函数导数及其应用
(完整版)导数知识点总结及应用
《导数及其应用》知识点总结一、导数的概念和几何意义1. 函数的平均变化率：函数()f x 在区间12[,]x x 上的平均变化率为：2121()()f x f x x x --。
2. 导数的定义：设函数()y f x =在区间(,)a b 上有定义，0(,)x a b ∈，若x ∆无限趋近于0时，比值00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆无限趋近于一个常数A ，则称函数()f x 在0x x =处可导，并称该常数A 为函数()f x 在0x x =处的导数，记作0()f x '。
函数()f x 在0x x =处的导数的实质是在该点的瞬时变化率。
3. 求函数导数的基本步骤：（1）求函数的增量00()()y f x x f x ∆=+∆-；（2）求平均变化率：00()()f x x f x x +∆-∆；（3）取极限，当x ∆无限趋近与0时，00()()f x x f x x+∆-∆无限趋近与一个常数A ，则0()f x A '=.4. 导数的几何意义：函数()f x 在0x x =处的导数就是曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的斜率。
由此，可以利用导数求曲线的切线方程，具体求法分两步：（1）求出()y f x =在x 0处的导数，即为曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的斜率； （2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为000()()y y f x x x '-=-。
当点00(,)P x y 不在()y f x =上时，求经过点P 的()y f x =的切线方程，可设切点坐标，由切点坐标得到切线方程，再将P 点的坐标代入确定切点。
特别地，如果曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线平行与y 轴，这时导数不存在，根据切线定义，可得切线方程为0x x =。
5. 导数的物理意义：质点做直线运动的位移S 是时间t 的函数()S t ，则()V S t '=表示瞬时速度，()a v t '=表示瞬时加速度。
(七)导数概念及应用
(七)导数概念及应用1．理解导数的概念及几何意义（1）函数y ＝f （x ）在x ＝x 0处的导数：)(0x f ＇＝0lim→∆x Δy Δx＝0lim →∆x f (x 0+Δx )-f (x 0)Δx .函数y ＝f （x ）在（a ，b ）内的导函数：f ′（x ）＝0lim→∆x Δy Δx＝0lim →∆x f (x +Δx )-f (x )Δx .函数y ＝f （x ）在x ＝x 0处的导数f ′（x 0）＝f ′（x ）︱x =0x（2）函数f （x ）在点x 0处有导数，则函数f （x ）在该点处必有切线，且导数值等于该切线的斜率，但函数f （x ）在点x 0处有切线，函数f （x ）在该点处不一定可导.求函数的导数有两种方法：一种方法是用定义求，先求函数的改变量，再求平均变化率，最后取极限，得导数；另一种方法是利用公式与法则求导数．2．熟记八个求导公式和五条求导法则（加、减、乘、除、复合函数求导（理））. 3．导数的应用十分广泛，如求函数的单调区间、极值、最值，求曲线的切线以及解决某些实际问题等.利用导数作工具，考查函数、不等式的综合应用已成为高考的又一热点.利用函数的导数研究函数的性质：先对函数求导，再利用导数y ＇的正负判断函数的单调性或求函数的极值（或最值）．导数的实质是函数值相对于自变量的变化率，体现在几何上就是切线的斜率．高考对导数的考查定位在作为解决初等数学问题的工具这一目标上，主要体现在以下方面：①运用导数有关知识研究函数的单调性和最值问题；②利用导数的几何意义，研究曲线切线的斜率也是导数的一个重要内容之一；③对一些实际问题建立数学模型后求解．导数类型的问题从题型上来看有几下特点：①以选择填空题考查概念、求单调区间和函数的极值、最值；②利用导数求实际问题中的最值为中档题；③与向量、解几、数列相联系的的一些综合题，着眼于导数的几何意义和应用为中档偏难题． 考点1 考查相关概念例1．下列命题中，正确的是（ ） ①若函数f （x ）在点x 0处有极限，则函数f （x ）在x 0处连续；②若函数f （x ）在点x 0连续，则函数f （x ）在x 0处可导；③若函数f （x ）在点x 0处取得极值，则f ′（x 0）＝0；④若函数在点x 0有f ′（x 0）＝0，则x 0一定是函数的极值点.A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个解析： ①是错误的，如f （x ）＝⎩⎨⎧ x 1 00=≠x x 在点x ＝0处不连续；②是错误的，如f （x ）＝︱x ︱在x ＝0处连续，但不可导；③是错误的，f （x ）在点x 0不一定可导，反例同②；④是错误的，如f （x ）＝x 3在x ＝0的导数为零，但x ＝0不是函数的极值点.答案A评析：函数f （x ）在点x 0有极限、连续、可导、有极值，四者之间关系要区分清楚.函数f （x ）在x 0处连续是f （x ）在x 0处有极限的充分非必要条件，只有可导函数在x 0取得极值，才有f ′（x 0）＝0，注意其前提条件. 考点2 考查导函数与原函数图象间关系例2．已知函数()y xf x '=的图象如右图所示(其中'()f x 是函数()f x 的导函数)，下面四个图象中()y f x =的图象大致是( ）解析：由()y xf x '=图象可知：)(/x f y =在]1,1[-上小于等于零，故原函数在]1,1[-上为减函数，故选C ．评注：函数()y xf x '=图象提供了很多信息，但要抓住关键特点，如导数为零的点、导数为正值或负值的区间等．考点3 考查导数的几何意义例3．设f （x ）＝－23x 3+x 2+4x ，则过点（0，0）的曲线y ＝f （x ）的切线方程是 ．解析：设所求切线方程为：y ＝kx ，切点（x 0，y 0），又k ＝y ′︱x =0x ＝（－2x 02+2x 0+4）. 则切线方程为y ＝（－2x 02+2x 0+4）x ，∴⎪⎩⎪⎨⎧++-=++-=003000020432)422(x x x y x x x y 解之得x 0＝0或x 0＝34.∴k ＝4或k ＝358，故所求的切线方程为4x －y ＝0或35x －8y ＝0.评析：导数)(0/x f 的几何意义是曲线数)(x f y =在某点0x 处切线的斜率．所以求切线的方程可通过求导数先得到斜率，再由切点利用点斜式方程得到，求过点p （x 0，y 0）的切线方程时，一要注意p （x 0，y 0）是否在曲线上，二要注意该点可能是切点，也可能不是切点，因而所求的切线方程可能不只有1条.。
函数导数的原理及应用
函数导数的原理及应用1. 导数的定义函数导数是微积分中的重要概念之一。
在介绍导数之前，我们先来定义函数的导数。
导数描述了一个函数在某一点的变化率。
具体来说，如果对于一个函数f(x)，它在某一点x0处的导数存在，那么导数可以用以下极限表示：f'(x0) = lim (x->x0) (f(x)-f(x0))/(x-x0)这里的f'(x0)表示函数f(x)在x0处的导数。
2. 导数的性质导数具有一些重要的性质，下面我们来逐一介绍。
2.1 可微性如果一个函数在某一点处的导数存在，那么该函数在该点是可微的。
可微性是导数的一个重要性质，它表示函数在该点附近可以用一条直线很好地逼近。
可微性是微积分中的一个基本概念。
2.2 函数的极值一个函数在某一点的导数为0，则该点可能是函数的极值点。
具体来说，如果函数在某一点x0处的导数大于0，那么函数在该点取得极小值；如果导数小于0，那么函数在该点取得极大值。
2.3 函数的单调性如果函数在某个区间内的导数恒大于0（或恒小于0），那么该函数在该区间内具有严格的单调增加性（或单调减少性）。
这是由导数的定义和单调性的相关定义推导出的。
2.4 函数的凹凸性凹凸性描述了函数的曲率的变化。
如果一个函数在某个区间内的导数递增（或递减），那么该函数在该区间内凹向上（或凹向下）。
凹凸性是导数的性质与曲率的关系。
2.5 高阶导数导数本身也可以再次求导，得到导数的导数，称为高阶导数。
高阶导数描述了函数变化的更高级别特性，例如加速度、曲率等。
3. 导数的应用函数导数在科学和工程中有广泛的应用。
下面我们介绍一些常见的应用。
3.1 切线与法线函数在某一点的导数可以用来求解函数的切线和法线。
切线和法线是函数在某一点的局部逼近，可以帮助我们研究函数在该点的变化特性。
3.2 极值点导数为0的点可能是函数的极值点，通过求解导函数的根，我们可以找到函数的极值点。
极值点是函数的重要特性，可以帮助我们找到函数的最大值和最小值。
函数与导数的关系与应用
函数与导数的关系与应用导数是微积分的重要概念之一，它描述了函数在不同点上的变化率。
理解函数与导数之间的关系对于解决实际问题、优化函数以及预测变化趋势非常重要。
在本文中，我们将探讨函数与导数的关系，并介绍一些导数的应用。
函数与导数之间的关系可以用导数的定义来描述。
对于函数f(x)，它在点x处的导数表示为f'(x)，可以定义为函数值的极限与自变量的变化量的比值的极限。
换句话说，函数的导数描述了函数在给定点上的斜率，或者说切线的斜率。
导数的一个重要特性是它可以用来分析函数的变化趋势。
根据函数的导数，我们可以确定函数何时增加或减少。
具体而言，如果函数f'(x)为正，说明函数在该点上递增；如果函数f'(x)为负，说明函数在该点上递减。
另外，如果函数f'(x)为零，说明函数在该点上可能达到极值。
函数的导数还可以用来解决最优化问题。
例如，如果我们想要求一个函数f(x)在给定区间内的最大值或最小值，我们可以通过求导数来找到解析解。
首先，我们计算函数f(x)的导数，并令其为零。
然后，我们解方程得到可能的极值点。
最后，我们比较这些极值点的函数值，找到最大值或最小值。
除了最优化问题，导数还可以用来在给定点上近似函数的行为。
通过计算导数，我们可以找到函数在该点附近的切线，从而更好地理解函数的行为。
具体来说，我们可以使用切线来估计函数在附近点的近似函数值，以及预测函数在未知点的行为。
导数还具有在物理学和经济学中的一些应用。
例如，在物理学中，速度是对位移的导数，加速度是对速度的导数。
通过计算速度和加速度的导数，我们可以得到物体在不同时间点的位移、速度和加速度的关系。
在经济学中，边际效应也可以通过导数来描述。
边际效应表示了当产量或投入量发生微小变化时，产量或收益发生的变化量。
最后，导数在数学中还有许多其他的应用。
它们可以用来证明函数的性质，解决微分方程以及推导其他公式。
导数是微积分的核心概念之一，对于理解和应用微积分非常重要。
导数的概念导数公式与应用
导数的概念导数公式与应用导数是微积分中的一个重要概念，用于描述函数的变化率。
导数的概念在不同领域都有广泛应用，例如物理学、经济学和工程学等。
本文将介绍导数的概念、导数公式以及导数在实际应用中的一些例子。
导数的概念可以理解为函数在其中一点处的变化率。
具体来说，如果函数在其中一点处具有导数，那么导数等于函数在该点处的斜率。
直观地说，如果一个函数在其中一点的导数为正，意味着函数在该点附近的值在增加；如果导数为负，意味着函数在该点附近的值在减小。
如果导数等于零，在该点附近的值则没有变化。
导数的计算可以使用导数公式来简化。
对于一些常见的函数，我们可以使用已知的导数公式来得到它们的导数。
例如，对于多项式函数，如果f(x) = ax^n ，其中a和n为常数，那么它的导数为f'(x) = nax^(n-1)。
而对于指数函数f(x) = e^x ，它的导数等于它自身，即f'(x) = e^x。
通过使用这些已知的导数公式，我们可以计算更复杂函数的导数。
导数在实际应用中有着广泛的应用。
一个常见的应用是在物理学中，用于描述物体的运动。
例如，我们可以通过计算一个物体的位移函数的导数来得到它的速度函数。
同样地，计算速度函数的导数可以得到加速度函数。
通过这样的导数计算，我们可以更好地理解物体的运动规律。
另一个应用是在经济学中，用于描述供需关系。
导数可以提供给我们有关价格和数量之间关系的更多信息。
如果一个函数表示价格对其中一变量的依赖关系，那么它的导数可以告诉我们，当这个变量改变一个单位时，价格将会如何改变。
这种信息对于制定合理的价格策略和优化资源配置非常重要。
除了物理学和经济学，导数在工程学和计算机科学中也有许多应用。
在工程学中，导数可以用于解决建筑结构的优化问题，确保建筑物的稳定性。
在计算机科学中，导数可以用于图像处理和机器学习等领域，提供对图像和数据的更深入的理解。
总结起来，导数是微积分中的一个重要概念，用于描述函数的变化率。
导数在函数中的应用知识点讲解+例题讲解(含解析)
导数在函数中的应用一、知识梳理1.函数的单调性与导数的关系函数y＝f(x)在某个区间内可导，则：(1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间内单调递增；(2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间内单调递减；(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数.2.函数的极值与导数形如山峰形如山谷3.函数的最值与导数(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值二、例题精讲 + 随堂练习1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)若函数f (x )在(a ，b )内单调递增，那么一定有f ′(x )>0.( )(2)如果函数f (x )在某个区间内恒有f ′(x )＝0，则f (x )在此区间内没有单调性.( ) (3)函数的极大值一定大于其极小值.( )(4)对可导函数f (x )，f ′(x 0)＝0是x 0为极值点的充要条件.( )(5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值.( ) 解析 (1)f (x )在(a ，b )内单调递增，则有f ′(x )≥0. (3)函数的极大值也可能小于极小值.(4)x 0为f (x )的极值点的充要条件是f ′(x 0)＝0，且x 0两侧导函数异号. 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)× (5)√2.如图是f (x )的导函数f ′(x )的图象，则f (x )的极小值点的个数为( )A.1B.2C.3D.4解析 由题意知在x ＝－1处f ′(－1)＝0，且其两侧导数符号为左负右正. 答案 A3.函数f (x )＝2x －x ln x 的极值是( ) A.1eB.2eC.eD.e 2解析 因为f ′(x )＝2－(ln x ＋1)＝1－ln x ，令f ′(x )＝0，所以x ＝e ，当f ′(x )>0时，解得0<x <e ；当f ′(x )<0时，解得x >e ，所以x ＝e 时，f (x )取到极大值，f (x )极大值＝f (e)＝e. 答案 C4.(2019·青岛月考)函数f (x )＝cos x －x 在(0，π)上的单调性是( ) A.先增后减 B.先减后增 C.单调递增D.单调递减解析易知f′(x)＝－sin x－1，x∈(0，π)，则f′(x)<0，所以f(x)＝cos x－x在(0，π)上递减.答案D5.(2017·浙江卷)函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是()解析设导函数y＝f′(x)与x轴交点的横坐标从左往右依次为x1，x2，x3，由导函数y＝f′(x)的图象易得当x∈(－∞，x1)∪(x2，x3)时，f′(x)<0；当x∈(x1，x2)∪(x3，＋∞)时，f′(x)>0(其中x1<0<x2<x3)，所以函数f(x)在(－∞，x1)，(x2，x3)上单调递减，在(x1，x2)，(x3，＋∞)上单调递增，观察各选项，只有D选项符合.答案D6.(2019·豫南九校考评)若函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极小值，则常数c的值为()A.4B.2或6C.2D.6解析函数f(x)＝x(x－c)2的导数为f′(x)＝3x2－4cx＋c2，由题意知，在x＝2处的导数值为12－8c＋c2＝0，解得c＝2或6，又函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极小值，故导数在x＝2处左侧为负，右侧为正，而当e＝6时，f(x)＝x(x－6)2在x＝2处有极大值，故c＝2.答案C考点一 求函数的单调区间【例1】 已知函数f (x )＝ax 3＋x 2(a ∈R )在x ＝－43处取得极值. (1)确定a 的值；(2)若g (x )＝f (x )e x ，求函数g (x )的单调减区间. 