河北省2020年高考理科数学预测试题及答案
2020届河北省衡水密卷新高考预测模拟考试(十一)理科数学
绝密★启用前2020届河北省衡水密卷新高考预测模拟考试（十一)理科数学★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。
7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、单选题1．若函数323,3()log (1),3x x f x x x -⎧≤=⎨+>⎩满足()3f a =，则a =（ ）A ．2log 3B ．4C ．1D ．72．设集合{2468}A =，，，，{x|2x 7}B =<≤，则A B =I （ ） A ．{2,4}B ．{4,6}C ．{}6,8D ．{2,8}3．已知,αβ是平面，,m n 是直线，则下列命题不正确的是（）A ．若,,m n m α⊥∥则n α⊥ B ．若,,m m αβ⊥⊥则αβ∥ C ．若m m n α⊥，，∥则αβ⊥ D ．若m n ααβ⋂=，∥，则m n ∥4．若()f x 满足对任意的实数a ，b 都有()()()f a b f a f b +=⋅且(1)2f =，则(2)(4)(6)(2018)(1)(3)(5)(2017)f f f f f f f f ++++=L （ ） A ．1008B ．1009C ．2017D ．20185．若函数323()62f x x x x a =--++的图象不经过第三象限，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(10)-∞-，B ．(10]-∞-，C ．(10)+∞，D ．[10)+∞，6．下列函数是奇函数，且在(,)-∞+∞上为增函数的是（ ） A ．3()f x x =B ．()||1f x x =+C ．()21x f x =-D ．()lg f x x =7．已知函数()()sin cos sin f x x x x =+，则下列说法不正确的为（ ） A ．函数()f x 的最小正周期为π B ．()f x 在37,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减 C ．()f x 的图象关于直线8x π=-对称D ．将()f x 的图象向右平移8π，再向下平移12个单位长度后会得到一个奇函数的图象 8．函数f (x )=ax 2+2(a +3)x +1在区间[−4,+∞)上递增，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[0,1]B ．(0,1]C ．(−∞,1]D ．[1,+∞)9．已知向量)()(,0,1,k ==-=a b c ，若2a b -与c 垂直，则k 等于A ．B ．2C ．3-D ．110．已知123a -=，31log 2b =，2log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a c b >> B ．c a b >> C ．a b c >>D ．c b a >>11．若函数f(x)=sinωx(ω>0)在区间(0,2π3)上单调递增，且f(2π3)>f(5π6)，则ω的一个可能值是（ ）A ．12 B ．35 C ．34 D ．32 12．设123,,a a a 为正数，233112123312,a a a a a a m n a a a a a a =++=++，则m 与n 的大小关系为（ ）A ．m n ≤B ．m n ≥C ．m n >D ．m n =第II 卷（非选择题)二、填空题13．已知x,y,z∈R,有下列不等式: ∈x 2+y 2+z 2+3≥2(x+y+z);x y2+≥②∈|x+y|≤|x -2|+|y+2|; ∈x 2+y 2+z 2≥xy+yz+zx.其中一定成立的不等式的序号是_____14．某几何体的三视图如右图（其中侧视图中的圆弧是半圆），则该几何体的表面积为15．在∈ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，若角A ，B ，C 依次成等差数列，且a=1，S ∈ABC =______．16．设随机变量()3,36X N :，且()()2P X m P X m >=<-，()50.4P X >=，则()3P X m >-=_____三、解答题17．在∈ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a =（1）若b,c 是方程210x +=的两根，求∈ABC 的面积；（2）若∈ABC 是锐角三角形，且B ＝2A ，求b 的取值范围.18．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，030B =，三边,,a b c 成等比数列，且ABC ∆面积为1，在等差数列{}n a 中，11a =，公差为b . （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）数列{}n b 满足11n n n b a a +=，设n T 为数列{}n b 的前n 项和，求n T 的取值范围. 19．斜率为1的直线l 经过抛物线2y x =的焦点，且与抛物线相交于A ，B 两点，求线段AB 的长.20．已知a ，b 常数，且0a ≠，()2f x ax bx =+，()20f =，方程()f x x =有两个相等的实根.（1）求函数()f x 的表达式；（2）若()()()F x f x f x =--，判断()F x 的奇偶性.21．如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，D 是AC 的中点，A 1D∈平面ABC ，AB=BC ，平面BB 1D 与棱A 1C 1交于点E ．（1）求证：AC∈A 1B ；（2）求证：平面BB 1D∈平面AA 1C 1C ；22．设命题:p “关于x 的不等式220x x m -+≥对任意x ∈R 恒成立”，命题:q “函数2()4ln 1f x x x mx =--++在区间[1,2]上是增函数”.(1)若q 为真，求实数m 的取值范围；(2)若p q ∧为假，p q ∨为真，求实数m 的取值范围.本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
2020届河北省衡水中学高三高考押题理科数学试卷及答案
| 4 - x 22河北衡水中学 2020 年高考押题试卷理数试卷（一）第Ⅰ卷一、选择题：本题共 12 个小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 A = {x ∈ Z 1≥ 0}， B = {x | ≤ 2x ≤ 4} ，则 A I B =（ ）x + 2 4A ． {x | -1 ≤ x ≤ 2}B ．{-1,0,1,2}C ． {-2, -1,0,1,2}D ．{0,1,2}2.已知 i 为虚数单位，若复数 z = 1 - ti1 + i在复平面内对应的点在第四象限，则 t 的取值范围为（ ）A ． [-1,1]B ． (-1,1)C ． (-∞, -1)3.下列函数中，既是偶函数，又在 (-∞,0) 内单调递增的为（）D ． (1,+∞)A. y = x 4 + 2 x B ． y = 2|x|C. y = 2 x - 2- x D ． y = log | x | -11 24.已知双曲线 C ： 1 x2 x2- y 2 = 1与双曲线 C：- y 2 = -1 ，给出下列说法，其中错误的是（ ） 2A.它们的焦距相等B ．它们的焦点在同一个圆上C.它们的渐近线方程相同D ．它们的离心率相等5.在等比数列 {a } 中，“ a ， a 是方程 x 2 + 3x + 1 = 0 的两根”是“ a = ±1 ”的（）n 4128A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C.充要条件D ．既不充分也不必要条件6.执行如图的程序框图，则输出的 S 值为（）A.1009 B ．-1009 C.-1007 D ．10087.已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．πA．(-52B．a2+b2≥2ab(a>0,b>0)1ππ1π1+B．+1C．+D．+6312123438.已知函数f(x)=A s in(ωx+ϕ)(A>0,ω>0,|ϕ|<π)的部分图象如图所示，则函数g(x)=A c os(ϕx+ω)图象的一个对称中心可能为（）1111,0)B．(,0) C.(-,0)D．(-,0)26269.《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC=a，B C=b，则该图形可以完成的无字证明为（）A.a+b≥ab(a>0,b>0)2abC.≤ab(a>0,b>0)a+b D．a+b a2+b2≤22(a>0,b>0)10.为迎接中国共产党的十九大的到来，某校举办了“祖国，你好”的诗歌朗诵比赛.该校高三年级准备从包括甲、乙、丙在内的7名学生中选派4名学生参加，要求甲、乙、丙这3名同学中至少有1人参加，且当这3名同学都参加时，甲和乙的朗诵顺序不能相邻，那么选派的4名学生不同的朗诵顺序的种数为（）A．720B．768 C.810D．81611.焦点为F的抛物线C：y2=8x的准线与x轴交于点A，点M在抛物线C上，则当|MA||MF|取得最大值时，f ( x) = ⎨ x 2 + 2g ( x) = ax + 1 ，对 ∀x ∈ [-2,0] ， ∃x ∈ [-2,1]，使得 g ( x ) = f ( x ) ，则实数 ,3 < x ≤ 4, ⎪A ． (-∞, - 1 14.已知实数 x ， y 满足不等式组 ⎨ x + 2 y - 5 ≥ 0, 且 z = 2 x - y 的最大值为 a ，则 ⎰ a cos 2 ⎪ y - 2 ≤ 0,直线 MA 的方程为（）A ． y = x + 2 或 y = - x - 2C. y = 2 x + 2 或 y = -2 x + 2B ． y = x + 2D ． y = -2 x + 212.定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足 f ( x + 2) = 2 f ( x ) ，且当 x ∈ [2,4] 时，⎧- x 2 + 4 x ,2 ≤ x ≤ 3, ⎪ 1 2 2 1⎩ xa 的取值范围为（）1) U[ , +∞)8 8B ． [- 1 1,0) U (0, ]4 8C. (0,8]1 1D ． (-∞, - ] U[ , +∞)4 8第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第 13 题～第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22 题和第 23 题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分.r r r r r r r13.已知 a = (1,λ ) ， b = (2,1) ，若向量 2a + b 与 c = (8,6) 共线，则 a 和 b 方向上的投影为．⎧ x - y - 2 ≤ 0,⎪ π ⎩0 x 2dx = ．15.在 ∆ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ， b tan B + b tan A = -2c tan B ，且 a = 8 ， ∆ABC的面积为 4 3 ，则 b + c 的值为．16.已知球 O 是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心） A - BCD 的外接球， BC = 3 ，AB = 2 3 ，点 E 在线段 BD 上，且 BD = 3BE ，过点 E 作圆 O 的截面，则所得截面圆面积的取值范围是.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知 (1+ x) + (1+ x)2 + (1+ x)3 + L + (1+ x)n 的展开式中 x 的系数恰好是数列 {a } 的前 n 项和 S .n n（1）求数列 {a } 的通项公式；n（2）数列{b}满足b=n n(22a nan-1)(2a n+1-1)，记数列{b}的前n项和为T，求证：T<1.n n n18.如图，点C在以AB为直径的圆O上，P A垂直与圆O所在平面，G为∆AOC的垂心.（1）求证：平面OPG⊥平面PAC；（2）若P A=AB=2A C=2，求二面角A-OP-G的余弦值.19.2017年春节期间，某服装超市举办了一次有奖促销活动，消费每超过600元（含600元），均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种.方案一：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球7个）的抽奖盒中，一次性摸出3个球，其中奖规则为：若摸到3个红球，享受免单优惠；若摸出2个红球则打6折，若摸出1个红球，则打7折；若没摸出红球，则不打折.方案二：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球7个）的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减200元.（1）若两个顾客均分别消费了600元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率；（2）若某顾客消费恰好满1000元，试从概率的角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？20.已知椭圆C：x2y240+=1(a>b>0)的长轴长为6，且椭圆C与圆M：(x-2)2+y2=的公共弦长a2b29为4103.（1）求椭圆C的方程.（2）过点P(0,2)作斜率为k(k≠0)的直线l与椭圆C交于两点A，B，试判断在x轴上是否存在点D，使得∆ADB为以AB为底边的等腰三角形.若存在，求出点D的横坐标的取值范围，若不存在，请说明理由.21.已知函数f(x)=2ln x-2mx+x2(m>0).（1）讨论函数f(x)的单调性；23 ⎪ x =4 + 已知直线 l 的参数方程为 ⎨（2）当 m ≥ 3 2时，若函数 f ( x ) 的导函数 f '(x) 的图象与 x 轴交于 A ， B 两点，其横坐标分别为 x ，1x ( x < x ) ，线段 AB 的中点的横坐标为 x ，且 x ， x 恰为函数 h( x ) = ln x - cx 2 - bx 的零点，求证：212122( x - x )h '(x ) ≥ - + ln 2 . 1 2 0请考生在第 22、23 题中任选一题作答.并用 2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分 .22.选修 4-4：坐标系与参数方程⎧ 2 ⎪ 2⎪ y = 2 t ⎪⎩ 2 t,（ t 为参数），以坐标原点为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆 C 的极坐标方程为 ρ = 4cos θ ，直线 l 与圆 C 交于 A ， B 两点.（1）求圆 C 的直角坐标方程及弦 AB 的长；（2）动点 P 在圆 C 上（不与 A ， B 重合），试求 ∆ABP 的面积的最大值.23. 选修 4-5：不等式选讲.已知函数 f ( x ) =| 2 x - 1| + | x + 1| .（1）求函数 f ( x ) 的值域 M ；（2）若 a ∈ M ，试比较 | a - 1| + | a + 1| ，3 7， - 2a 的大小.2a 2即S=122参考答案及解析理科数学（Ⅰ）一、选择题1-5:BBDDA6-10:BCCDB11、12：AD二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.3514.3π15.4516.[2π,4π] 5三、解答题17.解：（1）(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+L+(1+x)n的展开式中x的系数为C1+C1+C1+L+C1=C2+C1+C1+L+C1=C2= 123n223n n+11n2+n，n 11n2+n，22所以当n≥2时，a=S-Sn n n-1=n；当n=1时，a=1也适合上式，1所以数列{a}的通项公式为a=n.n n（2）证明：b=n2n11=-(2n-1)(2n+1-1)2n-12n+1-1，所以Tn111111=1-+-+L+-=1-3372n-12n+1-12n+1-1，所以T<1.n18.解：（1）如图，延长OG交AC于点M.因为G为∆AOC的重心，所以M为AC的中点.因为O为AB的中点，所以OM//B C.因为AB是圆O的直径，所以BC⊥AC，所以OM⊥AC.因为P A⊥平面ABC，OM⊂平面ABC，所以P A⊥OM.又P A⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，P A I AC=A，所以OM⊥平面PAC.即OG⊥平面PAC，又OG⊂平面OPG，所以平面OPG⊥平面PAC.z 13 1 3 3 1 ⎧ 3⎪ n ⋅ O M = - x = 0, ⎪ 2⎪n r ⋅ O P r = - 3 x + 1 y + 2 z = 0,H = CH cos ∠HCB = 3H = CH sin ∠HCB = uuur r| CH ⋅ n | 设二面角 A - OP - G 的大小为 θ ，则 cos θ = uuu r r = =uuur uuur uuur（2）以点 C 为原点，CB ，CA ，AP 方向分别为 x ，y ，轴正方向建立空间直角坐标系 C - xyz ，则 C (0,0,0) ，A(0,1,0) ，B( 3,0,0) ，O( uuuur uuur , ,0) ，P(0,1,2) ，M (0, ,0) ，则 OM = (- ,0,0) ，OP = (- , , 2) .2 2 2 2 2 2r uuuur r平面 OPG 即为平面 OPM ，设平面OPM 的一个法向量为 n = ( x , y , z) ，则 ⎨ uuu ⎪⎩ 2 2r令 z = 1，得 n = (0, -4,1) .过点 C 作 CH ⊥ AB 于点 H ，由 P A ⊥ 平面 ABC ，易得 CH ⊥ P A ，又 P A I AB = A ，所以 CH ⊥ 平面 P AB ，uuur即 CH 为平面 P AO 的一个法向量.1 3在 Rt ∆ABC 中，由 AB = 2 A C ，得 ∠ABC = 30︒ ，则 ∠HCB = 60︒ ， CH = CB =2 2 .所以 x3 ， y4 4.uuur 所以 CH = (3 3, ,0) . 4 43 3 | 0 ⨯ -4 ⨯ + 1⨯ 0 | 4 4| CH | ⋅ | n | 3 9+ ⨯ 42 + 12 16 162 5117.19.解：（1）选择方案一若享受到免单优惠，则需要摸出三个红球，设顾客享受到免单优惠为事件A ，则P( A ) = C 3 3 = C 3 101 120，C2C17=3所以E(X)=0⨯1~B(3,3所以4得∆ADB为以AB为底边的等腰三角形，则DE⊥AB.由⎨x2y2得(8+9k2)x2+36kx-36=0，故⎪+所以两位顾客均享受到免单的概率为P=P(A)⋅P(A)=114400.（2）若选择方案一，设付款金额为X元，则X可能的取值为0，600，700，1000.P(X=0)=C33=C31017，P(X=600)=，120C34010P(X=700)=C1C237=C31021C3，P(X=1000)=7=40C310724，故X的分布列为，72171+600⨯+700⨯+1000⨯=764（元）.1204040246若选择方案二，设摸到红球的个数为Y，付款金额为Z，则Z=1000-200Y，由已知可得Y39)，故E(Y)=3⨯=，101010所以E(Z)=E(1000-200Y)=1000-200E(Y)=820（元）.因为E(X)<E(Z)，所以该顾客选择第一种抽奖方案更合算.20.解：（1）由题意可得2a=6，所以a=3.由椭圆C与圆M：(x-2)2+y2=可得椭圆C经过点(2,±210)，340=1，解得b2=8.+99b2x2y2所以椭圆C的方程为+=1.98409410的公共弦长为，恰为圆M的直径，3（2）直线l的解析式为y=kx+2，设A(x,y),B(x,y)，AB的中点为E(x,y).假设存在点D(m,0)，使112200⎧y=kx+2,⎪=1,⎩989k 2 + 8 9k 2 + 8- 09k 2 + 8-18k k 9k + 8 < x <x + x =- 1 2 36k 9k 2 + 8，-18k 16所以 x = ， y = kx + 2 =0 0 0. 因为 DE ⊥ AB ，所以 k DE =- 1 k，161 即 =- ，- m9k 2 + 8所以 m = -2k -2 =9k 2 + 8 k.8当 k > 0 时， 9k + ≥ 2 9 ⨯ 8 = 12 2 ，k所以 -2 ≤ m < 0 ；12当 k < 0 时， 9k + 8 k≤ -12 2 ，所以 0 < m ≤ 2 12 .综上所述，在 x 轴上存在满足题目条件的点 E ，且点 D 的横坐标的取值范围为 [- 2 2,0) U (0, ] .12 122( x 2 - mx + 1)21. 解：（1）由于 f ( x ) = 2ln x - 2mx + x 2的定义域为 (0, +∞) ，则 f '(x) = .x对于方程 x 2 - mx + 1 = 0 ，其判别式 ∆ = m 2 - 4 .当 m 2 - 4 ≤ 0 ，即 0 < m ≤ 2 时， f '(x) ≥ 0 恒成立，故 f ( x ) 在 (0, +∞) 内单调递增.m ± m 2 - 4当 m 2 - 4 > 0 ，即 m > 2 ，方程 x 2 - mx + 1 = 0 恰有两个不相等是实根 x =，2m - m 2 - 4 m + m 2 - 4令 f '(x) > 0 ，得 0 < x < 或 x > ，此时 f ( x ) 单调递增；2 2m - m 2 - 4 m + m 2 - 4 令 f '(x) < 0 ，得 ，此时 f ( x ) 单调递减.2 2综上所述，当 0 < m ≤ 2 时， f ( x ) 在 (0, +∞) 内单调递增；当 m > 2 时， f ( x ) 在 ( m - m 2 - 4 m + m 2 - 4, )2 2xxx - xx x + x x - x 2 2 1 2 xt因为 m ≥ 3 2内单调递减，在 (0, m - m 2 - 4 m + m 2 - 4) ， ( , +∞) 内单调递增.2 22( x 2 - mx + 1)（2）由（1）知， f '(x) = ，所以 f '(x) 的两根 x ， x 即为方程 x 2 - mx + 1 = 0 的两根.因为1 2m ≥ 3 22，所以 ∆ = m 2 - 4 > 0 ， x + x = m ， x x = 1 .1 2 1 2又因为 x ， x 为 h( x ) = ln x - cx 2 - bx 的零点，1 2所以 ln x - cx 2 - bx = 0 ， ln x - c 2 - bx = 0 ，两式相减得 ln 1 11 2 22x1 - c( x - x )( x + x ) - b ( x - x ) = 0 ，得1 2 1 2 1 2 2x ln 1xb == c( x + x ) . 1 2 12而 h '(x) =1- 2cx - b ，所以xxln 11 2 x( x - x )h '(x ) = ( x - x )( - 2cx - b ) = ( x - x )[ - c( x + x ) -+ c( x + x )] 1 2 0 1 2 0 1 2 1 2 1 2 0 12 12x1 - 12( x - x ) x x= - ln 1 = 2 ⋅ 2 x + x x x 1 2 2 1 + 1 x2x - ln 1 .x 2令x1= t (0 < t < 1) ，由 ( x + x )2 = m 2 得 x 2 + x 2 + 2 x x 12121 22= m 2 ，因为 x x = 1 ，两边同时除以 x x ，得 t +1+ 2 = m 2 ，1 2 1 21 5 1 1，故 t + ≥ ，解得 0 < t ≤ 或 t ≥ 2 ，所以 0 < t ≤ .2 t 2 2 2设 G(t ) = 2 ⋅ t - 1 t + 1- ln t ，所以 G '(t ) =-(t - 1)2 t (t + 1)2 < 0 ，则 y = G(t ) 在 (0, 1 2] 上是减函数，所以 G(t ) min 1 2= G( ) = - + ln 2 ， 2 33 圆 C 的参数方程为 ⎨ （ θ 为参数），y = 2sin θ ,123. 解：（1） f ( x ) = ⎨2 - x, -1 ≤ x ≤ ,2 ⎪⎩ 2 2 2 2即 y = ( x - x )h '(x ) 的最小值为 - 1 2 0 2 3 + ln 2 .2所以 ( x - x )h '(x ) ≥ - + ln2 .1 2 0 22.解：（1）由 ρ = 4cos θ 得 ρ 2 = 4ρ cos θ ，所以 x 2 + y 2 - 4 x = 0 ，所以圆 C 的直角坐标方程为 ( x - 2)2 + y 2 = 4 .将直线 l 的参数方程代入圆 C : ( x - 2)2 + y 2 = 4 ，并整理得 t 2 + 2 2t = 0 ，解得 t = 0 ， t 1 2 = -2 2 .所以直线 l 被圆 C 截得的弦长为 | t 1 - t |= 2 2 .2（2）直线 l 的普通方程为 x - y - 4 = 0 .⎧ x = 2 + 2cos θ ,⎩可设曲线 C 上的动点 P(2 + 2cos θ ,2sin θ ) ，则点 P 到直线 l 的距离d = | 2 + 2cos θ -2sin θ - 4 |2 2 + 2 .π π=| 2cos(θ + ) - 2 | ，当 cos(θ + ) = -1 时，d 取最大值，且 d 的最大值为4 4所以 S∆ABP 1 ≤ ⨯ 2 2 ⨯ (2 + 2) = 2 + 2 2 ，2即 ∆ABP 的面积的最大值为 2 + 2 .⎧⎪ -3x, x< -1,⎪⎪ ⎪⎪1 3x, x > .根据函数 f ( x ) 的单调性可知，当 x = 1 1 3时， f ( x ) = f ( ) = . min所以函数 f ( x ) 的值域 M 3 = [ , +∞) .23 3（2）因为 a ∈ M ，所以 a ≥ ，所以 0< 2 2a又 | a - 1| + | a + 1| = a - 1 + a + 1 = 2a ≥ 3 ， ≤ 1.所以a≥32，知a-1>0，4a-3>0，(a-1)(4a-3)37所以>0，所以>-2a，2a2a237所以|a-1|+|a+1|>>-2a.2a2。
