第五章--GM系列模型

GM(1,1) 模型的离散形式
x(1) (k 1) 1x(1) (k ) 2
其中
(1) k
X (0) ( x (0) (1), x (0) (2),, x (0) (n))
X (1) ( x (1) (1), x (1) (2),, x (1) (n))
x (k ) x (0) (i) k 1,2,, n
x (k ) x (0) (i) k 1,2,, n
i 1
Grey Model 1阶方程 1个变量
GM(1,1)
BACK
14
第五章 GM系统模型
5.1 GM(1,1) 模型的基本形式
GM(1,1) 模型的白化方程
d
x
(1)
dt
ax
(1)
b
白化方程的解
x
(1)
(t ) ( x
6
第五章 GM系统模型
引 言
模块:在时间-数据二维平面将连续曲线及其底部相连接区域.
数据t 数据t
灰色模块
模块变动趋势
白色模块
时间t
时间t 预测时点
白色数据构成的称为白色模块,由白色模块外推 到未来的模块,即预测值的模块,称为灰色模块.
7
第五章 GM系统模型
引 言
灰色预测模型是通过数据处理来分析和对待随机量,也就是通 过数据到数据的”映射”,时间序列到时间序列的”映射”来处 理和发现规律, 称之为灰色序列生成 邓聚龙,累加生成的灰指数律—灰色控制系统的 优化信息处理问题,华中工学院学报 累加生成是一种有效的弱化数据序列随机性的方法 . ,1987
ODGM的时间响应式直接借助原始差分方程的解：
原始差分GM（1,1）模型的时间响应式
ˆ x
BACK
(1)
b 1 k b (k ) （x (1) ） ( ) a 1 a a
(0)
19
第五章 GM系统模型
5.1 GM(1,1) 模型的基本形式
均值GM(1,1)模型(EGM) 基于GM(1,1)模型的均值形式估计模型参数，借助白
(1)
b at b (1) ) e a a
15
第五章 GM系统模型
5.1 GM(1,1) 模型的基本形式
GM(1,1) 模型的均值形式
x (k ) az (k ) b
( 0) (1)
其中
X (0) ( x (0) (1), x (0) (2),, x (0) (n))
X (1) ( x (1) (1), x (1) (2),, x (1) (n))
13
第五章 GM系统模型
5.1 GM(1,1) 模型的基本形式
GM(1,1) 模型的原始形式
x (k ) ax (k ) b
( 0) (1)
其中
(1) k
X (0) ( x (0) (1), x (0) (2),, x (0) (n))
X (1) ( x (1) (1), x (1) (2),, x (1) (n))
第五章 GM系统模型
20
5.1 GM(1,1) 模型的基本形式
均值差分GM(1,1)模型 基于GM(1,1)模型的均值形式估计模型参数，直接以 均值差分方程的解作为时间响应式所得模型称为 GM(1,1)模型的均值差分形式，简称均值差分GM(1,1) 模型（Even Difference Grey Model, EDGM）. EDGM的时间响应式直接借助均值差分方程的解：
化微分方程式的解构造GM(1,1)时间响应式的差分、
微分混合模型称为GM(1,1)模型的均值混合形式，简 称均值GM(1,1)模型（Even Grey Model, EGM）
定理3
均值GM(1，1)模型的时间响应式为：
ˆ x
BACK
(1)
(k ) ( x
(0)
b a ( k 1) b (1) ) e a a
23
第五章 GM系统模型
5.1 GM(1,1) 模型的基本形式
定理2.1.1 设 X (0) , X (1) , Z (1) 如定义2.1.1和2.1.2所示： 若a ˆ (a, b)T 为参数列，且
x (0) (2) (0) x (3) Y (0) x ( n)
i 1
BACK
18
第五章 GM系统模型
5.1 GM(1,1) 模型的基本形式
原始差分GM(1,1) 模型 基于GM(1,1)模型的原始形式估计模型参数，直接以
原始差分方程的解作为时间响应式所得模型称为
GM(1,1)模型的原始差分形式，简称原始差分GM(1,1)
模型（Original Difference Grey Model, ODGM）
图1.1 4 3 2 1 0 系列1 1 1 2 2 3 1.5 4 3
8 6 4 2 0 系列1 1 1 2 3 3 4.5 4 7.5
图1.2
8
第五章 GM系统模型
引 言
建模步骤: (1)典型模块(典型曲线)的信息 收集; (2)对原始白色信息进行典型曲 线建模; (3)对原始白色信息和典型曲线 拟合信息进行精度检验和关联 分析; (4)选定典型拟合曲线; (5)确定上下界灰模块; (6)预测.
