201x版九年级数学下册27.1圆的认识27.1.2圆的对称性2导学案新版华东师大版

2019版九年级数学下册27.1圆的认识27.1.2圆的对称性

2导学案新版华东师大版

年级九学科数学课型新授授课人

学习内容圆的认识--圆的对称性

学习目标1、利用圆的轴对称性与逻辑推理得出垂径定理及其推论。

2、能运用垂径定理及其推论解决问题。

3、培养善于从实验中获取知识的科学的方法。

学习重点利用圆的轴对称性与逻辑推理得出垂径定理及其推论。

学习难点能运用垂径定理及其推论解决问题。

导学过程复备栏【温故互查】

1.圆是什么对称图形？

2.在同圆或等圆中，圆心角，弧，弦有怎样的关系？

【设问导读】

如图，如果在圆形纸片上任意画一条垂直于直径CD的弦AB，垂足为P，再

将纸片沿着直径CD对折，比较AP与PB，AC与CB的大小，你能发现什么

结论？

已知，在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB,垂足为P,

求证：AP=BP, AC=CB,AD=BD

证明：连结CA、CB、OA、OB,则

垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧

1、在“垂径定理：垂直于弦的直径弦，并且平分弦所对的两条”中，

“垂直于弦的直径”这句话包含哪几个条件：

得到哪几个结论：

如图∵

∴

2、

平分弦的直径弦，并且平分弦所对的两条

如图∵

∴

3、平分弧的直径这条弧所对的弦

如图∵

∴

总结：以上每个定理都包含哪几个关系：①，②

③，④，⑤

这5个关系由其中任意2个关系，即可得出另外3个关系。

【自学检测】

1．判断正误：

（1）直径是圆的对称轴．（）

（2）平分弦的直线垂直于弦．（）

（3）平分弦的直径垂直于弦．（）

（4）弦的垂直平分线必定经过圆心。（）

2.如图，在⊙O中，⊙O的半径长为5cm，OC⊥AB于C，OC=3cm，求弦AB 的长．

【巩固训练】

4、如图，若⊙O的半径为5，弦AB长为8，求拱高CD．

【拓展延伸】

这是一个圆形的零件，你能告诉我，它的圆心的位置吗？你有什么办法？如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！

《圆的对称性》教学设计

3．2圆的对称性学案学习目标： 1．理解圆的轴对称性； 2．理解垂径定理及逆定理的的推导过程，并能初步应用。一、课前预习自学课本P96，回答下列问题： 1.平面上，到的距离等于的所有点组成的图形叫做。 2.点与圆的位置关系有三种：点在、点在、点在。 3.连接圆上任意两点间的线段叫做__________,经过圆心的弦叫做_________。 4.圆上任意两点间的部分叫做 ,简称 .如图，以A、B为端点的弧记作，读作“”或“”。 5.弧包括和，大于半圆的弧称为，小于半圆的弧称为。半圆既不是，也不是。优弧一般用个大写字母来表示，劣弧一般用个大写字母来表示，如图，以A、D为端点的弧有两条，优弧ACD(记作 )劣弧ABD(记作 )。二、合作探究【自主学习】 1．圆是轴对称图形吗?如果是，它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴? 2．你是用什么方法解决上述问题的? 3．右图还是轴对称图形吗？如果是你能找出它的对称轴吗？【小组讨论】 4．如图，AB是⊙O的一条弦.作直径CD, CD⊥AB,垂足为M. (1)此图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么? (2)你能发现图中有那些等量关系吗？说一说你的理由。垂径定理：。用几何语言表达：∵∴ 在下列图形中，哪些符合垂径定理的条件？三、典型例题

E O B A E O B A E O B A E O B A D O B A 例1 如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径。例2：如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，（即图中 CD，点O是CD的圆心），其中CD =600m，E为CD上一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF=90m。求这段弯路的半径。四．练习： 1．半径为4cm的⊙O中，弦AB=4cm, 那么圆心O到弦AB的距离是。 2．⊙O的直径为10cm，圆心O到弦AB的距离为3cm，则弦AB的长是。 3．半径为2cm的圆中，过半径中点且垂直于这条半径的弦长是。（1）题（2）题（3）题（4）题（5）题 4.如图，在⊙O中，AB、AC是互相垂直的两条弦，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，且AB=8cm,AC=6cm,那么的⊙O的半径OA长为。 5.弓形的弦长AB为24cm，弓形的高CD为8cm，则这弓形所在圆的半径为 _____ 6．已知如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点。求证：AC=BD 五．小结感悟学了本节课你有哪些收获？六．作业《分层作业B本》第21-22面，17题选做

