高等数学(上册)教案22定积分的概念与性质
定积分的概念教案
定积分的概念教案一、教学目标：1.了解定积分的定义和计算方法；2.掌握定积分的性质和应用；3.培养学生的数学计算能力和逻辑思维能力。
二、教学内容：1.定积分的定义；2.定积分的计算方法；3.定积分的性质和应用。
三、教学重点：1.定积分的定义；2.定积分的计算方法。
四、教学难点：1.定积分的性质和应用；2.定积分与原函数的关系。
五、教学过程：Step 1 引入教师与学生展开对话，探讨学生对积分的了解：教师：同学们，你们对积分有什么了解？学生：积分就是求和。
教师：不错，积分的确是求和，但是定积分具体是什么呢？我们一起来探讨一下。
Step 2 定积分的定义教师向学生介绍定积分的定义：教师：定积分是微积分的一个重要概念，表示函数曲线与x轴之间的面积。
我们用符号∫来表示定积分，函数f(x)的定积分表示为∫f(x)dx，在积分号下面写上被积函数，dx表示自变量。
Step 3 定积分的计算方法教师通过示例向学生演示定积分的计算方法：教师：我们以函数f(x)=x^2为例，计算f(x)在区间[1,3]上的定积分。
教师在黑板上写下∫(1→3)x^2dx，并进行具体的计算步骤解释。
Step 4 定积分的性质和应用教师向学生介绍定积分的性质和应用，并通过例题进行讲解：教师：定积分具有线性性质、区间可加性和变量替换的性质，同时也可以用于计算面积、体积、质量等。
我们来看一个例题，计算函数f(x)=x在区间[-2,2]上的定积分，并解释其实际意义。
Step 5 定积分与原函数的关系教师引导学生思考定积分与原函数的关系：Step 6 总结与归纳教师与学生总结本节课的内容，并归纳出定积分的概念和性质：教师：同学们，通过本节课的学习，我们初步了解了定积分的定义、计算方法和性质。
下节课我们将进一步学习定积分的应用。
大家要做好预习哦！六、教学反思本节课通过引入、定义、示例演算等方式，使学生初步了解了定积分的概念和计算方法。
通过例题讲解，学生对定积分的应用有了基本的认识。
定积分的概念和性质积分上限函数及其导数学习教案
定积分的概念和性质积分上限函数及其导数学习教案积分的概念和性质
积分是数学中的一种重要概念，它可以用来计算定义域上函数的实际值，同时还可以用来求函数的零点。
积分的定义是：由函数f(x)在一定范围内，把函数图像所积成的面积就是积分。
根据积分的定义，可以分别将函数内、函数外的积分分为定积分和不定积分。
定积分：定积分（也称为定义积分）是在定义域的两个端点定义的定义域上的函数积分。
定积分可以看作是将函数f(x)在[a,b]上积分，这里a，b是定义域范围的两个端点。
一般地，用数学符号∫abf(x)dx表示定积分，其中a和b是积分的两个端点，x是求积分的变量，f(x)是函数的表达式。
定积分概念可以用图形简单表示，当函数f(x)在自变量x上有一个固定的定义域时，它在定义域上的图像就会组成一个定义域。
积分就是把图形容器中积累的面积。
不定积分：不定积分不需要定义两个端点来表示，只需要给出函数表达式，用积分符号表示即可。
不定积分一般表示为∫f(x)dx，可以表示由函数f(x)在它的定义域上积累的面积。
积分上限函数及其导数
积分上限函数是一种特殊的函数，它的定义域是定义域的两端点，而值域是定义域函数的值。
高等数学-定积分的概念与性质
= σ=1 ( ) .
→0
其中()称为被积函数，()称为被积表达式，称为积分变量,
[, ]称为积分区间，称为积分下限，称为积分上限．
15
02 定积分的定义
注（1）定积分)( 是一个数值，它只与被积函数()
和积分区间[, ]有关，而与积分变量的符号无关，即
(2)近似（“以直代曲”）
在区间 [−1 , ] 上任取一点 ，以 ( ) 为高，
y
y=()
以 为底，作小矩形．小矩形的面积为
( ) ，用该结果近似代替[−1 , ]上的小
O
a
x i -1 ξ i x i
b
x
曲边梯形的面积 ，即
≈ ( ) （ = 1, 2, ⋯ , ）．
)(
=
)(
=
)( ．
（2）定积分存在，与区间的分法和每个小区间内 的取法无关.
Hale Waihona Puke （3）按照定积分的定义，记号)( 中的, 应满足关系
< ，为了研究的方便，我们补充规定：
① 当 =
② 当 >
时， = )( = )( 0；
在区间 [1,2] 内， 0 ≤ < 2 < 1 ，
则( )3 < .由性质5.5的推论1，得
2
1
>
2
1 ( )3 ．
28
极限，得 σ=1 ( ) .
→0
如果对于[, ]的任意分法及小区间[−1 , ]上点 的任意
取法，上述极限都存在，则称函数()在区间[, ]上可积，
定积分的概念、性质
三、定积分的性质
§5.1 定积分的概念与性质
一、定积分问题举例
演讲人姓名
二、定积分定义
一、定积分问题举例
曲边梯形 设函数yf(x)在区间[a, b]上非负、连续. 由直线xa、xb、y0及曲线yf (x)所围成的图形称为 曲边梯形, 其中曲线弧称为曲边.
曲边梯形的面积
*
观察与思考
定积分的定义
*
二、定积分定义
例1 用定积分表示极限 解 定积分的定义
*
二、定积分定义
定积分的定义
注: 设f (x)在[0, 1]上连续, 则有
*
定积分的几何意义
这是因为 曲边梯形面积 曲边梯形面积的负值
*
定积分的几何意义
各部分面积的代数和 曲边梯形面积 曲边梯形面积的负值
*
例2
在曲边梯形内摆满小的矩形, 当小矩形的宽度减少时, 小矩形面积之和与曲边梯形面积之间的误差将如何变化? 怎样求曲边梯形的面积？
*
(2)近似代替:
求曲边梯形的面积
(1)分割:
ax0< x1< x2< < xn1< xn b, Dxi=xi-xi1;
小曲边梯形的面积近似为f(xi)Dxi (xi1<xi<xi);
如果在区间[a b]上 f (x)g(x) 则
如果在区间[a b]上 f (x)0 则
性质5
推论2
性质6
设M及m分别是函数f(x)在区间[a b]上的最大值及最小值 则
例4 试证:
证明 设 则在 上, 有 即 故 即
*
性质7(定积分中值定理)
如果函数f(x)在闭区间[a b]上连 续 则在积分区间[a b]上至少存在一个点x 使下式成立 这是因为, 由性质6 ——积分中值公式 由介值定理, 至少存在一点x[a, b], 使 两端乘以ba即得积分中值公式.
掌握定积分概念及基本性质
供需关系研究
通过定积分，可以研究市 场供需关系的变化。
投资回报分析
在金融领域，定积分可以 用来分析投资回报率的变 化。
05
掌握定积分的重要性
在数学中的地位
连接微积分两大核心概念
定积分与微积分息息相关，是微积分理论体系的重要组成部分， 掌握了定积分，就等于掌握了微积分的一半。
深化对极限概念的理解
定积分与极限概念紧密相连，掌握定积分有助于更深入地理解极限 的内涵和应用。
详细描述
牛顿-莱布尼兹公式是计算定积分的核心公式，它表示为∫baf(t)dt=F(b)-F(a)，其中∫baf(t)dt表示函数f(t) 在区间[a, b]上的定积分，F(x)表示f(t)的原函数，即满足F'(x)=f(x)的函数。该公式通过选取合适的分割和 近似方式，将定积分转化为一系列小矩形面积之和，最后求和得到定积分的值。
为后续课程奠定基础
定积分是学习复变函数、实变函数等后续课程的基础，对于数学专 业的学生来说至关重要。
在其他学科中的应用价值
物理学中的应用
在物理学中，定积分常用于计算 面积分，例如在计算电磁场、引
力场等物理量的分布时。
工程学科中的应用
在工程学科中，定积分常用于解 决与几何形状、物理量分布等有 关的实际问题，如机械工程、土
定积分的几何意义
定积分的几何意义是函数图像与x轴所夹的面积。具体来说，将定积分表示的函 数图像与x轴围成的面积，即为定积分的值。
定积分的几何意义还可以理解为曲线与x轴所夹的“曲边梯形”的面积。这个曲 边梯形的高就是函数值，底就是x轴上的区间。
定积分的物理意义
定积分的物理意义是表示某个物理量在某个时间段或某个 区间内的累积效应。例如，物体的质量分布不均匀，其质 心位置可以通过对质量分布函数进行定积分来求解。
定积分的概念与性质
定积分的概念与性质在数学中，定积分是一种重要的数学工具，用于求解曲线下的面积以及计算函数的平均值和总和。
本文将介绍定积分的概念与性质，帮助读者更好地理解和应用该概念。
一、定积分的概念定积分是微积分中的一种方法，用于计算曲线下的面积。
它是对函数在给定区间上的求和过程。
我们将一个区间划分成无穷小的小区间，并在每个小区间上选择一个点，然后将每个小区间的函数值和小区间长度相乘，再将这些乘积相加，最终得到定积分的值。
定积分的表示方法是∫[a, b] f(x)dx，其中a和b是积分区间的边界，f(x)是要进行积分的函数。
定积分代表了函数f(x)在[a, b]区间上的总和或者面积。
二、定积分的计算方法1. 用基本定积分公式计算定积分。
对于一些简单的函数，我们可以直接使用基本定积分公式进行计算。
例如，∫x^2 dx = 1/3x^3 + C，其中C是常数。
2. 使用不定积分和积分区间上的定义进行计算。
如果我们已知函数f(x)在区间[a, b]上的原函数F(x)，那么定积分的值就等于F(b) - F(a)。
这是因为定积分可以看作是函数在两个边界上的累积变化量。
3. 利用定积分的性质进行计算。
定积分具有线性性质，即∫[a, b] (f(x) + g(x))dx = ∫[a, b] f(x)dx + ∫[a, b] g(x)dx。
此外，如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，且f(x)≥0，则定积分的值表示了曲线下的面积。
三、定积分的性质1. 定积分与原函数的关系。
如果函数f(x)在区间[a, b]上连续，且F(x)是f(x)的一个原函数，则∫[a, b] f(x)dx = F(b) - F(a)。
这个公式可以用来计算一些不易积分的函数。
2. 定积分的加法性质。
对于两个函数f(x)和g(x)，以及一个常数k，有∫[a, b] (f(x) + g(x))dx = ∫[a, b] f(x)dx + ∫[a, b] g(x)dx，以及∫[a, b] kf(x)dx = k∫[a, b] f(x)dx。
高等数学教案定积分
第五章定积分教学目的：1、理解定积分的概念;2、掌握定积分的性质及定积分中值定理,掌握定积分的换元积分法与分部积分法;3、理解变上限定积分定义的函数,及其求导数定理,掌握牛顿—莱布尼茨公式;4、了解广义积分的概念并会计算广义积分;教学重点：1、定积分的性质及定积分中值定理2、定积分的换元积分法与分部积分法;3、牛顿—莱布尼茨公式;教学难点：1、定积分的概念2、积分中值定理3、定积分的换元积分法分部积分法;4、变上限函数的导数;§5 1 定积分概念与性质一、定积分问题举例1 曲边梯形的面积曲边梯形设函数yfx在区间a b上非负、连续由直线xa、xb、y0及曲线yf x所围成的图形称为曲边梯形其中曲线弧称为曲边求曲边梯形的面积的近似值将曲边梯形分割成一些小的曲边梯形每个小曲边梯形都用一个等宽的小矩形代替每个小曲边梯形的面积都近似地等于小矩形的面积 则所有小矩形面积的和就是曲边梯形面积的近似值 具体方法是 在区间a b 中任意插入若干个分点ax 0 x 1 x 2 x n 1 x n b把a b 分成n 个小区间x 0 x 1 x 1 x 2 x 2 x 3 x n 1 x n它们的长度依次为x 1 x 1x 0 x 2 x 2x 1 x n x n x n 1经过每一个分点作平行于y 轴的直线段 把曲边梯形分成n 个窄曲边梯形 在每个小区间 x i 1 x i 上任取一点i 以x i 1 x i 为底、f i 为高的窄矩形近似替代第i 个窄曲边梯形i 1 2 n 把这样得到的n 个窄矩阵形面积之和作为所求曲边梯形面积A 的近似值 即A f 1x 1 f 2x 2 f n x n ∑=∆=ni i i x f 1)(ξ求曲边梯形的面积的精确值显然 分点越多、每个小曲边梯形越窄 所求得的曲边梯形面积A 的近似值就越接近曲边梯形面积A 的精确值 因此 要求曲边梯形面积A 的精确值 只需无限地增加分点 使每个小曲边梯形的宽度趋于零 记max{x 1 x 2 x n } 于是 上述增加分点 使每个小曲边梯形的宽度趋于零 相当于令0 所以曲边梯形的面积为∑=→∆=ni i i x f A 10)(lim ξλ 2 变速直线运动的路程设物体作直线运动 已知速度vvt 是时间间隔T 1 T 2上t 的连续函数 且vt 0 计算在这段时间内物体所经过的路程S求近似路程我们把时间间隔T 