解 (1)对f (x )求导得f ′(x )＝3ax 2＋2x ，因为f (x )在x ＝－43处取得极值，所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝0，即3a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－432＋2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝16a 3－83＝0，解得a ＝12.(2)由(1)得g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 3＋x 2e x ，故g ′(x )＝12x (x ＋1)(x ＋4)e x . 令g ′(x )<0，即x (x ＋1)(x ＋4)<0， 解得－1<x <0或x <－4，所以g (x )的单调减区间为(－1，0)，(－∞，－4). 规律方法 1.求函数单调区间的步骤：(1)确定函数f (x )的定义域；(2)求f ′(x )；(3)在定义域内解不等式f ′(x )>0，得单调递增区间；(4)在定义域内解不等式f ′(x )<0，得单调递减区间. 2.若所求函数的单调区间不止一个时，用“，”与“和”连接.【训练1】 (1)已知函数f (x )＝x ln x ，则f (x )( ) A.在(0，＋∞)上递增 B.在(0，＋∞)上递减 C.在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上递增 D.在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上递减 (2)已知定义在区间(－π，π)上的函数f (x )＝x sin x ＋cos x ，则f (x )的单调递增区间为________.解析 (1)因为函数f (x )＝x ln x ，定义域为(0，＋∞)，所以f ′(x )＝ln x ＋1(x >0)，当f ′(x )>0时，解得x >1e ，即函数的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞；当f ′(x )<0时，解得0<x <1e ，即函数的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e .(2)f ′(x )＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x .令f ′(x )＝x cos x >0，则其在区间(－π，π)上的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2和⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，即f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.答案 (1)D (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2考点二 讨论函数的单调性【例2】 (2017·全国Ⅰ卷改编)已知函数f (x )＝e x (e x －a )－a 2x ，其中参数a ≤0. (1)讨论f (x )的单调性； (2)若f (x )≥0，求a 的取值范围.解 (1)函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，且a ≤0. f ′(x )＝2e 2x －a e x －a 2＝(2e x ＋a )(e x －a ).①若a ＝0，则f (x )＝e 2x ，在(－∞，＋∞)上单调递增. ②若a <0，则由f ′(x )＝0，得x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2时，f ′(x )<0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，＋∞时，f ′(x )>0.故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2上单调递减，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，＋∞上单调递增.(2)①当a ＝0时，f (x )＝e 2x ≥0恒成立.②若a <0，则由(1)得，当x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2时，f (x )取得最小值，最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝a 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤34－ln ⎝⎛⎭⎪⎫－a 2， 故当且仅当a 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤34－ln ⎝⎛⎭⎪⎫－a 2≥0， 即0>a ≥－2e 34时，f (x )≥0.综上，a 的取值范围是[－2e 34，0].【训练2】 已知f (x )＝x 22－a ln x ，a ∈R ，求f (x )的单调区间.解 因为f (x )＝x 22－a ln x ，x ∈(0，＋∞)，所以f ′(x )＝x －a x ＝x 2－ax .(1)当a ≤0时，f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)上为单调递增函数. (2)当a >0时，f ′(x )＝（x ＋a ）（x －a ）x，则有①当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0，所以f (x )的单调递减区间为(0，a ). ②当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，所以f (x )的单调递增区间为(a ，＋∞). 综上所述，当a ≤0时，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间. 当a >0时，函数f (x )的单调递减区间为(0，a )，单调递增区间为(a ，＋∞).考点三 函数单调性的简单应用 角度1 比较大小或解不等式【例3－1】 (1)已知函数y ＝f (x )对于任意的x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2满足f ′(x )cos x ＋f (x )sin x ＝1＋ln x ，其中f ′(x )是函数f (x )的导函数，则下列不等式成立的是( ) A.2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4B.2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4C.2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6>3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4D.3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6(2)已知函数f ′(x )是函数f (x )的导函数，f (1)＝1e ，对任意实数都有f (x )－f ′(x )>0，设F (x )＝f （x ）e x ，则不等式F (x )<1e 2的解集为( ) A.(－∞，1) B.(1，＋∞) C.(1，e)D.(e ，＋∞)解析 (1)令g (x )＝f （x ）cos x ，则g ′(x )＝f ′(x )cos x －f (x )(－sin x )cos 2x ＝1＋ln x cos 2x .由⎩⎪⎨⎪⎧0<x <π2，g ′(x )>0，解得1e <x <π2；由⎩⎪⎨⎪⎧0<x <π2，g ′(x )<0，解得0<x <1e .所以函数g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，π2上单调递增，又π3>π4，所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3cos π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4cos π4， 即2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4.(2)F ′(x )＝f ′(x )e x －e x f (x )(e x )2＝f ′(x )－f (x )e x ，又f (x )－f ′(x )>0，知F ′(x )<0， ∴F (x )在R 上单调递减.由F (x )<1e 2＝F (1)，得x >1， 所以不等式F (x )<1e 2的解集为(1，＋∞).答案 (1)B (2)B角度2 根据函数单调性求参数【例3－2】 (2019·日照质检)已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax 2＋2x . (1)若函数h (x )＝f (x )－g (x )存在单调递减区间，求实数a 的取值范围； (2)若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1，4]上单调递减，求实数a 的取值范围. 解 h (x )＝ln x －12ax 2－2x ，x >0.∴h ′(x )＝1x －ax －2.(1)若函数h (x )在(0，＋∞)上存在单调减区间， 则当x >0时，1x －ax －2<0有解，即a >1x 2－2x 有解. 设G (x )＝1x 2－2x ，所以只要a >G (x )min . 又G (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －12－1，所以G (x )min ＝－1.所以a >－1.即实数a 的取值范围是(－1，＋∞). (2)由h (x )在[1，4]上单调递减，∴当x ∈[1，4]时，h ′(x )＝1x －ax －2≤0恒成立， 则a ≥1x 2－2x 恒成立，设G (x )＝1x 2－2x ， 所以a ≥G (x )max . 又G (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －12－1，x ∈[1，4]，因为x ∈[1，4]，所以1x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1，所以G (x )max ＝－716(此时x ＝4)，所以a ≥－716.又当a ＝－716时，h ′(x )＝1x ＋716x －2＝（7x －4）（x －4）16x，∵x ∈[1，4]，∴h ′(x )＝（7x －4）（x －4）16x ≤0，当且仅当x ＝4时等号成立. ∴h (x )在[1，4]上为减函数. 故实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－716，＋∞.规律方法 1.利用导数比较大小，其关键在于利用题目条件构造辅助函数，把比较大小的问题转化为先利用导数研究函数的单调性，进而根据单调性比较大小. 2.根据函数单调性求参数的一般思路(1)利用集合间的包含关系处理：y ＝f (x )在(a ，b )上单调，则区间(a ，b )是相应单调区间的子集.(2)f (x )是单调递增的充要条件是对任意的x ∈(a ，b )都有f ′(x )≥0且在(a ，b )内的任一非空子区间上，f ′(x )不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解.(3)函数在某个区间存在单调区间可转化为不等式有解问题.【训练3】 (1)已知f (x )是定义在区间(0，＋∞)内的函数，其导函数为f ′(x )，且不等式xf ′(x )<2f (x )恒成立，则( ) A.4f (1)<f (2) B.4f (1)>f (2) C.f (1)<4f (2)D.f (1)>4f ′(2)(2)(2019·淄博模拟)若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(2，＋∞)上单调递增，则k 的取值范围是( )A.(－∞，－2]B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ C.[2，＋∞) D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12解析 (1)设函数g (x )＝f (x )x 2(x >0)，则g ′(x )＝x 2f ′(x )－2xf (x )x 4＝xf ′(x )－2f (x )x 3<0，所以函数g (x )在(0，＋∞)内为减函数，所以g (1)>g (2)，即f (1)12>f (2)22，所以4f (1)>f (2).(2)由于f ′(x )＝k －1x ，f (x )＝kx －ln x 在区间(2，＋∞)上单调递增，等价于f ′(x )＝k －1x ≥0在(2，＋∞)上恒成立，由于k ≥1x ，而0<1x <12，所以k ≥12.即k 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞. 答案 (1)B (2)B三、课后练习1.(2017·山东卷)若函数e x f (x )(e ＝2.718 28…是自然对数的底数)在f (x )的定义域上单调递增，则称函数f (x )具有M 性质.下列函数中具有M 性质的是( ) A.f (x )＝2－x B.f (x )＝x 2 C.f (x )＝3－xD.f (x )＝cos x解析 设函数g (x )＝e x ·f (x )，对于A ，g (x )＝e x ·2－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2x，在定义域R 上为增函数，A 正确.对于B ，g (x )＝e x ·x 2，则g ′(x )＝x (x ＋2)e x ，由g ′(x )>0得x <－2或x >0，∴g (x )在定义域R 上不是增函数，B 不正确.对于C ，g (x )＝e x ·3－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e 3x在定义域R 上是减函数，C 不正确.对于D ，g (x )＝e x ·cos x ，则g ′(x )＝2e x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，g ′(x )>0在定义域R 上不恒成立，D 不正确. 答案 A2.(2019·上海静安区调研)已知函数f (x )＝x sin x ＋cos x ＋x 2，则不等式f (ln x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1x <2f (1)的解集为( ) A.(e ，＋∞)B.(0，e)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e ∪(1，e) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，e 解析 f (x )＝x sin x ＋cos x ＋x 2是偶函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1x ＝f (－ln x )＝f (ln x ).则原不等式可变形为f (ln x )<f (1)⇔f (|ln x |)<f (1). 又f ′(x )＝x cos x ＋2x ＝x (2＋cos x )， 由2＋cos x >0，得x >0时，f ′(x )>0.所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增. ∴|ln x |<1⇔－1<ln x <1⇔1e <x <e. 答案 D3.若函数f (x )＝x －13sin 2x ＋a sin x 在(－∞，＋∞)单调递增，则a 的取值范围是________.解析 f ′(x )＝1－23cos 2x ＋a cos x ＝1－23(2cos 2x －1)＋a cos x ＝－43cos 2 x ＋a cos x ＋53，f (x )在R 上单调递增，则f ′(x )≥0在R 上恒成立.令cos x ＝t ，t ∈[－1，1]，则－43t 2＋at ＋53≥0在[－1，1]上恒成立，即4t 2－3at －5≤0在t ∈[－1，1]上恒成立. 令g (t )＝4t 2－3at －5，则⎩⎨⎧g (1)＝4－3a －5≤0，g (－1)＝4＋3a －5≤0，解得－13≤a ≤13. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，134.已知函数f (x )＝a ln x －ax －3(a ∈R ). (1)求函数f (x )的单调区间；(2)若函数y ＝f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t ∈[1，2]，函数g (x )＝x 3＋x 2·⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ′（x ）＋m 2在区间(t ，3)上总不是单调函数，求m 的取值范围.解 (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， 且f ′(x )＝a （1－x ）x， 当a >0时，f (x )的递增区间为(0，1)， 递减区间为(1，＋∞)；当a <0时，f (x )的递增区间为(1，＋∞)，递减区间为(0，1)； 当a ＝0时，f (x )为常函数.(2)由(1)及题意得f ′(2)＝－a 2＝1，即a ＝－2，∴f (x )＝－2ln x ＋2x －3，f ′(x )＝2x －2x .∴g (x )＝x 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋2x 2－2x ， ∴g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2.∵g (x )在区间(t ，3)上总不是单调函数， 即g ′(x )在区间(t ，3)上有变号零点.由于g ′(0)＝－2，∴⎩⎨⎧g ′(t )<0，g ′(3)>0.当g ′(t )<0时，即3t 2＋(m ＋4)t －2<0对任意t ∈[1，2]恒成立， 由于g ′(0)<0，故只要g ′(1)<0且g ′(2)<0， 即m <－5且m <－9，即m <－9；由g ′(3)>0，即m >－373. ∴－373<m <－9.即实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－373，－9.。
