弹丸空气动力学部分- 8弹体的空气动力特征计算
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实验指出：底部负压在很大程度上取决于弹体长度、 相对底截面积和附面层状态，因而在计算底部压强与底部 阻力时可以与摩擦阻力联系起来。为此引入相对于底截面 积Sd的摩阻系数 Cxfd，则
C xfd C xfp
Sf Sd
其中 Cxfp是相对于侧表面积的平板摩阻系数。
8.2 底部阻力
亚音速弹体底部的压强系数的近似表达式为 0.029 C pd C xfd 再用 CxfB来表示相当于弹体最大横截面积的摩阻系数，即 Sf Sf C xfB C xfp C xfd C xfp Sm Sd Sm 则有 C xfd C xfB Sd 底阻系数可以写为 3 0.029 Dd C xd C xfB Dm
8.3 迎角为零时弹体空气动力特征计算
图为具有锥形头部的弹体总阻力系数以及其各分量 随 M∞数的变化情况。 (一) 弹头部波阻系数的计算
1、圆锥形头部
圆锥表面压强系数可 用下列经验公式计算
0.002 1.7 C p 0.0016 ( ) 0 2 M
其中β0为头部半顶角，以度计。
8.2 底部阻力
对于空气k=1.4
C pd max 1.43 2 M
图中曲线表明：实际情况下的底部压强系数和极限值有很 大差别，并且只是后者的一部分。即 C pd kd C pd max 式中kd 为修正系数。 在实验数据的基础上 有以下关系式 Kd=0.6 k1(2-k1)
8.2 底部阻力
8.2 底部阻力
(二) 超音速下弹体的底部阻力
超音速下底阻形成的原因要比亚音速时复杂。它不 仅与外部气流的引射作用有关，而且与尾激波有关。超 音速时，影响底部阻力的主要因素有：Re数、附面层特 性、尾部外形、底都的热状态、有无喷流、马赫数、迎
角，及飞行高度等。下面介绍一些对底阻有重要影响的 实验曲线。
百度文库
8.2 底部阻力
2．尾部外形对Cxd的影响
由图1可见有尾部的弹体会使底部压强系数增加很快，尤 其是紊流附面层情况。但随βt增大，尾锥表面的稀薄度也在 增大。这样就存在对应尾部最小阻力的最佳角。图2表明紊流 附面层和层流附面层的最佳角在7 ～lO度之间，并且紊流附面 层的Cxd在最佳区域的变化很缓慢。
8.2 底部阻力
C xd
0.029 C xfB
Dd D m
3
从上式可以看出，弹体摩阻系数CxfB的增长会引起 底阻系数 Cxd的减小。即 CxfB增大时，在弹体底截面处
的附面层要变厚。变厚的附面层就好象隔板一样，阻碍
着外部高速气流的引射作用，因而在弹体后面的稀薄度 就减小了，底阻系数也就变小了。
当头部为圆锥，其锥面压强系数按虚线所示。当来 流M∞ 数>1时，圆锥形头部产生圆锥激波，气流经激波产 生突跃压缩，然后在锥型流区继续进行等熵压缩。 这 样，在圆锥面上得到的压强系数Cp 为正值并为常数，它 所产生的阻力系数称头部波阻。图中实线为曲母线头部 表面压强系数的变化情况。
8.3 迎角为零时弹体空气动力特征计算
CxfB S f 1.328 Sf 1 2 1/ 3 (2Cxfp ) M 0 M (1 0.03M ) 2 Sm Sm Re L
8.1 摩擦阻力
当ReL >Re* 时，即LB >xt 。说明整个弹体是混合附面层。 弹体摩阻系数CxfB 为
CxfB 0.032 0.032 1.328 2 0.467 2 0.467 2 1/ 3 Sl (1 0.2 M ) (1 0.2 M ) (1 0.03 M ) 0.145 0.145 0.5 Re Re Re L * * Sf Sf Sm
当附面层全部是紊流时，弹体摩阻系数CxfB 为
CxfB Sf 0.032 2 0.467 (1 0.2M ) 0.145 Re L Sm
