函数导数及其应用

函数、导数及其应用 第一节 函数及其表示

考纲要求：1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并能简单应用．

[基础真题体验]

考查角度[求函数的定义域]

1．(2014·山东高考)函数f (x )＝1

log 2x －1的定义域为( )

A ．(0,2)

B ．(0,2]

C ．(2，＋∞)

D ．[2，＋∞) 【解析】

要使函数有意义，则⎩⎨

⎧

x >0，

log 2x －1>0，

解得x >2.

【答案】 C

2．(2012·广东高考)函数y ＝x ＋1

x 的定义域为______．

【解析】 要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1≥0，x ≠0.解得⎩⎪⎨⎪⎧

x ≥－1，

x ≠0.

∴原函数的定义域为{x |x ≥－1且x ≠0}． 【答案】 {x |x ≥－1且x ≠0} 考查角度[函数的表示方法]

3．(2013·安徽高考)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )．若当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝________.

【解析】 设－1≤x ≤0，则0≤x ＋1≤1，所以f (x ＋1)＝(x ＋1)[1－(x ＋1)]＝－x (x ＋1)．又因为f (x

＋1)＝2f (x )，所以f (x )＝f (x ＋1)2＝－x (x ＋1)

2.

【答案】 －x (x ＋1)

2 考查角度[分段函数]

4．(2013·福建高考)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧

2x 3，x <0，－tan x ，0≤x <π2

，则f ⎝

⎛⎭⎪⎫

f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝________. 【解析】 ∵π4∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2，∴f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫π4＝－tan π

4＝－1，

∴f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝f (－1)＝2×(－1)3＝－2. 【答案】 －2 [命题规律预测]

考向一 求函数的定义域

[典例剖析]

【例1】 (1)(2014·江西高考)函数f (x )＝ln(x 2－x )的定义域为( ) A ．(0,1)

B ．[0,1]

C ．(－∞，0)∪(1，＋∞)

D ．(－∞，0]∪[1，＋∞)

(2)已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( ) A ．(－1,1) B.⎝ ⎛

⎭

⎪⎫－1，－12 C ．(－1,0)

D.⎝ ⎛⎭

⎪⎫12，1 【思路点拨】 (1)求使真数大于零的解集即可． (2)用2x ＋1代替f (x )中的x ，求解x 便得定义域．

【解析】 (1)要使函数f (x )＝ln(x 2－x )有意义，需满足x 2－x >0，解得x >1或x <0. ∴函数f (x )＝ln(x 2－x )的定义域为(－∞，0)∪(1，＋∞)． (2)∵f (x )的定义域为(－1,0)．

∴要使函数有意义，需满足－1<2x ＋1<0， 解得－1

2.

即所求函数的定义域为⎝ ⎛

⎭⎪⎫－1，－12. 【答案】 (1)C (2)B 1．使函数解析式有意义的准则 (1)分式中的分母不为0； (2)偶次根式的被开方数非负； (3)y ＝x 0要求x ≠0；

(4)对数式中的真数大于0，底数大于0且不等于1；

(5)正切函数y ＝tan x ，x ≠k π＋π

2(k ∈Z )；

(6)实际问题中除要考虑函数解析式有意义外，还应考虑实际问题本身的要求． 2．抽象函数定义域的求解策略

(1)若函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出． (2)若函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域．

[对点练习]

(1)(2013·江西高考)函数y ＝x ln(1－x )的定义域为( ) A ．(0,1) B ．[0,1) C ．(0,1] D ．[0,1]

(2)已知函数f (2x )的定义域是[－1,1]，则f (x )的定义域为________． 【解析】 (1)因为y ＝

x ln(1－x )，所以⎩⎨

⎧

x ≥0，

1－x >0

，

解得0≤x <1.

(2)∵f (2x )的定义域为[－1,1]， 即－1≤x ≤1，

∴12≤2x

≤2，故f (x )的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.

【答案】 (1)B (2)⎣⎢⎡⎦

⎥⎤

12，2

考向二 求函数的解析式

[典例剖析]

【例2】 (1)已知f (x ＋1)＝lg x ，求f (x )；

(2)已知f (x )是二次函数且f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝x －1，求f (x )；

(3)已知f (x )＋2f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

1x ＝x (x ≠0)，求f (x )．

【思路点拨】 (1)用换元法，令x ＋1＝t .

(2)本题已给出函数的基本特征，可采用待定系数法求解． (3)用1

x 代入，构造方程求解． 【解】 (1)令x ＋1＝t ，则x ＝t －1， ∴f (t )＝lg(t －1)． ∴f (x )＝lg(x －1)．

(2)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝2，得c ＝2， f (x ＋1)－f (x )＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)－ax 2－bx ＝x －1，

即2ax ＋a ＋b ＝x －1，

∴⎩⎨

⎧

2a ＝1，a ＋b ＝－1，

即⎩⎪⎨⎪⎧

a ＝12，

b ＝－32.

∴f (x )＝12x 2－3

2x ＋2.

(3)∵f (x )＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫

1x ＝x ，

∴f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫1x ＋2f (x )＝1x .