高二数学寒假作业 专题18 复数(学)
高二数学复数试题答案及解析
高二数学复数试题答案及解析1.已知复数，（，是虚数单位）．（1）若复数在复平面上对应点落在第一象限，求实数的取值范围；（2）若虚数是实系数一元二次方程的根，求实数值．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）先算出，再根据在复平面上对应的点落在第一象限，可得不等式组，从中求解即可得出的取值范围；（2）根据实系数的一元二次方程有一复数根时，则该方程的另一个根必为，且，从而可先求解出的值，进而求出的值.（1）由条件得 2分因为在复平面上对应点落在第一象限，故有 4分∴解得 6分（2）因为虚数是实系数一元二次方程的根，所以也是该方程的一个根根据二次方程根与系数的关系可得，即 10分把代入，则， 11分所以 14分.【考点】1.复数的几何意义；2.实系数的一元二次方程在复数范围内根与系数的关系；3.复数的运算.2.已知复数Z=，则Z在复平面上对应的点在A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【解析】，其对应的点落在第四象限。
故选D。
【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．点评：本题主要考查两个复数代数形式的除法，虚数单位i的幂运算性质，利用了两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，属于基础题．3.设是虚数，是实数，且，则的实部取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据题意，由于是虚数，是实数，且，=0,则可知b=0,=,则可知其实部取值范围,故答案为B【考点】复数的计算点评：主要是考查了复数的计算的运用，属于基础题。
4.若复数是纯虚数（是虚数单位，为实数），则A．2B．C．D．【答案】A【解析】，复数为纯虚数，则，解得：。
故选A。
【考点】复数的概念点评：在复数中，当时，复数为实数；当时，复数为虚数；当时，复数为纯虚数。
5.若复数是纯虚数（是虚数单位），则的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据题意，由于复数是纯虚数，则可知 (2+ai)(1+i)=，那么可知2-a=0,故可知a=2，答案为D.【考点】复数的概念点评：主要是考查了复数的计算以及概念的运用，属于基础题。
高二数学寒假作业 专题18 复数(练)(含解析)
专题18 复数
【练一练】
一．选择题
1．已知i是虚数单位，则（﹣1+i）（2﹣i）=（）
A．﹣3+i B．﹣1+3i C．﹣3+3i D．﹣1+i
【答案】B
【解析】
试题分析：（﹣1+i）（2﹣i）=﹣2+i+2i+1=﹣1+3i，
2. 设a是实数，且是实数，则a=（）
A．B．1 C．D．2
3. 在复平面内，复数（i为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
4. 复数=（）
A．2﹣i B．1﹣2i C．﹣2+i D．﹣1+2i
【答案】C
【解析】
试题分析：=﹣2+i
5. 设i是虚数单位，是复数z的共轭复数，若，则z=（）
A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i
【答案】A
二、填空题
6. 复数3＋2i
2－3i ＝
________.
7. 已知x ，y ∈R ，i 是虚数单位，且(x －1)i －y ＝2＋i ，则(1＋i)x －y ＝________.
【答案】－4
【解析】
试题分析：由(x －1)i －y ＝2＋i 得x ＝2、y ＝－2，所以(1＋i)x －y ＝(1＋i)4＝(2i)2＝－4.
三．解答题
8. 若虚数z 同时满足下列两个条件：①5
z z 是实数；②z+3的实部与虚部互为相反数. 这样的虚数是否存在？若存在，求出z;若不存在，请说明理由
.。
高二数学复数试题答案及解析
高二数学复数试题答案及解析1.已知复数，（，是虚数单位）．（1）若复数在复平面上对应点落在第一象限，求实数的取值范围；（2）若虚数是实系数一元二次方程的根，求实数值．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）先算出，再根据在复平面上对应的点落在第一象限，可得不等式组，从中求解即可得出的取值范围；（2）根据实系数的一元二次方程有一复数根时，则该方程的另一个根必为，且，从而可先求解出的值，进而求出的值.（1）由条件得 2分因为在复平面上对应点落在第一象限，故有 4分∴解得 6分（2）因为虚数是实系数一元二次方程的根，所以也是该方程的一个根根据二次方程根与系数的关系可得，即 10分把代入，则， 11分所以 14分.【考点】1.复数的几何意义；2.实系数的一元二次方程在复数范围内根与系数的关系；3.复数的运算.2.已知复数(),是实数，是虚数单位.（1）求复数z；（2）若复数所表示的点在第一象限，求实数m的取值范围.【答案】（1）．(2) 时，复数所表示的点在第一象限．【解析】（1）．又是实数，,，即．(2) ，，,又复数所表示的点在第一象限，解得，即时，复数所表示的点在第一象限．【考点】复数的相等，复数的代数运算，复数的几何意义。
点评：中档题，复数的除法，通过分子分母同乘分母的共轭复数，实现“分母实数化”。
3.设为实数，复数【答案】1+3i【解析】根据题意，由于设为实数，复数（1-2i）(-1+i)=1+3i，故可知答案为1+3i.【考点】复数的运算点评：主要是考查了复数的运算，属于基础题。
4.在复平面内，复数＋(1＋)2对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】A【解析】根据题意，由于复平面内，复数＋(1＋)2=，故可知实部虚部为正数，故可知对应的点在第一象限，故答案为A.【考点】复数的运算点评：主要是考查了复数的运算，属于基础题5.复数的值是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】==，故选A。
数学选修2-2分层作业18 复数的乘法 复数的除法 含解析
课时分层作业(十八)(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．i 为虚数单位，⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2＝( ) A ．－1B ．1C ．－iD ．i[解析] ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－i 1＋i 2＝(1－i )2(1＋i )2＝－2i 2i ＝－1． [答案] A2．如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是( )A ．AB ．BC ．CD ．D[解析] 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，且a <0，b >0，则z 的共轭复数为a －b i ，其中a <0，－b <0，故应为B 点．[答案] B3．复数z ＝32－a i ，a ∈R ，且z 2＝12－32i ，则a 的值为( )A ．1B ．2 C.12 D.14[解析] 由z ＝32－a i ，a ∈R ，得z 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322－2×32×a i ＋(a i)2＝34－a 2－3a i ，因为z 2＝12－32i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 34－a 2＝12，－3a ＝－32，解得a ＝12. [答案] C4．已知复数z ＝3＋i (1－3i )2，z 是z 的共轭复数，则z ·z 等于( ) A.14B.12 C ．1D ．2 [解析] ∵z ＝3＋i (1－3i )2＝－3i 2＋i (1－3i )2＝i (1－3i )(1－3i )2 ＝i1－3i ＝i (1＋3i )4＝－34＋i 4， ∴z ＝－34－i 4，∴z ·z ＝14. [答案] A5．已知复数z ＝2－i ，则z ·z 的值为( )A ．5B. 5 C ．3 D. 3[解析] z ·z ＝(2－i)(2＋i)＝22－i 2＝4＋1＝5，故选A.[答案] A二、填空题6．复数(1＋2i )23－4i的值是________ . [解析] (1＋2i )23－4i ＝－3＋4i3－4i ＝－1．[答案] －17．设复数z 1＝1＋i ，z 2＝x ＋2i(x ∈R )，若z 1z 2∈R ，则x 等于________．[解析] ∵z 1＝1＋i ，z 2＝x ＋2i(x ∈R )，∴z 1z 2＝(1＋i)(x ＋2i)＝(x －2)＋(x ＋2)i.