人教版九年级数学九年级上圆的对称性(1)导学案

圆的对称性（1）一、学习目标 1、经历探索圆的中心对称性及有关性质的过程 2、理解圆的中心对称性及有关性质 3、会运用圆心角、弧、弦之间的关系解决有关问题重点：理解圆的中心对称性及有关性质难点：运用圆心角、弧、弦之间的关系解决有关问题二、知识准备： 1、什么是中心对称图形? 2、我们采用什么方法研究中心对称图形? 三、学习内容： 1、按照下列步骤进行小组活动： ⑴在两张透明纸片上，分别作半径相等的⊙O 和⊙O ' ⑵在⊙O 和⊙O '中,分别作相等的圆心角∠AOB 、∠'''B O A ，连接AB 、''B A ⑶将两张纸片叠在一起，使⊙O 与⊙O '重合（如图） ⑷固定圆心，将其中一个圆旋转某个角度，使得OA 与OA '重合在操作的过程中，你有什么发现，请与小组同学交流 _______________________________________________ 2、上面的命题反映了在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦的关系，对于这三个量之间的关系，你还有什么思考？请与小组同学交流. 你能够用文字语言把你的发现表达出来吗? 3、圆心角、弧、弦之间的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等 4、试一试：如图，已知⊙O 、⊙O '半径相等，AB 、CD 分别是⊙O 、⊙O '的两条弦填空：（1）若AB=CD ，则，（2）若AB= CD ，则，（3 '，则， 5么如何来刻画弧的大小呢？弧的大小：圆心角的度数与它所对的弧的度数相等例1、如图，AB 、AC 、BC 都是⊙O 的弦，∠AOC=∠BOC ∠ABC 与∠BAC 相等吗？为什么？ ’ ’ C ︵︵

九年级数学下册 2_1 圆的对称性学案(无答案)(新版)湘教版

第2章圆 2.1 圆的对称性学习目标： 1．了解圆的定义，理解弧、弦、半圆、直径等有关圆的概念． 2．从感受圆在生活中大量存在到圆形及圆的形成过程，探索圆的有关概念．重点、难点 1、重点：圆的相关概念 2、难点：理解圆的相关概念导学过程：阅读教材 , 完成课前预习【课前预习】 1：知识准备Array（1）举出生活中的圆的例子．（2）圆既是对称图形，又是对称图形。（3）圆的周长公式C= 圆的面积公式S= 2：探究（1）圆的定义○1：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转，另一个端点所形成的图形叫做．固定的端点O叫做，线段OA叫做．以点O为圆心的圆，记作“”，读作“” 决定圆的位置，决定圆的大小。圆的定义○2：到的距离等于的点的集合．（2）弦：连接圆上任意两点的叫做弦直径：经过圆心的叫做直径（3）弧：任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧半圆：圆的任意一条的两个端点把圆分成两条弧，每一条都叫做半圆优弧：半圆的弧叫做优弧。用个点表示，如图中叫做优弧劣弧：半圆的弧叫做劣弧。用个点表示，如图中叫做劣弧等圆：能够的两个圆叫做等圆等弧：能够的弧叫做等弧【课堂活动】活动1：预习反馈活动2：典型例题例1 如果四边形ABCD是矩形，它的四个顶点在同一个圆上吗？如果在，这个圆的圆心在哪里？

AD//. 例2 已知：如图，在⊙O中，AB，CD为直径.求证：BC Array 活动3：随堂训练 1、如何在操场上画一个半径是5m的圆？说出你的理由。 2、你见过树木的年轮吗？从树木的年轮，可以很清楚的看出树木生长的年轮。把树木的年轮看成是圆形的，如果一棵20年树龄的红杉树的树干直径是23cm，这棵红杉树的半径平均每年增加多少? 活动4：课堂小结圆的相关概念：【课后巩固】一．选择题： 1．以点O为圆心作圆，可以作（） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 2．确定一个圆的条件为（） A．圆心 B．半径 C．圆心和半径 D．以上都不对. 3．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB、CD的延长线交于点E，已知DE ， AB2

苏科版九年级上册第2章对称图形——圆有关的知识点

圆圆的定义：在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O 叫做圆心，线段OA 叫做半径。以点O 为圆心的圆记作“⊙O ”，读作“圆O ” 注意：圆的的位置由圆心决定，圆的大小由圆的半径决定。圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合，定点是圆心，定长是半径。图文：点和圆的位置关系: 设⊙O 的半径是r ，点P 到圆心O 的距离为d ，则有： dr ?点P 在⊙O 外。图文：点P 在圆O 内 d ＜r 点P 在圆O 上 d=r 点P 在圆O 外 d>r A O r P O d r O d r P O d r P A A A

圆的有关概念：同心圆：圆心相同，半径不相等的圆; 等圆：能够互相重合的圆叫等圆;（或者半径相等的圆）；弦：连接圆上任意两点的线段；直径：过圆心且的端点在圆上的线段叫直径。（或者过圆心的弦）；弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，用符号“⌒”表示；优弧：大于半圆的弧；劣弧：小于半圆的弧；圆心角：顶点在圆心的角；圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角；弓形：由弦及其所对的弧组成的图形；弦心距：从圆心到弦的距离；注意：1、同圆或等圆的半径都相等，或者半径相等的圆叫等圆或同圆； 2、直径是最长的弦，直径是弦，但是弦不一定直径； 3、弧可以分为优弧、劣弧和半圆；优弧大于劣弧； 4、半圆是弧，但是弧不一定是半圆； 5、能够互相重合的弧叫等弧，若只是说度数或长度相等都不叫等弧； 6、圆周角必须要强调角的两边与圆有交点，而圆心角不需要；图文：同心圆等圆弦：弦CD ，弦AB 圆周角：∠BAC 直径：AB 圆O 的直径圆心角：∠BOC 优弧：错误! 劣弧：⌒BDC 弦心距：OE O R r O 1 O 2 O A B C D E O C B A

