高二数学寒假作业 专题18 复数(学)

专题18 复数

学一学------基础知识结论

1. 复数的概念

(1) 虚数单位i: i2＝－1；i 和实数在一起，服从实数的运算律．

(2) 代数形式：a ＋bi(a ，b ∈R)，其中a 叫实部，b 叫虚部．

2. 复数的分类

复数z ＝a ＋bi(a 、b ∈R)中，z 是实数a ∈R ，b ＝0，z 是虚数b ≠0，z 是纯虚数a ＝0，b ≠0.

3. 共轭复数

a ＋bi 与a －bi(a ，

b ∈R)互为共轭复数．

4. 复数相等的条件

a ＋bi ＝c ＋di(a 、

b 、

c 、

d ∈R)，则a ＝c 且b ＝d.

特殊的，a ＋bi ＝0(a 、b ∈R)，则a ＝0且b ＝0.

5. 复数的模

设复数z ＝a ＋bi(a ，b ∈R)，z 在复平面内对应点为Z ，则OZ →的长度叫做复数z 的模(或绝对值)，即|z|＝|OZ

→|＝22a b +.

6. 运算法则

z1＝a ＋bi ，z2＝c ＋di ，(a 、b 、c 、d ∈R)． (1)i i n =+14、124-=+n i 、i i n -=+34、14=n i

(2)复数的加减（类比合并同类项）i d b c a di c bi a )()()()(±+±=+±+

(3)复数的相乘（类比整式乘法）i bc ab bd ac di c bi a )()()()(++-=+⋅+

(4)复数的相除（类比分母有理化）

i d c ad bc d c bd ac di c di c di c bi a di c bi a 2222))(())((+-+++=-+-+=++ 7.复数的乘法的运算律：对于任何

123,,z z z C ∈，有 交换律:1221z z z z ⋅=⋅；结合律:123123()()z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅；分配律:1231213()z z z z z z z ⋅+=⋅+⋅ .

8.复平面上的两点间的距离公式

22

122121||()()d z z x x y y =-=-+-（111z x y i =+，222z x y i =+）. 9.复平面向量的垂直

非零复数1z a bi =+，2z c di =+对应的向量分别是1OZ ，2OZ ，则

12OZ OZ ⊥⇔12z z ⋅的实部为零⇔2

1z z 为纯虚数⇔2221212||||||z z z z +=+

⇔2221212||||||z z z z -=+⇔1212||||z z z z +=-⇔0ac bd +=⇔12z iz λ= (λ为非零实数).

10.实系数一元二次方程的解 ：实系数一元二次方程2

0ax bx c ++=：

①若240b ac ∆=->,则21,242b b ac x a -±-=；②若240b ac ∆=-=,则

122b x x a ==-; ③若

240b ac ∆=-<，它在实数集R 内没有实数根；在复数集C 内有且仅有两个共轭复数根22(4)(40)2b b ac i x b ac a -±--=-<.

11．注意点

(1)复数的确定可以多考虑用待定系数法。先设bi a z +=（a 、R b ∈）再根据题意及复数有关知识列出关于a 、b 的方程。解方程得a 、b ，从而可以确定复数bi a z +=．

(2)数的概念扩展为复数后，实数集中一些运算性质、概念、关系不一定适用了，如不等式的性质，绝对值的定义，偶次方非负等． （3）两个实数可以比较大小，但两个复数，如果不全是实数，就不能比较它们的大小，两个复数的模可以比较大小.

学一学------方法规律技巧

1．复数的分类

复数是高中学生学习的最大数集范围，它包括实数和虚数这两大类，这是初学者所难搞清的，因为高中数学很多问题都是在实数范围内所完成的．解题时一定要注意纯虚数的条件：一个复数的实部为零且虚部不为零．

例1若复数z ＝lg(m2－2m －3)＋i ·lg(m2＋3m －3)为实数，求实数m 的值．

【答案】m ＝－4

【解析】解：z ＝a ＋bi ∈R 的充要条件是b ＝0，前提必须是a ，b ∈R ，因此必须先保证a ，b 有意义．由

条件知，⎩⎪⎨⎪⎧

m2＋3m －3＝1m2－2m －3>0

，∴m ＝－4. 例2、若复数2(32)(1)a a a i -++-是纯虚数，则实数a 的值为（ ） A .1 B .2 C .1或2 D .1

-

2. 复数代数形式的运算

复数与实数类似，它也有加、减、乘、除、乘方等运算，其中一定要注意两点：一是i 的平方等于-1，这是学生在复数部分最易出现的错误;二是复数与它的共轭复数的关系要搞清．

例3如果复数2－bi 3＋i

(b ∈R)的实部与虚部互为相反数，则b

＝________.

例4已知复数z ＝1＋i ，则2z

－z ＝________.

3．复数的几何意义 复数是由实部和虚部构成的，这就决定了复数与向量有着极其想似的性质：比如说复数有模或绝对值，复数也可以放在一个坐标（称之为复平面）内对应于一个点．

例5已知复数z1＝2－i ，z2＝a ＋(1－a2)i 在复平面内的对应点分别为P1、P2，向量P2P1→对应的复数为－3

＋i ，求实数a 的值．

例6若a 、b ∈R ，则复数(a2＋6a ＋10)＋(－b2－4b －5)i 对应的点在第几象限？

【答案】第四象限

【解析】a2＋6a ＋10＝(a ＋3)2＋1>0，－b2－4b －5＝－(b ＋2)2－1<0.

所以复数所对应的点在第四象限．