第五章--GM系列模型
GM模型
Φ = [a u]T 为待辨识参数向量, 则(2 − 21)可写成
Y = BΦ (2 − 22)
参数向量Φ可用最小二乘法求取,即 ˆ = [a , u]T = ( BT B )−1 BT Y Φ ˆ ˆ
(2 − 23)
把求取的参数代入(2 − 16)式, 并求出其离散解为
ˆ ˆ ˆ u − ak u ˆ x ( k + 1) = [ x (1) − ]e + ˆ ˆ a a 还原 到原始 数据 得
(1) (1)
(2 − 24)
ˆ (0) ( k + 1) = x (1) ( k + 1) − x (1) ( k ) ˆ ˆ x ˆ ˆ u − ak ˆ a (1) = (1 − e )[ x (1) − ]e ˆ a
(2 − 25)
(2 − 24),(2 − 25)式称为GM (1.1)模型的时间相应函数 模型, 它是GM (1.1)模型灰色预测的具体计算公式.
计算后 验差 比为
C = S 2 / S1
计算小误 差概率为
(2 − 36)
(2 − 37)
p = P { e( k ) − e < 0.6745 S1 }
指标C 和p是后验差检验的两个重要指标.指标C 越小 越好, C 越小表示S1大而S2 越小. S1大表示原始数据方差 大,即原始数据离散程度大.S2小表示残方差小,即残 差离散程度小.C 小就表明尽管原始数据很离散,而模 型所得计算值与实际值之差并不太离散.
(2 − 32)
计 算相对误 差得
e( k ) rel ( k ) = (0) × 100%, k = 1, 2,L , n x (k )
计 算平 均相对 误差 得
第五章--GM系列模型
x (k ) ax (k ) b
( 0) (1)
其中
X (0) ( x (0) (1), x (0) (2),, x (0) (n))
X (1) ( x (1) (1), x (1) (2),, x (1) (n)) k (1) x (k ) x (0) (i) k 1,2,, n
齐次指数序列模拟分析
分别以
X ，X
( 0) 1
( 0) 2
,, X
( 0) 25
作为基础数据序列建立均值GM(1,1)模型(EGM)、
原始差分GM(1,1)模型(ODGM)、均值差分GM(1,1)
模型(EDGM)和离散GM(1,1)模型(DGM)，对模拟误
差进行对比分析。
20
第五章 GM系统模型
5.2 GM(1,1)模型的适用范围
5.2 GM(1,1)模型的适用范围
非指数增长序列模拟分析
表5.2.2 4种GM(1,1)模型非指数增长序列模拟误差
序列序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
BACK
-a 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35
EGM 0.030994 0.658978 0.495833 1.010474 1.550886 1.626294 1.343565 5.155856 4.353253 4.736323 5.236438
型(ODGM)、均值差分GM(1,1)模型(EDGM)和离散
GM(1,1)模型(DGM)的适用范围，为人们在实际建模
过程中正确地选择模型提供参考和依据。 方法手段
分别对齐次指数序列、非指数增长序列和振
GM模型的应用
GM(1,1)预测模型的应用灰色预测是基于GM(1,1)预测模型的预测，按其应用的对象可有四种类型： (1)数列预测。
这类预测是针对系统行为特征值的发展变化所进行的预测。
(2)灾变预测。
这类预测是针对系统行为的特征值超过某个阙值的异常值将在何时出现的预测。
(3)季节灾变预测。
若系统行为的特征有异常值出现或某种事件的发生是在一年中的某个特定的时区，则该预测为季节性灾变预测。
(4)拓扑预测。
这类预测是对一段时间内系统行为特征数据波形的预测。
例1（数列预测）：设原始序列)679.3,390.3,337.3,278.3,874.2())5(),4(),3(),2(),1(()0()0()0()0()0()0(==x x x x x X试用GM(1,1)模型对)0(X 进行模拟和预测，并计算模拟精度。
解：第一步：对)0(X 进行一次累加，得)558.16,897.12,489.9,152.6,874.2()1(=X 第二步：对)0(X 作准光滑性检验。
