10三维空间中二次方程与二次曲面解读
二次曲线和二次曲面的性质
二次曲线和二次曲面的性质二次曲线和二次曲面是数学中重要的概念，它们在几何学、代数学和物理学等领域中有着广泛的应用。
本文将就二次曲线和二次曲面的性质展开讨论。
一、二次曲线的性质1. 定义二次曲线是由二次方程所描述的曲线，其一般方程可以表示为Ax²+ Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0，其中A、B、C、D、E和F为常数，并且A和C不同时为零。
2. 类型根据一般方程的系数，二次曲线可分为椭圆、双曲线和抛物线三种类型。
椭圆：当B² - 4AC < 0 时，方程描述的曲线为椭圆。
椭圆是一个闭合曲线，具有对称轴和离心率等性质。
双曲线：当B² - 4AC > 0 时，方程描述的曲线为双曲线。
双曲线有两个分离的曲线支，其特点是无界且具有两个渐近线。
抛物线：当B² - 4AC = 0 时，方程描述的曲线为抛物线。
抛物线具有轴对称性，分为开口向上和开口向下两种类型。
3. 几何性质不同类型的二次曲线具有不同的几何性质。
椭圆的主轴为长轴，副轴为短轴，其焦点在椭圆的长轴上。
椭圆的离心率介于0和1之间，且椭圆上的任意点到两个焦点的距离之和等于常数。
双曲线的主轴为虚轴，分别与两个焦点连线构成直角。
双曲线的离心率大于1，且双曲线上的任意点到两个焦点的距离之差等于常数。
抛物线的焦点位于曲线的顶点上方或下方，其离心率等于1。
抛物线具有镜像对称性，焦点和顶点关于准线对称。
二、二次曲面的性质1. 定义二次曲面是由二次方程所描述的曲面，其一般方程可以表示为Ax²+ By² + Cz² + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0，其中A、B、C、D、E、F、G、H、I和J为常数，并且A、B和C不同时为零。
2. 类型根据一般方程的系数，二次曲面可分为椭圆锥面、双曲面、抛物面和椭球面等类型。
椭圆锥面：当D² - 4AC < 0 时，方程描述的曲面为椭圆锥面。
冲刺高考数学二次型与二次曲面
冲刺高考数学二次型与二次曲面高考对于每一位学子来说，都是人生中的一次重要挑战。
在数学这一学科中，二次型与二次曲面是一个重要且具有一定难度的知识点。
为了在高考中取得优异的成绩，我们需要对其进行深入的理解和掌握。
首先，让我们来了解一下什么是二次型。
简单来说，二次型是一个数学表达式，它可以写成多个变量的二次齐次多项式的形式。
比如，对于两个变量 x 和 y，常见的二次型可以表示为 f(x,y) ＝ ax²＋ bxy ＋cy²。
那么，为什么要学习二次型呢？这是因为二次型在数学的很多领域都有着广泛的应用。
在几何中，它可以用来描述曲线和曲面的形状；在物理学中，它可以帮助我们解决一些与能量和势能相关的问题；在优化问题中，通过研究二次型的性质，我们可以找到最优解。
接下来，我们再看看二次曲面。
二次曲面是三维空间中的曲面，其方程可以表示为二次型的形式。
常见的二次曲面有椭球面、抛物面、双曲面等。
以椭球面为例，其方程可以表示为：（x²/a²) ＋（y²/b²) ＋（z²/c²)＝ 1。
其中，a、b、c 分别是椭球面在 x、y、z 轴上的半轴长。
当 a ＝b ＝c 时，就变成了球面。
抛物面又分为椭圆抛物面和双曲抛物面。
椭圆抛物面的方程形如 z＝（x²/a²) ＋（y²/b²)，而双曲抛物面的方程形如 z ＝（x²/a²) （y²/b²)。
双曲面则包括单叶双曲面和双叶双曲面。
单叶双曲面的方程为：（x²/a²) ＋（y²/b²) （z²/c²) ＝ 1，双叶双曲面的方程为：（x²/a²)（y²/b²) ＋（z²/c²) ＝ 1。
在高考中，对于二次型与二次曲面的考查，通常会结合其他知识点，比如空间向量、解析几何等。
10三维空间中二次方程与二次曲面概要.
三维空间中二次方程与二次曲面张晓青（2010073060029）指导教师：李厚彪【摘要】 利用正交变换可以将二次型化为标准型，在三维空间中一个二次方程对应着一种 二次曲面.在研究二次方程的几何意义时，先将二次方程进行正交变换进而研究所得到的标准型对应的几何图形，可以证明所得的几何图形是一个与原几何图形相同但位于特殊位置的图形，具有一定的对称性，为研究带来方便.这种正交变换法适用于一般情况具有探究价值，本文基于教材，进一步讨论正交变换后不同的标准型与几何图形的关系，并附有图解.【关键词】正交表换 二次方程 二次曲面1 引 言教材第六章二次型与二次曲面的几何应用中告诉我们不同的标准型的参数对应17种不同的几何图形，那么它们究竟是什么样的曲面图形呢？接下来我们一一讨论. 2．正 文如果线性变换=X CY 中的系数举矩阵C 是正交矩阵，则称这个线性变换为正交变换 对n 维实向量T 12(,,,)n a a a =α，T 12(,,,)n b b b =β，设A 为n 阶正交矩阵，作正交变换=X A α，=Y A β，则 T T T T(,)(,)()()(,).=====X Y A αA βA αA βαΑA βαβαβ 即，正交变换保持向量内积不变，因为也就保持向量的长度与夹角不变.于是在正交变换下，几何图形的形状不会发生改变.设222123111222333121213132323112233(,,)222?f x x x a x a x a x a x x a x x a x x b x b x b x c =+++++++++ （1.1）则方程123(,,)0f x x x =在几何空间中表示一个二次曲面.令111213212223313233a a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ,123x x x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭X ，123b b b ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭b 则（1.1）式可记为T T ()f c =++X X AX b X （1.2） 下面，令T()g =X X AX1. 作正交变换=X CY ，其中T 123(,,)y y y =Y ，则223'''112233112233()f y y y b y b y b y c λλλ=++++++X （1.3）其中，123,,λλλ是矩阵A 的特征值,112233()()()()g g f g b y b y b y c=''''=++++=X CYX Y X Y2. 对（1.3）配平方，在几何上就是作坐标平移变换，将(1.3)化为标准型，因为正交变换不改变向量的内积，所以化成的标准型后的方程表示的几何图形与（1.1）中的几何图形相同. 由于二次曲面的三个特征根123,,λλλ不全为零，下面按它们全不为零，有一个为零和有两个为零三种情况讨论.（1）1230λλλ≠，通过配方，将223'''1122331122330y y y b y b y b y c λλλ++++++= 改写为2222223312121122331231231()()()()02224b b b b b b y y y c λλλλλλλλλ''''''++++++-++= （2.1.1）令111122223333222b z y b z y b z y λλλ⎧'=+⎪⎪⎪'⎪=+⎨⎪⎪'⎪=+⎪⎩作平移变换，2223121231()4b b b d c λλλ'''=++-，方程化为 222112233z z z d λλλ++= （2.1.2）讨论简化方程（2.1.2）的系数 1）0d ≠.