二项式定理知识点及典型题型总结

二项式定理

一、基本知识点

1、二项式定理：)()(1110*--∈+++++=+N n b C b a C b a C a C b a n n n r r n r n n n n n

n 2、几个基本概念

（1）二项展开式：右边的多项式叫做n b a )(+的二项展开式 （2）项数：二项展开式中共有1+n 项

（3）二项式系数：),,2,1,0(n r C r

n

=叫做二项展开式中第1+r 项的二项式系数 （4）通项：展开式的第1+r 项，即),,1,0(1n r b a C T r

r n r n

r ==-+ 3、展开式的特点

（1）系数 都是组合数,依次为C 1n ,C 2n ,C n

n ,…,C n

n

(2)指数的特点①a 的指数 由n 0( 降幂)。 ②b 的指数由0 n （升幂）。 ③a 和b 的指数和为n 。

(3)展开式是一个恒等式，a ，b 可取任意的复数，n 为任意的自然数。 4、二项式系数的性质： （1）对称性:

在二项展开式中，与首末两端等距离的任意两项的二项式系数相等.即 （2）增减性与最值

二项式系数先增后减且在中间取得最大值

当n 是偶数时，中间一项取得最大值2n n

C

当n 是奇数时，中间两项相等且同时取得最大值21-n n

C =21+n n

C

（3）二项式系数的和：

奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数和.即

m

n n m n C C -=n

n n k n n n n C C C C C 2

210=+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++∴0213

n-1

n n n n C +C +=C +C +

=2

二项式定理的常见题型

一、求二项展开式

1．“n b a )(+”型的展开式 例1．求4)13(x

x +的展开式；a

2． “n b a )(-”型的展开式 例2．求4)13(x

x -的展开式；

3．二项式展开式的“逆用”

例3．计算c C C C n

n n n n n n 3)1( (279313)

2

1

-++-+-；

二、通项公式的应用 1．确定二项式中的有关元素

例4．已知9)2(x x a -的展开式中3x 的系数为4

9

，常数a 的值为

2．确定二项展开式的常数项

例5．103)1(x

x -展开式中的常数项是

3．求单一二项式指定幂的系数 例6． 9

2)21(x

x -展开式中9x 的系数是

三、求几个二项式的和（积）的展开式中的条件项的系数

例7．5432)1()1()1()1()1(-+---+---x x x x x 的展开式中，2x 的系数等于

例8．

72)2)(1-+x x （的展开式中，3x 项的系数是

四、利用二项式定理的性质解题 1． 求中间项 例9．求（103)1x

x -的展开式的中间项；

。

2． 求有理项 例10．求103

)1(x

x -的展开式中有理项共有 项；

3． 求系数最大或最小项

（1） 特殊的系数最大或最小问题

例11．在二项式11)1(-x 的展开式中，系数最小的项的系数是 ；

（2） 一般的系数最大或最小问题 例12．求84)21(x

x +展开式中系数最大的项；

（3）系数绝对值最大的项

例13．在（7)y x -的展开式中，系数绝对值最大项是 ________ ；

五、利用“赋值法”求部分项系数，二项式系数和 例14．若443322104)32(x a x a x a x a a x ++++=+， 则2312420)()(a a a a a +-++的值为 ；

例15．设0155666...)12(a x a x a x a x ++++=-， 则=++++6210...a a a a ； 六、利用二项式定理求近似值

例16．求6998.0的近似值，使误差小于001.0；

七、利用二项式定理证明整除问题

例17．求证：1

5151 能被7整除。

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