九年级数学下册第三章圆课题圆的对称性学案 (新版)北师大版

课题：圆的对称性【学习目标】 1．理解圆是轴对称图形和中心对称图形，从圆具有旋转不变性，深入领会同圆或等圆中，相等的圆心角、弧、弦之间的对应关系． 2．经历圆是轴对称图形和中心对称图形的探索，学会运用在同圆或等圆中，相等的圆心角、弧、弦之间的对应关系来解决数学问题．【学习重点】圆心角、弧、弦之间关系定理的证明和应用．【学习难点】 “圆心角、弧、弦之间关系定理”中的“在同圆或等圆”条件的理解及定理的运用情景导入生成问题旧知回顾： 1．圆是轴对称图形吗？其对称轴是什么？答：由沿过圆心的直线折叠可知是轴对称图形，过圆心的每条直线都是它的对称轴． 2．圆是中心对称图形吗？圆还有哪些特殊性质？答：(1)圆是中心对称图形，对称中心为圆心； (2)一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合即圆具有旋转不变性．自学互研生成能力知识模块一圆的对称性阅读教材P 70～P 71，完成下面的内容：圆的对称性指哪些？答：(1)圆是轴对称图形，其对称轴是经过圆心的直线； (2)圆是中心对称图形，对称中心为圆心； (3)一个圆绕它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合．范例1：下列语句中，不正确的是( C ) A ．圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴 B ．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形 C ．当圆绕它的圆心旋转89°57′时，不会与原来的圆重合 D ．圆的对称轴有无数条，对称中心只有一个仿例1：如图所示，⊙O 与⊙O′是任意的两个圆，把这两个圆看作一个整体，它是一个轴对称图形，这个图形的对称轴是直线OO′． ,(仿例1题图)) ,(仿例2题图)) 仿例2：如图所示，AB 的长为10cm ，且CD⊥AB 于点O ，则图中阴影部分的面积为254 πcm 2 ,.) 知识模块二圆心角、弧、弦之间的关系

2017年秋季学期新版冀教版九年级数学上学期28.1、圆的概念及性质、圆的对称性的应用素材

1 圆的“对称性”的应用圆是轴对称图形图形，对称轴是任意一条过圆心的直线，利用这个“对称性”，我们可以得到垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．结合圆的特点，我们体会它们的用处：【例1】在直径为1米的圆柱形油槽内装入一些油后,截面如图1所示,若油面宽AB =0.6米,则油的最大深度为_______. 分析：本题考查垂径定理和勾股定理.欲求油的最大深度,就是求图1中弓形高CD =OD － OC ,所以关键是求OC ,利用勾股定理在△AOC 中可求出.通过本题可看出图中弦长a ,弦心距d ,半径r ,与弓形高h 四者之间的关系,要特别明确:①r =h +d ;②r 2=(2 a )2+d 2,由两个式子可知对于a 、d 、r 、h 这四个量,已知两个,另外两个一定能求,我们应该熟记. 解:作半径OD ⊥AB 于C ,∴AC =21AB =0.6×2 1=0.3. 在Rt △AOC 中,∵OC =22AC OA -=22)3.0()5.0(-=0.4, ∴CD =OD －OC =0.5－0.4=0.1(米). ∴油的最大深度为0.1米. 【例2】在半径为5厘米的圆内有两条互相平行的弦,一条弦长为8厘米,另一条弦长为6厘米,则两弦之间的距离为_______. 分析：本题考查垂径定理和勾股定理.根据题意,画出图形,这是与半径、弦长有关的问题,很自然联想到垂径定理,作出垂径,根据弦长a ,圆心到弦的距离d ,半径r 三者之间的关系r 2=(2 a )2+d 2可求出弦心距d ,从而问题解决.解答本题时,一定要注意分两种情况讨论,两条平行弦可能在圆心两侧,也可能在圆心同侧. 解:①如图2所示,如果两条平行弦在圆心两侧, 过O 作EF ⊥AB 于E ,EF ⊥CD 于F ,连结AO 、CO ,

圆的对称性—知识讲解(提高)

圆的对称性—知识讲解（提高）【学习目标】 1.理解圆的对称性；并能运用其特有的性质推出在同一个圆中,圆心角、弧、弦之间的关系，能运用这些关系解决问题，培养学生善于从实验中获取知识的科学的方法； 2. 通过探索、观察、归纳、类比，总结出垂径定理等概念，在类比中理解深刻认识圆中的圆心角、弧、弦三者之间的关系； 3. 掌握在同圆或等圆中，三组量：两个圆心角、两条弦、两条弧，只要有一组量相等，就可以推出其它两组量对应相等，及其它们在解题中的应用，通过实际操作、思考、交流等过程增强学生的实践意识和应用方法. 【要点梳理】要点一、圆的对称性圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴．圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心．要点诠释：圆具有旋转不变的特性．即一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合．要点二、弧、弦、圆心角的关系在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．要点诠释： (1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征； (2)注意关系中不能忽视“同圆或等圆”这一前提. 圆心角的度数与它所对的弧的度数相等. 要点三、垂径定理 1.垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧. 2.推论平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 要点诠释： (1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即 (2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段. 要点四、垂径定理的拓展根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：

