二次函数与实际问题-利润问题

课题：人教版第二十六章第一节《实际问题与二次函数》

教学目标：

1、知识与技能：

能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并能利用二次函数求出实际问题中的最大（小）值，发展学生解决问题的能力。

2、过程与方法：

经历探索商品销售中最大利润问题的过程，进一步认识如何利用二次函数的有关知识解决实际问题，增强学生数学应用能力。

3、情感态度与价值观：

提高学生解决问题的能力，体会二次函数是一类最优化问题的数学模型，并感受数学的应用价值。

教学重点与难点：

1、重点：

让学生通过解决问题，掌握如何应用二次函数来解决经济中最大（小）值问题。

2、难点：

如何分析现实问题中数量关系，从中构建出二次函数模型，达到解决实际问题的目的。

教学过程：

一、创设情境：

请同学们考虑下列问题：

已知某商品的进价为每件40元，售价是每件60元，每星期可卖出300件。市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件。要想获得6090元的利润，该商品应定价为多少元？

学生根据相应的数量关系列出方程。

设每件涨价x元

（60+x -40）×（300-10x）=6090

（从实际生活入手，创设问题情境，提高学生兴趣，激发求知欲望。）

二、探索新知，进入新课

1、商场的服装，经常出现涨价、降价，这其中有何奥妙呢？商家的利润否是随涨价而增多，降价而减少呢？

2、某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件。如何定价才能使利润最大？

教师展示问题，

（1）、本题中的变量是什么？

（2）、如何表示赚的钱呢？

学生分组讨论，利用函数模型解决问题

设每件涨价x元，由此商品

①每件的利润为：（60+x -40）元

②每星期的销售量为：（300-10x）件

③所获利润是：（60+x -40）×（300-10x）元

若设所获得利润为y元，则有y=（60-40+x）（300-10x），即

y=-10x2+100x+6000。

自变量x的取什范围是0≤x≤30（300-10x≥0 x≤30）

当x=5时，y的最大值为6250.

3、师：市场调查中有涨价的情况，也有降价。请同学们思考：

在上述问题中，如果每降价1元，每星期可多卖出20件。已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？

（让学生体会到函数模型在同一个问题中的不同情况下是不同的，从而培养学生对问题思考的完善性。）

学生思考，交流，完成题目：

设每件降价x元，由此每星期售出的商品利润y随x的变化：

y=（60-x-40）（300+20x）=-20x2+100x+6000

自变量x的取什范围是0≤x≤20

当x=2.5时，y的最大值为6125.

综上所述：每件为65元时，每星期的利润最大，最大值为6250元。

（通过学生“观察、分析、交流”等过程，让学生在复习中温故而知新，把二次函数与一元二次方程联系起来，让学生从方程思想过渡到函数，可以体验到知识的深化和成功的喜悦；在应用中获得发展，从而使知识转化为能力，进而应用于实际生活。）

三、随堂练习：

1.某商场销售某种品牌的纯牛奶，已知进价为每箱40元，市场调查发现：若每箱以50 元销售,平均每天可销售100箱. 价格每箱降低1元，平均每天多销售25箱; 价格每箱升高1元，平均每天少销售4箱。如何定价才能使得利润最大？

若生产厂家要求每箱售价在45—55元之间。如何定价才能使得利润最大？（为了便于计算，要求每箱的价格为整数）

2、某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为40只，且每日生产的产品全部售出。已知生产x只玩具熊猫的成本为R（元），每只售价为P（元），且R、P与x的表达式分别为R=500+30x,P=170－2x.

（1）当日产量为多少时，每日获利为1750元？

（2）当日产量为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少元？

（学生在练习活动中可以体验到分析数学问题的快乐，丰富数学活动的经历和积累数学分析的经验；并且使学生在“合作与交流”中提升自我的价值。）四：学生总结

解决利润最大化问题的基本方法和步骤：

方法：利用二次函数思想

步骤：1、设自变量；2、建立函数解析式；3、确定自变量取值范围；

4、利用顶点公式或配方法求出最值（在自变量取值范围内）

五、作业：

1、某商店经营T恤衫,已知成批购进时单价是2.5元.根据市场调查,销售量与单价满足如下关系:在一时间内,单价是13.5元时,销售量是500件,而单价每降低1元,就可以多售出200件.

设销售价为x元(x≤13.5元)，那么：销售量可表示为：（）件；销售额可表示为：（）元；所获利润可表示为：（）元。当销售单价为（）

元时，可以获得最大利润,最大利润是（）元。

2、某商店购进一批单价为20元的日用品,如果以单价30元销售,那么半个月内可以售出400件.根据销售经验,提高单价会导致销售量的减少,即销售单价每提高1元,销售量相应减少20件.如何提高售价,才能在半个月内获得最大利润?

六、教学反思：

本节课的设计，我以学生活动为主线，通过“观察、分析、交流”等过程，让学生在复习中温故而知新，把二次函数与一元二次方程联系起来，通过分解问题降低难度，让学生从方程思想过渡到函数，可以体验到知识的深化和成功的喜悦；在应用中获得发展，从而使知识转化为能力。学生在活动中可以体验到分析数学问题的快乐，丰富数学活动的经历和积累数学分析的经验；学生在“合作与交流”中提升自我的价值。

在教材处理上，我对教学内容进行了合理的加工和改进，使教学符合学生的认知规律。本节教学过程主要由创设情境，引入新知――合作交流；探究新知――运用知识，体验成功；知识深化――应用提高；归纳小结――形成结构等环节构成，环环相扣，紧密联系，体现了让学生成为行为主体即“动手实践、自主探索、合作交流”的《数学新课标》要求。让学生在活动、合作、开放、探究、交流中，愉悦地参与数学活动的数学教学。