函数的导数及其应用
函数的导数及其应用
函数的导数是指函数y=f(x)的斜率，表示函数在每个点上的变
化率。
导数表示了函数在某一点的瞬时变化率。
导数的符号和大小
可以告诉我们函数在该点的增长或减少程度，以及函数变化的速率。
导数在实际应用中有很多重要的作用，包括：
1. 切线和切平面的计算：导数可以用来计算曲线在某一点的切
线以及曲面在某一点的切平面。
2. 极值的计算：导数可以用来找出函数的最大值和最小值，以
及函数的拐点和凸凹性。
3. 增长率和加速度的计算：导数可以用来计算物体的速度和加
速度，而这些量在物理学中有重要的应用。
4. 构建数学模型：导数是数学建模中不可或缺的工具，可以用
来描述各种现象，从物理学到经济学、生态学等学科。
总之，导数是数学中非常重要的概念，可以应用于各个领域的
问题中，深受科学家和工程师的青睐。
高考数学中的导数概念及其应用实例
高考数学中的导数概念及其应用实例数学是一门理性、逻辑思维和抽象化的学科，而数学高考则是在实现这些特点的同时，注重考查数学知识的应用。
在所有的数学知识点中，导数概念是一个至关重要的知识点。
接下来，我们将深入探讨导数概念及其应用实例。
一、导数概念导数概念最早由连续函数概念发展而来，主要用于刻画函数在某一点的变化率。
假设函数$f(x)$在$x_0$处存在，那么$f(x)$在$x_0$处的导数可以表示为：$lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$当这个极限存在时，称为函数$f(x)$在$x_0$处可导，并表示$f'(x_0)$或$\frac{df}{dx}(x_0)$。
导数概念实际上是一个极限概念，它刻画了函数在某一点附近的局部变化情况。
具体来说，函数$f(x)$在点$x_0$处的导数$f'(x_0)$表示的是，在极小的变化量$\Delta x$内，函数在$x_0$处的相应变化量$\Delta f(x)$与$\Delta x$之比的极限。
从这个定义出发，我们可以理解导数之间的几何意义。
在平面直角坐标系中，将函数$y=f(x)$上一点$(x_0,f(x_0))$处的切线的斜率定义为该点处的导数$f'(x_0)$。
这意味着，导数是函数值在某一点处的切线斜率。
通过图像，我们还可以理解导数的符号：当函数上升，导数为正；当函数下降，导数为负；对于水平位置，导数为零。
二、导数概念的应用实例在高考数学中，导数概念被广泛应用在各种数学问题中。
这里简要列举几个典型的实例。
1. 最值问题当我们研究一个函数的极值时，导数概念可以为我们提供强有力的工具。
假设函数$f(x)$在$[a,b]$区间内连续，在$(a,b)$内可导。
如果在$x_0\in(a,b)$处$f'(x_0)=0$并且$f''(x_0)>0$（或$f''(x_0)<0$），则$f(x_0)$是函数$f(x)$在$[a,b]$中的极小（或极大）值。
导数的定义及其应用
导数的定义及其应用导数是微积分中一个非常重要的概念，它在自然科学、工程学、经济学等多个领域都有广泛的应用。
本文将从导数的定义、导数的计算方法和导数的应用三个方面进行论述。
一、导数的定义导数是函数在某个点上的变化率，它描述了函数在一点附近的斜率，可以表示为函数在该点的极限。
具体地说，如果函数$f(x)$在点$x_0$处可导，那么它的导数为：$$f'(x_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$$其中$h$为趋近于$0$的实数。
如果这个极限存在，则称$f(x)$在$x_0$处可导。
例如，求函数$f(x)=x^2$在$x=2$处的导数，我们可以将$x_0=2$代入上式，得到：$$f'(2)=\lim_{h\to0}\frac{(2+h)^2-2^2}{h}=\lim_{h\to0}(4+4h+h^2)/h=4$$因此，$f(x)=x^2$在$x=2$处的导数为$4$。
二、导数的计算方法导数的计算方法有很多种，这里介绍三种常用的方法。
1. 用定义式计算。
根据导数的定义，我们可以将函数在某个点的导数表示为极限，通过计算该极限来求出导数的值。
这种方法往往比较繁琐，适用于简单函数或需要进行特殊推导的函数。
2. 利用导数的性质计算。
导数具有很多有用的性质，如加减法、乘法、链式法则等，可以帮助我们快速计算导数。
例如，对于两个函数$f(x)$和$g(x)$，它们的和函数$(f+g)(x)$的导数为$f'(x)+g'(x)$，积函数$(f\cdot g)(x)$的导数为$f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$，以及由复合函数$u(x)=f(g(x))$构成的函数$v(x)=u'(x)=f'(g(x))g'(x)$的导数等等。
3. 利用数值计算方法计算。
数值计算方法是一种近似计算导数的方法，常用的方法有差分法、牛顿-莱布尼茨公式、微分方程法等等。
导数的概念导数公式与应用
导数的概念导数公式与应用一、导数的概念导数是微积分中的重要概念之一，表示函数在其中一点处的变化率。
具体来说，对于函数f(x)，在点x处的导数可以用极限表示为：f'(x) = lim┬(Δx→0)〖(f(x+Δx) - f(x))/Δx 〗其中，Δx表示自变量x的一个增量。
导数表示了在自变量x发生微小变化的过程中，函数f(x)相应地发生的变化。
二、导数的公式1.常数的导数公式：如果f(x)=c是一个常数函数，其中c是常数，则f'(x)=0。
这是因为无论x如何变化，函数的值始终保持不变。
2.幂函数的导数公式：如果f(x)=x^n，其中n是任意实数，则f'(x)=nx^(n-1)。
3.指数函数的导数公式：如果f(x)=a^x，其中a>0且a≠1，则f'(x)=a^xln(a)。
这个公式表明指数函数的导数与指数函数的底数有关。
4.对数函数的导数公式：如果f(x)=logₐ(x)，其中a>0且a≠1，则f'(x)=1/((xln(a))。
5.三角函数的导数公式：- sin(x)的导数：(sin(x))'=cos(x)。
- cos(x)的导数：(cos(x))'=-sin(x)。
- tan(x)的导数：(tan(x))'=sec^2(x)。
6.反三角函数的导数公式：- arcsin(x)的导数：(arcsin(x))'=1/√(1-x^2)。
- arccos(x)的导数：(arccos(x))'=-1/√(1-x^2)。
- arctan(x)的导数：(arctan(x))'=1/(1+x^2)。
以及其他常用函数的导数公式，如指数函数、对数函数的复合函数求导法则等。
三、导数的应用导数作为一种变化率的度量，有许多实际应用。
1.切线与法线：通过计算函数的导数，可以求得函数曲线在特定点处的导数值，从而得到曲线上该点处的切线方程。
函数的导数与导数的应用
函数的导数与导数的应用导数是微积分学中的重要概念。
它可以用来描述函数在某一点处的变化率，并在实际问题中有广泛的应用。
本文将介绍函数的导数的定义、求导法则以及导数在几何和物理问题中的应用。
一、函数的导数的定义函数的导数描述了函数在某一点处的变化率。
设函数y=f(x)，如果函数在点x处的变化率存在极限，那么这个极限就是函数在该点的导数，记作f'(x)或dy/dx。
二、求导法则1. 基本导数法则- 常数的导数为0：(k)' = 0，其中k为常数。
- 幂函数的导数为幂次乘以原函数的导数：(x^n)' = nx^(n-1)，其中n为正整数。
- 对数函数的导数为倒数除以原函数：(log_ax)' = (1/lna)·(1/x)。
- 指数函数的导数为本身函数的导数再乘以常数：(a^x)' = ln(a)·a^x，其中a为常数。
2. 导数的四则运算法则- 和函数的导数等于两个函数的导数之和：(u+v)' = u' + v'。
- 差函数的导数等于两个函数的导数之差：(u-v)' = u' - v'。
- 乘积函数的导数等于一个函数乘以另一个函数的导数之和：(uv)' = u'v + uv'。
- 商函数的导数等于一个函数的导数乘以另一个函数减去另一个函数的导数乘以一个函数，再除以另一个函数的平方：(u/v)' = (u'v - uv') /v^2，其中v不等于0。
3. 复合函数的导数- 复合函数的导数可以通过链式法则求得。
设y=f(u)，u=g(x)，则复合函数y=f(g(x))的导数为dy/dx = dy/du · du/dx。
三、导数的几何应用1. 切线与法线函数的导数可用来求函数图像上某一点处的切线斜率。
切线的斜率等于函数在该点的导数值。
此外，切线的斜率的倒数就是法线的斜率。
导数的性质及其应用
导数的性质及其应用性质单调性(1)若导数大于零,则单调递增;若导数小于零,则单调递减;导数等于零为函数驻点,不一定为极值点。
需代入驻点左右两边的数值求导数正负判断单调性。
(2)若已知函数为递增函数,则导数大于等于零;若已知函数为递减函数,则导数小于等于零。
根据微积分基本定理,对于可导的函数,有:如果函数的导函数在某一区间内恒大于零(或恒小于零) ,那么函数在这一区间内单调递增(或单调递减) ,这种区间也称为函数的单调区间。
导函数等于零的点称为函数的驻点,在这类点上函数可能会取得极大值或极小值(即极值可疑点) 。
进一步判断则需要知道导函数在附近的符号。
对于满足的一点,如果存在使得在之前区间上都大于等于零，而在之后区间上都小于等于零,那么是一个极大值点,反之则为极小值点。
x变化时函数(蓝色曲线)的切线变化。
函数的导数值就是切线的斜率,绿色代表其值为正,红色代表其值为负，黑色代表值为零。
凹凸性可导函数的凹凸性与其导数的单调性有关。
如果函数的导函数在某个区间上单调递增，那么这个区间上函数是向下凹的，反之则是向上凸的。
如果二阶导函数存在，也可以用它的正负性判断，如果在某个区间上恒大于零，则这个区间上函数是向下凹的，反之这个区间上函数是向上凸的。
曲线的凹凸分界点称为曲线的拐点。
应用导数与物理、几何、代数关系密切：在几何中可求切线；在代数中可求瞬时变化率；在物理中可求速度、加速度。
导数亦名纪数、微商（微分中的概念），是由速度变化问题和曲线的切线问题（矢量速度的方向）而抽象出来的数学概念，又称变化率。
如一辆汽车在10小时内走了600千米，它的平均速度是60千米/小时。
但在实际行驶过程中，是有快慢变化的，不都是60千米/小时。
为了较好地反映汽车在行驶过程中的快慢变化情况，可以缩短时间间隔，设汽车所在位置s与时间t的关系为：那么汽车在由时刻t0变到t1这段时间内的平均速度是：当t1无限趋近于t0时，汽车行驶的快慢变化就不会很大，平均速度就近似等于t0时刻的瞬时速度，因而就把此时的极限作为汽车在时刻t0的瞬时速度，即，这就是通常所说的速度。
实变函数论中的导数性质及其应用
实变函数论中的导数性质及其应用在实变函数论中，导数是一个重要的概念，它描述了函数在某一点的变化率。
在这篇回答中，我将介绍导数的性质以及其在实际问题中的应用。
首先，导数具有以下一些重要的性质：1. 导数的定义：设函数f(x)在点x=a处可导，那么f(x)在点x=a处的导数定义为f'(a) = lim┬(h→0)〖(f(a+h)-f(a))/h〗。
这个定义描述了函数在某一点的瞬时变化率。
2. 可导函数的连续性：如果函数f(x)在点x=a处可导，那么f(x)在点x=a处连续。
这意味着函数在可导点处没有突变或跳跃。
3. 导数的四则运算法则：设函数f(x)和g(x)在点x=a处可导，那么有以下几个重要的式子：a) (cf)'(a) = cf'(a)，其中c是常数；b) (f+g)'(a) = f'(a) + g'(a)；c) (fg)'(a) = f'(a)g(a) + f(a)g'(a)；d) (f/g)'(a) = (f'(a)g(a) - f(a)g'(a))/[g^2(a)]，其中g(a)≠0。
4. 链式法则：设函数y=f(g(x))是由两个函数f(u)和g(x)复合而成，如果g(x)在点x=a处可导且f(u)在u=g(a)处可导，那么复合函数y=f(g(x))在点x=a处可导，且导数为dy/dx=f'(g(a))g'(a)。
有了以上导数的性质，我们可以将导数应用到多个实际问题中。
以下是导数在实际问题中的一些常见应用。
1. 切线与法线：导数描述了函数在某一点的瞬时变化率，因此可以用来求得切线的斜率。
给定一个函数f(x)，如果点P(x_1,f(x_1))在曲线上，那么切线方程为y=f'(x_1)(x-x_1)+f(x_1)。
法线则垂直于切线，斜率为-1/f'(x_1)。
2. 优化问题：在求解优化问题时，导数可以帮助我们确定函数的极值点。
导数的原理与应用
导数的原理与应用一、导数的定义•导数是微积分中的重要概念，用于描述函数在某点处的变化率。
•函数在某点处的导数，表示该点处函数曲线的切线斜率。
二、导数的计算方法1.利用极限–导数f′(x)可以通过极限 $f'(x) = \\lim_{\\Delta x \\to 0} \\frac{f(x+\\Delta x)-f(x)}{\\Delta x}$ 来计算。
–这种方法适用于所有类型的函数，但计算较为繁琐。
2.常用的导数公式–f(x)=C，其中C为常数，导数f′(x)=0。
–f(x)=x n，其中n为常数，导数f′(x)=nx n−1。
–$f(x)=\\sin(x)$ ，导数 $f'(x)=\\cos(x)$。
–$f(x)=\\cos(x)$ ，导数 $f'(x)=-\\sin(x)$。
三、导数的性质1.导数的可加性–若函数 f(x) 和 g(x) 都在某点处可导，则(f+g)′(x)=f′(x)+ g′(x)。
2.导数的乘法法则–若函数 f(x) 和 g(x) 都在某点处可导，则 $(f \\cdot g)'(x)=f'(x) \\cdot g(x)+f(x) \\cdot g'(x)$。
3.导数的链式法则–若函数 y=f(u) 和 u=g(x) 都在某点处可导，则 $(f \\circg)'(x)=f'(g(x)) \\cdot g'(x)$。
四、导数的应用1.切线和切线方程–导数可以描述函数曲线在某点处的切线斜率。
–切线方程为y=f′(x)(x−x0)+f(x0)，其中x0为切线与函数曲线的交点横坐标。
2.极值和拐点–导数可以用来判断函数的极大值、极小值和拐点。
–在导数图像中，极大值对应导数从正数到负数的转折点，极小值对应导数从负数到正数的转折点，拐点对应导数的极值点。
3.函数图像的性态–导数可以用来研究函数的递增、递减和凹凸性。
导数的应用(单调性、极值、最值)
例5 求出函数 f ( x) x3 3x2 24x 20 的极值. 解 f ( x) 3x2 6x 24 3( x 4)(x 2) 令 f ( x) 0， 得驻点 x1 4, x2 2. f ( x) 6x 6, f (4) 18 0, 故极大值 f (4) 60,
单调区间为 (,1]， [1,2]，[2,).