2020年河北省石家庄市高考数学模拟试卷(理科)(5月份)(附答案详解)
2020年河北省石家庄市高考数学模拟试卷（理科）（5月份）1. 已知集合A ={x|−1≤x ≤3}，B ={x|y =log 2(x −2)}，则集合A ∩B =( )A. {x|−1≤x <2}B. {x|2<x ≤3}C. {x|1<x ≤3}D. {x|x >2}2. 命题P ：“∀x ∈(−∞,0)，2x ≥3x ”的否定形式￢p 为( )A. ∃x 0∈(−∞,0),2x 0<3x 0B. ∃x 0∈(−∞,0),2x 0≤3x 0C. ∀x ∈(−∞,0)，2x <3xD. ∀x ∈(−∞,0)，2x ≤3x3. 已知i 是虚数单位，且z =1−i i，则z 的共轭复数z −在复平面内对应的点在( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限4. 已知a =0.30.2，b =50.3，c =log 0.25，则a ，b ，c 的大小关系为( )A. a <b <cB. b <a <cC. c <a <bD. c <b <a5. 要得到y =sin(2x −π3)的图象，只要将y =sin2x 的图象( )A. 向左平移π3个单位 B. 向右平移π3个单位 C. 向左平移π6个单位D. 向右平移π6个单位6. 已知实数x ，y 满足不等式{x −y +2≥02x +y −5≤0y ≥1，则z =yx+3的最大值为( )A. 35B. 45C. 34D. 327. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若(a +b)(sinA −sinB)=c(sinC +sinB)，b +c =4，则△ABC 的面积的最大值为( )A. 12B. √32C. 1D. √38. 若双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的一条渐近线被曲线x 2+y 2−4x +2=0所截得的弦长为2.则双曲线C 的离心率为( )A. √3B. 2√33C. √5D. 2√559. 如图，在矩形ABCD 中，AB =2BC =2，动点M 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上，则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值是( )A. −1B. 5C. −3+√5D. 3+√510. 已知数列{a n }满足：a 1=1，a n+1+a n =3n +1，则数列{1a2n−1a 2n+1}(n ∈N ∗)的前30项的和为( )A. 2990B. 2988C. 1093D. 309111. 已知函数f(x)对于任意x ∈R ，均满足f(x)=f(2−x)，当x ≤1时，f(x)={lnx,0<x ≤1e x ,x ≤0，(其中e 为自然对数的底数)，若函数g(x)=m|x|−2−f(x)，下列有关函数g(x)的零点个数问题中正确的为( )A. 若g(x)恰有两个零点，则m <0B. 若g(x)恰有三个零点，则32<m <e C. 若g(x)恰有四个零点，则0<m <1 D. 不存在m ，使得g(x)恰有四个零点12. 已知抛物线C ：y 2=8x 的焦点为F ，P 1(x 1,y 1)，P 2(x 2,y 2)，P 3(x 3,y 3)为抛物线C 上的三个动点，其中x 1<x 2<x 3且y 2<0，若F 为△P 1P 2P 3的重心，记△P 1P 2P 3三边P 1P 2，P 1P 3，P 2P 3的中点到抛物线C 的准线的距离分别为d 1，d 2，d 3，且满足d 1+d 3=2d 2，则P 1P 3所在直线的斜率为( )A. 1B. 32C. 2D. 313. 在平面直角坐标系中，角α的终边经过点P(−1,2)，则sinα=______． 14. 二项式展开式(√x +1x )6中的常数项是______．15. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 为正方形，AB =2AP =4，∠PAB =∠PAD =60°，则∠PAC = (1) ；四棱锥P −ABCD 的外接球的表面积为 (2) ．16. 2019年底，武汉发生“新型冠状病毒”肺炎疫情，国家卫健委紧急部署，从多省调派医务工作者前去支援，正值农历春节举家团圆之际，他们成为“最美逆行者”.武汉市从2月7日起举全市之力入户上门排查确诊的新冠肺炎患者、疑似的新冠肺炎患者、无法明确排除新冠肺炎的发热患者和确诊患者的密切接触者等“四类”人员，强化网格化管理，不落一户、不漏一人．若在排查期间，某小区有5人被确认为“确诊患者的密切接触者”，现医护人员要对这5人随机进行逐一“核糖核酸”检测，只要出现一例阳性，则将该小区确定为“感染高危小区”.假设每人被确诊的概率均为p(0<p<1)且相互独立，若当p=p0时，至少检测了4人该小区被确定为“感染高危小区”的概率取得最大值，则p0=______．17.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a3+a6=9，S6=21．(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)设a nb n =(12)n，求数列{b n}的前n项和．18.如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=AC=4，D，E分别是AC，AB边上的中点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C=A1D，如图2．(Ⅰ)求证：平面A1CD⊥平面A1BC；(Ⅱ)求直线A1C与平面A1BE所成角的正弦值．19. 已知点A(2,0)，椭圆C ：x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√22，F 和B 分别是椭圆C 的左焦点和上顶点，且△ABF 的面积为32． (Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)设过点A 的直线l 与C 相交于P ，Q 两点，当OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13时，求直线1的方程．20. 某工厂为生产一种精密管件研发了一台生产该精密管件的车床，该精密管件有内外两个口径，监管部门规定“口径误差”的计算方式为：管件内外两个口径实际长分别为a(mm)，b(mm)，标准长分别为a −(mm),b −(mm)，则“口径误差”为|a −a −|+|b −b −|，只要“口径误差”不超过0.2min 就认为合格，已知这台车床分昼、夜两个独立批次生产．工厂质检部在两个批次生产的产品中分别随机抽取40件作为样本，经检测其中昼批次的40个样本中有4个不合格品，夜批次的40个样本中有10个不合格品．(I)以上述样本的频率作为概率，在昼夜两个批次中分别抽取2件产品，求其中恰有1件不合格产品的概率；(II)若每批次各生产1000件，已知每件产品的成本为5元，每件合格品的利润为10元；若对产品检验，则每件产品的检验费用为2.5元；若有不合格品进入用户手中，则工厂要对用户赔偿，这时生产的每件不合格品工厂要损失25元．以上述样本的频率作为概率，以总利润的期望值为决策依据，分析是否要对每个批次的所有产品作检测？21. 已知函数f(x)=e x +e −x +(2−b)x ，g(x)=ax 2+b(a,b ∈R)，若y =g(x)在x =1处的切线为y =2x +1+f′(0)． (Ⅰ)求实数a ，b 的值；(Ⅱ)若不等式f(x)≥kg(x)−2k +2对任意x ∈R 恒成立，求k 的取值范围； (Ⅲ)设θ1,θ2,…,θn ∈(0,π2)，其中n ≥2，n ∈N ∗，证明：f(sinθ1)⋅f(cosθn )+f(sinθ2)⋅f(cosθn−1)+⋯+f(sinθn−1)⋅f(cosθ2)+f(sinθn )⋅f(cosθ1)>6n ．22. 在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 1的参数方程为{x =√33+√32t,y =−23+12t (t 为参数)，曲线C 2的参数方程为{x =1cosϕ,y =√2tanφ(φ为参数)，曲线C 1，C 2交于A 、B 两点．(Ⅰ)求曲线C 1的极坐标方程和曲线C 2的普通方程； (Ⅱ)已知P 点的直角坐标为(√33,−23)，求|PA|⋅|PB|的值．23. 函数f(x)=|2x −1|+|x +2|．(Ⅰ)求函数f(x)的最小值；(Ⅱ)若f(x)的最小值为M ，a +2b =2M(a >0,b >0)，求证：1a+1+12b+1≥47．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵集合A={x|−1≤x≤3}，B={x|y=log2(x−2)}={x|x>2}，∴集合A∩B={x|2<x≤3}．故选：B．求出集合A，B，由此能求出集合A∩B．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】A【解析】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题p：：“∀x∈(−∞,0)，2x≥3x”的否定形式￢p为：∃x0∈(−∞,0)，2x0<3x0．故选：A．直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是对基本知识的考查．3.【答案】B=−(1−i)⋅i=−1−i，∴z−=−1+i，【解析】解：z=1−ii∴z的共轭复数z−在复平面内对应的点为(−1,1)，位于第二象限．故选：B．先化简z，然后求出其共轭复数，再确定其共轭复数对应的点所在象限．本题考查了复数的运算和几何意义，属基础题．4.【答案】C【解析】解：∵0<0.30.2<0.30=1，∴0<a<1，∵50.3>50=1，∴b>1，∵log0.25<log0.21=0，∴c<0，∴c<a<b，故选：C．利用对数函数和指数函数的性质求解．本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．5.【答案】D【解析】【分析】由条件利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，可得结论．本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，属于基础题．【解答】解：将y=sin2x向右平移π6个单位得：y=sin2(x−π6)=sin(2x−π3)，故选：D．6.【答案】C【解析】解：如图，阴影部分为可行域，目标函数z=yx+3，表示可行域中点(x,y)与(−3,0)连线的斜率，由图可知点P(1,3)与(−3,0)连线的斜率最大，故z的最大值为34，故选：C．作出不等式组对应的平面区域，把所求问题转化为斜率即可得到结论．本题主要考查几何槪型的概率计算，利用线性规划的知识求出对应的区域以及转化为斜率是解决本题的关键．【解析】解：∵(a+b)(sinA−sinB)=c(sinC+sinB)，∴由正弦定理可得：(a+b)(a−b)=c(c+b)，整理可得：b2+c2−a2=−bc，∴cosA=b2+c2−a22bc =−bc2bc=−12，∵A∈(0,π)，∴A=2π3，∵b+c=4，∴S△ABC=12bcsinA=√34bc≤√34⋅(b+c2)2=√3，当且仅当b=c时等号成立，即△ABC的面积的最大值为√3．故选：D．由正弦定理化简已知等式b2+c2−a2=−bc，利用余弦定理可求cosA=−12，结合范围A∈(0,π)，可求A=2π3，利用基本不等式，三角形的面积公式即可求解△ABC的面积的最大值．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线不妨为：bx+ay=0，圆x2+y2−4x+2=0即为(x−2)2+y2=2的圆心(2,0)，半径为√2，双曲线的一条渐近线被圆x2+y2−4x+2=0所截得的弦长为2，可得圆心到直线的距离为：√(√2)2−12=1=√a2+b2，4b2c2=4c2−a2c2=1，解得：e=ca =2√33，故选：B．通过圆的圆心与双曲线的渐近线的距离，列出关系式，然后求解双曲线的离心率即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，主要是离心率的求法，考查圆的方程的应用，考查计算能力．【解析】解：因为在矩形ABCD 中，AB =2BC =2，动点M 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上，故|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√5，设C 到BD 的距离为d ，则有d =√5=2√55， 故AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 其中AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ )=−3，CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≤|CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2， 当且仅当CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 同向时，等号成立， 故选：A ．先根据条件求得C 到BD 的距离为d ，再把所求转化为AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，进而求解结论．本题考查向量的数量积的应用，考查向量的表示以及计算，考查计算能力．10.【答案】D【解析】解：已知数列{a n }满足：a 1=1， 由a n+1+a n =3n +1，得a n+2+a n+1=3n +4， 作差得a n+2−a n =3，故奇数项和偶数项都为以3为公差的等差数列， 由a 1=1，所以a 2k−1=1+(k −1)3=3k −2， 又1a2n−1⋅a 2n+1=13(1a2n−1−1a2n+1)，所以数列{1a2n−1a 2n+1}(n ∈N ∗)的前30项的和S 30=13[(1a 1−1a 3)+(1a 3−1a 5)+⋯+(1a 59−1a 61)]=13(1−191)=3091，故选：D ．已知数列{a n }满足：a 1=1，由a n+1+a n =3n +1，得a n+2+a n+1=3n +4，作差得a n+2−a n =3，故奇数项和偶数项都为以3为公差的等差数列，求出a 2k−1=1+(k −1)3=3k −2，利用裂项求和法求出结果即可．本题考查了递推公式求通项公式，裂项相消法求数列的前n 项和，考查运算能力，中档题．11.【答案】B【解析】解：根据f(x)=f(2−x)知f(x)关于x=1对称，作出函数ℎ(x)=m|x|−2与函数f(x)的图象如图：设ℎ(x)与y=lnx(x≤1)相切时的切点为P(x0,lnx0)，则1x0=lnx0+2x0，解得x0=1e，此时m=1x=e，当ℎ(x)过点(2,1)时，m=32，故B选项正确；若g(x)恰有2个零点，则m<0或m=e，故A错误；若g(x)恰有4个零点，则0<m≤32，故C、D选项错误；故选：B．由知f(x)关于x=1对称，再将函数g(x)的零点个数问题转化为ℎ(x)=m|x|−2与函数f(x)的图象的焦点个数问题，利用函数ℎ(x)=m|x|−2与函数f(x)相切时的m的值可解决．本题考查了由函数零点个数求参数，考查了函数的零点的个数转化为函数图象的交点个数，属于中档题．12.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查直线与抛物线的综合，还有三角形的重心坐标公式，属于基础题．先利用题设条件找到P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，P3(x3,y3)的坐标之间的关系式，再利用重心坐标公式，求出x2与y2，从而得到P1P3所在直线的斜率．【解析】解：由题设知F(2,0)，∵P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，P3(x3,y3)为抛物线C上的三个动点，∴{ x 1=y 128x 2=y 228x 3=y 328，又F 为△P 1P 2P 3的重心，∴x 1+x 2+x 3=6，y 1+y 2+y 3=0．∵△P 1P 2P 3三边P 1P 2，P 1P 3，P 2P 3的中点到抛物线C 的准线的距离分别为d 1=x 1+x 22+1，d 2=x 1+x 32+1，d 3=x 2+x 32+1，且满足d 1+d 3=2d 2，∴x 1+x 3=2x 2.∴x 2=2， 又y 2<0，∴y 2=−4，∴P 1P 3所在直线的斜率k =y 3−y 1x 3−x 1=8y3+y 1=8−y 2=2．故选：C ．13.【答案】2√55【解析】解：角α的终边经过点P(−1,2)，即x =−2，y =2，则r =√(−1)2+22=√5， ∴sinα=y r=√5=2√55， 故答案为：2√55． 由题意可得x =−1，y =2，求出r ，利用任意角的三角函数的定义，直接求出sinα． 本题考查任意角的三角函数的定义，利用任意角的定义是解题的关键．14.【答案】15【解析】解：展开式的通项为：T r+1=C 6r(√x)6−r⋅(1x )r=C 6r x6−3r2令6−3r =0得r =2所以展开式的常数项为C 62=15．故答案为：15．求出展开式的通项，令x 的指数为0，求出r 的值，将r 的值代入通项，求出展开式的常数项．求展开式的特定项问题常利用二项展开式的通项公式来解决．15.【答案】45°40π【解析】解：①过点P 作PE ⊥AC ，作EF ⊥AB ，垂足分别为E ，F ，连接PF ，则PF ⊥AB ． 在Rt △AFP 中，AP =2，∠PAB =60°，∴AF =1=EF ，∴AE =√2，∴cos∠PAC =AEAP =√22，可得∠APC =45°．②分别以OA ，OB 为x ，y 轴，过点O 作平面ABCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系． 设四棱锥P −ABCD 的外接球的球心为G ，半径为R ． 可设G(0,0,t).A(2√2,0,0)，P(√2,0,√2).∵|GA|=|GP|，∴√(2√2)2+t 2=√(√2)2+(√2−t)2， 解得：t =−√2．∴R 2=(2√2)2+(−√2)2=10．∴四棱锥P −ABCD 的外接球的表面积=4πR 2=40π． 故答案为：45°，40π．①过点P 作PE ⊥AC ，作EF ⊥AB ，垂足分别为E ，F ，连接PF ，可得PF ⊥AB.在Rt △AFP 中，AP =2，∠PAB =60°，可得AF =1=EF ，AE =√2，在Rt △PAE 中求出即可得出．②分别以OA ，OB 为x ，y 轴，过点O 作平面ABCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系．设四棱锥P −ABCD 的外接球的球心为G ，半径为R.可设G(0,0,t).根据|GA|=|GP ，即可解出t ，即可得出四棱锥P −ABCD 的外接球的表面积．本题考查了四棱锥、正方体与直角三角形的性质、球的表面积，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16.【答案】5−√155【解析】解：根据相互独立事件同时发生的概率公式得： f(p)=(1−p)3p +(1−p)4p ，∴f′(p)=−3(1−p)2p +(1−p)3−4(1−p)3p +(1−p)4=(1−p)2(5p 2−10p +2) =(1−p)(p −5−√155)(p −5+√155)，∵0≤p ≤1，当p =p 0时，f(p)最大， ∴p 0=5−√155．故答案为：5−√155．根据相互独立事件同时发生的概率公式得f(p)=(1−p)3p +(1−p)4p ，f′(p)=(1−p)(p −5−√155)(p −5+√155)，由此能求出结果．本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．17.【答案】解：(I)设公差为d ，由a 3+a 6=9，S 6=21，得{2a 1+7d =96a 1+15d =21，得a 1=1，d =1， 故数列{a n }的通项公式为a n =n ；(II)根据(I)，由a nb n=(12)n ，得b n =n ⋅2n ，数列{b n }的前n 项和S n =1⋅21+2⋅22+⋯+(n −1)⋅2n−1+n ⋅2n ， 两边乘以2得，2S n =1⋅22+2⋅23+⋯+(n −1)⋅2n +n ⋅2(n +1)， 作差化简得，S n =(n −1)⋅2(n +1)+2，故数列{b n }的前n 项和为S n =(n −1)⋅2(n +1)+2．【解析】(I)设公差为d ，由a 3+a 6=9，S 6=21，联立解方程组，求出首项和公差，再求出数列{a n }的通项公式；(II)结合(I)，由a nb n=(12)n ，得b n =n ⋅2n ，再利用错位相消法求出数列{b n }的前n 项和．本题考查了等差数列性质，求通项公式，利用错位相消法求数列的前n 项和，考查运算能力，中档题．18.【答案】解：(Ⅰ)证明：在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =AC =4，D ，E 分别是AC ，AB 边上的中点，将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，∴DE ⊥A 1D ，DE ⊥DC ，DE//BC ，∵A 1D ∩DC =D ，∴BC ⊥平面A 1DC ， ∵BC ⊂平面A 1BC ，∴平面A 1CD ⊥平面A 1BC ．(Ⅱ)解：∵A 1C =A 1D ，∴△A 1CD 是边长为2的等边三角形， 取CD 中点O ，连结A 1O ，以O 为原点，OC 为x 轴，在平面BCDE 内过O 人生CD 的垂线为y 轴，OA 1为z 轴，建立空间直角坐标系， 则A 1(0,0,√3)，C(1,0,0)，B(1,4,0)，E(−1,2,0)，A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,−√3)，A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,4,−√3)，A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,2,−√3)， 设平面A 1BE 的法向量m⃗⃗⃗ =(x,y,z)， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x +4y −√3z =0m ⃗⃗⃗ ⋅A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−x +2y −√3z =0，取x =1，得m ⃗⃗⃗ =(1,−1,−√3)， 设直线A 1C 与平面A 1BE 所成角为θ， 则直线A 1C 与平面A 1BE 所成角的正弦值为：sinθ=|A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ ||A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|m ⃗⃗⃗ |=2√55．【解析】(Ⅰ)推导出DE ⊥A 1D ，DE ⊥DC ，DE//BC ，从而BC ⊥平面A 1DC ，由此能证明平面A 1CD ⊥平面A 1BC ．(Ⅱ)取CD 中点O ，连结A 1O ，以O 为原点，OC 为x 轴，在平面BCDE 内过O 人生CD 的垂线为y 轴，OA 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线A 1C 与平面A 1BE 所成角的正弦值．本题考查面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力，是中档题．19.【答案】解：(Ⅰ)由题意可得e =c a =√22，F(−c,0)，B(0,b)，A(2,0)，可得 12(2+c)b =32，即b(2+c)=3，又a 2−b 2=c 2，解得a =√2，b =c =1， 则椭圆的方程为x 22+y 2=1；(Ⅱ)设过点A 的直线l 的方程设为x =my +2，联立椭圆方程x 2+2y 2=2，可得(2+m 2)y 2+4my +2=0，△=16m 2−4×2(2+m 2)=8m 2−16>0，即m 2>2，设P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，可得y 1+y 2=−4m2+m 2，y 1y 2=22+m 2，由OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13，即x 1x 2+y 1y 2=(my 1+2)(my 2+2)+y 1y 2=(m 2+1)y 1y 2+2m(y 1+y 2)+4=13，即有(m 2+1)⋅22+m 2+2m(−4m2+m 2)+4=13，化为m 2=4>2， 则m =±2，可得直线l 的方程为x −2y −2=0或x +2y −2=0．【解析】(Ⅰ)由椭圆的离心率公式和三角形的面积公式，结合a ，b ，c 的关系，解方程可得a ，b ，进而得到椭圆的方程；(Ⅱ)设过点A 的直线l 的方程设为x =my +2，联立椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于0，再由向量的数量积的坐标表示，化简整理，解方程可得m ，进而得到所求直线方程．本题考查椭圆的方程和性质，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理，以及向量数量积的坐标表示，同时考查化简运算能力，属于中档题．20.【答案】解：(I)以样本的频率作为概率，则昼批次产品的不合格率为440=110，夜批次产品的不合格率为1040=14，在昼夜两个批次中分别抽取2件产品，恰有1件不合格产品，分2种情况：不合格产品在昼批次中，概率为P 1=C 21⋅110⋅910×C 22⋅(34)2=81800， 不合格产品在夜批次中，概率为P 2=C 22⋅(910)2×C 21⋅14⋅34=243800， 故所求的概率为P =P 1+P 2=81200．