对于高速旋转的弹丸(尤其是旋转弹丸）的摩阻通常把附 面层全部视为紊流。
8.2 底部阻力
一、弹体底部形成负压的物理原因 (一) 亚音速下弹体的底部阻力 亚音速气流绕流弹丸时，弹
8.3 迎角为零时弹体空气动力特征计算
头部波阻 Xn 为
X n ( p p )Sm
0.002 1.7 Cxn C p 0.0016 ( ) 0 2 M
当圆锥半顶角 β0≤50°时，按此公式计算，误差不大于 5%， 适用于 M∞ ≤7~8。
图为不同长径比 圆锥形头部波阻系数 随 M的变化曲线。
体表面附面层在尾端分离，使尾 部气流分为两部分，外部流速较
高的气流对于底部几乎是滞止的
气体起着掺混和引射的作用．并
把这些气体引射开，因为没有来
自其它方面补充的空气流量，底 部的气流变得稀薄起来，并在底
弹底涡流矢量图
部空间形成一个低压区。
8.2 底部阻力
一、弹体底部形成负压的物理原因 (一) 亚音速下弹体的底部阻力
在圆锥形头部和圆柱部的结合部，气流向外折转产 生膨胀波，压强下降，使圆柱部表面压强系数Cp突降为 负值，然后逐步回升呈曲线形分布。在迎角为零的情况 下，作用在圆柱部上的压强与轴线垂直，不产生阻力。 在圆柱部和弹尾结合部，气流再次产生膨胀波，压强 下降，使弹尾表面压强系数又一次突降为负值。这样在 弹尾部又构成的阻力称为尾部波阻。 在弹底部截面，气流先膨胀后压缩，产生膨胀波和
8.1 摩擦阻力
附面层为紊流状态时，压缩性影响远较层流状态严重。 紊流附面层时压缩性影响的修正公式可按下式进行
Mt
[Cxfp ] [Cxfp ]M 0
2 1/ 2 (1 0.12M )
其中 [Cxfp ]M 0 是紊流附面层未计及压缩性影响的平板摩 阻系数。 上式中的系数值0.12适用于雷诺数 Re 106。随着 Re∞ 数 增大，此系数值有所增加，特别是当Re∞的数量级为108 时，取 0.18能给出更好的近似结果。
有时也采用
2 0.467 Mt (1 0.2M )
8.1 摩擦阻力
在考虑形状修正和压缩性修正后，弹体摩阻系数CxfB 可 Sf 改写为 1 CxfB (2Cxfp ) M 0 M 2 Sm
其中 ηM 可用经验公式求得。
8.1 摩擦阻力
二、关于平板摩擦系数 Cxfp 1.在低速及附面层全部为层流时，摩阻系数 Cxfp为 1.328 (Cxfp ) M 0 Re L 2.在低速及附面层全部为紊流时，摩阻系数 Cxfp按 ReL的 大小分别为
当迎角为零时，由于对称关系，弹体只受到轴向力 (即阻力)，法向力和俯仰力矩均等于零。阻力的一般表 达式可写为 1 2
X 0 Cx 0 V Sm 2 其中C x0为迎角为零时阻力系数。 一、超音速绕流情况下弹体阻力的组成 图示的是典型的超音速绕流弹体的画图。
8.3 迎角为零时弹体空气动力特征计算
5 105 Re L 107 10 Re L 10
7 8 8
(Cxfp ) M 0 (Cxfp ) M 0
0.0742 Re L 0.2
0.455 (log Re L ) 2.58 0.032 Re L 0.145
2 10 Re L 10
10
(Cxfp ) M 0
8.1 摩擦阻力
三、临界雷诺数Re* 1、平板 从层流转捩为紊流的临界雷诺数Re*为 V xt Re* 5 105 2、弹体 临界雷诺数Re*取决于弹体表面粗糙度，弹体表面压 强梯度、以及表面温度、气流紊流度等。一般情况下取
当ReL <Re*时，即 LB<xt。说明整个弹体是层流附面层。 弹体摩阻系数CxfB为
CxfB
Sf 1 (2Cxfp ) 2 Sm
为形状修正系数。显 其中， 然 1 ，它取决于弹体的长 径比 。 和 B 的关 B 系曲线见图。
8.1 摩擦阻力
