二次模拟】实数x，y满足不等式组2020()0x yx yy y m-≤+≥-≤⎧⎪⎨⎪⎩，若3z x y=+的最大值为5，则正数m的值为A．2 B．1 2C．10 D．1 1014．【黑龙江省大庆市第一中学2019届高三下学期第四次模拟】设不等式组20xx yx y-≤⎧⎪+≥⎨⎪-≥⎩，表示的平面区域为Ω，在区域Ω内任取一点(,)P x y ，则P 点的坐标满足不等式222x y +≤的概率为A ．π8B ．π4C ．12π+D15．【新疆维吾尔自治区2019年普通高考第一次适应性检测】若点，满足，则的取值范围是 A ．， B ．， C ．，D ．，16．【广东省深圳市深圳外国语学校2019届高三第二学期第一次热身考试】已知实数x ，y 满足342y x x y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则3z x y =+的最大值是______________．17．【内蒙古呼伦贝尔市2019届高三模拟统一考试一】若满足32x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则目标函数2z y x =-的最大值为______________．18．【辽宁省丹东市2019届高三总复习质量测试二】设x ，y 满足约束条件02x y x x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则2z x y =+的最大值为______________．19．【东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)2019届高三第二次模拟】已知x ，y 满足约束条件11222x y x y -≤-≤⎧⎨-≤+≤⎩，则3z x y =+的最大值为______________．20．【甘肃省、青海省、宁夏回族自治区2019届高三5月联考】设x ，y 满足约束条件2020260x y x y -≥⎧⎪+≥⎨⎪+-≤⎩，则z x y =+的最小值是______________．21．【黑龙江省哈尔滨市第六中学2019届高三第二次模拟】若实数,x y 满足不等式组2326y x x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪+≥⎩，则1yz x+=的取值范围为______________． 22．【重庆市巴蜀中学2019届高三适应性月考七】已知实数x ，y 满足不等式组22020x y x y y -+≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则该不等式组表示的区域面积为______________．23．【陕西省西安市2019届高三第三次质量检测】若实数，满足约束条件，则的最大值是______________．24．【重庆西南大学附属中学校2019届高三第十次月考】已知x ，y 满足约束条件223250x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩，则||z x y =-的取值范围为______________．25．【陕西省2019年高三第三次教学质量检测】设,x y 满足约束条件1010220y x y x y -≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩，则2z x y =-的最小值是______________．26．【陕西省汉中市2019届高三年级教学质量第二次检测】不等式组20100x y x y y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪≥⎩所表示的平面区域的面积等于______________．27．【甘肃省兰州市第一中学2019届高三6月最后高考冲刺模拟】若,x y 满足约束条件40,20,20,x y x x y -+≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩则2z x y =+的最小值为______________．28．【青海省西宁市湟川中学2019届高三上学期第三次月考】若,x y 满足约束条件21022020x y x y x y -+≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，3z x y m =++的最小值为1，则m =______________．29．【重庆西南大学附属中学校2019届高三第十次月考】已知x，y满足约束条件223260xyx y≤⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩，则z x y=-的取值范围为______________．30．【内蒙古2019届高三高考一模】设x，y满足约束条件360200,0x yx yx y--≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩，若目标函数(0,0)z ax by a b=+>>的最大值为12，则23a b+的最小值为______________．11。

2012-2022年十年高考数学真题分类汇编专题21 简单线性规划解法(解析版)