由)1()()()1()0(-=k x k x k ρ得5.029.0)5(,5.036.0)4(,54.0)3(<≈<≈≈ρρρ。
当k>3时准光滑条件满足。
第三步：检验)1(X 是否具有准指数规律。
由)(1)1()()()1()1()1(k k x k x k ρσ+=-=得29.1)5(,36.1)4(,54.1)3()1()1()1(≈≈≈σσσ当k>3时，5.0],5.1,1[)k ()1(<=∈ρσ，准指数规律满足，故可对)1(X 建立GM(1,1)模型。
第四步：对)1(X 作紧邻均值生成，得)718.14,184.11,820.7,513.4()1(=Z于是⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=679.3390.3337.3278.3)5()4()3()2(,1718.141184.111820.71513.41)5(1)4(1)3(1)2()0()0()0()0()1()1()1()1(x x x x Y z z z z B 第五步：对参数列T b a ],[ˆ=α进行最小二乘估计。
GM模型
1111140122 经创1102 董林威 基于GM （1，1）模型的全国铁路货运量预测摘要：本文将灰色系统理论应用于全国铁路货运量预测，建立了全国铁路货运量的GM（1，1）模型，并通过残差检验、关联度检验和后验差检验等方法验证模型的可行性。
该方法预测精度高、计算速度快，非常适用于全国铁路货运量预测。
关键词：灰色预测；GM （1，1）；货运量一、 引言铁路货运作为现代综合运输体系中的重要组成部分，在煤、电、油、粮食大宗货物运输等方面发挥着不可替代的作用，因而对国民经济的增长具有重大影响。
铁路货运量是评估中国GDP 增长量的重要指标之一，并与用电量、贷款发放量一起被用于分析宏观经济形势。
这三大指标又称为“克强指数”。
所以说对全国铁路货运量进行预测分析可以间接的对我国的宏观经济的走向进行分析和整体上认识预测。
同时铁路运输是一个庞大复杂的运输系统，充满了很多确定性因素和不确定因素，利用灰色预测方法能够很好的对既含有已知信息又含有不确定信息的系统进行预测，本文利用灰色预测理论建立GM （1，1）模型对全国铁路未来几年的货运量进行预测。
二、 建模实证分析1、灰色预测模型信息完全明确的系统称为白色系统，信息未知的系统称为黑色系统，部分信息明确、部分信息不明确的系统成为灰色系统。
灰色系统理论的研究对象是“部分信息已知、部分信息未知"的“小样本"、“贫信息"不确定性系统，它通过对“部分"已知信息的生产、开发实现对现实世界的确切描述和认识。
灰色预测是基于GM 模型作出的定量预测，有GM(1,1)模型、残差 模型、新陈代谢 模型、灰色Verhulst 模型、离散灰色模型等几种类型。
本文采用使用最广泛的GM(1,1)模型。
2、GM （1，1）模型设(0)(0)(0)(0)(1)(1)(1)(1)((1),(2),,,()),((1),(2),,,())X x x x n X x x x n ==称(0)()()()k Xk ax k b +=为 模型的原始形式。
第五章-车辆跟驰理论.
3、传递性
由制约性可知，第一辆车的运行状态制约着第二辆车的运 行状态，第二辆车又制约着第三辆车，…，第n辆车制约 着第n+1辆。一旦第一辆车改变运行状态，其效应会一辆 接一辆的向后传递，直至车队最后一辆，这就是传递性。
Weidman的研究则认为车头间距小于等于150m时，车辆 处于跟驰状态。
在跟驰理论中，目前常用的判定跟驰状态的方法有两种。
➢ 一种是基于期望速度的判定方法，它是通过判断前车速度 是否小于后随车的期望车速来判定车辆是否处于跟驰状态；
➢ 另一种是基于相对速度绝对值的判定方法，它是利用前后 车速度差的绝对值随车头时距变化规律定量地判定车辆行 驶的状态。
其中，L-1表示拉普拉斯的逆变形。 类似地，可以得到车辆速度和车辆间距的变化情况。
因此，可将拉普拉斯逆变换表示成e a 0 t 、e ib 0 t 。对于不 同的C值，跟驰行驶两车的运动情况可分为四类：
a）如果C≤e-1(≈0.368)，a0≤0，b0=0，间距不发生波 动，振幅呈指数衰减；
b）如果 e-1 ＜C＜π/2， a0 ＜0，b0＞0，间距发生 波动，振幅呈指数衰减；
左图为利用计算机模拟的方