①123,,λλλ与d 同号令122232111d a d b d c λλλ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，（2.1.2）变成2223122221z z z a b c ++=（2.1.3） 为椭球面标准方程，确定的曲面为椭球面（图1 (a)）图1(a) 椭球面图1(b) 球面特别地，当123λλλ==时为球面(图1(b))②123,,λλλ与d异号令122232111d ad bd cλλλ⎧-=⎪⎪⎪-=⎨⎪⎪-=⎪⎩，（2.1.2）变成2223122221zz za b c++=-（2.1.4）为虚椭球面.③123,,λλλ中有一个与d同号（不妨设3λ与d同号）令122232111d ad bd cλλλ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪-=⎪⎩，（2.1.2）变成2223122221zz za b c+-=（2.1.5）为单叶双曲面标准方程，确定的曲面为单叶双曲面（图2）.图2单叶双曲面④123,,λλλ中有两个与d 同号（不妨设12,λλ与d 同号）令122232111d a d b d c λλλ⎧-=⎪⎪⎪-=⎨⎪⎪=⎪⎩，（2.1.2）变成2223122221z z z a b c +-=-（2.1.6） 为双叶双曲面标准方程，确定的曲面为双叶双曲面（图3）.图3 双叶双曲面2）0d = ⑤123,,λλλ同号令122232111a b c λλλ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，（2.1.2）变成2223122220z z z a b c ++=（2.1.7） 当且仅当1230z z z ===成立，故表示一点（0,0,0）. ⑥123,,λλλ不全同号（不妨设12,λλ与3λ异号）令122232111a b c λλλ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，（2.1.2）变成2223122220z z z a b c +-=（2.1.8） 为椭圆锥面标准方程，确定的曲面为椭圆锥面(图4). 特别地当12λλ=时为圆锥面(图5).图4椭圆锥面 图5 圆锥面（2）1230λλλ=情况一：123,,λλλ有且只有一个为零（不妨设30λ=），通过配方，将22'''11221122330y y b y b y b y c λλ+++++= 改写为2222121211223312121()()()0224b b b b y y b y c λλλλλλ'''''+++++-+= （2.2.1）令111122223322b z y b z y z y λλ⎧''=+⎪⎪⎪'⎪'=+⎨⎪⎪'=⎪⎪⎩作平移变换，2212121()4b b d c λλ''=-+，方程化为 221122330z z b z d λλ''''+++= （2.2.2）（1）30b '≠再令1122333z z z z z b z d ⎧'=⎪⎪'=⎨⎪''=+⎪⎩又一次作平移变换，方程化为221122330z z b z λλ'++=（2.2.3）讨论简化方程（2.2.3）的系数 ⑦12,λλ同号令13231212p b q b λλ⎧=⎪'⎪⎨⎪=⎪'⎩,(2.2.3)变成22123(0)22z z z pq p q +=>（2.2.4），为椭圆抛物面的标准方程，所确定的曲面为椭圆抛物面（图6）. 特别地，当p q =时，曲面是旋转抛物面（图7）.图6 椭圆抛物面 图7旋转抛物面⑧12,λλ异号令13231212p b q b λλ⎧=⎪'⎪⎨⎪=-⎪'⎩,(2.2.3)变成22123(0)22z z z pq p q -=>，为双曲抛物面的标准方程，所确定的曲面为双曲抛物面（图8）. 特别地，当p q =时，表示30z =的平面.图8 双曲抛物面（2）30b '=, 则2211220z z d λλ++= A.0d ≠⑨12,λλ同号与d 异号令122211d a d b λλ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，（2.1.2）变成2212221z z a b +=，为椭圆柱面标准方程，确定的曲面为椭圆柱面（图9），特别地，当12λλ=时为圆柱面.图9椭圆柱面⑩12,λλ与d 同号令122211d a d b λλ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（2.1.2）变成2212221z z a b +=-，为虚椭圆柱面.⑪12,λλ异号令122211d a db λλ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（2.1.2）变成2212221z z a b -=，为双曲柱面标准方程，确定的曲面为双曲柱面（图10）.图10 双曲柱面B.0d =⑫12,λλ同号，则当且仅当120z z ==成立，表示一对垂直相交于一条直线的曲面. ⑬12,λλ异号令122211d a db λλ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（2.1.2）变成2212220z z a b -=，表示一对相交平面的标准方程，确定了两个相交平面, 特别地，当a b =时，12z z =±，表示一对相互垂直的平面.情况二：123,,λλλ有两个为零（不妨设230λλ==），通过配方，将2'''111122330y b y b y b y c λ++++= 改写为221111223311()024b by b y b y c λλλ''''++++-= （2.3.1）令111122332b z y z y z y λ⎧''=+⎪⎪⎪'=⎨⎪'=⎪⎪⎩作平移变换，2114b d c λ'=-，方程化为21122330z b z b z d λ''''+++= （2.3.2）讨论简化方程（2.3.2）的系数. （1）23,b b ''至少一个不为零⑭令1123z z z z ⎧⎪⎪'=⎪⎪''''⎪=⎨⎪⎪''''⎪=⎪⎪⎩作旋转变换得221120z z λ=，再令p =2122z pz =±（0p >），为抛物柱面的标准方程，所确定的曲面为抛物柱面（图11）.图11抛物柱面（2）230b b ''==则2110z d λ'+=（2.3.3）⑮1,d λ异号 令21da λ=-，方程（2.3.3）改写成 221z a =，表示一对平行平面 1z a =±.⑯1,d λ同号 令21da λ=，方程（2.3.3）改写成 221z a =-，表示一对虚的平行平面.⑰0d = ，方程变为210z =，表示一对重合平面.3.小 结：任何一个二次方程通过正交变换可以化成五种标准方程之一： (一) 222112233z z z d λλλ++=1230λλλ≠；(二) 221122330z z b z λλ'++= 1230b λλ'≠； (三) 2211220z z d λλ++=120λλ≠；(四) 21120z pz λ±= 10p λ≠；(五) 2110z d λ'+=10λ≠.（i λ为各二次方程的非零特征根）各标准方程对应不同的参数值可得17种类型的曲面，这17种类型曲面可分成3种情况： a) 基本类型：9种 b) 两个平面：3种一条直线：1种 一个点：1种 c) 虚图形：3种参考文献[1]黄廷祝，成孝予，线性代数与空间解析几何，高等教育出版社，2008。