专题21 简单线性规划解法理16文16文5目标函数为线性的规划问题解法，数形结合思想目标函数为线性的规划问题，数形结合思想考点71非线性目标函数的最值问题考点72线性规划的实际问题考点69 二元一次不等式（组）平面区域问题1．（2019•新课标Ⅲ，文11）记不等式组⎩⎨⎧≥-≥+026y x y x 表示的平面区域为D ．命题:(,)p x y D ∃∈，92≥+y x ；命题:(,)q x y D ∀∈，122≤+y x ．下面给出了四个命题 ①p q ∨ ②p q ⌝∨ ③p q ∧⌝ ④p q ⌝∧⌝ 这四个命题中，所有真命题的编号是( ) A ．①③ B ．①②C ．②③D ．③④【答案】A【解析】作出不等式组⎩⎨⎧≥-≥+026y x y x 表示的平面区域为D ．在图形可知，命题:(,)p x y D ∃∈，92≥+y x 是真命题，则p ⌝假命题；命题:(,)q x y D ∀∈，122≤+y x ．是假命题，则q ⌝真命题，所以①p q ∨真；②p q⌝∨假；③p q ∧⌝真；④p q ⌝∧⌝假，故选A ．2．（2014新课标Ⅰ，理9）不等式组124x y x y +≥⎧⎨-≤⎩的解集记为D ．有下面四个命题：1p ：(,),22x y D x y ∀∈+≥-，2p ：(,),22x y D x y ∃∈+≥， 3P ：(,),23x y D x y ∀∈+≤，4p ：(,),21x y D x y ∃∈+≤-．其中真命题是（）A ．2p ，3PB ．1p ，4pC ．1p ，2pD ．1p ，3P 【答案】C【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线0l ：20x y +=，平移0l ，由图可知，当直线：2x y z +=过()2,1A -时，min 220z =-+=，∴0z ≥，∴命题1p 、2p 真命题，选C ．3．(2018北京)设集合{(,)|1,4,2},A x y x y ax y x ay =-+>-≥≤则A ．对任意实数a ，(2,1)A ∈B ．对任意实数a ，(2,1)A ∉C ．当且仅当0a <时，(2,1)A ∉D ．当且仅当32a ≤时，(2,1)A ∉ 【答案】D【解析】若(2,1)A ∈，则21422a a +>⎧⎨-⎩≤，解得32a >，所以当且仅当32a ≤时，(2,1)A ∉．故选D ．4．（2014安徽）不等式组20240320x y x y x y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩表示的平面区域的面积为________．【答案】4【解析】如图阴影部分，可知12(22)42ABC S ∆=⨯⨯+=考点70 线性目标函数的最值问题1．（2020浙江3）若实数,x y 满足约束条件31030x y x y -+≤⎧⎨+-≥⎩，则2z x y =+的取值范围是( )A ．(],4-∞B ．[)4,+∞C ．[)5,+∞D ．(),-∞+∞【答案】B 【解析】画出可行域如图中阴影部分所示，作出直线20x y +=，平移该直线，易知当直线经过点()2,1A 时，z 取得最小值，min 2214z =+⨯=，再数形结合可得2z x y =+的取值范围是[)4,+∞．2．（2017•新课标Ⅱ文5）设,x y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≥+-≤-+0303320332y y x y x ，则2z x y =+的最小值是（）A ．15-B ．9-C ．1D ．9【答案】A【解析】作出可行域如图所示，2z x y =+ 经过可行域的A 时，目标函数取得最小值，由32330y x y =-⎧⎨-+=⎩解得(6,3)A --，则2z x y =+ 的最小值是15-，故选A ．3．（2017•新课标Ⅰ，文7）设x ，y 满足约束条件3310x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩，则z xy =+的最大值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D【解析】作出可行域如图所示，则z x y =+经过可行域的A 时，目标函数取得最大值，由033y x y =⎧⎨+=⎩解得(3,0)A ，所以z x y =+ 的最大值为3，故选D ．4．（2017•新课标Ⅲ，文5）设x ，y 满足约束条件326000x y x y +-⎧⎪⎨⎪⎩则z x y =-的取值范围是( )A ．[3-，0]B ．[3-，2]C ．[0，2]D ．[0，3]【答案】B【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，目标函数z x y =-，经过可行域的A ，B 时，目标函数取得最值，由03260x x y =⎧⎨+-=⎩解得(0,3)A ，由03260y x y =⎧⎨+-=⎩解得(2,0)B ，目标函数的最大值为：2，最小值为：3-，目标函数的取值范围：[3-，2]，故选B ．5．（2013新课标Ⅱ，文3）设,x y 满足约束条件10,10,3,x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则23z x y =-的最小值是（）（A ）7- （B ）6- （C ）5-（D ）3- 【答案】B【解析】由题画出如图所示的可行域，由图可知当直线23z x y =-经过点(3,4)B 时，min 23346z =⨯-⨯=-，故选B ．6．（2014新课标Ⅱ，理9）设x ，y 满足约束条件70310350x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪--≥⎩，则2z x y =-的最大值为（）A ． 10B ． 8C ． 3D ． 2 【答案】B【解析】作出可行域如图阴影部分，做出目标函数0l ：2y x =，∵2y x z =-，∴当2y x z =-在y 轴上的截距最小时，z 有最大值，∴当2y x z =-经过C 点时，z 有最大值．由31070x y x y -+=⎧⎨+-=⎩得：(5,2)C 此时：z 有最大值2528⨯-=，故选B ．7．（2014新课标Ⅱ，文9）设x ，y 满足的约束条件1010330x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，则2z x y =+的最大值为A ．8B ．7C ．2D ．1 【答案】B【解析】画出可行域如图阴影部分所示，将目标函数2z x y =+变形为122zy x =-+，当z 取到最大值时，直线122zy x =-+的纵截距最大，作出直线0:20l x y +=，平移0l ，当直线l ：2z x y =+A 点时，z 取到最大值．由10330x y x y --=⎧⎨-+=⎩解得(3,2)A ，所以max z 3227=+⨯=，故选B ．8．（2012•新课标，文5）已知正三角形ABC 的顶点A(1，1)，B(1，3)，顶点C 在第一象限，若点（x ，y ）在△ABC 内部，则z x y =-+的取值范围是（A ）(1－3，2) （B ）(0，2) （C ）(3－1，2) （D ）(0，1+3) 【答案】A【解析】有题设知2)，作出直线0l ：0x y -+=，平移直线0l ，有图像知，直线:l z x y =-+过B 点时，max z=2，过C 时，min z =1-z x y =-+取值范围为(1－3，2)，故选A ．9．(2018天津)设变量x ，y 满足约束条件5,24,1,0,x y x y x y y +⎧⎪-⎪⎨-+⎪⎪⎩≤≤≤≥ 则目标函数35z x y =+的最大值为A ． 6B ．19C ．21D ．45 【答案】C【解析】不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线35y x =-．平移该直线，当经过点C 时，z 取得最大值，由15x y x y -+=⎧⎨+=⎩，得23x y =⎧⎨=⎩，即(2,3)C ，所以max 325321a =⨯+⨯=，故选C ．10．（2017天津）设变量,x y 满足约束条件20,220,0,3,x y x y x y +⎧⎪+-⎪⎨⎪⎪⎩≥≥≤≤则目标函数z x y =+的最大值为A ．23 B ．1 C ．32D ．3 【答案】D【解析】目标函数为四边形ABCD 及其内部，其中3(0,1),(0,3),(,3)2A B C -，24(,)33D -，所以直线z x y =+过点B 时取最大值3，选D ．11．（2017山东）已知x ，y 满足3035030x yx y x -+⎧⎪++⎨⎪+⎩≤≤≥，则2z x y =+的最大值是A ．0B ．2C ．5D ．6【答案】C【解析】不等式组表示的可行域如图阴影部分，当目标函数过(3,4)-时取得最大值，即max 3245z =-+⨯=．选C ．12．（2017北京）若x ，y 满足32x x y y x ⎧⎪+⎨⎪⎩≤≥≤ 则2x y +的最大值为A ．1B ．3C ．5D ．9 【答案】D【解析】不等式组可行域如图阴影部分，目标函数2z x y =+过点(3,3)C 时，取得最大值max 3239z =+⨯=，故选D ．13．（2017浙江）若x ，y 满足约束条件03020x x y x y ⎧⎪+-⎨⎪-⎩≥≥≤，则2z x y =+的取值范围是A ．[0，6]B ． [0，4]C ．[6,)+∞D ．[4,)+∞ 【答案】D【解析】如图阴影为可行域，可知在(2,1)A 时，min 4z =，无最大值．所以2z x y =+的取值范围是[4,)+∞．选D ．x14．(2016天津)设变量x ，y 满足约束条件20,2360,3290.x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩，则目标函数25z x y =+的最小值为A ．4-B ．6C ．10D ．17【答案】B【解析】如图，已知约束条件20,2360,3290.x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩所表示的平面区域为图中所示的三角形区域ABC(包含边界)，其中A(0，2)，B(3，0)，C(l ，3)．根据目标函数的几何意义，可知当直线255zy x =-+过点B(3，0)时，z 取得最小值23506⨯+⨯=．15．（2015福建）若变量,x y 满足约束条件20,0,220,x y x y x y +⎧⎪-⎨⎪-+⎩≥≤≥ 则2z x y =-的最小值等于A ．52-B ．2-C ．32- D ．2 【答案】A【解析】画出可行域，如图所示，目标函数变形为，当最小时，直线的纵截距最大，故将直线经过可行域，尽可能向上移到过点时，取到最小值，最小值为x2y x z =-z 2y x z =-2y x =1(1,)2B -z，故选A ．16．（2013四川）若变量,x y 满足约束条件8,24,0,0,x y y x x y +≤⎧⎪-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩且5z y x =-的最大值为a ，最小值为b ，则a b-的值是A ．48B ．30C ．24D ．16 【答案】C【解析】作出可行域，如图，则在A 点取得最大值16，在B 点取得最小值8-，则24a b -=，选C ．17．（2012山东）设变量满足约束条件，则目标函数的取值范围是A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】作出可行域，直线，将直线平移至点处有最大值，点处有最小值，即，应选A ．152(1)22z =⨯--=-y x ,222441x y x y x y +⎧⎪+⎨⎪--⎩y x z -=3⎥⎦⎤⎢⎣⎡-6,23⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1,23[]6,1-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23,603=-y x )0,2()3,21(362z -18．(2011广东)已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式0222x y x y⎧≤≤⎪≤⎨⎪≤⎩给定，若(,)M x y 为D 上的动点，点A 的坐标为(2,1)，则z =OM ·OA 的最大值为 A ．3 B ．4 C ．32 D ．42 【答案】B【解析】画出区域D 如图所示，而z =OM ·OA =2x y +，所以2y x z =-+，令0l ：2y x =-，平移直线0l 过点(2,2)时，z 取得最大值，故max 2224z =⨯+=．19．（2020全国I 文13）若,x y 满足约束条件220,10,10,x y x y y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪+≥⎩则7z x y =+的最大值为__________．【答案】1【解析】解法一：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线70x y +=并平移，数形结合可知当平移后的直线经过点(10)A ，时，7z x y =+取得最大值，最大值为1． xy Oy=2x=2yx=2解法二：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，易得(10)A ，，(01)B -，，3(1)2C -，，当直线7z x y =+过点(10)A ，时，1z =；当直线7z x y =+过点(01)B -，时，7z =-；当直线7z x y =+过点3(1)2C -，时，112z =-．所以z 的最大值为1．20．（2020全国3文13）若x y ,满足约束条件0201x y x y x +≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩，则32z x y =+的最大值为_____．【答案】7【解析】解法一：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，画出直线320x y +=，平移该直线，由图可知当平移后的直线经过点(12)A ，时，32z x y =+取得最大值，max 31227z =⨯+⨯=．解法二：易知32z x y =+的最大值在可行域的顶点处取得，只需求出可行域的顶点坐标，分别将各顶点坐标代入32z x y =+，即可求得最大值．联立得020x y x y +=⎧⎨-=⎩，，解得00x y =⎧⎨=⎩，，代入32z x y =+中可得0z =；联立得01x y x +=⎧⎨=⎩，，解得11x y =⎧⎨=-⎩，，代入32z x y =+中可得1z =；联立得120x x y =⎧⎨-=⎩，，解得12x y =⎧⎨=⎩，，代入32z x y =+中可得7z =．通过比较可知，z 的最大值为7．21．（2020全国II 文15）若x ，y 满足约束条件1121x y x y x y +-⎧⎪--⎨⎪-⎩，，，则2z x y =+的最大值是____．【答案】8【解析】解法一：作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线20x y +=并平移，由图知，当平移后的直线经过点(23)A ，时，z 取得最大值，max 2238z =+⨯=．解法二：易知可行域是一个封闭区域，因此目标函数的最值在区域的顶点处取得，由11x y x y +=-⎧⎨-=-⎩，，得10x y =-⎧⎨=⎩，，此时1z =-；由121x y x y +=-⎧⎨-=⎩，，得01x y =⎧⎨=-⎩，，此时2z =-；由121x y x y -=-⎧⎨-=⎩，，得23x y =⎧⎨=⎩，，此时8z=．综上所述，2z x y=+的最大值为8．22．（2020全国III 理13）若x ，y 满足约束条件0201x y x y x +⎧⎪-⎨⎪⎩，，，则32z x y =+的最大值为________．【答案】7【解析】根据约束条件作出可行域，如图中阴影部分所示．结合图形可知，当直线322zy x =-+过点(12)A ，时， z 取得最大值，且max 31227z =⨯+⨯=．23．（2020全国I 理13）若,x y 满足约束条件220,10,10,x y x y y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪+≥⎩则7z x y =+的最大值为____________．【答案】1【解析】解法一：作出可行域，如图中阴影部分所示，由10220x y x y --=⎧⎨+-=⎩，得10x y =⎧⎨=⎩，，故(10)A ，．作出直线70x y +=，数形结合可知，当直线7z x y =+过点A 时，7z x y =+取得最大值，为1．解法二：作出可行域，如图中阴影部分所示，易得(10)A ，，(01)B -，，312C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，当直线7z x y =+过点A 时，1z =；当直线7z x y =+过点B 时，7z =-；当直线7z x y =+过点C 时，311722z =-=-．所以7z x y =+的最大值为1．24．（2020上海7）已知20230x y y x y +≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，则2z y x =-的最大值为．【答案】1-【解析】首先画出可行域，和初始目标函数2y x =，当直线2y x =平移至点()1,1A 时，取得最大值，max 1211z =-⨯=-，故答案为：1-．25．（2019•新课标Ⅱ，文13）若变量x ，y 满足约束条件23603020x y x y y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≤⎩，则3z x y =-的最大值是．【答案】9【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，化目标函数3z x y =-为3y x z =-，由图可知，当直线3y x z=-过A 时，直线在y 轴上的截距最小，由⎩⎨⎧=-+=-+030632yx yx 解得(3,0)A ，所以z 有最大值为9．26．（2018•新课标Ⅰ，理13（文14））若x ，y 满足约束条件220100x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则32z x y =+的最大值为．【答案】6【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由32z x y =+得3122y x z =-+，平移直线3122y x z =-+，由图象知当直线3122y x z =-+经过点(2,0)A 时，直线的截距最大，此时z 最大，最大值为326z =⨯=．27．（2018•新课标Ⅱ，理14（文14））若x ，y 满足约束条件25023050x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，则z x y =+的最大值为．【答案】9【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，化目标函数z x y =+为y x z=-+，由图可知，当直线y x z=-+过A 时，z 取得最大值，由5230x x y =⎧⎨-+=⎩，解得(5,4)A ，目标函数有最大值，为9z =．28．（2018•新课标Ⅲ，文15）若变量x ，y 满足约束条件23024020x y x y x ++≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，则13z x y =+的最大值是．【答案】3【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，13z x y =+变形为33y x z =-+，作出目标函数对应的直线，由图知，当直线33y x z =-+过A 时，直线的纵截距最小，z 最大，由2240x x y =⎧⎨-+=⎩解得(2,3)A ，所以z 最大值为12333+⨯=．29．（2017•新课标Ⅰ，理14）设x ，y 满足约束条件21210x y x y x y +≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，则32z x y =-的最小值为．【答案】5-【解析】由x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥+≤+01212y x y x y x 作出可行域如图，由图可知，目标函数的最优解为A ，联立2121x y x y +=⎧⎨+=-⎩，解得(1,1)A -，32z x y ∴=-的最小值为31215-⨯-⨯=-．30．（2017•新课标Ⅲ，理13）若x ，y 满足约束条件0200x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则34z x y =-的最小值为．【答案】1-【解析】由34z x y =-，得344z y x =-，作出不等式对应的可行域（阴影部分），平移直线344zy x =-，由平移可知当直线344z y x =-，经过点(1,1)B 时，直线344zy x =-的截距最大，此时z 取得最小值，将B 的坐标代入34341z x y =-=-=-，即目标函数34z x y =-的最小值为1-．31．（2016•新课标Ⅱ，文14）若x ，y 满足约束条件103030x y x y x -+⎧⎪+-⎨⎪-⎩，则2z x y=-的最小值为．【答案】5-【解答】作出可行域如图，由310xx y=⎧⎨-+=⎩，解得(3,4)B，由图可知，当直线1122y x z=-过(3,4)B时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为：3245-⨯=-．32．（2016•新课标Ⅲ，理13）若x，y满足约束条件1020220x yx yx y-+⎧⎪-⎨⎪+-⎩，则z x y=+的最大值为．【答案】3 2【解析】不等式组表示的平面区域如图阴影部分，当直线经过D点时，z最大，由20220x yx y-=⎧⎨+-=⎩得1 (1,)2D，所以z x y=+的最大值为13122+=．33．（2016•新课标Ⅲ，文13）设x，y满足约束条件2102101x yx yx-+⎧⎪--⎨⎪⎩，则235z x y=+-的最小值为．【答案】10-【解析】作出可行域如图阴影部分所示，联立210210x y x y -+=⎧⎨--=⎩，解得11x y =-⎧⎨=-⎩，即(1,1)A --，化目标函数235z x y =+-为25333zy x =-++，由图可知，当直线25333z y x =-++过A 时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最小值为2(1)3(1)510⨯-+⨯--=-．34．（2015新课标Ⅰ，文15）若x ，y 满足约束条件20210220x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪-+≥⎩，则z =3x +y 的最大值为．【答案】4【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线0l ：30x y +=，平移直线0l ，当直线l ：z =3x +y 过点A 时，z 取最大值，由2=021=0x y x y +-⎧⎨-+⎩解得A （1，1），∴z =3x +y 的最大值为4．35．（2016•新课标Ⅲ，理14）若x ，y 满足约束条件1020220x y x y x y -+⎧⎪-⎨⎪+-⎩，则z x y =+的最大值为．【答案】32【解析】作出可行域如图阴影部分，当直线经过D 点时，z 最大，由20220x y x y -=⎧⎨+-=⎩得1(1,)2D ，所以z x y=+的最大值为13122+=．36．（2015新课标Ⅱ，文14）若x ，y 满足约束条件，则z =2x +y 的最大值为．【答案】837．（2013新课标Ⅰ，文14）设x ，y 满足约束条件1310x x y ≤≤⎧⎨-≤-≤⎩，则2z x y =-的最大值为______．【答案】3【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线l ：20x y -=，平移直线l ，由题知当直线l 过A点时2z x y =-取最大值，由3x x y =⎧⎨-=⎩解得A （3，3），∴max z =233⨯-=3．38．（2012课标，理13）设x ，y 满足约束条件1300x y x y x y -≥-⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，则2z x y =-的取值范围为．【答案】[－3，3]【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线0l ：2x y -=0，平移直线0l ，有图像知，:l 2z x y =-，过A （1，2）点时min z =－3，过B(3，0)时，max z =3，故2z xy =-的取值范围为[－3，3]．50210210x y x y x y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪-+≤⎩39．（2011•新课标，理13）若变量x ，y 满足约束条件32969x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩，则2z x y =+的最小值为．【答案】-6【解析】作出可行域与目标函数，由图知，目标函数过A 点时，2z x y =+取最小值，解239x y x y +=⎧⎨-=⎩得A(4，－5)，min 42(5)z =+⨯-=－6．40．(2018北京)若x ，y 满足12x y x +≤≤，则2y x -的最小值是__________．【答案】3【解析】作出不等式组21y xx y⎧⎨+⎩≤≤，所表示的平面区域如图中阴影部分所示，令2z y x =-，作出直线20y x -=，平移该直线，当直线过点(1,2)A 时，2y x -取得最小值，最小值为2213⨯-=．41．(2018浙江)若x ，y 满足约束条件0262x y x y x y -⎧⎪+⎨⎪+⎩≥≤≥，则3z x y =+的最小值是__，最大值是__．yxOy=12x y=x+1y=2x A【答案】−2；8【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，其中(4,2)B -，(2,2)A ．设3z x y =+，将直线:3l z x y =+进行平移，观察直线在y 轴上的截距变化，可得当l 经过点B 时，目标函数z 达到最小值，()4,22z F ∴=-=-最小值，可得当l 经过点A 时，目标函数z 达到最最大值，()2,28z F ==最大值．考点71非线性目标函数的最值问题1．(2016年山东)若变量x ，y 满足则22x y +的最大值是A ．4B ．9C ．10D ．12【答案】C【解析】作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，设(,)P x y 为平面区域内任意一点，则22x y +表示2||OP ．显然，当点P 与点A 合时，2||OP ，即22x y +取得最大值，由2239x y x y +=⎧⎨-=⎩，解得31x y =⎧⎨=-⎩，故(3,1)A -．所以22x y +的最大值为223(1)10+-=．故选C ．2．(2016浙江)在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影．由区域200340x x y x y -≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩，中的点在直线20x y +-=上的投影构成的线段记为AB ，则||AB = A ． B ．4C ．D ．6 【答案】C2,239,0,x y x yx y=9【解析】作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，过点,C D 分别作直线20x y +-=的垂线，垂足分别为,A B ，则四边形ABDC 为矩形；又(2,2)C -，(1,1)D -，所以||||AB CD ===C ．3．（2014福建）已知圆()()22:1C x a y b -+-=，设平面区域70,70,0x y x y y +-≤⎧⎪Ω=-+≥⎨⎪≥⎩，若圆心C ∈Ω，且圆C 与x 轴相切，则22a b +的最大值为 A ．5 B ．29 C ．37D ．49 【答案】C【解析】平面区域Ω为如图所示的阴影部分的△ABD ，因圆心(,)C a b ∈Ω，且圆C 与x 轴相切，所以点C 在如图所示的线段MN 上，线段MN 的方程为1y =（-2≤x ≤6），由图形得，当点C 在点(6,1)N 处时，22a b +取得最大值226137+=，故选C ．4．（2015新课标Ⅰ，理15）若x ，y 满足约束条件10040x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则y x 的最大值为．【答案】3【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，yx是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点A （1，3）与原点连线的斜率最大，故yx的最大值为3．5. (2016江苏)已知实数x ，y 满足240220330x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，则22x y +的取值范围是．【答案】4[,13]5【解析】不等式组所表示的平面区域是以点(0,2)，(1,0)，(2,3)为顶点的三角形及其内部，如图所示，因为原点到直线220x y +-=22min 4()5x y +=，又当(,)x y 取点(2,3)时，22x y +取得最大值13，故22x y +的取值范围是4[,13]5．考点72 线性规划的实际问题1．（2015陕西）某企业生产甲、乙两种产品均需用,A B 两种原料，已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为A ． D ．18万元【答案】D【解析】设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为、吨，则利润，由题意可列，x y 34z x y =+32122800x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩其表示如图阴影部分区域，当直线过点时，取得最大值，所以，故选D ．2．（2016•新课标Ⅰ，理16）某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5kg ，乙材料1kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5kg ，乙材料0.3kg ，用3个工时，生产一件产品A 的利润为2100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150kg ，乙材料90kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B的利润之和的最大值为元．【答案】216000【解析】设A 、B 两种产品分别是x 件和y 件，获利为z 元，由题意，得,1.50.51500.39053600x N y Nx y x y x y ∈∈⎧⎪+⎪⎨+⎪⎪+⎩，2100900z x y =+，作出可行域如图中阴影部分所示，由题意可得0.39053600x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：60100x y =⎧⎨=⎩，(60,100)A ，由图知，2100900z x y =+经过A 时，目标函数取得最大值：210060900100216000⨯+⨯=元．考点73 含参数的线性归化问题340x y z +-=(2,3)A z max 324318z =⨯+⨯=1．（2014新课标I ，文11）设,x y ，y 满足约束条件1x y ax y +≥⎧⎨-≤-⎩，且z x ay =+的最小值为7，则a =（）A ．-5B ．3C ．-5或3D ．5或-3 【答案】B【解析】当a ＞0时，作出可行域如图1中阴影部分所示，作出直线0l ：0x ay +=，平移直线0l ，由图知，l ：z x ay =+过点A 时，z x ay =+取最小值；当a ＜0时，作出可行域如图2中阴影部分所示，作出直线0l ：0x ay +=，平移直线0l ，由图知，z x ay=+无最小值；由1x y a x y +=⎧⎨-=-⎩解得A （12a -，12a +），故1(1)22a a a -++=7，解得a =-5（舍）或a =3，故选 B ．2．（2013新课标Ⅱ，理9）已知a ＞0，,x y 满足约束条件13(3)x x y y a x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，若2z x y =+的最小值为1，则a= A ．14 B ．12C ．1D ．2 【答案】B【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线2z x y =+，由题知当直线2z x y =+过A 点时，z 取最小值1，由211x y x +=⎧⎨=⎩解得A （1，－1），因A （1，－1）在(3)y a x =-上，∴a=12，故选B ．3．（2015山东）已知,x y 满足约束条件020x y x y y -⎧⎪+⎨⎪⎩≥≤≥，若z ax y =+的最大值为4，则a =A ．3B ．2C ．－2D ．－3 【答案】B【解析】作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示，则(2,0)A ，(1,1)B ，若z ax y =+过A 时取得最大值为4，则24a =，解得2a =，此时，目标函数为2z x y =+，即2y x z =-+，平移直线2y x z =-+，当直线经过(2,0)A 时，截距最大，此时z 最大为4，满足条件，若z ax y =+过B 时取得最大值为4，则14a +=，解得3a =，此时，目标函数为3z x y =+，即3y x z =-+，平移直线3y x z =-+，当直线经过(2,0)A 时，截距最大，此时z 最大为6，不满足条件，故2a =，故选B ．4．（2014安徽）满足约束条件，若取得最大值的最优解不唯一．．．，则实数的值为（） A ．B ．C ．2或1D ．【答案】D【解析】解法一由题中条件画出可行域，y x ,⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤--≤-+02202202y x y x y x ax y z -=a 121-或212或12-或可知三交点(0,2)A ，(2,0)B ，(2,2)C --，则2A z =，2B z a =-，22C z a =-，要使目标函数取得最大值的最优解不唯一，只要A B C z z z =>或A C B z z z =>或B C A z z z =>，解得1a =-或2a =．解法二目标函数z y ax =-可化为y ax z =+，令0l ：y ax =，平移0l ，则当0l AB ∥ 或0l AC ∥时符合题意，故1a =-或2a =．5．（2014北京）若,x y 满足20200x y kx y y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩且z y x =-的最小值为－4，则k 的值为A ．2B ．-2 C．12D ．12- 【答案】D【解析】作出线性约束条件20200x y kx y y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，的可行域．当0k >时，如图(1)所示，此时可行域为y 轴上方、直线20x y +-=的右上方、直线20kx y -+=的右下方的区域，显然此时z y x =-无最小值．当1k <-时．z y x =-取得最小值2；当1k =-时，z y x =-取得最小值-2，均不符合题意，当10k -<<时，如图(2)所示，此时可行域为点A (2，0)，B （-2k，0），C (0，2)所围成的三角形区域，当直线z y x =-经过点B （-2k，0）时，有最小值，即2()4k--=-，所以得12k =-．故选D ．6．（2012福建）若直线2y x =上存在点(,)x y 满足约束条件30,230,,x y x y x m +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩则实数m 的最大值为A ．1-B ．1C ．32D ．2 【答案】B【解析】由题意，230y x x y =⎧⎨+-=⎩，可求得交点坐标为（1，2）要使直线y =2x 上存在点（x ，y ）满足约束条件30230x y x y x m +-⎧⎪--⎨⎪⎩，如图所示，则，可得m ≤1，∴实数m 的最大值为1，故选B ．7．（2011湖南）设m ＞1，在约束条件1y x y mx x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩下，目标函数z x my =+的最大值小于2，则m 的取值范围为A ．（1，12+） B ．（12+，+∞） C ．（1，3 ） D ．（3，+∞）【答案】A【解析】1m >，故直线y mx =与直线1x y +=交于1(,)11m m m ++点，目标函数z x my =+对应的直线与直线y mx =垂直，且在1(,)11m m m ++点，取得最大值，其关系如下图所示，即2121m m +<+，解得11m <+又1m >，解得(1,1m ∈+，故选A ．m m 23≥-8．（2014浙江）当实数，满足时，恒成立，则实数的取值范围是________．【答案】3[1,]2【解析】由约束条件作可行域如图，由1240x x y =⎧⎨+-=⎩解得3(1,)2C．由10240x y x y --=⎧⎨+-=⎩解得(2,1)B ，在10x y --=中取0y =得(1,0)A ，要使14ax y +恒成立，则103102402140a a a a -⎧⎪⎪+-⎪⎨⎪-⎪+-⎪⎩，解得：312a ，∴实数a 的取值范围是3[1,]2．9．（2014湖南）若变量满足约束条件，且的最小值为－6， x y 240,10,1,x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩14ax y ≤+≤a ,x y 4y x x y y k ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩2z x y =+则．【答案】－2【解析】作出不等式对应的平面区域如图中阴影部分所示，由2z x y =+，得2y x z =-+，平移直线2y x z =-+，由图象可知当直线2y x z =-+经过点A 时，直线2y x z =-+的截距最小，此时z 最小，目标函数为26x y +=-，由26x y y x +=-⎧⎨=⎩，解得22x y =-⎧⎨=-⎩，即(2,2)A --，点A 也在直线y k =上，2k ∴=-．10．（2013浙江）设z kx y =+，其中实数,x y 满足2242240x x y x y ≥⎧⎪-+≥⎨⎪--<⎩，若z 的最大值为12，则实数k =________ ．【答案】2【解析】此不等式表示的平面区域如图所示，其中(2,0)C ，(2,3)A ，(4,4)B ．当0k >时，直线：平移到B 点时目标函数取最大值，即4+4=12k ，所以2k =；当0k <时，直线：平移到A 或B 点时目标函数取最大值，此时2312k +<或4412k +<，所以不满足题意．所以2k =，所以填2．11．（2011湖南）设在约束条件下，目标函数的最大值为4，则的值为．【答案】3【解析】不等式组表示的平面区域如图中阴影所示，把目标函数化为155z y x =-+，显然只有155z y x =-+k =0l y kx =-0l y kx =-1,m >1y x y mx x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩5z x y =+m在y 轴上的截距最大时z 值最大，根据图形，目标函数在点A 处取得最大值，由1y mx x y =⎧⎨+=⎩，得1(,)11mA m m ++，代入目标函数，即15411mm m +=++，解得3m =．。

2020全国卷文科数学高考选填(知识)专题训练6.2 (线性规划)

专题六：§6.2 线性规划（不等式组应用）线性规划：属于建模应用型的不等式组问题，常考题型有：模型的简单运算；模型运算的变化型；实际应用建模型，这些都是高考考纲要求掌握的，尤其是简单的不等式组运算型。

