【数学】3.2《一元二次不等式及其解法》教案(新人教A版必修5)(2课时)

课题: §3.2一元二次不等式及其解法

第1课时

授课类型：新授课 【教学目标】

1．知识与技能：理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握图象法解一元二次不等式的方法；培养数形结合的能力，培养分类讨论的思想方法，培养抽象概括能力和逻辑思维能力；

2．过程与方法：经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函数图象探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系，获得一元二次不等式的解法；

3．情态与价值：激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想。 【教学重点】

从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；一元二次不等式的解法。 【教学难点】

理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系。 【教学过程】

1.课题导入

从实际情境中抽象出一元二次不等式模型： 教材P84互联网的收费问题

教师引导学生分析问题、解决问题，最后得到一元二次不等式模型：

2

50x x -< (1)

2.讲授新课

1）一元二次不等式的定义

象250x x -<这样，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式

2）探究一元二次不等式250x x -<的解集

怎样求不等式（1）的解集呢？

探究：

（1）二次方程的根与二次函数的零点的关系 容易知道：二次方程的有两个实数根：120,5x x ==

二次函数有两个零点：120,5x x ==

于是，我们得到：二次方程的根就是二次函数的零点。 （2）观察图象，获得解集

画出二次函数2

5y x x =-的图象，如图，观察函数图象，可知： 当 x<0，或x>5时，函数图象位于x 轴上方，此时，y>0,即2

50x x ->； 当0

50x x -<；

所以，不等式250x x -<的解集是{}|05x x <<，从而解决了本节开始时提出的问题。

3）探究一般的一元二次不等式的解法

任意的一元二次不等式，总可以化为以下两种形式：

2

2

0,(0)0,(0)ax bx c a ax bx c a ++>>++<>或

一般地，怎样确定一元二次不等式c bx ax ++2>0与c bx ax ++2<0的解集呢？ 组织讨论：

从上面的例子出发，综合学生的意见，可以归纳出确定一元二次不等式的解集，关键要考虑以下两点：

(1)抛物线=y c bx ax ++2与x 轴的相关位置的情况，也就是一元二次方程c bx ax ++2=0的根的情况

(2)抛物线=y c bx ax ++2的开口方向，也就是a 的符号 总结讨论结果：

（l ）抛物线 =y c bx ax ++2（a> 0）与 x 轴的相关位置，分为三种情况，这可以由一元二次方程 c bx ax ++2=0的判别式ac b 42-=∆三种取值情况(Δ> 0，Δ=0，Δ<0）来确定.因此，要分二种情况讨论 （2）a<0可以转化为a>0

分Δ>O ，Δ=0，Δ<0三种情况，得到一元二次不等式c bx ax ++2>0与c bx ax ++2<0的解集

一元二次不等式()0002

2

≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集：

设相应的一元二次方程()002

≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42-=∆，

则不等式的解的各种情况如下表：(让学生独立完成课本第86页的表格)

0>∆

0=∆

0<∆

二次函数

c

bx ax

y ++=2

（0>a ）的图象

c bx ax

y ++=2

c bx ax

y ++=2

c

bx ax

y ++=2

一元二次方程

有两相异实根

)(,2121x x x x <

有两相等实根

a

b x x 221-

==

无实根

()的根

00

2

>=++a c bx ax

的解集)0(02

>>++a c bx ax

{}

2

1

x x x x x ><或⎭⎬⎫⎩

⎨⎧-≠a b x x 2

R 的解集

)0(02

><++a c bx ax

{}21

x x x

x << ∅

∅

[范例讲解]

例2 (课本第87页)求不等式01442>+-x x 的解集. 解：因为2

10144,0212

===+-=∆x x x x 的解是方程.

所以，原不等式的解集是⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧

≠

21x x 例3 (课本第88页)解不等式0322>-+-x x . 解：整理，得0322<+-x x .

因为032,02=+-<∆x x 方程无实数解， 所以不等式0322

<+-x x

的解集是∅.

从而，原不等式的解集是∅.

3.随堂练习

课本第89的练习1（1）、（3）、（5）、（7）

4.课时小结

解一元二次不等式的步骤：

① 将二次项系数化为“+”：A=c bx ax ++2

>0(或<0)(a>0) ② 计算判别式∆，分析不等式的解的情况：

ⅰ.∆>0时，求根1x <2x ，⎩⎨⎧<<<><>.

002121x x x A x x x A ，则若；

或，则若

ⅱ.∆=0时，求根1x ＝2x ＝0x ，⎪⎩

⎪

⎨⎧=≤∈<≠>.

00000x x A x A x x A ，则若；，则若的一切实数；，则若φ