二次型与二次曲面的关系
二次型与二次曲面的关系1. 引言1.1 概述二次型与二次曲面是数学中重要的概念，它们在代数和几何中发挥着重要的作用。
二次型是一类与二次多项式相关的函数形式，而二次曲面则是由二次方程定义的特定类型的曲线。
本文将探讨二次型与二次曲面之间的关系，并研究它们的特征和性质。
1.2 研究背景随着代数学和几何学的发展，人们对于函数和曲线的研究越来越深入。
而对于二次型和二次曲面的分析更是成为了这个领域中不可忽视的一部分。
通过研究二次型与二次曲面之间的联系，我们可以深入理解它们各自所具有的特征，并且可以推广到更为复杂和抽象的情况。
1.3 目的与意义本文旨在介绍并探讨二次型和二次曲面之间存在的联系，以及它们各自所具有的特征和性质。
通过对这两个概念进行详细阐述和比较分析，读者将能够更加全面地理解它们在数学中的重要性和实际应用。
此外，文章还将对可能未涉及到的研究方向进行简要展望，以期激发更多的学者和研究者对该领域问题的兴趣和探索。
2. 二次型的基本概念:2.1 二次型的定义:在线性代数中，二次型是指包含平方项和交叉乘积项的多元变量的多项式。
具体而言，对于$n$个变量$x_1, x_2, \ldots, x_n$，一个二次型可以表示为如下形式的多项式：$$Q(x)=a_{11}x_1^2 + a_{22}x_2^2 + \ldots + a_{nn}x_n^2 + 2a_{12}x_1x_2 + 2a_{13}x_1x_3+\ldots+ 2a_{n-1,n}x_{n-1}x_n$$其中，$a_{ij}$是实数系数$(i,j=1, 2, ..., n)$。
二次型可以看作是一个与欧几里得空间中的点对应的实值函数。
它在数学和工程领域中具有广泛的应用，在统计学、物理学、经济学等学科中也有重要意义。
2.2 二次型矩阵表示:每个二次型都可以通过一个对称矩阵来表示。
对于给定的$n$维向量$\mathbf{x}=(x_1, x_2, \ldots, x_n)^T$，可以将其与一个对称矩阵$\mathbf{A}$相乘得到相应的二次型：$$Q(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^T \cdot \mathbf{A} \cdot \mathbf{x} $$其中，$\mathbf{A}$的元素$a_{ij}$表示二次型中$x_i$和$x_j$的系数。
空间解析几何二次曲面
二次曲面的性质
封闭性
01
二次曲面是封闭的，即它包围着一个确定的区域。
连续性
02
二次曲面在三维空间中是连续的，没有断裂或突起。
可微性
03
二次曲面在三维空间中是可微的，这意味着它的表面是平滑的。
02
二次曲面方程
二次曲面方程的建立
定义
二次曲面是三维空间中通过两个二次方程定义的 几何体。
形式
二次曲面的一般方程为 (Ax^2 + By^2 + Cz^2 + 2Fxy + 2Gxz + 2Hyz = D)。
优化方法
常用的优化方法包括数学规划、遗传算法、 模拟退火等，通过这些方法可以找到最优的 设计方案，提高产品的性能和降低成本。
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特点
二次曲面具有独特的形状和性质，其 形状由二次函数的系数决定。
二次曲面的分类
1 2
椭球面
当 $f$ 为正时，二次曲面呈现为椭球形状，其长 轴和短轴分别与 $x$ 轴和 $y$ 轴平行或垂直。
抛物面
当 $f$ 为一次函数时，二次曲面呈现为抛物线形 状，其开口方向与 $z$ 轴平行。
3
双曲面
当 $f$ 为负时，二次曲面呈现为双曲形状，其形 状取决于 $x$ 轴和 $y$ 轴的方向。
工程设计
二次曲面在工程设计中用于描述各种形状的表面，如球面、抛物 面等。
物理模拟
在物理模拟中，二次曲面用于描述粒子在力场中的运动轨迹和分 布。
数据分析
在数据分析中，二次曲面用于拟合数据，以揭示数据之间的内在 关系和规律。
03
二次曲面在三维空间中的 表示
二次曲面在三维空间中的投影
二次曲面部分内容总结归纳
二次曲面部分内容总结归纳在数学中，二次曲面是一类重要的曲线图形，具有广泛的应用。
本文将对二次曲面的定义、性质以及常见的二次曲面进行总结归纳，以帮助读者更好地理解和应用这一内容。
一、二次曲面的定义和特点二次曲面是由二次方程定义的曲面，其一般方程可以表示为Ax² + By² + Cz² + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0，其中A、B、C、D、E、F、G、H、I、J为系数。
1. 定义：二次曲面是在三维空间中满足以上方程的点的集合。
它是由平面或曲线与另外一个平面所构成的立体。
2. 分类：根据系数之间的关系，二次曲面可以分为椭球面、双曲面、抛物面和圆锥曲面等。
3. 对称性：二次曲面通常具有一定的对称性，例如椭球面关于三个坐标轴对称，双曲面关于两个坐标轴对称，抛物面则关于一个坐标轴对称。
二、常见的二次曲面下面将介绍几种常见的二次曲面及其特点：1. 椭球面：椭球面是指A、B、C系数均为正数的二次曲面。
它可以是一个三维椭球，具有三个轴，其中有一个是最大的主轴。
2. 双曲面：双曲面是指A、B、C系数有正有负的二次曲面。
它可以是两个相交的曲面，呈现典型的双曲线形状。
3. 抛物面：抛物面是指A、B系数有一个为零的二次曲面。
它可以是开口向上或向下的形状，对称于坐标轴。
4. 圆锥曲面：圆锥曲面是指除了A、B、C系数外，D、E、F系数都为零的二次曲面。
它可以是圆锥的侧面，或者是圆锥的顶部和底部。
三、二次曲面的应用二次曲面具有广泛的应用，其中一些常见的领域包括：1. 几何学：二次曲面在几何学中的应用非常广泛，如描述平面、曲线和曲面之间的关系，解决几何问题等。
2. 物理学：在物理学中，二次曲面可以用来描述电磁场、电荷分布和光学等现象。
3. 工程学：二次曲面在工程学中常用于描述悬索桥、天线接收器的覆盖范围等。
4. 经济学：二次曲面可以用于描述经济模型中的供需曲线、成本函数等。
曲面及其方程、二次曲面-PPT
•大家有疑问的，可以询问和交流
•可以互相讨论下，但要小声点
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲线 绕其平面上的一条直线 旋转一周所成的曲面称 为旋转曲面。这条曲线 和定直线一次称为旋转 曲面的母线和旋转轴。
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二、旋转曲面
定义：以一条平面曲线 绕其平面上的一条直线 旋转一周所成的曲面称 为旋转曲面。这条曲线 和定直线一次称为旋转 曲面的母线和旋转轴。
2
以下给出几例常见的曲面.
例 1 建立球心在点 M0 ( x0 , y0 , z0 )、半径为 R 的球面方程.