1 T 2分成n 个小的时间间隔t i 在每个小的时间间隔t i 内 物体运动看成是均速的 其速度近似为物体在时间间隔t i 内某点i 的速度v i 物体在时间间隔t i 内 运动的距离近似为S i v i t i 把物体在每一小的时间间隔t i 内 运动的距离加起来作为物体在时间间隔T 1 T 2内所经过的路程S 的近似值 具体做法是在时间间隔T 1 T 2内任意插入若干个分点T 1t 0 t 1 t 2 t n 1 t n T 2把T 1 T 2分成n 个小段t 0 t 1 t 1 t 2 t n 1 t n各小段时间的长依次为t 1t 1t 0 t 2t 2t 1 t n t n t n 1相应地 在各段时间内物体经过的路程依次为S 1 S 2 S n在时间间隔t i 1 t i 上任取一个时刻 i t i 1 i t i 以 i 时刻的速度v i 来代替t i 1 t i 上各个时刻的速度 得到部分路程S i 的近似值 即S i v i t i i 1 2 n于是这n 段部分路程的近似值之和就是所求变速直线运动路程S 的近似值 即∑=∆≈ni i i t v S 1)(τ求精确值记 max{t 1 t 2 t n } 当0时 取上述和式的极限 即得变速直线运动的路程∑=→∆=ni i i t v S 10)(lim τλ 设函数yfx 在区间a b 上非负、连续 求直线xa 、xb 、y 0及曲线yf x 所围成的曲边梯形的面积1用分点ax 0x 1x 2 x n 1x n b 把区间a b 分成n 个小区间x 0 x 1 x 1 x 2 x 2 x 3 x n 1 x n 记x i x i x i 1 i 1 2 n2任取i x i 1 x i 以x i 1 x i 为底的小曲边梯形的面积可近似为i i x f ∆)(ξ i 1 2 n 所求曲边梯形面积A 的近似值为∑=∆≈ni ii x f A 1)(ξ 3记max{x 1 x 2 x n } 所以曲边梯形面积的精确值为∑=→∆=ni ii x f A 10)(lim ξλ设物体作直线运动 已知速度vvt 是时间间隔T 1 T 2上t 的连续函数且vt 0 计算在这段时间内物体所经过的路程S1用分点T 1t 0t 1t 2 t n 1t n T 2把时间间隔T 1 T 2分成n 个小时间段 t 0 t 1 t 1 t 2 t n 1 t n 记t i t i t i 1 i 1 2 n2任取i t i 1 t i 在时间段t i 1 t i 内物体所经过的路程可近似为v i t ii 1 2 n 所求路程S 的近似值为∑=∆≈ni ii t v S 1)(τ 3记max{t 1 t 2 t n } 所求路程的精确值为∑=→∆=ni ii t v S 10)(lim τλ二、定积分定义抛开上述问题的具体意义 抓住它们在数量关系上共同的本质与特性加以概括 就抽象出下述定积分的定义定义 设函数fx 在a b 上有界 在a b 中任意插入若干个分点a x 0 x 1 x 2 x n 1 x n b把区间a b 分成n 个小区间x 0 x 1 x 1 x 2 x n 1 x n各小段区间的长依次为x 1x 1x 0 x 2x 2x 1 x n x n x n 1在每个小区间x i 1 x i 上任取一个点 i x i 1 i x i 作函数值f i 与小区间长度x i 的乘积f i x i i 1 2 n 并作出和∑=∆=ni i i x f S 1)(ξ记 max{x 1 x 2 x n } 如果不论对a b 怎样分法 也不论在小区间x i 1 x i 上点 i 怎样取法 只要当0时 和S 总趋于确定的极限I 这时我们称这个极限I 为函数f x 在区间a b 上的定积分 记作⎰b a dx x f )(即∑⎰=→∆=ni i i b a x f dx x f 10)(lim )(ξλ其中f x 叫做被积函数 f xdx 叫做被积表达式 x 叫做积分变量 a 叫做积分下限 b 叫做积分上限 a b 叫做积分区间定义 设函数fx 在a b 上有界 用分点ax 0x 1x 2 x n 1x n b 把a b 分成n 个小区间 x 0 x 1 x 1 x 2 x n 1 x n 记x i x i x i 1i 1 2 n任 i x i 1 x i i 1 2 n 作和∑=∆=n i i ix f S 1)(ξ记max{x 1 x 2 x n } 如果当0时 上述和式的极限存在 且极限值与区间a b 的分法和 i 的取法无关 则称这个极限为函数fx 在区间a b 上的定积分 记作⎰ba dx x f )(即 ∑⎰=→∆=ni i i ba x f dx x f 10)(lim )(ξλ根据定积分的定义 曲边梯形的面积为⎰=b a dx x f A )(变速直线运动的路程为dt t v S TT )(21⎰= 说明1定积分的值只与被积函数及积分区间有关 而与积分变量的记法无关 即⎰⎰⎰==ba b a b a du u f dt t f dx x f )()()(2和∑=∆n i i i x f 1)(ξ通常称为f x 的积分和3如果函数f x 在a b 上的定积分存在 我们就说f x 在区间a b 上可积函数fx 在a b 上满足什么条件时 f x 在a b 上可积呢定理1 设f x 在区间a b 上连续 则f x 在a b 上可积定理2 设f x 在区间a b 上有界 且只有有限个间断点 则f x 在a b 上可积定积分的几何意义在区间a b 上 当fx 0时 积分⎰b a dx x f )(在几何上表示由曲线yf x 、两条直线xa 、xb 与x 轴所围成的曲边梯形的面积 当fx 0时 由曲线y f x 、两条直线xa 、xb 与x 轴所围成的曲边梯形位于x 轴的下方 定义分在几何上表示上述曲边梯形面积的负值⎰∑∑⎰--=∆--=∆==→=→ba n i i i n i i ib a dx x f x f x f dx x f )]([)]([lim )(lim )(1010ξξλλ当f x 既取得正值又取得负值时 函数fx 的图形某些部分在x 轴的上方 而其它部分在x 轴的下方 如果我们对面积赋以正负号 在x 轴上方的图形面积赋以正号 在x 轴下方的图形面积赋以负号 则在一般情形下 定积分⎰ba dx x f )(的几何意义为 它是介于x 轴、函数fx 的图形及两条直线xa 、xb 之间的各部分面积的代数和用定积分的定义计算定积分例1. 利用定义计算定积分dx x 210⎰解 把区间0 1分成n 等份分点为和小区间长度为n i x i =i 1 2 n 1 n x i 1=∆i 1 2 n 取n i i =ξi 1 2 n 作积分和 ∑∑∑===⋅=∆=∆ni i n i i i n i i n n i x x f 121211)()(ξξ )12)(1(61113123++⋅==∑=n n n n i n n i )12)(11(61n n ++= 因为n1=λ 当0时 n 所以 31)12)(11(61lim )(lim 10210=++=∆=∞→=→∑⎰n n x f dx x n n i i i ξλ 利定积分的几何意义求积分:例2用定积分的几何意义求⎰-10)1(dx x解: 函数y 1x 在区间0 1上的定积分是以y 1x 为曲边以区间0 1为底的曲边梯形的面积 因为以y 1x 为曲边以区间0 1为底的曲边梯形是一直角三角形 其底边长及高均为1 所以211121)1(10=⨯⨯=-⎰dx x三、定积分的性质两点规定1当ab 时 0)(=⎰b a dx x f2当ab 时⎰⎰-=a b b a dx x f dx x f )()( 性质1 函数的和差的定积分等于它们的定积分的和差 即⎰⎰⎰±=±b a b a b a dx x g dx x f dx x g x f )()()]()([证明:⎰±b a dx x g x f )]()([∑=→∆±=ni i i i x g f 10)]()([lim ξξλ ∑∑=→=→∆±∆=ni i i n i i i x g x f 1010)(lim )(lim ξξλλ ⎰⎰±=b a b a dx x g dx x f )()(性质2 被积函数的常数因子可以提到积分号外面 即⎰⎰=b a b a dx x f k dx x kf )()(这是因为∑⎰=→∆=n i i i b a x kf dx x kf 10)(lim )(ξλ⎰∑=∆==→b a n i i i dx x f k x f k )()(lim 10ξλ性质如果将积分区间分成两部分则在整个区间上的定积分等于这两部分区间上定积分之和即 ⎰⎰⎰+=bc c a b a dx x f dx x f dx x f )()()( 这个性质表明定积分对于积分区间具有可加性值得注意的是不论a b c 的相对位置如何总有等式⎰⎰⎰+=b c c a b a dx x f dx x f dx x f )()()(成立 例如 当a <b <c 时 由于⎰⎰⎰+=c b b a c a dx x f dx x f dx x f )()()( 于是有⎰⎰⎰-=c b c a b a dx x f dx x f dx x f )()()(⎰⎰+=bc c a dx x f dx x f )()( 性质4 如果在区间a b 上f x 1 则a b dx dx ba b a -==⎰⎰1 性质5 如果在区间ab 上 f x 0 则⎰≥ba dx x f 0)(ab 推论1 如果在区间ab 上 f x gx 则⎰⎰≤b a ba dx x g dx x f )()(ab 这是因为g xf x 0 从而⎰⎰⎰≥-=-b a b a b a dx x f x g dx x f dx x g 0)]()([)()( 所以⎰⎰≤b a b a dx x g dx x f )()(推论2 ⎰⎰≤b a b a dx x f dx x f |)(||)(|ab这是因为|f x | f x |f x |所以⎰⎰⎰≤≤-b a b a b a dx x f dx x f dx x f |)(|)(|)(|即 ⎰⎰≤b a b a dx x f dx x f |)(||)(||性质6 设M 及m 分别是函数fx 在区间ab 上的最大值及最小值 则⎰-≤≤-b a a b M dx x f a b m )()()(ab证明 因为 m f x M 所以⎰⎰⎰≤≤b a b a b a Mdx dx x f mdx )( 从而⎰-≤≤-b a a b M dx x f a b m )()()(性质7 定积分中值定理 如果函数fx 在闭区间ab 上连续 则在积分区间ab 上至少存在一个点 使下式成立⎰-=ba ab f dx x f ))(()(ξ 这个公式叫做积分中值公式证明 由性质6⎰-≤≤-ba ab M dx x f a b m )()()(各项除以ba 得⎰≤-≤b a M dx x f a b m )(1 再由连续函数的介值定理 在ab 上至少存在一点 使⎰-=b a dx x f a b f )(1)(ξ于是两端乘以ba 得中值公式⎰-=ba ab f dx x f ))(()(ξ 积分中值公式的几何解释应注意 不论a <b 还是a >b 积分中值公式都成立§5 2 微积分基本公式一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系设物体从某定点开始作直线运动 在t 时刻所经过的路程为St 速度为vvtStvt 0 则在时间间隔T 1 T 2内物体所经过的路程S 可表示为)()(12T S T S -及dt t v TT )(21⎰即 )()()(1221T S T S dt t v TT -=⎰上式表明 速度函数vt 在区间T 1 T 2上的定积分等于vt 的原函数St 在区间T 1 T 2上的增量 这个特殊问题中得出的关系是否具有普遍意义呢二、积分上限函数及其导数设函数fx 在区间a b 上连续 并且设x 为a b 上的一点我们把函数fx 在部分区间a x 上的定积分dx x f xa )(⎰ 称为积分上限的函数 它是区间ab 上的函数 记为x dx x f x a )(⎰= 或x dt t f xa )(⎰定理1 如果函数fx 在区间a b 上连续 则函数x dx x f x a )(⎰=在a b 上具有导数 并且它的导数为x )()(x f dt t f dx d x a ==⎰ax <b 简要证明 若xa b 取x 使xxa bxxx dt t f dt t f x a x x a)()(⎰⎰-=∆+ dt t f dt t f dt t f x a x x xx a )()()(⎰⎰⎰-+=∆+ x f dt t f x x x ∆==⎰∆+)()(ξ应用积分中值定理 有f x其中在x 与xx 之间 x 0时 x 于是x )()(lim )(lim lim 00x f f f x xx x ===∆∆Φ=→→∆→∆ξξξ 若xa 取x >0 则同理可证x fa 若xb 取x <0 则同理可证x fb定理2 如果函数fx 在区间a b 上连续 则函数x dx x f xa )(⎰=就是f x 在a b 上的一个原函数定理的重要意义 一方面肯定了连续函数的原函数是存在的 另一方面初步地揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系三、牛顿莱布尼茨公式定理3 如果函数F x 是连续函数fx 在区间a b 上的一个原函数 则)()()(a F b F dx x f ba -=⎰ 此公式称为牛顿莱布尼茨公式 也称为微积分基本公式这是因为Fx 和x dt t f x a )(⎰都是fx 的原函数所以存在常数C 使FxxC C 为某一常数由FaaC 及a 0 得CFa FxxFa由FbbFa 得bFbFa 即)()()(a F b F dx x f ba -=⎰ 证明 已知函数Fx 是连续函数fx 的一个原函数 又根据定理2 积分上限函数x dt t f x a )(⎰也是fx 的一个原函数 于是有一常数C 使FxxC axb当xa 时 有FaaC 而a 0 所以CFa 当xb 时 FbbFa所以bFbFa 即)()()(a F b F dx x f ba -=⎰为了方便起见 可把FbFa 记成b a x F )]([ 于是)()()]([)(a F b F x F dx x f b a ba -==⎰ 进一步揭示了定积分与被积函数的原函数或不定积分之间的联系例1. 