∵z 1z 2∈R ，∴x ＋2＝0，即x ＝－2.[答案] －28．已知a ＋2i i ＝b ＋i(a ，b ∈R )，其中i 为虚数单位，则a ＋b ＝__________.[解析] ∵a ＋2i i ＝b ＋i ，∴a ＋2i ＝(b ＋i)i ＝－1＋b i ，∴a ＝－1，b ＝2，∴a ＋b ＝1．[答案] 1三、解答题9．计算：(1)(1－i)(－1＋i)＋(－1＋i)；(2)(1＋i)⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32i ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32i . [解] (1)原式＝－1＋i ＋i －i 2－1＋i ＝－1＋3i.(2)原式＝(1＋i)⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋34＝1＋i. 10．已知复数z 满足z ＝(－1＋3i)(1－i)－4.(1)求复数z 的共轭复数；(2)若w ＝z ＋a i ，且复数w 对应向量的模不大于复数z 所对应向量的模，求实数a 的取值范围．[解] (1)z ＝－1＋i ＋3i ＋3－4＝－2＋4i ，所以复数z 的共轭复数为－2－4i.(2)w ＝－2＋(4＋a )i ，复数w 对应向量为(－2,4＋a )，其模为4＋(4＋a )2＝20＋8a ＋a 2.又复数z 所对应向量为(－2,4)，其模为2 5.由复数w 对应向量的模不大于复数z 所对应向量的模，得20＋8a ＋a 2≤20，a 2＋8a ≤0，a (a ＋8)≤0，所以实数a 的取值范围是－8≤a ≤0.[能力提升练]1．设z 1，z 2是复数，则下列命题中的假．命题是( ) A ．若|z 1－z 2|＝0，则z 1＝z 2B ．若z 1＝z 2，则z 1＝z 2C ．若|z 1|＝|z 2|，则z 1·z 1＝z 2·z 2D ．若|z 1|＝|z 2|，则z 21＝z 22[解析] A ，|z 1－z 2|＝0⇒z 1－z 2＝0⇒z 1＝z 2⇒z 1＝z 2，真命题；B ，z 1＝z 2⇒z 1＝z 2＝z 2，真命题；C ，|z 1|＝|z 2|⇒|z 1|2＝|z 2|2⇒z 1·z 1＝z 2·z 2，真命题；D ，当|z 1|＝|z 2|时，可取z 1＝1，z 2＝i ，显然z 21＝1，z 22＝－1，即z 21≠z 22，假命题．[答案] D2．已知3－3i ＝z ·(－23i)，那么复数z 在复平面内对应的点应位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[解析] ∵3－3i ＝z ·(－23i)，∴z ＝3－3i －23i ＝(3－3i )(23i )(－23i )(23i )＝6＋63i 12＝12＋32i. ∴其对应点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，在第一象限． [答案] A 3．若复数z ＝7＋a i 2－i 的实部为3，则z 的虚部为________________．[解析]z＝7＋a i2－i＝(7＋a i)(2＋i)(2－i)(2＋i)＝(14－a)＋(7＋2a)i5＝14－a5＋7＋2a5i.由题意知14－a5＝3，∴a＝－1，∴z＝3＋i.∴z的虚部为1．[答案] 14．已知z为复数，z－1i为实数，z1－i为纯虚数，求复数z. [解]设z＝a＋b i(a，b∈R)，则z－1i＝a－1＋b ii＝(a－1＋b i)·(－i)＝b－(a－1)i.因为z－1i为实数，所以a－1＝0，即a＝1．又因为z1－i＝(a＋b i)(1＋i)(1－i)(1＋i)＝(a－b)＋(a＋b)i2为纯虚数，所以a－b＝0，且a＋b≠0，所以b＝1．故复数z＝1＋i.。
高二数学复数练习题及答案
高二数学复数练习题及答案复数是数学中的一个重要概念，它在数学和物理等领域中有着广泛的应用。
在高二数学中，复数也是一项重要的学习内容，通过掌握复数的性质和运算规则，可以解决各种与实数无法解决的问题。
本文将为同学们提供一些高二数学复数练习题及其答案，帮助巩固复数的知识。
练习题一：1. 计算并写出结果的精确值：(3+2i)+(1-4i)2. 求复数的共轭数：(4+3i)的共轭数是多少？3. 计算并写出结果的精确值：(2-5i)(1+3i)4. 求复数的模：计算|(4-1i)|的值。
5. 求复数的幅角：计算辐角arg(2i)的值。
练习题二：1. 计算并写出结果的精确值：(1+i)^2的值是多少？2. 计算并写出结果的精确值：(1+i)^4的值是多少？3. 计算并写出结果的精确值：(1+i)^5的值是多少？4. 求复数的幂：计算(2+3i)^3的值。
5. 求复数的根：计算方程x^4+1=0的全部根。
练习题三：1. 求函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + x + 1的图像与坐标轴的交点。
2. 求函数f(x) = (x+1)^2 - 4的图像与坐标轴的交点。
3. 求函数f(x) = x^2 - 3x + 2的图像与坐标轴的交点。
4. 求函数f(x) = 3x^2 + 2x - 1的最小值。
5. 求函数f(x) = -2x^2 + 4x - 3的最大值。
答案及解析：练习题一：1. (3+2i)+(1-4i) = 3+2i+1-4i = 4-2i2. (4+3i)的共轭数为4-3i3. (2-5i)(1+3i) = 2+6i-5i-15i^2 = 2+6i-5i+15 = 17+i4. |(4-1i)| = √(4^2 + (-1)^2) = √175. 辐角arg(2i)的值为π/2练习题二：1. (1+i)^2 = 1^2 + 2i + i^2 = 1+2i-1 = 2i2. (1+i)^4 = (1^2 + 2i + i^2)^2 = (1+2i-1)^2 = (2i)^2 = -43. (1+i)^5 = (1+i)(1+2i-1)^2 = (1+i)(2i)^2 = (1+i)(-4) = -4-4i4. (2+3i)^3 = (2^2+2*2*3i+(3i)^2)(2+3i) = (4-9+12i)(2+3i) = (-5+12i)(2+3i) = (-34+1i)5. 方程x^4+1=0的全部根为±i，±i^3练习题三：1. 函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + x + 1的图像与坐标轴的交点为：x轴上的交点：令f(x) = 0，得到2x^3 - 3x^2 + x + 1 = 0的解；y轴上的交点：x = 0时，y = f(0) = 1，所以与y轴的交点为(0, 1)2. 函数f(x) = (x+1)^2 - 4的图像与坐标轴的交点为：x轴上的交点：令f(x) = 0，得到(x+1)^2 - 4 = 0的解；y轴上的交点：x = 0时，y = f(0) = -3，所以与y轴的交点为(0, -3)3. 函数f(x) = x^2 - 3x + 2的图像与坐标轴的交点为：x轴上的交点：令f(x) = 0，得到x^2 - 3x + 2 = 0的解；y轴上的交点：x = 0时，y = f(0) = 2，所以与y轴的交点为(0, 2)4. 函数f(x) = 3x^2 + 2x - 1的最小值为函数的顶点坐标的y值，顶点的横坐标为 x = -b/2a = -2/(2*3) = -1/3；将x = -1/3代入函数中，得到f(-1/3) = 3*(-1/3)^2 + 2*(-1/3) - 1 = -8/9，所以最小值为-8/9。
高二数学寒假作业专题18复数学
专题18 复数学一学------基础知识结论1. 复数的概念(1) 虚数单位i: i2＝－1；i 和实数在一起，服从实数的运算律．(2) 代数形式：a ＋bi(a ，b ∈R)，其中a 叫实部，b 叫虚部．2. 复数的分类复数z ＝a ＋bi(a 、b ∈R)中，z 是实数a ∈R ，b ＝0，z 是虚数b ≠0，z 是纯虚数a ＝0，b ≠0.3. 共轭复数a ＋bi 与a －bi(a ，b ∈R)互为共轭复数．4. 复数相等的条件a ＋bi ＝c ＋di(a 、b 、c 、d ∈R)，则a ＝c 且b ＝d.特殊的，a ＋bi ＝0(a 、b ∈R)，则a ＝0且b ＝0.5. 复数的模设复数z ＝a ＋bi(a ，b ∈R)，z 在复平面内对应点为Z ，则OZ→的长度叫做复数z 的模(或绝对值)，即|z|＝|OZ→|＝22a b +. 6. 运算法则z1＝a ＋bi ，z2＝c ＋di ，(a 、b 、c 、d ∈R)． (1)i i n =+14、124-=+n i 、i i n -=+34、14=n i(2)复数的加减（类比合并同类项）i d b c a di c bi a )()()()(±+±=+±+(3)复数的相乘（类比整式乘法）i bc ab bd ac di c bi a )()()()(++-=+⋅+(4)复数的相除（类比分母有理化）i d c ad bc d c bd ac di c di c di c bi a di c bi a 2222))(())((+-+++=-+-+=++7.