解 设M ( x, y, z)是球面上任一点，
根据题意有 | MM0 | R
x x0 2 y y0 2 z z0 2 R 所求方程为 x x0 2 y y0 2 z z0 2 R2
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲线 绕其平面上的一条直线 旋转一周所成的曲面称 为旋转曲面。这条曲线 和定直线一次称为旋转 曲面的母线和旋转轴。
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例5 证明以oz轴为旋转轴，yoz坐标面上的已知曲线
f ( y, z) 0
C:
x
0
为母线所产生的旋转曲面S的方程为： f ( x2 y2 , z) 0
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二、旋转曲面
定义：以一条平面曲线 绕其平面上的一条直线 旋转一周所成的曲面称 为旋转曲面。这条曲线 和定直线一次称为旋转 曲面的母线和旋转轴。
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二、旋转曲面
定义：以一条平面曲线 绕其平面上的一条直线 旋转一周所成的曲面称 为旋转曲面。这条曲线 和定直线一次称为旋转 曲面的母线和旋转轴。
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这条定曲线C 叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。
观察柱面的 形成过程:
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二次曲线的分类和二次曲面的分类-概述说明以及解释
二次曲线的分类和二次曲面的分类-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述：二次曲线和二次曲面是解析几何学中重要的研究对象，它们具有许多美妙的几何性质。
在本文中，我们将讨论二次曲线和二次曲面的分类，包括椭圆、抛物线、双曲线、椭球面、抛物面和双曲面等。
通过对这些曲线和曲面的特点和性质进行深入的研究，我们可以更好地理解它们在几何学中的应用和意义。
本文将分析这些曲线和曲面的方程、图像和几何特征，帮助读者全面了解它们的分类和区分。
希望本文能够对二次曲线和二次曲面的研究有所启发，并为相关领域的学习和研究提供参考和帮助。
文章结构部分内容如下:1.2 文章结构：本文主要分为引言、正文和结论三个部分。
在引言部分，将概述二次曲线和二次曲面的概念，说明文章结构和目的。
在正文部分，将详细讨论二次曲线和二次曲面的分类，包括椭圆、抛物线、双曲线以及椭球面、抛物面、双曲面的形态和特点。
最后在结论部分，对文章进行总结，并探讨二次曲线和二次曲面在实际应用中的意义，展望未来可能的发展方向。
整个文章结构严谨有序，逻辑清晰，旨在帮助读者更深入地了解二次曲线和二次曲面的分类和特性。
文章1.3 目的：本文旨在对二次曲线和二次曲面进行分类和介绍，帮助读者更好地理解和区分不同类型的二次曲线和曲面。
通过本文的阐述，读者将了解椭圆、抛物线、双曲线、椭球面、抛物面和双曲面的定义、性质和特点。
同时，本文也旨在展示二次曲线和曲面在数学、物理和工程等领域的应用，以及未来对其研究的展望。
通过本文的阅读，读者将深入了解二次曲线和曲面的重要性和应用价值。
": {}}}}请编写文章1.3 目的部分的内容2.正文2.1 二次曲线的分类二次曲线是一个二次方程所描述的平面曲线。
在代数几何学中，二次曲线可以分为三种基本类型：椭圆、抛物线和双曲线。
这些曲线在平面上具有不同的几何性质和形态。
2.1.1 椭圆椭圆是一个闭合的曲线，其定义为所有到两个定点的距离之和等于一个常数的点的集合。
二次型和二次曲面的对应关系
二次型和二次曲面的对应关系二次型和二次曲面的对应关系二次型与二次曲面的定义•二次型是一个关于n个变量x1, x2, …, xn的二次齐次多项式，可以表示为Q(x) = xTAX，其中A是一个对称矩阵，n是正整数。
•二次曲面是一个在n维空间中的曲面，可以表示为Ax^2 + By^2 + Cz^2 + …,其中A, B, C是常数，x, y, z是变量。
二次型与二次曲面的联系•二次型和二次曲面之间存在着紧密的对应关系，通过对二次型的矩阵A进行特征分解，可以获得二次曲面的标准方程。
二次型矩阵的特征分解1.计算二次型的特征值和特征向量；2.将特征值组成对角矩阵Λ，特征向量组成矩阵P；3.得到特征分解Q(x) = xTPΛPx。
二次曲面的标准方程•根据二次型矩阵的特征分解，可以得到二次曲面的标准方程。
1.当二次型矩阵A的特征值全为正时，二次曲面为椭圆或椭球体，标准方程为(x/a)^2 + (y/b)^2 + (z/c)^2 = 1。
2.当二次型矩阵A的特征值全为负时，二次曲面为虚椭圆或虚椭球体，标准方程为(x/a)^2 + (y/b)^2 + (z/c)^2 = -1。
3.当二次型矩阵A的特征值中有正有负时，二次曲面为双曲面，标准方程为(x/a)^2 + (y/b)^2 - (z/c)^2 = 1。
4.当二次型矩阵A的特征值中有零时，二次曲面为抛物面，标准方程为(x/a)^2 + (y/b)^2 = 2z/c。
结论•通过二次型的特征分解可以得到二次曲面的标准方程，从而对二次曲面进行研究和分析。
二次型和二次曲面之间的对应关系可以帮助我们从二次型的角度来理解和解释二次曲面的性质和特点。
二次型与二次曲面的性质对应•二次型和二次曲面之间的对应关系不仅仅是形式上的对应，它们之间还存在着一些性质上的对应关系。
###1. 矩阵的正定性与曲面的凸性•如果一个二次型矩阵A是正定的，即所有的特征值都是正的，那么对应的二次曲面就是一个凸曲面。
代数几何中的曲面及其方程
代数几何中的曲面及其方程曲面是代数几何中的重要概念，它指的是由一组方程给出的三维空间中的图形。
曲面是研究代数几何的基础，它们和代数方程之间有着密切的联系。
在本文中，我们将讨论曲面及其方程。
一、曲面的定义曲面是由一组方程给出的三维空间中的图形。
这些方程通常包含x、y、z，每个方程都对应着曲面上的一个点。
曲面可以是平面的，也可以是弯曲的。
在代数几何中，我们通常将曲面定义为由多项式方程给出的图形。
二、曲面的分类在代数几何中，我们将曲面分成几类，例如球面、圆柱面、圆锥面、双曲面等。
以下是一些常见的曲面：1.球面：球面是以一个点为球心，一定半径的圆的轨迹。
它可以表示为方程x²+y²+z²=r²。
2.圆柱面：圆柱面是由一组平行于z轴的直线和一个平面围成的欧几里得空间图形。
它可以表示为方程x²+y²=r²。
3.圆锥面：圆锥面是由一条直线（母线）和一个平面围成的欧几里得空间图形。
它可以表示为方程x²+y²=(z-r)²。
4.双曲面：双曲面是由两个“下凹”的曲面组成的。
它可以表示为方程x²-y²-z²=r²。
三、曲面的方程曲面的方程是可以用来描述曲面性质的方程。
在代数几何中，我们可以用多项式方程来表示曲面。
以下是一些常见的曲面方程：1.二次曲面：二次曲面是由二次项方程给出的曲面。
例如，x²+y²+z²=1和x²-y²=1都是二次曲面方程。
2.三次曲面：三次曲面是由三次项方程给出的曲面。
例如，x³+y³+z³=1和x³-y³=1都是三次曲面方程。
3.四次曲面：四次曲面是由四次项方程给出的曲面。
例如，x⁴+y⁴+z⁴=1和x⁴-y⁴=1都是四次曲面方程。