计算⎰102dx x解 由于331x 是2x 的一个原函数 所以 31031131]31[33103102=⋅-⋅==⎰x dx x例2 计算2311x dx +⎰- 解 由于arctan x 是211x +的一个原函数 所以 31231][arctan 1--=+⎰x x dx)1arctan(3arctan --=πππ127)4 (3 =--= 例3. 计算⎰--121dx x解 1212|]|[ln 1----=⎰x dx x ln 1ln 2ln 2 例4. 计算正弦曲线y sin x 在0 上与x 轴所围成的平面图形的面积解 这图形是曲边梯形的一个特例 它的面积ππ00]cos [sin x xdx A -==⎰112例5. 汽车以每小时36km 速度行驶 到某处需要减速停车设汽车以等加速度a 5m/s 2刹车 问从开始刹车到停车 汽车走了多少距离解 从开始刹车到停车所需的时间当t 0时 汽车速度v 036km/h 3600100036⨯=m/s 10m/s 刹车后t 时刻汽车的速度为vtv 0at 105t当汽车停止时 速度vt 0 从vt 105t 0得 t 2s于是从开始刹车到停车汽车所走过的距离为dt t dt t v s )510()(2020-==⎰⎰10]21510[202=⋅-=t t m 即在刹车后 汽车需走过10m 才能停住例6. 设fx 在0, 内连续且fx >0 证明函数⎰⎰=x xdt t f dt t tf x F 00)()()( 在0 内为单调增加函数证明 )()( 0x xf dt t tf dx d x =⎰ )()(0x f dt t f dx d x =⎰ 故 2000))(()()()()()(⎰⎰⎰-='x x xdt t f dtt tf x f dt t f x xf x F 200))(()()()(⎰⎰-=x x dt t f dt t f t x x f按假设 当0tx 时f t >0 xtf t 0 所以0)(0>⎰dt t f x 0)()(0>-⎰dt t f t x x从而F x >0 x >0 这就证明了F x 在0 内为单调增加函数例7. 求21cos 02lim x dte x t x ⎰-→解 这是一个零比零型未定式 由罗必达法则e x xe x dte x dt e x x x t x x t x 212sin lim lim lim 222cos 02cos 1021cos 0==--→-→-→⎰⎰ 提示 设⎰-=Φx t dt e x 12)( 则⎰-=Φx t dt e x cos 12)(cosx u x t e x x e dxdu u du d x dx d dt e dx d 222cos cos 1sin )sin ()()(cos ---⋅-=-⋅=⋅Φ=Φ=⎰§5 3 定积分的换元法和分部积分法一、换元积分法定理 假设函数fx 在区间a b 上连续 函数xt 满足条件1a b2t 在 或 上具有连续导数 且其值域不越出a b则有dt t t f dx x f b a )()]([)(ϕϕβα'=⎰⎰这个公式叫做定积分的换元公式证明 由假设知 fx 在区间a b 上是连续 因而是可积的 f tt 在区间 或 上也是连续的 因而是可积的假设Fx 是f x 的一个原函数 则 dx x f ba )(⎰FbFa另一方面 因为{Ft }F tt f tt 所以Ft 是f tt 的一个原函数 从而dt t t f )()]([ϕϕβα'⎰ F F FbFa因此 dt t t f dx x f b a )()]([)(ϕϕβα'=⎰⎰例1 计算⎰-a dx x a 022a >0解 ⎰⎰⋅-=20sin 022cos cos πtdt a t a dx x a t a x a 令 ⎰⎰+==2022022)2cos 1(2cos ππdt t a tdt a220241]2sin 21[2a t t a ππ=+= 提示 t a t a a x a cos sin 22222=-=- dxa cos t 当x 0时t 0 当xa 时2π=t 例2 计算xdx x sin cos 520⎰π解 令t cos x 则x xd xdx x cos cos sin cos 520520⎰⎰-=ππ61]61[ 106105015cos ===-⎰⎰=t dt t dt t tx 令 提示 当x 0时t 1 当2π=x 时t 0 或 x xd xdx x cos cos sin cos 520520⎰⎰-=ππ610cos 612cos 61]cos 61[66206=+-=-=ππx 例3 计算⎰-π053sin sin dx x x解 dx x x dx x x |cos |sin sin sin 230053⎰⎰=-ππ⎰⎰-=πππ2232023cos sin cos sin xdx x xdx x ⎰⎰-=πππ2232023sin sin sin sin x xd x xd 54)52(52]sin 52[]sin 52[2252025=--=-=πππx x 提示 |cos |sin )sin 1(sin sin sin 232353x x x x x x =-=-在]2 ,0[π上|cos x |cos x 在] ,2[ππ上|cos x |cos x 例4 计算dx x x ⎰++40122 解 ⎰⎰⎰+=⋅+-++=+3123121240)3(21221 122dt t tdt t t dx x x t x 令 322)]331()9327[(21]331[21313=+-+=+=t t 提示 212-=t x dxtdt 当x 0时t 1 当x 4时t 3 例5 证明 若f x 在a a 上连续且为偶函数 则 ⎰⎰=-a a a dx x f dx x f 0)(2)(证明 因为dx x f dx x f dx x f a a a a )()()(00⎰⎰⎰+=--而 ⎰⎰⎰⎰-=-=---=-a a a t x a dx x f dt t f dt t f dx x f 0000)()()()(令 所以 ⎰⎰⎰+-=-a a a a dx x f dx x f dx x f 00)()()(⎰⎰⎰==+-=-a a a a dx x f dx x f dx x f x f 00)(2)(2)]()([讨论若fx 在a a 上连续且为奇函数 问=⎰-aa dx x f )( 提示 若f x 为奇函数 则f xf x 0 从而0)]()([)(0=+-=⎰⎰-aa a dx x f x f dx x f例6 若f x 在0 1上连续 证明 1⎰⎰=2020)(cos )(sin ππdx x f dx x f2⎰⎰=πππ0)(sin 2)(sin dx x f dx x xf证明 1令t x -=2π 则dt t f dx x f )]2[sin()(sin 0220--=⎰⎰πππ⎰⎰=-=2020)(cos )]2[sin(πππdx x f dt t f2令xt 则⎰⎰---=00)][sin()()(sin ππππdt t f t dx x xf⎰⎰-=--=πππππ00)(sin )()][sin()(dt t f t dt t f t ⎰⎰-=πππ00)(sin )(sin dt t tf dt t f ⎰⎰-=πππ00)(sin )(sin dx x xf dx x f 所以⎰⎰=πππ)(sin 2)(sin dx x f dx x xf例7 设函数⎪⎩⎪⎨⎧<<-+≥=-01 cos 110)(2x xx xe x f x 计算⎰-41)2(dx x f解 设x 2t 则⎰⎰⎰⎰---++==-20121412cos 11)()2(dtte dt tdt t f dx x f t 212121tan ]21[]2[tan 420012+-=-=---e e t t提示 设x 2t 则dxdt 当x 1时t 1 当x 4时t 2 二、分部积分法设函数ux 、vx 在区间a b 上具有连续导数ux 、vx 由 uvuv u v 得u vu vuv 式两端在区间a b 上积分得vdx u uv dx v u ba b a ba '-='⎰⎰][ 或vdu uv udv ba ba ba ⎰⎰-=][ 这就是定积分的分部积分公式分部积分过程][][⋅⋅⋅='-=-=='⎰⎰⎰⎰vdx u uv vdu uv udv dx v u ba ba ba b a ba ba 例1 计算xdx arcsin 21⎰解xdx arcsin 21⎰x xd x x arcsin ]arcsin[21210⎰-=dx x x 22101621--⋅=⎰π)1(11211222210x d x --+=⎰π212]1[12x -+=π12312-+=π 例2 计算⎰10dx e x 解 令t x = 则⎰⎰=10102tdt e dx e t x⎰=102t tde ⎰-=1010 2 ][2dt e te t t 2 ][221 0 =-=t e e 例3 设⎰=20sin πxdx I n n 证明1当n 为正偶数时 22143231π⋅⋅⋅⋅⋅--⋅-=n n n n I n2当n 为大于1的正奇数时 3254231⋅⋅⋅⋅--⋅-=n n n n I n证明 ⎰=20sin πxdx I n n ⎰--=201cos sin πx xd n ⎰--+-=2012 01sin cos ]sin[cos ππx xd x x n n⎰--=2022sin cos )1(πxdx x n n ⎰--=-202)sin (sin )1(πdx x x n n n ⎰⎰---=-20202sin )1(sin )1(ππxdxn xdx n n nn 1I n 2n 1I n 由此得02214342522232212Im m m m m m I m ⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅-=112325432421222122Im m m m m m I m ⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅+=+而2200ππ==⎰dx I 1sin 201==⎰πxdx I因此22143425222322122π⋅⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅-=m m m m m m I m32543242122212212⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅+=+m m m m m m I m例3 