通常用列表讨论。
例3 确定函数 f ( x) 3 x2 的单调区间.
解 D : (,).
f ( x) 2 , 33 x
( x 0)
y 3 x2
当x 0时,导数不存在.
当 x 0时，f ( x) 0, 在(,0]上单调减少；
当0 x 时， f ( x) 0, 在[0,)上单调增加；
解
f
(
x)
2
(
x
1
2) 3
( x 2)
3
当x 2时, f ( x)不存在. 但函数f ( x)在该点连续.
当x 2时，f ( x) 0;
2、若在 (a, b) 内 f '( x) 0，则 f ( x) 在 (a, b) 上单减.
例1 讨论函数 y ex x 1 的单调性.
解 y ex 1, 且 D (, ).
在(,0)内, y 0,
函数单调减少； 在(0,)内, y 0, 函数单调增加. 注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用 导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一 点处的导数符号来判别一个区间上的单调性．
如 果 存 在 着 点x0的 一 个 邻 域, 对 于 这 邻 域 内 的 任何点x,除了点x0外, f ( x) f ( x0 )均成立,就称 f ( x0 )是函数f ( x)的一个极小值.
导数的定义及其应用
导数的定义及其应用在数学中，导数是一个十分常见的概念，它的定义和应用范围都非常广泛。
本文将分别从导数的定义和应用这两个方面进行详细探讨。
一、导数的定义导数，又称微商，是数学中一个十分基础的概念。
它表示函数在某一点处的变化速率，具体定义如下：设函数 f(x) 在点 x0 处连续，则函数 f(x) 在点 x0 处的导数f’(x0) 定义为：f’(x0) = lim f(x) - f(x0)x→x0 ----------------x - x0其中，x0 是任意实数，x 与 x0 之间的差值可以趋近于0但不能等于0。
这个定义可以简单解释为：在函数的某一点处，如果微小的变化量 dx 对应的函数变化量为 dy，那么导数f’(x) 就是 dy/dx 的极限值。
二、导数的应用导数具有许多实际应用，下面我们将就导数在各个领域中的应用进行探讨。
1. 极值问题在微积分中，一个函数在某一点的导数可以告诉我们该函数在该点处是否有极值。
换句话说，如果一个函数在某一点处的导数为0，则该点就是函数的一个可能的极值点。
我们可以通过对该函数导数的符号进行分析来确定是极大值或极小值。
2. 斜率问题导数也可以用来描述曲线的斜率。
当我们求出一条曲线在某一点的导数时，这个导数就可以告诉我们该点处该曲线的切线的斜率。
切线的斜率在几何学的角度来讲，就代表了曲线在该点处的斜率。
3. 最速下降线导数还可以用于求解物理问题，如最速下降线。
假设一个物体在空气中落下时受到阻力，那么它将在空气中以一个最快的速度下落。
这个速度可以通过求解物体所受阻力的函数的导数来得到，这个导数的零点就表示物体以最快速度下落时的速度。
4. 泰勒级数最后，导数还可以用于计算函数的泰勒级数。
泰勒级数是一个多项式，它可以代表一个周期性函数，并且可以用无限个次数的导数来确定。
总的来说，导数是微积分中一个重要的概念，它不仅可以用来解决极值问题和斜率问题，还可以用于计算最速下降线和泰勒级数等。
导数与函数的关系及其应用
导数与函数的关系及其应用1. 导数与函数的定义和计算方法导数是微积分中的一个重要概念，描述了函数在某一点上的变化率。
函数f(x)在点x=a处的导数可以表示为f'(a)或者dy/dx，定义如下：f'(a) = lim┬(x→a)(f(x)-f(a))/(x-a)。
计算导数有多种方法，常用的方法包括使用定义计算导数、使用常见函数求导法则，如常函数导数为0、幂函数导数为n次方乘以导数、指数函数导数为常数乘以导数等，还可以使用链式法则、隐函数法则、参数方程法则等进行计算。
2. 导数与函数的关系导数与函数之间有着密切的关系，通过导数可以了解函数在某一点的变化率和趋势。
导数表征了函数在不同点上的斜率，可以帮助我们研究函数的性质、求解最值问题、绘制函数图像等。
如果函数在某一点导数存在，则说明函数在该点处是可导的；如果函数在某一点的导数等于0，则该点称为函数的驻点；如果函数在某一区间内导数恒大于0或小于0，则函数在该区间内单调递增或单调递减。
3. 导数的应用导数在数学和其他学科中有着广泛的应用，以下列举几个常见的应用领域：3.1. 极值问题通过求解导数等于零的方程，可以找到函数的极值点。
根据导数的符号变化来判断极值的类型，其中导数大于0时为函数的极小值点，导数小于0时为函数的极大值点。
3.2. 切线与法线导数可以帮助我们确定函数在某一点的切线和法线。
切线的斜率等于函数在该点的导数值，切线方程可以表示为y = f(a) + f'(a)(x-a)。
法线的斜率等于切线斜率的负倒数，法线方程可以表示为y = f(a) - (1/f'(a))(x-a)。
3.3. 凸性与凹性通过计算函数的二阶导数，可以确定函数的凸性和凹性。
函数的二阶导数大于0表示函数在该点处凸，二阶导数小于0表示函数在该点处凹。
3.4. 泰勒展开与近似计算导数可以帮助我们进行函数的泰勒展开，通过泰勒展开可以将复杂的函数近似为多项式，从而简化计算和分析。
第1讲 导数及其应用(知识点串讲)(解析版)
第1讲 导数及其应用（知识点串讲）知识整合考点1．导数的概念(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数： 函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率 lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0()()00f x x f x x+∆-∆为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即 f ′(x 0)＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0()()00f x x f x x+∆-∆. (2)导数的几何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点P (x 0，y 0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0).(3)函数f (x )的导函数：称函数f ′(x )＝lim Δx →0()()f x x f x x+∆-∆为f (x )的导函数． 例1、(2018·山东东营期中)曲线f (x )＝x 2－3x ＋2ln x 在x ＝1处的切线方程为____________.【答案】x －y －3＝0 [f ′(x )＝2x －3＋2x ，f (1)＝－2，f ′(1)＝1，故切线方程为y ＋2＝x －1，即x －y －3＝0.][跟踪训练]1、(2019·山东济南联考)已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，则a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．－1D ．－2【答案】B [设直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )的切点为(x 0，y 0)，则y 0＝1＋x 0，y 0＝ln(x 0＋a )． 又y ′＝1x ＋a ，所以y ′|x ＝x 0＝1x 0＋a ＝1，即x 0＋a ＝1. 又y 0＝ln(x 0＋a )， 所以y 0＝0，则x 0＝－1，所以a ＝2.]考点2．基本初等函数的导数公式考点3．导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(3)()()()()()()()2'''f x f xg x f x g xg x g x⎡⎤-=⎢⎥⎡⎤⎣⎦⎣⎦(g(x)≠0)．考点4．复合函数的导数复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y x′＝y u′·u x′，即y对x的导数等于y 对u的导数与u对x的导数的乘积．例2、(2019·山东菏泽模拟)已知函数f(x)＝f′(1)x2＋2x＋2f(1)，则f′(2)的值为()A．－2B．0C．－4D．－6【答案】D[由题意f(1)＝f′(1)＋2＋2f(1)，化简得f(1)＝－f′(1)－2，而f′(x)＝2f′(1)x＋2，所以f′(1)＝2f′(1)＋2，得f′(1)＝－2，f(x)＝－2·x2＋2x＋2f(1)．所以f′(x)＝－4·x＋2.所以f′(2)＝－4×2＋2＝－6.] [跟踪训练]2、(2019·山东临沂期中)设函数f(x)在(0，＋∞)可导，其导函数为f′(x)，若f(ln x)＝x2－ln x，则f′(1)＝________.【答案】2e2－1[设ln x＝t，则x＝e t，∵f(ln x)＝x2－ln x，∴f(t)＝e2t－t，∴f(x)＝e2x－x，∴f′(x)＝2e2x －1，∴f′(1)＝2e2－1.]考点5.与导数相关的重要结论(1)奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．(2)[af(x)＋bg(x)]′＝af′(x)＋bg′(x)．(3)函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．考点6．函数的单调性(1)在(a ，b )内函数f (x )可导，f ′(x )在(a ，b )任意子区间内都不恒等于0. f ′(x ) ≥0⇔f (x )在(a ，b )上为增函数. f ′(x ) ≤0⇔f (x )在(a ，b )上为减函数.(2)在某区间内f ′(x )＞0(f ′(x )＜0)是函数f (x )在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．(3)可导函数f (x )在(a ，b )上是增(减)函数的充要条件是：对∀x ∈(a ，b )，都有f ′(x ) ≥0(f ′(x ) ≤0)且f ′(x )在(a ，b )上的任何子区间内都不恒为零．例3、(2019·山东青岛模拟)已知函数f (x )＝x 2＋ax ，若函数f (x )在x ∈[2，＋∞)上是单调递增的，则实数a的取值范围为( )A ．(－∞，8)B ．(－∞，16]C ．(－∞，－8)∪(8，＋∞)D ．(－∞，－16]∪[16，＋∞)【答案】B[f (x )＝x 2＋a x 在x ∈[2，＋∞)上单调递增，则f ′(x )＝2x －a x 2＝2x 3－ax2 ≥0在x ∈[2，＋∞)上恒成立. 则a ≤2x 3在x ∈[2，＋∞)上恒成立. 所以a ≤16.][跟踪训练]3、(2019·山东临沂阶段检测)已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且f ′(x )＜f (x )对任意的x ∈R 恒成立，则下列不等式均成立的是( )A ．f (ln 2)＜2f (0)，f (2)＜e 2f (0)B ．f (ln 2)＞2f (0)，f (2)＞e 2f (0)C ．f (ln 2)＜2f (0)，f (2)＞e 2f (0)D ．f (ln 2)＞2f (0)，f (2)＜e 2f (0)【答案】A [令()()xf xg x e =，则()()()2''x x x e f x e f x g x e -=＝()()'x f x f x e -.∵f ′(x )＜f (x )，∴g ′(x )＜0，∴g (x )是减函数，则有g (ln 2)＜g (0)，g (2)＜g (0)，即()ln 2ln 2f e ＜()00f e，()()2020f f e e <，所以f (ln 2)＜2f (0)，f (2)＜e 2f (0)．]考点7．函数的极值 (1)函数的极小值：函数y ＝f (x )在点x ＝a 的函数值f (a )比它在点x ＝a 附近其他点的函数值都小，f ′(a )＝0；而且在点x ＝a 附近的左侧f ′(x )＜0，右侧f ′(x )＞0，则点a 叫做函数y ＝f (x )的极小值点，f (a )叫做函数y ＝f (x )的极小值．(2)函数的极大值：函数y ＝f (x )在点x ＝b 的函数值f (b )比它在点x ＝b 附近的其他点的函数值都大，f ′(b )＝0；而且在点x ＝b 附近的左侧f ′(x )＞0，右侧f ′(x )＜0，则点b 叫做函数y ＝f (x )的极大值点，f (b )叫做函数y ＝f (x )的极大值．极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．(3)对于可导函数f (x )，f ′(x 0)＝0是函数f (x )在x ＝x 0处有极值的必要不充分条件． 例4、(2017·全国卷Ⅱ)若x ＝－2是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x －1的极值点，则f (x )的极小值为( )A ．－1B ．－2e －3 C ．5e －3D ．1【答案】A [函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x －1，则f ′(x )＝(2x ＋a )e x －1＋(x 2＋ax －1)·e x －1＝e x －1·[x 2＋(a ＋2)x ＋a －1]．由x ＝－2是函数f (x )的极值点得f ′(－2)＝e －3·(4－2a －4＋a －1)＝(－a －1)e －3＝0，所以a ＝－1. 所以f (x )＝(x 2－x －1)e x －1，f ′(x )＝e x －1·(x 2＋x －2)．由e x －1＞0恒成立，得x ＝－2或x ＝1时，f ′(x )＝0，且x ＜－2时，f ′(x )＞0； －2＜x ＜1时，f ′(x )＜0；x ＞1时，f ′(x )＞0. 所以x ＝1是函数f (x )的极小值点． 所以函数f (x )的极小值为f (1)＝－1.] [跟踪训练]4、(2019·山东淄博模拟)若函数f (x )＝x 3－2cx 2＋x 有极值点，则实数c 的取值范围为( ) A ．⎣⎡⎭⎫32，＋∞ B ．⎝⎛⎦⎤－∞，－32∪⎣⎡⎭⎫32，＋∞C ．⎝⎛⎭⎫32，＋∞D ．⎝⎛⎭⎫－∞，－32∪⎝⎛⎭⎫32，＋∞ 【答案】D [因为f (x )＝x 3－2cx 2＋x 有极值点，f ′(x )值有正有负，所以f ′(x )＝3x 2－4cx ＋1＝0有两个不同的根，Δ＝(4c )2－12＞0，解得c ＜－32或c ＞32.]考点8．函数的最值(1)在闭区间[a ，b ]上连续的函数f (x )在[a ，b ]上必有最大值与最小值．(2)若函数f (x )在[a ，b ]上单调递增，则f (a )为函数的最小值，f (b )为函数的最大值；若函数f (x )在[a ，b ]上单调递减，则f (a )为函数的最大值，f (b )为函数的最小值．例5、已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－4在x ＝2处取得极值，若m ，n ∈[－1，1]，则f (m )＋f ′(n )的最小值是________.【答案】－13 [f ′(x )＝－3x 2＋2ax ，根据已知2a3＝2，得a ＝3，即f (x )＝－x 3＋3x 2－4.根据函数f (x )的极值点，可得函数f (m )在[－1，1]上的最小值为f (0)＝－4，f ′(n )＝－3n 2＋6n 在[－1，1]上单调递增，所以f ′(n )的最小值为f ′(－1)＝－9.[f (m )＋f ′(n )]min ＝f (m )min ＋f ′(n )min ＝－4－9＝－13.]。
导数及其应用函数的极值与导数
2023《导数及其应用函数的极值与导数》contents •导数及其应用概述•函数的极值•导数与极值的关系•导数的其他应用目录01导数及其应用概述函数在某一点的导数如果一个函数在某一点处的变化率恒定，那么该函数在该点处可导。
导数表示函数在某一点处的变化趋势和速度。
导数的几何意义导数在几何上表示函数曲线在该点处的切线斜率。
导数的物理意义导数在物理中表示速度或加速度。
1 2 3如果函数在某区间内单调递增（或递减），那么该函数的导数在此区间内大于等于0（或小于等于0）。
函数单调性与导数的关系导数可以通过加、减、乘、除等运算进行计算，并遵循相应的运算法则。
导数的计算法则高阶导数是指一个函数对自变量求导的次数大于1的导数。
高阶导数的计算需要使用递推关系和低阶导数的计算结果。
高阶导数的计算03医学导数在医学中用于研究药物浓度、生理参数等变量的变化规律和趋势，为疾病诊断和治疗提供依据。
导数的应用场景01经济学导数在经济学中用于研究成本、收益、利润等变量的变化规律和趋势。
02工程学导数在工程学中用于研究物体的运动规律、机械振动、流体动力学等问题。
02函数的极值局部极小值函数在某一点的函数值比其邻域内的函数值都小，则称该点为局部极小值点，该点对应的函数值为局部极小值。
全局极小值在整个函数定义域内，函数值比其定义域内所有点的函数值都小，则称该点为全局极小值点，该点对应的函数值为全局极小值。
全局极大值在整个函数定义域内，函数值比其定义域内所有点的函数值都大，则称该点为全局极大值点，该点对应的函数值为全局极大值。
局部极大值函数在某一点的函数值比其邻域内的函数值都大，则称该点为局部极大值点，该点对应的函数值为局部极大值。