圆的对称性与性质

圆的对称性与性质【重点知识】 1.弦心距：圆心到弦的距离. 2.圆周角：顶点在圆上，它的两边分别和圆相交的角，叫做圆周角. 3.一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 4.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等. 5.直径所对的圆周角是直角，090的圆周角所对的弦是直径. 【归纳总结】 1.在同圆或等圆中：①两个圆心角相等；②两条弧相等；③两条弦相等；④两条弦的弦心距相等.此四项中任何一项成立，则其余对应的三项都成立. 【典型例题】例1.①如图1，在⊙O 中，,AB AC = 070,A ∠=则C ∠=______. ②如图2，已知,,A B C 在⊙O 上，且040,BAC ∠=则OCB ∠=_____. ③如图3，已知AB 是⊙O 的直径，,,C D E 都是⊙O 上的点，则12∠+∠=_____. ④如图4，已知圆心角AOB ∠的度数为0100，则圆周角ACB ∠的度数是______. (图1) （图2）（图3）（图4） (图5) ⑤如图5，矩形ABCD 与圆心在AB 上的⊙O 交于点,,,,8,1,G B F E GB cm AG cm == 2,DE cm =则EF =_______cm ． ⑥如图6，在⊙O 中，0 60,3,ACB D AC ∠=∠==则ABC ?的周长为________． ⑦（2008湘潭）如图7，已知⊙O 半径为5，弦AB 长为8，点P 为弦AB 上一动点，连结OP ，则线段OP 的最小长度是．图6 图7

⑧（2008重庆）已知，如图8，AB 为⊙O 的直径，,AB AC BC =交⊙O 于点,D AC 交⊙O 于点0,45.E BAC ∠=给出以下五个结论：①0 22.5;EBC ∠=②;BD DC =③2;AE EC = ④劣弧? AE 是劣弧?DE 的2倍；⑤.AE BC =其中正确结论的序号是 . ⑨（2008黄石）如图9，AB 为⊙O 的直径，点C D ，在⊙O 上，50BAC ∠=，则ADC ∠= ．图8 图9 ⑩如图10，∠E=40°，AB=BC=CD ，则∠ACD= . 例2.①在半径为2的⊙O 中，弦AB 的长为AOB ∠=______. ②⊙O 的半径2,OA =弦,AB AC 的长为一元二次方程20x x -+=的两个根，则BAC ∠=_____. ③如图，在⊙O 中，AB 是直径， CD 是一条弦，//,AB CD 圆周角030,10,CAD AB cm ∠==则弦CD 的长是______. ④如图，AB 是⊙O 的直径，CD 为弦，CD AB ⊥于E ，则下列结论中不成立的是（） A. COE DOE ∠=∠ B. CE DE = C.OE BE = D. BD BC = ⑤（2008上海）小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（） A.第①块 B.第②块 C.第③块 D.第④块 ③图 ④图 ⑤图 ⑥图 B ?E D C B A O 20 题图图10

圆的对称性1

圆的对称性（第一课时）学案一、学习目标 1、理解圆的有关概念；能利用垂径定理进行相关的计算和证明； 2、会利用圆的轴对称性探究垂径定理、证明垂径定理； 3、通过观察、比较、操作、推理、归纳等活动，发展学生的空间观念、推理能力等等。二、学习导航教师引导学生用画图、折叠、测量的方法猜想出垂径定理的结论，而用推理证明的方法验证是本节的难点，让学生动手折叠、思考交流后，师板演示范证明. 三、知识链接 1.平面内到__________________________的所有点组成的图形叫做圆。 2.点与圆的位置关系以及相对应的数量关系是(d表示圆心与点之间的距离,r表示半径) (1)_________________________(2)______________________(3)____________________ 四、探究新知 (一)圆的轴对称性圆是轴对称图形吗?如果是，它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴?用什么方法? 总结____________________________________________________________________ (二)与圆有关的概念． 1．圆弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧． 2．弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦． 3．直径：经过圆心的弦叫直径． 4.等弧:在同圆或等圆中,能够重合的两条弧叫做等弧. 5．半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫半圆弧，简称半圆．注意: 直径是弦，但弦不一定是直径．弧包括优弧和劣弧，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧．如上图中，以A、D为端点的弧有两条：优弧ACD(记作ACD)，劣弧ABD(记作AD)．半圆是弧，但弧不一定是半圆；半圆既不是劣弧，也不是优弧． (三)探究垂径定理及推论 1、操作、探索拿出事先准备好的透明的纸片，在上面画一个圆O，再任意画一条非直径的弦CD，作一直径AB与CD垂直，交点为P（如图1）。沿着直径将圆对折（如图2），你有什么发现？垂径定理：__________________________________ _____________________________________________. 命题题设：___________________________________ 结论：____________________________________________