复数的乘法的运算律：对于任何123,,z z z C ∈，有交换律:1221z z z z ⋅=⋅；结合律:123123()()z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅；分配律:1231213()z z z z z z z ⋅+=⋅+⋅ .8.复平面上的两点间的距离公式22122121||()()d z z x x y y =-=-+-（111z x y i =+，222z x y i =+）.9.复平面向量的垂直非零复数1z a bi =+，2z c di =+对应的向量分别是1OZ ，2OZ ，则12OZ OZ ⊥⇔12z z ⋅的实部为零⇔21z z 为纯虚数⇔2221212||||||z z z z +=+⇔2221212||||||z z z z -=+⇔1212||||z z z z +=-⇔0ac bd +=⇔12z iz λ= (λ为非零实数).10.实系数一元二次方程的解 ：实系数一元二次方程20ax bx c ++=：①若240b ac ∆=->,则21,242b b ac x a -±-=；②若240b ac ∆=-=,则122b x x a ==-; ③若240b ac ∆=-<，它在实数集R 内没有实数根；在复数集C 内有且仅有两个共轭复数根22(4)(40)2b b ac i x b ac a -±--=-<.11．注意点(1)复数的确定可以多考虑用待定系数法。
秋高中数学课时作业18复数的几何意义新人教A版选修2-2(2021年整理)
2018年秋高中数学课时分层作业18 复数的几何意义新人教A版选修2-2 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018年秋高中数学课时分层作业18 复数的几何意义新人教A版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2018年秋高中数学课时分层作业18 复数的几何意义新人教A版选修2-2的全部内容。
课时分层作业(十八）复数的几何意义(建议用时：40分钟)[基础达标练］一、选择题1．下列命题中,假命题是( )A．复数的模是非负实数B．复数等于零的充要条件是它的模等于零C．两个复数模相等是这两个复数相等的必要条件D．复数z1〉z2的充要条件是｜z1|＞|z2|D[①任意复数z＝a＋b i(a、b∈R)的模｜z|＝错误!≥0总成立．∴A正确;②由复数相等的条件z＝0⇔错误!⇔|z｜＝0，故B正确；③若z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i(a1、b1、a2、b2∈R），若z1＝z2，则有a1＝a2，b1＝b2,∴｜z1｜＝|z2|.反之由｜z1|＝|z2｜，推不出z1＝z2,如z1＝1＋3i，z2＝1－3i时｜z1｜＝｜z2｜，故C正确;④不全为零的两个复数不能比较大小，但任意两个复数的模总能比较大小，∴D错．］2．在复平面内，O为原点，向量错误!对应的复数为－1＋2i，若点A关于直线y＝－x的对称点为B,则向量错误!对应的复数为（)【导学号：31062205】A．－2－i B．－2＋iC．1＋2i D．－1＋2iB［∵A（－1,2)关于直线y＝－x的对称点B(－2,1)，∴向量错误!对应的复数为－2＋i.］3．若复数(m2－3m－4）＋(m2－5m－6)i对应的点在虚轴上,则实数m的值是( ) A．－1 B．4C．－1和4 D．－1和6C［由m2－3m－4＝0得m＝4或－1，故选C.]4．当错误!＜m＜1时，复数z＝（3m－2）＋(m－1）i在复平面上对应的点位于（) A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限D［∵错误!＜m＜1，∴3m－2＞0，m－1＜0，∴点(3m－2，m－1）在第四象限．]5．如果复数z满足条件z＋｜z｜＝2＋i，那么z＝( )A．－错误!＋i B.错误!－iC．－错误!－i D.错误!＋iD[设z＝a＋b i(a，b∈R),由复数相等的充要条件，得错误!解得错误!即z＝错误!＋i.]二、填空题6．i为虚数单位，设复数z1、z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1＝2－3i，则z2＝________。
高中数学复数知识点及练习
【1】复数的基本概念（1）形如a + b i 的数叫做复数（其中R b a ∈，）；复数的单位为i ，它的平方等于－1，即1i 2-=.其中a 叫做复数的实部，b 叫做虚部。
实数：当b = 0时复数a + b i 为实数； 虚数：当0≠b 时的复数a + b i 为虚数；纯虚数：当a = 0且0≠b 时的复数a + b i 为纯虚数 （2）两个复数相等的定义：00==⇔=+∈==⇔+=+b a bi a R d c b a d b c a di c bi a ）特别地，，，，（其中，且 （3）共轭复数：z a bi =+的共轭记作z a bi =-；（4）复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫复平面；z a bi =+，对应点坐标为(),p a b =；（象限的复习）（5）复数的模：对于复数z a bi =+，把z =z 的模； 【2】复数的基本运算 设111z a b i =+，222z a b i =+（1） 加法：()()121212z z a a b b i +=+++； （2） 减法：()()121212z z a a b b i -=-+-；（3） 乘法：()()1212122112z z a a b b a b a b i ⋅=-++ 特别22z z a b ⋅=+。
（4）幂运算：1i i =21i =-3i i =-41i =5i i =61i =-【3】复数的化简c diz a bi+=+（,a b 是均不为0的实数）的化简就是通过分母实数化的方法将分母化为实数：()()22ac bd ad bc ic di c di a bi z a bi a bi a bi a b ++-++-==⋅=++-+【例1】若复数()312a iz a R i +=∈-（i 为虚数单位），(1)若z 为实数，求a 的值 (2)当z 为纯虚数，求a 的值。
【变式1】设a 是实数，且112a ii -++是实数，求a 的值。
2022高中数学课时作业18复数的几何意义含解析新人教A版选修2_2
复数的几何意义(建议用时：40分钟)一、选择题1．下列命题中，假命题是( ) A ．复数的模是非负实数B ．复数等于零的充要条件是它的模等于零C ．两个复数模相等是这两个复数相等的必要条件D ．复数z 1>z 2的充要条件是|z 1|＞|z 2|D [①任意复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)的模|z |＝a 2＋b 2≥0总成立．∴A 正确；②由复数相等的条件z ＝0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0b ＝0⇔|z |＝0，故B 正确；③若z 1＝a 1＋b 1i ，z 2＝a 2＋b 2i(a 1，b 1，a 2，b 2∈R)， 若z 1＝z 2，则有a 1＝a 2，b 1＝b 2，∴|z 1|＝|z 2|. 反之由|z 1|＝|z 2|，推不出z 1＝z 2，如z 1＝1＋3i ，z 2＝1－3i 时|z 1|＝|z 2|，故C 正确；④不全为零的两个复数不能比较大小，但任意两个复数的模总能比较大小，∴D 错．] 2．欧拉公式e i x＝cos x ＋isin x (i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数之间的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据此公式可知，e 2i表示的复数在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限B [依题可知e i x表示的复数在复平面内对应的点的坐标为(cos x ，sin x )，故e 2i表示的复数在复平面内对应的点的坐标为(cos 2，sin 2)，显然该点位于第二象限，选B.]3．若复数(m 2－3m －4)＋(m 2－5m －6)i 对应的点在虚轴上，则实数m 的值是( ) A ．－1 B ．4 C ．－1和4D ．－1和6C [由m 2－3m －4＝0得m ＝4或－1，故选C.]4．当23＜m ＜1时，复数z ＝(3m －2)＋(m －1)i 在复平面上对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限D [∵23＜m ＜1，∴3m －2＞0，m －1＜0，∴点(3m －2，m －1)在第四象限．]