(II)这批产品中合格品的利润为(1000×910+1000×34)×5=16500，若不检验，则总利润为W 1=16500−(1000×110+1000×14)×25−10000=−2250， 若检验，则总利润为W 2=16500−2000×(5+2.5)=1500， ∴W 2>W 1，故需要对每个批次的所有产品作检测．【解析】(I)先求出昼夜两批次产品各自的不合格率，再分2种情况，并结合相互独立事件的概率求解即可；(II)先求出昼夜两批次各1000件产品中合格品的利润，再分不检验和检验2种情形，分别求出相应的总利润，比较大小后，即可得解．本题考查相互独立事件的概率、数学期望的实际应用，考查学生将理论知识与实际生活相联系的能力和运算能力，属于基础题．21.【答案】解：(Ⅰ)由f′(x)=e x −e −x +2−b ，得f′(0)=2−b ，由g′(x)=2ax ，得g′(1)=2a ，根据题意可得{2a =2g(1)=a +b =2+1+2−b ，解得{a =1b =2；(Ⅱ)由不等式f(x)≥kg(x)−2k +2对任意x ∈R 恒成立知，e x +e −x −kx 2−2≥0恒成立，令F(x)=e x +e −x −kx 2−2，显然F(x)为偶函数，故当x ≥0时，F(x)≥0恒成立， F′(x)=e x −e −x −2kx ，令ℎ(x)=e x −e −x −2kx(x ≥0)，则ℎ′(x)=e x +e −x −2k ， 令H(x)=e x +e −x −2k(x ≥0)，则H′(x)=e x −e −x ，显然H′(x)为(0,+∞)上的增函数， 故H ′(x)≥H′(0)=0，即H(x)在(0,+∞)上为增函数，H(0)=2−2k ，①当H(0)=2−2k ≥0，即k ≤1时，H(x)≥0，则ℎ(x)在(0,+∞)上单调递增， 故ℎ(x)≥ℎ(0)=0，则F(x)在(0,+∞)上为增函数，故F (x)≥F(0)=0，符合题意； ②当H(0)=2−2k <0，即k >1时，由于H(ln(2k))=12k >0，故存在x 1∈(0,ln(2k))，使得H(x 1)=0，故ℎ(x)在(0,x 1)单调递减，在(x 1,+∞)单调递增，当x ∈(0,x 1)时，ℎ(x)<ℎ(0)=0，故F (x)在在(0,x 1)单调递减，故F (x)<F(0)=0，不合题意． 综上，k ≤1；(Ⅲ)证明：由(Ⅱ)知，f(x 1)f(x 2)≥(x 12+2)(x 22+2)=x 12x 22+2x 12+2x 22+4≥2x 12+2x 22+4，当且仅当x 1=x 2=0时等号同时成立，故f(sinθ1)f(cosθn )>2sin 2θ1+2cos 2θn +4， f(sinθ2)f(cosθn−1)>2sin 2θ2+2cos 2θn−1+4，……， f(sinθn )f(cosθ1)>2sin 2θn +2cos 2θ1+4，以上n 个式子相加得，f(sinθ1)⋅f(cosθn )+f(sinθ2)⋅f(cosθn−1)+⋯+f(sinθn−1)⋅f(cosθ2)+f(sinθn )⋅f(cosθ1)>6n ．【解析】(Ⅰ)f′(0)=2−b ，g′(1)=2a ，再结合题意，建立关于a ，b 的方程组，解方程即可得解；(Ⅱ)依题意，e x +e −x −kx 2−2≥0恒成立，令F(x)=e x +e −x −kx 2−2，由于F(x)为偶函数，故只需当x ≥0时，F(x)≥0恒成立，对函数F(x)求导后，利用导数分类讨论即可得出结论；(Ⅲ)由(Ⅱ)知，f(x 1)f(x 2)≥2x 12+2x 22+4，由此可得f(sinθ1)f(cosθn )>2sin 2θ1+2cos 2θn +4，f(sinθ2)f(cosθn−1)>2sin 2θ2+2cos 2θn−1+4，……，f(sinθn )f(cosθ1)>2sin 2θn +2cos 2θ1+4，再累加即可得证．本题考查导数的几何意义，考查利用导数研究函数的单调性，最值以及不等式的恒成立问题，考查推理论证能力，运算求解能力，考查分类与整合思想，化归与转化思想等，属于较难题目．22.【答案】解：(Ⅰ)曲线C 1的参数方程为{x =√33+√32t,y =−23+12t(t 为参数)，转换为直角坐标方程为√3x −y −53=0，转换为极坐标方程为ρ=56cos(θ+π6)．曲线C 2的参数方程为{x =1cosϕ,y =√2tanφ(φ为参数)，转换为直角坐标方程为x 2−y 22=1．(Ⅱ)把曲线C 1的参数方程为{x =√33+√32t,y =−23+12t(t 为参数)，代入x 2−y 22=1，得到：t 22+83t −169=0，所以|PA|⋅|PB|=|t 1t 2|=|−16912|=89．【解析】(Ⅰ)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． (Ⅱ)利用一元二次方程根和系数的关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.【答案】解：(Ⅰ)f(x)={−3x −1,x <−2−x +3,−2≤x ≤123x +1,x >12，易知，当x =12时，函数f(x)取得最小值，且最小值为f(12)=52； (Ⅱ)证明：由(Ⅰ)可知，M =52，则a +2b =5， ∴(a +1)+(2b +1)=7，∴1a+1+12b+1=17[(a+1)+(2b+1)](1a+1+12b+1)=17(2+a+12b+1+2b+1a+1)≥17(2+2√a+12b+1⋅2b+1a+1)=47，当且仅当{a+12b+1=2b+1a+1a+2b=5，即a=52,b=54时取等号．【解析】(Ⅰ)将函数化为分段函数的形式，利用函数的性质即可求得最小值；(Ⅱ)由(Ⅰ)可知(a+1)+(2b+1)=7，再利用基本不等式即可得证．本题考查含绝对值的函数最值求法，考查基本不等式的运用，考查推理能力及运算能力，属于基础题．。
2020届河北省衡水密卷新高考预测模拟考试(六)理科数学
绝密★启用前2020届河北省衡水密卷新高考预测模拟考试（六)理科数学★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。
7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第I 卷（选择题)一、单选题1．下列抽取样本的方式属于简单随机抽样的个数为( )①从无限多个个体中抽取100个个体作为样本.①盒子里共有80个零件，从中选出5个零件进行质量检验.在抽样操作时，从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里.①从20件玩具中一次性抽取3件进行质量检验.①某班有56名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛.A ．0B ．1C ．2D ．32．已知()f x 是R 上的奇函数，且当0x >时，()1f x x =-，则0x <时()f x =（ ） A ．1x --B ．1x +C ．1x -+D ．1x -3．设1F ，2F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点，若双曲线右支上存在点P ，满足212 PF F F =，且2F 到直线1PF 的距离等于2a ，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A ．340±=x yB ．430x y ±=C ．350x y ±=D ．540x y ±=4．已知x ，y 满足条件2020240x y y x y --≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩，若z ax y =+的最大值为0，则实数a 的值为（ ）A ．12-B ．-2C ．12D ．25．已知()2log ,0,0x x x f x e x >⎧=⎨≤⎩，则()1f -=（ ） A ．1e B ．e C ．21e D ．2e6．设向量,a b r r满足r r r r +=-=a b a b a b ⋅=r r （ ）A ．4B ．3C ．2D ．17．某班有48名学生，一次考试后的数学成绩服从正态分布（注：(),0.683P μσμσ-+=）平均分为110，标准差为10，理论上说在110分到120分的人数是（ ）A ．8B ．16C ．20D ．328．已知关于x 的方程为2222(3)23(3)x x x e x e e--=+-则其实根的个数为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．59．已知定义在区间[)1,+∞上的函数()2,121,222x x f x x f x ⎧≤≤⎪=⎨⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎩,若函数()()k g x f x x=-有无穷多个零点,则实数k 的取值范围是（ ） A ．()1,2B ．(]2,4C ．(]2,8 D ．[]4,8 10．若抛物线y 2＝4x 上一点P 到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P 的坐标为（ ）A ．（12±，） B ．（14±，） C ．（12，） D ．（14，）11．已知曲线C 1：y ＝cosx ，C 2：y ＝sin 223x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则下面结论正确的是( ) A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移6π个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移12π个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移6π个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移12π个单位长度，得到曲线C 2 12．如图，用与底面成45︒角的平面截圆柱得一椭圆截线，则该椭圆的离心率为( )A B ．13 C D ．2第II 卷（非选择题)二、填空题13．已知函数221,0()2,0x x f x x x x ⎧-<=⎨--≥⎩，若函数()()g x f x m =-有2个零点，则实数m的取值范围是________.14．有下列函数：①43y x =；①34y x =；①13y x -=；①23y x -=；其中是偶函数且在区间(0,)+∞上单调递减的是__________15．如图，在6×6的网格中，已知向量的,,a b c r r r起点和终点均在格点，且满足向量(,)a xb yc x y R =+∈v v v ，那么x y -=________.16．若a ，b R ∈，0ab >，则44412a b ab++的最小值为______.三、解答题17．如图，四边形ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，PO ⊥底面ABCD ，E 是PC的中点，PO =，2AB =.（1）求棱锥P ABCD -体积：（2）求证：平面PAC ⊥平面BDE .18．已知点(4,3)(0)P a a a -≠是角α终边上的一点，试求sin α，cos α，tan α的值. 19．如图是某企业2010年至2016年的污水净化量(单位：吨)的折线图.注：年份代码17～分别对应年份20102016～.(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 和t 的关系，请用相关系数加以说明；(2)建立y 关于t 的回归方程，预测2019年该企业的污水净化量；(3)请用数据说明回归方程预报的效果. 参考数据：y ＝54，()()7121i i i t t y y =--=∑3.74≈，()7219ˆ4i i i y y =-=∑，参考公式：相关系数()()n i i t t y y r --=∑， 线性回归方程ˆˆˆy a bt =+，121()()ˆ()n i i i n i i t t y y b tt ==--=-∑∑，ˆˆa y bt =-， 反映回归效果的公式为：2221(1())ni i i i y y R y y =---=∑，其中2R 越接近于1，表示回归的效果越好.20．设p ：实数x 满足()223120(0)x a x a a a -+++≤>，q ：实数x 满足()f x =（1）当2a =时，命题p q ∧为真命题，求实数x 的取值范围；（2）若p 是q ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．21．如图，要测量山顶上的电视塔FG 的高度，已知山的西面有一栋楼AC （该楼的高度低于山的高度）.试设计在楼AC 上测山顶电视塔高度的测量、计算方案.22．如图，在多面体1111ABCD A B C D -中，侧棱1AA ，1BB ，1CC ，1DD 都和平面ABCD 垂直，//AD BC ，112AB BC CD BB DD =====，14AA AD ==，11CC =.(1)证明：平面111B C D ⊥平面11ABB A ；(2)求直线1B C 和平面111B C D 所成角的正弦值。
河北省衡水中学2020届高三高考押题(二)理数试题
河北衡水中学2020年高考押题试卷理数试卷（二）第Ⅰ卷一、选择题：本题共12个小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合2{|60,}A x x x x Z =--<∈，{|||,,}B z z x y x A y A ==-∈∈，则集合A B =（ ） A ．{0,1} B ．{0,1,2} C ．{0,1,2,3} D ．{1,0,1,2}-2.设复数z 满足121z i i +=-+，则1||z=（ ）A ．15 C ．5 D ．25 3.若1cos()43πα+=，(0,)2πα∈，则sin α的值为（ ）A.46- B ．46+ C.718D ．3 4.已知直角坐标原点O 为椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的中心，1F ，2F 为左、右焦点，在区间(0,2)任取一个数e ，则事件“以e 为离心率的椭圆C 与圆O ：2222x y a b +=-没有交点”的概率为（ ）A.4 B ．44 C.2 D ．225.定义平面上两条相交直线的夹角为：两条相交直线交成的不超过90︒的正角.已知双曲线E ：22221(0,0)x y a b a b-=>>，当其离心率2]e ∈时，对应双曲线的渐近线的夹角的取值范围为（ ） A ．[0,]6π B ．[,]63ππ C.[,]43ππ D ．[,]32ππ6.某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为32π+，则它的表面积是（ ）A.3)2π+ B ．3)22π++C.2+ D ．4+7.函数sin ln ||y x x =+在区间[3,3]-的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．8.二项式1()(0,0)n ax a b bx+>>的展开式中只有第6项的二项式系数最大，且展开式中的第3项的系数是第4项的系数的3倍，则ab 的值为（ ）A ．4B ．8 C.12 D ．169.执行下图的程序框图，若输入的0x =，1y =，1n =，则输出的p 的值为（ ）A.81 B ．812 C.814 D ．81810.已知数列11a =，22a =，且222(1)n n n a a +-=--，*n N ∈，则2017S 的值为（ ）A ．201610101⨯-B ．10092017⨯ C.201710101⨯- D ．10092016⨯11.已知函数()sin()f x A x ωϕ=+(0,0,||)2A πωϕ>><的图象如图所示，令()()'()g x f x f x =+，则下列关于函数()g x 的说法中不正确的是（ ）A. 函数()g x 图象的对称轴方程为()12x k k Z ππ=-∈ B ．函数()g x的最大值为C. 函数()g x 的图象上存在点P ，使得在P 点处的切线与直线:31l y x =-平行D ．方程()2g x =的两个不同的解分别为1x ，2x ，则12||x x -最小值为2π 12.已知函数32()31f x ax x =-+，若()f x 存在三个零点，则a 的取值范围是（ ）A ．(,2)-∞-B ．(2,2)- C.(2,)+∞ D ．(2,0)(0,2)-第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题和第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13.向量(,)a m n =，(1,2)b =-，若向量a ，b 共线，且||2||a b =，则mn 的值为 ．14.设点M 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上的点，以点M 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的焦点F ，圆M 与y 轴相交于不同的两点P 、Q ，若PMQ ∆为锐角三角形，则椭圆的离心率的取值范围为 ．15.设x ，y 满足约束条件230,220,220,x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩则y x 的取值范围为 ．16.在平面五边形ABCDE 中，已知120A ∠=︒，90B ∠=︒，120C ∠=︒，90E ∠=︒，3AB =，3AE =，当五边形ABCDE的面积S ∈时，则BC 的取值范围为 .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，112a =，121n n S S -=+*(2,)n n N ≥∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记12log n n b a =*()n N ∈求11{}n n b b +的前n 项和n T . 18.如图所示的几何体ABCDEF 中，底面ABCD 为菱形，2AB a =，120ABC ∠=︒，AC 与BD 相交于O 点，四边形BDEF 为直角梯形，//DE BF ，BD DE ⊥，2DE BF ==，平面BDEF ⊥底面ABCD .（1）证明：平面AEF ⊥平面AFC ；（2）求二面角E AC F --的余弦值.19.某校为缓解高三学生的高考压力，经常举行一些心理素质综合能力训练活动，经过一段时间的训练后从该年级800名学生中随机抽取100名学生进行测试，并将其成绩分为A 、B 、C 、D 、E 五个等级，统计数据如图所示（视频率为概率），根据以上抽样调查数据，回答下列问题：（1）试估算该校高三年级学生获得成绩为B 的人数；（2）若等级A 、B 、C 、D 、E 分别对应100分、90分、80分、70分、60分，学校要求平均分达90分以上为“考前心理稳定整体过关”，请问该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”是否过关？（3）为了解心理健康状态稳定学生的特点，现从A 、B 两种级别中，用分层抽样的方法抽取11个学生样本，再从中任意选取3个学生样本分析，求这3个样本为A 级的个数ξ的分布列与数学期望.20. 已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为2，且过点22P ，动直线l ：y kx m -+交椭圆C 于不同的两点A ，B ，且0OA OB ⋅=（O 为坐标原点）（1）求椭圆C 的方程.（2）讨论2232m k -是否为定值？若为定值，求出该定值，若不是请说明理由.21. 设函数22()ln f x a x x ax =-+-()a R ∈.（1）试讨论函数()f x 的单调性；（2）设2()2()ln x x a a x ϕ=+-，记()()()h x f x x ϕ=+，当0a >时，若方程()()h x m m R =∈有两个不相等的实根1x ，2x ，证明12'()02x x h +>. 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C ：3cos ,2sin x t y tαα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数，0a >），在以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C ：4sin ρθ=.（1）试将曲线1C 与2C 化为直角坐标系xOy 中的普通方程，并指出两曲线有公共点时a 的取值范围；（2）当3a =时，两曲线相交于A ，B 两点，求||AB .23. 选修4-5：不等式选讲.已知函数()|21||1|f x x x =-++.（1）在下面给出的直角坐标系中作出函数()y f x =的图象，并由图象找出满足不等式()3f x ≤的解集；（2）若函数()y f x =的最小值记为m ，设,a b R ∈，且有22a b m +=，试证明：221418117a b +≥++. 参考答案及解析理科数学（Ⅱ）一、选择题1-5:BCAAD 6-10:AABCC 11、12：CD二、填空题13.-8 14.122e << 15.27[,]5416. 三、解答题17.解：（1）当2n =时，由121n n S S -=+及112a =， 得2121S S =+，即121221a a a +=+，解得214a =. 又由121n n S S -=+，①可知121n n S S +=+，②②-①得12n n a a +=，即11(2)2n n a n a +=≥. 且1n =时，2112a a =适合上式，因此数列{}n a 是以12为首项，12为公比的等比数列，故12n n a =*()n N ∈ （2）由（1）及12log n n b a =*()n N ∈， 可知121log ()2nn b n ==， 所以11111(1)1n n b b n n n n +==-++， 故2231111n n n n T b b b b b b +=+++=11111[(1)()()]2231n n -+-++-=+1111n n n -=++. 18.解：（1）因为底面ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥，又平面BDEF ⊥底面ABCD ，平面BDEF平面ABCD BD =，因此AC ⊥平面BDEF ，从而AC EF ⊥.又BD DE ⊥，所以DE ⊥平面ABCD ，由2AB a =，2DEBF ==，120ABC ∠=︒，可知AF=，2BD a =，EF ==，AE ==，从而222AF FE AE +=，故EF AF ⊥.又AF AC A =，所以EF ⊥平面AFC .又EF ⊂平面AEF ，所以平面AEF ⊥平面AFC .（2）取EF 中点G ，由题可知//OG DE ，所以OG ⊥平面ABCD ，又在菱形ABCD 中，OA OB ⊥，所以分别以OA ，OB ，OG 的方向为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系O xyz -（如图示）， 则(0,0,0)O，,0,0)A，(,0,0)C，(0,,)E a -，(0,)F a ，所以(0,,),0,0)AE a =--=(,,)a -，(,0,0),0,0)AC =-=(,0,0)-，(0,)(0,,)EF a a =--(0,2,)a =. 由（1）可知EF ⊥平面AFC ，所以平面AFC的法向量可取为(0,2,)EF a =.设平面AEC 的法向量为(,,)n x y z =，则0,0,n AE n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0,0,y x ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩即,0,y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩令z =，得4y =，所以(0,n =.从而cos ,n EF <>=3||||63n EF n EF⋅==⋅. 故所求的二面角E AC F --的余弦值为3.19.解：（1）从条形图中可知这100人中，有56名学生成绩等级为B ，所以可以估计该校学生获得成绩等级为B 的概率为561410025=， 则该校高三年级学生获得成绩为B 的人数约有1480044825⨯=.（2）这100名学生成绩的平均分为1(321005690780370260)100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯91.3=， 因为91.390>，所以该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”已过关.（3）由题可知用分层抽样的方法抽取11个学生样本，其中A 级4个，B 级7个，从而任意选取3个，这3个为A 级的个数ξ的可能值为0，1，2，3. 则03473117(0)33C C P C ξ===，124731128(1)55C C P C ξ===， 214731114(2)55C C P C ξ===，30473114(3)165C C P C ξ===. 因此可得ξ的分布列为：则728144()0123335555165E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯1211=. 20.解：（1）由题意可知2c a =，所以222222()a c a b ==-，即222a b =，①又点,22P 在椭圆上，所以有2223144a b+=，② 由①②联立，解得21b =，22a =， 故所求的椭圆方程为2212x y +=. （2）设1122(,),(,)A x y B x y ，由0OA OB ⋅=，可知12120x x y y +=. 联立方程组22,1,2y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y 化简整理得222(12)4220k x kmx m +++-=， 由2222168(1)(12)0k m m k ∆=--+>，得2212k m +>，所以122412km x x k +=-+，21222212m x x k -=+，③又由题知12120x x y y +=，即1212()()0x x kx m kx m +++=，整理为221212(1)()0k x x km x x m ++++=. 