（1）题型1：常规型（常考）（不含未知量的不等式组）思路点拨：法一：画出可行域，用目标函数去平移找最值；法二：对约束条件两两联立求交点，代入目标函数。

（2）题型2：变换型（求未知量、最远距离、斜率的最值、可行域面积）思路点拨：正常画出可行域，根据所给条件去分析求解，要区分类型，面积一般通过交点定模长；（3）题型3：综合型（一堆文字去寻找不等关系）思路点拨：由文字中寻找出不等关系，找到目标函数（即所求量）列出式子按题型1、2来计算（4）画图的时候要注意有等号用实线和没有等号用虚线；（5）斜率与倾斜角的问题：同一象限：不同象限：（6）注意：目标函数为334zxy-=型（最大、最小值刚好相反）（7）典型例题剖析：430352501x yx yx⎧-+≤⎪+-≤⎨⎪≥⎩（1）求43z x y=-的最大值；（2）设yzx=，求Z的最小值；（3）设22z x y=+，求Z的取值范围.1.【2015安徽卷】已知x ，y 满足约束条件0401x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则z=-2x+y 的最大值是（）（A ）-1 （B ）-2 （C ）-5 （D ）12.【山东卷】设变量x 、y 满足约束条件2,5100,80,x y o x y x y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩,则目标函数z =3x －4y 的最大值和最小值分别为（）A 、 3，－11B 、－3, －11C 、 11, －3D 、 11,33.设x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤--≥-+0330101y x y x y x ，则z=x+2y 的最大值为（）A 、8B 、7C 、2D 、14.【全国卷】设x 、y 满足约束条件02321x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩，则4z x y =+的最大值为 .5.【2015山东卷】若,x y 满足约束条件1,3,1,y x x y y -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩则3z x y =+ 的最大值为 .6.【2015全国卷】若x ,y 满足约束条件20210220x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪-+≥⎩,则z =3x +y 的最大值为．7.【2017全国卷理】设x ，y 满足约束条件21210x y x y x y +≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，则32z x y =-的最小值为 .8.【2016湛江模拟】若直线y=2x 上存在点（x ，y ）满足约束条件，则实数m 的取值范围．考点1 线性规划简单模型运算1.【2017全国卷】设x ，y 满足约束条件33,1,0,x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩则z =x +y 的最大值为（）A ．0B ．1C ．2D ．32.若变量x y ，满足24025000x y x y x y ⎧+⎪+⎪⎨⎪⎪⎩，，，，≤≤≥≥则32z x y =+的最大值是（）A ．90B ．80C ．70D ．403.已知x 和y 是正整数，且满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-≤+.72,2,10x y x y x 则z=2x+3y 的最小值是（）A. 24B. 14C.13D. 11.54.【2015全国卷】若x ,y 满足约束条件 ,则z =2x +y的最大值为．考点2 线性规划常规问题：（面积、距离、斜率）5.【重庆市南开中学】不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤-≥+0422y x y x y x ，所围成的平面区域的面积为 ( )A ．3 2B ．6 2C ．6D ．36.【2016 江苏卷】已知实数x ，y 满足，则x 2+y 2的取值范围是 .50210210x y x y x y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪-+≤⎩240220330x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩7.【福建卷】实数满足⎪⎩⎪⎨⎧≤>≤+-2001y x y x ，①若xyz =，求z 的最大值和最小值，并求Z 的取值范围； ②若22y x z +=，求Z 的最大值和最小值，并求Z 的取值范围；考点3 线性规划运算含变量型： 8.【2014全国卷】设x ，y 满足约束条件,1,x y a x y +≥⎧⎨-≤-⎩且z x ay =+的最小值为7，则a =（）（A ）-5 （B ）3（C ）-5或3 （D ）5或-39.如果实数x ，y 满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-+≤+-102553034x y x y x ，目标函数z=kx+y 的最大值为12，最小值为3，那么实数k 的值为 .10.已知实数x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≤≥m y x x y y 121，如果目标函数z=x —y 的最小值是—1，那么此目标函数的最大值是 .11.已知函数f （x ）=x 2—2x ，则满足条件⎩⎨⎧≥-≤+0)()(0)()(y f x f y f x f 的点（x ，y ）所形成区域的面积为 .考点4 实际应用型（自己列不等式组）12.【浙江卷】某商家一月份至五月份累计销售额达3860万元．预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x %，八月份销售额比七月份递增x %，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等．若一月份至十月份销售总额至少达7000万元，则x 的最小值是____ ____．13.【2016全国卷】某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料。