气流M增大，空气可压缩性对附面层内的流动产生影响。在层 流附面层内，外层气流速度较高, 通过粘性力对内层气流作用 ,致 使内层空气微团温度升高，且沿物面法线的速度分布规律也显著 变化。如图1所示。随着M∞ 增大，附面层厚度也显著增大。在高 速下，附面层内速度分布的改变使法向速度梯度减小。从而使摩 擦应力以及摩擦应力减小。对于层流平板 Cxf Re 与M∞ 的关系如 图2。在M∞ =0时， Cxf Re 下降。 Cxf Re 1.33随M∞ 增大，
图１
图２
8.1 摩擦阻力
实验指出，在层流时，压缩性的修正量是不大的。 当 M∞≤1.5时，甚至可以不予修正。在较大M∞数时，层
流附面层压缩性影响的修正可按下式进行
Ml
[Cxfp ] [Cxfp ]M 0
2 1/ 3 (1 0.03M )
其中 [Cxfp ]M 0 是层流附面层未计及压缩性影响的平板 摩阻系数。
弹体的空气动力计算
8.1 摩擦阻力
一、摩擦阻力
弹体表面摩擦阻力的计算,严格讲须考虑雷诺数、附 面层特性、弹体的几何形状、表面状况、马赫数、以及 气流与弹体表面间的热交换。
但实际情况要同时考虑这些因素的影响是不可能的， 且由于对轴对称物体的附面层理论研究还不充分，为此 目前摩擦阻力系数时，基本上还是利用平面物体，特别 是利用平板的研究结果。把弹体展成一“相等平板”来 处理。
8.2 底部阻力
1．Re数、附面层特性对Cxd的影响
对不同形状的弹丸，Re 数对底部压强系数的影响有不同的 结果。如以层流绕流而言，1号模型在研究的Re数范围内底压系 数大约变化了60% ，而2、3、 4号模型约变化一倍左右，如图（a） 所示。对于比较短粗的模型其压强系数的变化范围没有细长模型 那样大，并且是在小 Re数时达最小值，然后逐渐增大。在紊流 附面层中 Re数对Cxd的影响不太大，见图 （b） 。
尾激波。然后向后方流去。由于气流在弹底部会发生分 离，从而产生一个低压区，形成底部阻力。
8.3 迎角为零时弹体空气动力特征计算
因此超音速下迎角为零的弹体阻力系数可写为
Cx0= Cxn +Cxt + Cxd + Cxf
式中 Cxn为头部波阻系数，Cxt为尾部波阻系数；Cxd为底部
阻力系数；Cxf为弹体摩阻系数。
是弹体侧表面积。 弹体所受的摩擦力XfB 与弹体摩阻系数CxfB 之间按定义
有关系式 其中 Sm
X fB 1 V2 Sm CxfB 2
4
2 Dm 是弹体最大截面积。
两者应相等
CxfB Cxfp
Sf 1 (2Cxfp ) Sm 2 Sm
Sf
8.1 摩擦阻力
考虑到由于弹体前部存在负的压强梯度，它使附面层变 薄了。在较薄的附面层中空气速度沿法向由零变为V∞ ，梯 度 增大，因此摩擦应力比平板要大。为此，对弹体的 摩阻系数计算作一形状修正。
其中 k1
当k1<1 时，
M
e
，而 e
B 称有效长径比。 Sd
0.85k1 (2 k1 ) Cxd Sd 2 M
Cxd 0.85 Sd 2 M
当k1>1 时，
上述公式仅适用于底部没有喷气的情况，如底部有 喷气时，上述公式需加以修正。
8.3 迎角为零时弹体空气动力特征计算
所谓“相当平板”是这样一块平板，它的单面面积等 于弹体实际受摩擦表面积Sf ，其长度等于弹长LB， 转捩点的位置xt与原弹体转捩点的位置相同。
8.1 摩擦阻力
“相当平板”所受的摩擦力Xfp 为 1 2 X fp V S f Cxfp 2 其中 Cxfp 是按照弹长LB为特征长度计算的Re数来算得的，Sf
图1
图2
8.2 底部阻力
3. 热传导对Cxd的影响 当弹体向附面层传热的强度加大，伴随有底部阻 力的减小。在同一情况下，假若弹体由外部气流加热， 则Cxd增大。 二、弹体底部阻力的工程计算
1.估算底阻的近似公式