将③代入上式，得22222224(1)01212m km k km m k k -+-⋅+=++. 化简整理得222322012m k k--=+，从而得到22322m k -=. 21. 解：（1）由22()ln f x a x x ax =-+-，可知2'()2a f x x a x =-+-=222(2)()x ax a x a x a x x --+-=. 因为函数()f x 的定义域为(0,)+∞，所以，①若0a >时，当(0,)x a ∈时，'()0f x <，函数()f x 单调递减，当(,)x a ∈+∞时，'()0f x >，函数()f x 单调递增；②若0a =时，当'()20f x x =>在(0,)x ∈+∞内恒成立，函数()f x 单调递增；③若0a <时，当(0,)2a x ∈-时，'()0f x <，函数()f x 单调递减，当(,)2a x ∈-+∞时，'()0f x >，函数()f x 单调递增.（2）证明：由题可知()()()h x f x x ϕ=+=2(2)ln x a x a x +--(0)x >， 所以'()2(2)a h x x a x=+--=22(2)(2)(1)x a x a x a x x x +---+=. 所以当(0,)2a x ∈时，'()0h x <；当(,)2a x ∈+∞时，'()0h x >；当2a x =时，'()02a h =. 欲证12'()02x x h +>，只需证12'()'()22x x a h h +>，又2'()20a h x x=+>，即'()h x 单调递增，故只需证明1222x x a +>. 设1x ，2x 是方程()h x m =的两个不相等的实根，不妨设为120x x <<，则21112222(2)ln ,(2)ln ,x a x a x m x a x a x m ⎧+--=⎨+--=⎩ 两式相减并整理得1212(ln ln )a x x x x -+-=22121222x x x x -+-，从而221212121222ln ln x x x x a x x x x -+-=-+-， 故只需证明2212121212122222(ln ln )x x x x x x x x x x +-+->-+-， 即22121212121222ln ln x x x x x x x x x x -+-+=-+-. 因为1212ln ln 0x x x x -+-<，所以（*）式可化为12121222ln ln x x x x x x --<+， 即11212222ln 1x x x x x x -<+. 因为120x x <<，所以1201x x <<， 不妨令12x t x =，所以得到22ln 1t t t -<+，(0,1)t ∈. 记22()ln 1t R t t t -=-+，(0,1)t ∈，所以22214(1)'()0(1)(1)t R t t t t t -=-=≥++，当且仅当1t =时，等号成立，因此()R t 在(0,1)单调递增.又(1)0R =，因此()0R t <，(0,1)t ∈， 故22ln 1t t t -<+，(0,1)t ∈得证， 从而12'()02x x h +>得证. 22.解：（1）曲线1C ：3cos ,2sin ,x t y t αα=+⎧⎨=+⎩消去参数t 可得普通方程为222(3)(2)x y a -+-=. 曲线2C ：4sin ρθ=，两边同乘ρ.可得普通方程为22(2)4x y +-=.把22(2)4y x -=-代入曲线1C 的普通方程得：222(3)4136a x x x =-+-=-，而对2C 有222(2)4x x y ≤+-=，即22x -≤≤，所以2125a ≤≤故当两曲线有公共点时，a 的取值范围为[1,5].（2）当3a =时，曲线1C ：22(3)(2)9x y -+-=， 两曲线交点A ，B 所在直线方程为23x =. 曲线22(2)4x y +-=的圆心到直线23x =的距离为23d =，所以||3AB ==. 23. 解：（1）因为()|21||1|f x x x =-++=3,1,12,1,213,.2x x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪-+-≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩ 所以作出图象如图所示，并从图可知满足不等式()3f x ≤的解集为[1,1]-.（2）证明：由图可知函数()y f x =的最小值为32，即32m =. 所以2232a b +=，从而227112a b +++=， 从而221411a b +=++2222214[(1)(1)]()71a b a a b ++++=++2222214(1)[5()]711b a a b ++++≥++218[577+=.当且仅当222214(1)11b a a b ++=++时，等号成立， 即216a =，243b =时，有最小值， 所以221418117a b +≥++得证.。
2020年高考数学预测卷及答案(理科)
2020年高考数学预测卷及答案（理科）学校： 考点： 考号： 姓名：本试题卷共6页，23题(含选考题)。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{}(,)|1,01A x y y x x ==+≤≤，集合{}(,)|2,010B x y y x x ==≤≤，则集合A B ＝（ ）A ．{}1,2B ．{}|01x x ≤≤C ．(){}1,2D ．∅2．已知复数z 满足11i 12z z -=+，则复数z 在复平面内对应点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．《九章算术》中“开立圆术”曰：“置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径”．“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V ，求其直径d ，公式为3169d V =．如果球的半径为13，根据“开立圆术”的方法求球的体积为（ ） A ．481π B ．6π C ．481D ．61 4．已知函数()()π17πsin cos 0326f x x x ωωω⎛⎫⎛⎫=+--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，满足π364f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则满足题意的ω的最小值为（ ）A ．13B ．12C ．1D ．25．某几何体的三视图如图所示，设正方形的边长为a ，则该三棱锥的表面积为（ ） A ．2aB ．23aC ．236a D ．223a6．某工厂生产了一批颜色和外观都一样的跳舞机器人，从这批跳舞机器人中随机抽取了8个，其中有2个是次品，现从8个跳舞机器人中随机抽取2个分配给测验员，则测验员拿到次品的概率是（ ）A ．328B ．128C ．37D ．13287．如图所示，在梯形ABCD 中，∠B ＝π2，2AB =，BC ＝2，点E 为AB 的中点，若向量CD 在向量BC 上的投影为12-，则CE BD ⋅=（ ）A ．－2B ．12-C ．0D 28．已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，且S 2＝4，S 4＝16，数列{}n b 满足1n n n b a a +=+，则数列{}n b 的前9和9T 为（ ）A ．80B ．20C ．180D ．1669．2015年12月16日“第三届世界互联网大会”在中国乌镇举办．为了保护与会者的安全，将5个安保小组全部安排到指定三个区域内工作，且这三个区域每个区域至少有一个安保小组，则这样的安排的方法共有（ ）A ．96种B ．100种C ．124种D ．150种10．已知函数cos y x x =+，有以下命题： ①()f x 的定义域是()2π,2π2πk k +； ②()f x 的值域是R ； ③()f x 是奇函数；④()f x 的图象与直线y x =的交点中有一个点的横坐标为π2， 其中推断正确的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ． 311．已知椭圆的标准方程为22154x y +=，12,F F 为椭圆的左右焦点，O 为原点，P 是椭圆在第一象限的点，则12PF PF PO -的取值范围（ ）A ．50,5⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B ．250,5⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C ．350,5⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D ．650,5⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭12．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 为棱1CC 的中点，F 为棱1AA 上的点，且满足1:1:2A F FA =，点F 、B 、E 、G 、H 为面MBN 过三点B 、E 、F 的截面与正方体1111ABCD A B C D -在棱上的交点，则下列说法错误的是（ ） A ．HF //BE B ．132BM =C ．∠MBN 的余弦值为6565D ．五边形FBEGH 的面积为2361144第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2020年河北省石家庄市高考数学模拟试卷(理科)(八) (解析版)
2020年高考数学模拟试卷（理科）（八）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A ＝{x |x 2+x ﹣2＞0}．B ＝{﹣1，0，1，2}，则（ ） A ．A ∩B ＝{2}B ．A ∪B ＝RC ．B ∩（∁R A ）＝{﹣1，2}D ．B ∪（∁R A ）＝{x |﹣1＜x ＜2}2．已知a 是实数，a+i 1−i是纯虚数，则a 等于（ ） A ．1B ．﹣1C ．√2D ．−√23．已知a ＝log 52，b ＝log 0.50.2，c ＝0.50.2，则（ ） A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．b ＜a ＜cD ．c ＜a ＜b4．如图程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》．n ≡N （modm ）表示正整数n 除以正整数m 的余数为N ，例如10≡4（mod 6）．执行该程序框图，则输出的n 等于（ ）A ．11B ．13C ．14D ．175．若a →，b →是两个非零向量，且|a →+b →|=m|a →|=m|b →|，m ∈[1，√3]．则向量b →与a →−b →夹角的取值范围是（ ） A ．[π3，2π3]B ．[π3，5π6]C ．[2π3，5π6] D ．[5π6，π]6．函数y =1x−ln(x+1)的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．7．圆周率π是数学中一个非常重要的数，历史上许多中外数学家利用各种办法对π进行了估算．现利用下列实验我们也可对圆周率进行估算．假设某校共有学生N 人，让每人随机写出一对小于1的正实数a ，b ，再统计出a ，b ，1能构造锐角三角形的人数M ，利用所学的有关知识，则可估计出π的值是（ ） A ．4M NB ．4(N−M)NC ．2M+N ND ．4M+2N N8．设奇函数f （x ）在（0，+∞）上为增函数，且f （1）＝0，则不等式f(x)−f(−x)x＜0的解集为（ ）A ．（﹣1，0）∪（1，+∞）B ．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）C ．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D ．（﹣1，0）∪（0，1）9．过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，设点M （3，0）．若△MAB 的面积为4√2，则|AB |＝（ ） A ．2B ．4C ．2√3D ．810．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n =(S n −1)2S n．数列{b n }满足b n ＝（﹣1）n •（2n +1）a n ，则数列{b n }的前100项和T 100为（ ） A ．101100B ．−101100C ．−100101D ．10010111．对于函数f(x)=12(sinx +cosx)−12|sinx −cosx|．有下列说法： ①f （x ）的值城为[﹣1，1]；②当且仅当x =2kπ+π4(k ∈Z)时，函数f （x ）取得最大值； ③函数f （x ）的最小正周期是π；④当且仅当x ∈(2kπ，2kπ+π2)(k ∈Z)时f （x ）＞0． 其中正确结论的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．412．三棱锥P ﹣ABC 中．AB ⊥BC ，△PAC 为等边三角形，二面角P ﹣AC ﹣B 的余弦值为−√63，当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为8π．则三棱锥体积的最大值为（ ） A ．1 B ．2 C ．12D ．13二、填空题：13．已知（x ﹣1）（ax +1）5的展开式中，x 2的系数为0，则实数a ＝ ． 14．已知双曲线x 2a −y 2b =1（a ＞0，b ＞0）的左右顶点分别为A ，B ，点P 是双曲线上一点，若△PAB 为等腰三角形，∠PAB ＝120°，则双曲线的离心率为 ． 15．已知数列{a n }满足a nn =n−1n (a n+1n+1−1)+1（n ∈N *），且a 2＝6，则{a n }的通项公式为 ．16．改革开放40年来，我国城市基础设施发生了巨大的变化，各种交通工具大大方便了人们的出行需求．某城市的A 先生实行的是早九晚五的工作时间，上班通常乘坐公交或地铁加步行．已知从家到最近的公交站或地铁站都需步行5分钟，乘坐公交到离单位最近的公交站所需时间Z 1（单位：分钟）服从正态分布N （33，42），下车后步行再到单位需要12分钟；乘坐地铁到离单位最近的地铁站所需时间Z 2（单位：分钟）服从正态分布N （44，22），从地铁站步行到单位需要5分钟．现有下列说法： ①若8：00出门，则乘坐公交一定不会迟到；②若8：02出门，则乘坐公交和地铁上班迟到的可能性相同； ③若8：06出门，则乘坐公交比地铁上班迟到的可能性大； ④若8：12出门，则乘坐地铁比公交上班迟到的可能性大． 则以上说法中正确的序号是 ．参考数据：若Z ～N （μ，σ2），则P （μ﹣σ＜Z ≤μ+σ）＝0.6826， P （μ﹣2σ＜Z ≤μ+2σ）＝0.9544， P （μ﹣3σ＜Z ≤μ+3σ）＝0.9974三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22.23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：17．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin 2A−sin 2CsinB=√2a−b2，且△ABC 外接圆的半径为1． （Ⅰ）求角C ；（Ⅱ）求△ABC 面积的最大值．18．如图，四边形ABCD 是边长为4的菱形，∠BAD ＝60°，对角线AC 与BD 相交于点O ，四边形ACFE 为梯形，EF ∥AC ，点E 在平面ABCD 上的射影为OA 的中点，AE 与平面ABCD 所成角为45°． （Ⅰ）求证：BD ⊥平面ACF ；（Ⅱ）求平面DEF 与平面ABCD 所成角的正弦值．19．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a +y 2b =1（a ＞b ＞0）的左、右焦点，过椭圆的上顶点的直线x +y ＝1被椭圆截得的弦的中点坐标为P(34，14)． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，当△ABF 2面积最大时，求直线l 的方程． 20．为实现2020年全面建设小康社会，某地进行产业的升级改造．经市场调研和科学研判，准备大规模生产某高科技产品的一个核心部件，目前只有甲、乙两种设备可以独立生产该部件．如图是从甲设备生产的部件中随机抽取400件，对其核心部件的尺寸x ，进行统计整理的频率分布直方图．根据行业质量标准规定，该核心部件尺寸x 满足：|x ﹣12|≤1为一级品，1＜|x ﹣12|≤2为二级品，|x ﹣12|＞2为三级品．（Ⅰ）现根据频率分布直方图中的分组，用分层抽样的方法先从这400件样本中抽取40件产品，再从所抽取的40件产品中，抽取2件尺寸x ∈[12，15]的产品，记ξ为这2件产品中尺寸x ∈[14，15]的产品个数，求ξ的分布列和数学期望；（Ⅱ）将甲设备生产的产品成箱包装出售时，需要进行检验．已知每箱有100件产品，每件产品的检验费用为50元．检验规定：若检验出三级品需更换为一级或二级品；若不检验，让三级品进入买家，厂家需向买家每件支付200元补偿．现从一箱产品中随机抽检了10件，结果发现有1件三级品．若将甲设备的样本频率作为总体的慨率，以厂家支付费用作为决策依据，问是否对该箱中剩余产品进行一一检验？请说明理由； （Ⅲ）为加大升级力度，厂家需增购设备．已知这种产品的利润如下：一级品的利润为500元/件；二级品的利润为400元/件；三级品的利润为200元/件．乙种设备产品中一、二、三级品的概率分别是25，12，110．若将甲设备的样本频率作为总体的概率，以厂家的利润作为决策依据．应选购哪种设备？请说明理由． 21．已知函数f （x ）＝lnx +ax +1．（Ⅰ）若函数f （x ）有两个零点，求a 的取值范围； （Ⅱ）f （x ）≤xe x 恒成立，求a 的取值范围．（二）选考题：共10分.请考生在第22.23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =tt+1，y =2t+1t+1（t 为参数），曲线C 2的参数方程为{x =2+2cosαy =2sinα（α为参数），以坐标原点为极点．x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的极坐标方程；（Ⅱ）射线θ1=β(0＜β＜π2)与曲线C 2交于O ，P 两点，射线θ2=π2+β与曲线C 1交于点Q ，若△OPQ 的面积为1，求|OP |的值． [选修4-5：不等式选讲] 23．已知a ，b ，c 为正实数．（Ⅰ）若a +b +c ＝1，证明：(1a−1)(1b−1)(1c−1)≥8； （Ⅱ）证明：ab+c+b a+c+c a+b≥32．参考答案一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的， 1．已知集合A ＝{x |x 2+x ﹣2＞0}．B ＝{﹣1，0，1，2}，则（ ） A ．A ∩B ＝{2}B ．A ∪B ＝RC ．B ∩（∁R A ）＝{﹣1，2}D ．B ∪（∁R A ）＝{x |﹣1＜x ＜2}【分析】先求出集合A ，再求两集合的交，并，补，可判断正误． 解：∵A ＝{x |x 2+x ﹣2＞0}＝{x |x ＜﹣2或x ＞1}．∴A ∩B ＝{2}． 故选：A ． 2．已知a 是实数，a+i 1−i是纯虚数，则a 等于（ ） A ．1B ．﹣1C ．√2D ．−√2【分析】利用复数的运算法则即可得出． 解：∵a+i 1−i=(a+i)(1+i)(1−i)(1+i)=a−12+a+12i 是纯虚数，∴a−12=0，a+12≠0，解得a ＝1，故选：A ．3．已知a ＝log 52，b ＝log 0.50.2，c ＝0.50.2，则（ ） A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．b ＜a ＜cD ．c ＜a ＜b【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解． 解：∵log 51＜log 52＜log 5√5，∴0＜a ＜12， ∵log 0.50.2＝log 25＞log 24，∴b ＞2， ∵0.51＜0.50.2＜0.50，∴12＜c ＜1，∴a ＜c ＜b ， 故选：B ．4．如图程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》．n ≡N （modm ）表示正整数n 除以正整数m 的余数为N ，例如10≡4（mod 6）．执行该程序框图，则输出的n 等于（ ）A ．11B ．13C ．14D ．17【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出同时满足以下条件的最小两位数： ①被3除余2， ②被4除余1， 故输出的n 为17， 故选：D ．5．若a →，b →是两个非零向量，且|a →+b →|=m|a →|=m|b →|，m ∈[1，√3]．则向量b →与a →−b →夹角的取值范围是（ ） A ．[π3，2π3]B ．[π3，5π6] C ．[2π3，5π6] D ．[5π6，π] 【分析】根据题意，设|a →|＝|b →|＝t ，向量b →与a →−b →夹角为θ，又由|a →+b →|＝mt ，由向量模的计算公式变形可得：a →•b →=m 2t 22−t 2，进而可得|a →−b →|的值，由数量积公式可得cos θ=b →⋅(a →−b →)|b →||a →−b →|=−12×√4−m 2m 的范围，分析可得cos θ的范围，结合余弦函数的性质分析可得答案．解：根据题意，设|a →|＝|b →|＝t ，则|a →+b →|＝mt ，再设向量b →与a →−b →夹角为θ，则有|a →+b →|2＝（a →+b →）2=a →2+b →2+2a →•b →=m 2t 2，变形可得：a →•b →=m 2t 22−t 2，则有|a →−b →|2＝（a →−b →）2=a →2+b →2﹣2a →•b →=2t 2﹣2（m 2t 22−t 2）＝4t 2﹣m 2t 2，变形可得|a →−b →|=√4−m 2t ，则cos θ=b →⋅(a →−b →)|b →||a →−b →|=a →⋅b →−b→2|b →||a →−b →|=m 2t 22−t 2−t2t×√4−m t=12×2√4−m =−12×√4−m 2，又由1≤m ≤√3，则1≤√4−m 2≤√3，则有−√32≤cos θ≤−12，又由0≤θ≤π，则有2π3≤θ≤5π6，即θ的取值范围为[2π3，5π6]；故选：C ．6．函数y =1x−ln(x+1)的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】根据函数是否存在零点，以及f （1）的符号，利用排除法进行判断即可． 解：f （1）=11−ln2＞0，排除C ，D ， 由y =1x−ln(x+1)=0，则方程无解，即函数没有零点，排除B ， 故选：A ．7．圆周率π是数学中一个非常重要的数，历史上许多中外数学家利用各种办法对π进行了估算．现利用下列实验我们也可对圆周率进行估算．假设某校共有学生N 人，让每人随机写出一对小于1的正实数a ，b ，再统计出a ，b ，1能构造锐角三角形的人数M ，利用所学的有关知识，则可估计出π的值是（ ） A ．4M NB ．4(N−M)NC ．2M+N ND ．4M+2N N【分析】N 个实数对（a ，b ）都在边长为1的正方形AOBC 内，若a ，b ，1能构造锐角三角形，则a 2+b 2＞1，所以N 对实数对落在单位圆x 2+y 2＝1外的有M 对，再利用几何概率的概率公式即可求出π的近似值．解：学校共有学生N 人，每人随机写出一对小于1的正实数a ，b ，得到N 个实数对（a ，b ），因为0＜a ＜1，0＜b ＜1，所以N 个实数对（a ，b ）都在边长为1的正方形AOBC 内，如图所示：若a ，b ，1能构造锐角三角形，因为1是最长边，所以1所对的角为锐角， 所以a 2+b 2−12ab＞0，即a 2+b 2＞1，所以N 对实数对落在单位圆x 2+y 2＝1外的有M 对， 由几何概率的概率公式可得：MN=1×1−14π×121×1=1−14π，所以π=4(N−M)N， 故选：B ．8．设奇函数f （x ）在（0，+∞）上为增函数，且f （1）＝0，则不等式f(x)−f(−x)x＜0的解集为（ ）A ．（﹣1，0）∪（1，+∞）B ．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）C ．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D ．（﹣1，0）∪（0，1）【分析】根据函数为奇函数求出f （1）＝0，再将不等式x f （x ）＜0分成两类加以分析，再分别利用函数的单调性进行求解，可以得出相应的解集．解：∵f （x ）为奇函数，且在（0，+∞）上是增函数，f （1）＝0， ∴f （1）＝﹣f （﹣1）＝0，在（﹣∞，0）内也是增函数 ∴f(x)−f(−x)x=2f(x)x＜0，即{x ＞0f(x)＜0或 {x ＜0f(x)＞0根据在（﹣∞，0）和（0，+∞）内是都是增函数 解得：x ∈（﹣1，0）∪（0，1） 故选：D ．9．过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，设点M （3，0）．若△MAB 的面积为4√2，则|AB |＝（ ） A ．2B ．4C ．2√3D ．8【分析】求得抛物线的焦点F 的坐标，可设直线l 的方程为x ＝ty +1，联立抛物线的方程，消去x ，可得y 的二次方程，运用韦达定理和弦长公式，以及三角形的面积公式，解得t ，进而得到所求值．解：抛物线y 2＝4x 的焦点F 为（1，0），可设直线l 的方程为x ＝ty +1， 代入抛物线方程，可得y 2﹣4ty ﹣4＝0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），可得y 1+y 2＝4t ，y 1y 2＝﹣4，则|AB |=√1+t 2•|y 1﹣y 2|=√1+t 2•√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=√1+t 2•√16t 2+16， △MAB 的面积为12|MF |•|y 1﹣y 2|=12×2|y 1﹣y 2|＝4√2， 即√16t 2+16=4√2，解得t ＝±1， 则|AB |=√1+1•√16+16=8， 故选：D ．