数学f1初中数学3.2 圆的对称性教案二

本文为自本人珍藏版权所有仅供参考本文为自本人珍藏版权所有仅供参考圆的对称性教学目标 (一)教学知识点(二) 1．圆的旋转不变性． 2．圆心角、弧、弦之间相等关系定理． (二)能力训练要求 1．通过观察、比较、操作、推理、归纳等活动，发展空间观念、推理能力以及概括问题的能力． 2．利用圆的旋转不变性，研究圆心角、弧、弦之间相等关系定理． (三)情感与价值观要求培养学生积极探索数学问题的态度及方法．教学重点圆心角、弧、弦之间关系定理．教学难点 “圆心角、弧、弦之间关系定理”中的“在同圆或等圆”条件的理解及定理的证明．教学方法指导探索法．教具准备投影片两张第一张：做一做(记作§3．2．2A) 第二张：举反例图(记作§3．2．2B) 教学过程 Ⅰ．创设问题情境，引入新课 [师]我们研究过中心对称图形，我们是用什么方法来研究它的，它的定义是什么？哪位同学知道？

[生]用旋转的方法．中心对称图形是指把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫中心对称图形．这个点就是它的对称中心． [师]圆是一个特殊的圆形，通过前面的学习，同学们已经了解到圆既是一个轴对称图形又是一个中心对称图形．那么，圆还有其他特性吗？下面我们继续来探讨． Ⅱ．讲授新课 [师]同学们请观察老师手中的两个圆有什么特点？ [生]大小一样． [师]现在老师把这两个圆叠在一起，使它俩重合，将圆心固定．将上面这个圆旋转任意一个角度，两个圆还重合吗？ [生]重合． [师]通过旋转的方法我们知道：圆具有旋转不变的特性．即一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合．圆的中心对称性是其旋转不变性的特例．即圆是中心对称图形，对称中心为圆心． [师]我们一起来做一做．(出示投影片§3．2．2A) 按下面的步骤做一做： 1．在两张透明纸上，作两个半径相等的⊙O和⊙O′，沿圆周分别将两圆剪下． 2．在⊙O和⊙O＇上分别作相等的圆心角∠AOB和∠A＇O＇B＇(如下图示)，圆心固定．注意：在画∠AOB与∠A＇O＇B＇时，要使OB相对于OA的方向与O＇B＇相对于O＇A＇的方向一致，否则当OA与OA＇重合时，OB与O＇B＇不能重合． 3．将其中的一个圆旋转一个角度，使得OA与O＇A＇重合．

2019春九年级数学下册第三章圆 3.2 圆的对称性学案(新版)北师大版

3.2 圆的对称性学习目标： 1．了解圆的定义，理解弧、弦、半圆、直径等有关圆的概念． 2．从感受圆在生活中大量存在到圆形及圆的形成过程，探索圆的有关概念．重点、难点 1、重点：圆的相关概念 2、难点：理解圆的相关概念导学过程：阅读教材 , 完成课前预习【课前预习】 1：知识准备Array（1）举出生活中的圆的例子．（2）圆既是对称图形，又是对称图形。（3）圆的周长公式C= 圆的面积公式S= 2：探究（1）圆的定义○1：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转，另一个端点所形成的图形叫做．固定的端点O叫做，线段OA叫做．以点O为圆心的圆，记作“”，读作“” 决定圆的位置，决定圆的大小。圆的定义○2：到的距离等于的点的集合．（2）弦：连接圆上任意两点的叫做弦直径：经过圆心的叫做直径（3）弧：任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧半圆：圆的任意一条的两个端点把圆分成两条弧，每一条都叫做半圆优弧：半圆的弧叫做优弧。用个点表示，如图中叫做优弧劣弧：半圆的弧叫做劣弧。用个点表示，如图中叫做劣弧等圆：能够的两个圆叫做等圆等弧：能够的弧叫做等弧【课堂活动】活动1：预习反馈活动2：典型例题例1 如果四边形ABCD是矩形，它的四个顶点在同一个圆上吗？如果在，这个圆的圆心在哪里？

例2 已知：如图，在⊙O 中，AB ，CD 为直径.求证：BC AD //. 活动3：随堂训练 1、如何在操场上画一个半径是5m 的圆？说出你的理由。 2、你见过树木的年轮吗？从树木的年轮，可以很清楚的看出树木生长的年轮。把树木的年轮看成是圆形的，如果一棵20年树龄的红杉树的树干直径是23cm ，这棵红杉树的半径平均每年增加多少? 活动4：课堂小结圆的相关概念：【课后巩固】一．选择题： 1．以点O 为圆心作圆，可以作（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．无数个 2．确定一个圆的条件为（） A ．圆心 B ．半径 C ．圆心和半径 D ．以上都不对. 3．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，AB 、CD 的延长线交于点E ，已知DE AB 2=，若COD ?为直角三角形，则E ∠的度数为（） A ．?5.22 B ．?30 C ．?45 D ．?15 O C A B D