法给出的相关运动参数曲线。 C=e-1，由前面所讲可知，属第一 类，即车头间距不发生波动的情 况。头车先减速行驶，然后加速 到起始速度，采用恒定的加速度 和减速度。实线代表头车，虚线 代表跟车。由于C 在车辆局部稳 定的限制范围内，所以跟车的加 速度和速度以及车头间距都没有 发生波动。
紧随要求、车速条件和间距条件构成了一对汽车跟驰行驶 的制约性，即前车的车速制约着后车的车速和车头间距。
2025届高考物理一轮复习课件第五章第3课时专题强化：卫星变轨问题双星模型
m2 2G r2
√B.每颗星体运行的周期均为 2π
r3 3Gm
C.若 r 不变，星体质量均变为 2m，则星体的角速度变为原来的 4 倍
D.若 m 不变，星体间的距离变为 4r，则星体的线速度变为原来的14
考点二 双星或多星模型
任意两颗星体间的万有引力大小 F0＝Gmr22， 每颗星体受到其他两个星体的引力的合力为 F＝2F0cos 30°＝ 3Gmr22，A 错误； 由牛顿第二定律可得 F＝m(2Tπ)2r′，
考点三 星球“瓦解”问题 黑洞
2.黑洞 黑洞是一种密度极大、引力极大的天体，以至于光都无法逃逸，科学家 一般通过观测绕黑洞运行的天体的运动规律间接研究黑洞。当天体的逃 逸速度(逃逸速度为其第一宇宙速度的 2倍)超过光速时，该天体就是黑洞。
考点三 星球“瓦解”问题 黑洞
例6 2018年2月，我国500 m口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星
考点一 卫星的变轨和对接问题
(3)周期 卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上的运行周期T1、T2、T3的关系为 T1<T2<T3 。 (4)机械能 在一个确定的圆(椭圆)轨道上机械能守恒 。若卫星在 Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道的机械能分别为E1、E2、E3，从轨道 Ⅰ到轨道Ⅱ和从轨道Ⅱ到轨道Ⅲ都需要点火加速， 则机械能关系为 E1<E2<E3 。
卫星的变轨和对接问题
考点一 卫星的变轨和对接问题
1.卫星发射模型
(1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向先发射卫星到圆轨道Ⅰ上， 卫星在轨道Ⅰ上做匀速圆周运动，有GMr1m2 ＝mvr12，如图所示。 (2)在A点(近地点)点火加速，由于速度变大，所需向心 力变大，GMr1m2 <mvrA12，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ。 (3)在椭圆轨道 B 点(远地点)，GMr2m2 >mvrB22，将做近心运 动，再次点火加速，使 GMr2m2 ＝mvBr′2 2，进入圆轨道Ⅲ。
灰色模型GM的建模
功的。
《企业经济》!""! 年第 ## 期
管理纵横
图 # 的曲线 )折线有明显的摆动，而图 ! 则无摆动。或
说图 # 有明显的随机性，而图 ! 的随机性有明 Nhomakorabea的弱化。
二、./ ) #，# * 模型的特点
)# * 、灰色模型建立的是微分方程型的模型；
) ! * 、灰色理论把随机变量当作是在一定范围内的灰色
) 3 * 、可以建立残差 ./ ) #，# * 模型，提高预测精度；
) 4 * 、可以建立残差检验、后验差检验、关联度检验三
种检验方法。
三、./ ) #，# * 的建模原理
)# * 、数据处理
给定待测数据序列 5)"* ) % * & ) ()"* )# * 6 ()"* )! * ，………6
()" * ) 7 * * ，采用累加生成 ) 0.1 * 法，得到没有随即性和波动
的生成数列 ) 递增或递减 *。基于光滑离散函数的收敛性
与关联空间的极限概念定义灰导数。目前使用最广泛的
模 型 是 关 于 数 列 预 测 一 个 变 量 、 一 阶 微 分 的 ./ ) #， # *
模型。经证明，经一阶线性方程的解逼近所揭示原始时
间数据列呈指数变化规律。因此，当原始时间序列隐含
着 指 数 变 化 规 律 时 ， 灰 色 ./ ) #， # * 的 预 测 将 是 非 常 成
)作者单位：江西省物资学校 * ) 责任编辑 吴赣英 *
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性的新的数据序列 5)# *$) % * & ) 5)# * ) # * 6 5)# * ) ! * 6 ………，