各省历年高考文科数学试题及答案汇编六不等式与线性规划

各省历年高考文科数学试题及答案汇编六不等式和线规划安徽省（试题）1、11．（5分）（2008安徽）若A 为不等式组表示的平面区域，则当a 从﹣2连续变化到1时，动直线x+y=a 扫过A 中的那部分区域的面积为（）A ．B ．1C ．D ．22、3．（5分）（2009安徽）不等式组，所表示的平面区域的面积等于（）A ．B ．C ．D ．3、8．（5分）（2010安徽）设x,y 满足约束条件则目标函数z=x+y 的最大值是A3 B 4 C 6 ）84、6．（5分）（2011安徽）设变量x ，y 满足，则x+2y 的最大值和最小值分别为（）A ．1，﹣1B ．2，﹣2C ．1，﹣2D ．2，﹣15、8．（5分）（2012安徽）若x ，y 满足约束条件，则z=x ﹣y 的最小值是（） A ． ﹣3 B ． 0 C ．D ． 3 6、12．（5分）（2013安徽）若非负数变量x 、y 满足约束条件，则x+y 的最大值为． 7、13．（5分）（2014安徽）不等式组表示的平面区域的面积为． 8、5．（5分）（2015安徽）已知x ，y 满足约束条件，则z=﹣2x+y 的最大值是（）260,260,0,x y x y y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩A ． ﹣1B ． ﹣2C ． ﹣5D ． 1北京市（试题） 1、6．（5分）（2008北京）若实数x ，y 满足则z=3x+2y 的最小值是（）A ．0B ．1C ．D ．92、8．（5分）（2009北京）设D 是正△P 1P 2P 3及其内部的点构成的集合，点P 0是△P 1P 2P 3的中心，若集合S={P|P ∈D ，|PP 0|≤|PP i |，i=1，2，3}，则集合S 表示的平面区域是（）A ．三角形区域B ．四边形区域C ．五边形区域D ．六边形区域3、11．（5分）（2009北京）（文）若实数x ，y 满足则s=x+y的最大值为． 4、12．（5分）（2013北京）设D 为不等式组表示的平面区域，区域D 上的点与点（1，0）之间的距离的最小值为．5、（13）若x 、y 满足11010y x y x y ≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩，则z y =+的最小值为 .6、13．（5分）（2015北京）如图，△ABC 及其内部的点组成的集合记为D ，P （x ，y ）为D 中任意一点，则z=2x+3y 的最大值为．7、7．（5分）（2016北京）已知A （2，5），B （4，1）．若点P （x ，y ）在线段AB 上，则2x ﹣y 的最大值为（）A．﹣1 B．3 C．7 D．88、4．（5分）（2017北京）若,x y满足3,2,,xx yy x≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩则2x y+的最大值为A 1B 3C 5D 9福建省（试题）1、10．（5分）（2008福建）若实数x、y满足则的取值范围是（）A．（0，2）B．（0，2）C．（2，+∞）D．[，+∞）2、9．（5分）（2009福建）在平面直角坐标系中，若不等式组（a为常数）所表示的平面区域的面积等于2，则a的值为（）A．﹣5 B．1 C．2 D．33、10．（5分）（2012福建）若直线y=2x上存在点（x，y）满足约束条件，则实数m的最大值为（）A．﹣1 B．1C．D．24、5．（5分）（2010福建）设x，y∈R且，则z=x+2y的最小值等于（）A．2 B．3 C．5 D．95、6．（5分）（2013福建）若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值和最小值分别为（）A．4和3 B．4和2 C．3和2 D．2和06、11．（5分）（2014福建）已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=1，设平面区域Ω=，若圆心C∈Ω，且圆C与x轴相切，则a2+b2的最大值为（）A．5B．29 C．37 D．497、10．（5分）（2015福建）变量x，y满足约束条件，若z=2x﹣y的最大值为2，则实数m等于（）A．﹣2 B．﹣1 C．1D．2广东省（试题）1、12．（5分）（2008广东）若变量x，y满足，则z=3x+2y的最大值是．2、19．（12分）（2010广东）某营养师要求为某个儿童预订午餐和晚餐．已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C．另外，该儿童这两餐需要的营状中至少含64个单位的碳水化合物和42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C．如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？3、6．（5分）（2011广东）已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定．若M（x，y）为D上的动点，点A的坐标为，则z=•的最大值为（）A．3 B．4 C．3 D．44、5．（5分）（2012广东）已知变量x，y满足约束条件，则z=x+2y的最小值为（）A．3B．1C．﹣5 D．﹣65、13．（5分）（2013广东）已知变量x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值是．6、4．（5分）（2014广东）若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值等于（）A．7B．8C．10 D．117、4．（5分）（2015广东）若变量x，y满足约束条件，则z=2x+3y的最大值为（）A．2 B．5 C．8 D．10海南省（试题）1、10．（5分）（2008海南）点P（x，y）在直线4x+3y=0上，且x，y满足﹣14≤x﹣y≤7，则点P到坐标原点距离的取值范围是（）A．[0，5] B．[0，10] C．[5，10] D．[5，15]2、6．（5分）（2009宁夏）设x，y满足，则z=x+y（）A．有最小值2，最大值3 B．有最小值2，无最大值C．有最大值3，无最小值D．既无最小值，也无最大值3、11．（5分）（2010新课标）已知▱ABCD的三个顶点为A（﹣1，2），B（3，4），C（4，﹣2），点（x，y）在▱ABCD的内部，则z=2x﹣5y的取值范围是（）A．（﹣14，16）B．（﹣14，20）C．（﹣12，18）D．（﹣12，20）湖北省(试题）1、8．（5分）（2009湖北）在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇．现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用．每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台．若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为（）A．2000元B．2200元C．2400元D．2800元2、12．（5分）（2010湖北）已知z=2x﹣y，式中变量x，y满足约束条件，则z 的最大值为．3、8．（5分）（2011湖北）直线2x+y﹣10=0与不等式组表示的平面区域的公共点有（）A．0个B．1个C．2个D．无数个4、14．（5分）（2012湖北）若变量x，y满足约束条件则目标函数z=2x+3y的最小值是．5、9．某旅行社租用A、B两种型号的客车安排900名客人旅行，A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆．则租金最少为（）A．31200元B．36000元C．36800元D．38400元6、4．（5分）（2014湖北）若变量x，y满足约束条件，则2x+y的最大值是（）A．2B．4C．7D．87、12．（3分）（2015湖北）设变量x，y满足约束条件，则3x+y的最大值为．湖南省（试题）1、3．（5分）（2008湖南）已条变量x，y满足，则x+y的最小值是（）A．4 B．3 C．2 D．12、14．（5分）（2011湖南）设m＞1，在约束条件下，目标函数z=x+5y的最大值为4，则m的值为．3、13．（5分）（2014湖南）若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为．4、4．（5分）（2015湖南）若变量x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最小值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2辽宁省（试题）1、9．（5分）（2008辽宁）已知变量x，y满足约束条件则z=2x+y的最大值为（）A．4 B．2 C．1 D．﹣42、15．（5分）（2010•辽宁）已知﹣1＜x+y＜4且2＜x﹣y＜3，则z=2x﹣3y的取值范围是．（答案用区间表示）3、9．（5分）（2012辽宁）设变量x，y满足，则2x+3y的最大值为（）A．20 B．35 C．45 D．554、14．（5分）（2014辽宁）已知x，y满足约束条件，则目标函数z=3x+4y的最大值为．山东省（试题）（2008山东）设x，y满足约束条件则z=2x+y的最大值为．（4分）1、16．2、16．（4分）（2009山东）某公司租赁甲、乙两种设备生产A，B两类产品，甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件，乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元，现该公司至少要生产A类产品50件，B类产品140件，所需租赁费最少为元．3、7．（5分）（2011山东）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+3y+1的最大值为（）A．11 B．10 C．9 D．8.54、6．（5分）（2012山东）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣y 的取值范围是（）A．B．C．[﹣1，6] D．5、14．（4分）（2013山东）在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则直线|OM|的最小值为．6、10．（5分）（2014山东）已知x，y满足约束条件，当目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）在该约束条件下取到最小值2时，a2+b2的最小值为（）A．5B．4C．D．27、12．（5分）（2015山东）若x，y满足约束条件，则z=x+3y的最大值为．8、4．（5分）（2016山东）若变量x，y满足，则x2+y2的最大值是（）A．4 B．9 C．10 D．129、3．（5分）（2017山东）已知x，y满足约束条件则z=x+2y的最大值是（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．310、陕西省（试题）1、14．（4分）（2009陕西）设x，y满足约束条件，则x+2y的最小值是，最大值是．2、14．（5分）（2010陕西）设x，y满足约束条件件，则目标函数z=x﹣y的最小值为．3、12．（5分）（2011陕西）如图，点（x，y）在四边形ABCD内部和边界上运动，那么2x ﹣y的最小值为．4、7. （5分）（2013陕西）若点()x,y 位于曲线y x =与2y =所围成的封闭区域,则2x y -的最小值为 ( ).A. －6B. －2C. 0D. 2 5、11．（5分）（2015陕西）某企业生产甲、乙两种产品均需用A 、B 两种原料．已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产一吨甲、乙产品可获得利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（）甲乙原料限额A （吨） 3 2 12B （吨） 1 2 8A ． 12万元B ． 16万元C ． 17万元D ． 18万元上海市（试题）1、11．（4分）（2008上海）在平面直角坐标系中，点A ，B ，C 的坐标分别为（0，1），（4，2），（2，6）．如果P （x ，y ）是△ABC 围成的区域（含边界）上的点，那么当ω=xy 取到最大值时，点P 的坐标是．2、7．（4分）（2009上海）已知实数x 、y 满足则目标函数z=x ﹣2y 的最小值是．3、15．（5分）（2010上海）满足线性约束条件，的目标函数z=x+y 的最大值是（）A ．1B ．C ．2D ．34、9．（4分）（2011上海）若变量x ，y 满足条件，则z=x+y 得最大值为．5、10．（4分）（2012上海）满足约束条件|x|+2|y|≤2的目标函数z=y ﹣x 的最小值是．6、9. （4分）（2015上海）若x、y满足0,2,0,x yx yy-⎧⎪+⎨⎪⎩则目标函数2z x y=+的最大值为____.7、7．（4分）（2016上海）若x，y满足，则x﹣2y 的最大值为．四川省（试题）1、10．（5分）（2009四川）某企业生产甲、乙两种产品．已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨、B原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是（）A．12万元B．20万元C．25万元D．27万元2、8．（5分）（2010四川）某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品，由乙车间加工出B 产品．甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A产品，每千克A产品获利40元．乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B产品，每千克B产品获利50元．甲、乙两车间每天共能完成至多70多箱原料的加工，每天甲、乙车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天获利最大的生产计划为（）A．甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱B．甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱C．甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱D．甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱3、10．（5分）（2011四川）某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车，某天需送往A地至少72吨的货物，派用的每辆车需载满且只能送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡需配1名工人；每送一次可得利润350元，该公司合理计划当天派用甲乙卡车的车辆数，可得最大利润z=（）A．4650元B．4700元C．4900元D．5000元4、8．（5分）（2012四川）若变量x，y满足约束条件，则z=3x+4y的最大值是（）A．12 B．26 C．28 D．335、8．（5分）（2013四川）若变量x，y满足约束条件且z=5y﹣x的最大值为a，最小值为b，则a﹣b的值是（）A．48 B．30 C．24 D．166、9．（5分）（2015四川）设实数x，y满足，则xy的最大值为（）A．B．C．12 D．16天津市（试题）1、2．（5分）（2008天津）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=5x+y的最大值为（）A．2 B．3 C．4 D．52、2．（5分）（2009天津）设变量x，y满足约束条件：，则目标函数z=2x+3y的最小值为（）A．6 B．7 C．8 D．233、2．（5分）（2010天津）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=4x+2y的最大值为（）A．12 B．10 C．8 D．24、2．（5分）（2011天津）设变量x，y满足约束条件则目标函数z=3x﹣y的最大值为（）A．﹣4 B．0 C．D．45、2．（5分）（2012天津）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣2y的最小值为（）A．﹣5 B．﹣4 C．﹣2 D．36、2．（5分）（2013天津）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=y﹣2x的最小值为（）A．﹣7 B．﹣4 C．1D．27、2．（5分）（2014天津）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+2y的最小值为（）A．2B．3C．4D．58、2．（5分）（2015天津）设变量x，y满足约束条件则目标函数z=3x+y的最大值为（）A．7 B．8 C．9 D．14浙江省（试题）1、10．（5分）（2008浙江）若a≥0，b≥0，且当时，恒有ax+by≤1，则以a，b为坐标的点P（a，b）所形成的平面区域的面积是（）A．B．C．1 D．2、13．（4分）（2009浙江）若实数x，y满足不等式组，则2x+3y的最小值是．3、7．（5分）（2010浙江）若实数x，y满足不等式组合，则x+y的最大值为（）A．9 B．C．1 D．4、3．（5分）（2011浙江）若实数x，y满足不等式组，则3x+4y的最小值是（）A．13 B．15 C．20 D．285、14．（4分）（2012浙江）设z=x+2y，其中实数x，y满足则z的取值范围是．6、15．（4分）（2013浙江）设z=kx+y，其中实数x、y满足若z的最大值为12，则实数k= ．7、12．（4分）（2014浙江）若实数x，y满足，则x+y的取值范围是．8、14．（4分）（2015浙江）已知实数x，y满足x2+y2≤1，则|2x+y﹣4|+|6﹣x﹣3y|的最大值是．9、4．（4分）（2016浙江）若平面区域，夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是（）A．B．C．D．重庆市（试题）1、7．（5分）（2010重庆）设变量x，y满足约束条件则z=3x﹣2y的最大值为（）A．0 B．2 C．4 D．32、10．（5分）（2015重庆）若不等式组，表示的平面区域为三角形，且其面积等于，则m的值为（）A．﹣3 B．1 C．D．3安徽省（答案）1、解：作出可行域，如图，则直线扫过的面积为故选C．2、解：不等式组表示的平面区域如图所示，由得交点A的坐标为（1，1）．又B、C两点的坐标为（0，4），（0，）．故S△ABC=（4﹣）×1=．故选C．=+ 3、解：不等式表示的区域是一个三角形，3个顶点是(3,0),(6,0),(2,2)，目标函数z x y 在(6,0)取最大值6，故选C4、解：满足的平面区域如下图所示：由图可知当x=0，y=1时x+2y取最大值2当x=0，y=﹣1时x+2y取最小值﹣2故选B5、解：约束条件，表示的可行域如图，解得A（0，3），解得B（0，）、解得C（1，1）；由A（0，3）、B（0，）、C（1，1）；所以t=x﹣y的最大值是1﹣1=0，最小值是0﹣3=﹣3；故选A．6、解：画出可行域如图阴影部分，其中，可得A（4，0）目标函数z=x+y可以变形为y=﹣x+z，可看做斜率为﹣1的动直线，其纵截距越大z越大，由图数形结合可得当动直线过点A时，z最大=4+0=4故答案为：47、解：由不等式组作平面区域如图，由图可知A（2，0），C（0，2），联立，解得：B（8，﹣2）．∴|BC|=．点A到直线x+2y﹣4=0的距离为d=．∴．故答案为：4．8、解：由已知不等式组表示的平面区域如图阴影部分，当直线y=2x+z经过A时使得z最大，由得到A（1，1），所以z的最大值为﹣2×1+1=﹣1；故选：A．北京市（答案）1、解：约束条件对应的平面区域如图示：由图可知当x=0，y=0时，目标函数Z有最小值，Z min=3x+2y=30=1故选B2、解：如图，A、B、C、D、E、F为各边三等分点，若|PP0|=|PP i|当i=1时，P点落在P1P0的垂直平分线上，又由P∈D，故P点的轨迹为ED；当i=2时，P点落在P2P0的垂直平分线上，又由P∈D，故P点的轨迹为AF；当i=3时，P点落在P3P0的垂直平分线上，又由P∈D，故P点的轨迹为BC；故满足条件集合S={P|P∈D，|PP0|≤|PP i|，i=1，2，3}，则集合S表示的平面区域是六边形ABCDEF，故选D3、解：满足约束条件的可行域，如图中阴影所示，由图易得：当x=4，y=5时，s=x+y=4+5=9为最大值．故答案为：9．4、解：如图可行域为阴影部分，由其几何意义为点A（1，0）到直线2x﹣y=0距离，即为所求，由点到直线的距离公式得：d==，则区域D上的点与点（1，0）之间的距离的最小值等于．故答案为：．5、解：画出不等式组表示的平面区域，可知区域为三角形，平移直线y x z +=3可得，当直线经过两条直线1=y 与01=-+y x 的交点(0,1)时，z 取得最小值1.6、解：由z=2x+3y ，得y=，平移直线y=，由图象可知当直线y=经过点A 时，直线y=的截距最大，此时z 最大．即A （2，1）．此时z 的最大值为z=2×2+3×1=7，故答案为：7．7、解：如图A （2，5），B （4，1）．若点P （x ，y ）在线段AB 上，令z=2x ﹣y ，则平行y=2x ﹣z 当直线经过B 时截距最小，Z 取得最大值，可得2x ﹣y 的最大值为：2×4﹣1=7．故选：C ．8、解：如图，画出可行域，2z x y=+表示斜率为12-的一组平行线，当过点()3,3C时，目标函数取得最大值max 3239z=+⨯=，故选D.福建省（答案）1、解：不等式组，当取得点（2，3）时，取得最小值为，所以答案为[，+∞），故选D．2、解：不等式组所围成的区域如图所示．∵其面积为2，∴|AC|=4，∴C的坐标为（1，4），代入ax﹣y+1=0，得a=3．故选D．3、解：由题意，，可求得交点坐标为（1，2）要使直线y=2x上存在点（x，y）满足约束条件，如图所示．可得m≤1∴实数m的最大值为1故选B．4、解：约束条件，对应的平面区域如下图示：当直线Z=x+2y过点（1，1）时，z=x+2y取最小值3，故选B．5、解：满足约束条件的可行域如下图所示在坐标系中画出可行域平移直线2x+y=0，经过点N（1，0）时，2x+y最小，最小值为：2，则目标函数z=2x+y的最小值为2．经过点M（2，0）时，2x+y最大，最大值为：4，则目标函数z=2x+y的最大值为：4．故选B．6、解：作出不等式组对应的平面区域如图：圆心为（a，b），半径为1∵圆心C∈Ω，且圆C与x轴相切，∴b=1，则a2+b2=a2+1，∴要使a2+b2的取得最大值，则只需a最大即可，由图象可知当圆心C位于B点时，a取值最大，由，解得，即B（6，1），∴当a=6，b=1时，a2+b2=36+1=37，即最大值为37，故选：C7、解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（），化目标函数z=2x﹣y为y=2x﹣z，由图可知，当直线过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为，解得：m=1．故选：C．广东省（答案）1、解：画出可行域，如图所示解得B（10，20）则直线z=3x+2y过点B时z最大，所以z max=3×10+2×20=70．故答案为70．2、解：设为该儿童分别预订x个单位的午餐和y个单位的晚餐，设费用为F，则F=2.5x+4y，由题意知约束条件为：画出可行域如图：变换目标函数：当目标函数过点A，即直线6x+6y=42与6x+10y=54的交点（4，3）时，F取得最小值．即要满足营养要求，并且花费最少，应当为儿童分别预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐．3、解：首先做出可行域，如图所示：z=•=，即y=﹣x+z做出l0：y=﹣x，将此直线平行移动，当直线y=﹣x+z经过点B时，直线在y轴上截距最大时，z有最大值．因为B（，2），所以z的最大值为4故选：B4、解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=x+2y得y=﹣，平移直线y=﹣，由图象可知当直线y=﹣经过点B时，直线y=﹣的截距最小，此时z最小．由，解得，即B（﹣1，﹣2），代入目标函数z=x+2y得z=﹣1+2×（﹣2）=﹣5．即目标函数z=x+2y的最小值为﹣5．故选：C．5、解：画出可行域如图阴影部分，由得A（1，4）目标函数z=x+y可看做斜率为﹣1的动直线，其纵截距越大z越大，由图数形结合可得当动直线过点A（1，4）时，z最大=1+4=5．故答案为：5．6、解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x+y，得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点B（4，2）时，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大，此时z=2×4+2=10，故选：C7、解：作出不等式对应的平面区域（阴影部分），由z=2x+3y，得y=，平移直线y=，由图象可知当直线y=经过点B时，直线y=的截距最大，此时z最大．由，解得，即B（4，﹣1）．此时z的最大值为z=2×4+3×（﹣1）=8﹣3=5，故选：B．海南省答案）1、解析：因x，y满足﹣14≤x﹣y≤7，则点P（x，y）在所确定的区域内，且原点也在这个区域内．又点P（x，y）在直线4x+3y=0上，，解得A（﹣6，8）．，解得B（3，﹣4）．P到坐标原点的距离的最小值为0，又|AO|=10，|BO|=5，故最大值为10．∴其取值范围是[0，10]．故选B．2、解析：如图作出不等式组表示的可行域，如下图所示：由于z=x+y的斜率大于2x+y=4的斜率，因此当z=x+y过点（2，0）时，z有最小值，但z没有最大值．故选B3、解：由已知条件得⇒D（0，﹣4），由z=2x﹣5y得y=，平移直线当直线经过点B（3，4）时，﹣最大，即z取最小为﹣14；当直线经过点D（0，﹣4）时，﹣最小，即z取最大为20，又由于点（x，y）在四边形的内部，故z∈（﹣14，20）．如图：故选B．湖北省（答案）1、解：设需使用甲型货车x辆，乙型货车y辆，运输费用z元，根据题意，得线性约束条件求线性目标函数z=400x+300y的最小值．解得当时，z min=2200．故选B．2、解：依题意，画出可行域（如图示），则对于目标函数y=2x﹣z，当直线经过A（2，﹣1）时，z取到最大值，Z max=5．故答案为：5．3、解：画出不等式组表示的平面区域如下作出直线2x+y﹣10=0，由图得到2x+y﹣10=0与可行域只有一个公共点（5，0）故选B4、解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示作直线L：2x+3y=0，由于z=2x+3y，则可得y=，则表示直线2x+3y﹣z=0在y轴上的截距，当z最小时，截距最小结合图形可知，当直线2x+3y﹣z=0平移到点B时，z最小由可得B（1，0），此时Z=2故答案为：25、解;先根据题意列出约束条件和目标函数，通过平移目标函数加以解决．设租用A 型车x 辆，B 型车y 辆，目标函数为z =1600x +2400y ，则约束条件为3660900,21,7,,,x y x y y x x y +⎧⎪+⎪⎨-⎪⎪∈⎩N 作出可行域，如图中阴影部分所示，可知目标函数过点（5,12）时，有最小值()min 36800.z =元故选C6、解：满足约束条件的可行域如下图中阴影部分所示：∵目标函数Z=2x+y ， ∴Z O =0，Z A =4，Z B =7，Z C =4，故2x+y 的最大值是7，故选：C7、解：作出不等式对应的平面区域如图，由z=3x+y ，得y=﹣3x+z ，平移直线y=﹣3x+z ，由图象可知当直线y=﹣3x+z ，经过点C 时，直线y=﹣3x+z 的截距最大，此时z最大．由得．即C（3，1），此时z的最大值为z=3×3+1=10，故答案为：10．湖南省（答案）1、解析：如图得可行域为一个三角形，其三个顶点分别为（1，1），（1，2），（2，2），代入验证知在点（1，1）时，x+y最小值是1+1=2．故选C．2、解：满足约束条件的平面区域如下图所示：目标函数z=x+5y可看做斜率为﹣的动直线，其纵截距越大z越大，由可得A点（，）当x=，y=时，目标函数z=x+5y取最大值为4，即；解得m=3．故答案为：3．3、解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x+y，得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点C，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大，由，解得，即C（3，1），此时z=2×3+1=7，故答案为：7．4、解：由约束条件作出可行域如图，由图可知，最优解为A，联立，解得A（0，1）．∴z=2x﹣y的最小值为2×0﹣1=﹣1．故选：A．辽宁省（答案）1、解：作图易知可行域为一个三角形，其三个顶点为（0，1），（1，0），（﹣1，﹣2），验证知在点（1，0）时取得最大值2当直线z=2x+y过点A（1，0）时，z最大是2，故选B．2、解：画出不等式组表示的可行域如下图示：在可行域内平移直线z=2x﹣3y，当直线经过x﹣y=2与x+y=4的交点A（3，1）时，目标函数有最小值z=2×3﹣3×1=3；当直线经过x+y=﹣1与x﹣y=3的交点B（1，﹣2）时，目标函数有最大值z=2×1+3×2=8．z=2x﹣3y的取值范围是（3，8）．故答案为：（3，8）．3、解：满足约束条件的平面区域如下图所示：令z=2x+3y可得y=，则为直线2x+3y﹣z=0在y轴上的截距，截距越大，z越大作直线l：2x+3y=0把直线向上平移可得过点D时2x+3y最大，由可得x=5，y=15，此时z=55故选D4、解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得，∴C（2，3）．化目标函数z=3x+4y为直线方程的斜截式，得：．由图可知，当直线过点C时，直线在y轴上的截距最大，即z最大．∴z max=3×2+4×3=18．故答案为：18．山东省（答案）1、解：先根据约束条件画出可行域，易知可行域为一个四角形，其四个顶点分别为（0，0），（0，2），（2，0），（3，5），设z=2x+y，将最大值转化为y轴上的截距，当直线z=2x+y经过直线x﹣y+2=0与直线5x﹣y﹣10=0的交点A（3，5）时，z最大，故填：11．2、解：设需租赁甲种设备x天，乙种设备y天，则目标函数为z=200x+300y．作出其可行域，易知当x=4，y=5时，z=200x+300y有最小值2300元．3、解：做出可行域如图所示：将目标函数转化为，欲求z的最大值，只需求直线l：在y轴上的截距的最大值即可．作出直线l0：，将直线l0平行移动，得到一系列的平行直线当直线经过点A时在y 轴上的截距最大，此时z最大．由可求得A（3，1），将A点坐标代入z=2x+3y+1解得z的最大值为2×3+3×1+1=10故选B4、解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示由z=3x﹣y可得y=3x﹣z，则﹣z为直线y=3x﹣z在y轴上的截距，截距越大，z越小结合图形可知，当直线y=3x﹣z平移到B时，z最小，平移到C时z最大由可得B（，3），由可得C（2，0），z max=6∴故选A5、解：如图可行域为阴影部分，由其几何意义为点O（0，0）到直线x+y﹣2=0距离，即为所求，由点到直线的距离公式得：d==，则|OM|的最小值等于．故答案为：．6、解：由约束条件作可行域如图，联立，解得：A（2，1）．化目标函数为直线方程得：（b＞0）．由图可知，当直线过A点时，直线在y轴上的截距最小，z最小．∴2a+b=2．即2a+b﹣2=0．则a2+b2的最小值为．故选：B．7、解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的三角形及其内部，由可得A（1，2），z=x+3y，将直线进行平移，当l经过点A时，目标函数z达到最大值∴z最大值=1+2×3=7．故答案为：78、解：由约束条件作出可行域如图，∵A（0，﹣3），C（0，2），∴|OA|＞|OC|，联立，解得B（3，﹣1）．∵，∴x2+y2的最大值是10．故选：C．9、解：x，y满足约束条件的可行域如图：目标函数z=x+2y经过可行域的A 时，目标函数取得最大值，由：解得A（﹣1，2），目标函数的最大值为：﹣1+2×2=3．故选：D．陕西省（答案）1、解：设z=x+2y，z为该直线纵截距2倍，可行域如图三角形ABC，令Z=0得直线l：x+2y=0，平移l过点C（1，0）时z有最小值1，过点A（3，4）点时有最大值11，故答案为最小值1，最大值11．2、解：根据题意，不等式组表示的平面区域如图所示，当直线z=x﹣y过点A（﹣2，0）时，在y轴上截距最小，此时z取得最小值﹣1．故填﹣1．3、解：结合已知的四边形ABCD的图形，我们将四边形的各个顶点坐标依次代入可得：当x=1，y=1时，2x﹣y=1当x=，y=时，2x﹣y=当x=，y=1时，2x﹣y=2﹣1＞1当x=1，y=0时，2x﹣y=2＞1故2x﹣y的最小值为 1故答案为：14、答案:A解:曲线2y x ,y ==所围成的封闭区域如图阴影部分所示，当直线l :2y x =向左平移时，()2x y -的值在逐渐变小，当l 通过点A (-2,2)时，min (2) 6.x y -=-5、解：设每天生产甲乙两种产品分别为x ，y 顿，利润为z 元，则，目标函数为 z=3x+4y ．作出二元一次不等式组所表示的平面区域（阴影部分）即可行域．由z=3x+4y 得y=﹣x+，平移直线y=﹣x+由图象可知当直线y=﹣x+经过点B 时，直线y=﹣x+的截距最大，此时z 最大，解方程组，解得，即B 的坐标为x=2，y=3， ∴z max =3x+4y=6+12=18．即每天生产甲乙两种产品分别为2，3顿，能够产生最大的利润，最大的利润是18万元，故选：D ．上海市（答案）1、解：∵点A，B，C的坐标分别为（0，1），（4，2），（2，6）．∴△ABC围成的区域（含边界）如下图示：由图可知：当ω=xy取到最大值时，点P在线段BC上，由线段BC上的点满足：y=﹣2x+10，x∈[2，4]，∴ω=xy=x（﹣2x+10），故当时，ω取到最大值．故答案为：2、解：如图作出阴影部分即为满足约束条件的可行域，由z=x﹣2y，得y=x﹣z，平移直线y=x﹣z，由图象可知当直线y=x﹣z经过点A，直线y=x﹣z的截距最大，此时z最小，由得点A（3，6），当x=3，y=6时，z=x﹣2y取最小值，为﹣9．故答案为：﹣93、解：先根据约束条件画出可行域，当直线z=x+y过点B（1，1）时，z最大值为2．故选C．4、解：满足约束条件的平面区域如下图所示：由图分析，当x=，y=时，z=x+y取最大值，故答案为．5、解：作出约束条件对应的平面区域，如图所示由于z=y ﹣x 可得y=x+z ，则z 为直线在y 轴上的截距，截距越小，z 越小结合图形可知，当直线y=x+z 过C 时z 最小，由可得C （2，0），此时Z=﹣2最小故答案为：﹣26、答案：3解：由题意约束条件所形成的线性区域的三个交点为(0,0)，(2,0)，(1,1)；且目标函数可转化为22x zy =-+，可见在点(1,1)时函数的截距最大，此时z 取得最大值即23z x y =+=.7、解：画出可行域（如图），设z=x ﹣2y ⇒y=x ﹣z ，由图可知，当直线l 经过点A （0，1）时，z 最大，且最大值为z max =0﹣2×1=﹣2．故答案为：﹣2．四川省（答案）1、解：设该企业生产甲产品为x吨，乙产品为y吨，则该企业可获得利润为z=5x+3y，且联立解得由图可知，最优解为P（3，4），∴z的最大值为z=5×3+3×4=27（万元）．故选D．2、解：设甲车间加工原料x箱，乙车间加工原料y箱，则目标函数z=280x+200y结合图象可得：当x=15，y=55时z最大．故选B．3、解：设派x辆甲卡车，y辆乙卡车，利润为z，由题意得：z=450x+350y由题意得x，y满足下列条件：上述条件作出可行域，如图所示：由图可知，当x=7，y=5时，450x+350y有最大值4900故选C4、解：作出约束条件，所示的平面区域，作直线3x+4y=0，然后把直线L向可行域平移，结合图形可知，平移到点C时z最大由可得C（4，4），此时z=28故选C。