28.1.2《圆的对称性》学案

28.1.2《圆的对称性》学案教学目标： 1.使学生知道圆是中心对称图形和轴对称图形,并能运用其特有的性质推出在同一个圆中,圆心角、弧、弦之间的关系， 2.能运用这些关系解决问题，培养学生善于从实验中获取知识的科学的方法。重点难点： 1、重点：由实验得到同一个圆中，圆心角、弧、弦三者之间的关系。 2、难点：运用同一个圆中，圆心角、弧、弦三者之间的关系解决问题。研讨过程：一、由问题引入新课：要同学们画两个等圆，并把其中一个圆剪下，让两个圆的圆心重合，使得其中一个圆绕着圆心旋转，可以发现，两个圆都是互相重合的。如果沿着任意一条直径所在的直线折叠，圆在这条直线两旁的部分会完全重合。由以上实验，同学们发现圆是中心对称图形吗？对称中心是哪一点？圆不仅是中心对称圆形，而且还是轴对称图形，过圆心的每一条直线都是圆的对称轴。二、探索新知实验1、将图形28.1.3中的扇形AOB 绕点O 逆时针旋转某个角度，得到图28.1.4中的图形，同学们可以通过比较前后两个图形，发现∠AOB ＝∠A ′OB ′， AB ＝A ′B ′，AB=A ′B ′。实质上，AOB 确定了扇形AOB 的大小，所以，在同一个圆中，如果圆心角相等，那么它所对的弧，所对的弦。问题： 1.在同一个圆中，如果弧相等，那么所对的圆心角，所对的弦是否相等呢？ 2.在同一个圆中，如果弦相等，那么所对的圆心角，所对的弧是否相等呢？在同一个圆中，如果弧相等，那么它所对的圆心角，所对的弦。在同一个圆中，如果弦相等，那么它所对的圆心角，所对的弧。图23.1.3 图23.1.4

实验2、如图28.1.7，如果在图形纸片上任意画一条垂直于直径CD 的弦AB ，垂足为P ，再将纸片沿着直径CD 对折，比较AP 与PB 、AC ︵与CB ︵，你能发现什么结论？显然，如果CD 是直径，AB 是⊙O 中垂直于直径的弦，那么AP BP =，AC=BC ，AD=BD 。请同学们用一句话加以概括：（垂直于弦的直径平分，并且平分弦所对的。）我们还可以得到：平分弦的直径垂直于这条，并且平分弦所对的，平分弦，并且平分弧的直径垂直平分这条弧所对的。 2、同一个圆中，圆心角、弧、弦之间的关系的应用。（1）思考：如图，在一个半径为6米的圆形花坛里，准备种植六种不同颜色的花卉，要求每种花卉的种植面积相等，请你帮助设计种植方案。（2）如图28.1.5，在⊙O 中，AC BC =， 145∠=?，求2∠的度数。 3、课堂练习：P38练习1、2、3 三、课堂小结本节课我们通过实验得到了圆不仅是中心对称图形，而且还是轴对称图形，而由圆的对称性又得出许多圆的许多性质，即（1）同一个圆中，相等的圆心角所对弧相等，所对的弦相等。（2）在同一个圆中，如果弧相等，那么所对的圆心角，所对的弦相等。（3）在同一个圆中，如果弦相等，那么所对的圆心角，所对的弧相等。（4）垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。四、作业Ｐ42 习题28.1 1、2、3、4、5 教学反思：图23.1.7 O D C B A 图 23.1.5

九年级数学上册第2章对称图形-圆2.2圆的对称性第2课时圆的轴对称性同步练习新版苏科版

第2章对称图形——圆 2.2 第2课时圆的轴对称性知识点 1 圆的轴对称性 1．圆是轴对称图形，____________都是它的对称轴，因此圆有________条对称轴．知识点 2 垂径定理 2．如图2－2－12，已知⊙O 的直径AB ⊥CD 于点E ，则下列结论中不一定正确的是( ) A ．CE ＝DE B ．AE ＝OE C.BC ︵＝BD ︵ D ．△OC E ≌△ODE 3．在⊙O 中，非直径的弦AB ＝8 cm ，OC ⊥AB 于点C ，则AC 的长为( ) A ．3 cm B ．4 cm C ．5 cm D ．6 cm 图2－2－12 图2－2－13 4．教材习题2.2第5题变式如图2－2－13，AB 是⊙O 的弦，半径OC ⊥AB 于点D .若⊙O 的半径为5，AB ＝8，则CD 的长是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 5．如图2－2－14，⊙O 的直径CD 垂直弦AB 于点 E ，且CE ＝2，DE ＝8，则AB 的长为( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 图2－2－14

图2－2－15 6．如图2－2－15，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点．若BC＝6，AB＝10，OD⊥BC于点D，则OD的长为________． 7．[xx·长沙] 如图2－2－16，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD＝6，EB＝1，则⊙O的半径为________．图2－2－16 图2－2－17 8．如图2－2－17是一个古代车轮的碎片，小明为求其外圆半径，连接外圆上的两点A，B，外圆半径OC⊥AB于点D交外圆于点C.测得CD＝10 cm，AB＝60 cm，则这个车轮的外圆半径是________cm. 9．[xx秋·盐都区月考] 已知：如图2－2－18，在⊙O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离为3. (1)求⊙O的半径； (2)若P是AB上的一动点，试求OP的最大值和最小值．图2－2－18

苏教版九年级-圆的对称性-知识点及典型例题(附答案)