10．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n =(S n −1)2S n．数列{b n }满足b n ＝（﹣1）n•（2n +1）a n ，则数列{b n }的前100项和T 100为（ ） A ．101100B ．−101100C ．−100101D ．100101【分析】由a n =(S n −1)2S n求出a 1，a 2，猜想出a n =1n(n+1)，然后用数学归纳法证明猜想，再使用裂项相消法求数列{b n }的前100项和T 100．解：∵a n =(S n −1)2S n，∴当n ＝1时，有a 1=(S 1−1)2S 1，解得a 1=12；当n ＝2时，可解得a 2=16，故猜想：a n =1n(n+1)，下面利用数学归纳法证明猜想：①当n ＝1，2时，由以上知道a n =1n(n+1)显然成立；②假设当n ＝k （k ≥2）时，有a k =1k(k+1)成立，此时S k =11×2+12×3+⋯+1k(k+1)=11−12+12−13+⋯+1k −1k+1=k k+1成立，那么当n ＝k +1时，有a k +1=(S k+1−1)2S k+1=(S k +a k+1−1)2S k +a k+1=(k k+1+a k+1−1)2k k+1+a k+1，解得a k +1=1(k+1)[(k+1)+1]，这说明当n ＝k +1时也成立．由①②知：a n =1n(n+1)．∵b n ＝（﹣1）n •（2n +1）a n ，∴b n ＝（﹣1）n•（2n +1）•1n(n+1)=（﹣1）n （1n+1n+1），∴数列{b n }的前100项和T 100＝﹣（11+12）+（12+13）﹣（13+14）+…+（1100+1101）＝﹣1+1101=−100101． 故选：C ．11．对于函数f(x)=12(sinx +cosx)−12|sinx −cosx|．有下列说法： ①f （x ）的值城为[﹣1，1]；②当且仅当x =2kπ+π4(k ∈Z)时，函数f （x ）取得最大值； ③函数f （x ）的最小正周期是π；④当且仅当x ∈(2kπ，2kπ+π2)(k ∈Z)时f （x ）＞0． 其中正确结论的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4【分析】根据绝对值的定义将函数f （x ）写成分段函数，再作出函数的图象即可判断各命题的真假． 解：因为f （x ）={cosx ，sinx ≥cosxsinx ，sinx ＜cosx，作出函数f （x ）的图象，如图所示：所以，f（x）的值城为[﹣1，√22]，①错误；函数f（x）的最小正周期是2π，③错误；当且仅当x=2kπ+π4(k∈Z)时，函数f（x）取得最大值，②正确；当且仅当x∈(2kπ，2kπ+π2)(k∈Z)时，f（x）＞0，④正确．故选：B．12．三棱锥P﹣ABC中．AB⊥BC，△PAC为等边三角形，二面角P﹣AC﹣B的余弦值为−√63，当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为8π．则三棱锥体积的最大值为（）A．1B．2C．12D．13【分析】由已知作出图象，找出二面角P﹣AC﹣B的平面角，设出AB，BC，AC的长，即可求出三棱锥P﹣ABC的高，然后利用基本不等式即可确定三棱锥体积的最大值（用含有AC长度的字母表示），再设出球心O，由球的表面积求得半径，根据球的几何性质，利用球心距，半径，底面半径之间的关系求得AC的长度，则三棱锥体积的最大值可求．解：如图所示，过点P作PE⊥面ABC，垂足为E，过点E作ED⊥AC交AC于点D，连接PD，则∠PDE为二面角P﹣AC﹣B的平面角的补角，即有cos∠PDE=√63，易知AC⊥面PDE，则AC⊥PD，而△PAC为等边三角形，∴D为AC中点，设AB＝a，BC＝b，AC=√a2+b2=c，则PE ＝PD sin ∠PDE =√32×c ×√33=c 2，故三棱锥P ﹣ABC 的体积为：V =13×12ab ×c 2=112abc ≤112c ×a 2+b 22=c 324， 当且仅当a ＝b =√22c 时，体积最大，此时B 、D 、E 共线．设三棱锥P ﹣ABC 的外接球的球心为O ，半径为R ， 由已知，4πR 2＝8π，得R =√2．过点O 作OF ⊥PE 于F ，则四边形ODEF 为矩形，则OD ＝EF =√2−(c2)2，ED ＝OF ＝PD cos ∠PDE =√32c ×√63=√22c ，PE =c 2，在Rt △PFO 中，（√2）2=(√22c)2+(c2−√2−(c 2)2)2，解得c ＝2．∴三棱锥P ﹣ABC 的体积的最大值为：c 324=2324=13．故选：D ．二、填空题：13．已知（x ﹣1）（ax +1）5的展开式中，x 2的系数为0，则实数a ＝12．【分析】将原式转化为x （ax +1）5﹣（ax +1）5，然后利用（ax +1）5的通项研究x 2． 解：原式＝x （ax +1）5﹣（ax +1）5， 因为（ax +1）5＝（1+ax ）5，故原式x 2项为：xC 51ax −C 52(ax)2=(aC 51−a 2C 52)x 2，令aC 51−a 2C 52=0，即5a ﹣10a 2＝0，解得a =12或a ＝0（舍）．故答案为：12．14．已知双曲线x 2a −y 2b =1（a ＞0，b ＞0）的左右顶点分别为A ，B ，点P 是双曲线上一点，若△PAB 为等腰三角形，∠PAB ＝120°，则双曲线的离心率为 √2 ．【分析】设P （m ，n ）在第二象限，由题意可得|PA |＝|AB |＝2a ，求得P 的坐标，代入双曲线的方程，化简可得a ，b 的关系，即可得到所求离心率．解：设P （m ，n ）在第二象限，由△PAB 为等腰三角形，∠PAB ＝120°，可得|PA |＝|AB |＝2a ，可得m ＝2a cos120°﹣a ＝﹣2a ，n ＝2a sin60°=√3a ，即P （﹣2a ，√3a ）， 由P 在双曲线上，可得4a 2a 2−3a 2b 2=1，即有b 2a 2=1，即a ＝b ，可得e =c a=√1+b 2a2=√2，故答案为：√2． 15．已知数列{a n }满足a n n=n−1n (a n+1n+1−1)+1（n ∈N *），且a 2＝6，则{a n }的通项公式为 2n 2﹣n ．【分析】易求a 1＝1，当n ≥2时，对已知等式变形得a nn−1n−1=a n+1n+1−1n ，所以数列{a n n−1n−1}从第二项开始是常数列，所以a nn−1n−1=2，从而求出a n ，验证首项满足a n ，进而得到{a n }的通项公式． 解：数列{a n }满足a n n=n−1n (a n+1n+1−1)+1（n ∈N *），a n n −1=n−1n (a n+1n+1−1) ①当n ＝1时，a 1＝1， ②当n ≥2时，a n n−1=n−1n(a n+1n+1−1)∴a nn−1n−1=a n+1n+1−1n，∴数列{a n n −1n−1}从第二项开始是常数列，又a 22−12−1=2，∴a nn−1n−1=2，∴a n =2n 2−n （n ≥2）， 又a 1＝1满足上式， ∴a n =2n 2−n ， 故答案为：2n 2﹣n ．16．改革开放40年来，我国城市基础设施发生了巨大的变化，各种交通工具大大方便了人们的出行需求．某城市的A先生实行的是早九晚五的工作时间，上班通常乘坐公交或地铁加步行．已知从家到最近的公交站或地铁站都需步行5分钟，乘坐公交到离单位最近的公交站所需时间Z1（单位：分钟）服从正态分布N（33，42），下车后步行再到单位需要12分钟；乘坐地铁到离单位最近的地铁站所需时间Z2（单位：分钟）服从正态分布N（44，22），从地铁站步行到单位需要5分钟．现有下列说法：①若8：00出门，则乘坐公交一定不会迟到；②若8：02出门，则乘坐公交和地铁上班迟到的可能性相同；③若8：06出门，则乘坐公交比地铁上班迟到的可能性大；④若8：12出门，则乘坐地铁比公交上班迟到的可能性大．则以上说法中正确的序号是②④．参考数据：若Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜Z≤μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜Z≤μ+2σ）＝0.9544，P（μ﹣3σ＜Z≤μ+3σ）＝0.9974【分析】利用正态分布对每一个说法求解器复数的概率，逐项分析，即可选出正确答案．解：若8：00出门，江先生乘坐公交，从家到车站需要5分钟，下车后步行再到单位需要12分钟，乘坐公交到离单位最近的公交站所需时间Z1服从正态分布N（33，42），故当满足P（Z≥45）=1−P(21＜Z＜45)2=1−0.99742=0.0013．∴江先生仍有可能迟到，只不过概率较小，故①错误；若8：02出门，江先生乘坐公交．∵从家到车站需要5分钟，下车后步行再到单位需要12分钟，乘坐公交到离单位最近的公交站所需时间Z1服从正态分布N（33，42），故当满足P（Z≤41）=1−P(25＜Z＜41)2+P(25＜Z＜41)=0.9772时，江先生乘坐公交不会迟到；若8：02出门，江先生乘坐地铁．∵从家到车站需要5分钟，下地铁后步行再到单位需要5分钟，乘坐地铁到离单位最近的地铁站所需时间Z2服从正态分布N（44，22），故当满足P（Z≤48）=1−P(40＜Z＜48)2+P(40＜Z＜48)=0.9972时，江先生乘坐地铁不会迟到．此时两种上班方式江先生不迟到的概率相当，故②正确；若8：06出门，江先生乘坐公交．∵从家到车站需要5分钟，下车后步行再到单位需要12分钟，乘坐公交到离单位最近的公交站所需时间Z1服从正态分布N（33，42），故当满足P（Z≤37）=1−P(29＜Z＜37)2+P(29＜Z＜37)=0.8413时，江先生乘坐公交不会迟到；若8：06出门，江先生乘坐地铁．∵从家到车站需要5分钟，下地铁后步行再到单位需要5分钟，乘坐地铁到离单位最近的地铁站所需时间Z2服从正态分布N（44，22），故当满足P（Z≤44）=12=0.5时，江先生乘坐地铁不会迟到．此时两种上班方式，乘坐公交比地铁上班迟到的可能性小，故③错误；若8：12出门，江先生乘坐公交．∵从家到车站需要5分钟，下车后步行再到单位需要12分钟，乘坐公交到离单位最近的公交站所需时间Z1服从正态分布N（33，42），故当满足P（Z≤31）时，江先生乘坐公交不会迟到，而P（Z≤31）＞P（Z≤29）=1−P(29＜Z＜37)2=0.1857；若8：12出门，江先生乘坐地铁．∵从家到车站需要5分钟，下地铁后步行再到单位需要5分钟，乘坐地铁到离单位最近的地铁站所需时间Z2服从正态分布N（44，22），故当满足P（Z≤38）=1−P(38＜Z＜50)2=0.00135时，江先生乘坐地铁不会迟到．由0.1857＞0.00135，∴若8：12出门，则乘坐地铁比公交上班迟到的可能性大，故④正确．故答案为：②④．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22.23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：17．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin 2A−sin 2CsinB=√2a−b2，且△ABC 外接圆的半径为1． （Ⅰ）求角C ；（Ⅱ）求△ABC 面积的最大值．【分析】（Ⅰ）由已知利用正弦定理可得sin A =a 2，sin B =b2，sin C =c2，代入已知等式整理可得a 2+b 2−c 22ab=√22，由余弦定理可得cos C ，结合范围C ∈（0，π），可求C 的值．（Ⅱ）由正弦定理可得c ，由余弦定理，基本不等式可求ab ≤22−2=2+√2，进而利用三角形的面积公式可求△ABC 面积的最大值． 解：（Ⅰ）∵由正弦定理a sinA=b sinB=c sinC=2，可得sin A =a2，sin B =b2，sin C =c2，又sin 2A−sin 2CsinB=√2a−b2， ∴a 24−c 24b 2=√2a−b2， ∴a 2﹣b 2=√2ab ﹣b 2，即a 2+b 2−c 22ab =√22，由余弦定理可得cos C =a 2+b 2−c 22ab =√22， ∵C ∈（0，π）， ∴C =π4． （Ⅱ）由正弦定理c sinC=2，可得c ＝2sinπ4=√2，由余弦定理2＝a 2+b 2﹣2ab ⋅√22≥2ab −√2ab ＝（2−√2）ab ，可得ab ≤2−2=2+√2，当且仅当a ＝b 时等号成立，可得S △ABC =12ab sin C =√24ab ≤√2+12，当且仅当a ＝b 时等号成立，即△ABC 面积的最大值为√2+12．18．如图，四边形ABCD 是边长为4的菱形，∠BAD ＝60°，对角线AC 与BD 相交于点O ，四边形ACFE 为梯形，EF ∥AC ，点E 在平面ABCD 上的射影为OA 的中点，AE 与平面ABCD 所成角为45°． （Ⅰ）求证：BD ⊥平面ACF ；（Ⅱ）求平面DEF 与平面ABCD 所成角的正弦值．【分析】（Ⅰ）取AO 中点H ，连结EH ，则EH ∥平面ABCD ，从而EH ⊥BD ，再由AC ⊥BD ，能证明BD ⊥平面ACF ．（Ⅱ）以H 为原点，HA 为x 轴，在平面ABCD 中过H 作AC 的垂线为y 轴，HE 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面DEF 与平面ABCD 所成角的正弦值． 解：（Ⅰ）证明：取AO 中点H ，连结EH ，则EH ∥平面ABCD ， ∵BD 在平面ABCD 内，∴EH ⊥BD ，又菱形ABCD 中，AC ⊥BD ，且EH ∩AC ＝H ， EH ，AC 在平面EACF 内，∴BD ⊥平面EACF ，∴BD ⊥平面ACF ． （Ⅱ）解：由（Ⅰ）知EH ⊥平面ABCD ，以H 为原点，HA 为x 轴，在平面ABCD 中过H 作AC 的垂线为y 轴， HE 为z 轴，建立空间直角坐标系，∵EH ⊥平面ABCD ，∴∠EAH 为AE 与平面ABCD 所成的角，即∠EAH ＝45°， ∵AB ＝4，∴AO ＝2√3，AH =√3，EH =√3，∴H （0，0，0），A （√3，0，0），D （−√3，﹣2，0），O （−√3，0，0），E （0，0，√3），平面ABCD 的法向量n →=（0，0，1），AO →=（﹣2√3，0，0），DE →=（√3，2，√3），∵EF ∥AC ，∴EF →=λAO →=（﹣2√3λ，0，0），设平面DEF 的法向量m →=（x ，y ，z ），则{m →⋅DE →=√3x +2y +√3z =0m →⋅EF →=−2√3λx =0，取y =√3，得m →=（0，√3，﹣2）， ∴cos ＜n →，m →＞=n →⋅m →|n →|⋅|m →|=1⋅7=−2√77．∴平面DEF 与平面ABCD 所成角的正弦值为√1−(−277)2=√217．19．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a +y 2b =1（a ＞b ＞0）的左、右焦点，过椭圆的上顶点的直线x +y ＝1被椭圆截得的弦的中点坐标为P(34，14)．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，当△ABF 2面积最大时，求直线l 的方程． 【分析】（Ⅰ）利用点差法和斜率公式即可求出；（Ⅱ）设A （x 3，y 3），B （x 4，y 4），联立直线与椭圆的方程可得（m 2+2）y 2﹣2my ﹣1＝0，由三角形面积公式和基本不等式即可求出．解：（Ⅰ）直线x +y ＝1与y 轴的交于（0，1）点，∴b ＝1， 设直线x +y ＝1与椭圆C 交于点M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）， 则x 1+x 2=32，y 1+y 2=12， ∴x 12a 2+y 12b 2=1，x 22a 2+y 22b 2=1，两式相减可得1a2（x 1﹣x 2）（x 1+x 2）+1b2（y 1﹣y 2）（y 1+y 2）＝0，∴y 1−y 2x 1−x 2=−b 2(x 1+x 2)a (y 1+y 2)，∴−b 2a 2•3212=−1，解得a 2＝3， ∴椭圆C 的方程为x 23+y 2＝1．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得F 1（−√2，0），F 2（−√2，0），设A （x 3，y 3），B （x 4，y 4）， 讲直线l 的方程x ＝my −√2代入x 23+y 2＝1，可得（m 2+3）y 2﹣2√2my ﹣1＝0，则y 3+y 4=2√2m m 2+3，y 3y 4=−1m 2+3，|y 3﹣y 4|=√(y 3−y 4)2−4y 1y 2=2√3⋅√m 2+12，∴S △ABF 2=12|F 1F 2|•|y 3﹣y 4|=√2|•|y 3﹣y 4|=2√6⋅√m 2+1m 2+3=√6√m +1+2m +1≤√626=√3， 当且仅当√m 2+1=√m +1，即m ＝±1，△ABF 2面积最大，即直线l 的方程为x ﹣y +√2=0或x +y +√2=0．20．为实现2020年全面建设小康社会，某地进行产业的升级改造．经市场调研和科学研判，准备大规模生产某高科技产品的一个核心部件，目前只有甲、乙两种设备可以独立生产该部件．如图是从甲设备生产的部件中随机抽取400件，对其核心部件的尺寸x ，进行统计整理的频率分布直方图．根据行业质量标准规定，该核心部件尺寸x 满足：|x ﹣12|≤1为一级品，1＜|x ﹣12|≤2为二级品，|x ﹣12|＞2为三级品．（Ⅰ）现根据频率分布直方图中的分组，用分层抽样的方法先从这400件样本中抽取40件产品，再从所抽取的40件产品中，抽取2件尺寸x ∈[12，15]的产品，记ξ为这2件产品中尺寸x ∈[14，15]的产品个数，求ξ的分布列和数学期望；（Ⅱ）将甲设备生产的产品成箱包装出售时，需要进行检验．已知每箱有100件产品，每件产品的检验费用为50元．检验规定：若检验出三级品需更换为一级或二级品；若不检验，让三级品进入买家，厂家需向买家每件支付200元补偿．现从一箱产品中随机抽检了10件，结果发现有1件三级品．若将甲设备的样本频率作为总体的慨率，以厂家支付费用作为决策依据，问是否对该箱中剩余产品进行一一检验？请说明理由； （Ⅲ）为加大升级力度，厂家需增购设备．已知这种产品的利润如下：一级品的利润为500元/件；二级品的利润为400元/件；三级品的利润为200元/件．乙种设备产品中一、二、三级品的概率分别是25，12，110．若将甲设备的样本频率作为总体的概率，以厂家的利润作为决策依据．应选购哪种设备？请说明理由．【分析】（I）计算各区间尺寸的产品件数，再根据超几何分布计算；（II）计算三极品的概率，分别计算两种情况下的费用得出结论；（III）分别计算两种设备生产一件产品的利润数学期望，得出结论．解：（I）抽取的40件产品中，产品尺寸x∈[12，15]的件数为：40×[（0.2+0.175+0.075）×1]＝18，其中x∈[14，15]的产品件数为40×（0.075×1）＝3，∴ξ的可能取值为0，1，2，∴P（ξ＝0）=C152C182=3551，P（ξ＝1）=C151⋅C31C182=517，P（ξ＝2）=C32C182=151，∴ξ的分布列为：ξ01P35515 17∴Eξ＝0×3551+1×517+2×151=13．（II）三级品的概率为（0.1+0.075）×1＝0.175，若对剩余产品逐一检验，则厂家需支付费用50×100＝5000；若对剩余产品不检验，则厂家需支付费用50×10+200×90×0.175＝3650，∵5000＞3650，故不对剩余产品进行逐一检验．（III）设甲设备生产一件产品的利润为y1，乙设备生产一件产品的利润为y2，则E（y1）＝500×（0.3+0.2）+400×（0.150+0.175）+200×0.175＝415，E（y2）＝500×25+400×12+200×110=420．∵E（y1）＜E（y2）．∴应选购乙设备．21．已知函数f（x）＝lnx+ax+1．（Ⅰ）若函数f（x）有两个零点，求a的取值范围；（Ⅱ）f（x）≤xe x恒成立，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）研究函数f（x）的单调性、极值情况，根据极值的符号构造出关于a的不等式求解；（Ⅱ）不等式恒成立，即可转化为函数的最值问题，因为原函数的单调性不好研究，所以可分离参数a ，即问题转化为a ≤e x −lnx x −1x在（0，+∞）上恒成立．再研究函数g （x ）=e x −lnx x −1x的单调性，求其最小值即可． 解：（Ⅰ）由已知得x ＞0，f′(x)=1x+a ． ①当a ≥0时，f ′（x ）＞0，此时f （x ）是增函数，故不会有两个零点； ②当a ＜0时，由f′(x)=1x +a =0，得x =−1a＞0， 此时x ∈(0，−1a)时，f′(x)＞0，此时f(x)递增；当x ∈(−1a，+∞)时，f′(x)＜0，此时f(x)是减函数．所以x =−1a 时，f （x ）取得极大值，由f （x ）有两个零点，所以f(−1a )＞0，解得﹣1＜a ＜0．又f(1e )=ae ＜0，所以f （x ）在（0，−1a ）有唯一零点． 再取x 0=e(−a)2＞−1a ，则f(x 0)=1+2ln(−1a )+e a +1＜2+2(−1a −1)+e a =e−2a ＜0． 所以f （x ）在（−1a，+∞）有唯一实数根．a 的取值范围是（﹣1，0）．（Ⅱ）f （x ）≤xe x 恒成立，即xe x ≥lnx +ax +1在（0，+∞）上恒成立，即a ≤e x −lnx x−1x在（0，+∞）上恒成立． 令g （x ）=e x −lnx x −1x ，则g′(x)=e x +lnx x 2=x 2e x +lnxx 2． 令h （x ）＝x 2e x +lnx ，则h′(x)=2xe x +x 2e x +1x＞0．所以h （x ）在（0，+∞）上递增．而h （1）＝e ＞0，h （1e ）=e 1e e 2−1＜0，故存在x 0∈(1e ，1)使得h （x 0）＝0，即x 02e x 0+lnx 0=0． ∴x 0ex 0=−1x 0lnx 0=1x 0ln 1x 0=ln 1x 0e ln 1x 0．令λ（x ）＝xe x ，在（0，+∞）上，λ′（x ）＝（x +1）e x ＞0，所以λ（x ）在（0，+∞）上递增，∴x 0=ln 1x 0．而在（0，x 0）上，h （x ）＜0，即g ′（x ）＜0，所以g （x ）在（0，x 0）上递减；在（x 0，+∞）上，h （x ）＞0，即g ′（x ）＞0，故g （x ）在（x 0，+∞）上递增．所以g （x ）min ＝g （x 0）=e x 0−lnx 0x 0−1x 0=e ln1x 0−−x 0x 0−1x=1，∴a ≤1．所以a 的取值范围是（﹣∞，1]． 一、选择题22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =tt+1，y =2t+1t+1（t 为参数），曲线C 2的参数方程为{x =2+2cosαy =2sinα（α为参数），以坐标原点为极点．x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的极坐标方程；（Ⅱ）射线θ1=β(0＜β＜π2)与曲线C 2交于O ，P 两点，射线θ2=π2+β与曲线C 1交于点Q ，若△OPQ 的面积为1，求|OP |的值．【分析】（Ⅰ）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（Ⅱ）利用点到直线的距离公式的应用和三角函数关系式的恒等变换及正弦型函数的性质的应用及三角形的面积公式的应用求出结果．解：（Ⅰ）曲线C 1的参数方程为{x =tt+1，y =2t+1t+1（t 为参数），转换为直角坐标方程为：x ﹣y +1＝0．曲线C 2的参数方程为{x =2+2cosαy =2sinα（α为参数），转换为直角坐标方程为x 2+y 2﹣4x＝0，根据{x =ρcosθy =ρsinθ，转换为极坐标方程为ρ＝4cos θ．（Ⅱ）由于ρ＝4cos θ，设点P （4cos β，β），由于直线C 1的极坐标方程为ρcos θ﹣ρsin θ+1＝0． 得到Q （1cosβ+sinβ，π2+β），所以S △POQ =12×4cosθ×1cosβ+sinβ=1，解得cos β＝sin β，所以β=π4， 所以|OP |＝4cos β=2√2． [选修4-5：不等式选讲] 23．已知a ，b ，c 为正实数．（Ⅰ）若a +b +c ＝1，证明：(1a −1)(1b −1)(1c−1)≥8；（Ⅱ）证明：ab+c +ba+c+ca+b≥32．【分析】（Ⅰ）直接利用基本不等式即可得证；（Ⅱ）通过变形，再利用柯西不等式直接证明即可．【解答】证明：（Ⅰ）(1a −1)(1b−1)(1c−1)=1−a a⋅1−b b⋅1−c c=b+c a⋅a+c b⋅a+b c≥2√bca⋅2√ac b ⋅2√abc=8，当且仅当“a＝b＝c”时取等号；（Ⅱ）ab+c +ba+c+ca+b=(a+b+cb+c−1)+(a+b+ca+c−1)+(a+b+ca+b−1)=12[(b+c)+(a+c)+(a+b)](1b+c+1a+c+1a+b)−3≥12(√b+c⋅b+c +√a+ca+c+√a+b⋅a+b)2−3=12×32−3=32，当且仅当“a＝b＝c”时取等号．。
2020年河北省高考数学(理科)模拟试卷(5)
现取其中 k（k∈N* 且 k≥2）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数
为 ξ1，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为
ξ2
（ 1）运用概率统计的知识，若 E（ ξ1）＝ E（ξ2），试求关于 k 的函数关系式 p＝f（k）；
（ 2）若 p 与抗生素计量 xn 相关，其中 x1， x2，……， xn（ n≥ 2）是不同的正实数，满足
检验结果为阴性， 则这 k 份的血液全为阴性， 因而这 k 份血液样本只要检验一次就够了； 如果检验结果为阳性，为了明确这 k 份血液究竟哪几份为阳性，就要对这 k 份再逐份检
验，此时这 k 份血液的检验次数总共为 k+1 次．假设在接受检验的血液样本中，每份样 本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的， 且每份样本是阳性结果的概率为 p（ 0＜ p＜1）
A ．﹣ 2+i
B ．2﹣ i
C．﹣ 2﹣i
D． 2+i
【解答】 解：由（﹣
2﹣ i） z＝ |3+4i |＝ 5，得
z=
5 -2-??