5)# * ) 7 * * 。其中 5)# * ) 8%*&&# ,()" * ) % * & ) 8 & #6 !6 ………，7 *
GM模型课件
优点分析
简洁性
GM模型在形式上非常简洁，易于理解和实 现。
高效性
GM模型在训练和预测阶段都表现出较高的 效率，尤其在大数据集上。
通用性
GM模型适用于多种类型的预测问题，如时 间序列预测、回归分析和分类问题等。
灵活性
GM模型可以通过调整参数和核函数来适应 不同的数据分布和预测需求。
缺点分析
对异常值敏感
人口预测
利用GM模型预测未来人口数量和结构变化，为政府制定人口政 策提供数据支持。
决策模型的应用
投资决策
通过GM模型评估不同投资项目的风险和收益， 帮助企业选择最优的投资方案。
生产计划
利用GM模型制定生产计划，优化资源配置，提 高生产效率。
物流配送
通过GM模型优化物流配送路线，降低运输成本，提高配送效率。
发展
随着GM模型的广泛应用，其理论和应用方法不断得 到完善和发展。
未来展望
随着大数据和人工智能技术的不断发展，GM模型有 望在未来实现更加精准和智能化的预测。
02
GM模型的原理与计算
GM模型的数学原理
灰色系统理论
GM模型基于灰色系统理论，该理论认为现实世界中许多 系统都是部分信息已知、部分信息未知的，因此可以通过 已知信息来推导未知信息。
预测精度
预测精度是另一个重要的参数，用于衡量预测结果的准确程度。根据实际需求，可以选择不同的预测精度要求。
GM模型的计算过程
数据预处理
对原始数据进行预处 理，包括缺失值填充 、异常值处理等。
生成数据序列
根据累加生成的方式 ，将原始数据转换为 新的数据序列。
建立GM模型
根据已知数据序列建 立GM模型，包括选 择合适的灰数类型和 预测精度要求。
灰色系统理论与应用学习指南
灰色系统理论与应用学习指南第一章 灰色系统的概念与基本原理一、识记1、灰色系统理论的产生与发展动态；2、灰色系统的基本概念；3、灰色系统的基本原理；4、灰数的概念与分类；5、灰数白化及灰度的概念。
二、理解1、几种不确定性方法的比较；2、区间灰数的运算；3、灰数白化的规则与算法。
4、灰数灰度的公理化定义。
三、思考与练习1、下面那个不是常用的不确定性系统的研究方法 （ ）A 概率统计B 模糊数学C 灰色系统D 运筹学2、试简述概率统计、模糊数学和灰色系统理论是三种最常用的不确定性系统研究方法的异同点。
3、试分析灰色系统理论在横断学科群中的地位。
4、请概述灰色系统的概念，并举出两个实际生活中灰色系统的例子。
5、请简要回答灰色系统的六个基本原理。
6、设1⊗∈[3, 4]，2⊗∈ [1, 2]，试求下列各式的值：12⊗-⊗，12⊗+⊗，11-⊗，12⊗⋅⊗，12⊗⊗7、请简述灰数白化的具体含义？并解释等权白化、等权均值白化、典型白化权函数的定义及其特征。
8、什么是灰度？你对灰度的测度有什么好的建议或想法？第二章序列算子与灰色序列生成一、识记1、冲击扰动序列、算子和缓冲算子概念；2、缓冲算子公理；3、均值生成算子、序列的光滑性概念；4、序列的光滑比和准光滑序列；5、累加生成算子和累减生成算子的概念。
二、理解1、缓冲算子的性质；2、实用缓冲算子的构造；3、强化缓冲算子的设计；4、弱化缓冲算子的设计；5、利用均值生成构造新序列；6、累加与累减生成算子的计算；7、级比生成算子；8、准指数规律。
三、应用1、利用缓冲算子来模拟系统行为数据序列。
2、分别利用不同的算子来模拟。
四、思考与练习1、什么是弱化算子？试举例说明。
2、什么是准光滑序列？3、什么是一次累加生成算子？4、下面哪个不是缓冲算子公理（）A 不动点公理B 信息充分利用公理C 唯一性公理D 解析化，规范化公理5、若序列)XD为（）,(X，则二阶缓冲序列21015535388,23480,12588A （10155，12588，23480，35388）B（15323，17685，29456，34567）C （22341，34215，31625，43251）D（27260，29547，32411，35388）6、什么是光滑连续函数?7、什么是序列的光滑比及其意义？8、简要说明累加生成的灰指数律.9、计算：河南省长葛县乡镇企业产值数据（1983-1986年）为X = (10155,12588,23480,35388)其增长势头很猛，1983-1986年每年平均递增51.6%，尤其是1984-1986年，每年平均递增67.7%，参与该县发展规划编制工作的各阶层人士（包括领导层、专家层、群众层）普遍认为该县乡镇企业产值今后不可能一直保持这么高的发展速度。