极值的定义极值的判定条件必要条件一阶导数在该点的值为零。
充分条件二阶导数在该点的符号发生变化（由正变为负或由负变为正）。
根据极值的定义，通过比较函数值与其邻域内的函数值来判断是否为极值点，然后求出极值。
先求出函数的导数，令导数为零得到极值点，然后根据极值的定义判断是否为极值点，并求出极值。
导函数的性质和应用
导函数的性质和应用随着数学理论的发展，导数的概念也越来越重要。
其中，导数的一个重要概念就是导函数。
导函数的求解过程有其严谨的数学推导，但是从应用的角度来看，我们更关心的是导函数的性质和用途。
本文将从这两方面着手，探讨导函数的相关内容。
一、导函数的性质1. 导函数的定义在微积分学中，如果函数y=f(x)在其定义域内具有导数，则称f(x)在这一点处可导。
函数f(x)对于自变量x的导函数记为y'=f'(x)，它表示函数f(x)在点x处的切线斜率。
导函数的求解过程可以使用各种各样的计算方法，例如应用导数的定义、牛顿-莱布尼茨公式、求导法则等。
2. 导函数的定义域和值域导函数和原函数一样，也具有其定义域和值域的特定取值范围。
导函数的定义域与原函数的定义域相同，因为导函数是原函数的导数，它的定义域必须是原函数所在的定义域。
导函数的值域则根据具体的函数形式而不同，有时甚至和原函数的值域存在差异。
3. 导函数与原函数的关系导函数和原函数是密切相关的，它们之间的关系体现在：(1) 原函数的导函数是导函数的反函数，即f'(x) = g(x) 的反函数是f(x) = ∫ g(x) dx + C，其中C为任意常数。
(2) 如果一个函数在其定义域内具有可导性，那么其导函数在此定义域内也存在，并且导函数的导函数就是原函数。
(3) 如果一个函数在一个点处的导数存在，那么该点就是这个函数的连续点。
反之，如果一个函数在某点不连续，那么在这个点处它的导数也不存在。
二、导函数的应用1. 优化问题导函数在优化问题的解决过程中发挥着非常重要的作用。
例如，我们希望在某个范围内求得一个函数的最大值或最小值，那么在这个范围内导数等于0的点就是可能的极值点。
因此，我们可以通过求解导数的根来求得函数的极值点。
如果导数的根是孤立的，那么这些点就是函数的极值点。
2. 函数的曲线图像通过导函数，我们可以获取函数的一些重要特征，例如极值点和趋势。
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函数、导数及其应用 第一节 函数及其表示考纲要求：1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并能简单应用．[基础真题体验]考查角度[求函数的定义域]1．(2014·山东高考)函数f (x )＝1log 2x －1的定义域为( )A ．(0,2)B ．(0,2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞) 【解析】要使函数有意义，则⎩⎨⎧x >0，log 2x －1>0，解得x >2.【答案】 C2．(2012·广东高考)函数y ＝x ＋1x 的定义域为______．【解析】 要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1≥0，x ≠0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－1，x ≠0.∴原函数的定义域为{x |x ≥－1且x ≠0}． 【答案】 {x |x ≥－1且x ≠0} 考查角度[函数的表示方法]3．(2013·安徽高考)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )．若当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝________.【解析】 设－1≤x ≤0，则0≤x ＋1≤1，所以f (x ＋1)＝(x ＋1)[1－(x ＋1)]＝－x (x ＋1)．又因为f (x＋1)＝2f (x )，所以f (x )＝f (x ＋1)2＝－x (x ＋1)2.【答案】 －x (x ＋1)2 考查角度[分段函数]4．(2013·福建高考)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x 3，x <0，－tan x ，0≤x <π2，则f ⎝⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝________. 【解析】 ∵π4∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－tan π4＝－1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝f (－1)＝2×(－1)3＝－2. 【答案】 －2 [命题规律预测]考向一 求函数的定义域[典例剖析]【例1】 (1)(2014·江西高考)函数f (x )＝ln(x 2－x )的定义域为( ) A ．(0,1)B ．[0,1]C ．(－∞，0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，0]∪[1，＋∞)(2)已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( ) A ．(－1,1) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12 C ．(－1,0)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 【思路点拨】 (1)求使真数大于零的解集即可． (2)用2x ＋1代替f (x )中的x ，求解x 便得定义域．【解析】 (1)要使函数f (x )＝ln(x 2－x )有意义，需满足x 2－x >0，解得x >1或x <0. ∴函数f (x )＝ln(x 2－x )的定义域为(－∞，0)∪(1，＋∞)． (2)∵f (x )的定义域为(－1,0)．∴要使函数有意义，需满足－1<2x ＋1<0， 解得－1<x <－12.即所求函数的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12. 【答案】 (1)C (2)B 1．使函数解析式有意义的准则 (1)分式中的分母不为0； (2)偶次根式的被开方数非负； (3)y ＝x 0要求x ≠0；(4)对数式中的真数大于0，底数大于0且不等于1；(5)正切函数y ＝tan x ，x ≠k π＋π2(k ∈Z )；(6)实际问题中除要考虑函数解析式有意义外，还应考虑实际问题本身的要求． 2．抽象函数定义域的求解策略(1)若函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出． (2)若函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域．[对点练习](1)(2013·江西高考)函数y ＝x ln(1－x )的定义域为( ) A ．(0,1) B ．[0,1) C ．(0,1] D ．[0,1](2)已知函数f (2x )的定义域是[－1,1]，则f (x )的定义域为________． 【解析】 (1)因为y ＝x ln(1－x )，所以⎩⎨⎧x ≥0，1－x >0，解得0≤x <1.(2)∵f (2x )的定义域为[－1,1]， 即－1≤x ≤1，∴12≤2x≤2，故f (x )的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.【答案】 (1)B (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2考向二 求函数的解析式[典例剖析]【例2】 (1)已知f (x ＋1)＝lg x ，求f (x )；(2)已知f (x )是二次函数且f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝x －1，求f (x )；(3)已知f (x )＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x (x ≠0)，求f (x )．【思路点拨】 (1)用换元法，令x ＋1＝t .(2)本题已给出函数的基本特征，可采用待定系数法求解． (3)用1x 代入，构造方程求解． 【解】 (1)令x ＋1＝t ，则x ＝t －1， ∴f (t )＝lg(t －1)． ∴f (x )＝lg(x －1)．(2)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝2，得c ＝2， f (x ＋1)－f (x )＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)－ax 2－bx ＝x －1，即2ax ＋a ＋b ＝x －1，∴⎩⎨⎧2a ＝1，a ＋b ＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－32.∴f (x )＝12x 2－32x ＋2.(3)∵f (x )＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2f (x )＝1x .解方程组⎩⎪⎨⎪⎧f (x )＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2f (x )＝1x，得f (x )＝23x －x3(x ≠0)． 求函数解析式常用以下解法：(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法；(2)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(3)方程组法：已知关于f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式，通过解方程组求出f (x )．[对点练习](1)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，求f (x )的解析式；(2)已知f (x )是一次函数，且3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，求f (x )； (3)已知2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，求f (x )． 【解】 (1)令x ＋1＝t (t ≥1)，则x ＝(t －1)2， ∴f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－1(t ≥1)， 故f (x )＝x 2－1(x ≥1)． (2)设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则3f (x ＋1)－2f (x －1)＝3ax ＋3a ＋3b －2ax ＋2a －2b ＝ax ＋b ＋5a ＝2x ＋17， ∴a ＝2，b ＝7，∴f (x )＝2x ＋7. (3)∵2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)， ∴2f (－x )－f (x )＝lg(1－x )．解方程组⎩⎨⎧2f (x )－f (－x )＝lg (x ＋1)，2f (－x )－f (x )＝lg (1－x )得f (x )＝23lg(x ＋1)＋13lg(1－x )(－1＜x ＜1)．考向三 分段函数及其应用【命题视角】 分段函数及其应用是近几年高考的考查热点之一，常与方程、不等式等知识相结合，以选择题或填空题的形式呈现，难度为中低档．命题角度常见以下三种．角度一：求函数值(或值域)【例3－1】(2015·厦门模拟)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1，0，－1，x >0，x ＝0，x <0，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数，则f (g (π))的值为( )A ．1B ．0C ．－1D ．π【思路点拨】 按从内到外的顺序依次求值． 【解析】 ∵π是无理数，∴g (π)＝0， ∴f (g (π))＝f (0)＝0. 【答案】 B先确定自变量的值属于哪个区间，再选定相应的解析式代入求解．(先求出每一个子区间上的值域，再求其并集)角度二：求自变量的值(或范围)【例3－2】 (2015·包头测评)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x ，x ≤1，1－log 2x ，x >1，则满足f (x )≤2的x 的取值范围是( )A ．[－1,2]B ．[0,2]C ．[1，＋∞)D ．[0，＋∞)【思路点拨】 分两种情况分别求解不等式即可． 【解析】 当x ≤1时，由21－x ≤2知1－x ≤1，∴x ≥0， 故0≤x ≤1；当x >1时，由1－log 2x ≤2知， log 2x ≥－1＝log 212，∴x ≥12，故x >1. 综上可知x ≥0. 【答案】 D分类求出各子区间上的解，再求它们的并集，但要检验所求自变量的取值范围是否符合相应段自变量的范围．角度三：图象及其应用【例3－3】 (2013·课标全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≤0，ln (x ＋1)，x >0，若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2,1]D ．[－2,0]【思路点拨】 作出函数y ＝|f (x )|的图象，结合图象求解．【解析】 画出函数y ＝|f (x )|的大致图象，结合图象可知． 当|f (x )|≥ax 时，必有k ≤a ≤0，其中k 是y ＝x 2－2x (x ≤0)在原点处的切线斜率，易知k ＝－2，故a 的取值范围是[－2,0]．【答案】 D先根据每段函数的定义区间与解析式在同一坐标系中作出图象，画图时要注意每段图象端点的虚实，再应用图象解决相应问题．思想方法2 分段函数求值妙招——分类讨论思想分类讨论思想就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，需要把研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答．实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的解题策略．分段函数体现了数学的分类讨论思想，求解分段函数求值问题时应注意以下三点： (1)明确分段函数的分段区间．(2)依据自变量的取值范围，选好讨论的切入点，并建立等量或不等量关系． (3)在通过上述方法求得结果后，应注意检验所求值(范围)是否落在相应分段区间内．[典例剖析]【典例】 (2015·乌鲁木齐诊断)设函数f (x )＝⎩⎨⎧2－x －1，x ≤0，x 12，x >0，若f (x )>1，则x 的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－2)∪(0，＋∞) 【解析】 当x ≤0时，由f (x )＝2－x －1>1，得x <－1； 当x >0时，由f (x )＝x 12>1得x >1. 综上知x <－1或x >1. 【答案】 C[对点练习]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x ＞0，x ＋3，x ≤0.若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值为( )A ．－3B ．－3或1C ．1D ．－1或3【解析】 ∵f (1)＝lg 1＝0，∴f (a )＝0. 当a ＞0时，lg a ＝0，a ＝1. 当a ≤0时，a ＋3＝0，a ＝－3. 所以a ＝－3或1. 【答案】 B1．(2013·广东高考)函数y ＝lg (x ＋1)x －1的定义域是( )A ．(－1，＋∞)B ．[－1，＋∞)C ．(－1,1)∪(1，＋∞)D ．[－1,1)∪(1，＋∞)【解析】要使函数有意义，需⎩⎨⎧x ＋1>0，x －1≠0，解得x >－1且x ≠1，故函数的定义域为(－1,1)∪(1，＋∞)，故选C.【答案】 C2．(2015·南昌模拟)设函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋1，x ≤1，2x ，x >1，则f (f (3))＝( )A.15 B ．3C.23D.139【解析】 f (3)＝23，f (f (3))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝139.【答案】 D3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ∈[－1，0]，x 2＋1，x ∈(0，1]，则正确的函数图象是( )【解析】 当x ＝－1时，y ＝0，图象过点(－1,0)，D 错； 当x ＝0时，y ＝1，图象过(0,1)，C 错； 当x ＝1时，y ＝2，图象过(1,2)，B 错． 【答案】 A4．已知函数f (x ＋3)＝x 2－2x ＋3(0<x <2)，则f (x )＝________. 