设⎰=20sin πxdx I n n n 为正整数 证明 22143425222322122π⋅⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅-=m m m m m m I m32543242122212212⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅+=+m m m m m m I m证明 ⎰=20sin πxdx I n n ⎰--=201cos sin πx xd n⎰---+-=20222 0 1sin cos )1(]sin [cos ππxdx x n x x n n ⎰--=-202)sin (sin )1(πdx x x n n n ⎰⎰---=-20202sin )1(sin )1(ππxdx n xdx n n n n 1I n 2n 1I n02214342522232212I m m m m m m I m ⋅⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅-=112325432421222122I m m m m m m I m ⋅⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅+=+特别地 2200ππ==⎰dx I 1sin 201==⎰πxdx I因此 22143425222322122π⋅⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅-=m m m m m m I m32543242122212212⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅+=+m m m m m m I m§5 4 反常积分 一、无穷限的反常积分定义1 设函数fx 在区间a 上连续 取b >a 如果极限dx x f bab )(lim⎰+∞→ 存在 则称此极限为函数fx 在无穷区间a 上的反常积分 记作dx x f a )(⎰+∞即dx x f dx x f bab a)(lim)(⎰⎰+∞→+∞= 这时也称反常积分dx x f a )(⎰+∞收敛如果上述极限不存在 函数fx 在无穷区间a 上的反常积分dx x f a )(⎰+∞就没有意义 此时称反常积分dx x f a )(⎰+∞发散类似地 设函数fx 在区间 b 上连续 如果极限dx x f baa )(lim⎰-∞→a <b 存在 则称此极限为函数fx 在无穷区间 b 上的反常积分 记作dx x f b)(⎰∞- 即dx x f dx x f baa b )(lim )(⎰⎰-∞→∞-= 这时也称反常积分dx x f b)(⎰∞-收敛如果上述极限不存在 则称反常积分dx x f b)(⎰∞-发散 设函数fx 在区间 上连续 如果反常积分dx x f )(0⎰∞-和dx x f )(0⎰+∞都收敛 则称上述两个反常积分的和为函数fx 在无穷区间 上的反常积分 记作dx x f )(⎰+∞∞- 即dx x f dx x f dx x f )()()(00⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-+=dx x f dx x f bb a a )(lim)(lim⎰⎰+∞→-∞→+=这时也称反常积分dx x f )(⎰+∞∞-收敛如果上式右端有一个反常积分发散 则称反常积分dx x f )(⎰+∞∞-发散 定义1 连续函数fx 在区间a 上的反常积分定义为dx x f dx x f bab a)(lim)(⎰⎰+∞→+∞= 在反常积分的定义式中 如果极限存在 则称此反常积分收敛否则称此反常积分发散 类似地 连续函数fx 在区间 b 上和在区间 上的反常积分定义为dx x f dx x f baa b)(lim)(⎰⎰-∞→∞-=dx x f dx x f dx x f bb a a )(lim)(lim)(0⎰⎰⎰+∞→-∞→+∞∞-+=反常积分的计算 如果Fx 是fx 的原函数 则b a b bab ax F dx x f dx x f )]([lim )(lim)(+∞→+∞→+∞==⎰⎰)()(lim )()(lim a F x F a F b F x b -=-=+∞→+∞→可采用如下简记形式)()(lim )]([)(a F x F x F dx x f x a a-==+∞→∞++∞⎰类似地)(lim )()]([)(x F b F x F dx x f x bb-∞→∞-∞--==⎰)(lim )(lim )]([)(x F x F x F dx x f x x -∞→+∞→∞+∞-+∞∞--==⎰ 例1 计算反常积分dx x211+⎰+∞∞-解∞+∞-+∞∞-=+⎰][arctan 112x dx x x x x x arctan lim arctan lim -∞→+∞→-=πππ=--=)2(2例2 计算反常积分⎰+∞-0dt te pt p 是常数 且p >0 解∞+-∞+-+∞-⎰⎰⎰-==000]1[][pt pt pt tde pdt te dt te ∞+--⎰+-=0]11[dt e p te p pt pt ∞+----=02]11[pt pt e pte p 22211]11[lim p p e p te p pt pt t =+--=--+∞→ 提示 01lim lim lim ===+∞→+∞→-+∞→pt t pt t pt t pe e t te 例3 讨论反常积分dx x pa 1⎰+∞a >0的敛散性解 当p 1时dx x pa1⎰+∞dx x a 1⎰+∞=+∞==∞+ ][ln a x当p <1时dx x pa1⎰+∞+∞=-=∞+- 1]11[ap x p当p >1时1]11[11 1-=-=-∞+-+∞⎰p a x p dx x p ap pa因此 当p >1时 此反常积分收敛 其值为11--p a p当p 1时 此反常积分发散二、无界函数的反常积分定义2 设函数fx 在区间a b 上连续 而在点a 的右邻域内无界 取>0 如果极限dx x f bt at )(lim ⎰+→存在 则称此极限为函数fx 在a b 上的反常积分 仍然记作dx x f ba )(⎰ 即dx x f dx x f bta tb a )(lim )(⎰⎰+→=这时也称反常积分dx x f ba )(⎰收敛如果上述极限不存在 就称反常积分dx x f ba )(⎰发散类似地 设函数fx 在区间a b 上连续 而在点b 的左邻域内无界 取>0 如果极限dx x f ta bt )(lim ⎰-→存在 则称此极限为函数fx 在a b 上的反常积分 仍然记作dx x f ba )(⎰ 即dx x f dx x f ta bt b a )(lim )(⎰⎰-→=这时也称反常积分dx x f b a )(⎰收敛 如果上述极限不存在 就称反常积分dx x f ba )(⎰发散 设函数fx 在区间ab 上除点ca <c <b 外连续 而在点c 的邻域内无界 如果两个反常积分dx x f c a )(⎰与dx x f bc )(⎰都收敛 则定义dx x f dx x f dx x f bc c a b a )()()(⎰⎰⎰+=否则 就称反常积分dx x f ba )(⎰发散瑕点 如果函数fx 在点a 的任一邻域内都无界 那么点a 称为函数fx 的瑕点 也称为无界 定义2 设函数fx 在区间a b 上连续 点a 为fx 的瑕点 函数fx 在a b 上的反常积分定义为dx x f dx x f bt at b a )(lim )(⎰⎰+→=在反常积分的定义式中 如果极限存在 则称此反常积分收敛否则称此反常积分发散类似地函数fx 在a bb 为瑕点上的反常积分定义为dx x f dx x f ta b t b a )(lim )(⎰⎰-→= 函数fx 在a cc b c 为瑕点上的反常积分定义为dx x f dx x f dx x f b t c t t a c t b a )(lim )(lim )(⎰⎰⎰+-→→+= 反常积分的计算如果Fx 为fx 的原函数 则有b t at b t a t b a x F dx x f dx x f )]([lim )(lim )(++→→==⎰⎰ )(lim )()(lim )(x F b F t F b F ax a t ++→→-=-= 可采用如下简记形式)(lim )()]([)(x F b F x F dx x f a x b a ba +→-==⎰ 类似地 有)()(lim )]([)(a F x F x F dx x f b x b a ba -==-→⎰ 当a 为瑕点时)(lim )()]([)(x Fb F x F dx x f a x b a ba +→-==⎰ 当b 为瑕点时)()(lim )]([)(a F x F x F dx x f b x b a ba -==-→⎰ 当c acb 为瑕点时)](lim )([)]()(lim [)()()(x F b F a F x F dx x f dx x f dx x f c x c x b c c a b a +-→→-+-=+=⎰⎰⎰ 例4 计算反常积分⎰-a dx x a 0221 解 因为+∞=--→221lim x a a x 所以点a 为被积函数的瑕点a a a x dx x a 0 022][arcsin 1=-⎰20arcsin lim π=-=-→a x a x例5 讨论反常积分⎰-1121dx x的收敛性 解 函数21x在区间1 1上除x 0外连续 且∞=→201lim x x 由于+∞=--=-=-→--⎰1)1(lim ]1[100 1012x x dx xx 即反常积分⎰-0121dx x 发散 所以反常积分⎰-1121dx x发散 例6 讨论反常积分⎰-b aq a x dx )(的敛散性 解 当q 1时+∞=-=-=-⎰⎰b a b a b a q a x a x dx a x dx )][ln()( 当q 1时 +∞=--=--⎰b a q b a q a x qa x dx 1])(11[)( 当q 1时q b a q b a q a b q a x q a x dx ----=--=-⎰1 1)(11])(11[)( 因此 当q <1时 此反常积分收敛 其值为q a b q ---1)(11 当q 1时 此反常积分发散。
定积分的基本概念与性质
定积分的基本概念与性质定积分是微积分的重要概念之一，它在数学和物理学等领域中有着广泛的应用。
本文将介绍定积分的基本概念、计算方法以及一些重要性质。
一、定积分的基本概念定积分是指在给定区间上某一函数的积分运算。
具体来说，设函数f(x)在区间[a, b]上有定义，将区间[a, b]划分成n个小区间，每个小区间的长度为Δx。
在每个小区间上取一个样本点ξi，并计算出该点的函数值f(ξi)。
然后，将每个小区间的函数值与对应的Δx乘积相加，得到Σf(ξi)Δx。
当其中的Δx趋近于0且取样本点数n趋向于无穷大时，得到的极限值即为函数f(x)在区间[a, b]上的定积分，记为∫[a, b]f(x)dx。
二、定积分的计算计算定积分可以利用定积分的性质以及一些基本积分公式。
其中，常用的计算方法有：几何法、分部积分法、换元积分法等。
几何法是通过对定积分的几何意义进行理解来进行计算。
例如，计算函数f(x)=x在区间[a, b]上的定积分，可以将其表示为对应曲线下方的面积。
根据不同曲线形状，可以将区间划分成不同的几何图形，计算各个图形的面积，并将其相加得到结果。
分部积分法是利用积分运算的乘法规则，将待求的定积分转化为另一个不定积分的形式。
通过选择适当的u(x)和v(x)，利用公式∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x)dx，可以将原定积分转化为带有初等函数的不定积分。
换元积分法是通过引入新的变量进行变换，使得求解定积分问题简化。
假设有一个函数f(g(x))，利用链式法则可以得到d[f(g(x))]/dx =f'(g(x))*g'(x)。
通过令u=g(x)，则有du=g'(x)dx，可以将定积分∫f(g(x))g'(x)dx 转换为∫f(u)du，此时就可以利用基本的不定积分公式进行计算。
三、定积分的性质定积分具有一些重要的性质，下面将介绍其中的几个性质。
高等数学(上册)-电子教案 D5.1 定积分的概念与性质
( a b)
例1 比较 x dx 与 0 ln (1 x) dx 的大小.