5．如果复数z 满足条件z ＋|z |＝2＋i ，那么z ＝( ) A ．－34＋iB ．34－i C ．－34－iD ．34＋i D [设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，由复数相等的充要条件，得⎩⎨⎧a ＋a 2＋b 2＝2，b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝34，b ＝1，即z ＝34＋i.]二、填空题6．若复数z ＝(m －2)＋(m ＋1)i 为纯虚数(i 为虚数单位)，其中m ∈R，则|z |＝________. 3 [复数z ＝(m －2)＋(m ＋1)i 为纯虚数(i 为虚数单位)，所以m －2＝0且m ＋1≠0，解得m ＝2，所以z ＝3i ，所以|z |＝3.]7．已知在△ABC 中， AB →，AC →对应的复数分别为－1＋2i ，－2－3i ，则BC →对应的复数为________．－1－5i [因为AB →，AC →对应的复数分别为－1＋2i ，－2－3i ，所以AB →＝(－1,2)，AC →＝(－2，－3)，又BC →＝AC →－AB →＝(－2，－3)－(－1,2)＝(－1，－5)，所以BC →对应的复数为－1－5i.]8．复数z ＝3a －6i 的模为40，则实数a 的值为__________． ±23 [由|z |＝3a2＋－62＝40，得a ＝±23.]三、解答题9．已知复数z ＝a ＋3i(a ∈R)在复平面内对应的点位于第二象限，且|z |＝2，求复数z .[解] 因为z 在复平面内对应的点位于第二象限， 所以a <0，由|z |＝2知，a 2＋32＝2，解得a ＝±1，故a ＝－1，所以z ＝－1＋3i.10．在复平面内，分别求实数m 的取值范围，使复数z ＝(m 2－m －2)＋(m 2－3m ＋2)i 的对应点，(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在直线y ＝x 上．[解] 复数z ＝(m 2－m －2)＋(m 2－3m ＋2)i 的实部为m 2－m －2，虚部为m 2－3m ＋2. (1)由题意得m 2－m －2＝0.解得m ＝2或m ＝－1.(2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －2＜0，m 2－3m ＋2＞0，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＜m ＜2，m ＞2或m ＜1，∴－1＜m ＜1.(3)由已知得m 2－m －2＝m 2－3m ＋2.∴m ＝2.1．在复平面内，复数z 1，z 2对应点分别为A ，B .已知A (1,2)，|AB |＝25，|z 2|＝41，则z 2＝( )A ．4＋5B ．5＋4iC ．3＋4iD ．5＋4i 或15＋325iD [设z 2＝x ＋y i(x ，y ∈R)，由条件得，⎩⎪⎨⎪⎧x －12＋y －22＝20，x 2＋y 2＝41.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝15，y ＝325.故选D.]2．复数z ＝m (3＋i)－(2＋i)(m ∈R，i 为虚数单位)在复平面内对应的点不可能位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限B [复数z ＝(3m －2)＋(m －1)i 在复平面内的对应点P (3m －2，m －1)，当m >1时，P 在第一象限；当m <23时，P 在第三象限，当23<m <1时，P 在第四象限，当m ＝23时，P 在虚轴上，当m ＝1时，P 在实轴上，故选B.]3．设z 为纯虚数，且|z －1|＝|－1＋i|，则复数z ＝________.±i [因为z 为纯虚数，所以设z ＝a i(a ∈R，且a ≠0)，则|z －1|＝|a i －1|＝a 2＋1. 又因为|－1＋i|＝2， 所以a 2＋1＝2，即a 2＝1， 所以a ＝±1，即z ＝±i.]4．已知复数(x －2)＋y i(x ，y ∈R)的模为3，则y x的最大值为________．3 [∵|x －2＋y i|＝3，∴(x －2)2＋y 2＝3，故(x ，y )在以C (2,0)为圆心，3为半径的圆上，yx表示圆上的点(x ，y )与原点连线的斜率．如图，由平面几何知识，易知y x的最大值为 3.]5．已知z 1＝cos θ＋isin 2θ，z 2＝3sin θ＋icos θ，当θ为何值时， (1)z 1＝z 2；(2)z 1，z 2对应点关于x 轴对称； (3)|z 2|< 2.[解] (1)z 1＝z 2⇔⎩⎨⎧cos θ＝3sin θ，sin 2θ＝cos θ，⇒⎩⎪⎨⎪⎧tan θ＝33，2sin θcos θ＝cos θ，⇒θ＝2k π＋π6(k ∈Z)．(2)z 1与z 2对应点关于x 轴对称⇒⎩⎨⎧cos θ＝3sin θ，sin 2θ＝－cos θ，⇒⎩⎪⎨⎪⎧θ＝k π＋π6k ∈Z ，2sin θcos θ＝－cos θ，⇒θ＝2k π＋76π(k ∈Z)．(3)|z 2|<2⇒3sin θ2＋cos 2θ＜ 2⇒3sin 2θ＋cos 2θ＜2⇒sin 2θ＜12⇒k π－π4＜θ＜k π＋π4(k ∈Z)．。
高三数学寒假作业专题18复数练含解析
（寒假总动员）高三数学寒假作业专题18 复数（练）（含解析）一.选择题1．若i2 1+是关于x的实系数方程02=++cbxx的一个复数根，则（）A．3,2==cb B．3,2=-=cb C．1,2-=-=cb D．1,2-==cb2.设25sin1πnnan=，nnaaaS+++=21，在10021,,,SSS中，正数的个数是（）A．25 B．50 C．75 D．1003.设,a b R∈，i是虚数单位，则“0ab=”是“复数bai+为纯虚数”的（）（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件4.复数2(1)2ii-=（）A、1B、1-C、iD、i-【答案】B5.复数131ii -+=+（ ）A ．2i +B ．2i -C ．12i +D ．12i -二.填空题6.已知复数2(3)z i =+ (i 为虚数单位)，则|z|=_____.7.设N=2n （n ∈N*，n ≥2），将N 个数x1,x2,…，xN 依次放入编号为1,2，…，N 的N 个位置，获得分列P0=x1x2…xN.将该分列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原按次依次放入对应的前2N 和后2N个，获得分列P1=x1x3…xN-1x2x4…xN ，将此操作称为C 变换，将P1分成两段，每段2N个数，并对每段作C 变换，获得2p；当2≤i ≤n-2时，将Pi 分成2i 段，每段2i N 个数，并对每段C 变换，获得Pi+1，例如，当N=8时，P2=x1x5x3x7x2x6x4x8，此时x7位于P2中的第4个位置. （1）当N=16时，x7位于P2中的第___个位置；（2）当N=2n （n ≥8）时，x173位于P4中的第___个位置. 【答案】（1）6；（2）43211n -⨯+【解析】（1）当N=16时,012345616P x x x x x x x =,可设为(1,2,3,4,5,6,,16),113571524616P x x x x x x x x x =,即为(1,3,5,7,9,2,4,6,8,,16),2159133711152616P x x x x x x x x x x x =,即(1,5,9,13,3,7,11,15,2,6,,16), x7位于P2中的第6个位置,；三.解答题8. 已知复数z1＝2－3i ，z2＝15－5i2＋i 2.求：(1)z1·z2；(2)z1z2.。
(寒假总动员)2015年高三数学寒假作业专题18复数(背)
(寒假总动员)2015年高三数学寒假作业专题18复数(背)
（寒假总动员）2015 年高三数学寒假作业专题18复数（背）1．复数的相关观点
(1 )复数的观点
形如 a＋ bi(a， b∈ R)的数叫复数，此中a， b 分别是它的实部和虚部．若
实数；若b≠0，则 a＋ bi 为虚数；若a＝ 0 且 b≠0，则 a＋ bi 为纯虚数．
(2) 复数相等： a＋bi＝ c＋ di? a＝ c 且 b＝ d(a， b， c， d∈ R)．
(3) 共轭复数： a＋bi 与 c＋ di 共轭 ? a＝ c， b＝－ d(a， b， c， d∈ R)．
b＝ 0，则a＋ bi为
→
(4 )复数的模：向量OZ的模叫做复数z ＝ a＋ bi(a， b∈ R) 的模，记作 |z|或 |a＋ bi|，即 |z|＝ |a＋bi|＝a2＋ b2.
2．复数的几何意义
(1)
一一对应
复平面内的点Z( a， b ) (a， b ∈ R)．复数 z＝ a＋ bi ――→
一一对应→
(2)平面向量 OZ .