【解析】 令t ＝x ＋3，由0<x <2得3<t <5，则x ＝t －3， ∴f (t )＝(t －3)2－2(t －3)＋3＝t 2－8t ＋18(3<t <5)， ∴f (x )＝x 2－8x ＋18(3<x <5)． 【答案】 x 2－8x ＋18(3<x <5)课时提升练(四) 函数及其表示一、选择题1．(2013·山东高考)函数f (x )＝1－2x＋1x ＋3的定义域为( )A ．(－3,0]B ．(－3,1]C ．(－∞，－3)∪(－3,0]D ．(－∞，－3)∪(－3,1] 【解析】由题意，自变量x 应满足⎩⎨⎧1－2x ≥0，x ＋3＞0，解得⎩⎨⎧x ≤0，x ＞－3，∴－3＜x ≤0.【答案】 A2．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－cos πx ，x >0，f (x ＋1)＋1，x ≤0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝( )A ．1B ．2C ．3D ．－2【解析】 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＝－cos 4π3＝cos π3＝12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＋2＝－cos 23π＋2＝12＋2＝52， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝3. 【答案】 C3．下列各对函数中，是同一个函数的是( ) A ．f (x )＝x 2，g (x )＝3x 3B ．f (x )＝|x |x ，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1， x ≥0，－1， x ＜0C ．f (x )＝2n ＋1x 2n ＋1，g (x )＝(2n －1x )2n －1，n ∈N *D ．f (x )＝x ·x ＋1，g (x )＝x (x ＋1)【解析】 对于选项A ，由于f (x )＝x 2＝|x |，g (x )＝3x 3＝x ，故它们的值域及对应法则都不相同，所以它们不是同一个函数；对于选项B ，由于函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，而g (x )的定义域为R ，所以它们不是同一个函数；对于选项C ，由于当n ∈N *时，2n ±1为奇数，所以f (x )＝2n ＋1x 2n ＋1＝x ，g (x )＝(2n －1x )2n －1＝x ，它们的定义域、值域及对应法则都相同，所以它们是同一个函数；对于选项D ，由于函数f (x )＝x ·x ＋1的定义域为[0，＋∞)，而g (x )＝x (x ＋1)的定义域为(－∞，－1]∪[0，＋∞)，它们的定义域不同，所以它们不是同一个函数．【答案】 C4．下列图象可以表示以M ＝{x |0≤x ≤1}为定义域，以N ＝{y |0≤y ≤1}为值域的函数是( )【解析】 A 选项值域不是集合{y |0≤y ≤1}，B 选项定义域不是集合{x |0≤x ≤1}，D 选项不是函数，只有C 正确．【答案】 C5．(2015·临沂检测)如果f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x 1－x，则当x ≠0且x ≠1时，f (x )＝( ) A.1x B.1x －1 C.11－xD.1x －1【解析】 令x ＝1x ，则f (x )＝1x1－1x ＝1x －1(x ≠0且x ≠1)．【答案】 B6．(2015·东城模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2，x ∈[－1，2]，x －3，x ∈(2，5]，则方程f (x )＝1的解是( )A.2或2B.2或3C.2或4 D ．±2或4【解析】 当x ∈[－1,2]时，由3－x 2＝1得x ＝±2(负值舍去)；当x ∈(2,5]时，由x －3＝1得x ＝4. 【答案】 C图2-1-17．如图2-1-1是南京青奥会传递火炬时，火炬离主会场距离(y )与传递时间(x )之间的函数关系的图象，若用黑点表示主会场的位置，则火炬传递的路线可能是( )【解析】 由y 与x 的关系知，在中间时间段y 值不变，结合选项知D 符合． 【答案】 D8．(2015·黄冈模拟)已知函数f (x )＝1＋x1－x 的定义域为A ，函数y ＝f (f (x ))的定义域为B ，则( )A ．A ∪B ＝B B ．ABC ．A ＝BD ．A ∩B ＝B【解析】 A ＝{x |x ≠1}，y ＝f (f (x ))，∴x ≠1，且f (x )≠1，故B ＝{x |x ≠1且x ≠0}．∴A ∩B ＝B . 【答案】 D9．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x 2＋t )，x <03(t －1)x ，x ≥0且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝6，则f (f (－2))的值为( ) A ．27 B ．243 C.127 D.1243【解析】 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝3×(t －1)12＝6，即(t －1)12＝2，∴t ＝5.故f (x )＝⎩⎨⎧log 2(x 2＋5)，x <0，3×4x ，x ≥0.∴f (－2)＝log 2[(－2)2＋5]＝log 29>0，∴f (f (－2))＝f (log 29)＝3×4log 29＝3×22log 29＝3×2log 292＝3×81＝243. 【答案】 B10．设函数f (x )＝⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －8，x <0，x 2＋x －1，x ≥0，若f (z )>1，则实数z 的取值范围是( )A ．(－2,1)B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0，＋∞) 【解析】 原不等式可化为⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫13z －8>1，z <0或⎩⎨⎧z 2＋z －1>1，z ≥0，解得z <－2或z >1，即实数z 的范围是(－∞，－2)∪(1，＋∞)． 【答案】 B11．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x ≥0，2x －x 2，x <0，f (a 2－6)＋f (a )>0，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2)∪(3，＋∞) B ．(－2,3) C ．(－∞，－3)∪(2，＋∞) D ．(－3,2)【解析】 画出函数f (x )的图象(略)，由图可知f (x )在R 上是奇函数且为增函数，所以f (a 2－6)＋f (a )>0⇒f (a 2－6)>－f (a )＝f (－a )⇒a 2－6>－a ⇒a <－3或a >2.【答案】 C12．若定义在R 上的函数y ＝f (x )，其图象是连续不断的，且存在常数λ(λ∈R )，使得f (x ＋λ)＋λf (x )＝0对任意的实数x 都成立，则称f (x )是一个“λ的相关函数”，则下列结论正确的是( )A ．f (x )＝0是常数函数中唯一一个“λ的相关函数”B ．f (x )＝x 2是一个“λ的相关函数”C ．f (x )＝e －x 是一个“λ的相关函数”D ．“12的相关函数”至少有一个零点【解析】 对于A ，设f (x )＝c 是一个“λ的相关函数”，则(1＋λ)c ＝0，当λ＝－1时，c 可以取遍实数集，因此f (x )＝0不是常数函数中唯一一个“λ的相关函数”，故A 不正确；对于B ，假设f (x )＝x 2是一个“λ的相关函数”，则(1＋λ)x 2＋2λx ＋λ2＝0对任意的x 都成立，所以λ＋1＝2λ＝λ2＝0，而此式无解，所以f (x )＝x 2不是一个“λ的相关函数”，故B 不正确；对于C ，令e －(x ＋λ)＋λe －x ＝0，则e －λ＝－λ，作出图象容易得出，不存在λ，使得e －λ＝－λ成立，故C 不正确；对于D ，令x ＝0，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12f (0)＝0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－12f (0)，若f (0)＝0，则函数f (x )有零点，若f (0)≠0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12·f (0)＝－12[f (0)]2<0.又y ＝f (x )的图象是连续不断的，所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上必有零点，因此“12的相关函数”必有零点，即“12的相关函数”至少有一个零点．故D 正确．【答案】 D 二、填空题13．(2013·北京高考)函数f (x )＝⎩⎨⎧log 12x ，x ≥1，2x ，x <1的值域为________．【解析】 当x ≥1时，log 12x ≤log 121＝0，∴当x ≥1时，f (x )≤0.当x <1时，0<2x <21，即0<f (x )<2.因此函数f (x )的值域为(－∞，2)．【答案】 (－∞，2)14．已知一次函数f (x )满足f [f (x )]＝3x ＋2，则f (x )的函数解析式为________． 【解析】 由题意令f (x )＝ax ＋b ，则f [f (x )]＝af (x )＋b ＝a (ax ＋b )＋b ＝3x ＋2.∴⎩⎨⎧a 2＝3，ab ＋b ＝2，解得⎩⎨⎧a ＝3，b ＝3－1，或⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝－3－1，∴f (x )＝3x ＋3－1或f (x )＝－3x －3－1.【答案】 f (x )＝3x ＋3－1或f (x )＝－3x －3－115．已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x ＜1，－x －2a ，x ≥1.若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________．【解析】 当a ＜0时，1－a ＞1,1＋a ＜1， 所以f (1－a )＝－(1－a )－2a ＝－1－a ； f (1＋a )＝2(1＋a )＋a ＝3a ＋2.因为f (1－a )＝f (1＋a )，所以－1－a ＝3a ＋2， 所以a ＝－34.当a ＞0时，1－a ＜1,1＋a ＞1，所以f (1－a )＝2(1－a )＋a ＝2－a ；f (1＋a )＝－(1＋a )－2a ＝－3a －1. 因为f (1－a )＝f (1＋a )，所以2－a ＝－3a －1，所以a ＝－32(舍去)． 综上，满足条件的a ＝－34. 【答案】 －3416．对任意两个实数x 1，x 2，定义max(x 1，x 2)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 1，x 1≥x 2，x 2，x 1<x 2.若f (x )＝x 2－2，g (x )＝－x ，则max(f (x )，g (x ))的最小值为________．【解析】 f (x )－g (x )＝x 2－2－(－x )＝x 2＋x －2，由x 2＋x －2≥0，解得x ≥1或x ≤－2，又当－2<x <1时，x 2＋x －2<0，∴max(f (x )，g (x ))＝⎩⎨⎧－x ，－2<x <1，x 2－2，x ≥1或x ≤－2，作出y ＝max(f (x )，g (x ))的图象如图，由图象可知函数的最小值为f (1)＝－1.【答案】 －1第二节 函数的单调性与最值考纲要求：1.理解函数的单调性及其几何意义.2.会用基本函数的图象分析函数的性质.3.理解函数的最大值、最小值及其几何意义．[基础真题体验]考查角度[函数的单调性]1．(2014·北京高考)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝(x －1)2 C ．y ＝2－xD ．y ＝log 0.5(x ＋1)【解析】 A 项，函数y ＝x ＋1在[－1，＋∞)上为增函数，所以函数在(0，＋∞)上为增函数，故正确；B 项，函数y ＝(x －1)2在(－∞，1)上为减函数，在[1，＋∞)上为增函数，故错误；C 项，函数y ＝2－x ＝⎝⎛⎭⎪⎫12x在R 上为减函数，故错误；D 项，函数y ＝log 0.5(x ＋1)在(－1，＋∞)上为减函数，故错误． 【答案】 A2．(2012·安徽高考)若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调递增区间是[3，＋∞)，则a ＝________.【解析】f (x )＝|2x ＋a |＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x ≥－a 2，－2x －a ，x <－a2.作出函数图象，由图象知：函数的单调递增区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a 2，＋∞，∴－a 2＝3， ∴a ＝－6. 【答案】 －6 考查角度[函数的最值]3．(2013·重庆高考)(3－a )(a ＋6)(－6≤a ≤3)的最大值为( ) A ．9 B.92 C ．3 D.322【解析】 (3－a )(a ＋6)＝－a 2－3a ＋18＝ －⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋3a ＋94＋814 ＝－⎝⎛⎭⎪⎫a ＋322＋814，由于－6≤a ≤3， ∴当a ＝－32时，(3－a )(a ＋6)有最大值92.【答案】 B[命题规律预测]考向一 求函数的单调区间[典例剖析]【例1】 (1)(2015·泰安模拟)已知函数f (x )＝x 2－2x －3，则该函数的单调增区间为( ) A ．(－∞，1] B ．[3，＋∞) C ．(－∞，－1]D ．[1，＋∞)(2)函数f (x )＝|x －3|＋|x ＋3|的单调减区间为________．【思路点拨】 (1)先求定义域、再借助二次函数的单调区间解决．(2)把f (x )写成分段函数，画出图象，由图象观察可得单调区间．【解析】 (1)设t ＝x 2－2x －3，由t ≥0，即x 2－2x －3≥0，解得x ≤－1或x ≥3. 所以函数的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．因为函数t ＝x 2－2x －3的图象的对称轴为x ＝1，所以函数在(－∞，－1]上单调递减；在[3，＋∞)上单调递增．所以函数f (x )的增区间为[3，＋∞)． (2)f (x )＝|x －3|＋|x ＋3|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x ≤－3，6，－3<x ≤3，2x ，x >3.图象如图所示，由图可得(－∞，－3]为f (x )的递减区间，[3，＋∞)为f(x)的递增区间．【答案】(1)B(2)(－∞，－3]1．函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求解函数的单调区间，必须先求出函数的定义域，即定义域优先原则．2．求函数单调区间的常用方法(1)基本初等函数法：如二次函数、指数函数、对数函数的单调区间可以直接利用已知结论解答．(2)图象法：若函数是以图象形式给出的，或者函数的图象可作出，可由图象的升、降写出它的单调性(区间)．[对点练习](1)函数y＝|log2x|的单调增区间为________．(2)函数y＝－x2＋2|x|＋3的单调减区间为________．【解析】(1)函数y＝|log2x|的图象如图，由图象知增区间为[1，＋∞)．(2)∵y ＝⎩⎨⎧－x 2＋2x ＋3，x ≥0，－x 2－2x ＋3，x <0.根据解析式可作出函数的图象如图所示，由图象可知，其单调减区间为[－1,0)，[1，＋∞)．【答案】 (1)[1，＋∞) (2)[－1,0)，[1，＋∞)考向二 函数单调性的判断[典例剖析]【例2】 判断并证明函数f (x )＝x ＋ax (a >0)在(0，＋∞)上的单调性． 【思路点拨】 借助单调性的定义或导数法证明． 【证明】 法一：(定义法)设x 1，x 2是任意两个正数，且0＜x 1＜x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋a x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋a x 2 ＝x 1－x 2x 1x 2(x 1x 2－a )．当0＜x 1＜x 2≤a 时，0＜x 1x 2＜a ，又x 1－x 2＜0， 所以f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)，所以函数f (x )在(0，a ]上是减函数； 当a ≤x 1＜x 2时，x 1x 2＞a ，又x 1－x 2＜0， 所以f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)， 所以函数f (x )在[a ，＋∞)上是增函数． 