0 1
1
解:
设 f ( x) x ln(1 x), x [0,1], 则 x (0,1) 时, 1 f ( x) 1 0 , f ( x)在 [0, 1] 上单调递增, 1 x
第五章
第一节 定积分的概念与性质
一、引例
Hale Waihona Puke 二、定积分的定义三、定积分的几何意义
四、定积分的性质
一、引例
1. 曲边梯形的面积 曲边梯形: 设曲线 在区间[a, b]上非负、连续,
由直线
及曲线
所围成的图形.
(1) 分割 在区间 [a , b] 内 任意插入 n –1 个分点
y
y f ( x)
a x0 x1 x2
路程
S v(t ) dt
T2
可积. 且只有有限个间断点 可积.
三、 定积分的几何意义
曲边梯形面积 曲边梯形面积的负值
y
A1 a A3 A2 O A4 A5 b x
b a
f ( x) d x A1 A2 A3 A4 A5 各部分面积的代数和
如
四、定积分的性质 (设下列定积分都存在)
(2) 定积分的值与积分变量的记号无关, 仅与f (x) 和 [a , b] 有关. 即
a f ( x) d x a f (u ) d u
b
b
(3)
a b
f ( x) d x a f (u) d u
b a
b
a=b 时,
T1
b a
f ( x) d x 0.
定积分的概念与性质
(2)取近似:取每个小区间的右端点i n
为ξi(
i=
1,2,…,n),
作乘积
f
(i )xi
( i )2 n
(3)求和:
n
i 1
f (i )xi
n i2 ()
i1 n
1 n
n i 1
i2 n3
Байду номын сангаас
1 n3
(12
22
n2)
=
1 n3
1 6
n(n
1)(2n
1)
1 6
(1
1 )(2 n
1 n
)
例1.1 用定积分的定义计算 1 x2dx 0
1
2e 4
2 ex2 xdx 2e2
0
证明：
函数在闭区间[0, 2]上的最大值为 e2
最小值为
1
e4
所以由积分估值定理可知
1
性质6(定积分估值定理) 设m, M 是f(x) 在区间 [a,b] 上最 小值和最大值,则
b
m(b a) a f (x)dx M (b a)
性质7(定积分中值定理) 如果函数f(x) 在闭区间 [a,b] 上 连续,则在 [a,b] 上至少存在一点ξ使
b
a f (x)dx f ( )(b a)
b
dx
b1 dx 高为1、底为b a的矩形面积=b a
a
a
a xdx 高为a、底为a的直角三角形面积= 1 a2
0
2
R R2 x2 dx 半径为R的上半圆面积= 1 R2
R
2
2 sin xdx （0 正负面积相消后的代数面积为0） 0
例1.1 用定积分的定义计算 1 x2dx 0
定积分的概念的教学设计
定积分的概念的教学设计一、教学目标：1.了解定积分的概念和基本性质。
2.能够理解和应用定积分的定义和计算方法。
3.能够运用定积分解决实际问题。
二、教学重点：1.定积分的概念和性质。
2.定积分的计算方法。
三、教学难点：1.对定积分概念的理解和应用。
2.定积分计算方法的运用。
四、教学准备：1.教师准备教学课件、板书。
2.学生准备课本、笔记等。
五、教学过程：Step 1：导入（10分钟）1.教师简要介绍导数的概念，回顾导数的计算方法和求导法则。
2.引导学生思考：如果“导数”是描述一个函数变化率的概念，那么有没有与之相对应的概念来描述一个函数的累计效应呢？Step 2：引入定积分概念（15分钟）1.通过图例引导学生思考在一个区间上函数图像之下的面积，让学生发现概念。
2.引导学生思考以下问题：-如何精确地描述该面积？-如何计算这个面积？3.教师出示定积分的定义并解释：$\int_a^b f(x)dx = {\lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^nf(x_i)\Delta x}$其中，$\Delta x = \frac{b-a}{n}$，$f(x_i)$是在每个子区间上任意选择的一点。
4.教师解释定积分的符号含义，并进行例题辅助讲解：$\int_a^b f(x)dx$可以理解为从$a$到$b$的函数$f(x)$在$x$轴上方的面积。
Step 3：定积分的性质（15分钟）1.教师介绍定积分的基本性质：- 定积分与区间选择无关，即$\int_a^b f(x)dx = \int_c^b f(x)dx + \int_a^c f(x)dx$- 若函数$f(x)$在$[a,b]$上连续，且存在一些点$c \in [a,b]$，使得$f(c) \geq f(x)$在$[a,b]$上成立，则$\int_a^b f(x)dx \geq 0$- 若函数$f(x)$在$[a,b]$上连续且非负，则$\int_a^b f(x)dx = 0$的充要条件是$f(x) \equiv 0$2.教师通过例题进行讲解和巩固。
定积分的定义和性质
性质：区间可加性是定积分的一个重要性质，它表明定积分具有线性性质，可以像加法一样进行区间上的运算。
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积分中值定理
定理定义：若函数f在闭区间[a,b]上连续，则在开区间(a,b)上至少存在一点ξ，使得f(ξ)=(b-a)∫f(x)dx
定理证明：通过构造辅助函数和运用中值定理证明
方法步骤：选择适当的中间变量，进行变量替换，化简积分
适用范围：被积函数或积分区间具有特定形式时
分部积分法
定义：将两个函数的乘积进行积分的一种方法
注意事项：选择合适的u和v，以便简化计算过程
应用：解决某些复杂的不定积分问题
公式：∫udv=∫vdu+∫u'vdx
有理函数的积分法
计算步骤：首先将有理函数分解为简单分式之和或差，然后分别求各简单分式的积分，最后合并各简单分式的积分结果。
,a click to unlimited possibilities
定积分的定义和性质
目录
01
单击添加目录标题
02
定积分的定义
03
定积分的性质
04
定积分的计算方法
01
添加章节标题
02
定积分的定义
积分上限函数
积分上限函数的定义：定积分被定义为积分上限函数在某区间上的值。
积分上限函数的性质：积分上限函数在区间上单调递增或递减，取决于被积函数在区间上的符号。
应用场景：在求解定积分时，可以利用微积分基本定理将复杂的积分转化为简单的积分，从而简化计算过程。
定理证明：可以通过牛顿-莱布尼茨公式进行证明，该公式将定积分与不定积分联系起来。
04
定积分的计算方法
微积分基本定理的应用
定积分教案
定积分概念与性质一、教学目标分析1.理解定积分的概念。
2.掌握定积分的性质及定积分中值定理。
3.理解变上限定积分定义的函数。
二、学情/学习者特征分析本节主要给学生介绍有关定积分的概念与性质，因为之前学生对定积分有一定的涉及，故积极调动学生的探索与思维能力，使其充分掌握定积分的概念与性质，做到在以后的应运中轻松自如。
三、学习内容分析1.本节的作用和地位定积分的应用是在学生学习了定积分的概念、定积分的计算、定积分的几何意义之后，对定积分知识的总结和升华，通过用定积分解决一些简单的面积问题，初步感受定积分在解决数学问题与实际问题中的作用，体会导数与定积分之间的内在联系。
2.本节主要内容1.定积分的概念。
2.定积分的性质及定积分中值定理。
3.重点难点分析教学重点：定积分的性质及定积分中值定理教学难点：1.定积分的概念2.积分中值定理4.课时要求：2课时四、教学理念学生在之前就已经掌握了一定的有关知识，通过本节对学生的教学使学生进一步了解定积分的概念与性质。
五、教学策略在课堂中尽量避免死板的教学方法，使课堂气氛活跃化，通过实际问题的引人让学生了解定积分的概念，并通过举例讲解使其性质浮现再加以引导理解。
六、教学环境网络环境下的多媒体教室与课堂互动。
七、教学过程一、定积分问题举例1. 曲边梯形的面积曲边梯形: 设函数y =f (x )在区间[a , b ]上非负、连续. 由直线x =a 、x =b 、y =0及曲线y =f (x )所围成的图形称为曲边梯形, 其中曲线弧称为曲边.求曲边梯形的面积的近似值:将曲边梯形分割成一些小的曲边梯形, 每个小曲边梯形都用一个等宽的小矩形代替, 每个小曲边梯形的面积都近似地等于小矩形的面积, 则所有小矩形面积的和就是曲边梯形面积的近似值. 具体方法是: 在区间[a , b ]中任意插入若干个分点a =x 0< x 1< x 2< ⋅ ⋅ ⋅< x n -1< x n =b ,把[a , b ]分成n 个小区间[x 0, x 1], [x 1, x 2], [x 2, x 3], ⋅ ⋅ ⋅ , [x n -1, x n ],它们的长度依次为∆x 1= x 1-x 0 , ∆x 2= x 2-x 1 , ⋅ ⋅ ⋅ , ∆x n = x n -x n -1 .经过每一个分点作平行于y 轴的直线段, 把曲边梯形分成n 个窄曲边梯形. 在每个小区间[x i -1, x i ]上任取一点ξ i , 以[x i -1, x i ]为底、f (ξ i )为高的窄矩形近似替代第i 个窄曲边梯形(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ , n ) , 把这样得到的n 个窄矩阵形面积之和作为所求曲边梯形面积A 的近似值, 即A ≈f (ξ 1)∆x 1+ f (ξ 2)∆x 2+⋅ ⋅ ⋅+ f (ξ n )∆x n ∑=∆=ni i i x f 1)(ξ.求曲边梯形的面积的精确值:显然, 分点越多、每个小曲边梯形越窄, 所求得的曲边梯形面积A 的近似值就越接近曲边梯形面积A 的精确值, 因此, 要求曲边梯形面积A 的精确值, 只需无限地增加分点, 使每个小曲边梯形的宽度趋于零. 记λ=max{∆x 1, ∆x 2,⋅ ⋅ ⋅, ∆x n }, 于是, 上述增加分点, 使每个小曲边梯形的宽度趋于零, 相当于令λ→0. 所以曲边梯形的面积为∑=→∆=ni i i x f A 10)(lim ξλ. 2. 变速直线运动的路程设物体作直线运动, 已知速度v =v (t )是时间间隔[T 1, T 2]上t 的连续函数, 且v (t )≥0, 计算在这段时间内物体所经过的路程S .求近似路程:我们把时间间隔[T 1, T 2]分成n 个小的时间间隔∆t i , 在每个小的时间间隔∆t i 内, 物体运动看成是均速的, 其速度近似为物体在时间间隔∆t i 内某点ξ i 的速度v (τ i ), 物体在时间间隔∆t i 内 运动的距离近似为∆S i = v (τ i ) ∆t i . 把物体在每一小的时间间隔∆t i 内 运动的距离加起来作为物体在时间间隔[T 1 , T 2]内所经过的路程S 的近似值. 具体做法是:在时间间隔[T 1 , T 2]内任意插入若干个分点T 1=t 0< t 1< t 2<⋅ ⋅ ⋅< t n -1< t n =T 2,把[T 1 , T 2]分成n 个小段[t 0, t 1], [t 1, t 2], ⋅ ⋅ ⋅, [t n -1, t n ] ,各小段时间的长依次为∆t 1=t 1-t 0, ∆t 2=t 2-t 1,⋅ ⋅ ⋅, ∆t n =t n -t n -1.相应地, 在各段时间内物体经过的路程依次为∆S 1, ∆S 2, ⋅ ⋅ ⋅, ∆S n .