=
5(-2+??) (-2-??)(-2+??)
= -2 + ?，?
∴ ??= -2 - ?．?
故选： C．
3．（ 5 分）一个棱长为 2 的正方体被一个平面截去部分后，余下部分的三视图如图所示，则
的最小值．
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2020 年河北省高考数学（理科）模拟试卷（ 5）
参考答案与试题解析
一．选择题（共 12 小题，满分 60 分，每小题 5 分）
1．（ 5 分）已知集合 A＝ { x|x2﹣ 5x+6≤ 0} ， B＝ { x∈Z |1＜ x＜ 5} ，则 A∩ B＝（
河北省2020年高考理科数学预测试题及答案
河北省2020年高考理科数学预测试题及答案（满分150分，考试时间120分钟）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1. 已知集合A=2{|lg },{|230}A x y x B x x x ===--<，则AB =A.(0,3)B.(-1,0)C.(,0)(3,)-∞+∞ D.(-1,3)2. 若(x-i)i=y+2i,其中x,y 是实数，i 为虚数单位，则复数x+yi= A.-2+i B.2+i3.1-2i D.1+2i 3. 设函数2sin cos ()(,0)x x xf x a R a ax+=∈≠，若(2019)2f -=，(2019)f = A. 2 B. -2C. 2019D. -20194. 等差数列{n a }的前n 项和为n S ，若82a =,798S =，则 A. 16B. 14C. 12D. 105. 已知,m n 是两条不重合的直线，,αβ是两个不重合的平面，下列命题正确的是 A. 若m α，m β，n α∥，n β∥，则αβ B. 若m n ∥，m α⊥，n β⊥，则αβC. 若m n ⊥，m α⊂，n β⊂，则αβ⊥D. 若m n ⊥，m α，n β⊥，则αβ⊥6. 已知平面区域1Ω：220,0,20,x y x y y -+≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，2Ω：229x y +≤，则点1(,)P x y ∈Ω是2(,)P x y ∈Ω的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7. 已知函数()lg(1)f x x =+，记0.2(5)a f =，0.2(log 3)b f =，(1)c f =，则,,a b c 的大小关系为 A. a c b << B. c b a <<C. c a b <<D. c b a <<8.展开式中倒数第二项与倒数第三项的系数互为相反数，则展开式中各项的二项式系数之和等于A. 16B. 32C. 64D. 1289. 已知四棱锥P ABCD -的三视图如图所示，则四棱锥P ABCD -外接球的表面积是A. 20πB.1015πC. 25πD. 22π10. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，直线l 经过点F 且与双曲线的一条渐近线垂直，直线l 与双曲线的右支交于不同两点A ，B ，若3AF FB =，则该双曲线的离心率为C.332 D. 311. 设12,F F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得1260F PF ∠=，3OP b =（O 为坐标原点），则该双曲线的离心率为A.43C.7612. 已知定义在R 上的奇函数()f x 满足当BC AP λ=时，()()[)[)12log 1,0,113,1,x x f x x x ⎧+∈⎪=⎨⎪--∈+∞⎩，则关于x 的函数()y f x a =-，（10a -<<）的所有零点之和为 A. 21a - B. 21a --C. 12a --D. 12a -二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020届河北省衡水中学高三高考押题理科数学试卷含答案
河北衡水中学2020年高考押题试卷理数试卷第Ⅰ卷一、选择题：本题共12个小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数122z =--，则||z z +=（ ） A．122-- B．122i -+ C．122+ D．122- 2.集合2{|30}A x x x =-≤，{|lg(2)}B x y x ==-，则A B I =（ ）A ．{|02}x x ≤<B ．{|13}x x ≤<C ．{|23}x x <≤D ．{|02}x x <≤3.已知函数()cos()6f x x ωπω=-(0)ω>的最小正周期为π，则函数()f x 的图象（ ）A. 可由函数()cos 2g x π=的图象向左平移3π个单位而得 B 可由函数()cos 2g x π=的图象向右平移3π个单位而得C. 可由函数()cos 2g x π=的图象向左平移6π个单位而得D ．可由函数()cos 2g x π=的图象向右平移6π个单位而得4.已知实数x ，y 满足约束条件33,24,34120,y x y x x y ≥-⎧⎪≤+⎨⎪++≥⎩则2z x y =-的最大值为（ ）A.2 B ．3 C.4D ．55.一直线l 与平行四边形ABCD 中的两边AB ，AD 分别交于E 、F ，且交其对角线AC 于M ，若2AB AE =u u u r u u u r，3AD AF =u u u r u u u r ，AM AB AC λμ=-u u u u r u u u r u u u r (,)R λμ∈，则52μλ-=（ ）A ．12-B ．1 C.32D ．-36.在如图所示的正方向中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C 为正态分布(1,1)N -的密度曲线）的点的个数的估计值为（附：若2~(,)X N μσ，则()0.6827P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=.（ ）A.906 B ．1359 C.2718 D.34137.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图下半部分是半径为2的半圆，则该几何体的表面积是（ ）A ．808π+B ．804π+C ．808π-D ．804π- 8.已知数列{}n a 中，11a =，1n n a a n +=+.若如图所示的程序框图是用来计算该数列的第2018项，则判断框内的条件是（ ）A ．2016?n ≤B ．2017?n ≤ C.2015?n < D ．2017?n < 9.已知5件产品中有2件次品，现逐一检测，直至能确定所有次品为止，记检测的次数为ξ，则E ξ=（ ） A.3 B ．72 C.185D ．4 10.已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，点00(2)()2pM x x >是抛物线C 上一点，圆M 与线段MF 相交于点A ，且被直线2px =3|MA ，若=2，则||AF =（ ） A ．32B ．1 C.2 D ．311.若定义在R 上的可导函数()f x 满足(1)1f =，且2'()1f x >，则当3[,]22x ππ∈-时，不等式23(2cos )2sin 22xf x >-的解集为（ ） A. 4(,)33ππ B ．4(,)33ππ- C.(0,)3π D ．(,)33ππ-12.已知0x 是方程222ln 0xx ex +=的实根，则关于实数0x 的判断正确的是（ ）A ．0ln 2x ≥B ．01x e< C.002ln 0x x += D ．002ln 0x e x += 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题和第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若26()baxx+的展开式中3x 项的系数为20，则22a b +的最小值为 ． 14.已知ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若222a b c bc =+-，16bc =，则ABC ∆的面积为 ．15.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右顶点分别为A ，B 两点，点)C ，若线段AC 的垂直平分线过点B ，则双曲线的离心率为 ． 16.已知下列命题：①命题“x R ∀∈，235x x +<”的否定是“x R ∃∈，235x x +<”； ②已知p ，q 为两个命题，若“p q ∨”为假命题，则“()()p q ⌝∧⌝为真命题”；③“2015a >”是“2017a >”的充分不必要条件； ④“若0xy =，则0x =且0y =”的逆否命题为真命题 其中，所有真命题的序号是 .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.设n S 为数列{}n a 的前n 项和，且11a =，1(2)(1)n n na n S n n +=+++，*n N ∈. （1）证明：数列{1}nS n+为等比数列； （2）求12n n T S S S =+++L .18.如图所示，四棱锥A BCDE -，已知平面BCDE ⊥平面ABC ，BE EC ⊥，6BC =，43AB =,30ABC ∠=︒.（1）求证：AC BE ⊥；（2）若二面角B AC E --为45︒，求直线AB 与平面ACE 所成角的正弦值.19.某中学为了解高一年级学生身高发育情况，对全校700名高一年级学生按性别进行分层抽样检查，测得身高（单位：cm ）频数分布表如表1、表2. 表1：男生身高频数分布表表2：女生身高频数分布表（1）求该校高一女生的人数；（2）估计该校学生身高在[165,180)的概率；（3）以样本频率为概率，现从高一年级的男生和女生中分别选出1人，设X 表示身高在[165,180)学生的人数，求X 的分布列及数学期望.20. ABC ∆中，O 是BC 的中点，||32BC =其周长为632+，若点T 在线段AO 上，且||2||AT TO =. （1）建立合适的平面直角坐标系，求点T 的轨迹E 的方程；（2）若M ，N 是射线OC 上不同的两点，||||1OM ON ⋅=，过点M 的直线与E 交于P ，Q ，直线QN 与E 交于另一点R ，证明：MPR ∆是等腰三角形.21. 已知函数2()xf x e x a =-+，x R ∈，曲线()y f x =的图象在点(0,(0))f 处的切线方程为y bx =. （1）求函数()y f x =的解析式；（2）当x R ∈时，求证：2()f x x x ≥-+；（3）若()f x kx >对任意的(0,)x ∈+∞恒成立，求实数k 的取值范围.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，曲线1C ：2cos ρθ=，曲线2C ：(cos 4)cos ρρθθ=⋅+⋅.以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系xOy ，曲线C的参数方程为12,2x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.（1）求1C ，2C 的直角坐标方程；（2）C 与1C ，2C 交于不同四点，这四点在C 上的排列顺次为H ，I ，J ，K ，求||||||HI JK -的值. 23. 选修4-5：不等式选讲. 已知a ，b 为任意实数.（1）求证：42242264()a a b b ab a b ++≥+；（2）求函数4224()|2(16)|f x x a a b b =-+--332|(221)|x a b ab +-+-的最小值.参考答案及解析理科数学一、选择题1-5:CADBA 6-10:BBBBB 11、12：DC二、填空题13.2 14.② 三、解答题17.解：（1）因为11n n n a S S ++=-，所以1()(2)(1)n n n n S S n S n n +-=+++，即12(1)(1)n n nS n S n n +=+++，则1211n n S Sn n+=⨯++， 所以112(1)1n n S S n n ++=++，又1121S+=，故数列{1}n S n+为等比数列.（2）由（1）知111(1)221n nn S S n -+=+⋅=，所以2n n S n n =⋅-，故2(12222)(12)nn T n n =⨯+⨯++⋅-+++L L . 设212222nM n =⨯+⨯++⋅L ， 则231212222n M n +=⨯+⨯++⋅L ，所以212222n n M n +-=+++-⋅=L 11222n n n ++--⋅，所以1(1)22n M n +=-⋅+，所以1(1)(1)222n nn n T n ++=-⋅+-.18.解：（1）ABC ∆中，应用余弦定理得222cos 2AB BC AC ABC AB BC+-∠=g 2=解得AC = 所以222AC BC AB +=， 所以ACBC ⊥.因为平面BCDE ⊥平面ABC ，平面BCDE I 平面ABC BC =，BC AC ⊥，所以AC ⊥平面BCDE ，又因为BE ⊂平面BCDE ， 所以AC BE ⊥.（2）由（1）AC ⊥平面BCDE ，CE ⊂平面BCDE ， 所以AC CE ⊥. 又因为BCAC ⊥，平面ACE I 平面ABC AC =，所以BCE ∠是平面EAC 与平面BAC 所成的二面角的平面角，即45BCE ∠=︒. 因为BE EC ⊥，AC BE ⊥， 所以BE ⊥平面ACE .所以BAE ∠是AB 与平面ACE 所成的角. 因为在Rt ACE ∆中，sin 4532BE BC =︒=，所以在Rt BAE ∆中，6sin BE BAE AB ∠==. 19.解：（1）设高一女学生人数为x ，由表1和表2可得样本中男、女生人数分别为40，30，则7004030x x -=，解得300x =.即高一女学生人数为300.（2）由表1和表2可得样本中男女生身高在[165,180)的人数为5141363142+++++=，样本容量为70.所以样本中该校学生身高在[165,180)的概率为423705=. 因此，可估计该校学生身高在[165,180)的概率为35.（3）由题意可得X 的可能取值为0，1，2.由表格可知，女生身高在[165,180)的概率为13，男生身高在[165,180)的概率为45. 所以412(0)(1)(1)5315P X ==-⨯-=，41419(1)(1)(1)535315P X ==-+-⨯=，414(2)5315P X ==⨯=.所以X 的分布列为：所以9417()012151515E X =+⨯+⨯=. 20.解：（1）以BC 所在直线为x 轴，O 为坐标原点，建立平面直角坐标系，则||||6||AB AC BC +=>， 所以点A 的轨迹是以B ，C 为焦点的椭圆.所以26a =，232c =所以3a =，2c =， 所以22292ba c =-=， 所以点A 的轨迹方程为221(0)992x y y +=≠. 设(,)T x y ，点T 在线段AO 上，且||2||AT TO =，所以(3,3)A x y ，代入221992x y +=，整理可得点T 的轨迹E 的方程是221(0)12y x y +=≠. （2）证明：设(,0)(0)M m m >，由||||1OM ON ⋅=得1(,0)N m，11(,)P x y ，22(,)Q x y ，33(,)R x y .由题意，直线QM 不与坐标轴平行，11QM y k x m =-，直线QM 的方程为11()y y x m x m=--.与椭圆方程联立，消去y ，得22211(12)2(1)m mx x m x x +---+222111(2)0mx x m x --=.所以2221111221212mx x m x x x m mx --=+-，同理222111131221212mx x m x x x x x m mx --==+-， 所以23x x =，或10x =. 当23x x =时，PR x ⊥轴.当10x =时，2221m x m =+，322212211()1mmx x m m⋅===++，PR x ⊥轴， 所以||||MP MR =， 所以MPR ∆是等腰三角形.21. 解：（1）根据题意，得'()2xf x e x =-，则'(0)1f b ==. 由切线方程可得切点坐标为(0,0)，将其代入()y f x =，得1a =-，故2()1x f x e x =--.（2）令2()()1xg x f x x x e x =+-=--. 由'()10xg x e =-=，得0x =，当(,0)x ∈-∞，'()0g x <，()y g x =单调递减； 当(0,)x ∈+∞，'()0g x >，()y g x =单调递增. 所以min ()(0)0g x g ==，所以2()f x x x ≥-+. （3）()f x kx >对任意的(0,)x ∈+∞恒成立等价于()f x k x>对任意的(0,)x ∈+∞恒成立. 令()()f x x x ϕ=，0x >，得2'()()'()xf x f x x xϕ-==22(2)(1)x x x e x e x x ----=2(1)(1)x x e x x ---. 由（2）可知，当(0,)x ∈+∞时，10xex -->恒成立，令'()0x ϕ>，得1x >；令'()0x ϕ<，得01x <<.所以()y x ϕ=的单调增区间为(1,)+∞，单调减区间为(0,1)，故min ()(1)2x e ϕϕ==-，所以min ()2k x e ϕ<=-.所以实数k 的取值范围为(,2)e -∞-.22.解：（1）因为cos x ρθ=，sin y ρθ=，由2cos ρθ=，得22cos ρρθ=，所以1C 的直角坐标方程为22(1)1x y -+=.由(cos 4)cos ρρθθ=⋅+⋅，得22sin4cos ρθρθ=，所以曲线2C 的直角坐标方程为24y x =.（2）不妨设四点在C 上的排列顺序由下而上依次为H ，I ，J ，K ，它们对应的参数分别为，1234,,,t t t t ，如图.连接1C J ，则1C IJ ∆为正三角形，所以||1IJ =，故||||||||||||||HI JK HI IK IJ -=-+=1414|||||1||()1|t t t t -+=-++.把1 2,23 2x ty t⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入24y x=，得23824t t=-，即238320t t+-=，故1483t t+=-，所以11||||||3HI JK-=.23. 解：（1）42242264()a ab b ab a b++-+=2222222()4()4a b ab a b a b+-++⋅=222(2)a b ab+-4()a b=-，因为4()0a b-≥，所以42242264()a ab b ab a b++≥+.（2）4224()|2(16)|f x x a a b b=-+--332|(221)|x a b ab+-+-=4224|2(16)|x a a b b-+--+ 33|22(221)|x a b ab-+-≥33|[22(221)]x a b ab-+--4224[2(16)]|x a a b b-+--=4|()1|1a b-+≥.即max()1f x=.。
2020年河北省衡水中学高考(理科)数学临考模拟试卷 (解析版)
2020年河北省衡水中学高考（理科）数学临考模拟试卷一、选择题（共12小题）.1．若复数z满足1+zi＝0，i是虚数单位，则z＝（）A．﹣1B．1C．i D．﹣i2．集合，B＝{x|x2+x﹣6＞0}，则A∪B＝（）A．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）B．（3，+∞）C．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣3）∪（1，2）∪（2，+∞）3．已知，，则tanα＝（）A．2B．C．1D．4．在边长为3，4，5的三角形内部任取一点P，则点P到三个顶点距离都大于1的概率为（）A．B．C．D．5．《吕氏春秋•音律篇》记载了利用“三分损益”制定关于“宫、商、角、徵、羽”五音的方法，以一段均匀的发声管为基数“宫”，然后将此发声管均分成三段，舍弃其中的一段保留二段，这就是“三分损一”，余下来的三分之二长度的发声管所发出的声音就是“徵”；将“徵”管均分成三份，再加上一份，即“徵”管长度的三分之四，这就是“三分益一”，于是就产生了“商”；“商”管保留分之二，“三分损一”，于是得出“羽”；羽管“三分益一”，即羽管的三分之四的长度，就是角”．如果按照三分损益律，基数“宫”发声管长度为1，则“羽”管的长度为（）A．B．C．D．6．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积是（）A．32B．36C．72D．807．在的展开式中，含项的系数等于（）A．98B．42C．﹣98D．﹣428．函数f（x）＝的部分图象大致为（）A．B．C．D．9．已知直四棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱）ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，且BD＝DD1＝AC，则异面直线AD1与DC1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．10．已知O为坐标原点，A、F分别是双曲线C：＝1，（a＞0，b＞0）的右顶点和右焦点，以OF为直径的圆与一条渐近线的交点为P（不与原点重合），若△OAP的面积S△OAP满足，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．11．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A：cos B：cos C＝6a：3b：2c，则cos C等于（）A．B．C．D．12．已知函数f（x）＝，若函数y＝f（x）﹣ax恰有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（）A．[1，4）B．（﹣1，16）C．（﹣1，0]∪[1，16）D．{0}∪[1，4）二、填空题（共4小题）.13．若球O的球心到其内接长方体三个不同侧面的距离为1，2，3，则球O表面积为．14．已知圆x2+y2＝1与抛物线y2＝2px（p＞0）交于A，B两点，与抛物线的准线交于C，D两点，且坐标原点O是AC的中点，则p的值等于．15．函数f（x）＝sinωx（ω＞0）的图象向右平移个单位得到函数y＝g（x）的图象，且f（x）与g（x）的图象关于点对称，那么ω的最小值等于．16．已知向量，，满足，，且，则的取值范围是．三、解答题：解答应写岀文字说眀、证明过程或演算步骤．17．已知各项均为正数的等比数列{a n}与等差数列{b n}满足a1＝b1＝2，a5＝b31＝32，记c n ＝，（n∈N*）．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）求数列{c n}的前n项和T n．18．2020年2月，为防控新冠肺炎，各地中小学延期开学．某学校积极响应“停课不停学”政策，在甲、乙两班分别开展了H、G两种不同平台的线上教学尝试，经过一段时间的试用，从两班各随机调查了20个同学，得到了对两种线上平台的评价结果如表：评价结果差评一般好评甲班5人10人5人乙班2人8人10人（1）假设两个班级的评价相互独立，以事件发生频率作为相应事件发生的概率，若从甲乙两班中各随机抽取一名学生，求甲班学生的评价结果比乙班学生的评价结果“更好”的概率；（2）根据对两个班的调查，完成列联表，并判断能否有99%的把握认为评价是否“差评”与线上平台有关．差评好评或一般总计H平台G平台总计附：，n＝a+b+c+d．P（K2≥k0）0.0500.0100.001 k0 3.841 6.63510.82819．如图，在三棱锥D﹣ABC中，AB⊥BD，BC⊥CD，M，N分别是线段AD，BD的中点，MC＝1，，二面角D﹣BA﹣C的大小为60°．（1）证明：平面MNC⊥平面BCD；（2）求直线BM和平面MNC所成角的余弦值．20．已知椭圆左、右焦点分别为F1，F2，且满足离心率，，过原点O且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆C于M，N两点．（1）求椭圆C的方程；（2）设点A（2，1），求△AMN面积的最大值．21．已知函数f（x）＝（x+2）lnx+ax2（a为常数）在x＝1处的切线方程为y＝4x﹣．（1）求a的值，并讨论f（x）的单调性；（2）若f（x1）+f（x2）＝1，求证：x1x2≤1．