圆的对称性主要内容： 1. 圆是轴对称图形，也是中心对称图形。经过圆心的直线是对称轴。圆心是它的对称中心。 2. 圆心角、弧、弦之间的关系定理：在同一个圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦也相等。推论：在同一个圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。如图，用几何语言表示如下：⊙O中，（1）∵∠AOB＝∠A'OB' （3）∵AB＝A'B' 5. 直径垂直于弦的性质（垂径定理）垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。如图：几何语言【典型例题】例1. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB、BC分别交于点D、E。求AB、AD的长。分析：求AB较简单，求弦长AD可先求AF。解：例2. 如图，⊙O中，弦AB＝10cm，P是弦AB上一点，且PA ＝4cm，OP＝5cm，求⊙O的半径。分析：⊙O中已知弦长求半径，通常作弦心距构造直角三角形，利用勾股定理求解。解：

第8题例3. 如图“五段彩虹展翅飞”是某省利用国债资金修建的横跨渡江的琼洲大桥已正式通车，该桥的两边均有五个红色的圆拱，最高的圆拱的跨度为110米，拱高为22米，求这个圆拱所在圆的直径。分析：略解：【模拟试题】一. 选择题。 1. ⊙O 中，弦AB 所对的弧为120°，圆的半径为2，则圆心到弦AB 的距离OC 为（） A. B. 1 C. D. 2. 如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，如果，则AE 的长为（） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3. 如图，⊙O 的弦AB 垂直于直径MN ，C 为垂足，若OA ＝5cm ，下面四个结论中可能成立的是（） A. B. C. D. 4. 下列命题中正确的是（） A. 圆只有一条对称轴 B. 平分弦的直径垂直于弦 C. 垂直于弦的直径平分这条弦 D. 相等的圆心角所对的弧相等 5. 如图，已知AD ＝BC ，则AB 与CD 的关系为（） A. AB ＞CD B. AB ＝CD C. AB ＜CD D. 不能确定二. 填空题。 6. 半径为6cm 的圆中，有一条长的弦，则圆心到此弦的距离为___________cm 。 7. 把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF=CD=16厘米，则球的半径为厘米．第5题第11题

华东师大版九年级下册27.1.2圆的对称性学案

磁涧一中九年级数学优学案 27．1．2圆的对称性【学习目标】（宋体四号加粗左对齐） 1、知道圆是中心对称图形和轴对称图形,并能运用其特有的性质推出在同一个圆中,圆心角、弧、弦之间的关系， 2、能运用这些关系解决问题，培养学生善于从实验中获取知识的科学的方法。【学习重点】由实验得到同一个圆中，圆心角、弧、弦三者之间的关系。【学习难点】运用同一个圆中，圆心角、弧、弦三者之间的关系解决问题。【自主学习】自读课本37页---38页的内容，完成下列问题： 1、如图，扇形AOB 旋转到扇形A’OB’位置，在旋转过程中， ∠AOB=∠______，AB _____，AB=______. 2、在一个圆中，如果圆心角相等，那么它所对的弧________，所对的弦______. 3、同一个圆中，如果弧相等，那么它所对的圆心角________，所对的弦______. 4、在一个圆中，如果弦相等，那么它所对的圆心角__________，圆心角所对的弧______. 【合作探究】 1、如图，在⊙O 中，AB=CD ，∠1=54°，求∠2的度数。 2、如图，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠B ＝70°.求∠A 度数．图 28.1.4

3、如图，AB是⊙O的直径，BC、CD、DA是⊙O的弦，且BC=CD=DA，求∠BCD的度数。【归纳总结】本节课我们学到了: 1、圆不仅是______对称图形，而且还是____对称图形。 2、圆的对称性：（1）同一个圆中，相等的圆心角所对弧__________，所对的弦__________。（2）在同一个圆中，如果弧相等，那么它所对的圆心角_____________，所对的弦___________。（3）在同一个圆中，如果弦相等，那么它所对的圆心角____________，所对的弧____________。【当堂检测】 1、若弦AB等于⊙O的半径，则弦AB所对的圆心角的度数是（）．A．30°B．60°C．90°D．120° 2、下列图形中，对称轴最多的是（） A．正方形B．矩形C．等边三角形D．圆 3、如图3所示，A、B、C、D是圆上的点，∠1＝68°，∠A＝40° 则∠D＝_______． 4、如图4，AB为⊙O直径，点C、D在⊙O上，已知∠BOC＝70°，AD∥OC，求∠AOD的度数? 【拓展延伸】

