第三章 三角恒等变换小结

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解：(1)因为 a＝(1＋sin2x，sinx－cosx)，b＝(1，sinx＋cosx)，所 π 以 f(x)＝1＋sin2x＋sin x－cos x＝1＋sin2x－cos2x＝ 2sin(2x－ )＋1. 4
2 2
π π 3 当 2x－ ＝2kπ＋ ，即 x＝kπ＋ π(k∈Z)时，f(x)取得最大值 2＋1. 4 2 8 8 3 (2)由 f(θ)＝1＋sin2θ－cos2θ 及 f(θ)＝ ，得 sin2θ－cos2θ＝ ，两 5 5 9 16 π π 边平方，得 1－sin4θ＝ ，即 sin4θ＝ ，则 cos2( －2θ)＝cos( －4θ) 25 25 4 2 16 ＝sin4θ＝ . 25
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【例 3】 已知向量 a＝(1＋sin2x，sinx－cosx)，b＝(1， sinx＋cosx)，函数 f(x)＝a·b. (1)求 f(x)的最大值及相应的 x 的值； 8 π (2)若 f(θ)＝ ，求 cos2( －2θ)的值． 5 4
思路分析：(1)将函数 f(x)的解析式化为 y＝Asin(ωx＋ 8 π φ)(A>0， ω>0)的形式； (2)由 f(θ)＝ 求得 sin4θ 的值， 化简 cos2( 4 5 －2θ)．
答案：C
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【例 2】 cos(2α＋β)．
2 10 π π 已知 sinα＝ ，sinβ＝ 且 0<α< ，0<β< ，求 10 10 2 2
π π 7 2 3 10 解：∵0<α< ，0<β< ，∴cosα＝ ，cosβ＝ . 10 10 2 2 2 7 2 7 ∴sin2α＝2sinαcosα＝2× × ＝ ， 10 10 25 22 1 24 cos2α＝1－2sin α＝1－2×( ) ＝1－ ＝ . 10 25 25 ∴cos(2α＋β)＝cos2αcosβ－sin2αsinβ
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本 章 小结
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知识体系
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一、三角公式的灵活应用 三角恒等变换是本章的核心内容，实际上，本章的所有 公式都是在母公式 C(α－β)的基础上通过恒等变换得到的． 因此 熟练掌握第一个公式的来龙去脉，再熟悉各个公式之间的内 在联系，才能记得准，记得快，当然用的时候还需要突出一 个“活”字，即掌握公式的正用、逆用、变形使用等灵活应 用公式的技巧．
2
24 3 10 7 10 13 10 － · ＝ . ＝ · 25 10 25 10 50
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二、三角函数与向量的综合 三角函数与平面向量相结合是近几年来的高考亮点，它 常常包括向量与三角函数化简、求值与证明的结合，向量与 三角函数的图象与性质的结合等几个方面．此类题目所涉及 向量的知识往往比较基础，所涉及的三角函数往往是讨论三 角函数的图象与性质．
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三、利用三角变换解决三角函数的性质 1 【例 4】 (2010·山东高考)已知函数 f(x)＝ sin2xsinφ＋ 2 1 π π 1 2 cos xcosφ－ sin( ＋φ)(0<φ<π)，其图象过点( ， )． 2 2 6 2 (1)求 φ 的值； (2)将函数 y＝f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的 1 ，纵坐标不变，得到函数 y＝g(x)的图象，求函数 g(x)在[0， 2 π ]上的最大值和最小值． 4
思路分析： 画出函数 y＝ 3sinx＋cosx(x∈[0,2π])的图象， 利用函数 y＝a 与 y＝ 3sinx＋cosx(x∈[0,2π])的图象有两个 不同交点求解．
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解：∵ 3sinx＋cosx＝a，
π ∴a＝2sinx＋6，其中 x∈[0,2π]． π 画出函数 f(x)＝2sinx＋6，x∈[0,2π]的图象，如下图所
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【例 1】 则
(2010·山东高考)已知 ) 2 3 B. 5
π 4 3 cosα－6＋sinα＝ ， 5
7 sinα＋6π的值是(
2 3 A．－ 5
4 C．－ 5
4 D. 5
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π 4 3 解析：∵cosα－6＋sinα＝ ， 5
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1 1 π 2 解：(1)因为 f(x)＝ sin2xsinφ＋cos xcosφ－ sin( ＋φ)(0<φ<π)， 2 2 2 1＋cos2x 1 1 1 1 所以 f(x)＝ sin2xsinφ＋ cosφ－ cosφ＝ sin2xsinφ＋ 2 2 2 2 2 1 1 cos2xcosφ＝ (sin2xsinφ＋cos2xcosφ)＝ cos(2x－φ)．又函数图象过 2 2 π 1 点( ， )， 6 2 π π 1 1 所以 ＝ cos(2× －φ)，即 cos( －φ)＝1. 2 2 6 3 π 又 0<φ<π，所以 φ＝ . 3
示，
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由已知方程 3sinx＋cosx＝a 在[0,2π]上恰有两个不同的 实数解．即函数
π f(x)＝2sinx＋6，x∈[0,2π]的图象与直线
y
＝a 有两个不同的交点， 结合图象易得 a 的取值范围为(－2,1)∪(1,2)．
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四、数形结合思想的应用 在解决三角函数方面的问题时，三角函数的图象是不可 缺少的工具，大多数题目都要画出所涉及三角函数的草图， 然后结合图象去解决，所以数形结合思想在解决三角函数问 题上有着广泛的应用．
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【例 5】 若方程 3sinx＋cosx＝a 在[0,2π]上恰有两个不 同的实数解，求 a 的取值范围．
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1 π (2)由(1)知 f(x)＝ cos(2x－ )，将函数 y＝f(x)的图象上各点的 2 3 1 横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变，得到函数 y＝g(x)的图象，可 2 1 π 知 g(x)＝f(2x)＝ cos(4x－ )， 2 3 π 因为 x∈[0， ]，所以 4x∈[0，π]， 4 π 2π 1 π π 因此 4x－ ∈[－ ， ]，故－ ≤cos(4x－ )≤1. 3 3 3 2 3 π 1 1 所以 y＝g(x)在[0， ]上的最大值和最小值分别为 和－ . 4 2 4
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π π 4 3 3 3 ∴cosαcos ＋sinαsin ＋sinα＝ ，即 cosα＋ sinα＝ 6 6 5 2 2 4 3 ， 5
π 4 3 π 4 ∴ 3sinα＋6＝ ，∴sinα＋6＝ ， 5 5 7 π 4 ∴sinα＋6π＝－sinα＋6＝－ . 5