法二：(导数法)∵f (x )＝x ＋a x ，∴f ′(x )＝1－ax 2.由f ′(x )＞0得1－ax 2＞0，即x 2＞a ，解得x ＞a . 由f ′(x )＜0得1－ax 2＜0，即x 2＜a ，解得0＜x ＜a . 所以f (x )在(0，a )上为减函数，在(a ，＋∞)上为增函数．1．证明函数单调性的方法(1)定义法：取值、作差、变形、定号、结论．(2)导数法：先求导，再确定导数值的正负，由导数的正负得函数的增减． 2．判断函数单调性的方法 (1)定义法． (2)导数法．(3)图象法：由函数的图象判断增减．(4)转化法：转化为已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，再根据“增＋增＝增”“减＋减＝减”“同增异减”确定函数的单调性．[对点练习]求函数f (x )＝a －x 2x (a >0)的单调区间．【解】 f (x )＝a －x 2x ＝－x ＋ax (a >0)，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．法一：∵y ＝－x 在R 上单调递减，又∵a >0，∴y ＝ax 的减区间是(－∞，0)，(0，＋∞)，故f (x )的单调减区间是(－∞，0)，(0，＋∞)．法二：∵f ′(x )＝－1－ax 2<0，∴f (x )的单调减区间为(－∞，0)，(0，＋∞)． 考向三 函数单调性的应用【命题视角】 1.高考对函数单调性的考查多以选择题、填空题的形式出现，有时也应用于解答题中的某一问中，难度中等或以上．2．高考对函数单调性的考查主要有以下几个命题角度： (1)利用函数的单调性比较大小；(2)利用函数的单调性解决与抽象函数有关的不等式问题； (3)利用函数的单调性求参数； (4)利用函数的单调性求解最值问题． 角度一：比较大小【例3－1】 (2015·泰安模拟)已知函数f (x )的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c >a >bB ．c >b >aC ．a >c >bD ．b >a >c【思路点拨】 先确定f (x )的单调性，再根据对称性把自变量转化到同一单调区间上进而比较函数值大小．【解析】 由题意知函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，又∵[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)<0，且x 2>x 1>1.∴函数f (x )在[1，＋∞)上为减函数，而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝a ，b ＝f (2)，c ＝f (3)，∴f (2)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52>f (3)，即b >a >c . 【答案】 D比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决． 角度二：解抽象不等式【例3－2】 若f (x )为R 上的增函数，则满足f (2－m )＜f (m 2)的实数m 的取值范围是________． 【思路点拨】 由单调性脱“f ”，解关于m 的不等式． 【解析】 ∵f (x )为R 上的增函数，且f (2－m )＜f (m 2)， ∴2－m ＜m 2，∴m 2＋m －2＞0，解得m ＞1或m ＜－2. 即m 的范围为(－∞，－2)∪(1，＋∞)． 【答案】 (－∞，－2)∪(1，＋∞)在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f ”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．角度三：利用单调性求参数【例3－3】 (2015·郑州模拟)已知f (x )＝⎩⎨⎧a x ，x ＞1，⎝ ⎛⎭⎪⎫4－a 2x ＋2，x ≤1是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围为( )A ．(1，＋∞)B ．[4,8)C ．(4,8)D ．(1,8)【思路点拨】 先分析各段函数分别递增的条件，再结合单调性的定义求解． 【解析】 因为f (x )是R 上的单调递增函数，所以可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，4－a 2＞0，a ≥4－a 2＋2，解得4≤a ＜8. 【答案】 B根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象构建方程(组)(不等式(组))求解．角度四：求最值(值域)【例3－4】 (2015·衡水检测)已知函数f (x )＝1x 在区间[1,2]上的最大值为A ，最小值为B ，则A －B ＝( )A.12 B ．－12 C ．1D ．－1【思路点拨】 先确定函数在给定区间上的单调性，进而得到最大、小值即可求解． 【解析】 ∵函数f (x )＝1x 在[1,2]上为减函数． ∴A ＝f (1)＝1，B ＝f (2)＝12，∴A －B ＝12. 【答案】 A先确定函数的单调性，再由单调性求最值．注意若函数在区间[a ，b ]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．满分指导1 函数单调性的应用[典例剖析]【典例】 (12分)(2015·怀化模拟)设函数f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，且满足f (xy )＝f (x )＋f (y )．若f (3)＝1，且f (a )>f (a －1)＋2，求实数a 的取值范围．【审题指导】【规范解答】 因为f (xy )＝f (x )＋f (y )，且f (3)＝1，所以2＝2f (3)＝f (3)＋f (3)＝f (9).2分 又f (a )>f (a －1)＋2，所以f (a )>f (a －1)＋f (9)，再由f (xy )＝f (x )＋f (y )，可知f (a )>f (9(a －1)).4分 因为f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数， 从而有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，9(a －1)>0，a >9(a －1)，8分解得1<a <98.11分故所求实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，98.12分【名师寄语】 解答此类抽象不等式，不仅要注意函数单调性的应用，还要注意定义域的限制，以保证转化的等价性．如本题中许多同学容易漏掉⎩⎨⎧a >0，9(a －1)>0而直接利用单调性得出a >9(a －1)，导致错误．[对点练习](2015·成都石室中学月考)已知f (x )是定义在[－1,1]上的奇函数，且f (1)＝1，若a ，b ∈[－1,1]，a ＋b ≠0时，有f (a )＋f (b )a ＋b＞0成立．(1)判断f (x )在[－1,1]上的单调性，并证明； (2)解不等式f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1. 【解】 (1)任取x 1，x 2∈[－1,1]且x 1＜x 2， 则－x 2∈[－1,1]，∵f (x )为奇函数， ∴f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2) ＝f (x 1)＋f (－x 2)x 1＋(－x 2)·(x 1－x 2)由已知得f (x 1)＋f (－x 2)x 1＋(－x 2)＞0，x 1－x 2＜0，∴f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)， ∴f (x )在[－1,1]上单调递增． (2)∵f (x )在[－1,1]上单调递增，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12＜1x －1，－1≤x ＋12≤1，解得－32≤x ＜－1.－1≤1x －1≤1.课堂达标训练1．下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是( ) A ．y ＝3－x B ．y ＝1x C ．y ＝－x 2＋4D ．y ＝|x |【解析】 A 、B 、C 选项在(0,1)上为减函数，D 正确． 【答案】 D2．(2015·江西师大附中检测)若函数f (x )在R 上为减函数，则( ) A ．f (a )>f (2a ) B ．f (a 2)<f (a ) C ．f (a 2－1)<f (a ) D ．f (a 2＋1)<f (a )【解析】 ∵a 2＋1－a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋34>0，∴a 2＋1>a ，又∵f (x )是减函数，∴f (a 2＋1)<f (a )． 【答案】 D3．如果二次函数f (x )＝3x 2＋2(a －1)x ＋b 在区间(－∞，1)上是减函数，则( ) A ．a ＝－2 B ．a ＝2 C ．a ≤－2 D ．a ≥2【解析】 二次函数的对称轴方程为x ＝－a －13， 由题意知－a －13≥1，即a ≤－2.【答案】 C4．函数f (x )＝x 2－2x ，x ∈[－2,3]的单调增区间为________，f (x )max ＝________. 【解析】 因为f (x )＝(x －1)2－1，所以f (x )的单调增区间为[1,3]，f (x )max ＝f (－2)＝8. 【答案】 [1,3] 85．函数f (x )＝2xx ＋1在[1,2]的最大值和最小值分别是________．【解析】 f (x )＝2x x ＋1＝2(x ＋1)－2x ＋1＝2－2x ＋1在[1,2]上是增函数，∴f (x )max ＝f (2)＝43，f (x )min ＝f (1)＝1.【答案】 43 1课时提升练(五) 函数的单调性与最值一、选择题1．(2014·湖南高考)下列函数中，既是偶函数又在区间(－∞，0)上单调递增的是( ) A ．f (x )＝1x 2 B ．f (x )＝x 2＋1 C ．f (x )＝x 3 D ．f (x )＝2－x【解析】 A 中f (x )＝1x 2是偶函数，且在(－∞，0)上是增函数，故A 满足题意．B 中f (x )＝x 2＋1是偶函数，但在(－∞，0)上是减函数．C 中f (x )＝x 3是奇函数．D 中f (x )＝2－x 是非奇非偶函数．故B ，C ，D 都不满足题意．【答案】 A2．下列函数中，满足x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1＜x 2时都有f (x 1)＞f (x 2)的是( ) A ．f (x )＝1x B ．f (x )＝(x －1)2 C ．f (x )＝e x D ．f (x )＝ln(x ＋1)【解析】 由题意可知，f (x )在(0，＋∞)上是减函数． 结合四个选项可知，A 正确． 【答案】 A3．(2014·福建高考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x >0，cos x ，x ≤0，则下列结论正确的是( )A ．f (x )是偶函数B ．f (x )是增函数C ．f (x )是周期函数D ．f (x )的值域为[－1，＋∞) 【解析】函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋1，x ＞0，cos x ，x ≤0的图象如图所示，由图象知只有D 正确．【答案】 D4．如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a 的取值范围是( ) A ．a >－14 B ．a ≥－14 C ．－14≤a <0 D ．－14≤a ≤0【解析】 当a ＝0时，f (x )＝2x －3，在定义域R 上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增； 当a ≠0时，二次函数f (x )的对称轴为x ＝－1a ， 因为f (x )在(－∞，4)上单调递增， 所以a <0，且－1a ≥4，解得－14≤a <0. 综合上述得－14≤a ≤0. 【答案】 D5．用min{a ，b ，c }表示a ，b ，c 三个数中的最小值，设f (x )＝min{2x ，x ＋2,10－x }(x ≥0)，则f (x )最大值为( )A ．4B ．5C ．6D ．7【解析】 如图所示，在同一坐标系中作出y ＝x ＋2，y ＝2x ，y ＝10－x (x ≥0)的图象． 根据f (x )定义知，f (x )＝min{2x ，x ＋2,10－x }(x ≥0)的图象(如图实线部分)．∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，0≤x ≤2，x ＋2，2＜x ＜4，10－x ，x ≥4.令x ＋2＝10－x ， 得x ＝4.当x ＝4时，f (x )取最大值f (4)＝6. 【答案】 C6．(2015·海滨模拟)已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ∈(－∞，0)时，f (x )＋xf ′(x )<0(其中f ′(x )是f (x )的导函数)，若a ＝30.3·f (30.3)，b ＝log π3·f (log π3)，c ＝log 319·f ⎝⎛⎭⎪⎫log 319，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．c >b >aC ．c >a >bD ．a >c >b【解析】 因为当x <0时，f (x )＋xf ′(x )<0，所以函数y ＝xf (x )在(－∞，0)上为减函数，又因为f (x )为奇函数，所以y ＝xf (x )为偶函数，所以y ＝xf (x )在(0，＋∞)上为增函数，因为⎪⎪⎪⎪⎪⎪log 319>30.3>log π3>0，所以c >a >b .【答案】 C 二、填空题7．已知函数y ＝f (x )在R 上是减函数，A (0，－2)，B (－3,2)在其图象上，则不等式－2<f (x )<2的解集为________．【解析】 ∵f (0)＝－2，f (－3)＝2，且－2<f (x )<2， ∴f (0)<f (x )<f (－3)，又∵y ＝f (x )是R 上的减函数，∴－3<x <0. 【答案】 (－3,0)8．(2015·佛山模拟)已知a >0，a ≠1，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x ，x ≤1，－x ＋a ，x >1，若函数f (x )在[0,2]上的最大值比最小值大52，则a 的值为________．【解析】 当0<a <1时，函数f (x )在[0,2]上的最大值是1，最小值是a －2，则1－(a －2)＝52，得a ＝12；当1<a ≤3时，函数f (x )在[0,2]上的最大值是a ，最小值是a －2，而a －(a －2)＝2≠52，应舍去；当a >3时，函数f (x )在[0,2]上最大值是a ，最小值是1，则a －1＝52，得a ＝72.【答案】 12或729．设x 1，x 2为y ＝f (x )在定义域内的任意两个变量，有以下几个命题： ①(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0； ②(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0； ③f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0；④f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0.其中能推出函数y ＝f (x )为增函数的命题为________．(填序号)【解析】 依据增函数的定义可知，对于①③，当自变量增大时，相对应的函数值也增大，所以①③可推出函数y ＝f (x )为增函数．【答案】 ①③ 三、解答题10．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 在区间[－2,2]上的最大值、最小值分别是M 、m ，集合A ＝{x |f (x )＝x }．(1)若A ＝{1,2}，且f (0)＝2，求M 和m 的值；(2)若A ＝{1}，且a ≥1，记g (a )＝M ＋m ，求g (a )的最小值． 【解】 (1)由f (0)＝2可知c ＝2，又A ＝{1,2}，故1,2是方程ax 2＋(b －1)x ＋c ＝0的两实根． ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋2＝1－ba ，2＝c a ，解得a ＝1，b ＝－2，∴f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[－2,2]． 