理论力学课后习题第三章解答

理论力学课后习题第三章解答

3.1解 如题3.1.1图。

均质棒受到碗的弹力分别为，棒自身重力为。棒与水平方向的夹角为。设棒的长度为。

由于棒处于平衡状态，所以棒沿轴和轴的和外力为零。沿过点且与

轴平行的合力矩为0。即：

①

②

③ 由①②③式得：

④ 又由于

即

⑤ 将⑤代入④得：

图

题1.3.11N ,2N G θl x y A z 0sin 2cos 21=-=∑θθN N F x

0cos 2sin 21=-+=∑G N N F

y

θθ0cos 2

2

=-=∑θl

G c N M i ()θ

θ2

2cos 1cos 22-=c l ,cos 2c r =θr

c 2cos =

θ

3.2解 如题3.2.1图所示，

均质棒分别受到光滑墙的弹力，光滑棱角的弹力，及重力。由于棒处于平衡状态，所以沿方向的合力矩为零。即

①

由①②式得：

所以

()c

r c l 2224-=o

图

题1.3.21N 2N G y 0cos 2=-=∑G N F

y

θ0cos 2

2cos 2

=-=∑θθl

G d N M z l

d

=

θ3cos 31

arccos ⎪

⎭

⎫ ⎝⎛=l d θ

3.3解 如题3.3.1图所示。

棒受到重力。棒受到的重力。设均质棒的线密度为。 由题意可知，整个均质棒沿轴方向的合力矩为零。

3.4解 如题3.

4.1图。

轴竖直向下，相同的球、、互切，、切于点。设球的重力大小

图

题1.3.32

AB i G ag ρ=1i G bg

ρ=2ρz ()BH BF G OD G M z --⋅=∑2

1sin θ=0sin cos 2sin 2=⎪⎭

⎫ ⎝⎛--θθρθρa b gb a ga ab

a b 2tan 22

+=θ图

题1.3.4Ox A B C B C D

为，半径为，则对、、三个球构成的系统来说，在轴方向的合力应为零。即：

①

对于球，它相对于过点与轴平行的轴的合力矩等于零。即：

②

由式得：

3.5解 如题3.5.1图。

梯子受到地面和墙的弹力分别为，，受地面和墙的摩擦力分别为，。梯子和人的重力分别为，且。设梯长为，与地面夹角为。由于梯子处于平衡，所以

①

②

且梯子沿过点平行于轴的合力矩为零。即：

③ 又因梯子是一个刚体。当一端滑动时，另一端也滑动，所以当梯与地面的倾角达

到最小时，

G r A B C x 0cos 23=-=∑αT G F x

C D z ()0sin sin =--=∑βαβGr Tr M

D

αβtan 3tan =

1图

题1.3.51N 2N 1f 2f 1G 2G 123G G =l θ012=-=∑f N F x

02112=--+=∑G G N f F

y

A z 0sin cos cos 2

cos 221

2=--+=∑θθθθl N l f l

G l G M i

④ ⑤ 由①②③④⑤得： 所以

3.6解 （a ）取二原子的连线为轴，而轴与轴通过质心。为质心，则，

，轴即为中心惯量主轴。

设、的坐标为，因为为质心（如题3.6.2图）

故

①

且

1121

N f =223

1

N f =

24

41tan =θ⎪⎭

⎫

⎝⎛=-2441tan 1θx y z O Ox Oy Oz y

1

m 2m C

h

a

x •

1

m 图

题1.3.61m 2m ()()0,0,,0,0,21l l

O 02211=+l m l m

②

由①②得

所以中心惯量主轴：

（b ）如题3.6.3图所示，

该原子由、、三个原子构成。为三个原子分子的质心。由对称性可知，

图中、、轴即为中心惯量主轴。设、、三原子的坐标分别为，因为为分子的质心。所以 =

① 又由于

② ③

由①②③得：

l l l =-122

1122121,m m l

m l m m l m l +=+-

=()0221=+=∑i i i z y m I ()2

2121222l m m m m x z m I i i i +=+=∑()2

2

121223l m m m m y x m I i i i +=

+=

∑图

题3.6.3A B D C Cx Cy Cz A B D ()0,,0A y ⎪⎭

⎫

⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,,2,0,,2D B y a y a C D B A D D B B A A C m m m y m y m y m y ++++=

01

12112=++++m m m y m y m y m D

B A D B y y =h y y B A =-2

122112.22m m h

m y y m m h m y D B A +-==+=