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l1：x﹣y﹣2＝0，曲线C：（φ为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线l1与曲线C的极坐标方程；（2）若直线l2的极坐标方程为θ＝α（ρ∈R），直线l2与直线l1交于点A，与曲线C交于点O与点B，求的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x﹣1|﹣|x+1|．（1）解不等式f（x）≤4；（2）记函数y＝f（x）+3|x+1|的最小值为m，正实数a，b满足a+b＝m，试求的最小值．参考答案一、选择题（共12小题）.1．若复数z满足1+zi＝0，i是虚数单位，则z＝（）A．﹣1B．1C．i D．﹣i【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：由1+zi＝0，得．故选：C．2．集合，B＝{x|x2+x﹣6＞0}，则A∪B＝（）A．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）B．（3，+∞）C．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣3）∪（1，2）∪（2，+∞）【分析】可以求出集合A，B，然后进行并集的运算即可．解：∵A＝（1，+∞），B＝（﹣∞，﹣3）∪（2，+∞），∴A∪B＝（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）．故选：C．3．已知，，则tanα＝（）A．2B．C．1D．【分析】由已知利用诱导公式可求sinα的值，利用同角三角函数基本关系式，即可求解cosα，tanα的值．解：∵，，∴，∴tanα＝2．故选：A．4．在边长为3，4，5的三角形内部任取一点P，则点P到三个顶点距离都大于1的概率为（）A．B．C．D．【分析】根据题意，结合图形分析可得点P到三个顶点距离小于1的区域面积为三个扇形面积之和，求出其面积，计算三角形的面积，由几何概型公式计算可得答案．解：根据题意，在△ABC中，BC＝3，AB＝4，AC＝5，点P到三个顶点距离小于3的区域面积为三个扇形面积之和，即S＝×π＝，则点P到三个顶点距离都大于1的概率P＝；故选：B．5．《吕氏春秋•音律篇》记载了利用“三分损益”制定关于“宫、商、角、徵、羽”五音的方法，以一段均匀的发声管为基数“宫”，然后将此发声管均分成三段，舍弃其中的一段保留二段，这就是“三分损一”，余下来的三分之二长度的发声管所发出的声音就是“徵”；将“徵”管均分成三份，再加上一份，即“徵”管长度的三分之四，这就是“三分益一”，于是就产生了“商”；“商”管保留分之二，“三分损一”，于是得出“羽”；羽管“三分益一”，即羽管的三分之四的长度，就是角”．如果按照三分损益律，基数“宫”发声管长度为1，则“羽”管的长度为（）A．B．C．D．【分析】根据三分损益原理计算即可．解：按照三分损益原理，故选：A．6．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积是（）A．32B．36C．72D．80【分析】由三视图还原原几何体，该几何体为两个长方体的组合体，其中每个长方体的底面是边长为2的正方形，高为4．则其表面积可求．解：由三视图还原原几何体如图，则其表面积为S＝（40﹣4）×2＝72．故选：C．7．在的展开式中，含项的系数等于（）A．98B．42C．﹣98D．﹣42【分析】先求出（﹣）8的通项公式，再分类求出含项的系数．解：∵（﹣）8的通项公式为T r+1＝••（﹣）r＝（﹣1）r••x，令﹣8＝﹣5得r＝2；令﹣4＝﹣2得r＝4；故选：D．8．函数f（x）＝的部分图象大致为（）A．B．C．D．【分析】求出函数的定义域，判断函数的奇偶性，利用对称性和函数值的对应性进行排除即可．解：由|x|﹣2≠0得x≠±2，f（﹣x）＝﹣f（x），即f（x）为奇函数，图象关于原点对称，可排除选项B、D，故选：A．9．已知直四棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱）ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，且BD＝DD1＝AC，则异面直线AD1与DC1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【分析】由，得∠DAC＝30°，求出∠DAB＝60°，推导出∠AD1G（或补角）即为异面直线AD1与DC1所成的角，由此能求出异面直线AD1与DC1所成角的余弦值．解：由，得∠DAC＝30°，所以∠DAB＝60°，所以AD＝DD1，．则∠AD1G（或补角）即为异面直线AD1与DC1所成的角，利用勾股定理求出，所以异面直线AD1与DC1所成角的余弦值为．故选：B．10．已知O为坐标原点，A、F分别是双曲线C：＝1，（a＞0，b＞0）的右顶点和右焦点，以OF为直径的圆与一条渐近线的交点为P（不与原点重合），若△OAP的面积S△OAP满足，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【分析】由，可得：，即，利用e＝即可求解．解：如图，可得OA＝a，OF＝c，∠OPF＝90°，tan，由，可得FP•FO cos∠POA＝×，∴，即可得，∴e4＝2，e＝．故选：D．11．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A：cos B：cos C＝6a：3b：2c，则cos C等于（）A．B．C．D．【分析】由已知结合正弦定理进行化简后，再结合两角和的正切公式进行化简即可求解．解：由，利用正弦定理得，即6tan A＝3tan B＝2tan C，代入，所以．故选：D．12．已知函数f（x）＝，若函数y＝f（x）﹣ax恰有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（）A．[1，4）B．（﹣1，16）C．（﹣1，0]∪[1，16）D．{0}∪[1，4）【分析】易知x＝0是y＝f（x）﹣ax的一个零点，则f（x）＝ax有两个不为零的不同实根，即与y＝a的图象有两个不为零的不同交点，作出函数h（x）的图象，即可求出实数a的取值范围．解：（1）当x＝0时，y＝f（0）﹣0＝0，所以x＝0是y＝f（x）﹣ax的一个零点；即f（x）＝ax有两个不为零的不同实根，又h（x）＝＝，所以当x＜0时，h1′（x）＞0，h1（x）单调递增；令，x≥1，则，当x∈（3，+∞）时，h2′（x）＜0，h2（x）单调递减，故选：D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13．若球O的球心到其内接长方体三个不同侧面的距离为1，2，3，则球O表面积为56π．【分析】由球的截面性质得出长方体的三条棱长，从而得球半径，可计算出面积．解：由题意长方体相邻的三条棱长为2，4，6，外接球直径等于长方体对角线，所以，故答案为：．14．已知圆x2+y2＝1与抛物线y2＝2px（p＞0）交于A，B两点，与抛物线的准线交于C，D两点，且坐标原点O是AC的中点，则p的值等于．【分析】设出A的坐标，代入圆的方程，求解P即可．解：圆x2+y2＝1与抛物线y2＝2px（p＞0）交于A，B两点，与抛物线的准线交于C，D 两点，且坐标原点O是AC的中点，代入圆的方程，解得．故答案为：．15．函数f（x）＝sinωx（ω＞0）的图象向右平移个单位得到函数y＝g（x）的图象，且f（x）与g（x）的图象关于点对称，那么ω的最小值等于6．【分析】由题意，利用函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，求得ω的最小值解：由图象平移规律，可知，由f（x）与g（x）的图象关于点对称，化简，得恒成立，所以正数ω的最小值为6，故答案为：6．16．已知向量，，满足，，且，则的取值范围是[﹣7，7]．【分析】将已知条件中的等式变形为，两边平方，再结合平面向量数量积的运算，化简整理后可推出+2+1≤+2+，即，从而得解．解：因为，所以，等式两边平方，得①．所以≤•，即+2+3≤25+2+25，所以．故答案为：[﹣6，7]．三、解答题：解答应写岀文字说眀、证明过程或演算步骤．17．已知各项均为正数的等比数列{a n}与等差数列{b n}满足a1＝b1＝2，a5＝b31＝32，记c n ＝，（n∈N*）．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）求数列{c n}的前n项和T n．【分析】（1）利用已知条件求出数列的通项公式．（2）利用裂项相消法求出数列的和．解：（1）因为{a n}各项为正数，设{a n}的公比为q，（q＞0），{b n}的公差为d，所以，b n＝n+1．所以＝．18．2020年2月，为防控新冠肺炎，各地中小学延期开学．某学校积极响应“停课不停学”政策，在甲、乙两班分别开展了H、G两种不同平台的线上教学尝试，经过一段时间的试用，从两班各随机调查了20个同学，得到了对两种线上平台的评价结果如表：评价结果差评一般好评甲班5人10人5人乙班2人8人10人（1）假设两个班级的评价相互独立，以事件发生频率作为相应事件发生的概率，若从甲乙两班中各随机抽取一名学生，求甲班学生的评价结果比乙班学生的评价结果“更好”的概率；（2）根据对两个班的调查，完成列联表，并判断能否有99%的把握认为评价是否“差评”与线上平台有关．差评好评或一般总计H平台G平台总计附：，n＝a+b+c+d．P（K2≥k0）0.0500.0100.001 k0 3.841 6.63510.828【分析】（1）根据相互独立事件的概率计算公式，即可求出对应的概率值；（2）由题意填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论．解：（1）记A1表示事件：甲班抽取的学生评价结果为“好评”；A2表示事件：甲班抽取的学生评价结果为“一般”；B2表示事件：乙班抽取的学生评价结果为“差评”；因为两个班级的评价相互独立，所以．差评好评或一般总计H平台51520G平台21820总计73340计算得，所以没有99%的把握认为评价是否“差评”与线上平台有关．19．如图，在三棱锥D﹣ABC中，AB⊥BD，BC⊥CD，M，N分别是线段AD，BD的中点，MC＝1，，二面角D﹣BA﹣C的大小为60°．（1）证明：平面MNC⊥平面BCD；（2）求直线BM和平面MNC所成角的余弦值．【分析】（1）先计算出NC和MN的长度，再结合勾股定理可证得MN⊥NC；由中位线的性质可得MN∥AB，而AB⊥BD，故MN⊥BD；然后利用线面垂直和面面垂直的判定定理即可得证．（2）根据二面角的定义可证得∠CBD为二面角D﹣BA﹣C的平面角，即∠CBD＝60°．法一：以B为原点，BC、BA为x、y轴，建立空间直角坐标系，逐一写出B、C、M、N的坐标，根据法向量的性质求得平面MNC的法向量，设直线BM和平面MNC所成角为θ，则sinθ＝|cos＜，＞|，再利用同角三角函数的平方关系即可得解．法二：取CN的中点E，连接BE，由面面垂直的性质定理可证得BE⊥平面MNC，故∠BME为直线BM和平面MNC所成的角，在Rt△ABD中，求得sin∠BME，再利用同角三角函数的平方关系即可得解．【解答】（1）证明：在Rt△BCD中，N是斜边BD的中点，∴．∵M、N分别是AD、BD的中点，∴MN∥AB，，∵AB⊥BD，MN∥AB，∴MN⊥BD，∵MN⊂平面MNC，∴平面MNC⊥平面BCD．又AB⊥BD，∴∠CBD为二面角D﹣BA﹣C的平面角，即∠CBD＝60°，以B为坐标原点，BC为x轴，BA为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，∴，，．设平面MNC的法向量，则，即，设直线BM和平面MNC所成角为θ，∵θ∈[0，]，故直线BM和平面MNC所成角的余弦值等于．又AB⊥BD，∴∠CBD为二面角D﹣BA﹣C的平面角，即∠CBD＝60°，又∵平面MNC⊥平面BCD，平面MNC∩平面BCD＝NC，∴∠BME即为直线BM和平面MNC所成的角．∴，故直线BM和平面MNC所成角的余弦值等于．20．已知椭圆左、右焦点分别为F1，F2，且满足离心率，，过原点O且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆C于M，N两点．（1）求椭圆C的方程；（2）设点A（2，1），求△AMN面积的最大值．【分析】（1）利用椭圆的离心率以及焦距，求解c，a，然后求解b，得到椭圆方程．（2）设直线l的方程为y＝kx（k≠0），由，求出弦长MN，求出A到直线l的距离，推出三角形的面积的表达式，然后求解最大值即可．解：（1）由题意可知，，根据，得a＝4，b＝4，（2）设直线l的方程为y＝kx（k≠0），得，，＝．所以＝，当k＜0时，，当且仅当时，等号成立，所以S△AMN的最大值为．21．已知函数f（x）＝（x+2）lnx+ax2（a为常数）在x＝1处的切线方程为y＝4x﹣．（1）求a的值，并讨论f（x）的单调性；（2）若f（x1）+f（x2）＝1，求证：x1x2≤1．【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数的几何意义可求a，结合导数与单调性关系即可求解；（2）结合结论lnx≤x﹣1，构造函数g（x）＝f（x）+f（）﹣1，结合导数可得出f（x1），然后结合f（x1）+f（x2）＝1，及f（x）在（0，+∞）上单调性即可证明．解：（1），由题意可得，f′（5）＝3+2a＝4，解可得a＝，令m（x）＝lnx+x++4，则＝，故m（x）＝f′（x）＞f′（1）＞0恒成立，（2）设n（x）＝lnx﹣x+1，则，当x＝1时，n（x）取得最大值n（1）＝0，令g（x）＝f（x）+f（）﹣1＝（x+2）lnx+﹣（4+）lnx+，设h（x）＝（1+）lnx，则＝＞0，故当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，所以g（x）≥g（1）＝5，即f（x）+f（）﹣1≥0，当x＝1时等号成立，所以4﹣f（x2）≥1﹣f（）即f（x2）≤f（），所以x6≤，即x1x2≤7．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l1：x﹣y﹣2＝0，曲线C：（φ为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线l1与曲线C的极坐标方程；（2）若直线l2的极坐标方程为θ＝α（ρ∈R），直线l2与直线l1交于点A，与曲线C交于点O与点B，求的最大值．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用转换关系，把三角函数关系式的变换和函数的性质的应用求出结果．解：（1）因为x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，所以直线l1的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ＝2，即．将x2+y2＝ρ2，x＝ρcosθ代入上式，得ρ2＝8ρcosθ．（2）因为直线l2：θ＝α，则A（ρ1，α），B（ρ4，α），所以＝．所以当时，取得最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x﹣1|﹣|x+1|．（1）解不等式f（x）≤4；（2）记函数y＝f（x）+3|x+1|的最小值为m，正实数a，b满足a+b＝m，试求的最小值．【分析】（1）利用零点分段．再分段解不等式即可；（2）利用绝对值不等式求解最小值为m，利用“乘1”法即可求解的最小值解：（1）依题意得f（x）＝，由不等式f（x）≤3；解得﹣2≤x≤﹣1，或，或．（2）由y＝f（x）+3|x+1|＝|7x﹣1|+|2x+2|≥|（2x﹣1）﹣（5x+2）|＝3，即a+b＝3即当且仅当且a+b＝3，即a＝1，b＝2时取等号，所以的最小值为．。
2020年河北省高考数学(理科)模拟试卷(4) 含详细答案解析
号中的某一个．以上只有一个人猜对，则第一名应该是（
）
A ．1
B．2
C． 3
D．4
5．（ 5 分）已知函数 { an} 的前 n 项和满足 Sn＝2n+1﹣ 1，则数列 { an} 的通项公式为（
）
A ．an＝ 2n
B． an＝ 2n
3 ，??= 1 C． an= { 2 ??，??≥ 2
3，??= 1 D． an= {
朱（世杰）四大家” ，朱世杰就是其中之一．朱世杰是一位平民数学家和数学教育家．朱
世杰平生勤力研习《九章算术》 ，旁通其它各种算法，成为元代著名数学家．他全面继承
了前人数学成果，既吸收了北方的天元术，又吸收了南方的正负开方术、各种日用算法
及通俗歌诀，在此基础上进行了创造性的研究，写成以总结和普及当时各种数学知识为
70%，2015
年开始全面实施“精准扶贫”政策后，扶贫效果明显提高，其中
2019 年度实施的扶贫项
目，各项目参加户数占比 （参加户数占 2019 年贫困总户数的比） 及该项目的脱贫率见表：
实施项目
种植业
养殖业
工厂就业
参加占户比
45%
45%
10%
脱贫率
96%
96%
90%
那么 2019 年的年脱贫率是实施“精准扶贫”政策前的年均脱贫率的（
D．?
2．（ 5 分）复数 z＝（ 1+2 i ） 2（ i 为虚数单位）的共轭复数 ?在? 复平面内对应的点在（
）
A ．第一象限
B ．第二象限
C．第三象限
D ．第四象限
??2 ??2
3．（ 5 分）已知焦点在 y 轴上的双曲线 C1 的焦距为 10√2 ，且与双曲线 C2： -
2020年河北省张家口市高考数学模拟试卷(理科)(A卷)(全国Ⅰ卷) (含答案解析)
2020年河北省张家口市高考数学模拟试卷(理科)(A卷)(全国Ⅰ卷)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.i为虚数单位，复数2ii+1的共轭复数为()A. 1−iB. 1+iC. 1−12i D. 1+12i2.已知集合A={x|x≥0,x∈R}，B={x|x2+2x−3≥0,x∈R}，则(∁R A)∩B=()A. (−∞,0)∪[1，+∞)B. (−∞,−3]C. [1,+∞)D. [−3,0)3.某商场一年中各月份收入、支出的统计数据如图，下列说法中错误的是A. 8月份的利润最低B. 7至9月份的平均收入为50万元C. 2至5月份的利润连续下降D. 1至2月份支出的变化率与10至11月份支出的变化率相同4.已知0<a<b<1<c，则()A. a b>a aB. log c a>log c bC. c a<c cD. log b c>log b a5.从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，两数和为奇数的概率为()A. 15B. 25C. 35D. 3106.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=f(x−2)，且当x∈(−2,0)时，f(x)=log2(x+3)+a，若f(13)=2f(7)+1，则a=()A. −43B. −34C. 43D. 347.双曲线x2a2−y2b2=1 (a>0, b>0)的离心率为√3，则其渐近线方程为()A. y=±√2xB. y=±√3xC. y=±√22x D. y=±√32x8. 如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是( )A. 16 B. 2524 C. 34 D. 11129. 已知a ⃗ =(1,2)，b ⃗ =(3,4)，(a ⃗ +2b ⃗ )⊥(λa ⃗ −b ⃗ )，则λ=( )A. −6127B. 6127C. −12D. 1210. 已知函数f(x)=sin 2x +sin 2(x +π3)，则f(x)的最小值为( )．A. 12B. 14C. √34D. √2211. 某圆锥的侧面展开图是一个圆心角为23π，面积为π3的扇形，则该圆锥的外接球的表面积为( )A. 27√2π64B.27π16C. 9π8D. 3π212. 点P 在抛物线x 2=4y 上，F 为抛物线焦点，|PF|=5，以P 为圆心|PF|为半径的圆交x 轴于A ，B 两点，则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A. 9B. 12C. 18D. 32二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 命题：“∃x ∈R ，x 2−ax +1<0”的否定为______． 14. 若直线y =x +t 与曲线y =e x 相切，则t = ______ ． 15. 对于函数f(x)={sinπx,x ∈[0,2]12f(x −2),x ∈(2,+∞)，有下列5个结论：①任取x 1，x 2∈[0,+∞)，都有|f(x 1)−f(x 2)|≤2； ②函数y =f(x)在区间[4,5]上单调递增；③f(x)=2kf(x +2k)(k ∈N +)，对一切x ∈[0,+∞)恒成立； ④函数y =f(x)−ln(x −1)有3个零点；⑤若关于x 的方程f(x)=m(m <0)有且只有两个不同实根x 1，x 2，则x 1+x 2=3． 则其中所有正确结论的序号是______.(请写出全部正确结论的序号)16. 已知△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，√3a ⋅cosB =b ⋅sinA.若cosA =17，|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√129，则△ABC 的面积为________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.数列{a n}是等差数列，a1=f(x+1)，a2=0，a3=f(x−1)，其中f(x)=x2−4x+2.(1)求通项公式a n；}的前n项和S n．(2)若数列{a n}为递增数列，令b n=a n+1+a n+2+a n+3+a n+4，求数列 { 1b n b n+1AD，四边形ABCD是直角梯18.如图，在四棱锥P−ABCD，PA⊥平面ABCD，PA=AB=BC=12形中，．(1)求证：CD⊥平面PAC；(2)求二面角A−PD−C的余弦值．19. 已知椭圆E ：x 2a 2+y23=1(a >√3)的离心率e =12． (1)求椭圆E 的方程；(2)斜率k =1的直线交椭圆于A 、B ，交y 轴于T(0,t)，当弦|AB|=247，求t 的值．20. 甲、乙两人进行一次象棋比赛，每局胜者得1分，负者得0分(无平局)，约定一方得4分时就获得本次比赛的胜利并且比赛结東，设在每局比赛中，甲获胜的概率为35，乙获胜的概率为25，各局比赛结果相互独立，已知前3局中，甲得2分，乙得1分． (1)求乙获得这次比赛胜利的概率；(2)设X 表示从第4局开始到比赛结束所进行的局数，求X 的分布列及数学期望．21.已知函数．(1)求f(x)的单调区间；(2)证明：lnx>1e x −34x2．22.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为{x=√2ty=t2(t为参数).以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsinθ=4，M为曲线C2上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|⋅|OP|=16.(Ⅰ)求点P的轨迹C3的直角坐标方程；(Ⅱ)设C1与C3的交点为A，B，求△AOB的面积．23.已知函数f(x)=|x−1|−2|x|(Ⅰ)求不等式f(x)≤−6的解集；(Ⅱ)若f(x)的图象与直线y=a围成图形的面积不小于14，求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．直接由复数代数形式的乘除运算化简复数2i1+i得到代数形式，则可求其共轭复数．解：2i1+i =2i(1−i)(1−i)(1+i)=1+i，其共轭复数为1−i．故选A．2.答案：B解析：解：集合A={x|x≥0,x∈R}，B={x|x2+2x−3≥0,x∈R}={x|x≤−3或x≥1，x∈R}=(−∞,−3]∪[1,+∞)，∴∁R A={x|x<0,x<R}=(−∞，0)，∴(∁R A)∩B=(−∞,−3]．故选：B．化简集合B，根据交集与补集的定义计算即可．本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．3.答案：C解析：解：对于选项A：利润=收入−支出，从折线图可知8月份利润为10万元，最低，故选项A 正确；对于选项B：7至9月份的平均收入为40+50+603=50，故选项B正确；对于选项C：2月份的利润为20万元，3月份的利润为30万元，4月份的利润为20万元，5月份的利润为20万元，不是连续下降，故选项C错误；对于选项D：1至2月份支出的变化量为60−30=30，10至11月份支出的变化率为50−20=30，变化量相同，故选项D正确，根据一年中各月份收入、支出的统计数据，逐个分析选项，即可判断出正误．本题主要考查了简单的合情推理，是基础题．4.答案：C解析：本题考查了不等式的基本性质和指数函数和对数函数的性质，属于基础题．