三阶常微分方程的线性化

三阶常微分方程的线性化

摘要

研究三阶常微分方程的线性化，可便于对三阶常微分方程进行求解，本文主要研究，通过可逆的变量变换，将所有可线性化的三阶常微分方程转化成三阶程常微分方程的规范形式，进而得到它的通解。由于变量变换是可逆的，所以两种形式可以互相转化，从而可以利用该方法将一般三阶常微分方程转化成三阶常微分方程的规范形式。 关键词：变量变换,可线性化,三阶常微分方程

1. 三阶常微分方程的规范化

由于一般三阶常微分方程(ODE)比较繁琐，难以求解，所以需要找到将一般三阶常微分方程转化成线性化的三阶常微分方程（三阶常微分方程的规范形式）的方法。 1.1.背景

一般线性齐次方程

()(-1)1-1()...()()0,

n n n n u a t u a t u a t u ¢++++= (1.1)

可以写成如下二项式系数的标准形式：

()(-1)(-2)

21-1!()()...()()0.

(-2)!2!

n n n n n n c t u nc t u u nc t y c t u n ¢++

+++=

(1.2)

E . 拉盖尔于1879年证明了方程(1.2)里最高阶数以下的两个阶次项可以同时被消去，相应的结果可以用如下定理来表述：

定理1.1 n 阶常微分方程(1.2)可以通过合适的等价变换 φ()(φ()0),σ()(σ0),t x x u x y ¢=?? (1.3)

化简为：

()(-3)

3-1!()...()()0.3!(-3)!n n n n n c t u u nc t u c t u n ¢+

+++=

(1.4)

1.2.主要思想

我们把方程(1.4)称为线性齐次n 阶方程的Laguerre 规范形式。特别地，三阶方程的规范形式为

α()0,

u t u ⅱ?+= (1.5)

方程(1.5)很显然是线性的，那接下来的问题是，哪些三阶ODE 可以线性化为(1.5)呢？下面我们给出可线性化的三阶方程的形式。 定理 1.2 形如

32103210()0,y A y A y B y B y B y B ⅱⅱⅱⅱ?++++++= (1.6)

的三阶方程可以通过等价变换

φ()(φ()0),(,),t x x u x y y ¢=? (1.7)

线性化为方程(1.5)，其中

(,),(0,1),(,),(0,1,2,3).i i i i A A x y i B B x y i ====

并且i A 和i B 满足方程组

-10=x y A A (1.8)

)3--3(02

01=y x A A B (1.9)

101233A A A B x += (1.10)

211339A y A B += (1.11)

y

y x x x yy B A B A B A A A B B 1001112

00103)-(9)2-6-9(27++= (1.12)

变换(1.7)中的函数φ()x 和(,)x y ψ满足下列方程组

221006

333,(),

xx x x

d B A A dx j c

c c j

-=--=

(1.13)

13yy y A y y = (1.14) 03(3)x y y A y c y =+ (1.15) 2200011

3(339)6

xxx xx y x x B A A B y cy y c y =+-

+-+-W (1.16) 3000010011014(26322),69xx x y x A A A B B A A B A B W =++-+-+ (1.17)

()t α由下列式子给出

3

().x t a j =W (1.18)

证明：由于等价变换(1.7)是可逆的，因此下面我们从方程(1.5)推出(1.6)。由于

ψψ,y x

y u f j

¢¢=+ⅱ

223ψ2ψψψ(ψψ),xx xy yy y x y y y y y u j j j

ⅱⅱⅱ?++++ⅱ=-ⅱ

22342324

(ψ3ψ3ψ3ψψ3ψψ)2(ψ2ψψψ)(ψψ)(ψ2ψψψ)]3(ψψ).xxx t xxy t xy t xyy t yyy t yy t t y xx xy yy y t t x y xx t xy t yy t y t x y t

x y x y x y x y x y y x y x u y y y x x y x y x y x y x y x j j

j j

y j j j j j ⅱⅱⅱⅱⅱⅱ++++++ⅱ?=-¢ⅱⅱⅱ+++-¢ⅱⅱⅱⅱⅱⅱⅱⅱ?+++++-+¢代入()0u t u a ⅱ

?+=得： 3

223223333363(

)()()(333(()))0,xy yy yyy xyy yy xxy xy y

y

y y y y y xxx x xx x y y y y y

y y y y y x y y y y y j y y j y j j y y j y y y j y j y j

y j y j y j y j a j yj j y y j y j y j y ⅱⅱⅱⅱ?ⅱⅱⅱⅱ++

-++-+--+ⅱⅱⅱ

ⅱⅱ?ⅱ?¢+--++=ⅱⅱ上式为（1.6）的形式。其中

0123021223333,,33(()),363,

33,.

xy yy y

y

xxx x xx x y y y y y

xxy xy y y xyy yy yyy

y y y

A A x

B B B B y y j y j y y j y j y j y a j yj y y j y j y j y y j y j j y j y j j y j y y y y j y ⅱ

=

-

=¢ⅱⅱⅱ?¢

=--++ⅱ?ⅱⅱⅱ?

=--+ⅱ?ⅱ=-=¢

经验证上述i A 和i B 满足方程组(1.8)-(1.18). 2.相关例题

例：将下列方程线性化

3222363()6()0.

y y y y y y y y x y xy x x ⅱ?ⅱⅱⅱ-+++++= (2.1)

解：上式为(1.6)的形式，下面我们验证是否满足定理1.2，由于

103210223

636666

,,,,,,y A A B B B B y x y x y x x =-=-==== (2.2)

我们很容易验证系数(2.2)满足条件(1.8)-(1.12)。下面我们求解等价变换。由于

2

100330,x B A A --= (2.3) 则方程(1.13)可写为

22

0,d dx c

c -= (2.4)