近几年全国卷高考文科数学线性规划高考题

线性规划高考题1.[2013.全国卷23]设,x y满足约束条件10,10,3,x yx yx-+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则23z x y=-的最小值是（）A.7-B.6-C.5-D.3-2.[2014.全国卷29]设x，y满足的约束条件1010330x yx yx y+-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，则2z x y=+的最大值为（）A.8B.7C.2D.13.[2014.全国卷111]设1，y满足约束条件,1,x y ax y+≥⎧⎨-≤-⎩且z x ay=+的最小值为7，则a=（）A．-5 B. 3 C．-5或3 D.5或-34. [2012.全国卷5] 已知正三角形的顶点A(1,1)，B(1,3)，顶点C在第一象限，若点（x，y）在△内部，则－的取值范围是（）A.(1－，2)B.(0，2)C.(－1，2)D.(0，1+)5.[2010.全国卷11]已知的三个顶点为A（-1，2），B（3，4），C（4，-2），点（x，y）在的内部，则25y的取值范围是（）A.（-14，16）B.（-14，20）C.（-12，18）D.（-12，20）6. [2016.全国卷313]设x ，y 满足约束条件210,210,1,x y x y x -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩则23y –5的最小值为7．[2016.全国卷214]若x ，y 满足约束条件103030x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则2y 的最小值为 8.[2015.全国卷214]若x ，y 满足约束条件50210210x y x y x y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪-+≤⎩，则2z x y =+的最大值为9.[2015.全国卷115] 满足约束条件，则3的最大值为 10.[2013.全国卷114]设,x y 满足约束条件 13,10x x y ≤≤⎧⎨-≤-≤⎩，则2z x y =-的最大值为11. [2011.全国卷14]若变量,x y 满足约束条件329,69,x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩则2z x y =+的最小值为 12. [2016.全国1卷16]某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料。

高三数学线性规划试题答案及解析

高三数学线性规划试题答案及解析1.已知正三角形ABC的顶点A(1,1)，B(1,3)，顶点C在第一象限，若点在△ABC内部，则的取值范围是( )A．(1－，2)B．(0，2)C．(－1，2)D．(0，1+)【答案】A【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由题知C（，2），作出直线：，平移直线，由图知，直线过C时，=1－，过B（0,2）时，=3-1=2，故z的取值范围为（1－，2），故选C.【考点】简单线性规划解法，数形结合思想2.若变量、满足约束条件，且的最大值和最小值分别为和，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】作出不等式组所表示的可行域如下图中的阴影部分所表示，直线交直线于点，交直线于点，作直线，则为直线在轴上的截距，当直线经过可行域上的点时，直线在轴上的截距最大，此时取最大值，即；当直线经过可行域上的点时，此时直线在轴上的截距最小，此时取最小值，即.因此，，故选C.【考点】本题考查线性规划中线性目标函数的最值，属于中等题.3.已知 (x＋y＋4)< (3x＋y－2)，若x－y<λ恒成立，则λ的取值范围是()A．(－∞，10]B．(－∞，10)C．[10，＋∞)D．(10，＋∞)【答案】C【解析】已知不等式等价于不等式x＋y＋4>3x＋y－2>0，即，其表示的平面区域如图中的阴影部分(不含区域边界)所示．设z＝x－y，根据其几何意义，显然在图中的点A处，z取最大值，由得，A(3，－7)，故z<3－(－7)＝10，所以λ≥10.4.若满足条件的整点恰有9个（其中整点是指横，纵坐标均为整数的点），则整数的值为（）A．B．C．D．0【答案】C【解析】不等式组表示的平面区域如图，要使整点恰有9个，即为，，，，，，，，，故整数的值为.故选C.【考点】简单的线性规划，整点的含义.5.已知，则满足且的概率为 .【答案】【解析】因为满足且的平面区域是一个矩形，面积为，而圆的半径为2，面积为，根据古典概型公式得所求的概率为.【考点】古典概型,简单的线性规划，圆的面积公式.6.（3分）（2011•重庆）设m，k为整数，方程mx2﹣kx+2=0在区间（0，1）内有两个不同的根，则m+k的最小值为（）A．﹣8B．8C．12D．13【答案】D【解析】将一元二次方程的根的分布转化为确定相应的二次函数的图象来处理，根据图象可得到关于m和k的不等式组，此时不妨考虑利用不等式所表示的平面区域来解决，但须注意这不是线性规划问题，同时注意取整点．解：设f（x）=mx2﹣kx+2，由f（0）=2，易知f（x）的图象恒过定点（0，2），因此要使已知方程在区间（0，1）内两个不同的根，即f（x）的图象在区间（0，1）内与x轴有两个不同的交点即由题意可以得到：必有，即，在直角坐标系mok中作出满足不等式平面区域，如图所示，设z=m+k，则直线m+k﹣z=0经过图中的阴影中的整点（6，7）时，z=m+k取得最小值，即z=13．min故选D．点评：此题考查了二次函数与二次方程之间的联系，解答要注意几个关键点：（1）将一元二次方程根的分布转化一元二次函数的图象与x轴的交点来处理；（2）将根据不等式组求两个变量的最值问题处理为规划问题；（3）作出不等式表示的平面区域时注意各个不等式表示的公共区域；（4）不可忽视求得最优解是整点．7.已知实数x，y满足约束条件，则的最小值是（）.A．5B．-6C．10D．-l0【答案】B【解析】当目标函数过点时，目标函数取得最小值，,代入,.【考点】线性规划8.已知实数x，y满足约束条件，则的最小值是（）.A．5B．-6C．10D．-l0【答案】B【解析】当目标函数过点时，目标函数取得最小值，,代入,.【考点】线性规划9.若，则目标函数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】作出不等式组所表示的可行域如下图所示，，令，则，为原点与点之间连线的斜率，直线与直线交于点，直线与直线交于点，显然，直线的倾斜角最大，且为锐角，此时取最大值，即，直线的倾斜角最小，且为锐角，此时，取最小值，即，因此，所以，即目标函数的取值范围是，故选A.【考点】1.线性规划；2.斜率10.在平面直角坐标系中，不等式组所表示的平面区域是，不等式组所表示的平面区域是. 从区域中随机取一点，则P为区域内的点的概率是_____．【答案】【解析】在同一坐标作出不等式组所表示的平面区域，与不等式组所表示的平面区域，由图可知，的面积为，与重叠的面积为，故从区域中随机取一点，则P为区域内的点的概率为．【考点】几何概率．11.（2011•湖北）已知向量=（x+z，3），=（2，y﹣z），且⊥，若x，y满足不等式|x|+|y|≤1，则z的取值范围为（）A．[﹣2，2]B．[﹣2，3]C．[﹣3，2]D．[﹣3，3]【答案】D【解析】∵=（x+z，3），=（2，y﹣z），又∵⊥∴（x+z）×2+3×（y﹣z）=2x+3y﹣z=0，即z=2x+3y∵满足不等式|x|+|y|≤1的平面区域如下图所示：由图可知当x=0，y=1时，z取最大值3，当x=0，y=﹣1时，z取最小值﹣3，故z的取值范围为[﹣3，3]故选D12.已知变量满足约束条件若取整数，则目标函数的最大值是 .【答案】5【解析】由变量满足约束条件如图可得可行域的范围．目标函数取到最大值则目标函数过点A（2,1）即.【考点】1.线性规划问题.2.列举对比数学思想.13.若，满足约束条件，则的最大值是( )A．B．C．D．【答案】（C）【解析】，满足约束条件如图所示. 目标函数化为.所以z的最大值即为目标函数的直线在y轴的截距最小.所以过点A最小为1.故选（C）.【考点】1.线性规划的知识.2.数学结合的数学思想.14.原点和点（2，﹣1）在直线x+y﹣a=0的两侧，则实数a的取值范围是（）A．0≤a≤1B．0＜a＜1C．a=0或a=1D．a＜0或a＞1【答案】B【解析】∵原点和点（2，﹣1）在直线x+y﹣a=0两侧，∴（0+0﹣a）（2﹣1﹣a）＜0，即a（a﹣1）＜0，解得0＜a＜1，故选：B．15.已知变量x，y满足约束条件则的最大值为．【答案】【解析】画出可行域及直线（如图所示）.平移直线，当其经过点时，【考点】简单线性规划16.已知为坐标原点，两点的坐标均满足不等式组设与的夹角为，则的最大值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】画出可行域，如图所示，当点A,B分别与点重合时，向量与的夹角最大，且是锐角，，则，又，故当时，取到最大值为．【考点】1、二元一次不等式表示的平面区域；2、向量的夹角；3、同角三角函数基本关系式. 17.某旅行社租用A、B两种型号的客车安排900名客人旅行，A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆．则租金最少为是()A. 31200元B. 36000元C. 36800元D. 38400元【答案】C【解析】设租A型车x辆，B型车y辆时租金为z元则z＝1600x＋2400yx、y满足画出可行域观察可知，直线过点A(5,12)时纵截距最小，∴z＝5×1 600＋2 400×12＝36800，min故租金最少为36800元．选C.18.若实数满足，则的值域是()A．B．C．D．【答案】B【解析】令，则，做出可行域，平移直线，由图象知当直线经过点是，最小，当经过点时，最大，所以，所以，即的值域是，选B.19.设关于x，y的不等式组表示的平面区域内存在点，满足．求得m的取值范围是()A．(－∞，)B．(－∞，)C．(－∞，)D．(－∞，)【答案】C【解析】作出不等式组表示的平面区域(如图)若存在满足条件的点在平面区域内，则只需点A(－m，m)在直线x－2y－2=0的下方，即－m－2m－2>020.设x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+by(a>0，b>0)的最大值为12，则的最小值为（）A．B．C．1D．2【答案】A【解析】作出满足条件的可行域(如图)∵a>0，b>0，∴直线ax+by=0的图象过二、四象限，∴平移直线ax+by=0知，目标函数z=ax+by在点M(4，6)处取得最大值12，∴4a+6b=12，即2a+3b=6设m=，把2a+3b=6代入m=并整理得，b2－2b+2－2m=0∵方程有正数解，∴Δ=4－4(2－2m)≥0m≥∴的最小值为21.若不等式组表示的平面区域是一个四边形，则实数的取值范围是_______.【答案】.【解析】作出不等式组所表示的平面区域如下图中的阴影部分所表示，直线交轴于点，交直线于点，当直线与直线在线段（不包括线段端点）时，此时不等式组所表示的区域是一个四边形，将点的坐标代入直线的方程得，即，将点的坐标代入直线的方程得，因此实数的取值范围是.【考点】线性规划22.设不等式组表示的区域为，不等式表示的平面区域为.(1)若与有且只有一个公共点，则＝;(2)记为与公共部分的面积，则函数的取值范围是.【答案】,【解析】当直线与圆相切时，与有且只有一个公共点，此时解得．当或时，与有公共部分，为弓形．其面积为扇形面积减去三角形面积．当直线过圆心时，扇形面积最大，三角形面积最小，即弓形面积最大，但直线不过所以函数的取值范围是．【考点】直线与圆位置关系23.设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为 .【答案】10【解析】作出可行域如图，令，则，作出目标直线，经过平移，当经过点时，取得最大值，联立得，代入得，∴【考点】线性规划。

(2016-2018)三年高考数学文科真题分类专题15【线性规划与基本不等式】解析卷

A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D 【解析】试题分析：如图，目标函数 z x y 经过 A(3, 0) 时最大，故 zmax 3 0 3 ，故选 D．
8
（2016-2018）三年高考数学文科真题分类专题 15【线性规划与基本不等式】解析卷
【考点】简单线性规划【名师点睛】本题主要考查线性规划问题，首先由不等式组作出相应的可行域，作图时，可将不等式
时,（2,1）鈭堿
【解析】分析：求出ǿ Ř ǻ ǰ ‫ݔ‬ 鈭圓及ǿ Ř ǻ ǰ ‫ݔ‬ 鈭堿所对应的集合，利用集合之间的包含关系进行求解.
3
（2016-2018）三年高考数学文科真题分类专题 15【线性规划与基本不等式】解析卷
点睛：此题主要结合充分与必要条件考查线性规划的应用，集合法是判断充分条件与必要条件的一种非常有效的方法，根据
（2016-2018）三年高考数学文科真题分类专题 15【线性规划与基本不等式】解析卷
专题 15【线性规划与基本不等式】解析卷
考纲解读明方向考点不等式的概念和性质内容解读了解现实世界和日常生活中的不等理解关系,了解不等式(组)的实际背景选择题 ★★☆ 要求常考题型预测热度
分析解读 1.了解不等式的有关概念及其分类,掌握不等式的性质及其应用,明确各个性质中结论成立的前提条件.2.能利用不等式的相关性质比较两个实数的大小.3.利用不等式的性质比较大小是高考的热点.分值约为 5 分,属中低档题.
点睛：本题考查线性规划的简单应用，属于基础题。
㿠Ա Ř ㇈ ᆨ 鈮 ǻ 鈥?/m:t>满足约束条件x − 2y + 3 鈮?, 则 8．【2018 年全国卷 II 文】若㿠ǻ 㿠 ᆨ 鈮 ǻ
值为__________．【答案】9

2024高考全国卷及各省数学线性规划真题整理-免费(附答案)

2024高考全国卷及自主招生数学高考真题线性规划专题真题整理（附答案解析）1.（17全国卷I ，文数7）设x ，y 满意约束条件33,1,0,x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩则z =x +y 的最大值为（）A ．0B ．1C ．2D ．3 答案：D解析：如图，由图易知当目标函数z x y =+经过直线33x y +=和0y =（即x 轴）的交点(3,0)A 时，z 能取到最大值，把(3,0)A 代入z =x +y 可得max 303z =+=，故选D.2.（17全国卷I,理数14题）设x ，y 满意约束条件21210x y x y x y +≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，则32z x y =-的最小值为答案：5-解析：不等式组21210x y x y x y +≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩表示的平面区域如图所示。

由32z x y =-变形得322z y x =-。

要求z 的最小值，即求直线322z y x =-的纵截距的最大值。

由右图，易知当直线322z y x =-过图中点A 时，纵截距最大。

联立方程组2121x y x y +=-⎧⎨+=⎩，解得A 点坐标为(1,1)-，此时3(1)215z =⨯--⨯=-。

故32z x y =-的最小值是-5.3.（17全国卷Ⅱ，文数7、理数5）设x 、y 满意约束条件2+330233030x y x y y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩ .则2z x y =+ 的最小值是（）A. -15B.-9C. 1 D 9答案：A解析：不等式组2+330233030x y x y y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩表示的可行域如图所示，易知当直线2z x y =+过到213y x =+与3y =-交点()63--，时，目标函数2z x y =+取到最小值，此时有()()min 26315z =⨯-+-=-，故所求z 最小值为15-．4.（17全国卷Ⅲ，文数5）设x ，y 满意约束条件326000x y x y +-≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，则z =x -y 的取值范围是( )A.[-3,0]B.[-3,2]C.[0,2]D.[0,3] 答案：B解析：绘制不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义可得目标函数z =x -y 在直线3260x y +-=与直线0x =（即x 轴）的交点()0,3A 处取得最小值，此时min 033z =-=-。