对于底部压强的极限情况即静压强为零的时侯，此 时压强系数为
C pd max pd p 2 2 1 1 kM 2 2 V kM p 2 2
C xfd C xfp
Sf Sd
其中 Cxfp是相对于侧表面积的平板摩阻系数。
8.2 底部阻力
亚音速弹体底部的压强系数的近似表达式为 0.029 C pd C xfd 再用 CxfB来表示相当于弹体最大横截面积的摩阻系数，即 Sf Sf C xfB C xfp C xfd C xfp Sm Sd Sm 则有 C xfd C xfB Sd 底阻系数可以写为 3 0.029 Dd C xd C xfB Dm
8.3 迎角为零时弹体空气动力特征计算
图为具有锥形头部的弹体总阻力系数以及其各分量 随 M∞数的变化情况。 (一) 弹头部波阻系数的计算
1、圆锥形头部
圆锥表面压强系数可 用下列经验公式计算
0.002 1.7 C p 0.0016 ( ) 0 2 M
其中β0为头部半顶角，以度计。
8.2 底部阻力
对于空气k=1.4
C pd max 1.43 2 M
图中曲线表明：实际情况下的底部压强系数和极限值有很 大差别，并且只是后者的一部分。即 C pd kd C pd max 式中kd 为修正系数。 在实验数据的基础上 有以下关系式 Kd=0.6 k1(2-k1)
8.2 底部阻力
8.2 底部阻力
(二) 超音速下弹体的底部阻力
超音速下底阻形成的原因要比亚音速时复杂。它不 仅与外部气流的引射作用有关，而且与尾激波有关。超 音速时，影响底部阻力的主要因素有：Re数、附面层特 性、尾部外形、底都的热状态、有无喷流、马赫数、迎
角，及飞行高度等。下面介绍一些对底阻有重要影响的 实验曲线。
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8.2 底部阻力
2．尾部外形对Cxd的影响
由图1可见有尾部的弹体会使底部压强系数增加很快，尤 其是紊流附面层情况。但随βt增大，尾锥表面的稀薄度也在 增大。这样就存在对应尾部最小阻力的最佳角。图2表明紊流 附面层和层流附面层的最佳角在7 ～lO度之间，并且紊流附面 层的Cxd在最佳区域的变化很缓慢。
8.2 底部阻力
C xd
0.029 C xfB
Dd D m
3
从上式可以看出，弹体摩阻系数CxfB的增长会引起 底阻系数 Cxd的减小。即 CxfB增大时，在弹体底截面处
的附面层要变厚。变厚的附面层就好象隔板一样，阻碍
着外部高速气流的引射作用，因而在弹体后面的稀薄度 就减小了，底阻系数也就变小了。
当头部为圆锥，其锥面压强系数按虚线所示。当来 流M∞ 数>1时，圆锥形头部产生圆锥激波，气流经激波产 生突跃压缩，然后在锥型流区继续进行等熵压缩。 这 样，在圆锥面上得到的压强系数Cp 为正值并为常数，它 所产生的阻力系数称头部波阻。图中实线为曲母线头部 表面压强系数的变化情况。
8.3 迎角为零时弹体空气动力特征计算
CxfB S f 1.328 Sf 1 2 1/ 3 (2Cxfp ) M 0 M (1 0.03M ) 2 Sm Sm Re L
8.1 摩擦阻力
当ReL >Re* 时，即LB >xt 。说明整个弹体是混合附面层。 弹体摩阻系数CxfB 为
CxfB 0.032 0.032 1.328 2 0.467 2 0.467 2 1/ 3 Sl (1 0.2 M ) (1 0.2 M ) (1 0.03 M ) 0.145 0.145 0.5 Re Re Re L * * Sf Sf Sm
当附面层全部是紊流时，弹体摩阻系数CxfB 为
CxfB Sf 0.032 2 0.467 (1 0.2M ) 0.145 Re L Sm
对于高速旋转的弹丸(尤其是旋转弹丸）的摩阻通常把附 面层全部视为紊流。