复数 z＝ a＋ bi (a， b∈ R) ――→
3．复数的运算
(2)复数加法的运算律
复数的加法知足互换律、联合律，即对任何z1 ， z2， z3∈C，有 z1＋z2＝ z2＋z1， (z1＋ z2)＋z3＝ z1＋ (z2＋z3)．。
高三数学寒假作业 专题18 复数测含解析 试题
卜人入州八九几市潮王学校〔寒假总发动〕2021年高三数学寒假作业专题18复数〔测〕〔含解析〕时间是：45分钟总分值是：100分一、选择题〔每一小题5分，一共50分〕1.(2021年高考卷理科1)设i为虚数单位，那么复数56ii-=〔〕A6+5iB6-5iC-6+5iD-6-5i2．(2021年高考卷理科3)设a，b∈R,“a=0”是“复数a+bi是纯虚数〞的〔〕A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3．(2021年高考卷理科2)i是虚数单位，那么3+i1i-＝〔〕A．1－2iB．2－iC．2＋iD．1＋2i 【答案】D【解析】3+i1i-＝()()3+i1+i2＝2+4i2＝1＋2i．4.(2021年高考卷理科1)假设复数x满足z(2-i)=11+7i(i为虚数单位)，那么z为〔〕A3+5iB3-5iC-3+5iD-3-5i5.(2021年高考卷理科1)假设复数z满足izi-=1，那么z等于〔〕A．i--1B．i-1C．i+-1D．i+16.(2021年高考卷理科2)复数22ii-=+〔〕(A)3455i -(B)3455i +(C)415i -(D)315i + 7.(2021年高考全国卷理科3)下面是关于复数21z i =-+〕1:2p z =22:2p z i =3:p z 的一共轭复数为1i +4:p z 的虚部为1- 8.(2021年高考卷理科1)i 是虚数单位，复数7=3i z i -+=〔〕〔A 〕2i +〔Ｂ〕2i -〔Ｃ〕2i -+〔Ｄ〕2i --9.(2021年高考卷理科1)复数z 满足：()(2)5z i i --=；那么z =〔〕【答案】D 【解析】55(2)()(2)5222(2)(2)i z i i z i z i i i i i +--=⇔-=⇔=+=+--+. 10.(2021年高考卷理科1)方程2x +6x+13=0的一个根是()A-3+2iB3+2iC-2+3iD2+3i二、填空题〔每一小题5分，一共20分〕11.〔2021年高考卷3〕设a b ∈R ，，117i i 12i a b -+=-〔i 为虚数单位〕，那么a b +的值是．12.(2021年高考卷理科1)计算：3-i=1+i〔i为虚数单位〕.13.(2021年高考卷理科13)回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数。
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课时分层作业(十八) 复数的几何意义(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、选择题1．下列命题中，假命题是( ) A ．复数的模是非负实数B ．复数等于零的充要条件是它的模等于零C ．两个复数模相等是这两个复数相等的必要条件D ．复数z 1>z 2的充要条件是|z 1|＞|z 2|D [①任意复数z ＝a ＋b i(a 、b ∈R )的模|z |＝a 2＋b 2≥0总成立．∴A 正确；②由复数相等的条件z ＝0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0b ＝0⇔|z |＝0，故B 正确；③若z 1＝a 1＋b 1i ，z 2＝a 2＋b 2i(a 1、b 1、a 2、b 2∈R )， 若z 1＝z 2，则有a 1＝a 2，b 1＝b 2，∴|z 1|＝|z 2|. 反之由|z 1|＝|z 2|，推不出z 1＝z 2，如z 1＝1＋3i ，z 2＝1－3i 时|z 1|＝|z 2|，故C 正确；④不全为零的两个复数不能比较大小，但任意两个复数的模总能比较大小，∴D 错．] 2．在复平面内，O 为原点，向量OA →对应的复数为－1＋2i ，若点A 关于直线y ＝－x 的对称点为B ，则向量OB →对应的复数为( )【导学号：31062205】A ．－2－iB ．－2＋iC ．1＋2iD ．－1＋2iB [∵A (－1,2)关于直线y ＝－x 的对称点B (－2,1)，∴向量OB →对应的复数为－2＋i.] 3．若复数(m 2－3m －4)＋(m 2－5m －6)i 对应的点在虚轴上，则实数m 的值是( )A ．－1B ．4C ．－1和4D ．－1和6C [由m 2－3m －4＝0得m ＝4或－1，故选C.]4．当23＜m ＜1时，复数z ＝(3m －2)＋(m －1)i 在复平面上对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限D [∵23＜m ＜1，∴3m －2＞0，m －1＜0，∴点(3m －2，m －1)在第四象限．]5．如果复数z 满足条件z ＋|z |＝2＋i ，那么z ＝( ) A ．－34＋iB.34－i C ．－34－iD.34＋i D [设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由复数相等的充要条件，得⎩⎨⎧a ＋a 2＋b 2＝2，b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝34，b ＝1，即z ＝34＋i.]二、填空题6．i 为虚数单位，设复数z 1、z 2在复平面内对应的点关于原点对称，若z 1＝2－3i ，则z 2＝________.【导学号：31062206】[解析] ∵z 1＝2－3i ，∴z 1对应的点为(2，－3)，关于原点的对称点为(－2,3)．∴z 2＝－2＋3i.[答案] －2＋3i7．已知在△ABC 中， AB →，AC →对应的复数分别为－1＋2i ，－2－3i ，则BC →对应的复数为________．[解析] 因为AB →，AC →对应的复数分别为－1＋2i ，－2－3i ，所以AB →＝(－1,2)，AC →＝(－2，－3)，又BC →＝AC →－AB →＝(－2，－3)－(－1,2)＝(－1，－5)，所以BC →对应的复数为－1－5i.[答案] －1－5i8．复数z ＝3a －6i 的模为40，则实数a 的值为__________． [解析] 由|z |＝a2＋－2＝40，得a ＝±23.[答案] ±23三、解答题9．已知复数z ＝a ＋3i(a ∈R )在复平面内对应的点位于第二象限，且|z |＝2，求复数．[解] 因为z 在复平面内对应的点位于第二象限， 所以a <0，由|z |＝2知，a 2＋32＝2，解得a ＝±1，故a ＝－1，所以z ＝－1＋3i.10．在复平面内，若复数z ＝(m 2－m －2)＋(m 2－3m ＋2)i 的对应点.【导学号：31062207】(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在直线y ＝x 上． 分别求实数m 的取值范围．[解] 复数z ＝(m 2－m －2)＋(m 2－3m ＋2)i 的实部为m 2－m －2，虚部为m 2－3m ＋2. (1)由题意得m 2－m －2＝0.解得m ＝2或m ＝－1.(2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －2＜0m 2－3m ＋2＞0，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＜m ＜2m ＞2或m ＜1，∴－1＜m ＜1.(3)由已知得m 2－m －2＝m 2－3m ＋2. ∴m ＝2.[能力提升练]1．在复平面内，复数z 1、z 2对应点分别为A 、B .已知A (1,2)，|AB |＝25，|z 2|＝41，则z 2＝( )A ．4＋5B ．5＋4iC ．3＋4iD ．5＋4i 或15＋325iD [设z 2＝x ＋y i(x 、y ∈R )，由条件得，⎩⎪⎨⎪⎧x －2＋y －2＝20，x 2＋y 2＝41.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝4.或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝15y ＝325.故选D.]2．复数z ＝m (3＋i)－(2＋i)(m ∈R ，i 为虚数单位)在复平面内对应的点不可能位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限B [复数z ＝(3m －2)＋(m －1)i 在复平面内的对应点P (3m －2，m －1)，当m >1时，P在第一象限；当m <23时，P 在第三象限，当23<m <1时，P 在第四象限，当m ＝23时，P 在虚轴上，当m ＝1时，P 在实轴上，故选B.]3．设z 为纯虚数，且|z －1|＝|－1＋i|，则复数z ＝________.[解析] 因为z 为纯虚数，所以设z ＝a i(a ∈R ，且a ≠0)，则|z －1|＝|a i －1|＝a 2＋1. 又因为|－1＋i|＝2，所以a 2＋1＝2，即a 2＝1， 所以a ＝±1，即z ＝±i. [答案] ±i4．已知复数(x －2)＋y i(x ，y ∈R )的模为3，则yx的最大值为________.【导学号：31062208】[解析] ∵|x －2＋y i|＝3，∴(x －2)2＋y 2＝3，故(x ，y )在以C (2,0)为圆心，3为半径的圆上，yx表示圆上的点(x ，y )与原点连线的斜率． 如图，由平面几何知识，易知y x的最大值为 3. [答案]35．已知z 1＝cos θ＋isin 2θ，z 2＝3sin θ＋icos θ，当θ为何值时【导学号：31062209】(1)z 1＝z 2；(2)z 1、z 2对应点关于x 轴对称； (3)|z 2|< 2.[解] (1)z 1＝z 2⇔⎩⎨⎧cos θ＝3sin θ，sin 2θ＝cos θ，⇒⎩⎪⎨⎪⎧tan θ＝33，2sin θcos θ＝cos θ，⇒θ＝2k π＋π6(k ∈Z )．(2)z 1与z 2对应点关于x 轴对称⇒⎩⎨⎧cos θ＝3sin θ，sin 2θ＝－cos θ，⇒⎩⎪⎨⎪⎧θ＝k π＋π6k ∈Z ，2sin θcos θ＝－cos θ，⇒θ＝2k π＋76π(k ∈Z )．新人教部编版初高中精选试题(3)|z 2|<2⇒3sin θ2＋cos 2θ＜ 2⇒3sin 2θ＋cos 2θ＜2⇒sin 2θ＜12⇒k π－π4＜θ＜k π＋π4(k ∈Z ).。