在时间间隔[t i -1, t i ]上任取一个时刻τ i (t i -1<τ i < t i ), 以τ i 时刻的速度v (τ i )来代替[t i -1, t i ]上各个时刻的速度, 得到部分路程∆S i 的近似值, 即∆S i = v (τ i ) ∆t i (i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ , n ).于是这n 段部分路程的近似值之和就是所求变速直线运动路程S 的近似值, 即∑=∆≈ni i i t v S 1)(τ;求精确值:记λ = max{∆t 1, ∆t 2,⋅ ⋅ ⋅, ∆t n }, 当λ→0时, 取上述和式的极限, 即得变速直线运动的路程∑=→∆=ni i i t v S 10)(lim τλ. 设函数y =f (x )在区间[a , b ]上非负、连续. 求直线x =a 、x =b 、y =0及曲线y =f (x )所围成的曲边梯形的面积.(1)用分点a =x 0<x 1<x 2< ⋅ ⋅ ⋅<x n -1<x n =b 把区间[a , b ]分成n 个小区间:[x 0, x 1], [x 1, x 2], [x 2, x 3], ⋅ ⋅ ⋅ , [x n -1, x n ], 记∆x i =x i -x i -1 (i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ , n ).(2)任取ξ i ∈[x i -1, x i ], 以[x i -1, x i ]为底的小曲边梯形的面积可近似为i i x f ∆)(ξ (i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ , n ); 所求曲边梯形面积A 的近似值为∑=∆≈n i ii x f A 1)(ξ. (3)记λ=max{∆x 1, ∆x 2,⋅ ⋅ ⋅, ∆x n }, 所以曲边梯形面积的精确值为∑=→∆=n i ii x f A 10)(lim ξλ. 设物体作直线运动, 已知速度v =v (t )是时间间隔[T 1, T 2]上t 的连续函数,且v (t )≥0, 计算在这段时间内物体所经过的路程S .(1)用分点T 1=t 0<t 1<t 2<⋅ ⋅ ⋅<t n -1<t n =T 2把时间间隔[T 1 , T 2]分成n 个小时间段: [t 0, t 1], [t 1, t 2], ⋅ ⋅ ⋅, [t n -1, t n ] , 记∆t i =t i -t i -1 (i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ , n ).(2)任取τi ∈[t i -1, t i ], 在时间段[t i -1, t i ]内物体所经过的路程可近似为v (τi )∆t i(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ , n ); 所求路程S 的近似值为∑=∆≈n i ii t v S 1)(τ. (3)记λ=max{∆t 1, ∆t 2,⋅ ⋅ ⋅, ∆t n }, 所求路程的精确值为∑=→∆=n i ii t v S 10)(lim τλ.二、定积分定义抛开上述问题的具体意义, 抓住它们在数量关系上共同的本质与特性加以概括, 就抽象出下述定积分的定义.定义 设函数f (x )在[a , b ]上有界, 在[a , b ]中任意插入若干个分点a =x 0< x 1< x 2< ⋅ ⋅ ⋅< x n -1< x n =b ,把区间[a , b ]分成n 个小区间[x 0, x 1], [x 1, x 2], ⋅ ⋅ ⋅, [x n -1, x n ] ,各小段区间的长依次为∆x 1=x 1-x 0, ∆x 2=x 2-x 1,⋅ ⋅ ⋅, ∆x n =x n -x n -1.在每个小区间[x i -1, x i ]上任取一个点ξ i (x i -1< ξ i < x i ), 作函数值f (ξ i )与小区间长度∆x i 的乘积 f (ξ i ) ∆x i (i =1, 2,⋅ ⋅ ⋅, n ) , 并作出和∑=∆=ni i i x f S 1)(ξ.记λ = max{∆x 1, ∆x 2,⋅ ⋅ ⋅, ∆x n }, 如果不论对[a , b ]怎样分法, 也不论在小区间[x i -1, x i ]上点ξ i 怎样取法, 只要当λ→0时, 和S 总趋于确定的极限I , 这时我们称这个极限I 为函数f (x )在区间[a , b ]上的定积分, 记作⎰b a dx x f )(,即 ∑⎰=→∆=n i i i b a x f dx x f 10)(lim )(ξλ.其中f (x )叫做被积函数, f (x )dx 叫做被积表达式, x 叫做积分变量, a 叫做积分下限, b 叫做积分上限, [a , b ]叫做积分区间.定义 设函数f (x )在[a , b ]上有界, 用分点a =x 0<x 1<x 2< ⋅ ⋅ ⋅<x n -1<x n =b 把[a , b ]分成n 个小区间: [x 0, x 1], [x 1, x 2], ⋅ ⋅ ⋅, [x n -1, x n ] , 记∆x i =x i -x i -1(i =1, 2,⋅ ⋅ ⋅, n ).任ξ i ∈[x i -1, x i ] (i =1, 2,⋅ ⋅ ⋅, n ), 作和∑=∆=n i i ix f S 1)(ξ.记λ=max{∆x 1, ∆x 2,⋅ ⋅ ⋅, ∆x n }, 如果当λ→0时, 上述和式的极限存在, 且极限值与区间[a , b ]的分法和ξ i 的取法无关, 则称这个极限为函数f (x )在区间[a , b ]上的定积分, 记作⎰b a dx x f )(,即 ∑⎰=→∆=ni i i ba x f dx x f 10)(lim )(ξλ. 根据定积分的定义, 曲边梯形的面积为⎰=b a dx x f A )(.变速直线运动的路程为dt t v S TT )(21⎰=. 说明:(1)定积分的值只与被积函数及积分区间有关, 而与积分变量的记法无关, 即⎰⎰⎰==ba b a b a du u f dt t f dx x f )()()(.(2)和∑=∆ni i i x f 1)(ξ通常称为f (x )的积分和.(3)如果函数f (x )在[a , b ]上的定积分存在, 我们就说f (x )在区间[a , b ]上可积. 函数f (x )在[a , b ]上满足什么条件时, f (x )在[a , b ]上可积呢？定理1 设f (x )在区间[a , b ]上连续, 则f (x ) 在[a , b ]上可积.定理2 设f (x )在区间[a , b ]上有界, 且只有有限个间断点, 则f (x ) 在[a , b ]上可积. 定积分的几何意义:在区间[a , b ]上, 当f (x )≥0时, 积分⎰b a dx x f )(在几何上表示由曲线y =f (x )、两条直线x =a 、x =b 与x 轴所围成的曲边梯形的面积; 当f (x )≤0时, 由曲线y =f (x )、两条直线x =a 、x =b 与x 轴所围成的曲边梯形位于x 轴的下方, 定义分在几何上表示上述曲边梯形面积的负值; ⎰∑∑⎰--=∆--=∆==→=→ba n i i i n i i ib a dx x f x f x f dx x f )]([)]([lim )(lim )(1010ξξλλ. 当f (x )既取得正值又取得负值时, 函数f (x )的图形某些部分在x 轴的上方, 而其它部分在x 轴的下方. 如果我们对面积赋以正负号, 在x 轴上方的图形面积赋以正号, 在x 轴下方的图形面积赋以负号, 则在一般情形下, 定积分⎰ba dx x f )(的几何意义为: 它是介于x 轴、函数f (x )的图形及两条直线x =a 、x =b 之间的各部分面积的代数和.用定积分的定义计算定积分:例1. 利用定义计算定积分dx x 210⎰.解 把区间[0, 1]分成n 等份, 分点为和小区间长度为n i x i =(i =1, 2,⋅ ⋅ ⋅, n -1), nx i 1=∆(i =1, 2,⋅ ⋅ ⋅, n ) . 取ni i =ξ(i =1, 2,⋅ ⋅ ⋅, n ), 作积分和 ∑∑∑===⋅=∆=∆n i i n i i i n i i n n i x x f 121211)()(ξξ )12)(1(61113123++⋅==∑=n n n n i n n i )12)(11(61n n ++=. 因为n1=λ, 当λ→0时, n →∞, 所以 31)12)(11(61lim )(lim 10210=++=∆=∞→=→∑⎰n n x f dx x n n i i i ξλ. 利定积分的几何意义求积分: 例2. 用定积分的几何意义求⎰-10)1(dx x .解: 函数y =1-x 在区间[0, 1]上的定积分是以y =1-x 为曲边, 以区间[0, 1]为底的曲边梯形的面积. 因为以y =1-x 为曲边, 以区间[0, 1]为底的曲边梯形是一直角三角形, 其底边长及高均为1, 所以211121)1(10=⨯⨯=-⎰dx x . 三、定积分的性质两点规定: (1)当a =b 时,0)(=⎰b a dx x f . (2)当a >b 时, ⎰⎰-=a b b a dx x f dx x f )()(.性质1 函数的和(差)的定积分等于它们的定积分的和(差) 即 ⎰⎰⎰±=±b a b a b a dx x g dx x f dx x g x f )()()]()([.证明:⎰±b a dx x g x f )]()([∑=→∆±=n i i i i x g f 10)]()([lim ξξλ ∑∑=→=→∆±∆=n i i i n i i i x g x f 1010)(lim )(lim ξξλλ ⎰⎰±=b a b a dx x g dx x f )()(.性质2 被积函数的常数因子可以提到积分号外面 即⎰⎰=b a b a dx x f k dx x kf )()(.这是因为∑⎰=→∆=n i i i b a x kf dx x kf 10)(lim )(ξλ⎰∑=∆==→b a n i i i dx x f k x f k )()(lim 10ξλ. 性质3 如果将积分区间分成两部分 则在整个区间上的定积分等于这两部分区间上定积分之和 即⎰⎰⎰+=b c c a b a dx x f dx x f dx x f )()()(.这个性质表明定积分对于积分区间具有可加性.值得注意的是不论a ,b ,c 的相对位置如何总有等式⎰⎰⎰+=b c c a b a dx x f dx x f dx x f )()()(成立. 例如, 当a <b <c 时, 由于 ⎰⎰⎰+=c b b a c a dx x f dx x f dx x f )()()(,于是有 ⎰⎰⎰-=c b c a b a dx x f dx x f dx x f )()()(⎰⎰+=b c c a dx x f dx x f )()(.性质4 如果在区间[a b ]上f (x )≡1 则 a b dx dx b a b a -==⎰⎰1.性质5 如果在区间[a , b ]上 f (x )≥0, 则 ⎰≥b a dx x f 0)((a <b ).推论1 如果在区间[a , b ]上 f (x )≤ g (x ) 则⎰⎰≤b a b a dx x g dx x f )()((a <b ).这是因为g (x )-f (x )≥0, 从而⎰⎰⎰≥-=-b a b a b a dx x f x g dx x f dx x g 0)]()([)()(, 所以⎰⎰≤b a b a dx x g dx x f )()(.