曲面方程的求解通常需要使用代数学的知识，例如线性代数和多项式理论。
空间中的曲面和曲线及二次曲面
第六章 二次型与二次曲面
§6.3 二次曲面
例3. z = xy. 0 1/2 0 解: xy = (x, y, z) 1/2 0 0 0 0 0
x y , z
1 2 1 2 0 先求得正交矩阵Q = 1 2 1 2 0 , 1 0 0 0 1/2 0 1/2 0 0 使QT 1/2 0 0 Q = 0 1/2 0 , 0 0 0 0 0 0
x = acost y = asint z = vt z
(tR
aO x
y
O x
a y
15
a
第六章 二次型与二次曲面
§6.2 空间中的曲面和曲线
2. 维维安尼曲线 x = a (1+cost) 2 x 2 + y 2 + z2 = a 2 y = a sint (xa/2)2 + y2 = a2/4 2 t z = asin 2
第六章
§6.2
二次型与二次曲面
空间中的曲面和曲线
§6.3
二次曲面
2011. 12. 22
1
第六章 二次型与二次曲面
§6.2 空间中的曲面和曲线
§6.2 空间中的曲面和曲线 曲面的一般方程: F(x, y, z) = 0 曲线的一般方程: F(x, y, z) = 0 G(x, y, z) = 0 曲线的参数方程: x = x(t) y = y(t) z = z(t)
b
y
x 2 z2 y = 0, 2 + 2 = 1 a c x2 y2 z = 0, 2 + 2 = 1 a b
当a, b, c中有两个相等时——旋转面 当a = b = c = R时——半径为R的球面
23
曲面方程与参数方程
曲面方程与参数方程曲面是三维空间中的一个概念，它可以用曲面方程或者参数方程来描述。
曲面方程是通过关系式表示一个曲面上所有的点，而参数方程则是通过参数的变化来表示曲面上的点的位置。
在本文中，我们将探讨曲面方程与参数方程的概念与应用。
一、曲面方程曲面方程描述了一个曲面上所有点的关系式。
常见的曲面方程包括二次曲面和立体曲面。
1. 二次曲面方程二次曲面方程是指由二次多项式构成的曲面方程。
常见的二次曲面方程有球面、圆柱面、抛物面和双曲面等。
以球面为例，其方程可以表示为：(x - h)² + (y - k)² + (z - l)² = r²其中，(h, k, l)为球心坐标，r为球的半径。
2. 立体曲面方程立体曲面方程是指由高次多项式构成的曲面方程。
立体曲面由其方程所决定，方程的次数越高，曲面形状越复杂。
例如，双曲抛物面的方程可以表示为：z = x²/a² - y²/b²其中，a和b分别为双曲抛物面在x轴和y轴上的半轴长。
二、参数方程参数方程是通过参数的变化来表示曲面上的点的位置。
常用的参数方程有笛卡尔坐标系参数方程和极坐标系参数方程。
1. 笛卡尔坐标系参数方程笛卡尔坐标系参数方程是指通过曲面上的点在笛卡尔坐标系中的坐标与一个或多个参数之间的关系来表示曲面上的点。
以球面为例，其参数方程可以表示为：x = h + rcosθsinφy = k + rsinθsinφz = l + rcosφ其中，θ和φ分别为参数，决定了球面上的每一个点的位置。
2. 极坐标系参数方程极坐标系参数方程是指通过极坐标系中的坐标与一个或多个参数之间的关系来表示曲面上的点。
以圆柱面为例，其参数方程可以表示为：x = rcosθy = rsinθz = z其中，r和θ为参数，决定了圆柱面上的每一个点的位置。
三、曲面方程与参数方程的应用曲面方程和参数方程在数学、物理学、计算机图形学等领域有广泛应用。
8.二次型与二次曲面解读
.
z
得旋转锥面
y
y2 z2 k 2 x2
.
L (母线) 3.柱面: 沿一条定曲线C(准线)平行移动的直线 z
扫过的曲面叫做柱面.
M (x,y,z)
母线
S
0
y
f ( x,y )=0 z=0
x 准线
N (x, y, 0)
M(x,y,z) S
f (x,y)=0 (母线∥ z轴)
x
2.旋转曲面: 平面曲线C(母线)绕同平面定直线L (准线)
f ( y, z ) 0 曲线 C x 0
旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面.
z
绕 z 轴旋转一周得 旋转曲面 S M(x,y,z) S f (y1, z1)=0
P
N (0, y1 , z1 )
S
M (x,y,z)
f ( y, z ) 0 曲线 C x 0
绕 z 轴旋转一周得 旋转曲面 S C
o
y
2.旋转曲面: 平面曲线C(母线)绕同平面定直线L (准线)
旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面.
z
f ( y, z ) 0 曲线 C x 0
绕 z 轴旋转一周得 旋转曲面 S
.
C
o
y
o
y
x
(3).抛物柱面
z y
y 2 2 px
o
x
球面、旋转曲面、柱面
A( x2+y2+z2) +B x +Cy +Dz +F =0 x2 y2 z2 + 2 + 2 =1 2 a b b x2 y2 z2 + 2 - 2 =1 2 a a b x2 + y2 = 2pz x2 y2 + 2 =1 2 a b y2 = 2px
二次曲面的标准方程
二次曲面的标准方程一、引言二次曲面是解析几何中的重要概念之一，广泛应用于物理学、工程学等学科中。
本文将探讨二次曲面的标准方程及其基本性质。
二、二次曲面的定义二次曲面是由二次函数所描述的曲面。
在三维空间中，一般可以表示为一个二次方程，即Ax^2 + By^2 + Cz^2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0三、二次曲面的分类二次曲面可以分为三类：椭圆面、抛物面和双曲面。
它们的标准方程分别为：1. 椭圆面椭圆面是一个封闭的曲面，其标准方程为(x/a)^2 + (y/b)^2 + (z/c)^2 = 1其中，a、b、c分别为椭圆长轴、长半轴和短半轴的长度。
2. 抛物面抛物面是一个开口朝上或朝下的曲面，其标准方程为z = Ax^2 + By^2其中，A和B为常数，决定了抛物面的形状和方向。
3. 双曲面双曲面有两个分支，其标准方程可以分为两种形式：（1）椭圆双曲面：(x/a)^2 + (y/b)^2 - (z/c)^2 = 1其中，a、b、c为常数，决定了椭圆双曲面的形状。
（2）双曲抛物面：z = (x/a)^2 + (y/b)^2其中，a和b为常数，决定了双曲抛物面的形状。
四、二次曲面的性质二次曲面具有多种有趣的性质，以下列举其中几个典型的性质：1. 对称性二次曲面通常具有一定的对称性，可以分为关于x轴、y轴、z轴、原点等不同的对称性。
2. 交点与切线二次曲面与坐标轴的交点，即截距，可以通过将某一坐标设为0求解得到。
而在交点处，二次曲面的切线与坐标轴平行。
3. 焦点与准线对于椭圆面和双曲面，其焦点和准线是重要的概念。
焦点是指到其上任意一点距离差的长度之和为常数，准线则是过焦点的直线。
4. 焦点和直径对于椭圆面，焦点和直径是有着紧密联系的。
直径是通过椭圆中心并且两端都在椭圆上的线段，它的中垂线过焦点。
五、应用示例二次曲面的标准方程在物理学和工程学中有着广泛的应用，下面以一个简单的实例来说明：一个椭圆形的太阳能反射镜可以通过椭圆面的标准方程来描述。
线性代数与解析几何——二次型与二次曲面
x2
c21 y1
c22
y2
xn cn1 y1 cm2 y2
简记为 x = C y ，
c1n yn , c2n yn ,
于是
f = xTAx = (C y)T A (C y)
cnn yn .