8.2 底部阻力
一、弹体底部形成负压的物理原因 (一) 亚音速下弹体的底部阻力 亚音速气流绕流弹丸时，弹
8.3 迎角为零时弹体空气动力特征计算
头部波阻 Xn 为
X n ( p p )Sm
0.002 1.7 Cxn C p 0.0016 ( ) 0 2 M
当圆锥半顶角 β0≤50°时，按此公式计算，误差不大于 5%， 适用于 M∞ ≤7~8。
图为不同长径比 圆锥形头部波阻系数 随 M的变化曲线。
体表面附面层在尾端分离，使尾 部气流分为两部分，外部流速较
高的气流对于底部几乎是滞止的
气体起着掺混和引射的作用．并
把这些气体引射开，因为没有来
自其它方面补充的空气流量，底 部的气流变得稀薄起来，并在底
弹底涡流矢量图
部空间形成一个低压区。
8.2 底部阻力
一、弹体底部形成负压的物理原因 (一) 亚音速下弹体的底部阻力
在圆锥形头部和圆柱部的结合部，气流向外折转产 生膨胀波，压强下降，使圆柱部表面压强系数Cp突降为 负值，然后逐步回升呈曲线形分布。在迎角为零的情况 下，作用在圆柱部上的压强与轴线垂直，不产生阻力。 在圆柱部和弹尾结合部，气流再次产生膨胀波，压强 下降，使弹尾表面压强系数又一次突降为负值。这样在 弹尾部又构成的阻力称为尾部波阻。 在弹底部截面，气流先膨胀后压缩，产生膨胀波和
8.1 摩擦阻力
附面层为紊流状态时，压缩性影响远较层流状态严重。 紊流附面层时压缩性影响的修正公式可按下式进行
Mt
[Cxfp ] [Cxfp ]M 0
2 1/ 2 (1 0.12M )
其中 [Cxfp ]M 0 是紊流附面层未计及压缩性影响的平板摩 阻系数。 上式中的系数值0.12适用于雷诺数 Re 106。随着 Re∞ 数 增大，此系数值有所增加，特别是当Re∞的数量级为108 时，取 0.18能给出更好的近似结果。
有时也采用
2 0.467 Mt (1 0.2M )
8.1 摩擦阻力
在考虑形状修正和压缩性修正后，弹体摩阻系数CxfB 可 Sf 改写为 1 CxfB (2Cxfp ) M 0 M 2 Sm
其中 ηM 可用经验公式求得。
8.1 摩擦阻力
二、关于平板摩擦系数 Cxfp 1.在低速及附面层全部为层流时，摩阻系数 Cxfp为 1.328 (Cxfp ) M 0 Re L 2.在低速及附面层全部为紊流时，摩阻系数 Cxfp按 ReL的 大小分别为
当迎角为零时，由于对称关系，弹体只受到轴向力 (即阻力)，法向力和俯仰力矩均等于零。阻力的一般表 达式可写为 1 2
X 0 Cx 0 V Sm 2 其中C x0为迎角为零时阻力系数。 一、超音速绕流情况下弹体阻力的组成 图示的是典型的超音速绕流弹体的画图。
8.3 迎角为零时弹体空气动力特征计算
5 105 Re L 107 10 Re L 10
7 8 8
(Cxfp ) M 0 (Cxfp ) M 0
0.0742 Re L 0.2
0.455 (log Re L ) 2.58 0.032 Re L 0.145
2 10 Re L 10
10
(Cxfp ) M 0
8.1 摩擦阻力
三、临界雷诺数Re* 1、平板 从层流转捩为紊流的临界雷诺数Re*为 V xt Re* 5 105 2、弹体 临界雷诺数Re*取决于弹体表面粗糙度，弹体表面压 强梯度、以及表面温度、气流紊流度等。一般情况下取
当ReL <Re*时，即 LB<xt。说明整个弹体是层流附面层。 弹体摩阻系数CxfB为
CxfB
Sf 1 (2Cxfp ) 2 Sm
为形状修正系数。显 其中， 然 1 ，它取决于弹体的长 径比 。 和 B 的关 B 系曲线见图。
8.1 摩擦阻力