2020高中数学 课时分层作业18 复数的几何意义 新人教A版选修2-2
课时分层作业(十八) 复数的几何意义(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、选择题1．下列命题中，假命题是( ) A ．复数的模是非负实数B ．复数等于零的充要条件是它的模等于零C ．两个复数模相等是这两个复数相等的必要条件D ．复数z 1>z 2的充要条件是|z 1|＞|z 2|D [①任意复数z ＝a ＋b i(a 、b ∈R )的模|z |＝a 2＋b 2≥0总成立．∴A 正确； ②由复数相等的条件z ＝0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0b ＝0⇔|z |＝0，故B 正确；③若z 1＝a 1＋b 1i ，z 2＝a 2＋b 2i(a 1、b 1、a 2、b 2∈R )， 若z 1＝z 2，则有a 1＝a 2，b 1＝b 2，∴|z 1|＝|z 2|. 反之由|z 1|＝|z 2|，推不出z 1＝z 2，如z 1＝1＋3i ，z 2＝1－3i 时|z 1|＝|z 2|，故C 正确；④不全为零的两个复数不能比较大小，但任意两个复数的模总能比较大小，∴D 错．]2．在复平面内，O 为原点，向量OA →对应的复数为－1＋2i ，若点A 关于直线y ＝－x 的对称点为B ，则向量OB →对应的复数为( )【导学号：31062205】A ．－2－iB ．－2＋iC ．1＋2iD ．－1＋2iB [∵A (－1,2)关于直线y ＝－x 的对称点B (－2,1)，∴向量OB →对应的复数为－2＋i.] 3．若复数(m 2－3m －4)＋(m 2－5m －6)i 对应的点在虚轴上，则实数m 的值是( )A ．－1B ．4C ．－1和4D ．－1和6C [由m 2－3m －4＝0得m ＝4或－1，故选C.]4．当23＜m ＜1时，复数z ＝(3m －2)＋(m －1)i 在复平面上对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限D [∵23＜m ＜1，∴3m －2＞0，m －1＜0，∴点(3m －2，m －1)在第四象限．]5．如果复数z 满足条件z ＋|z |＝2＋i ，那么z ＝( ) A ．－34＋iB.34－i C ．－34－iD.34＋i D [设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由复数相等的充要条件，得⎩⎨⎧a ＋a 2＋b 2＝2，b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝34，b ＝1，即z ＝34＋i.]二、填空题6．i 为虚数单位，设复数z 1、z 2在复平面内对应的点关于原点对称，若z 1＝2－3i ，则z 2＝________.【导学号：31062206】[解析] ∵z 1＝2－3i ，∴z 1对应的点为(2，－3)，关于原点的对称点为(－2,3)．∴z 2＝－2＋3i. [答案] －2＋3i7．已知在△ABC 中， AB →，AC →对应的复数分别为－1＋2i ，－2－3i ，则BC →对应的复数为________． [解析] 因为AB →，AC →对应的复数分别为－1＋2i ，－2－3i ，所以AB →＝(－1,2)，AC →＝(－2，－3)，又BC →＝AC →－AB →＝(－2，－3)－(－1,2)＝(－1，－5)，所以BC →对应的复数为－1－5i.[答案] －1－5i8．复数z ＝3a －6i 的模为40，则实数a 的值为__________． [解析] 由|z |＝a2＋－2＝40，得a ＝±23.[答案] ±23三、解答题9．已知复数z ＝a ＋3i(a ∈R )在复平面内对应的点位于第二象限，且|z |＝2，求复数． [解] 因为z 在复平面内对应的点位于第二象限， 所以a <0，由|z |＝2知，a 2＋32＝2，解得a ＝±1，故a ＝－1，所以z ＝－1＋3i.10．在复平面内，若复数z ＝(m 2－m －2)＋(m 2－3m ＋2)i 的对应点.【导学号：31062207】(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在直线y ＝x 上． 分别求实数m 的取值范围．[解] 复数z ＝(m 2－m －2)＋(m 2－3m ＋2)i 的实部为m 2－m －2，虚部为m 2－3m ＋2.(1)由题意得m 2－m －2＝0.解得m ＝2或m ＝－1.(2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －2＜0m 2－3m ＋2＞0，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＜m ＜2m ＞2或m ＜1，∴－1＜m ＜1.(3)由已知得m 2－m －2＝m 2－3m ＋2. ∴m ＝2.[能力提升练]1．在复平面内，复数z 1、z 2对应点分别为A 、B .已知A (1,2)，|AB |＝25，|z 2|＝41，则z 2＝( ) A ．4＋5 B ．5＋4iC ．3＋4iD ．5＋4i 或15＋325iD [设z 2＝x ＋y i(x 、y ∈R )，由条件得，⎩⎪⎨⎪⎧x －2＋y －2＝20，x 2＋y 2＝41.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝4.或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝15y ＝325.故选D.]2．复数z ＝m (3＋i)－(2＋i)(m ∈R ，i 为虚数单位)在复平面内对应的点不可能位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限B [复数z ＝(3m －2)＋(m －1)i 在复平面内的对应点P (3m －2，m －1)，当m >1时，P 在第一象限；当m <23时，P 在第三象限，当23<m <1时，P 在第四象限，当m ＝23时，P 在虚轴上，当m ＝1时，P 在实轴上，故选B.]3．设z 为纯虚数，且|z －1|＝|－1＋i|，则复数z ＝________.[解析] 因为z 为纯虚数，所以设z ＝a i(a ∈R ，且a ≠0)，则|z －1|＝|a i －1|＝a 2＋1. 又因为|－1＋i|＝2，所以a 2＋1＝2，即a 2＝1， 所以a ＝±1，即z ＝±i. [答案] ±i4．已知复数(x －2)＋y i(x ，y ∈R )的模为3，则y x的最大值为________.【导学号：31062208】yx表示圆上的点(x ，y )∴(x －2)2＋y 2＝3，故(x ，y )在以C (2,0)为圆心，3为半径的圆上，与原点连线的斜率．如图，由平面几何知识，易知y x的最大值为 3. [答案]35．已知z 1＝cos θ＋isin 2θ，z 2＝3sin θ＋icos θ，当θ为何值时【导学号：31062209】(1)z 1＝z 2；(2)z 1、z 2对应点关于x 轴对称； (3)|z 2|< 2.[解] (1)z 1＝z 2⇔⎩⎨⎧cos θ＝3sin θ，sin 2θ＝cos θ，⇒⎩⎪⎨⎪⎧tan θ＝33，2sin θcos θ＝cos θ，⇒θ＝2k π＋π6(k ∈Z )．(2)z 1与z 2对应点关于x 轴对称⇒⎩⎨⎧cos θ＝3sin θ，sin 2θ＝－cos θ，⇒⎩⎪⎨⎪⎧θ＝k π＋π6k ∈Z ，2sin θcos θ＝－cos θ，⇒θ＝2k π＋76π(k ∈Z )．(3)|z 2|<2⇒3sin θ2＋cos 2θ＜ 2⇒3sin 2θ＋cos 2θ＜2⇒sin 2θ＜12⇒k π－π4＜θ＜k π＋π4(k ∈Z ).。
2021_2022学年高中数学课时分层作业18复数的乘法复数的除法(含解析)新人教B版选修2_2