= yT (CTAC) y
使二次型只含平方项，即
f = k1 y12 + k2 y22 + … + kn yn2
如果标准形的系数 k1 , k2 , … , kn 只在−1, 0, 1三个数中取值,
即
f = k1 y12 + … + kp yp2 − kp+1 yp+12 − … − kr yr2
则上式称为二次型的规范形．
定义：设 A, B 都是 n 阶矩阵，若有可逆矩阵 P 满足 P −1AP = B ，
a1n x1 xn a2n x2 xn
an1 xn x1 an2 xn x2
n
aij xi x j i, j1
ann xn2
f ( x1, x2 ,
, xn ) ax111(xa1211x1a12 ax12xx22 aa1n1nxx1nx)n ax221(xa22x1 x1 1aa222x2 x22 2 aa2n2xn x2 xn )n
2(z1 z3 )2 2(z2 2z3 )2 6z32 ,
将线性变换 代入上式得到
y1 y2
z1 z2
z3 2z3
,
y3 z3
f ( x1, x2 , x3 ) 2 y12 2 y22 6 y32 .
将上面的两个线性变换复合起来:
x1 x2
z1 z1
z2 z2
,
三维空间的投影变换——点，平面，直线，二次曲面
三维空间的投影变换——点，平⾯，直线，⼆次曲⾯1. 三维空间中的点在三维空间P3中的⼀点(X, Y, Z)T，它的齐次坐标为4元向量(X1,X2,X3,X4)T，可归⼀化表⽰为((X, Y, Z, 1)T，若X4 = 0，则表⽰该点位于⽆限远处。
对三维空间P3上的点的投影变换，通过对齐次向量X左乘⼀个4x4⾮奇异矩阵H得到，即X' = HX. 其中变换矩阵H有15个⾃由度，外加⼀个任意⽐例因⼦。
2. 三维空间中的平⾯与⼆维空间中直线的表⽰⽅法相似，三维空间中的平⾯可以⽤如下⽅程表⽰为π1X +π2Y +π3Z +π4 = 0因此平⾯的齐次表⽰为π = (π1,π2,π3,π4)T，它有3个⾃由度。
上式可简写为πT X = 0这表⽰点 X = (X, Y, Z, 1)T 位于平⾯π上。
3. 平⾯的性质三点决定⼀个平⾯。
设有3个线性独⽴的点X i, for i = 1,2, 3, 它们均位于⼀个平⾯π上，即满⾜πT X i = 0。
进⾏矩阵堆叠得到于是平⾯π是这个3x4矩阵的零空间向量，可在任意⽐例尺度上，被唯⼀确定。
在平⾯空间P2中，两点决定⼀条直线，直线l 除了可以⽤零空间向量法求解之外，还可以通过两个齐次点的叉积 l = x × y 直接求得。
在三维空间P3中，也可以⽤类似叉积的⽅法求解平⾯。
三个平⾯决定⼀点。
设有3个线性独⽴的平⾯πi, for i = 1,2, 3, 则它们的交点X可以由下式求得点X 是这个3x4矩阵的零空间向量。
这是平⾯空间P2中两线交于⼀点在三维空间P3中的推⼴。
投影变换。
在点变换 X' = HX 下，平⾯的变换表⽰为：π' =H-Tπ参数化。
在平⾯π上的⼀点X可以写成X = Mx其中4x3矩阵M的各列是πT的零空间，即πT M = 0。
⽽3元向量 x 表⽰X在⼆维空间P2上的投影，是对点X的参数化。
4. 三维空间中的直线直线可以定义为两个点的连线，或两个平⾯的相交。
七章二次型与二次曲面-资料
7.1 实二次型 7.1.1 二次型的定义及矩阵表示
1．定义7.1 n个变量 x1,x2, ,xn 的二次齐次函数 nn
f(x1,x2, ,xn)
aijxixj
i1 j1
a 1 1 x 1 2 a 1 2 x 1 x 2 a 1 n x 1 x n
a 2 1 x 2 x 1 a 2 2 x 2 2 a 2 n x 2 x n
即
1 2 2 1 2 2
2 4
4 0 0
0
2 4 4 0 0 0
x1 2 x2 2 x3
所以得同解方程组为
x
2
x2
x 3 x 3
2
2
得基础解系为
1
1
,
2
0
.
0
1 4
0
0
1
x1
z1
z2
3 2
z3
x2 z1 z2 2 z3
x
3
z3
1
1
3 2
C C1C2 1 1 2 , | C | 0
0
0
1
C 可逆.
X C Y c 1 (c 2Z ) c 1 c 2Z 为可逆线性变换.
个对称矩阵.