推论2 ⎰⎰≤b a b a dx x f dx x f |)(||)(|(a <b ).这是因为-|f (x )| ≤ f (x ) ≤ |f (x )|, 所以⎰⎰⎰≤≤-b a b a b a dx x f dx x f dx x f |)(|)(|)(|,即 ⎰⎰≤b a b a dx x f dx x f |)(||)(|| .性质6 设M 及m 分别是函数f (x )在区间[a , b ]上的最大值及最小值, 则⎰-≤≤-b a a b M dx x f a b m )()()((a <b ).证明 因为 m ≤ f (x )≤ M , 所以⎰⎰⎰≤≤b a b a b a Mdx dx x f mdx )(,从而 ⎰-≤≤-b a a b M dx x f a b m )()()(.性质7 (定积分中值定理) 如果函数f (x )在闭区间[a , b ]上连续, 则在积分区间[a , b ]上至少存在一个点ξ , 使下式成立:⎰-=ba ab f dx x f ))(()(ξ. 这个公式叫做积分中值公式.证明 由性质6⎰-≤≤-ba ab M dx x f a b m )()()(,各项除以b -a 得⎰≤-≤b a M dx x f a b m )(1, 再由连续函数的介值定理, 在[a , b ]上至少存在一点ξ , 使⎰-=b a dx x f ab f )(1)(ξ, 于是两端乘以b -a 得中值公式⎰-=ba ab f dx x f ))(()(ξ. 积分中值公式的几何解释:应注意: 不论a <b 还是a >b , 积分中值公式都成立.。
定积分的概念教案
定积分的概念教案教案标题：定积分的概念教案教案目标：1. 理解定积分的概念及其在数学中的应用；2. 掌握定积分的计算方法；3. 能够运用定积分解决实际问题。
教学内容：1. 定积分的概念介绍；2. 定积分的计算方法；3. 定积分的应用。
教学步骤：引入活动：1. 引导学生回顾不定积分的概念和计算方法，以便为定积分的引入做铺垫。
主体活动：2. 介绍定积分的概念和意义，并与不定积分进行对比，强调二者的区别和联系。
3. 解释定积分的计算方法，包括Riemann和Newton-Leibniz公式等，通过实例演示如何进行定积分的计算。
4. 引导学生思考定积分的应用领域，如面积计算、物理学中的速度、加速度计算等，并结合实际问题进行案例分析和讨论。
5. 练习定积分的计算方法和应用，提供一些练习题，让学生进行个人或小组练习，并及时给予指导和反馈。
总结活动：6. 总结定积分的概念、计算方法和应用，强调定积分在数学中的重要性，并鼓励学生在今后的学习中继续深入探究。
教学资源：1. 教科书或教学课件；2. 白板、彩色粉笔/马克笔；3. 实例演示材料；4. 练习题。
评估方法：1. 教师观察学生在课堂上的参与程度和对概念的理解程度；2. 学生完成的练习题和解答过程；3. 学生参与案例分析和讨论的贡献。
拓展活动：1. 鼓励学生自主学习和探究更多与定积分相关的概念和应用；2. 提供相关参考资料和学习资源，供学生进一步学习和研究。
注意事项：1. 确保教学内容和步骤的连贯性和逻辑性；2. 根据学生的学习进度和理解程度，灵活调整教学节奏；3. 鼓励学生积极参与课堂讨论和练习，培养他们的问题解决能力和数学思维能力。
《定积分的概念》教学教案
《定积分的概念》教学教案教学教案《定积分的概念》一、教学目标1.理解定积分的概念和基本性质；2.掌握计算定积分的方法和技巧；3.运用定积分解决实际问题。
二、教学重点1.定积分的概念和基本性质；2.计算定积分的方法和技巧。
三、教学难点1.理解定积分的概念和基本性质；2.运用定积分解决实际问题。
四、教学准备1.教材：数学教材、习题集等；2.工具：黑板、粉笔等。
五、教学过程Step 1 知识导入（5分钟）1.复习集中讨论上一节课的内容，引入定积分的概念。
2.提问：你们对定积分有什么了解？Step 2 定积分的概念（20分钟）1. 导入：引入定积分的基本概念，如Riemann和、分割、积分和面积的关系等。
2.讲解：通过具体的例子，解释定积分的定义和意义。
3.提问：如何通过曲线的面积概念引入定积分？Step 3 定积分的基本性质（15分钟）1.引入：引入定积分的基本性质，如线性性质、区间可加性、保号性等。
2.讲解：通过具体例子验证定积分的基本性质。
3.提问：如何理解定积分的线性性质？Step 4 计算定积分（25分钟）1.导入：通过几何问题，引入定积分的计算方法。
2.讲解：教授求定积分的方法和技巧，如代数法、几何法、换元法等。
3.举例：通过具体的例子讲解并计算定积分。
4.练习：让学生完成相应的练习题。
Step 5 运用定积分（20分钟）1.导入：通过实际问题引入定积分的应用。
2.讲解：教授定积分在物理学和经济学等领域的应用。
3.举例：通过实际问题的例子，展示定积分的应用过程。
4.提问：你对定积分的应用有何感悟？Step 6 拓展延伸（15分钟）1.讲解：让学生了解定积分的应用不仅限于一元函数，还可以推广到二元和多元函数。
2.提问：你能举例说明定积分在二元和多元函数中的应用吗？六、教学总结（10分钟）1.复习：对本节课的知识点进行复习。
2.总结：对本节课的教学内容进行总结，概括定积分的概念、基本性质和计算方法。
大学数学定积分的概念教案
课程名称：高等数学授课对象：大学本科生课时：2课时教学目标：1. 理解定积分的概念，掌握定积分的基本思想和定义过程。
2. 能够运用定积分的概念解决实际问题，如计算曲边梯形的面积。
3. 培养学生的逻辑思维能力、抽象思维能力和解决问题的能力。
教学重点：1. 定积分的概念2. 定积分的几何意义教学难点：1. 定积分的概念建立2. 定积分的几何意义教学准备：1. 教学课件2. 练习题3. 课堂演示工具教学过程：第一课时一、导入1. 介绍定积分产生的背景，如几何学、物理学等领域中面积、体积、功等问题。
2. 引导学生回顾导数的概念，引出定积分的定义。
二、讲授新课1. 定积分的概念（1）介绍定积分的定义：定积分是求一个函数在一个区间上的总和的极限。
（2）举例说明定积分的定义：如计算曲边梯形的面积。
（3）讲解定积分的几何意义：定积分的几何意义是求一个函数在一个区间上的净面积。
2. 定积分的性质（1）线性性质：定积分的线性性质是指定积分具有可加性和可逆性。
（2）保号性质：定积分的保号性质是指如果函数在一个区间上单调递增（或递减），则定积分的值也单调递增（或递减）。
三、课堂练习1. 计算定积分的值。
2. 根据定积分的几何意义，求解实际问题。
第二课时一、复习1. 回顾定积分的概念、性质和几何意义。
2. 复习课堂练习中的题目。
二、讲授新课1. 定积分的计算方法（1）积分公式：介绍基本的积分公式，如幂函数、指数函数、三角函数等。
（2）积分法则：介绍积分法则，如换元积分法、分部积分法等。
2. 定积分的应用（1）计算曲边梯形的面积。
（2）计算平面图形的面积。
（3）计算空间图形的体积。
三、课堂练习1. 计算定积分的值。
2. 根据定积分的应用，求解实际问题。
教学总结：通过本节课的学习，学生应该掌握定积分的概念、性质、计算方法和应用。
在教学过程中，注重启发式教学，引导学生主动思考，培养学生的逻辑思维能力和抽象思维能力。
同时，通过实际问题，让学生体会定积分的实际应用价值。
定积分的概念教案
定积分的概念教案教学目标：了解定积分的概念及其几何意义，熟练掌握定积分的计算方法。
教学重点：掌握定积分的概念及其几何意义。
教学难点：运用定积分的概念解决实际问题。
教学准备：教师准备教材、教具和白板笔等。
教学过程：Step 1：导入问题教师可以提出一个实际问题，如：一辆汽车在1小时内的速度是多少？请学生思考并展开讨论。
Step 2：引入定积分教师出示一张速度-时间图像，简单介绍图像含义，即速度的变化情况。
Step 3：讨论定积分概念教师引导学生思考：如何根据速度-时间图像计算汽车在1小时内行驶的距离？学生可以按时间分割成不同的小段，并计算每个小段的行驶距离。
引出定积分的概念：将时间划分成无限小的小段，计算每个小段的行驶距离，并对其求和。
Step 4：定积分的计算方法教师介绍定积分的计算方法：将定积分问题转化为求函数的不定积分问题，然后根据不定积分的法则进行计算。
Step 5：定积分的几何意义教师引导学生思考：定积分的几何意义是什么？可以让学生按照概念中的思路进行讨论，并引导学生认识到定积分表示函数与横轴之间的面积。
Step 6：应用定积分解决实际问题教师出示一个实际问题，如：一块不规则形状的地块的面积如何计算？引导学生将地块的形状划分成无数个小矩形或小三角形，然后利用定积分的概念求解。
Step 7：练习与总结教师提供一些定积分的练习题，供学生巩固知识并提出问题。
在练习过程中，教师及时纠正学生的错误，引导学生总结定积分的计算方法和几何意义。
Step 8：课堂小结教师对本节课进行小结，强调定积分的概念及其几何意义，并鼓励学生继续探索和应用定积分。
Step 9：课后作业教师布置相关的课后作业，要求学生继续练习定积分的计算及应用，并预习下节课内容。
以上为定积分的概念教案。
定积分的概念教学设计
定积分的概念教学设计教学设计：定积分的概念一、教学目标：1.了解定积分的概念，并能够运用定积分的定义进行求解。
2.掌握定积分的性质，能够判断定积分的情况。
3.能够运用定积分求解实际问题。
二、教学内容：三、教学过程：1.导入（10分钟）（1）引入：请同学们回顾一下之前学过的不定积分，不定积分是一个函数的原函数，表示的是一个函数的一类可能的原函数。
那么，对于一个函数f(x)，我们有没有办法求出它在一些区间[a,b]上的整体情况呢？（2）引导：提问同学，对于求函数f(x)在[a,b]上的整体情况，你们有什么想法？（3）呈现：将定积分的概念进行呈现，并简单解释定积分的意义。
2.概念解释（20分钟）（1）讲解：通过教师讲解的方式，引导同学们对定积分概念的理解。
（2）解读：通过示意图，解读定积分的图形意义。
（3）讨论：请同学们和小组成员进行讨论，总结定积分的定义和图形意义，并进行概念解释。
3.性质分析（30分钟）（1）引入：引导同学们思考定积分的性质。
（2）归纳：通过教师的讲解，引导同学们对定积分的性质进行归纳总结。
（3）例题：找一些简单的例题，让同学们通过计算来验证定积分的性质。
4.求解方法（30分钟）（1）引导：给出一个求解定积分的具体问题，引导同学们分析解决问题的方法。
（2）讲解：通过教师的讲解，引导同学们掌握定积分的求解方法。
（3）练习：给同学们一些具体的定积分求解问题，让他们尝试解题，并互相讨论。
5.实际应用（30分钟）（1）分析：给出一个实际问题，引导同学们思考如何运用定积分进行求解。
（2）讲解：通过教师的讲解，引导同学们学习定积分在实际应用中的运用。
（3）练习：给同学们一些实际应用题目，让他们运用定积分进行求解，并进行讨论和解答。
四、教学反思：通过本节课的教学，同学们对定积分的概念有了更深刻的了解，能够运用定积分的定义进行求解，并且掌握定积分的性质，能够判断定积分的情况。
在实际应用方面，同学们也能够运用定积分进行求解。
定积分教案
定积分教案教案：定积分一、教学目标：1.了解定积分的概念、性质和计算方法。
2.理解定积分在几何和物理问题中的应用。
二、教学重点：1.定积分的定义和求解方法。