气流M增大，空气可压缩性对附面层内的流动产生影响。在层 流附面层内，外层气流速度较高, 通过粘性力对内层气流作用 ,致 使内层空气微团温度升高，且沿物面法线的速度分布规律也显著 变化。如图1所示。随着M∞ 增大，附面层厚度也显著增大。在高 速下，附面层内速度分布的改变使法向速度梯度减小。从而使摩 擦应力以及摩擦应力减小。对于层流平板 Cxf Re 与M∞ 的关系如 图2。在M∞ =0时， Cxf Re 下降。 Cxf Re 1.33随M∞ 增大，
图１
图２
8.1 摩擦阻力
实验指出，在层流时，压缩性的修正量是不大的。 当 M∞≤1.5时，甚至可以不予修正。在较大M∞数时，层
流附面层压缩性影响的修正可按下式进行
Ml
[Cxfp ] [Cxfp ]M 0
2 1/ 3 (1 0.03M )
其中 [Cxfp ]M 0 是层流附面层未计及压缩性影响的平板 摩阻系数。
弹体的空气动力计算
8.1 摩擦阻力
一、摩擦阻力
弹体表面摩擦阻力的计算,严格讲须考虑雷诺数、附 面层特性、弹体的几何形状、表面状况、马赫数、以及 气流与弹体表面间的热交换。
但实际情况要同时考虑这些因素的影响是不可能的， 且由于对轴对称物体的附面层理论研究还不充分，为此 目前摩擦阻力系数时，基本上还是利用平面物体，特别 是利用平板的研究结果。把弹体展成一“相等平板”来 处理。
8.2 底部阻力
1．Re数、附面层特性对Cxd的影响
对不同形状的弹丸，Re 数对底部压强系数的影响有不同的 结果。如以层流绕流而言，1号模型在研究的Re数范围内底压系 数大约变化了60% ，而2、3、 4号模型约变化一倍左右，如图（a） 所示。对于比较短粗的模型其压强系数的变化范围没有细长模型 那样大，并且是在小 Re数时达最小值，然后逐渐增大。在紊流 附面层中 Re数对Cxd的影响不太大，见图 （b） 。
尾激波。然后向后方流去。由于气流在弹底部会发生分 离，从而产生一个低压区，形成底部阻力。
8.3 迎角为零时弹体空气动力特征计算
因此超音速下迎角为零的弹体阻力系数可写为
Cx0= Cxn +Cxt + Cxd + Cxf
式中 Cxn为头部波阻系数，Cxt为尾部波阻系数；Cxd为底部
阻力系数；Cxf为弹体摩阻系数。
是弹体侧表面积。 弹体所受的摩擦力XfB 与弹体摩阻系数CxfB 之间按定义
有关系式 其中 Sm
X fB 1 V2 Sm CxfB 2
4
2 Dm 是弹体最大截面积。
两者应相等
CxfB Cxfp
Sf 1 (2Cxfp ) Sm 2 Sm
Sf
8.1 摩擦阻力
考虑到由于弹体前部存在负的压强梯度，它使附面层变 薄了。在较薄的附面层中空气速度沿法向由零变为V∞ ，梯 度 增大，因此摩擦应力比平板要大。为此，对弹体的 摩阻系数计算作一形状修正。
其中 k1
当k1<1 时，
M
e
，而 e
B 称有效长径比。 Sd
0.85k1 (2 k1 ) Cxd Sd 2 M
Cxd 0.85 Sd 2 M
当k1>1 时，
上述公式仅适用于底部没有喷气的情况，如底部有 喷气时，上述公式需加以修正。
8.3 迎角为零时弹体空气动力特征计算
所谓“相当平板”是这样一块平板，它的单面面积等 于弹体实际受摩擦表面积Sf ，其长度等于弹长LB， 转捩点的位置xt与原弹体转捩点的位置相同。
8.1 摩擦阻力
“相当平板”所受的摩擦力Xfp 为 1 2 X fp V S f Cxfp 2 其中 Cxfp 是按照弹长LB为特征长度计算的Re数来算得的，Sf
图1
图2
8.2 底部阻力
3. 热传导对Cxd的影响 当弹体向附面层传热的强度加大，伴随有底部阻 力的减小。在同一情况下，假若弹体由外部气流加热， 则Cxd增大。 二、弹体底部阻力的工程计算
1.估算底阻的近似公式
对于底部压强的极限情况即静压强为零的时侯，此 时压强系数为
C pd max pd p 2 2 1 1 kM 2 2 V kM p 2 2