f
例1 设二次型 f x 1 2 x 2 2 2 x 1 x 2 x 1 x 3 4 x 2 x 3试写出二次型 的矩阵.（ f 为三元二次型）
空间解析几何中的二次曲线与曲面
空间解析几何中的二次曲线与曲面空间解析几何是研究平面和空间中点、直线和曲线的位置关系、性质及其运动规律的数学分支。
在空间解析几何中，二次曲线与曲面是非常重要的概念。
本文将就空间解析几何中的二次曲线与曲面展开讨论。
一、二次曲线二次曲线是指平面上的方程为二次形式的曲线，可分为椭圆、双曲线和抛物线三类。
1. 椭圆椭圆是二次曲线中最常见的一类，其方程一般表示为：$\dfrac{x^{2}}{a^{2}} + \dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1$其中$a$和$b$分别表示椭圆的半长轴和半短轴。
2. 双曲线双曲线也是常见的二次曲线，其方程一般表示为：$\dfrac{x^{2}}{a^{2}} - \dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1$或$\dfrac{y^{2}}{b^{2}} - \dfrac{x^{2}}{a^{2}} = 1$双曲线有两支，分别沿着$x$轴向两侧无限延伸。
3. 抛物线抛物线是一种特殊的二次曲线，其方程一般表示为：$y^{2} = 2px$或$x^{2} = 2py$其中$p$表示抛物线的焦点到准线的距离。
二、二次曲面二次曲面是指空间中的方程为二次形式的曲面，可分为椭球面、双曲面、抛物面和圆台面四类。
1. 椭球面椭球面是一类二次曲面，其方程一般表示为：$\dfrac{x^{2}}{a^{2}} + \dfrac{y^{2}}{b^{2}} + \dfrac{z^{2}}{c^{2}} = 1$其中$a$、$b$和$c$分别表示椭球面在$x$、$y$和$z$轴上的半长轴。
2. 双曲面双曲面也是常见的二次曲面，其方程一般表示为：$\dfrac{x^{2}}{a^{2}} + \dfrac{y^{2}}{b^{2}} - \dfrac{z^{2}}{c^{2}} = 1$或$\dfrac{z^{2}}{c^{2}} - \dfrac{y^{2}}{b^{2}} - \dfrac{x^{2}}{a^{2}} = 1$双曲面有两部分，分别向上和向下打开。
二次曲面的分类及其方程
二次曲面的分类及其方程二次曲面是指在三维空间中由二次方程描述的曲面。
它们是重要的数学对象，有着广泛的应用。
二次曲面可以分为三类：椭球面、双曲面和抛物面。
一、椭球面椭球面是由下列方程定义的曲面：$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1$$其中 $a, b, c$ 是正实数。
椭球面是一种具有三个互相垂直的对称轴的曲面。
如果 $a = b = c$，那么这就是一个球面。
如果 $a = b$ 且 $c$ 与它们不相同，那么它是一个椭球体，也称为长方体。
二、双曲面双曲面是由下列方程定义的曲面：或$$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1$$其中 $a, b, c$ 是正实数。
它由两个平面曲线旋转形成。
双曲面可以分为单叶双曲面和双叶双曲面两类。
单叶双曲面，也称为马鞍面，是旋转一个双曲线得到的。
它具有对称轴。
作为一个示例，如果我们在 $x$ 轴上旋转 $y =\frac{1}{2} \sqrt{x^2 + 1}$，那么它就是一个单叶双曲面。
双叶双曲面由两个对称的单叶双曲面组成。
它是由以下方程定义的：$$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1$$或其中 $a, b, c$ 是正实数。
双叶双曲面没有对称轴。
如果 $a = b = c$，那么它是一个单叶双曲面。
三、抛物面抛物面是由下列方程定义的曲面：$$z = \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}$$其中 $a, b$ 是正实数。
它是一个二次曲面，每个点都具有平移对称性。
抛物面有多个变形，其中最常见的是旋转抛物面。
旋转抛物面由以下方程定义：$$z = \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}$$在这种情况下，通过绕 $z$ 轴旋转获得的平面是横截面。
二次型与二次曲面的关系知乎
二次型与二次曲面的关系知乎二次型与二次曲面是线性代数和几何学中重要的概念，它们之间有着密切的关系。
在本文中，我们将讨论二次型和二次曲面的定义、基本性质以及它们之间的关系。
我们将从二次型和二次曲面的定义开始，然后讨论它们之间的关系，最后总结全文的内容。
**一、二次型的定义和基本性质**在线性代数中，二次型是一个定义在n维向量空间V上的二次齐次函数，通常记作Q(x)，其中x是V中的一个向量。
二次型通常表示为Q(x)=x^TAX，其中A是一个对称矩阵。
二次型的基本性质包括对称性、正定性和二次型矩阵的特征值。
1.对称性：由于A是对称矩阵，所以二次型Q(x)具有对称性，即Q(x)=Q(x^T)。
2.正定性：如果二次型Q(x)对于V中的任意非零向量x都有Q(x)>0，则称其为正定的二次型。
同样地，如果Q(x)对于任意非零向量x都有Q(x)<0，则称其为负定的二次型。
3.二次型矩阵的特征值：二次型的矩阵A的特征值提供了有关二次型行为的重要信息。
特征值为正的情况对应正定二次型，特征值为负的情况对应负定二次型，特征值为零的情况对应半正定或半负定的情况。
**二、二次曲面的定义和基本性质**在几何学中，二次曲面是一个定义在三维空间中的曲面，通常表示为F(x,y,z)=0。
二次曲面的基本性质包括轴、实轴、非退化性和标准化等。
1.轴：二次曲面的轴是通过曲面的中心且与曲面的任意切线垂直的直线。
轴可以是实轴或虚轴。
2.实轴和虚轴：如果二次曲面的轴是实轴，那么它是一个实二次曲面；如果二次曲面的轴是虚轴，那么它是一个虚二次曲面。
3.非退化性：二次曲面是非退化的，如果对于曲面上的每一点，存在一个领域使得在这个领域内，曲面能通过一个关于x、y和z的方程F(x,y,z)=0唯一确定。
4.标准化：二次曲面可以通过线性变换变换为标准形式，使得它的方程变得简单。
常见的标准形式包括椭球面、双曲面和抛物面等。
**三、二次型与二次曲面的关系**二次型和二次曲面之间的关系体现在它们的数学性质和几何性质上。
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三维空间中二次方程与二次曲面张晓青（2010073060029）指导教师：李厚彪【摘要】 利用正交变换可以将二次型化为标准型，在三维空间中一个二次方程对应着一种 二次曲面.在研究二次方程的几何意义时，先将二次方程进行正交变换进而研究所得到的标准型对应的几何图形，可以证明所得的几何图形是一个与原几何图形相同但位于特殊位置的图形，具有一定的对称性，为研究带来方便.这种正交变换法适用于一般情况具有探究价值，本文基于教材，进一步讨论正交变换后不同的标准型与几何图形的关系，并附有图解.【关键词】正交表换 二次方程 二次曲面1 引 言教材第六章二次型与二次曲面的几何应用中告诉我们不同的标准型的参数对应17种不同的几何图形，那么它们究竟是什么样的曲面图形呢？接下来我们一一讨论. 2．正 文如果线性变换=X CY 中的系数举矩阵C 是正交矩阵，则称这个线性变换为正交变换 对n 维实向量T 12(,,,)n a a a =α，T 12(,,,)n b b b =β，设A 为n 阶正交矩阵，作正交变换=X A α，=Y A β，则 TTTT(,)(,)()()(,).=====X Y A αA βA αA βαΑA βαβαβ即，正交变换保持向量内积不变，因为也就保持向量的长度与夹角不变.于是在正交变换下，几何图形的形状不会发生改变.设222123111222333121213132323112233(,,)222?f x x x a x a x a x a x x a x x a x x b x b x b x c =+++++++++ （1.1）则方程123(,,)0f x x x =在几何空间中表示一个二次曲面.令111213212223313233a a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ,123x x x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭X ，123b b b ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭b 则（1.1）式可记为T T ()f c =++X X AX b X （1.2） 下面，令T()g =X X AX1. 