2.定积分在几何和物理问题中的应用。
三、教学难点：1.定积分的性质和计算方法。
2.定积分在几何和物理问题中的应用。
四、教学步骤：1.引入定积分的概念和应用。
-定积分是微积分中的重要概念，是求函数在一定区间上的面积的方法。
-引导学生思考定积分的背后含义，如何用无穷小的微元来表示面积。
-介绍定积分在几何和物理问题中的应用，如计算曲线下的面积、求物体质量和质心等。
2.讲解定积分的定义和性质。
- 定积分的定义：设函数f(x)在[a, b]上连续，将[a, b]分成n个小区间，每个小区间的长度为∆x，选择每个小区间上的一个点ξi，构成Riemann和。
-定积分的性质：可加性、保号性、估值性、区间可加性等。
3.讲解定积分的计算方法。
-计算定积分的方法主要有几何法、代数法和数学归纳法。
-通过例题演示几何法和代数法的具体步骤和计算过程。
4.讲解定积分的物理应用。
-定积分在物理问题中的应用：计算物体质量、质心和转动惯量等。
-通过实例演示定积分在物理问题中的具体应用和计算方法。
五、教学效果评估：1.设计一定积分计算题目，包括几何和物理问题的应用。
2.要求学生独立完成题目，并在课堂上进行讲解。
3.评估学生的答题情况和理解程度。
六、板书设计：定积分的定义与性质计算定积分的方法定积分的物理应用七、教学反思：通过本堂课的教学，学生对定积分的概念、性质和计算方法有了初步的了解。
同时，通过实例演示定积分在几何和物理问题中的应用，使学生对定积分的实际意义有了更深入的理解。
在教学过程中，要注意引导学生思考和探索，培养学生的自主学习能力和解决问题的能力。
同时，通过评估学生的学习效果，及时发现问题并进行针对性辅导。
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高等数学(上册)教案22定积分的概念与性质-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN第5章 定积分及其应用定积分的概念与性质【教学目的】：1. 理解曲边梯形的面积求法的思维方法；2. 理解定积分的概念及其性质；3. 掌握定积分的几何意义 ；【教学重点】：1. 定积分的概念及其性质；【教学难点】：1. 曲边梯形面积求法的思维方法；【教学时数】：2学时【教学过程】：案例研究引例5.1.1 曲边梯形的面积问题所谓曲边梯形是指由连续曲线)(x f y =(设0)(≥x f )，直线a x =，b x =和0=y (即x 轴)所围成的此类型的平面图形（如图5-1所示）．下面来求该曲边梯形的面积．分析 由于“矩形面积=底⨯高”，而曲边梯形在底边上各点处的高()f x 在区间[,]a b 上是变动的，故它的面积不能按矩形面积公式计算.另一方面，由于曲线()y f x =在[,]a b 上是连续变化的，所以当点x 在区间[,]a b 上某处变化很小时，相应的()f x 也就变化不大.于是，考虑用一组平行于y 轴的直线把曲边梯形分割成若干个小曲边梯形，当分割得较细，每个小曲边图5-1 图5-2梯形很窄时，其高()f x 的变化就很小.这样，可以在每个小曲边梯形上作一个与它同底、以底上某点函数值为高的小矩形，用小矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，进而用所有小曲边梯形的面积之和近似代替整个曲边梯形的面积（如图5-2所示）.显然，分割越细，近似程度越高，当无限细分时，所有小矩形面积之和的极限就是曲边梯形面积的精确值.根据以上分析，可按以下四步计算曲边梯形的面积A .（1）分割 在闭区间],[b a 上任意插入1n -个分点，01211......i i n n a x x x x x x x b --=<<<<<<<<=，将闭区间[,]a b 分成n 个小区间],[,],,[,],[],,[112110n n i i x x x x x x x x -- ，它们的长度依次为11022111,,...,,...,i i i n n n x x x x x x x x x x x x --∆=-∆=-∆=-∆=-，过每一个分点作平行于y 轴的直线，把曲边梯形分成n 个小曲边梯形；（2）取近似 在每个小区间1[,]i i x x -(1,2,...,)i n =上任取一点1()i i i i x x ξξ-≤≤，以小区间1i i i x x x -∆=-为底，()i f ξ为高作小矩形，用小矩形的面积()i i f x ξ∆近似代替相应的小曲边梯形的面积A ∆，即()(1,2,...,)i i A f x i n ξ∆=∆=，（3）求和 把这样得到的n 个小矩形的面积加起来，得和式∑=∆ni i i x f 1)(ξ，将其作为曲边梯形面积的近似值，即11()n ni i i i i A A f x ξ===∆≈∆∑∑；（4）取极限 当分点个数n 无限增加，且小区间长度的最大值λ（max{}i x λ=∆）趋于零时，上述和式的极限值就是曲边梯形面积的精确值，即01lim ()ni i i A f x λξ→==∆∑. 5.1.1 定积分的定义定义1 设函数()y f x =在闭区间[,]a b 上有界，在闭区间[,]a b 中任意插入1n -个分点01211......i i n n a x x x x x x x b --=<<<<<<<<=，将区间[,]a b 分成n 个小区间011211[,],[,],...,[,],...,[,]i i n n x x x x x x x x --，各小区间的长度依次为11022111,,...,,...,i i i n n n x x x x x x x x x x x x --∆=-∆=-∆=-∆=-，在每个小区间上任取一点)(1i i i i x x ≤≤-ξξ，作函数值)(i f ξ与小区间长度i x ∆的乘积),,2,1()(n i x f i i =∆ξ，并作和∑=∆ni i i x f 1)(ξ，记}max {i x ∆=λ， ),,2,1(n i =，当n 无限增大且0→λ时，若上述和式的极限存在，则称函数()y f x =在区间[,]a b 上可积，并将此极限值称为函数()y f x =在[,]a b 上的定积分，记为⎰ba dx x f )(. 即 ∑⎰=→∆=n i i ib a x f dx x f 10)(lim )(ξλ， 其中x 称为积分变量，()f x 称为被积函数，()f x dx 称为被积表达式， a 称为积分下限，b 称为积分上限，[,]a b 称为积分区间，符号⎰ba dx x f )(读作函数()f x 从a 到b 的定积分.按定积分的定义，两个引例的结果可以分别表示为：⎰=b a dx x f A )(，⎰=ba dt t P Q )(， 关于定积分的定义作以下几点说明：（1）和式的极限∑=→∆10)(lim i i i x f ξλ存在（即函数()f x 在[,]a b 上可积）是指不论对区间[,]a b 怎样分法，也不论对点1()i i i i x x ξξ-≤≤怎样取法，极限都存在.（2）和式的极限仅与被积函数()f x 的表达式及积分区间[,]a b 有关，与积分变量使用什么字母无关，即⎰⎰⎰==ba b a ba du u f dt t f dx x f )()()(. （3）定义中要求积分限ab <，我们补充如下规定：当a b =时，()0ba f x dx =⎰ 当ab >时，()()b aa b f x dx f x dx =-⎰⎰ （4）函数可积的两个充分条件：若],[)(b a x f 在上连续，则],[)(b a x f 在上可积。
若],[)(b a x f 在上有界，且只有有限个第一类间断点，则],[)(b a x f 在上可积。
定积分的几何意义 当0)(≥x f 时，由前述可知，定积分⎰ba dx x f )(在几何上表示由曲线)(x f y =，两直线b x a x ==,与x 轴所围成的曲边梯形的面积；如果0)(≤x f ，这时曲边梯形位于x 轴下方，定积分⎰ba dx x f )(在几何上表示上述曲边梯形面积的负值，如图5－3；当)(x f 在[,]a b 上有正有负时，定积分⎰ba dx x f )(在几何上表示x 轴，曲线)(x f y =及两直线b x a x ==,所围成的各个曲边梯形面积的代数和（见图5－4），即 123()ba f x dx A A A =-+-⎰. 5.1.2 定积分的性质以下性质中函数均为可积函数.性质1 函数和（差）的定积分等于它们定积分的和（差）,即 ⎰⎰⎰±=±ba b a b a dx x g dx x f dx x g x f )()()](([）. 性质1可推广到有限多个函数代数和的情形. 性质2 被积函数的常数因子可以提到定积分的符号外面，即⎰⎰=ba b a dx x f k dx x kf )()(，（k 为常数）. 性质3 如果在区间[,]a b 上()f x C ≡，则)()(a b C Cdx dx x f ba b a -==⎰⎰， 特别地，1C =时，a b dx ba -=⎰. 性质3的几何意义如图5－7所示.性质4（积分区间的可加性） 如果积分区间[,]a b 被点c 分成两个区间[,]a c 和[,]c b ,则在整个区间上的定积分等于这两个区间上定积分的和，即⎰⎰⎰+=c a bc b a dx x f dx x f dx x f )()()(. 注意：无论,,a b c 的相对位置如何，总有上述等式成立。
性质5 如果在区间[,]a b 上，()0f x ≥，则 0)(≥⎰ba dx x f ()ab <. 性质6（定积分的单调性） 如果在区间],[b a 上，有()()f x g x ≤,则 ⎰⎰≤ba b a dx x g dx x f )()( ()a b <. 例2 比较下列各对积分值的大小（1）0⎰与130x dx ⎰ （2）20xdx π⎰与20sin xdx π⎰解 （1）由幂函数的性质，在[]0,1上，有3x ≥由定积分性质，得1300x dx ≥⎰⎰（2）在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有sin x x ≥，得2200sin xdx xdx ππ≥⎰⎰ 性质7（估值定理） 如果函数()f x 在闭区间],[b a 上的最大值为M ，最小值为m ，则 )()()(a b M dx x f a b m ba -≤≤-⎰ ()ab <. 性质7说明，由被积函数在积分区间上的最大值和最小值可以估计积分值的大致范围.例3 估计定积分⎰--112dx e x 的值. 解 先求2)(x e x f -=在区间[1,1]-上的最大值和最小值，为此求得22)(x xe x f --='， 令0)(='x f ，得驻点0x =，比较驻点0x =处与区间端点1x =±处的函数值：1)0(0==e f ， ee f 1)1(1==±-， 得最小值1m e =，最大值1M =，再根据估值定理，得 22112≤≤⎰--dx e e x . 性质8（积分中值定理） 如果函数()y f x =在闭区间[,]a b 上连续，则至少存在一点[,]a b ξ∈，使得 ))(()(a b f dx x f ba -=⎰ξ )(b a ≤≤ξ这个公式称为积分中值公式.【教学小节】：通过本节的学习，理解曲边梯形面积求法的思维过程，理解定积分的概念及其几何意义，熟练掌握定积分的性质，并学会应用其解决定积分的简单问题。
【课后作业】：无。