线性规划高考试题精选

线性规划高考试题精选一一．选择题共15小题1．设x,y满足约束条件,则z=2x+y的最小值是A．﹣15 B．﹣9 C．1 D．92．若x,y满足,则x+2y的最大值为A．1 B．3 C．5 D．93．设x,y满足约束条件,则z=x+y的最大值为A．0 B．1 C．2 D．34．已知x,y满足约束条件则z=x+2y的最大值是A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．35．若x、y满足约束条件,则z=x+2y的取值范围是A．0,6 B．0,4 C．6,+∞D．4,+∞6．设x,y满足约束条件则z=x﹣y的取值范围是A．﹣3,0 B．﹣3,2 C．0,2 D．0,37．已知x,y满足约束条件,则z=x+2y的最大值是A．0 B．2 C．5 D．68．设变量x,y满足约束条件,则目标函数z=x+y的最大值为A．B．1 C．D．39．已知变量x,y满足约束条件,则4x+2y的取值范围是A．0,10 B．0,12 C．2,10 D．2,1210．不等式组,表示的平面区域的面积为A．48 B．24 C．16 D．1211．变量x、y满足条件,则x﹣22+y2的最小值为A．B．C．5 D．12．若变量x,y满足约束条件且z=2x+y的最大值和最小值分别为m和n,则m﹣n等于A．8 B．7 C．6 D．513．设x,y满足约束条件,当且仅当x=y=4时,z=ax﹣y取得最小值,则实数a的取值范围是A．﹣1,1 B．﹣∞,1 C．0,1 D．﹣∞,1∪1,+∞14．实数x,y满足,若z=2x+y的最大值为9,则实数m的值为A．1 B．2 C．3 D．415．平面区域的面积是A．B．C．D．二．选择题共25小题16．设x,y满足约束条件,则z=3x﹣2y的最小值为．17．若x,y满足约束条件,则z=3x﹣4y的最小值为．18．已知x,y满足约束条件,则z=5x+3y的最大值为．19．若实数x,y满足,如果目标函数z=x﹣y的最小值为﹣2,则实数m= ．20．已知a＞0,x,y满足约束条件若z=2x+y的最小值为1,则a= ．21．设z=x+y其中x,y满足,若z的最大值为6,则z的最小值为．22．已知点x,y满足不等式组,若ax+y≤3恒成立,则实数a的取值范围是．23．设实数x,y满足约束条件,若目标函数z=ax+bya＞0,b＞0的最大值为10,则a2+b2的最小值为．24．已知实数x,y满足,则的最小值为．25．若变量x,y满足,则x2+y2的最大值是．26．设变量x,y满足约束条件,则的取值范围是．27．在平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定,若Mx,y为D上的动点,点A的坐标为2,1,则的最大值为．28．已知动点Px,y满足：,则x2+y2﹣6x的最小值为．29．已知实数x,y满足,则的最小值是．30．设实数x,y满足,则2y﹣x的最大值为．31．设x、y满足约束条件,则目标函数z=x2+y2的最大值为．32．已知x,y满足约束条件,若z=ax+y的最大值为4,则a= ．33．若x,y满足约束条件,则的最小值是．34．若x,y满足约束条件,则的范围是．35．已知实数x,y满足：,z=2x﹣2y﹣1,则z的取值范围是．36．若实数x,y满足不等式组,目标函数z=kx﹣y的最大值为12,最小值为0,则实数k= ．37．若实数x、y满足不等式组,且z=y﹣2x的最小值等于﹣2,则实数m的值等于．38．设x,y满足不等式组,若z=ax+y的最大值为2a+4,最小值为a+1,则实数a的取值范围为．39．已知不等式组表示的平面区域的面积为,则实数k= ．40．已知变量x,y满足的约束条件,若x+2y≥﹣5恒成立,则实数a的取值范围为．线性规划高考试题精选一参考答案与试题解析一．选择题共15小题1．2017新课标Ⅱ设x,y满足约束条件,则z=2x+y的最小值是A．﹣15 B．﹣9 C．1 D．9解答解：x、y满足约束条件的可行域如图：z=2x+y 经过可行域的A时,目标函数取得最小值,由解得A﹣6,﹣3,则z=2x+y 的最小值是：﹣15．故选：A．2．2017北京若x,y满足,则x+2y的最大值为A．1 B．3 C．5 D．9解答解：x,y满足的可行域如图：由可行域可知目标函数z=x+2y经过可行域的A时,取得最大值,由,可得A3,3,目标函数的最大值为：3+2×3=9．故选：D．3．2017新课标Ⅰ设x,y满足约束条件,则z=x+y的最大值为A．0 B．1 C．2 D．3解答解：x,y满足约束条件的可行域如图：,则z=x+y经过可行域的A时,目标函数取得最大值,由解得A3,0,所以z=x+y 的最大值为：3．故选：D．4．2017山东已知x,y满足约束条件则z=x+2y的最大值是A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3解答解：x,y满足约束条件的可行域如图：目标函数z=x+2y经过可行域的A 时,目标函数取得最大值,由：解得A﹣1,2,目标函数的最大值为：﹣1+2×2=3．故选：D．5．2017浙江若x、y满足约束条件,则z=x+2y的取值范围是A．0,6 B．0,4 C．6,+∞D．4,+∞解答解：x、y满足约束条件,表示的可行域如图：目标函数z=x+2y经过C点时,函数取得最小值,由解得C2,1,目标函数的最小值为：4目标函数的范围是4,+∞．故选：D．6．2017新课标Ⅲ设x,y满足约束条件则z=x﹣y的取值范围是A．﹣3,0 B．﹣3,2 C．0,2 D．0,3解答解：x,y满足约束条件的可行域如图：目标函数z=x﹣y,经过可行域的A,B时,目标函数取得最值,由解得A0,3,由解得B2,0,目标函数的最大值为：2,最小值为：﹣3,目标函数的取值范围：﹣3,2．故选：B．7．2017山东已知x,y满足约束条件,则z=x+2y的最大值是A．0 B．2 C．5 D．6解答解：画出约束条件表示的平面区域,如图所示；由解得A﹣3,4,此时直线y=﹣x+z在y轴上的截距最大,所以目标函数z=x+2y的最大值为=﹣3+2×4=5．zmax故选：C．8．2017天津设变量x,y满足约束条件,则目标函数z=x+y的最大值为A．B．1 C．D．3解答解：变量x,y满足约束条件的可行域如图：目标函数z=x+y结果可行域的A点时,目标函数取得最大值,由可得A0,3,目标函数z=x+y的最大值为：3．故选：D．9．2017大庆三模已知变量x,y满足约束条件,则4x+2y的取值范围是A．0,10 B．0,12 C．2,10 D．2,12解答解：法1：作出不等式组表示的平面区域,得到如图的四边形及其内部,其中A2,1,B0,1,设z=Fx,y=4x+2y,将直线l：z=4x+2y进行平移,可得当l经过点A时,目标函数z达到最大值,z=F2,1=10,最大值=F0,1=2当l经过点B时,目标函数z达到最小值,z最小值因此,z=4x+2y的取值范围是2,10．法2：令4x+2y=μx+y+λx﹣y,则,解得μ=3,λ=1,故4x+2y=3x+y+x﹣y,又1≤x+y≤3,故3≤3x+y≤10,又﹣1≤x﹣y≤1,所以4x+2y∈2,10．故选C．10．2017潮州二模不等式组,表示的平面区域的面积为A．48 B．24 C．16 D．12解答解：画出不等式组表示的平面区域如图阴影所示,则点A﹣2,2、B2,﹣2、C2,10,所以平面区域面积为S=|BC|h=×10+2×2+2=24．△ABC故选：B．11．2017汉中二模变量x、y满足条件,则x﹣22+y2的最小值为A．B．C．5 D．解答解：作出不等式组对应的平面区域,设z=x﹣22+y2,则z的几何意义为区域内的点到定点D2,0的距离的平方,由图象知CD的距离最小,此时z最小．由得,即C0,1,此时z=x﹣22+y2=4+1=5,故选：C．12．2017林芝县校级三模若变量x,y满足约束条件且z=2x+y的最大值和最小值分别为m和n,则m﹣n等于A．8 B．7 C．6 D．5解答解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x+y,得y=﹣2x+z,平移直线y=﹣2x+z,由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点C时,直线y=﹣2x+z的截距最大,此时z最大,由,解得,即C2,﹣1,此时最大值z=2×2﹣1=3,当直线y=﹣2x+z经过点B时,直线y=﹣2x+z的截距最小,此时z最小,由,解得,即B﹣1,﹣1,最小值为z=﹣2﹣1=﹣3,故最大值m=3,最小值为n=﹣3,则m﹣n=3﹣﹣3=6,故选：C13．2017瑞安市校级模拟设x,y满足约束条件,当且仅当x=y=4时,z=ax﹣y取得最小值,则实数a的取值范围是A．﹣1,1 B．﹣∞,1 C．0,1 D．﹣∞,1∪1,+∞解答解：作出约束条件所对应的可行域如图阴影,变形目标函数可得y=ax﹣z,其中直线斜率为a,截距为﹣z,∵z=ax﹣y取得最小值的最优解仅为点A4,4,∴直线的斜率a＜1,即实数a的取值范围为﹣∞,1故选：B．14．2017肇庆一模实数x,y满足,若z=2x+y的最大值为9,则实数m的值为A．1 B．2 C．3 D．4解答解：作出不等式组对应的平面区域如图：阴影部分．由z=2x+y得y=﹣2x+z,平移直线y=﹣2x+z,由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点B时,直线y=﹣2x+z的截距最大,此时z最大,此时2x+y=9．由,解得,即B4,1,∵B在直线y=m上,∴m=1,故选：A15．2017五模拟平面区域的面积是A．B．C．D．解答解：作出不等式组对应的平面区域如图,则区域是圆心角是是扇形,故面积是．故选：A．二．选择题共25小题16．2017新课标Ⅰ设x,y满足约束条件,则z=3x﹣2y的最小值为﹣5 ．解答解：由x,y满足约束条件作出可行域如图,由图可知,目标函数的最优解为A,联立,解得A﹣1,1．∴z=3x﹣2y的最小值为﹣3×1﹣2×1=﹣5．故答案为：﹣5．17．2017新课标Ⅲ若x,y满足约束条件,则z=3x﹣4y的最小值为﹣1 ．解答解：由z=3x﹣4y,得y=x﹣,作出不等式对应的可行域阴影部分,平移直线y=x﹣,由平移可知当直线y=x﹣,经过点B1,1时,直线y=x﹣的截距最大,此时z取得最小值,将B的坐标代入z=3x﹣4y=3﹣4=﹣1,即目标函数z=3x﹣4y的最小值为﹣1．故答案为：﹣1．18．2017明山区校级学业考试已知x,y满足约束条件,则z=5x+3y的最大值为35 ．解答解：不等式组对应的平面区域如图：由z=5x+3y得y=﹣,平移直线y=﹣,则由图象可知当直线y=﹣经过点B时直线y=﹣的截距最大,此时z最大,由,解得,即B4,5,此时M=z=5×4+3×5=35,故答案为：3519．2017重庆模拟若实数x,y满足,如果目标函数z=x﹣y的最小值为﹣2,则实数m= 8 ．解答解：画出x,y满足的可行域如下图：可得直线y=2x﹣1与直线x+y=m的交点使目标函数z=x﹣y取得最小值,故,解得x=,y=,代入x﹣y=﹣2得﹣=﹣2m=8故答案为：8．20．2017湖南三模已知a＞0,x,y满足约束条件若z=2x+y的最小值为1,则a= ．解答解：先根据约束条件画出可行域,设z=2x+y,将最大值转化为y轴上的截距,当直线z=2x+y经过点B时,z最小,由得：,代入直线y=ax﹣3得,a=；故答案为：21．2017山东模拟设z=x+y其中x,y满足,若z的最大值为6,则z的最小值为﹣3 ．解答解：作出可行域如图：直线x+y=6过点Ak,k时,z=x+y取最大,∴k=3,z=x+y过点B处取得最小值,B点在直线x+2y=0上,∴B﹣6,3,∴z的最小值为=﹣6+3=﹣3．故填：﹣3．22．2017黄冈模拟已知点x,y满足不等式组,若ax+y≤3恒成立,则实数a的取值范围是﹣∞,3 ．解答解：满足不等式组的平面区域如右图所示,由于对任意的实数x、y,不等式ax+y≤3恒成立,==﹣3,根据图形,可得斜率﹣a≥0或﹣a＞kAB解得：a≤3,则实数a的取值范围是﹣∞,3．故答案为：﹣∞,3．23．2017惠州模拟设实数x,y满足约束条件,若目标函数z=ax+bya＞0,b＞0的最大值为10,则a2+b2的最小值为．解答解：由z=ax+bya＞0,b＞0得y=,作出可行域如图：∵a＞0,b＞0,∴直线y=的斜率为负,且截距最大时,z也最大．平移直线y=,由图象可知当y=经过点A时,直线的截距最大,此时z也最大．由,解得,即A4,6．此时z=4a+6b=10,即2a+3b﹣5=0,即a,b在直线2x+3y﹣5=0上,a2+b2的几何意义为直线上点到原点的距离的平方,则原点到直线的距离d=,则a2+b2的最小值为d2=,故答案为：．24．2017历下区校级三模已知实数x,y满足,则的最小值为．解答解：作出不等式组对应的平面区域如图,的几何意义是区域内的点与点E3,0的斜率,由图象知AE的斜率最小,由得,即A0,1,此时的最小值为=,故答案为：．25．2017平遥县模拟若变量x,y满足,则x2+y2的最大值是10 ．解答解：由约束条件作出可行域如图,联立,解得B3,﹣1,x2+y2的几何意义为可行域内动点与原点距离的平方,其最大值|OB|2=32+﹣12=10,故答案为：10．26．2017遂宁模拟设变量x,y满足约束条件,则的取值范围是．解答解：不等式组表示的区域如图,的几何意义是可行域内的点与点﹣1,﹣1构成的直线的斜率问题．当取得点A0,1时,取值为2,当取得点C1,0时,取值为,故答案为：27．2017渭南一模在平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定,若Mx,y 为D上的动点,点A的坐标为2,1,则的最大值为7 ．解答解：由约束条件作出可行域如图,令z==2x+y,化为y=﹣2x+z,由图可知,当直线y=﹣2x+z过B2,3时,z有最大值为2×2+3=7．故答案为：7．28．2017湖北二模已知动点Px,y满足：,则x2+y2﹣6x的最小值为．解答解：由,∵y+＞y+|y|≥0,∴,∵函数fx=是减函数,∴x≤y,∴原不等式组化为．该不等式组表示的平面区域如下图：∵x2+y2﹣6x=x﹣32+y2﹣9．由点到直线的距离公式可得,P3,0区域中A的距离最小,所以x2+y2﹣6x的最小值为．故答案为：﹣．29．2017盐城一模已知实数x,y满足,则的最小值是．解答解：作出不等式组所表示的平面区域如图所示：由于可以看做平面区域内的点与原点的连线的斜率,结合图形可知,当直线过OA时斜率最小．由于可得A4,3,此时k=．故答案为：．30．2017和平区校级模拟设实数x,y满足,则2y﹣x的最大值为 5 ．解答解：画出,的可行域如图：将z=2y﹣x变形为y=x+z作直线y=x将其平移至A时,直线的纵截距最大,z最大,由可得A﹣1,2,z的最大值为：5．故答案为：5．31．2017德州二模设x、y满足约束条件,则目标函数z=x2+y2的最大值为52 ．解答解：作出不等式组表示的平面区域,得到如图的四边形OABC,其中A0,2,B4,6,C2,0,O为原点设Px,y为区域内一个动点,则|OP|=表示点P到原点O的距离∴z=x2+y2=|OP|2,可得当P到原点距离最远时z达到最大值因此,运动点P使它与点B重合时,z达到最大值∴z=42+62=52最大值故答案为：5232．2017镇江模拟已知x,y满足约束条件,若z=ax+y的最大值为4,则a= 2 ．解答解：作出不等式组对应的平面区域如图：阴影部分．则A2,0,B1,1,若z=ax+y过A时取得最大值为4,则2a=4,解得a=2,此时,目标函数为z=2x+y,即y=﹣2x+z,平移直线y=﹣2x+z,当直线经过A2,0时,截距最大,此时z最大为4,满足条件,若z=ax+y过B时取得最大值为4,则a+1=4,解得a=3,此时,目标函数为z=3x+y,即y=﹣3x+z,平移直线y=﹣3x+z,当直线经过A2,0时,截距最大,此时z最大为6,不满足条件,故a=2；故答案为：2．33．2017南雄市二模若x,y满足约束条件,则的最小值是．解答解：x,y满足约束条件的可行域如图：则的几何意义是可行域的点到坐标原点距离,由图形可知OP的距离最小,直线x+y﹣2=0的斜率为1,所以|OP|=．故答案为：．34．2017清城区校级一模若x,y满足约束条件,则的范围是．解答解：作出不等式组对应的平面区域如图：的几何意义是区域内的点到定点D﹣1,0的斜率,由图象知CD的斜率最小,由得C,,则CD的斜率z==,即z=的取值范围是0,,故答案为：．35．2017梅河口市校级一模已知实数x,y满足：,z=2x﹣2y﹣1,则z的取值范围是﹣,5 ．解答解：不等式对应的平面区域如图：阴影部分．由z=2x﹣2y﹣1得y=x﹣,平移直线y=x﹣,由平移可知当直线y=x﹣,经过点C时,直线y=x﹣的截距最小,此时z取得最大值,由,解得,即C2,﹣1,此时z=2x﹣2y﹣1=4+2﹣1=5,可知当直线y=x﹣,经过点A时,直线y=y=x﹣的截距最大,此时z取得最小值,由,得,即A,代入z=2x﹣2y﹣1得z=2×﹣2×﹣1=﹣,故z∈﹣,5．故答案为：﹣,5．36．2017深圳一模若实数x,y满足不等式组,目标函数z=kx﹣y的最大值为12,最小值为0,则实数k= 3 ．解答解：实数x,y满足不等式组的可行域如图：得：A1,3,B1,﹣2,C4,0．①当k=0时,目标函数z=kx﹣y的最大值为12,最小值为0,不满足题意．②当k＞0时,目标函数z=kx﹣y的最大值为12,最小值为0,当直线z=kx﹣y过C4,0时,Z 取得最大值12．当直线z=kx﹣y过A1,3时,Z取得最小值0．可得k=3,满足题意．③当k＜0时,目标函数z=kx﹣y的最大值为12,最小值为0,当直线z=kx﹣y过C4,0时,Z 取得最大值12．可得k=﹣3,当直线z=kx﹣y过,B1,﹣2时,Z取得最小值0．可得k=﹣2,无解．综上k=3故答案为：3．37．2017夏邑县校级模拟若实数x、y满足不等式组,且z=y﹣2x的最小值等于﹣2,则实数m的值等于﹣1 ．解答﹣1解：由z=y﹣2x,得y=2x+z,作出不等式对应的可行域,平移直线y=2x+z,由平移可知当直线y=2x+z经过点A1,0时,直线y=2x+z的截距最小,此时z取得最小值为﹣2,即y﹣2x=﹣2,点A也在直线x+y+m=0上,则m=﹣1,故答案为：﹣138．2017阳山县校级一模设x,y满足不等式组,若z=ax+y的最大值为2a+4,最小值为a+1,则实数a的取值范围为﹣2,1 ．解答解：由z=ax+y得y=﹣ax+z,直线y=﹣ax+z是斜率为﹣a,y轴上的截距为z的直线,作出不等式组对应的平面区域如图：则A1,1,B2,4,∵z=ax+y的最大值为2a+4,最小值为a+1,∴直线z=ax+y过点B时,取得最大值为2a+4,经过点A时取得最小值为a+1,若a=0,则y=z,此时满足条件,若a＞0,则目标函数斜率k=﹣a＜0,要使目标函数在A处取得最小值,在B处取得最大值,=﹣1,则目标函数的斜率满足﹣a≥kBC即0＜a≤1,若a＜0,则目标函数斜率k=﹣a＞0,要使目标函数在A处取得最小值,在B处取得最大值,则目标函数的斜率满足﹣a≤k=2,AC即﹣2≤a＜0,综上﹣2≤a≤1,故答案为：﹣2,1．39．2017许昌三模已知不等式组表示的平面区域的面积为,则实数k= 4 ．解答解：画出不等式组表示的平面区域,如图所示,由题意可知k＞0,可行域的三个顶点为A0,0,B,,C,,∵AB⊥BC,|AB|=k,点C到直线AB的距离为k,=ABBC=×k×k=,∴S△ABC解得k=4,故答案为：4．40．2017白银区校级一模已知变量x,y满足的约束条件,若x+2y≥﹣5恒成立,则实数a的取值范围为﹣1,1 ．解答解：由题意作出其平面区域,则x+2y≥﹣5恒成立可化为图象中的阴影部分在直线x+2y=﹣5的上方,则实数a的取值范围为﹣1,1．故答案为：﹣1,1．。

