椭圆及其标准方程练习题

椭圆及其标准方程练习题

【基础知识】

一.椭圆的基本概念

1.椭圆的定义：我们把平面内与两个定点的距离的和等于常数 ( ）的

点的轨迹叫做椭圆,用符号表示为这两个定点叫椭圆的 ，两个焦点之间的距离叫做椭圆的 。

椭圆的定义、椭圆的标准方程、椭圆的性质 椭圆的图象和性质 数学定义式 ｜M Ｆ1|+｜ＭF 2|=2a

焦点位置

x 轴 y 轴 图形

标准方程

焦点坐标

焦距

顶点坐标

a ， ｂ, c 的关系式

长、短轴 长轴长=2a , 短轴长＝２b

对称轴 两坐标轴

离心率

a

c

e =

= （ 0 < ｅ ＜ 1)

椭圆方程的总形式为

［经典例题］：

例1. 根据定义推导椭圆标准方程.

已知B,C 是两个定点，｜ＢC|=6,且ABC ∆的周长等于１6,求顶点Ａ的轨迹方程

已知F 1, F ２是定点,| F 1 F 2|＝８, 动点M 满足|Ｍ F １|+|Ｍ Ｆ2|=8，则点M 的轨迹是 (A ）椭圆 （B ）直线 (C ）圆 (Ｄ）线段

y

x

o

y

x

o

例2．写出适合下列条件的椭圆的标准方程：

⑴两个焦点坐标分别是（-4,0)、（4,0）,椭圆上一点P 到两焦点的距离之和等于1０；

⑵两个焦点坐标分别是(0,－２)和（0,2）且过（23-，2

5）

例３ 求适合下列条件的椭圆的标准方程:

(1)两个焦点坐标分别是(－3,0)，(３,0)，椭圆经过点(5,０）.

（2)两个焦点坐标分别是(０,5),(0，-５),椭圆上一点P 到两焦点的距离和为26.

例４ 已知椭圆经过两点()5,3()2

5

,23与-,求椭圆的标准方程

例５ 1．椭圆短轴长是2，长轴是短轴的2倍,则椭圆离心率是 ；

2.如果椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则其离心率为 ；

3．若椭圆的两个焦点F １、Ｆ2与短轴的一个端点B 构成一个正三角形,则椭圆的离心率为 ;

[典型练习]：

1 椭圆

19

252

2=+y x 上一点P 到一个焦点的距离为5,则P 到另一个焦点的距离为（ ) Ａ.5 Ｂ.６ Ｃ.4 D.１０

２.椭圆

1169

252

2=+y x 的焦点坐标是( ） A ．（±５,0） B ．(0，±5）

C.(0,±12)

D.（±１2，0)

３.已知椭圆的方程为

182

2

2=+m y x ，焦点在x 轴上,则其焦距为( ) A.228m - B.2m -22 C.28

2-m D.222-m

4．1,6==c a ,焦点在ｙ轴上的椭圆的标准方程是 ﻭ5. 椭圆

22

125

x y m m +=-+的焦点坐标是

(A ）(±7, ０) （B )(0, ±7） (Ｃ）(±7,0） （D )(0, ±7)

6．设21,F F 为定点,|21F F |=6,动点Ｍ满足6||||21=+MF MF ，则动点Ｍ的轨迹是 ( )

A.椭圆

B.直线

C.圆 Ｄ．线段

7.椭圆17

162

2=+y x 的左右焦点为21,F F ，一直线过1F 交椭圆于A 、B 两点，则2ABF ∆的周长为 （ ) A.3２ Ｂ.16 C ．8 D ．4

8. Ｐ为椭圆

22

110064

x y +=上的一点,F 1和F ２是其焦点，若∠F 1PF 2=６0°，则△F 1ＰF 2的面积为 . 9.如果方程22

2

=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则k 的取值范围是__＿_＿_.

１０．方程

11

22

2=--m y m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是_＿____. 1１.在△ABC 中,BC =24，AC 、AB 的两条中线之和为39,求△ABC 的重心轨迹方程．

12. 已知点P 在椭圆124492

2=+y x 上,F 1、Ｆ２是椭圆的焦点，且P Ｆ1⊥P Ｆ2,求

(１)| ＰF 1 |·| PF 2 | （2）△P Ｆ1Ｆ2的面积

y

o

x

P

F 2

F 1

作业

１.判断下列方程是否表上椭圆，若是，求出c b a ,,的值

①12222=+y x ；②12422=+y x ；③12

42

2=-y x ;④369422=+x y ２ 椭圆19

162

2=+y x 的焦距是 ,焦点坐标为 ;若C Ｄ为过左焦点1F 的弦，则CD F 2∆的周长为

3． 方程142

2=+ky x 的曲线是焦点在y 上的椭圆 ，求k 的取值范围

4 椭圆

136

1002

2=+y x 上一点Ｐ到焦点Ｆ１的距离等于6，则点P 到另一个焦点Ｆ2的距离是

5 动点P 到两定点1F (-4,０),2F （4,0)的距离的和是8，则动点P 的轨迹为 __＿____

6.平面内两个定点21,F F 之间的距离为２，一个动点M 到这两个定点的距离和为6．建立适当的坐标系，推导出点Ｍ的轨迹方程．