GM模型建立与预测方法
GM模型建立与预测方法1.灰色系统理论简介：灰色系统理论是由中国科学家李文建于1982年提出的，它是一种描述不确定性系统的理论方法。
灰色系统理论将系统划分为有较多信息和有较少信息的两个部分，将有较多信息的部分称为白色信号，将有较少信息的部分称为黑色信号。
2.GM(1,1)模型的建立步骤：(1)原始数据序列的累加生成：将原始数据序列累加得到累加序列，令累加序列为$$X^{(1)}=\sum_{i=1}^n X(i),\quad i=1,2,...,n.$$(2)累加生成序列的一次累减生成：将累加序列的每个相邻数据相减得到累减序列，令累减序列为$$Z^{(1)}=\sum_{i=1}^{n-1} X(i),\quad i=1,2,...,n-1.$$(3)GM(1,1)微分方程的建立：由累减生成序列得到微分方程为$$\hat{X}(k+1)-a\hat{X}(k) = b,$$其中 $\hat{X}(k)$ 表示 $Z^{(1)}$ 的紧邻均值，即$$\hat{X}(k)=\frac{Z^{(1)}(k)+Z^{(1)}(k+1)}{2},\quadk=1,2,...,n-1.$$系数$a$是发展系数，系数$b$可以由初始数值求得。
(4)模型参数的计算：根据微分方程，可以得到模型参数的计算公式：$$a = \frac{\sum_{i=1}^{n-1}(X^{(1)}/X(i))}{n-1},\quad b = X(1)-\frac{a}{1-a}X^{(1)}.$$3.GM(1,1)模型的预测方法：(1)模型参数的计算：根据已有的数据序列，利用上述步骤计算得到模型的参数$a$和$b$。
(2)模型的状态方程和预测方程：状态方程可以表示为$$X^{(1)}(k+1)=aX^{(1)}(k)+b,$$预测方程可以表示为$$\hat{X}(k+1) = X(1)-\frac{b}{a}[1-\exp(-a)]\exp(a(k+1)).$$ (3)模型的残差检验：计算原始序列和预测序列的离差，如果离差不满足预先设定的阈值，说明预测的效果较好；否则需要调整模型参数重新预测。
灰色系统关联和GM模型
x1 m
常用的无量纲化方法有均值化法（见 （ 12 － 3 ）式）、初值化法（见（ 12 － 4 ） xx 式）和 s 变换等．
7．分别计算每个人各指标关联系数的均 值（关联序）：
0.778 1.000 0.778 0.636 0.467 0.333 1.000 r01 0.713 7
r02 0.614，r03 0.680，r04 0.599，r05 0.683，r06 0.658
0 0.5 7 0 0.5 7 1 (1) 0.778， 1 (2) 1.000 1 0.5 7 0 0.5 7 1 (3)＝0.778， 1 (4)＝0.636， 1 (5)＝0.467， 1 (6)＝0.333
1 (7)＝1.000，
10 1 90 60 x 1 80 60
解之得，即80%转化为7．
4．逐个计算每个被评价对象指标序列 （比较序列）与参考序列对应元素的绝 对差值 即 x0 (k ) xi (k ) （ k 1,, m i 1,, n, n 为被 评价对象的个数）． n m min x0 (k ) xi (k ) 5．确定 min i 1 k 1 与
灰色系统理论 （GM和关联度分析）
1.本节内容
（1）灰色系统理论的产生和发展动态； （2）灰色系统的基本概念； （3）灰色系统与模糊数学、黑箱方法的区别； （4）灰色系统GM（1，1）模型，灰色系统模型 的检验，应用举例 (G 表示 gray（灰色）， M 表 示model（模型），GM（1，1）表示1阶的、1个 变量的模型) 。
第五章 流体状态方程
只包含了纯物质的临界参数，计算方便，在宽广的温度和 压力范围内对非对称烃类体系（C ≤ 16）高压气液平衡具 有足够的精度。 Kordas, A., K. Magoulas, et al. (1995). "Methane-hydrocarbon interaction parameters correlation for the Peng-Robinson and the t-mPR equation of state." Fluid Phase Equilibria 112(1): 33-44.