《高考真题》专题13 线性规划-2019年高考文数母题题源系列(全国Ⅱ专版)(解析版)

专题13 线性规划【母题来源一】【2019年高考全国Ⅱ卷文数】若变量x ，y 满足约束条件23603020x y x y y ⎧⎪⎨⎪⎩+-≥+-≤-≤，，，则z =3x –y 的最大值是______________．【答案】9【解析】画出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示，阴影部分表示的三角形ABC 区域，根据直线30x y z --=中的z 表示纵截距的相反数，当直线3z x y =-过点3,0C （）时，z 取最大值为9．【名师点睛】本题考查线性规划中最大值问题，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取图解法，利用数形结合思想解题．搞不清楚线性目标函数的几何意义致误，从线性目标函数对应直线的截距观察可行域，平移直线进行判断取最大值还是最小值．【母题来源二】【2018年高考全国Ⅱ卷文数】若,x y 满足约束条件25023050x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，，，则z x y =+的最大值为______________．【答案】9【解析】不等式组25023050x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，，表示的可行域是以(5,4),(1,2),(5,0)A B C 为顶点的三角形区域，如下图所示，目标函数z x y =+的最大值必在顶点处取得，易知当5,4x y ==时，max 9z =．【名师点睛】该题考查的是有关线性规划的问题，在求解的过程中，首先需要正确画出约束条件对应的可行域，之后根据目标函数的形式，判断z 的几何意义，之后画出一条直线，上下平移，判断哪个点是最优解，从而联立方程组，求得最优解的坐标，代入求值，要明确目标函数的形式大体上有三种：斜率型、截距型、距离型，根据不同的形式，应用相应的方法求解．【母题来源三】【2017年高考全国Ⅱ卷文数】设,x y 满足约束条件2+330233030x y x y y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值是A ．15-B ．9-C ．1D ．9【答案】A【解析】绘制不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，结合目标函数的几何意义可得函数在点(6,3)B --处取得最小值，最小值为min 12315z =--=-．故选A ．【名师点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想．需要注意的是：①准确无误地作出可行域；②画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；③一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得．【命题意图】1．会从实际情境中抽象出二元一次不等式组．2．了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组． 3．会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决． 4．通过考查线性规划等相关知识，考查数形结合思想的运用．【命题规律】这类试题在考查题型上主要以选择题或填空题的形式出现，主要从线性目标函数、斜率型、距离型等角度进行考查，考查数形结合思想．试题难度不大，多为中低档题．【答题模板】1．确定平面区域的方法第一步，“直线定界”，即画出边界0Ax By C ++=，要注意是虚线还是实线；第二步，“特殊点定域”，取某个特殊点00(,)x y 作为测试点，由00Ax By C ++的符号就可以断定0Ax By C ++>表示的是直线0Ax By C ++=哪一侧的平面区域；第三步，用阴影表示出平面区域．2．在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，用图解法求最优解的步骤可概括为“画、移、求、答”，即：（1）画：在平面直角坐标系中，画出可行域和直线0ax by += (目标函数为z ax by =+)；（2）移：平行移动直线0ax by +=，确定使z ax by =+取得最大值或最小值的点；（3）求：求出使z 取得最大值或最小值的点的坐标(解方程组)及z 的最大值或最小值；（4）答：给出正确答案．【方法总结】1．二元一次不等式组表示的平面区域的应用主要包括求平面区域的面积和已知平面区域求参数的取值或范围．（1）对于面积问题，可先画出平面区域，然后判断其形状（三角形区域是比较简单的情况），求得相应的交点坐标、相关的线段长度等，若图形为规则图形，则直接利用面积公式求解；若图形为不规则图形，则运用割补法计算平面区域的面积，其中求解距离问题时常常用到点到直线的距离公式．（2）对于求参问题，则需根据区域的形状判断动直线的位置，从而确定参数的取值或范围． 2．对于二元一次不等式的不同形式，其对应的平面区域有如下结论3．线性目标函数的最值问题的求法（1）平移直线法：作出可行域,正确理解z 的几何意义，确定目标函数对应的直线，平移得到最优解．对一个封闭图形而言,最优解一般在可行域的顶点处取得，在解题中也可由此快速找到最大值点或最小值点．（2）顶点代入法：①依约束条件画出可行域;②解方程组得出可行域各顶点的坐标;③分别计算出各顶点处目标函数z ax by =+的值，经比较后得出z 的最大(小)值．求解时需要注意以下几点：（ⅰ）在可行解中，只有一组(x ,y )使目标函数取得最值时，最优解只有1个．如边界为实线的可行域，当目标函数对应的直线不与边界平行时，会在某个顶点处取得最值．（ⅱ）同时有多个可行解取得一样的最值时，最优解有多个．如边界为实线的可行域，目标函数对应的直线与某一边界线平行时，会有多个最优解．（ⅲ）可行域一边开放或边界线为虚线均可导致目标函数找不到相应的最值，此时也就不存在最优解． 4．距离问题常涉及点到直线的距离和两点间的距离，熟悉这些模型有助于更好地求解非线性目标函数的最值．（1）对形如||z Ax By C =++型的目标函数，可先变形为z =的形式，将问题化为求可行域内的点(x ，y )到直线0Ax By C =++倍的最值．（2）对形如22()()z x a y b =-+-型的目标函数均可化为可行域内的点(x ，y )与点(a ，b )间距离的平方的最值问题．5．斜率问题是线性规划延伸变化的一类重要问题，其本质仍然是二元函数的最值问题，不过是用模型形态呈现的．因此有必要总结常见模型或其变形形式．对形如(0)ay bz ac cx d+=≠+型的目标函数，可先变形为()()b y a a z d c x c--=⋅--的形式，将问题化为求可行域内的点(x ，y )与点(,)d b c a --连线的斜率的a c倍的取值范围、最值等．6．若目标函数中有参数，要从目标函数的结论入手，对图形进行动态分析，对变化过程中的相关量进行准确定位，这是求解这类问题的主要思维方法．7．若约束条件中含有参数，则会影响平面区域的形状，这时含有参数的不等式表示的区域的分界线是一条变动的直线，注意根据参数的取值确定这条直线的变化趋势，从而确定区域的可能形状． 8．用线性规划求解实际问题的一般步骤（1）模型建立：正确理解题意，将一般文字语言转化为数学语言，进而建立数学模型，这需要在学习有关例题解答时，仔细体会范例给出的模型建立方法．（2）模型求解：画出可行域，并结合所建立的目标函数的特点，选定可行域中的特殊点作为最优解．（3）模型应用：将求解出来的结论反馈到具体的实例中，设计出最佳的方案．注意：（1）在实际应用问题中变量,x y 除受题目要求的条件制约外，可能还有一些隐含的制约条件不要忽略．（2）线性目标函数的最优整数解不一定在可行域的顶点或边界处取得，此时不能直接代入顶点坐标求最值，可用平移直线法、检验优值法、调整优值法求解．1．【吉林省长春市吉林省实验中学2019届高三上学期第三次月考】已知实数，满足，则的取值范围是A．，B．，C．，D．，【答案】D【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可求的取值范围．【解析】设，则只需求直线在轴上的截距范围．画出可行域为弓形，如下图所示，当直线与圆相切时，截距最大，且为，当直线过点，时截距最小，且为1，所以的取值范围是，．故选D．【名师点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．2．【黑龙江省大庆市2019届高三第三次教学质量检测】已知实数x，y满足22xx yy x≥⎧⎪-≥⎨⎪≥-⎩，则(0)z a x ya=+>A ．0B ．aC ．22a +D ．-2【答案】D【分析】画出不等式组表示的可行域，由(0)z ax y a =+>得(0)y ax z a =-+>，平移直线y ax z =-+，结合图形可得取得最小值时的最优解，进而得到最小值．【解析】画出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示．由(0)z ax y a =+>得(0)y ax z a =-+>．平移直线y ax z =-+，结合图形可得，当直线经过可行域内的点(0,2)A -时，直线在y 轴上的截距最小，此时z 取得最小值，所以min 022z a =⨯-=-．故选D ．【名师点睛】利用线性规划求目标函数的最值问题是常考题型，一般以选择题、填空题的形式出现，难度适中．解题时要熟练画出可行域，把目标函数适当变形，把所求最值转化为求直线的斜率、截距、距离等问题处理，主要考查数形结合在解题中的应用和计算能力．3．【西南名校联盟重庆市第八中学2019届高三5月高考适应性月考】设,x y 满足约束条件21032120230x y x y y --≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩，则4z x y =+的最大值为 A ．294B ．9C ．14D ．18【分析】在直角坐标系内，画出可行解域，平行移动直线14y x =-，直至找到144zy x =-+，在y 轴截距最大时，经过的可行解域内的点，求出4z x y =+的最大值．【解析】作出约束条件的可行域如图，可知4z x y =+的最大值在点(2,3)A 处取得，故max 24314z =+⨯=，故选C ．4．【陕西省宝鸡市2019届高考模拟检测三】设x ，y 满足约束条件2003x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则22(1)z x y =++的最大值为 A ．41 B ．5 C ．25D ．1【答案】A【分析】先作出不等式组对应的可行域，再利用22(1)x y ++的几何意义数形结合解答得解．【解析】由题得不等式组对应的可行域如下图所示，22(1)z x y =++表示区域内的动点(x ，y )到点P (-1，0)的最大距离的平方，联立320x x y =⎧⎨-+=⎩得点A (3，5)，所以z 的最大值为22(3+1)541+=．故选A ．【名师点睛】本题主要考查线性规划求最值，考查两点间的距离公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．5．【甘肃省2019年高三第二次高考诊断】若实数,x y 满足约束条件2040250x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，则z x y =+的最大值与最小值之和为 A ．4 B ．16 C ．20D ．24【答案】C【解析】画出可行域，如下图中阴影部分所示，当直线z x y =+与y =-x +4重合时，z 最小，z 的最小值为4；当直线z x y =+经过A 时z 最大，此时A 的坐标为A （7，9），z 的最大为16，故z x y =+的最大值与最小值之和为4+16=20，故选C ．6．【宁夏六盘山高级中学2019届高三下学期第二次模拟】若变量,x y 满足约束条件102800x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则3z x y =+的最小值为A ．1B ．3C ．4D ．9【答案】A【分析】根据线性约束条件作出可行域，将线性目标函数化为直线方程，根据目标函数平移得到最优解，再将最优解代入目标函数即可得答案．【解析】作出可行域如下图所示，目标函数3z x y =+可化为函数3y x z =-+，由图可知，当直线3y x z =-+过(0,1)A 时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最小值为1．故选A ．7．【北京市人大附中2019届高考模拟预测卷四】设不等式组1325x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩表示的平面区域为D ．若直线0ax y -=上存在区域D 上的点，则实数a 的取值范围是A ．1[,2]2B ．1[,3]2C ．[1,2]D ．[2,3]【答案】B【分析】由题意作出可行域，利用直线过定点，结合直线的斜率，求得满足直线0ax y -=上存在区域D 上的点时的a 的范围．【解析】作出可行域如下图中阴影部分所示，∵直线0ax y -=过定点O （0，0），要使直线0ax y -=上存在区域D 上的点，则直线0ax y -=的斜率a ∈[k OB ，k OA ]，联立125x x y =⎧⎨+=⎩，得A （1，3），联立+y 325x x y =⎧⎨+=⎩，得B （2，1），∴313,12OA OB k k ===，∴a 1[,3]2∈，故选B ．8．【辽宁省辽阳市2019届高三二模】设x ，y 满足约束条件326020480x y x y x y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩，则目标函数2z x y =-的最小值是 A ．-4 B ．-2 C ．0D ．2【答案】A【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求解即可．【解析】作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分ABC ），由2z x y =-得122zy x =-，平移直线122z y x =-，由图象可知当直线122zy x =-，过点B 时，直线122zy x =-的截距最大，此时z 最小，由48020x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，解得02B(,)．代入目标函数2z x y =-，得0224z =-⨯=-， ∴目标函数2z x y =-的最小值是4-．故选A ．【名师点睛】本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法，属于基础题．9．【山东省实验中学等四校2019届高三联合考试】已知实数x ，y 满足约束条件202201x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则目标函数21y z x -=+的最小值为 A ．23-B ．54-C ．43-D ．12-【答案】B【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：目标函数21y z x -=+的几何意义为动点(,)M x y 到定点(1,2)D -的斜率，当M 位于1(1,)2A -时，此时DA 的斜率最小，此时min 1252114z --==-+．故选B ．【名师点睛】本题主要考查线性规划的应用以及两点之间的斜率公式的计算，利用z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．10．【新疆乌鲁木齐市2019届高三第二次诊断性测试】若变量,x y 满足约束条件00340x y x y x y +≥⎧⎪-≥⎨⎪+-≤⎩，则32x y+的最大值是 A ．0 B ．2 C ．5D ．6【答案】C【分析】由题意作出不等式组所表示的平面区域，将32z x y =+化为322z y x =-+，2z相当于直线322zy x =-+的纵截距，由几何意义可得结果．【解析】由题意作出其平面区域，如下图中阴影部分所示，令32z x y =+，化为322z y x =-+，2z 相当于直线322zy x =-+的纵截距，由图可知， 340y xx y =⎧⎨+-=⎩，解得1x =，1y =，则32x y +的最大值是325+=，故选C ．【名师点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题．求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值．11．【广东省韶关市2019届高考4月模拟测试】若x，y满足约束条件22201y xx yy≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩，则z x y=-的最大值为A．35-B．12C．5 D．6【答案】C【解析】变量x，y满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示：目标函数z x y=-是斜率等于1、纵截距为z-的直线，当直线经过可行域的A点时，纵截距z-取得最小值，则此时目标函数z取得最大值，由1220yx y=-⎧⎨+-=⎩可得(4,1)A-，目标函数z x y=-的最大值为5．故选C．【名师点睛】本题考查线性规划的简单应用，考查计算能力以及数形结合思想的应用．12．【新疆乌鲁木齐2019届高三第二次质量检测】若实数x ，y 满足430352501x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则函数2z x y =+的最大值为 A ．12 B ．325C ．3D ．15【答案】A【分析】画出可行域，然后平移直线2y x z =-+，找到在y 轴截距最大时，直线经过的点，代入，即可求出函数2z x y =+的最大值．【解析】作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分），由2z x y =+得2y x z =-+，平移直线2y x z =-+，由图象可知当直线2y x z =-+经过点A 时，直线2y x z =-+在y 轴的截距最大，此时z 最大．由43035250x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，解得52x y =⎧⎨=⎩，即A （5，2），代入目标函数2z x y =+得z =2×5+2=12．即目标函数2z x y =+的最大值为12．故选A ．13．【黑龙江省哈尔滨市第六中学2019届高三第二次模拟】实数x ，y 满足不等式组2020()0x y x y y y m -≤+≥-≤⎧⎪⎨⎪⎩，若3z x y =+的最大值为5，则正数m 的值为A ．2B ．12 C ．10D ．110【答案】A【分析】根据条件中确定的两个不等式，可以确定出0y ≥，所以第三个不等式()0y y m -≤可以转化为y m ≤，画出可行域，然后对目标函数进行化简，得到z 取最大值时的最优解，得到关于m 的方程，得到答案．【解析】先由2020x y x y -≤⎧⎨+≥⎩画可行域，如下图所示，发现0y ≥，所以()0y y m -≤可得到y m ≤，且m 为正数．画出可行域为AOB △（含边界）区域．3z x y =+，转化为3y x z =-+，是斜率为3-的一簇平行线，z 表示在y 轴的截距，由图可知在A 点时截距最大，解2y x y m =⎧⎨=⎩得2m x y m⎧=⎪⎨⎪=⎩，即(,)2m A m ，此时max 352mz m =+=，解得2m =，故选A ．14．【黑龙江省大庆市第一中学2019届高三下学期第四次模拟】设不等式组2000x x y x y -≤⎧⎪+≥⎨⎪-≥⎩，表示的平面区域为Ω，在区域Ω内任取一点(,)P x y ，则P 点的坐标满足不等式222x y +≤的概率为A ．π8B ．π4C ．12π+ D【答案】A【解析】画出2000x x y x y -≤⎧⎪+≥⎨⎪-≥⎩所表示的区域Ω如图中阴影部分所示，易知(2,2),(2,2)A B -，所以AOB △的面积为4，满足不等式222x y +≤的点，在区域Ω14圆面，其面积为2π，由几何概型的公式可得其概率为2==48P ππ，故选A ．【名师点睛】本题考查由约束条件画可行域，求几何概型，属于简单题．15．【新疆维吾尔自治区2019年普通高考第一次适应性检测】若点，满足，则的取值范围是 A ．， B ．， C ．，D ．，【答案】A【解析】化简为，根据不等式组画出可行域，是半个圆弧，令z = ，y =-x +z ，根据图象得到当直线过点（1，0）时目标函数取得最小值代入得到最小值是1，当直线和半圆相切时，取得最大值，此时根据点到直线的距离等于半径得到，，所以的取值范围是，．故选A ．【名师点睛】利用线性规划求最值的步骤：（1）在平面直角坐标系内作出可行域．（2）考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（型）、斜率型（型）和距离型（型）．（3）确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解．（4）求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值．16．【广东省深圳市深圳外国语学校2019届高三第二学期第一次热身考试】已知实数x ，y 满足342y xx y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则3z x y =+的最大值是______________．【答案】8【解析】由约束条件可知可行域为图中阴影部分所示：其中(2,2)A --，(1,1)B ，(2,2)C -，又z =z 的几何意义为可行域中的点到直线30x y +=倍，可行域中点到直线30x y +=距离最大的点为(2,2)A --．max 3(2)28z ∴=⨯--=，故填8．【名师点睛】本题考查利用线性规划求解最值的问题，关键是能够明确目标函数所表示的几何意义，利用数形结合来进行求解．17．【内蒙古呼伦贝尔市2019届高三模拟统一考试一】若满足32x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则目标函数2z y x =-的最大值为______________．【答案】1-【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解析】由约束条件32x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩作出可行域如下图中阴影部分所示，化目标函数2z y x =-为2y x z =+，由图可得，当直线2y x z =+过点B 时，直线在y 轴上的截距最大，由2x y x y +=⎧⎨=⎩得11x y =⎧⎨=⎩即(1,1)B ，则z 有最大值121z =-=-，故答案为1-．18．【辽宁省丹东市2019届高三总复习质量测试二】设x ，y 满足约束条件02x y x x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则2z x y =+的最大值为______________．【答案】3【分析】画出可行解域，平移直线2y x z =-+，找到z 的最大值．【解析】作出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示，当直线2y x z =-+经过A 点时，z 有最大值，解2y xx y =⎧⎨+=⎩得(1,1)A ，所以max 23z x y =+=．19．【东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)2019届高三第二次模拟】已知x ，y 满足约束条件11222x y x y -≤-≤⎧⎨-≤+≤⎩，则3z x y =+的最大值为______________．【答案】3【分析】先根据约束条件画出可行域，求出各直线的交点，通过分析能求出目标函数的最大值．【解析】根据约束条件可以画出可行域，如下图所示：由3z x y =+，可知直线3y x z =-+过A (1，0)时，z 有最大值为3103⨯+=．【名师点睛】本题考查了线性归划问题．解决此类问题的关键是画出可行域，然后根据目标函数的几何意义求出最值．20．【甘肃省、青海省、宁夏回族自治区2019届高三5月联考】设x ，y 满足约束条件2020260x y x y -≥⎧⎪+≥⎨⎪+-≤⎩，则z x y =+的最小值是______________．【答案】0【分析】由约束条件作出可行域，再由目标函数可化为y x z =-+，当直线y x z =-+在y 轴截距最小时，目标函数取最小值，结合图象即可得出结果．【解析】由约束条件2020260x y x y -≥⎧⎪+≥⎨⎪+-≤⎩作出可行域如下：因为目标函数z x y =+可化为y x z =-+，所以，当直线y x z =-+在y 轴截距最小时，目标函数取最小值，由图象可得，当直线y x z =-+过点A 时，截距最小，即z 最小；易知(2,2)A -，所以min 220z =-=．故答案为0．21．【黑龙江省哈尔滨市第六中学2019届高三第二次模拟】若实数,x y 满足不等式组2326y x x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪+≥⎩，则1yz x+=的取值范围为______________．【答案】13(,]22-【解析】作出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示，可行域是直线AB 右侧以及直线1y x =+的下侧，20x y +=的上侧，共同构成的开放区域，1yz x+=表示的是区域内的点(,)x y 和点(0,1)-两点构成的斜率，根据图象可知当两点构成的直线和23x y +=平行时，斜率取得最小值但是永远取不到这种情况，代入得到斜率为12-；当直线过点A 时构成的直线的斜率最大，联立1(2,2)260y x A x y =+⎧⇒⎨+-=⎩，目标函数值为32．故答案为13(,]22-．22．【重庆市巴蜀中学2019届高三适应性月考七】已知实数x ，y 满足不等式组22020x y x y y -+≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则该不等式组表示的区域面积为______________．【答案】3【解析】作出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示，易得(0,2)A ，(1,0)B -，(2,0)C ，则三角形ABC 的面积13232S =⨯⨯=，故答案为3．23．【陕西省西安市2019届高三第三次质量检测】若实数，满足约束条件，则的最大值是______________．【答案】2【分析】作出不等式组表示的平面区域，平移目标函数所表示的直线，可得出目标函数的最大值．【解析】作出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示，可变形为，表示斜率为的直线，平移该直线，当直线经过点，时，取得最大值，故．24．【重庆西南大学附属中学校2019届高三第十次月考】已知x ，y 满足约束条件223250x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩，则||z x y =-的取值范围为______________．【答案】5[0]2，【分析】先画出可行域，求x y -的范围，再求||z x y =-的取值范围．【解析】作出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示，易得1(,2)3G ，1(2,)2H -，作直线0x y -=，结合图象可知5532x y -≤-≤，所以有502z ≤≤．故||z x y =-的取值范围为5[0]2，．25．【陕西省2019年高三第三次教学质量检测】设,x y 满足约束条件1010220y x y x y -≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩，则2z x y =-的最小值是______________．【答案】2-【分析】画出约束条件所表示平面区域，结合图象，确定目标函数的最优解，代入即可求得结果．【解析】作出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示，目标函数2z x y =-化为122z y x =-，当直线122zy x =-过点A 时，此时在y 轴上的截距最大，目标函数取得最小值，又由1010y x y -=⎧⎨--=⎩，解得(0,1)A ，所以目标函数的最小值为min 022z =-=-．【名师点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．26．【陕西省汉中市2019届高三年级教学质量第二次检测】不等式组20100x y x y y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪≥⎩所表示的平面区域的面积等于______________．【答案】14【分析】在平面直角坐标系内画出不等式组所表示的平面区域，判断平面区域的形状，最后求出面积．【解析】作出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示，通过上图，可以发现平面区域是个三角形，解方程组2010x y x y +-=⎧⎨--=⎩解得A 点坐标为31(,)22，点B 坐标为（1，0），点C 坐标为（2，0）因此三角形ABC 的面积为111(21)224⨯-⨯=，所以不等式组20100x y x y y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪≥⎩所表示的平面区域的面积等于14．27．【甘肃省兰州市第一中学2019届高三6月最后高考冲刺模拟】若,x y 满足约束条件40,20,20,x y x x y -+≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩则2z x y =+的最小值为______________．【答案】2【分析】先由约束条件作出可行域，再由目标函数2z x y =+可化为122zy x =-+，因此当直线122zy x =-+在y 轴上截距最小时，2z x y =+取最小，结合图象即可求出结果．【解析】作出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示，因为目标函数2z x y =+可化为122zy x =-+，因此当直线122zy x =-+在y 轴上截距最小时，2z x y =+取最小．由图象易得，当直线122zy x =-+过点(2,0)A 时，在y 轴上截距最小，即min 2z =．故答案为2．【名师点睛】本题主要考查简单的线性规划，只需由约束条件作出可行域，分析目标函数的几何意义，结合图象即可求解，属于常考题型．28．【青海省西宁市湟川中学2019届高三上学期第三次月考】若,x y 满足约束条件21022020x y x y x y -+≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，3z x y m =++的最小值为1，则m =______________．【答案】4【解析】作出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示，3z x y m =++取最小值时，即3y x m z =--+在y 轴截距最小，平移直线3y x =-可知，当3y x m z =--+过A 点时，在y 轴截距最小，由220210x y x y -+=⎧⎨-+=⎩得(1,0)A -，min 301z m ∴=-++=，解得4m =． 29．【重庆西南大学附属中学校2019届高三第十次月考】已知x ，y 满足约束条件223260x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩，则z x y =-的取值范围为______________．【答案】4[2]3-，【解析】作出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示，因目标函数z x y =-可化为y x z =-，所以目标函数表示直线y x z =-在y 轴截距的相反数，根据图象可得，当直线y x z =-过点B 时，截距最小，即z 最大；当直线y x z =-过点A 时，截距最大，即z 最小；由题意易得(2,0)B ；由23260y x y =⎧⎨+-=⎩得2(,2)3A ，因此max 202z =-=，min 24233z =-=-，所以z x y =-的取值范围为4[2]3-，．【名师点睛】本题主要考查简单的线性规划，只需由约束条件作出可行域，根据目标函数的几何意义即可求解，属于常考题型．30．【内蒙古2019届高三高考一模】设x ，y 满足约束条件360200,0x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩，若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为12，则23a b+的最小值为______________．【答案】256【分析】先根据条件画出可行域，设z ax by =+，再利用几何意义求最值，将最大值转化为y 轴上的截距，只需求出直线z ax by =+，过可行域内的点(4,6)时取得最大值，从而得到一个关于a ，b 的等式，最后利用基本不等式求最小值即可．【解析】不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，当直线0,0()ax by z a b +=>>过直线20x y -+=与直线360x y --=的交点(4,6)时，目标函数(0,0)z ax by a b =+>>取得最大12，即4612a b +=，即236a b +=，而232323()6a b a b a b ++=+=131325()2666b a a b ++≥+=，故23a b +的最小值为256．。