作正交变换=X CY ，其中T123(,,)y y y =Y ，则223'''112233112233()f y y y b y b y b y c λλλ=++++++X （1.3）其中，123,,λλλ是矩阵A 的特征值,112233()()()()g g f g b y b y b y c=''''=++++=X CYX Y X Y2. 对（1.3）配平方，在几何上就是作坐标平移变换，将(1.3)化为标准型，因为正交变换不改变向量的内积，所以化成的标准型后的方程表示的几何图形与（1.1）中的几何图形相同. 由于二次曲面的三个特征根123,,λλλ不全为零，下面按它们全不为零，有一个为零和有两个为零三种情况讨论.（1）1230λλλ≠，通过配方，将223'''1122331122330y y y b y b y b y c λλλ++++++= 改写为2222223312121122331231231()()()()02224b b b b b b y y y c λλλλλλλλλ''''''++++++-++= （2.1.1）令111122223333222b z y b z y b z y λλλ⎧'=+⎪⎪⎪'⎪=+⎨⎪⎪'⎪=+⎪⎩作平移变换，2223121231()4b b b d c λλλ'''=++-，方程化为 222112233z z z d λλλ++= （2.1.2）讨论简化方程（2.1.2）的系数 1）0d ≠.①123,,λλλ与d 同号令122232111d a d b d c λλλ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，（2.1.2）变成2223122221z z z a b c ++=（2.1.3） 为椭球面标准方程，确定的曲面为椭球面（图1 (a)）图1(a) 椭球面图1(b) 球面特别地，当123λλλ==时为球面(图1(b)) ②123,,λλλ与d 异号令122232111d a d b d c λλλ⎧-=⎪⎪⎪-=⎨⎪⎪-=⎪⎩，（2.1.2）变成 2223122221z z z a b c ++=-（2.1.4） 为虚椭球面.③123,,λλλ中有一个与d 同号（不妨设3λ与d 同号）令122232111d a d b d c λλλ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪-=⎪⎩，（2.1.2）变成 2223122221z z z a b c +-=（2.1.5） 为单叶双曲面标准方程，确定的曲面为单叶双曲面（图2）.图2单叶双曲面④123,,λλλ中有两个与d 同号（不妨设12,λλ与d 同号）令122232111d a d b d c λλλ⎧-=⎪⎪⎪-=⎨⎪⎪=⎪⎩，（2.1.2）变成2223122221z z z a b c +-=-（2.1.6） 为双叶双曲面标准方程，确定的曲面为双叶双曲面（图3）.图3 双叶双曲面2）0d = ⑤123,,λλλ同号令122232111a b c λλλ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，（2.1.2）变成2223122220z z z a b c ++=（2.1.7） 当且仅当1230z z z ===成立，故表示一点（0,0,0）. ⑥123,,λλλ不全同号（不妨设12,λλ与3λ异号）令122232111a b c λλλ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，（2.1.2）变成222312222zz za b c+-=（2.1.8）为椭圆锥面标准方程，确定的曲面为椭圆锥面(图4). 特别地当12λλ=时为圆锥面(图5).图4椭圆锥面图5 圆锥面（2）123λλλ=情况一：123,,λλλ有且只有一个为零（不妨设3λ=），通过配方，将22'''1122112233y y b y b y b y cλλ+++++=改写为2222121211223312121()()()0224b b b by y b y cλλλλλλ'''''+++++-+=（2.2.1）令111122223322bz ybz yz yλλ⎧''=+⎪⎪⎪'⎪'=+⎨⎪⎪'=⎪⎪⎩作平移变换，2212121()4b bd cλλ''=-+，方程化为22112233z z b z dλλ''''+++=（2.2.2）（1）3b'≠再令1122333z zz zz b z d⎧'=⎪⎪'=⎨⎪''=+⎪⎩又一次作平移变换，方程化为22112233z z b zλλ'++=（2.2.3）讨论简化方程（2.2.3）的系数⑦12,λλ同号令13231212pbqbλλ⎧=⎪'⎪⎨⎪=⎪'⎩,(2.2.3)变成22123(0)22z zz pqp q+=>（2.2.4），为椭圆抛物面的标准方程，所确定的曲面为椭圆抛物面（图6）.特别地，当p q=时，曲面是旋转抛物面（图7）.图6 椭圆抛物面图7旋转抛物面⑧12,λλ异号令13231212pbqbλλ⎧=⎪'⎪⎨⎪=-⎪'⎩,(2.2.3)变成22123(0)22z zz pqp q-=>，为双曲抛物面的标准方程，所确定的曲面为双曲抛物面（图8）. 特别地，当p q=时，表示3z=的平面.图8 双曲抛物面（2）3b'=, 则221122z z dλλ++=A.0d≠⑨12,λλ同号与d异号令122211d ad bλλ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，（2.1.2）变成2212221z za b+=，为椭圆柱面标准方程，确定的曲面为椭圆柱面（图9），特别地，当12λλ=时为圆柱面.图9椭圆柱面⑩12,λλ与d同号令122211d ad bλλ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（2.1.2）变成2212221z za b+=-，为虚椭圆柱面.⑪12,λλ异号令122211d ad bλλ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（2.1.2）变成2212221z za b-=，为双曲柱面标准方程，确定的曲面为双曲柱面（图10）.图10 双曲柱面B.0d=⑫12,λλ同号，则当且仅当12z z==成立，表示一对垂直相交于一条直线的曲面.⑬12,λλ异号令122211d ad bλλ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（2.1.2）变成221222z za b-=，表示一对相交平面的标准方程，确定了两个相交平面, 特别地，当a b=时，12z z=±，表示一对相互垂直的平面.情况二：123,,λλλ有两个为零（不妨设230λλ==），通过配方，将2'''111122330y b y b y b y c λ++++= 改写为221111223311()024b b y b y b y c λλλ''''++++-= （2.3.1）令111122332b z y z y z y λ⎧''=+⎪⎪⎪'=⎨⎪'=⎪⎪⎩作平移变换，2114b d c λ'=-，方程化为21122330z b z b z d λ''''+++= （2.3.2）讨论简化方程（2.3.2）的系数. （1）23,b b ''至少一个不为零⑭令11112222212112232212z z z b b z b b ⎧⎪⎪'=⎪⎪''''⎪=⎨''⎪+⎪''''⎪=⎪''⎪+⎩作旋转变换得222111220z b b z λ''++=，再令221212b b p λ''+=，方程化为2122z pz =±（0p >），为抛物柱面的标准方程，所确定的曲面为抛物柱面（图11）.图11抛物柱面（2）230b b ''==则2110z d λ'+= （2.3.3）⑮1,d λ异号 令21da λ=-，方程（2.3.3）改写成 221z a =，表示一对平行平面 1z a =±.⑯1,d λ同号 令21da λ=，方程（2.3.3）改写成 221z a =-，表示一对虚的平行平面.⑰0d = ，方程变为210z =，表示一对重合平面.3.小 结：任何一个二次方程通过正交变换可以化成五种标准方程之一：(一) 222112233z z z d λλλ++= 1230λλλ≠；(二) 221122330z z b z λλ'++= 1230b λλ'≠；(三) 2211220z z d λλ++= 120λλ≠； (四) 21120z pz λ±= 10p λ≠；(五) 2110z d λ'+= 10λ≠. （i λ为各二次方程的非零特征根）各标准方程对应不同的参数值可得17种类型的曲面，这17种类型曲面可分成3种情况： a) 基本类型：9种 b) 两个平面：3种一条直线：1种 一个点：1种 c) 虚图形：3种参考文献[1]黄廷祝，成孝予，线性代数与空间解析几何，高等教育出版社，2008。