根据不等式的基本性质和指数函数和对数函数的性质即可判断．解：因为0<a<b<1<c，所以a b<a a，故A错误；log c a<log c b，故B错误；构造函数f(x)=c x(c>1)，因为a<c，所以c a<c c，故C正确；log b c<log b a，故D错误．故选C．5.答案：C解析：本题考查的知识点是古典概型，解决问题的步是：计算满足条件的基本事件个数，及基本事件的总个数，然后代入古典概型计算公式进行求解．由已知中，从1，2，3，4，5中任取2个不同数，我们可以求出所有的基本事件的个数，再求出满足条件两个数的和为奇数的基本事件个数，代入古典概型公式，即可求出答案．解：从1，2，3，4，5任取两数的基本事件，共有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)共10种其中和为奇数的基本事件共有：(1,2)，(1,4)，(2,3)，(2,5)，(3,4)，(4,5)共6种，故从1，2，3，4，5中任取2个不同数作和，则和为奇数的概率P=610=35故选C．解析：【试题解析】解：根据题意，函数f(x)满足f(x+2)=f(x−2)，则有f(x+4)=f(x)，即函数的周期为4，故f(13)=f(1)，f(7)=f(−1)，若f(13)=2f(7)+1，则有f(1)=2f(−1)+1，又由函数f(x)为奇函数，则有−f(−1)=2f(−1)+1，变形可得f(−1)=−13，又由当x∈(−2,0)时，f(x)=log2(x+3)+a，则有log22+a=a+1=−13，解可得a=−43；故选：A．根据题意，分析可得函数的周期为4，进而可得f(13)=f(1)，f(7)=f(−1)，据此可得f(13)=2f(7)+1，则有f(1)=2f(−1)+1，结合函数的周期性可得f(−1)=−13，结合函数的解析式可得答案．本题考查函数的周期性与奇偶性的应用，注意分析函数的周期，属于基础题．7.答案：A解析：本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力，属于基础题．利用双曲线的离心率，这求出a，b的关系式，然后求渐近线方程．解：∵双曲线的离心率为e=ca=√3，则ba =√b2a2=√c2−a2a2=√(ca)2−1=√3−1=√2，∴双曲线的渐近线方程为y=±√2x．故选A．8.答案：D解析：本题考查了程序框图的应用问题，是基础题目．模拟程序图框的运行过程，得出当n=8时，不再运行循环体，直接输出S值．解：模拟程序图框的运行过程，得；该程序运行后输出的是计算S=12+14+16=1112．故选：D．9.答案：B解析：本题考查向量的数量积，向量的坐标运算，比较基础．根据题意可得(a⃗+2b⃗ )⊥(λa⃗−b⃗ )，利用坐标运算即可．解：因为a⃗=(1,2)，b⃗ =(3,4)，则a⃗+2b⃗ =(7,10)，λa→−b→=(λ−3,2λ−4)，因为(a⃗+2b⃗ )⊥(λa⃗−b⃗ )，所以7(λ−3)+10(2λ−4)=0，解得λ=6127．故选B．10.答案：A解析：本题考查三角恒等变换以及三角函数的图象与性质，属于中档题．先根据三角恒等变换化简f(x)，再根据三角函数的性质，即可得到答案．解：=1−cos2x2+1+12cos2x+√32sin2x2，所以f(x)最小值为12．故选A．11.答案：C解析： 【试题解析】本题考查了圆锥的侧面积、球的表面积，先分别求得圆锥的母线长、圆锥的底面半径、圆锥的高，故可求得外接球的半径，由球的表面积公式可得答案 解：设圆锥的母线长为l ，则侧面积S =12×2π3l 2=π3，所以l =1． 设圆锥的底面半径为r ，则2πr =2π3l ，所以r =13， 所以圆锥的高ℎ=√l 2−r 2=√12−(13)2=2√23，因为ℎ>r ，所以球心在圆锥的高上.设外接球的半径为R ，由R 2=(ℎ−R)2+r 2，得R 2=(2√23−R)2+(13)2，解得R =3√28， 所以球的表面积为4πR 2=4π×(3√28)2=9π8．故选C12.答案：C解析：本题考查抛物线的焦半径公式，考查圆的方程，向量数量积的坐标运算，属于中档题．利用抛物线的焦半径公式，求得P 点坐标，即可求得圆P ，当y =0，即可求得A 和B 坐标，根据向量数量积的坐标运算，即可求得答案． 解：抛物线x 2=4y 的焦点F(0,1)，设P(x,y)，由抛物线的焦半径公式|PF |=y +p2，即y +1=5，则y =4，x =±4， 假设P(4,4)，则圆的方程为(x −4)2+(y −4)2=25， 令y =0，解得：x =1或x =7，则A(1,0)，B(7,0)，则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,4)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(6,0)， AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =3×6+4×0=18， 故选：C ．13.答案：∀x ∈R ，x 2−ax +1≥0．解析：本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的关系，属于基础题． 直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可． 解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题：“∃x ∈R ，x 2−ax +1<0”的否定是：∀x ∈R ，x 2−ax +1≥0； 故答案为∀x ∈R ，x 2−ax +1≥0．14.答案：1解析：解：设切点为(x 0,y 0)，则y 0=e x 0， ∵y′=(e x )′=e x ，∴切线斜率k =e x 0， 又点(x 0,y 0)在直线上，代入方程得y 0=t +x 0， 由e x 0=1，解得x 0=0，y 0=1， ∴t =1． 故答案为：1．设切点为(x 0,y 0)，求出导数，求出切线斜率，利用切点在直线上，代入方程，即可得到结论． 本题考查切线方程，考查导数的几何意义，考查学生的计算能力，属于中档题．15.答案：①④⑤解析：解：f(x)={sinπx, x ∈[0,2]12f(x −2),x ∈(2,+∞)的图象如图所示：①∵f(x)的最大值为1，最小值为−1，∴任取x 1、x 2∈[0,+∞)，都有|f(x 1)−f(x 2)|≤2恒成立，故①正确；②函数在区间[4,5]上的单调性和[0,1]上的单调性相同，则函数y =f(x)在区间[4,5]上不单调；故②错误；③f(12)=2f(12+2)=4f(12+4)=6f(12+6)≠8f(12+8)，故不正确；故③错误，④如图所示，函数y =f(x)−ln(x −1)有3个零点；故④正确，⑤当1≤x ≤2时，函数f(x)关于x =32对称，若关于x 的方程f(x)=m(m <0)有且只有两个不同实根x 1，x 2， 则x 1+x 22=32，则x 1+x 2=3成立，故⑤正确，故答案为：①④⑤．作出f(x)={sinπx, x ∈[0,2]12f(x −2),x ∈(2,+∞)的图象，分别利用函数的性质进行判断即可．本题主要考查命题的真假判断，涉及函数的性质，利用分段函数的表达式，作出函数的图象，利用数形结合是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．16.答案：10√3解析：本题考查正余弦定理及平面向量的数量积运算及三角形面积公式，属于中档题目．先利用正弦定理得出B ，再由正弦定理得出a ，最后由平面向量的数量积运算及三角形面积公式求解即可．解：由正弦定理及√3a ⋅cosB =b ⋅sinA ，，∵sinA ≠0， ∴tanB =√3， ∵B 是三角形内角， ∴B =60°， ∵cosA =17，，∴sinC =sin(A +B)=sinAcosB +cosAsinB =4√37×12+17×√32=5√314， 由正弦定理可得，则，∴a =85c ，∵|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√129∴|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2−2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=129， ∴a 2+ac +c 2=129， ∴6425c 2+85c 2+c 2=129，即c 2=25， 解得c =5， ∴a =8，∴三角形ABC 的面积为．故答案为10√3．17.答案：解：(1)a 1=f(x +1)=(x +1)2−4(x +1)+2=x 2−2x −1, a 3=f(x −1)=(x −1)2−4(x −1)+2=x 2−6x +7， ∵ 数列{a n }是等差数列，∴ 2a 2=a 1+a 3． 即2x 2−8x +6=0解得x =1或x =3．x =1时，a 1=−2，a 2=0，由此可求处a n =2n −4； x =3时，a 1=2,a 2=0，由此可求处a n =4−2n ． (2)∵ {a n }为递增数列∴ d >0∴ a n =2n −4 ∴ b n =a n+1+a n+2+a n+3+a n+4=8n +4，1b n b n+1=116(2n +1)(2n +3)=132(12n+1−12n+3)，S n =132[(13−15)+(15−17)+(17−19) +⋯+(12n −1−12n +3)]=132(13−12n+3)=196−164n+96．解析：本题主要考查等差数列的性质和数列的求和．(1)根据条件和等差数列的性质，求出a1,a2，进而写出数列的通项公式；(2)根据(1)的结论，求出b n=8n+4,再进一步求出1b n b n+1=132(12n+1−12n+3)，利用裂项求和进一步求出S n．18.答案：(1)证明：∵PA⊥平面ABCD，∴CD⊥PA．又∵AB=BC，∠ABC=90°，∴AC=√2AB，过C作CE//AB，交AD于E，则CE=AB=BC=DE，∠CED=90°，∴CD=√2AB 在△ACD中，AC2+CD2=4AB2=AD2，∴CD⊥AC．又∵PA∩AC=A，∴CD⊥平面PAC．(2)解：∵CE⊥AD，CE⊥PA，∴CE⊥平面PAD．过E作EF⊥PD于F，连结CF，得CF⊥PD∴∠GHC是二面角A−PD−C的平面角．设AD=2，则PA=AB=CE=DE=1，DP=√5．∵△PAD∽△DEF，∴EFPA =DEDP，∴EF=√5．∴CF=√CE2+EF2=√1+15=√306，∴cos∠CFE=EFCF =√66．∴二面角A −PD −C 的余弦值为√66．解析：(1)过C 作CE//AB ，交AD 于E ，由已知条件利用勾股定理求出CD ⊥AC ，由此能证明CD ⊥平面PAC ．(2)由已知条件求出CE ⊥平面PAD ，过E 作EF ⊥PD 于F ，连结CF ，得到∠GHC 是二面角A −PD −C 的平面角，同此能求出二面角A −PD −C 的余弦值．本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．19.答案：解：(1)由e =12=√a2−3a得：a =2 则椭圆方程为x 24+y 23=1；(2)设直线为y =x +t ，代入椭圆方程得：x 24+(x+t)23=1，化简得：7x 2+8tx +4t 2−12=0， 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， ∴x 1+x 2=−8t 7，x 1⋅x 2=4t 2−127∴|AB|=√1+k 2|x 1−x 2|=√2⋅4√21−3t 27=247，解得t 2=1， 则t =±1解析：本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，椭圆方程的求法，弦长公式的应用，考查转化思想以及计算能力．(1)直接利用椭圆的方程以及离心率，求出a.即可求椭圆E 的方程； (2)设出斜率k =1的直线方程与椭圆联立，通过弦长公式|AB|=247，即可求t 的值．20.答案：解：记乙获胜为事件M ，若再比赛三局，此时乙连胜三局;或再比赛四局，此时甲在从第4局开始的前三局中胜1局，其余的乙胜，所以P(M)=(25)3+C 3135(25)3=8125+72625=112625． (2)x 可能的取值为：2，3，4x =2时，只能是甲连胜两局最终甲赢得比赛，故P(x =2)=(35)2=925，x =3时，可能是甲获胜或乙获胜，若甲获胜，则在前2局中乙胜1局：若乙获胜，则乙连胜3局，故P(x =3)=C 2125×(35)2+(25)3=36125+8125=44125，X =4时，若甲获胜，则在前3局中乙胜2局;若乙获胜，则在前3局中甲胜1局，故P(x =4)=C 32(25)2×(35)2+C 3235×(25)3=108625+72625=180625=36125，所以X 的分布列为 X 2 34P 925 44125 36125E(X)=2×925+3×44125+4×36125=90+132+144125=366125．解析：本题考查相互独立事件的概率计算，考查随机变量的概率分布列和数学期望，属于中档题⋅在计算概率时，要注意事件发生的各种可能情形，即注意分类讨论．(1)乙获胜有两种情况：若再比赛三局，此时乙连胜三局;或再比赛四局，此时甲在从第4局开始的前三局中胜1局，其余的乙胜，由独立事件的概率公式可计算;(2)X 可能的取值为2，3，4，注意可能是甲胜，也可能是乙获胜.分别计算可得概率分布列，再由期望公式计算出期望．21.答案：(1)解：f′(x)=2xln x +x =x(2ln x +1)，(x >0)令f′(x)=0，得x =e −12；令f′(x)>0，得x >e −12；令f′(x)<0，得0<x <e −12， 故f(x)在(0,e −12)上单调递减，在上单调递增．(2)证明：由(1)知当x =e −12时，f(x)取最小值，设ℎ(x)=x 2ex −34(x >0)，则ℎ′(x)=−x(x−2)e x，ℎ(x)在(0,2)上单调递增，在(2,+∞)上单调递减， ∴ℎ(x)max =ℎ(2)=4e 2−34． ∵−12e −(4e 2−34)=34−12e −4e 2=3e 2−2e−164e 2=(3e−8)(e+2)4e 2>0，∴f(x)min >ℎ(x)max ，，故．解析：本题考查了利用导数研究函数的单调性、最值及导数中的函数不等式，属于中档题． (1)对函数f(x)求导，研究导函数的正负，即可得f(x)的单调区间； (2)由(1)知f(x)取最小值，设ℎ(x)=x 2ex −34(x >0)，研究函数ℎ(x)的单调性，求得ℎ(x)的最值，由题意得f(x)min >ℎ(x)max ，即可得证得结论．22.答案：解：(Ⅰ)根据题意，设M(ρ0,θ0)，P(ρ,θ)，则|OM|=ρ0，|OP|=ρ，易知ρ≠0．由题意，得{ρρ0=16ρ0sinθ0=4θ=θ0，解得ρ=4sinθ．故轨迹C 3的直角坐标方程为x 2+(y −2)2=4(y ≠0)．(Ⅱ)将参数方程曲线C 1的参数方程为{x =√2ty =t 2(t 为参数)，转化为普通方程为y =x 22． 联立{x 2+(y −2)2=4(y ≠0)y =x 22，可得A(2,2)，B(−2,2)．所以|AB|=4，所以S △AOB =12×2×|AB|=4．解析：本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，抛物线和圆的位置关系的应用，极径的应用，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．(Ⅰ)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． (Ⅱ)利用抛物线和圆的位置关系的应用及三角形的面积公式的应用求出结果．23.答案：解：(Ⅰ)f(x)≤−6，即{x ≥1x −1−2x ≤−6或{0<x <11−x −2x ≤−6或{x ≤01−x +2x ≤−6， 解得：x ≥5或x ≤−7，故不等式的解集是{x|x ≥5或x ≤−7}； (Ⅱ)f(x)={−x −1,x ≥1−3x +1,0<x <1x +1,x ≤0，画出函数f(x)的图象，如图示：，×4×3=6，S△ADE=12若f(x)的图象与直线y=a围成图形的面积不小于14，(−2a+4)⋅(−a−2)≥14−6，则S ABCD=12解得：a≤−2√3，故a的取值范围为(−∞,+2√3)．解析：(Ⅰ)通过讨论x的范围，得到关于x的不等式组，解出即可；(Ⅱ)画出函数f(x)的图象，结合图象得到关于a的不等式，解出即可．本题考查了解绝对值不等式问题，考查数形结合思想，分类讨论思想，是一道中档题．。
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30 0.05 40 0.05 50 0.2 60 0.3 70 0.2 80 0.15 90 0.05 62
方案（ 1）平均日工资约为： 50 62 3 236
方案（ 2 ）平均日工资约为： 100 62 44 5 190
可知方案（ 2 ）平均日工资低于方案（ 1）平均日工资
故骑手应选择方案（ 1）
B. 若 m∥ n ， m ， n ，则
的 C. 若m n，m
，n
，则
D. 若 m n ， m ， n ，则
6. 已知平面区域
2x y 2 0,
1 ： x y 0,
， 2 ： x 2 y2 9 ，则点 P( x, y )
y 2 0,
1 是 P( x, y)
A. 充分不必要条件 C. 充分必要条件
B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
16. 数列 { an} 的首项为 1，其余各项为 1 或 2，且在第 k 个 1 和第 k 1个 1 之间有 2k 1个 2，即数
列 { an} 为： 1， 2， 1， 2， 2， 2， 1， 2， 2， 2， 2， 2， 1，…，记数列 { an} 的前 n 项和为 Sn ，则
S2019 __________ ．（用数字作答）
gt
令G x
ln x 1
fx gx
4 ，则 G ' x
1 f ' x g x f x g' x
x1
gx 2
f x g' x , gx 2
易知 f x 0 在 1, 上恒成立，所以 G ' x 0 ， G x 在 1, 上单调递增，且 G 0 0 .
①当 0 a 4 时， g t 1 1 g 0 ，由 g x 在 1,
2的
7. 已知函数 f ( x) lg( x 1) ，记 a f (50.2 ) ， b f (log 0.2 3) ， c f (1) ，则 a, b,c 的大小关系为
A. b c a
B. a b c
C. c a b
D. c b a
8.
展开式中倒数第二项与倒数第三项的系数互为相反数，
则
项的二项式系数之和等于
3
(1) 随机选取一天，估计这一天该连锁店的骑手的人均日快递业务量不少于
65 单的概率；
(2) 若骑手甲、乙选择了日工资方案 (1) ，丙、丁选择了日工资方案 (2) ．现从上述 4 名骑手中随
机选取 2 人，求至少有 1 名骑手选择方案 (1) 的概率；
(3) 若仅从人均日收入的角度考虑， 请你利用所学的统计学知识为新聘骑手做出日工资方
x
已知函数 f x e2
x ，其中
e 为自然对数的底数
.
4
（1）设函数 g x x 1 f ' x （其中 f ' x 为 f x 的导函数），判断 g x 在 1,
性；
上的单调
（ 2）若函数 F x ln x 1 af x 4在定义域内无零点，试确定正数 a 的取值范围 .
4
（二）选考题（共 10 分。请考生在第 22、 23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计 分。）
得x
1 kπ
π， k
Z，
2 12
由于 x [0， ] ，令 k 1，
得 x 5π； 12
令 k 2 ，得 x 11π． 12
所以， f (x) 在 [0， ] 上的零点为 5π， 11π． 12 12
（ 2）由 x [
， ] ，则 2x
π [
π ,
2π ]
．
44
6 33
所以， 3 ≤ sin(2x π) ≤ 1 ，
23． [ 选修 4— 5：不等式选讲 ] （10 分）
设函数
(1) 求不等式
解集；
(2) 关于 x 的不等式
在实数范围内有解，求实数 a 的取值范围。
5
参考答案
一、选择题
1.A 2.B 3.B 4.A 5.B 6.B 7.A 8.A 9.B 10.A 11.D 12.B
二、填空题
13. 8 14.
从第 45 单开始，每完成一单提成 5 元．该快餐连锁店记录了每天骑手的人均业务量．现随机抽取
100 天的数据，将样本数据分为 [25 ， 35）， [35 ， 45) ， [45 ， 55) ， [55 ， 65) ， [65 ， 75) ， [75 ， 85) ，
[85 ， 95] 七组，整理得到如图所示的频率分布直方图。
2 ， f (2019)
A. 2
B. -2
C. 2019 D. -2019
4. 等差数列 { a n } 前 n 项和为 Sn ，若 a8 2 , S7 98 ，则
A. 16
B. 14
5. 已知 m, n 是两条不重合的直线，
C. 12
D. 10
, 是两个不重合的平面，下列命题正确的是
A. 若 m ， m ， n∥ ， n∥ ，则
∴ a2 b2 2
a2
3
∴ a2 3b2
∴椭圆方程为 x2 3 y2 3b2 ，
∴Ｆ的坐标为 ( 2b,0)
∴AB： y x 2b 与 x2 3 y2 3b2 联立得： 4 x2 6 2bx 3b 2 0
设 A( x1, y1 ) ， B (x2, y2) ， N ( x0 , y0 )
∴ x0
1 ( x1
三、解答题
7
15.
4
1
16.3993
2
17. （ 1） f (x) 3 sin 2x 1 cos2 x 1 cos2 x 3 sin 2 x ，
2
2
2
2
π 3sin 2 x cos2 x 2sin(2 x ) ．
6
令 f ( x)
0 ，即 sin(2 x
π )
0，
6
则 2x π kπ， k Z ， 6
展开式中各
1
A. 16
B. 32
C. 64
D. 128
9. 已知四棱锥 P ABCD 的三视图如图所示，则四棱锥 P ABCD 外接球的表面积是
A. 20
B. 101 5
C. 25
D. 22
10. 已知双曲线 x2 a2
y2 b2
1(a
0,b
0) 的右焦点为 F ，直线 l 经过点 F 且与双曲线的一条渐近线垂
（ 2）设事件 B 为“从四名骑手中随机选取 2 人，至少有 1名骑手选择方案（ 1）”
从四名新聘骑手中随机选取
2 名骑手，有
C
2 4
6 种情况
6
65 单”
其中至少有 1名骑手选择方案（
1）的情况有：
C
12C
1 2
C22
5 种情况
PB 5 6
（ 3）由频率分布直方图可知：快餐店人均日快递量的平均数为：
x
e2
x ，则 f ' x
4
1
x
e2
1 ， gx
24
x 1 f' x
x
1 x
1 2e2
1，
4
x
x
1
g' x 1 e2 x 3 1 1 2e2 1 1 2e 2 1 0 ， g x 在 1,
4
4
4
上单调递增 .
（ 2）由 F x ln x 1 af x 4 知 F ' x
1 af ' x x1
a 1 gx ， x 1a
二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。）
13. 已知 a 1,2 ， b 4, k ，若 a 2b / / 3a b ，则 k ______ ．
2
14. 在 x3
8
1 的展开式中， CF 2x
3， PC 2的系数为 ______．
15. 设 ABC 的外心 P 满足 AP 1 ( AB AC ) ，则 cos∠BAC __________ ． 3
A.(0,3) B.(-1,0) C.
( ,0) (3, ) D.(-1,3)
2. 若 (x-i)i=y+2i, 其中 x,y 是实数， i 为虚数单位，则复数 x+yi=
A.-2+i B.2+i 3.1-2i D.1+2i
3. 设函数 f ( x)
sin x x cos x
ax 2
(a
R, a
0) ，若 f ( 2019)
22． [ 选修 4— 4：坐标系与参数方程 ] （ 10 分）
在平面直角坐标系中， 直线的参数方程为
（为参数） . 以坐标原点 为极点， 轴的正
半轴为极轴建立极坐标系，已知圆
的极坐标方程为
（ 1）求直线的普通方程以及圆 的直角坐标方程；
（ 2）若点 在直线上，过点 作圆 的切线 ，求 的最小值 .
17～ 21 题为必考题，每个
（ 2）求 f ( x) 在 [ ， ] 上的取值范围． 44
18. （本小题满分 12 分）
某快餐连锁店招聘外卖骑手，该快餐连锁店提供了两种日工资方案：方案
(1) 规定每日底薪 50
元，快递业务每完成一单提成 3 元；方案 (2) 规定每日底薪 100 元，快递业务的前 44 单没有提成，
x2)
32 b，
32
y0
b 2b
2 b
2
4
4
4
∴ k0 N
y0
1
x0
3
（2）由（Ⅰ）知 x12 3 y12 3b2 ，
x2 2
3
y
2 2
3b2
由平面向量基本定理得：存在实数