Modelling sequence generating Parameter solving of main variable
Model form choice
Forecasting/ simulating sequence
GM(1,N) DGM(1,N) GM(n, h)
Background value generating
数据
xmax (n t ) x(n) maxt
x(n t ) x(n) t
xmin (n t ) x(n) mint
白色模块
t 预测时点
9
第五章 GM系统模型
本章结构
5.1
5.2 5.3 5.4 5.5 5.6
–GM(1,1)模型的基本形式 –GM(1,1)模型的适用范围 –残差GM(1,1)模型
4
第五章 GM系统模型
引 言
少数据信息：序列有 效建模数据少，不符 合统计预测建模要求
灰信息 内涵
灰数信息：序列数据 真实信息难以获取， 只能了解大概的范围
5
第五章 GM系统模型
引 言
首篇论文: 邓聚龙,灰色动态模型(GM)及在粮食长期预测中的应用,大自 然探索,1984年第3期,37-43. 出发点: (1)通过对数据序列的映射处理,为微分拟合建模提供中间信 息 (2)通过数据的序列生成弱化原始数据序列的随机性(尤其是 对非平稳数据序列随机性的弱化) (3)提出模块预测和累加生成的思想
k 1,2,n
定义2.1.4 称GM(1,1)模型中的参数 a为发展系数，b 为灰色作用量
。
BACK
25
第五章 GM系统模型
5.1 GM(1,1) 模型的基本形式
例2.1.1
2003年以来我国宏观经济
和能源消耗均持续快速增长,其中最
重要பைடு நூலகம்推动力就是工业化进程的加 速,高耗能行业产值占工业比重,工业 产值占全国GDP比重不断上升,使得
ˆ x
(1)
b 1 k b (k ) （x (1) ） ( ) a 1 a a
(0)
（2）均值形式差分方程的解
x
(1)
b 1 0.5a k b (k ) （x (1) ） ( ) a 1 0.5a a
(0)
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第五章 GM系统模型
5.1 GM(1,1) 模型的基本形式
第五章
GM系列模型
南京航空航天大学灰色系统研究所
引 言
预测模型的一般思路
建模数据
检验数据
预测数据
2
第五章 GM系统模型
引 言
基于概率统计的预测模型
1.针对“随机不确定”现象； 2.要求大样本； 3.对象服从某典型分布。
GM系列模型
1.针对“小样本”、“贫信息”问 题，特点是少数据建模； 2.依据信息覆盖，通过序列算子的 作 用挖掘事物运动的规律。
（3）均值差分GM(1,1)模型(EDGM) （4）离散GM(1,1)模型(DGM)
12
为什么只讨 论这四种 基本形式？
第五章 GM系统模型
5.1 GM(1,1) 模型的基本形式
3种基本模型 原始模型 均值模型 离散模型
3种求解思路
直接移项 差分方程 微 分 方 程 求解 求解 求解
原始模型移项、均值模型移项、离散模型移项 原始差分模型、均值差分模型、离散差分模型 原始微分模型、均值微分模型、离散微分模型
我国”十一五”节能降耗总目标实
现难度加大,准确把握未来发展趋势, 及时调整产业结构,将具有重要的意 义.
2004 2005 2006 2007
2 k 2 ˆ (k ) [x (1) x ]1 1 - 1 1 1
(1) (0)
22
BACK
第五章 GM系统模型
5.1 GM(1,1) 模型的基本形式
GM(1,1) 模型的均值形式
x (k ) az (k ) b
( 0) (1)
其中
X (0) ( x (0) (1), x (0) (2),, x (0) (n))
x
BACK
(1)
b 1 0.5a k b (k ) （x (1) ） ( ) a 1 0.5a a
(0)
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第五章 GM系统模型
5.1 GM(1,1) 模型的基本形式
离散GM(1,1)模型
x(1) (k 1) 1x(1) (k ) 2
称为GM(1,1)模型的离散形式 离散 GM(1,1) 模型的递推公式（时间响应式）为 定理 4 离散 GM(1,1) 模型的时间响应式为
X (1) ( x (1) (1), x (1) (2),, x (1) (n))
Z (1) ( z (1) (2), z (1) (3),, z (1) (n))
1 (1) , n z (k ) ( x (k ) x (1) (k 1)) k 2,3， 2
(1)
BACK
–GM(1,1)模型群
–GM(0,N )模型 –灰色 Verhulst模型（拓展内容）
10
第五章 GM系统模型
第一节
GM(1,1)模型的基本形式
BACK
11
第五章 GM系统模型
5.1 GM(1,1) 模型的基本形式 GM(1,1)模型4种基本形式： （1）均值GM(1,1)模型(EGM)
（2）原始差分GM(1,1)模型(ODGM)
z (1) (2) 1 (1) z (3) 1 B (1) z ( n ) 1
则GM(1,1)模型 x(0) (k ) az (1) (k ) b 的最小二乘估计参数列满足
ˆ ( BT B)1 BT Y a
定义2.1.3 称：
dx (1) ax (1) b dt 为GM(1,1)模型的白化方程，也叫影子方程。
BACK
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第五章 GM系统模型
5.1 GM(1,1) 模型的基本形式
ˆ [a, b]T ( BT B) 1 BT Y，则 定理2.1.2 设 B, Y , a a ˆ如定理2.1.1所述，
(1) dx (1)白化方程 ax (1) b 的解也称时间响应函数为 dt
b b x (1) (t ) ( x (1) (1) )e at a a
Z (1) ( z (1) (2), z (1) (3),, z (1) (n))
1 (1) , n z (k ) ( x (k ) x (1) (k 1)) k 2,3， 2
(1)
BACK
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第五章 GM系统模型
5.1 GM(1,1) 模型的基本形式
差分方程的解 （1）原始形式差分方程的解
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第五章 GM系统模型
引 言
灰色预测模型构建过程和分析思路
GM(1,1) Non-equip GM(1,1) DGM(1,1) NDGM Verhulst
Error analysis Properties analysis Grey action coefficients
Modelling variables selection
(2)GM(1,1)模型 x (0) (k ) az (1) (k ) b 的时间响应序列为
b b ˆ (1) (k 1) ( x (0) (1) )e ak ; k 1, 2, x a a
(3)还原值
n
b ˆ (0) (k 1) (1) x ˆ (1) (k 1) x ˆ (1) (k 1) x ˆ (1) (k ) (1 e a )( x (0) (1) )e ak x a