课时分层作业(十八)(建议用时：60分钟)[根底达标练]一、选择题1．i 为虚数单位，⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2＝( ) A ．－1 B ．1C ．－iD ．i[解析] ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2＝(1－i )2(1＋i )2＝－2i 2i ＝－1． [答案] A2．如图，在复平面内，点A 表示复数z ，那么图中表示z 的共轭复数的点是( )A ．AB ．BC ．CD ．D[解析] 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，且a <0，b >0，那么z 的共轭复数为a －b i ，其中a <0，－b <0，故应为B 点．[答案] B3．复数z ＝32－a i ，a ∈R ，且z 2＝12－32i ，那么a 的值为( ) A ．1B ．2 C.12D.14 [解析] 由z ＝32－a i ，a ∈R ，得z 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322－2×32×a i ＋(a i)2＝34－a 2－3a i ，因为z 2＝12－32i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 34－a 2＝12，－3a ＝－32，解得a ＝12. [答案] C4．复数z ＝3＋i (1－3i )2，z 是z 的共轭复数，那么z ·z 等于( )A.14B.12 C ．1D ．2 [解析] ∵z ＝3＋i (1－3i )2＝－3i 2＋i (1－3i )2＝i (1－3i )(1－3i )2 ＝i 1－3i＝i (1＋3i )4＝－34＋i 4， ∴z ＝－34－i 4， ∴z ·z ＝14. [答案] A5．复数z ＝2－i ，那么z ·z 的值为( )A ．5 B. 5 C ．3D. 3 [解析] z ·z ＝(2－i)(2＋i)＝22－i 2＝4＋1＝5，应选A. [答案] A二、填空题6．复数(1＋2i )23－4i的值是________ . [解析] (1＋2i )23－4i ＝－3＋4i 3－4i＝－1． [答案] －17．设复数z 1＝1＋i ，z 2＝x ＋2i(x ∈R )，假设z 1z 2∈R ，那么x 等于________．[解析] ∵z 1＝1＋i ，z 2＝x ＋2i(x ∈R )，∴z 1z 2＝(1＋i)(x ＋2i)＝(x －2)＋(x ＋2)i.∵z 1z 2∈R ，∴x ＋2＝0，即x ＝－2.[答案] －28．a ＋2ii ＝b ＋i(a ，b ∈R )，其中i 为虚数单位，那么a ＋b ＝__________.[解析] ∵a ＋2ii ＝b ＋i ，∴a ＋2i ＝(b ＋i)i ＝－1＋b i ，∴a ＝－1，b ＝2，∴a ＋b ＝1．[答案] 1三、解答题9．计算：(1)(1－i)(－1＋i)＋(－1＋i)；(2)(1＋i)⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32i ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32i . [解] (1)原式＝－1＋i ＋i －i 2－1＋i ＝－1＋3i. (2)原式＝(1＋i)⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋34＝1＋i. 10．复数z 满足z ＝(－1＋3i)(1－i)－4.(1)求复数z 的共轭复数；(2)假设w ＝z ＋a i ，且复数w 对应向量的模不大于复数z 所对应向量的模，求实数a 的取值范围．[解] (1)z ＝－1＋i ＋3i ＋3－4＝－2＋4i ，所以复数z 的共轭复数为－2－4i.(2)w ＝－2＋(4＋a )i ，复数w 对应向量为(－2,4＋a )，其模为4＋(4＋a )2＝20＋8a ＋a 2. 又复数z 所对应向量为(－2,4)，其模为2 5.由复数w 对应向量的模不大于复数z 所对应向量的模，得20＋8a ＋a 2≤20，a 2＋8a ≤0，a (a ＋8)≤0，所以实数a 的取值范围是－8≤a ≤0.[能力提升练]1．设z 1，z 2是复数，那么以下命题中的假．命题是( ) A ．假设|z 1－z 2|＝0，那么z 1＝z 2B ．假设z 1＝z 2，那么z 1＝z 2C ．假设|z 1|＝|z 2|，那么z 1·z 1＝z 2·z 2D ．假设|z 1|＝|z 2|，那么z 21＝z 22[解析] A ，|z 1－z 2|＝0⇒z 1－z 2＝0⇒z 1＝z 2⇒z 1＝z 2，真命题； B ，z 1＝z 2⇒z 1＝z 2＝z 2，真命题；C ，|z 1|＝|z 2|⇒|z 1|2＝|z 2|2⇒z 1·z 1＝z 2·z 2，真命题； D ，当|z 1|＝|z 2|时，可取z 1＝1，z 2＝i ，显然z 21＝1，z 22＝－1，即z 21≠z 22，假命题．[答案] D2．3－3i ＝z ·(－23i)，那么复数z 在复平面内对应的点应位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[解析] ∵3－3i ＝z ·(－23i)，∴z ＝3－3i －23i ＝(3－3i )(23i )(－23i )(23i )＝6＋63i 12＝12＋32i. ∴其对应点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，在第一象限． [答案] A3．假设复数z ＝7＋a i 2－i的实部为3，那么z 的虚部为________________． [解析] z ＝7＋a i 2－i ＝(7＋a i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝(14－a )＋(7＋2a )i 5＝14－a 5＋7＋2a 514－a 5＝3，∴a ＝－1，∴z ＝3＋i.∴z 的虚部为1．[答案] 14．z 为复数，z －1i 为实数，z1－i 为纯虚数，求复数z . [解] 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，那么z －1i ＝a －1＋b i i ＝(a －1＋b i)·(－i)＝b －(a －1)i. 因为z －1i 为实数，所以a －1＝0，即a ＝1．又因为z1－i ＝(a ＋b i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝(a －b )＋(a ＋b )i 2为纯虚数， 所以a －b ＝0，且a ＋b ≠0，所以b ＝1．故复数z ＝1＋i.。
高中数学课时分层作业18复数的乘法复数的除法人教B版选修2_2
课时分层作业(十八)(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．i 为虚数单位，⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2＝( ) A ．－1 B ．1C ．－iD ．i[解析] ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2＝(1－i )2(1＋i )2＝－2i 2i＝－1． [答案] A2．如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是( )A ．AB ．BC ．CD ．D[解析] 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，且a <0，b >0，则z 的共轭复数为a －b i ，其中a <0，－b <0，故应为B 点．[答案] B3．复数z ＝32－a i ，a ∈R ，且z 2＝12－32i ，则a 的值为( ) A ．1B ．2 C.12D.14 [解析] 由z ＝32－a i ，a ∈R ，得z 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322－2×32×a i ＋(a i)2＝34－a 2－3a i ，因为z 2＝12－32i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 34－a 2＝12，－3a ＝－32，解得a ＝12. [答案] C4．已知复数z ＝3＋i (1－3i )2，z 是z 的共轭复数，则z ·z 等于( ) A.14B.12 C ．1 D ．2[解析] ∵z ＝3＋i (1－3i )2＝－3i 2＋i (1－3i )2＝i (1－3i )(1－3i )2＝i1－3i ＝i (1＋3i )4＝－34＋i4，∴z ＝－34－i4，∴z ·z ＝14.[答案] A5．已知复数z ＝2－i ，则z ·z 的值为( )A ．5 B. 5C ．3 D. 3[解析] z ·z ＝(2－i)(2＋i)＝22－i 2＝4＋1＝5，故选A.[答案] A二、填空题6．复数(1＋2i )23－4i 的值是________ .[解析] (1＋2i )23－4i ＝－3＋4i3－4i ＝－1．[答案] －17．设复数z 1＝1＋i ，z 2＝x ＋2i(x ∈R )，若z 1z 2∈R ，则x 等于________．[解析] ∵z 1＝1＋i ，z 2＝x ＋2i(x ∈R )，∴z 1z 2＝(1＋i)(x ＋2i)＝(x －2)＋(x ＋2)i.∵z 1z 2∈R ，∴x ＋2＝0，即x ＝－2.[答案] －28．已知a ＋2ii ＝b ＋i(a ，b ∈R )，其中i 为虚数单位，则a ＋b ＝__________.