(word完整版)近几年全国卷高考文科数学线性规划高考题

线性规划高考题1.[2013.全国卷2.T3]设,x y满足约束条件10,10,3,x yx yx-+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则23z x y=-的最小值是（）A.7-B.6-C.5-D.3-2.[2014.全国卷2.T9]设x，y满足的约束条件1010330x yx yx y+-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，则2z x y=+的最大值为（）A.8B.7C.2D.13.[2014.全国卷1.T11]设1，y满足约束条件,1,x y ax y+≥⎧⎨-≤-⎩且z x ay=+的最小值为7，则a=（）A．-5 B. 3 C．-5或3 D. 5或-34. [2012.全国卷.T5] 已知正三角形ABC的顶点A(1,1)，B(1,3)，顶点C在第一象限，若点（x，y）在△ABC内部，则z=－x+y的取值范围是（）A.(1－3，2)B.(0，2)C.(3－1，2)D.(0，1+3)5.[2010.全国卷.T11]已知Y ABCD的三个顶点为A（-1，2），B（3，4），C（4，-2），点（x，y）在Y ABCD的内部，则z=2x-5y的取值范围是（）A.（-14，16）B.（-14，20）C.（-12，18）D.（-12，20）6. [2016.全国卷3.T13]设x，y满足约束条件210,210,1,x yx yx-+≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩则z=2x+3y–5的最小值为7．[2016.全国卷2.T14]若x，y满足约束条件103030x yx yx-+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则z=x-2y的最小值为8.[2015.全国卷2.T14]若x，y满足约束条件50210210x yx yx y+-≤⎧⎪--≥⎨⎪-+≤⎩，则2z x y=+的最大值为9.[2015.全国卷1.T15] x,y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为10.[2013.全国卷1.T14]设,x y满足约束条件13,10xx y≤≤⎧⎨-≤-≤⎩，则2z x y=-的最大值为11. [2011.全国卷.T14]若变量,x y 满足约束条件329,69,x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩则2z x y =+的最小值为12. [2016.全国1卷.T16]某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料。

2013—2017高考全国卷线性规划真题(含答案)

2013—2017高考全国卷线性规划真题1.【2017全国1，文7】设x ，y 满足约束条件33,1,0,x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩则z =x +y 的最大值为 A ．0 B ．1 C ．2D ．32.【2017全国2，文7】设,x y 满足约束条件2+330233030x y x y y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩ ,则2z x y =+的最小值是 A.15- B.9- C.1 D 93.【2017全国3，文5】设x ，y 满足约束条件326000x y x y +-≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，则z x y =-的取值范围是A．[–3,0] B．[–3,2] C．[0,2] D．[0,3] 4．(2016全国1，文16)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3个工时．生产一件产品A的利润为2 100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为________元．5．(2016全国2，文14)若x ，y满足约束条件⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，x －3≤0，则z＝x －2y 的最小值为________．6．(2016全国3，文13)设x ，y满足约束条件⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧2x －y ＋1≥0，x －2y －1≤0，x ≤1，则z ＝2x ＋3y －5的最小值为_____．7.（2015全国1，文15）若x ,y 满足约束条件20210220x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪-+≥⎩ ,则z =3x +y 的最大值为．8.（2015全国2，文14）设x ，y 满足约束条件50210210x y x y x y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪-+≤⎩，则2z x y =+的最大值为__________.9.（2014全国1，文11）设x ，y 满足约束条件,1,x y a x y +≥⎧⎨-≤-⎩且z x ay =+的最小值为7，则a =A ．-5 B.3C.-5或3D.5或-310. （2014全国2，文9）设x ，y 满足约束条件1010330x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，则2z x y =+的最大值为（）A ．8 B.7C.2D.111.（2013全国1，文14）设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧ 1≤x ≤3－1≤x －y ≤0，则z =2x －y的最大值为______.12.（2013全国2，文3）设x ，y 满足约束条件10103x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则23z x y =-的最小值是（）A ．-7 B.-6C.-5D.-3参考答案1.A2.B3.B4.2160005.-56.-107.48.89.B10.B11.312. B。

2009-2018高考新课标全国一卷文科按知识模块分类整理---线性规划小题

2009---2018高考新课标全国一卷文科按知识模块分类整理线性规划小题十年十考1．(2018全国卷Ⅰ)若x，y满足约束条件22010x yx yy--⎧⎪-+⎨⎪⎩≤≥≤，则32z x y=+的最大值为___．2．（2017新课标Ⅰ）设x，y满足约束条件331x yx yy+⎧⎪-⎨⎪⎩≤≥≥，则z x y=+的最大值为A．0 B．1 C．2 D．33．（2016全国I卷）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B 的利润为900元。

该企业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元.4．(2015新课标1)若,x y满足约束条件20210220x yx yx y+-⎧⎪-+⎨⎪-+⎩≤≤≥，则3z x y=+的最大值为．5．（2014卷1）设x，y满足约束条件,1,x y ax y+≥⎧⎨-≤-⎩且z x ay=+的最小值为7，则a=（A）-5 （B）3 （C）-5或3 （D）5或-36．（2013新课标1）设,x y满足约束条件13,10xx y≤≤⎧⎨-≤-≤⎩，则2z x y=-的最大值为．7.（2012卷1）已知正三角形ABC的顶点A(1,1)，B(1,3)，顶点C在第一象限，若点（x，y）在△ABC内部，则z=－x+y的取值范围是（A）(1－3，2) （B）(0，2) （C）(3－1，2) （D）(0，1+3)8.（2011卷1）若变量x，y满足约束条件32969x yx y≤+≤⎧⎨≤-≤⎩，则2z x y=+的最小值是_________．9．（2010新课标）已知ABCD的三个顶点为A(－1，2)，B(3，4)，C(4，－2)，点(x，y)在ABCD的内部，则z=2x－5y的取值范围是A．(－14，16) B．(－14，20) C．(－12，18) D．(－12，20)10.（2009卷1）设,x y满足24,1,22,x yx yx y+≥⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩则z x y=+A．有最小值2，最大值3 B．有最小值2，无最大值C．有最大值3，无最小值 D．既无最小值，也无最大值。

2010—2019年新课标全国卷2文科数学试题分类汇编——5.不等式与线性规划

2010—2019 年新课标全国卷 2 文科数学试题分类汇编
一、选择题
5．不等式与线性规划
2x+3y − 3 0 （2017·7）设 x, y 满足约束条件 2x − 3y + 3 0 ，则 z = 2x + y 的最小值是（）
y + 3 0
A. -15
B. -9
C. 1
D. 9
【分析】画出可行域（联立三组方程求解），根据几何意义求出 z 的最值即可
【分析】需结合向量 AB = DC ，求出点 D 坐标，画出四边形所示区域，再结合 z = 2x − 5y 在端点处确定最值即可
【解析】AB = DC D (0, −4) ，当交于 (3, 4) 点时，有最小值 zmin = −14 ，当交于 (0, −4) 时，有最大值 zmax = 20 故 z (−14,20) ，故答案选：B
【详解】画出不等式组表示的可行域，如图所示，
阴影部分表示的三角形 ABC 区域，根据直线 3x − y − z = 0 中的 z 表示纵截距的相反数，即 y = 3x − z ，当直线 z = 3x − y 过点 C（3, 0）时， z 取最大值为 9．故答案为：9
【拓展】一般这类题型采用解方程法，得出三组解，在端点处求得 3 个解，选出最优解即可（此方法适用于画图较慢的考生） x + 2 y − 5 0,
D．1
【解析】画出可行域为如图所示，由 z = x + 2y ，得 y = − 1 x + z ，平移直线 y = − 1 x + z ，由图象可知
22
22
当直线 y = − 1 x + z 经过 A 点时，直线 y = − 1 x + z 的截距最大，此时 z 最大．

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