初三培优专题18 圆的对称性

专题18 圆的对称性阅读与思考圆是一个对称图形．首先，圆是一个轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴，圆的对称轴有无数条；同时，圆又是一个中心对称图形，圆心就是对称中心，圆绕其圆心旋转任意角度，都能够与本身重合，这是圆特有的旋转不变性．由圆的对称性引出了许多重要的定理：垂径定理及推论；在同圆或等圆中，圆心角、圆周角、弦、弦心距、弧之间的关系定理及推论．这些性质在计算和证明线段相等、角相等、弧相等和弦相等等方面有广泛的应有．一般方法是通过作辅助线构造直角三角形，常与勾股定理和解直角三角形相结合使用．熟悉以下基本图形和以上基本结论．我国战国时期科学家墨翟在《墨经》中写道：“圆，一中间长也．”古代的美索不达米亚人最先开始制造圆轮．日、月、果实、圆木、车轮，人类认识圆、利用圆，圆的图形在人类文明的发展史上打下了深深的烙印．例题与求解【例1】在半径为1的⊙O 中，弦AB ，AC 的长分别为3和2，则∠BAC 度数为_______．（黑龙江省中考试题）解题思路：作出辅助线，解直角三角形，注AB 与AC 有不同位置关系．由于对称性是圆的基本特性，因此，在解决圆的问题时，若把对称性充分体现出来，有利于圆的问题的解决．【例2】如图，在三个等圆上各自有一条劣弧? AB ，?D C ，?EF ．如果?AB +?D C =?EF ，那么AB +CD 与EF 的大小关系是（） A ．A B +CD =EF B ．AB +CD >EF C ．AB +C D

九年级数学下册 3_2 圆的对称性导学案(新版)北师大版

可编辑 B A O 第2节圆的对称性【学习目标】 1、经历探索圆的对称性及有关性质的过程 2、理解圆的中心对称性及有关性质 3、会运用圆心角、弧、弦之间的关系解决有关问题【学习重难点】重点：理解圆的中心对称性及有关性质难点：运用圆心角、弧、弦之间的关系解决有关问题【学习方法】小组合作探究【学习过程】模块一预习反馈一、知识回顾： 1、如果一个图形，绕某点旋转度后，能与自身重合，哪么我们称这个图形为图形。这个点叫做。 2、圆是_______ 图形，其对称中心是___________。圆是特殊的中心对称图形，圆绕圆心旋转都能与本身重合。圆是轴对称图形，过的每一条直线都是它的。二、自主学习：看书70页—72页后，解答下列问题： 1、如图所示，∠AOB 的顶点在圆心，另两边与圆相交像这样的角叫做。 2、圆心角、弧、弦之间的关系：

可编辑如图，已知⊙O 、⊙O '半径相等，AB 、CD 分别是⊙O 、⊙O ' 的两条弦填空：（1）若AB=CD ，则，（2）若AB= CD ，则，（3）若∠AOB=∠CO 'D ，则，（4）过O 、与O ' 分别作OM ⊥AB 、O ' N ⊥CD ，若OM=O ' N ，则，，注：在圆心角、弧、弦这三个量中，角的大小可以用度数刻画，弦的大小可以用长度刻画，弧的度数与所对圆心角的度数相等。实践练习：已知：如图，AB 是⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上，CE ⊥AB 于E ，DF ⊥AB 于F ，且AE=BF ，AC 与BD 相等吗？为什么？（提示：可证两弧所对圆心角相等）答：相等连接C0、DO ∵OA=OB ；AE=BF ∴OE= 。 ∵CE ⊥AB 于E ，DF ⊥AB 于F ， = 。∴Rt △CEO ≌Rt △ 。 ∴ 。∴ 模块二合作探究探究1、如图所示，在⊙O 中，AC=BC ，D 、E 分别是半径OA 、OB 的中点，求证：CD ＝CE ．探究2、如图所示，已知AD 、BC 是⊙O 两条弦，且AD=BC ，你认为AB 与CD 相等吗？为什么？ O ’ C O B A ︵︵ O B C D E F A B C O E D ︵︵ O C B A D

苏科版-数学-九年级上册-《圆的对称性》练习

圆的对称性（第二课时）基础题：一、判断题：（1）相等的圆心角所对弦相等（）（2）相等的弦所对的弧相等（）二、选择题： 1．下列命题中，正确的有（） A．圆只有一条对称轴 B．圆的对称轴不止一条，但只有有限条 C．圆有无数条对称轴，每条直径都是它的对称轴 D．圆有无数条对称轴，经过圆心的每条直线都是它的对称轴 2．下列说法中，正确的是（） A．等弦所对的弧相等B．等弧所对的弦相等 C．圆心角相等，所对的弦相等D．弦相等所对的圆心角相等 3．下列命题中，不正确的是（） A．圆是轴对称图形B．圆是中心对称图形C．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形D．以上都不对三、填空题： 1.圆既是轴对称图形,又是_________对称图形,它的对称轴是_______, 对称中心是____. 2．⊙O中，弦AB的长恰等于半径，则弦AB所对圆心角是________度． 3. 圆的一条弦把圆分为5: 1 两部分, 如果圆的半径是2cm, 则这条弦的长是_____cm. 4.已知⊙O中,OC⊥弦AB于C,AB=8,OC=3,则⊙O的半径长等于________. ★发展题：四、选择填空题如图，过⊙O内一点P引两条弦AB、CD，使AB＝CD，求证：OP平分∠BPD．证明：过O作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N．

A、OM⊥PB B、OM⊥AB C、ON⊥CD D、ON⊥PD ▲提高题：五、解答题： 1.如果圆的两条弦互相平行，那么这两条弦所夹的弧相等吗？为什么？ 2. 如图，已知⊙O1和⊙O2是等圆，直线CF顺次交这两个圆于C、D、E、F，且CF交O1O2于点M， ⌒⌒ EF CD ，O1M和O2M相等吗？为什么？