பைடு நூலகம்
（3）非极性分子对间的总位能关系利用LJ位能关系模型
u(r ) 4 r
6 r 12
LJ位能式中的第一项为排斥作用，第二项为色散能， 对不相同分子和相同分子间的色散能而言，LJ式中的 第二项分布等于式（5-41）、式（5-42）、式（5-43） 的右端，消除极化率得到：
混合规则（Mixing Rule）： 混合物的虚拟参数与混合物的组成和纯物质的参数 之间的关系式； 限于对分子间作用力的认识尚不充分，混合规则很 难从统计热力学严格导出，因此目前的状态方程混 合规则本质上还是经验的； 混合规则的研究非常活跃！
一、经典混合规则（Classical Mixing Rule） 经典混合规则属于van der waals单流体模型， 单流体理论是把由两种或两种以上的物质组成的混 合物作为一种虚拟的纯物质，用一套特征参数来表 征，对任一热力学性质M为：
van氏或rk方程种的a和b随着计算精度的提高方程式中的参数也随之而增加在实际应用时往往会遇到查不到物质特性参数的困难为此需要研究一种基本不包含物质特性参数的新方程即普遍化的状态方程而对比态原理是普遍化状态方程的理论依据
桥梁工程第12讲第五章横向分布系数计算gm法
03
GM法的应用和实例分析
GM法在桥梁工程中的应用
确定横向分布系数
通过GM法，可以计算出桥 梁各跨的横向分布系数，用 于评估桥梁在不同荷载作用 下的受力分布情况。
优化结构设计
利用GM法，可以对桥梁 结构进行优化设计，提高 桥梁的承载能力和稳定性。
指导施工监控
通过GM法的计算结果， 可以指导施工过程中的监 控和监测，确保施工质量 和安全。
加强实测数据积累
通过加强桥梁监测和数据收集，积累更多的实测 数据，为GM法的应用提供更可靠的数据支持。
3
开发智能算法
结合人工智能和大数据技术，开发智能算法，实 现GM法的自动化和智能化，提高计算效率和精 度。
ห้องสมุดไป่ตู้5
结论
总结
通过实例分析，横向分布系数计算GM法能够 反映桥梁的实际情况，为桥梁设计、施工和维
桥梁工程第12讲第 五章横向分布系数计
算GM法
目录
• 引言 • 横向分布系数的概念和计算方法 • GM法的应用和实例分析 • GM法的优缺点和改进方向 • 结论
01
引言
主题简介
01
横向分布系数计算是桥梁工程中 一个重要的计算环节，用于确定 桥梁横向分布的受力情况。
02
GM法（Galerkin Method）是一 种常用的横向分布系数计算方法， 通过建立数学模型和求解方程来得 到横向分布系数。
工程实际意义
结合工程实际，探讨GM法在桥梁工 程中的实际意义和应用前景，提出改 进和完善建议。
04
GM法的优缺点和改进方 向
GM法的优点
计算简便
GM法是一种基于数学理论的计算方法，其公式简单，计算过程相 对简便，适合用于大规模的工程计算。
2021年中考数学复习讲义：第五章 轴对称 模型(二十)——婆罗摩笈多模型
第五章.轴对称模型（二十）——婆罗摩笈多模型一、垂直中点【结论1】如图，△ABC和△DBE是等腰直角三角形，MN经过点B，若MN⊥CE，则①点N是AD的中点，②SCBE∆＝SABD∆，③CE＝2BN. 【证明】如图，（知垂直得中点，一线三垂直）②如图，由①知，SCBM∆＝SBAP∆，SEBM∆＝SBDQ∆，SAPN∆＝SDQN∆∴SABD∆＝SABN∆＋SDBN∆＝SBAP∆＋SAPN∆＋SBDQ∆－SDQN∆模型讲解＝SBAP∆＋SBDQ∆＝SCBM∆＋SEBM∆＝SCBE∆,即SCBE∆＝SABD∆，得证.③如图，由①得，PN＝QN，∴CE＝CM＋EM＝BP＋BQ＝BN－NP＋BN＋QN＝2BN，得证.二、中点垂直【结论2】如图，△ABC和△DBE是等腰直角三角形，点P是CE的中点，PB的延长线交AD于点Q，则①PQ⊥AD，②SCBE∆＝SABD∆,③AD=2BP【证明】如图，（知中点得垂直，倍长中线）②如图，由①知SCBE∆＝SCBP∆＋SEBP∆＝SEMP∆＋SEBP∆＝SMEB∆＝SABD∆,得证.③如图，由①知AD＝MB＝2BP，得证。
婆罗摩笈多定理：若圆内接四边形的对角线相互垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线将平分对边。
这个定理有另一个名称，叫做“布拉美古塔定理”（又译《卜拉美古塔定理”）。