[解析] ∵a ＋2ii ＝b ＋i ，∴a ＋2i ＝(b ＋i)i ＝－1＋b i ，∴a ＝－1，b ＝2，∴a ＋b ＝1．[答案] 1三、解答题9．计算：(1)(1－i)(－1＋i)＋(－1＋i)；(2)(1＋i)⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32i ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32i . [解] (1)原式＝－1＋i ＋i －i 2－1＋i ＝－1＋3i. (2)原式＝(1＋i)⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋34＝1＋i. 10．已知复数z 满足z ＝(－1＋3i)(1－i)－4.(1)求复数z 的共轭复数；(2)若w ＝z ＋a i ，且复数w 对应向量的模不大于复数z 所对应向量的模，求实数a 的取值范围．[解] (1)z ＝－1＋i ＋3i ＋3－4＝－2＋4i ，所以复数z 的共轭复数为－2－4i.(2)w ＝－2＋(4＋a )i ，复数w 对应向量为(－2,4＋a )，其模为4＋(4＋a )2＝20＋8a ＋a 2. 又复数z 所对应向量为(－2,4)，其模为2 5.由复数w 对应向量的模不大于复数z 所对应向量的模，得20＋8a ＋a 2≤20，a 2＋8a ≤0，a (a ＋8)≤0，所以实数a 的取值范围是－8≤a ≤0.[能力提升练]1．设z 1，z 2是复数，则下列命题中的假．命题是( ) A ．若|z 1－z 2|＝0，则z 1＝z 2B ．若z 1＝z 2，则z 1＝z 2C ．若|z 1|＝|z 2|，则z 1·z 1＝z 2·z 2D ．若|z 1|＝|z 2|，则z 21＝z 22[解析] A ，|z 1－z 2|＝0⇒z 1－z 2＝0⇒z 1＝z 2⇒z 1＝z 2，真命题； B ，z 1＝z 2⇒z 1＝z 2＝z 2，真命题；C ，|z 1|＝|z 2|⇒|z 1|2＝|z 2|2⇒z 1·z 1＝z 2·z 2，真命题； D ，当|z 1|＝|z 2|时，可取z 1＝1，z 2＝i ，显然z 21＝1，z 22＝－1，即z 21≠z 22，假命题．[答案] D2．已知3－3i ＝z ·(－23i)，那么复数z 在复平面内对应的点应位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[解析] ∵3－3i ＝z ·(－23i)，∴z ＝3－3i －23i ＝(3－3i )(23i )(－23i )(23i )＝6＋63i 12＝12＋32i.∴其对应点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，在第一象限． [答案] A 3．若复数z ＝7＋a i 2－i的实部为3，则z 的虚部为________________． [解析] z ＝7＋a i 2－i ＝(7＋a i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝(14－a )＋(7＋2a )i 5＝14－a 5＋7＋2a 5i.由题意知14－a 5＝3，∴a ＝－1，∴z ＝3＋i.∴z 的虚部为1．[答案] 14．已知z 为复数，z －1i 为实数，z1－i 为纯虚数，求复数z .[解] 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z －1i ＝a －1＋b ii ＝(a －1＋b i)·(－i)＝b －(a －1)i.因为z －1i 为实数，所以a －1＝0，即a ＝1．又因为z 1－i ＝(a ＋b i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝(a －b )＋(a ＋b)i2为纯虚数，所以a －b ＝0，且a ＋b ≠0，所以b ＝1．故复数z ＝1＋i.。
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专题18 复数
学一学------基础知识结论
1. 复数的概念
(1) 虚数单位i: i2＝－1；i 和实数在一起，服从实数的运算律．
(2) 代数形式：a ＋bi(a ，b ∈R)，其中a 叫实部，b 叫虚部．
2. 复数的分类
复数z ＝a ＋bi(a 、b ∈R)中，z 是实数a ∈R ，b ＝0，z 是虚数b ≠0，z 是纯虚数a ＝0，b ≠0.
3. 共轭复数
a ＋bi 与a －bi(a ，
b ∈R)互为共轭复数．
4. 复数相等的条件
a ＋bi ＝c ＋di(a 、
b 、
c 、
d ∈R)，则a ＝c 且b ＝d.
特殊的，a ＋bi ＝0(a 、b ∈R)，则a ＝0且b ＝0.
5. 复数的模
设复数z ＝a ＋bi(a ，b ∈R)，z 在复平面内对应点为Z ，则OZ →的长度叫做复数z 的模(或绝对值)，即|z|＝|OZ
→|＝22a b +.
6. 运算法则
z1＝a ＋bi ，z2＝c ＋di ，(a 、b 、c 、d ∈R)． (1)i i n =+14、124-=+n i 、i i n -=+34、14=n i
(2)复数的加减（类比合并同类项）i d b c a di c bi a )()()()(±+±=+±+
(3)复数的相乘（类比整式乘法）i bc ab bd ac di c bi a )()()()(++-=+⋅+
(4)复数的相除（类比分母有理化）
i d c ad bc d c bd ac di c di c di c bi a di c bi a 2222))(())((+-+++=-+-+=++ 7.复数的乘法的运算律：对于任何
123,,z z z C ∈，有 交换律:1221z z z z ⋅=⋅；结合律:123123()()z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅；分配律:1231213()z z z z z z z ⋅+=⋅+⋅ .
8.复平面上的两点间的距离公式
22
122121||()()d z z x x y y =-=-+-（111z x y i =+，222z x y i =+）. 9.复平面向量的垂直
非零复数1z a bi =+，2z c di =+对应的向量分别是1OZ ，2OZ ，则
12OZ OZ ⊥⇔12z z ⋅的实部为零⇔2
1z z 为纯虚数⇔2221212||||||z z z z +=+
⇔2221212||||||z z z z -=+⇔1212||||z z z z +=-⇔0ac bd +=⇔12z iz λ= (λ为非零实数).
10.实系数一元二次方程的解 ：实系数一元二次方程2
0ax bx c ++=：
①若240b ac ∆=->,则21,242b b ac x a -±-=；②若240b ac ∆=-=,则
122b x x a ==-; ③若
240b ac ∆=-<，它在实数集R 内没有实数根；在复数集C 内有且仅有两个共轭复数根22(4)(40)2b b ac i x b ac a -±--=-<.
11．注意点
(1)复数的确定可以多考虑用待定系数法。
先设bi a z +=（a 、R b ∈）再根据题意及复数有关知识列出关于a 、b 的方程。
解方程得a 、b ，从而可以确定复数bi a z +=．
(2)数的概念扩展为复数后，实数集中一些运算性质、概念、关系不一定适用了，如不等式的性质，绝对值的定义，偶次方非负等． （3）两个实数可以比较大小，但两个复数，如果不全是实数，就不能比较它们的大小，两个复数的模可以比较大小.
学一学------方法规律技巧
1．复数的分类
复数是高中学生学习的最大数集范围，它包括实数和虚数这两大类，这是初学者所难搞清的，因为高中数学很多问题都是在实数范围内所完成的．解题时一定要注意纯虚数的条件：一个复数的实部为零且虚部不为零．
例1若复数z ＝lg(m2－2m －3)＋i ·lg(m2＋3m －3)为实数，求实数m 的值．
【答案】m ＝－4
【解析】解：z ＝a ＋bi ∈R 的充要条件是b ＝0，前提必须是a ，b ∈R ，因此必须先保证a ，b 有意义．由
条件知，⎩⎪⎨⎪⎧
m2＋3m －3＝1m2－2m －3>0
，∴m ＝－4. 例2、若复数2(32)(1)a a a i -++-是纯虚数，则实数a 的值为（ ） A .1 B .2 C .1或2 D .1
-
2. 复数代数形式的运算
复数与实数类似，它也有加、减、乘、除、乘方等运算，其中一定要注意两点：一是i 的平方等于-1，这是学生在复数部分最易出现的错误;二是复数与它的共轭复数的关系要搞清．
例3如果复数2－bi 3＋i
(b ∈R)的实部与虚部互为相反数，则b
＝________.
例4已知复数z ＝1＋i ，则2z
－z ＝________.
3．复数的几何意义 复数是由实部和虚部构成的，这就决定了复数与向量有着极其想似的性质：比如说复数有模或绝对值，复数也可以放在一个坐标（称之为复平面）内对应于一个点．
例5已知复数z1＝2－i ，z2＝a ＋(1－a2)i 在复平面内的对应点分别为P1、P2，向量P2P1→对应的复数为－3
＋i ，求实数a 的值．
例6若a 、b ∈R ，则复数(a2＋6a ＋10)＋(－b2－4b －5)i 对应的点在第几象限？
【答案】第四象限
【解析】a2＋6a ＋10＝(a ＋3)2＋1>0，－b2－4b －5＝－(b ＋2)2－1<0.
所以复数所对应的点在第四象限．。