当x ＝1时，f (x )min ＝f (1)＝1，即m ＝1， 当x ＝－2时，f (x )max ＝f (－2)＝10，即M ＝10.(2)由题意知，方程ax 2＋(b －1)x ＋c ＝0有两相等实根x ＝1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋1＝1－b a ，1＝c a ，即⎩⎨⎧b ＝1－2a ，c ＝a .∴f (x )＝ax 2＋(1－2a )x ＋a ，x ∈[－2,2]，其对称轴方程为x ＝2a －12a ＝1－12a . 又a ≥1，故1－12a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1，∴M ＝f (－2)＝9a －2，m ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2a －12a ＝1－14a ，g (a )＝M ＋m ＝9a －14a －1.又g (a )在区间[1，＋∞)上为单调递增的， ∴当a ＝1时，g (a )min ＝314.11．函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且对一切x ＞0，y ＞0都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＝f (x )－f (y )，当x ＞1时，有f (x )＞0.(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的单调性并加以证明； (3)若f (4)＝2，求f (x )在[1,16]上的值域．【解】 (1)∵当x ＞0，y ＞0时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＝f (x )－f (y )，∴令x ＝y ＞0，则f (1)＝f (x )－f (x )＝0. (2)设x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1＜x 2，则f (x 2)－f (x 1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1.∵x 2＞x 1＞0，∴x 2x 1＞1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1＞0.∴f (x 2)＞f (x 1)，即f (x )在(0，＋∞)上是增函数． (3)由(2)知f (x )在[1,16]上是增函数． ∴f (x )min ＝f (1)＝0，f (x )max ＝f (16)，∵f (4)＝2，由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＝f (x )－f (y )，知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫164＝f (16)－f (4)，∴f (16)＝2f (4)＝4，∴f (x )在[1,16]上的值域为[0,4]．12．已知f (x )是定义在[－1,1]上的奇函数，且f (1)＝1，若a ，b ∈[－1,1]，a ＋b ≠0时，有f (a )＋f (b )a ＋b >0成立．(1)判断f (x )在[－1,1]上的单调性，并证明它； (2)解不等式：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1；(3)若f (x )≤m 2－2am ＋1对所有的a ∈[－1,1]恒成立，求实数m 的取值范围． 【解】 (1)任取x 1，x 2∈[－1,1]，且x 1<x 2， 则－x 2∈[－1,1]，∵f (x )为奇函数， ∴f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2) ＝f (x 1)＋f (－x 2)x 1＋(－x 2)·(x 1－x 2)，由已知得f (x 1)＋f (－x )x 1＋(－x 2)>0，x 1－x 2<0，∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)． ∴f (x )在[－1,1]上单调递增． (2)∵f (x )在[－1,1]上单调递增，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12<1x －1，－1≤x ＋12≤1，－1≤1x －1≤1.∴－32≤x <－1.(3)∵f (1)＝1，f (x )在[－1,1]上单调递增．∴在[－1,1]上，f(x)≤1.问题转化为m2－2am＋1≥1，即m2－2am≥0，对a∈[－1,1]恒成立．设g(a)＝－2m·a＋m2≥0.①若m＝0，则g(a)＝0≥0，对a∈[－1,1]恒成立．②若m≠0，则g(a)为a的一次函数，若g(a)≥0，对a∈[－1,1]恒成立，必须有g(－1)≥0且g(1)≥0，∴m≤－2或m≥2.∴m的取值范围是m＝0或m≥2或m≤－2.第三节函数的奇偶性与周期性考纲要求1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.2.会用函数的图象理解和研究函数的奇偶性.3.了解函数的周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性．[基础真题体验]考查角度[函数的奇偶性]1．(2014·重庆高考)下列函数为偶函数的是()A．f(x)＝x－1B．f(x)＝x2＋xC．f(x)＝2x－2－x D．f(x)＝2x＋2－x【解析】四个选项中函数的定义域均为R.对于选项A，f(－x)＝－x－1≠f(x)，且f(－x)≠－f(x)，故该函数为非奇非偶函数；对于选项B，f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x≠f(x)，且f(－x)≠－f(x)，故该函数为非奇非偶函数；对于选项C，f(－x)＝2－x－2x＝－(2x－2－x)＝－f(x)，故该函数为奇函数；对于选项D，因为f(－x)＝2－x＋2x＝2x＋2－x＝f(x)，故该函数为偶函数，故选D.【答案】 D2．(2013·山东高考)已知函数f (x )为奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝x 2＋1x ，则f (－1)＝( )A ．－2B ．0C ．1D ．2【解析】 当x ＞0时，f (x )＝x 2＋1x ，∴f (1)＝12＋11＝2. ∵f (x )为奇函数，∴f (－1)＝－f (1)＝－2. 【答案】 A考查角度[函数的周期性]3．(2012·浙江高考)设函数f (x )是定义在R 上的周期为2的偶函数，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ＋1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝________.【解析】 当x ∈[－1,0]时，－x ∈[0,1]， ∵f (x )为偶函数，∴f (x )＝f (－x )＝－x ＋1.∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋1＝32. 【答案】 32[命题规律预测]考向一函数奇偶性的判断[典例剖析]【例1】(1)(2014·广东高考)下列函数为奇函数的是()A．2x－12x B．x3sin xC．2cos x＋1 D．x2＋2x(2)(2014·课标全国卷Ⅰ)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是()A．f(x)g(x)是偶函数B．|f(x)|g(x)是奇函数C．f(x)|g(x)|是奇函数D．|f(x)g(x)|是奇函数【思路点拨】紧扣函数奇偶性的定义判断．【解析】(1)对于选项A，f(x)＝2x－12x ，定义域为R，f(－x)＝2－x－12－x＝12x－2x＝－⎝⎛⎭⎪⎫2x－12x＝－f(x)，所以f(x)＝2x－1是奇函数，故A正确；易知g(x)＝x3sin x为偶函数；φ(x)＝2cos x＋1为偶函数；m(x)＝2xx2＋2x是非奇非偶函数．综上，选A.(2)A：令h(x)＝f(x)·g(x)，则h(－x)＝f(－x)·g(－x)＝－f(x)·g(x)＝－h(x)，∴h(x)是奇函数，A错．B：令h(x)＝|f(x)|g(x)，则h(－x)＝|f(－x)|g(－x)＝|－f(x)|g(x)＝|f(x)|g(x)＝h(x)，∴h(x)是偶函数，B错．C：令h(x)＝f(x)|g(x)|，则h(－x)＝f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|＝－h(x)，∴h(x)是奇函数，C正确．D：令h(x)＝|f(x)·g(x)|，则h(－x)＝|f(－x)·g(－x)|＝|－f(x)·g(x)|＝|f(x)·g(x)|＝h(x)，∴h(x)是偶函数，D错．【答案】(1)A(2)C判断函数奇偶性的方法：(1)图象法：(2)定义法：(3)性质法：①“奇＋奇”是奇，“奇－奇”是奇，“奇·奇”是偶，“奇÷奇”是偶； ②“偶＋偶”是偶，“偶－偶”是偶，“偶·偶”是偶，“偶÷偶”是偶； ③“奇·偶”是奇，“奇÷偶”是奇．[对点练习](1)(2015·深圳模拟)函数y ＝log 21＋x 1－x 的图象( )A ．关于原点对称B ．关于y 轴对称C ．关于直线y ＝x 对称D ．关于直线y ＝－x 对称 (2)下列图象表示的函数中具有奇偶性的是( )【解析】 (1)由1＋x 1－x >0得函数的定义域为(－1,1)，又因为f (－x )＝log 21－x 1＋x ＝－log 21＋x1－x ＝－f (x )得函数y ＝log 21＋x1－x为奇函数，其图象关于原点对称．(2)观察图象知，只有选项B 的图象关于y 轴对称且是偶函数，其他图象既不关于y 轴对称，也不关于原点对称．【答案】 (1)A (2)B考向二 函数周期性的应用[典例剖析]【例2】 (1)已知函数f (x )是定义域为R 的偶函数，且f (x ＋1)＝－f (x )，若f (x )在[－1,0]上是减函数，那么f (x )在[1,3]上是( )A ．增函数B ．减函数C ．先增后减的函数D ．先减后增的函数(2)(2014·安徽高考)若函数f (x )(x ∈R )是周期为4的奇函数，且在[0,2]上的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (1－x )，0≤x ≤1，sin πx ，1<x ≤2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫294＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫416＝________.【思路点拨】 (1)结合已知条件，模拟画出f (x )的部分图象，由图象观察可得增减情况． (2)由周期性与奇偶性，把所求问题的自变量转化到区间[0,2]上可求解．【解析】 (1)由f (x )在[－1,0]上是减函数，又f (x )是R 上的偶函数，所以f (x )在[0,1]上是增函数． 由f (x ＋1)＝－f (x )，得f (x ＋2)＝f [(x ＋1)＋1]＝－f (x ＋1)＝f (x )， 故2是函数f (x )的一个周期．结合以上性质，模拟画出f (x )的部分图象， 如图．由图象可以观察出，f (x )在[1,2]上为减函数，在[2,3]上为增函数．(2)∵f (x )是以4为周期的奇函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫294＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫8－34＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫416＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫8－76＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－76. ∵当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34＝34×⎝⎛⎭⎪⎫1－34＝316.∵当1<x ≤2时，f (x )＝sin πx ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫76＝sin 7π6＝－12. 又∵f (x )是奇函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34＝－316，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－76＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫76＝12. ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫294＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫416＝12－316＝516. 【答案】 (1)D (2)5161．函数周期性的重要应用利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点的个数、求解析式等问题，转化为已知区间上的相应问题，进而求解．2．求周期的常用结论若对于函数f (x )的定义域内任一个自变量的值x 都有f (x ＋a )＝－f (x )或f (x ＋a )＝1f (x )或f (x ＋a )＝－1f (x )(a 是常数且a ≠0)，则f (x )是一个周期为2a 的周期函数．[对点练习](2014·四川高考)设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1,1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x 2＋2，－1≤x ＜0，x ，0≤x ＜1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝________.【解析】 函数的周期是2，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，根据题意f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋2＝1.【答案】 1考向三 函数性质的应用【命题视角】 函数的单调性、奇偶性是函数的最重要的性质，也是高考的命题热点，常以选择题、填空题的形式出现，难度中高档．命题角度常见以下三种．角度一：求函数值【例3－1】 (2014·课标全国卷Ⅱ)偶函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，f (3)＝3，则f (－1)＝________.【思路点拨】 根据对称性与奇偶性求函数值． 【解析】 ∵f (x )的图象关于直线x ＝2对称， ∴f (4－x )＝f (x )，∴f (4－1)＝f (1)＝f (3)＝3， 即f (1)＝3.∵f (x )是偶函数，∴f (－x )＝f (x )， ∴f (－1)＝f (1)＝3. 【答案】 3求解此类问题的关键是将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解． 角度二：求函数的解析式【例3－2】 若定义在R 上的偶函数f (x )和奇函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝e x ，则g (x )＝( ) A ．e x －e －x B.12(e x ＋e －x ) C.12(e －x －e x ) D.12(e x －e －x )【思路点拨】 结合奇偶性与已知关系式列出方程组求解． 【解析】 由题意f (－x )＝f (x )，g (－x )＝－g (x )， 又∵f (x )＋g (x )＝e x ，①∴f (－x )＋g (－x )＝e －x 即f (x )－g (x )＝e －x ，② 由①②得，g (x )＝12(e x －e －x)． 【答案】 D求解此类问题的关键是将待求区间上的自变量，转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f (x )的方程(组)，从而得到f (x )的解析式．角度三：确定参数的值(或范围)【例3－3】 已知定义在R 上的奇函数满足f (x )＝x 2＋2x (x ≥0)，若f (3－a 2)＞f (2a )，则实数a 的取值范围是________．【思路点拨】 先确定函数的单调性，再解不等式． 【解析】 当x ≥0时，f (x )＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1， ∴函数f (x )在[0，＋∞)上为增函数． 又函数f (x )是定义在R 上的奇函数， ∴函数f (x )在R 上是增函数． 由f (3－a 2)＞f (2a )得3－a 2＞2a .。