如图，△AOB和△COD是等腰直角三角形，MN过点O，⑴若MN⊥AD，则点M是BC的中点，②SAOD∆＝SBOC∆，③AD＝2OM.⑵若M是BC的中点，则①MN⊥AD，②SAOD∆＝SBOC∆，③AD＝2OM.如图，△AOB和△COD是等腰三角形，∠AOB＋∠COD=180º，MN过点O.N在AD延长线上.拓展拓展⑴若∠ANM＝∠AOB，则M是BC的中点，②SAOD∆＝SBOC∆，③AD＝2OM.⑵若M是BC的中点，则②∠ANM＝∠AOB，②SAOD∆＝SBOC∆，③AD＝2OM.如图，△AOB≌△COD且∠AOB＝∠COD=180º，MN过点O.⑴若M是BC的中点，则①AD＝2OM，②SAOD∆＝SBOC∆.⑵若N是AD的中点，则①BC＝2ON，②SAOD∆＝SBOC∆.如图，在△AOB、△COD中，DOCOBOAO=，且∠AOB＋∠COD=180º，则SAOD∆＝SBOC∆.拓展拓展典例秒杀典例1 ☆☆☆☆☆如图，AB=AE，AB⊥AE，AD=AC，AD⊥AC，点M为BC的中点，求证∶DE=2AM.BN.【解析】如图，延长 AM至点N，使 MN=AM，连接Array∵点 M为 BC 的中点，∴CM=BM.在△AMC和△NMB中，AM=MN, ∠AMC=∠NMB, CM= BM,∴△NMB≌△AMC（SAS），∴AC=BN,∠C=∠NBM.∵AB⊥AE，AD⊥AC，∴∠EAB=∠DAC=90°, ∴∠EAD+∠BAC=180°,∴∠ABN=∠ABC+∠C=180°-∠BAC=∠EAD.在△EAD和△ABN中， AE=AB, ∠EAD=∠ABN, AD= BN,∴△EAD≌△ABN（SAS），∴DE=AN=2AM.典例2 ☆☆☆☆☆定义：如图1，在△ABC和△ADE中，AB＝AC＝AD＝AE，当∠BAC＋∠DAE＝180º时，我们称△ABC与△DAE互为“顶补等腰三角形”，△ABC的边BC上的中线AM叫做△ADE的“顶心距”.特例感知∶⑴在图2、图3中，△ABC与△DAE互为“顶补等腰三角形”，AM， AN 分别是“顶心距”.①如图2，当∠BAC=90°时，AM与DE 之间的数量关系为AM=_____DE;②如图3，当∠BAC=120°，BC=6时，AN的长为__________.猜想论证∶⑵在图1中，当∠BAC为任意角时，猜想AM与DE 之间的数量关系，并给予证明。
模拟电路第05章 放大电路的频率响应图
图5.1.1 高通电路及频率响应
返回
图5.1.2 低频电路及其频率响应
返回
图5.1.3 高通电路与低通电路的波特图
返回
5.2 晶体管的高频等效模型
• 图5.2.1 晶体管结构示意图及混合π模型 • 图5.2.2 混合π模型的简化 • 图5.2.3 的分析 • 图5.2.4 的波特图
返回
C1
RS +
VS -
VCC
大 RB
RC
C2 + RL VO -
b rbb b’cBiblioteka RS+ VS
-
e
rbe gmvbe
RL Vo
e
中频增益：
Am
VO VS
Vbe VS
VO Vbe
rbe
gm Vbe RL
RS rbb rbe
Vbe
RS
rbe rbb
rbe
gm RL
O RL rbe O RL
5、查手册得：rbb、cbc、fT (已知条件)；
6、
e
结电容：cbe
gm
2 fT
cbc
Miller 定理
I1
Z
Z in + V1 ~ -
Ii I +
ri AV1 -
I2
单向化
Z in
+
+ I1
V2 -
V1 ~ -
Z1
Ii II +
ri AV1 -
I2
+ Z2 V2
-
加 V1 产生 V2 ：
Z1 IIV 1 I
返回
图5.6.1 未加频率补偿的集成运放的频率响应
流体力学讲义-第五章相似原理与量纲分析
第五章相似原理与量纲分析对于复杂的实际工程问题，直接应用基本方程求解，在数学上极其困难，因此需有赖于实验研究来解决。
本章主要阐述有关实验研究的基本理论和方法，包括流动相似原理，相似准则，量纲和谐原理及量纲分析方法等。
第一节流动相似原型：天然水流和实际建筑物称为原型。
模型：通常把原型（实物）按一定比例关系缩小（或放大）的代表物，称为模型。
水力学模型试验：是依据相似原理把水工建筑物或其它建筑物的原型按一定比例缩小制成模型，模拟与天然情况相似的水流进行观测和分析研究，然后将模型试验的成果换算和应用到原型中，分析判断原型的情况。
水力学模型试验的目的：利用模型水流来模拟和研究原型水流问题。
关键问题：模型水流和原型水流保持流动相似。
流动相似：两个流动的相应点上的同名物理量（如速度、压强、各种作用力等）具有各自的固定比例关系，则这两个流动就是相似的。
模型和原型保证流动相似，应满足：几何相似运动相似动力相似初始条件和边界条件相似1. 几何相似几何相似：指原型和模型两个流场的几何形状相似，即原型和模型及其流动所有相应的线性变量的比值均相等。
长度比尺：（5-1）面积比尺：2 4 V ?2（5-2）体积比尺：（5-3）2.运动相似运动相似：是指流体运动的速度场相似，也即两流场各相应点（包括边界上各点）的速度度a方向相同，且大小各具有同一比值。
速度比尺：7 —旳—厶仏_ ? ? -1（5-4）加速度比尺: 3_ T _ 旳仏? -2 _ ? 了-13-石-硕_的■以（5-5）u及加速3.动力相似动力相似：是指两流动各相应点上流体质点所受的同名力方向相同，其大小比值相等。
4.初始条件和边界条件的相似初始条件：适用于非恒定流。
边界条件：有几何、运动和动力三个方面的因素。
如固体边界上的法线流速为零，自由液面上的压强为大气压强等。
流动相似的含义：几何相似是运动相似和动力相似的前提与依据；动力相似是决定二个液流运动相似的主导因素；运动相似是几何相似和动力相似的表现；凡流动相似的流动，必是几何相似、运动相似和动力相似的流动。
第五章车辆跟驰模型
① 行为阈值模型的缺点在于模型的参数较多。 ② 子模型之间的相互关系比较复杂。 ③ 对于各种阈值的调查观测比较困难及其通用性比较差。
5.3 跟驰行为模型
四、人工智能类模型
1、概述 该类模型主要是基于模糊逻辑，通过驾驶员未来的逻辑推
经过一些列推导············
5.2 跟车模型
变形为：
xn1(t
T
)
1 T
(
xn
(t
)
xn1(t
))
式中：
xn1(t T ) ——后车在时刻（t+T）的加速度，称为后车的反应；
1
—— 敏感度；
T
(xn(t ) xn 1(t )) ——时刻t的刺激。
即上式可理解为：反应=敏感度×刺激
2.对给定的相对速度，不管车间 距离如何变化，反应强度都是相 同的。
1. 为了考虑反应的强度这一因素；
2.驾驶员的反应强度应该随车距 间距的减少而增加；
3.反应强度系数并非常量，而是 与车头间距成反比。
5.2 跟车模型
1. 车头间距倒数模型
基本公式：
xn 1 (t
T)
xn (t)
xn1
因此，可对反应强度系数作如下改进：
2 xn1(t T )
[xn (t) xn1(t)]
xn1(t
T)
(xn (t)
xn 1 (t ))
2xn1(t T )
xn (t) xn1(t)
[
xn
(t
)
灰色动态(GM)模型
λ1＝0.0341 λ2＝－30.514 得系统响应方程为
第三节 灰色动态（GM）模型的计算方法
ˆ (1) ( t ) C e 0 .0341 t C e 30 .514 t 92 .9 / 1 .04 X 1 2
令： X(0)(1)＝2.874的前一个数为X(0)(0)=2.643 则
dx (1) |t 0 x (0) (1) x (0) ( 0 ) 2 . 874 2 . 643 0 . 231 dt
将 x(1)(t)|t＝0＝x(1)(0)＝x(0)(1)＝2.874
dx (1) | t 0 2 . 874 2 . 643 0 . 231 dt
第4步，代入方程得GM（0，N）模型为：
ˆ (1) ( t ) 0 . 412435 X (1) ( t ) 0 .482515 X
1 2
第5步，进行回代还原并检验，结果如表3 －6。
第三节 灰色动态（GM）模型的计算方法
表3－6
t 2 3 4 5
X
(1) 1
ˆ (1) X
1
X
(0) 1
ˆ (0) X
第6步，回代检验结果见表3－5：
第三节 灰色动态（GM）模型的计算方法
表3－5
序号
(1) X 1
模型值
实际值
X
(0) 1
模型值
实际值
误差%
1 2 3 4 5
2.874 5.682 9.256 12.737 16.389
2.874 6.152 9.459 12.849 16.526
2.874 2.808 3.57 3.481 3.652
它形似多元线性回归模型，但与一般 的多元线性回归有本质的区别，一般线 性回归建模以原始数据为基础，而GM （0，N）的建模则是以原始数据的一次 累加生成序列为基础。 (0) (0) X 和 X ，即h＝2。 例4、有数列 1 2 序号 1 2 3 4 5
GM模型
§10.2 GM(1,1)模型 1．设：()()()()()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛=n x x xX0000,,2,1()()()()()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛=n x x xX1111,,2,1称：()()()()b k a k x x =+10 为GM(1,1)模型的原始形式。
2．令：()()()()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=121111k k k xxz3．称：()()()()b k a k z x =+10为GM(1,1)模型的基本形式。
4．GM(1,1)模型求解过程的基本程序 第一步，根据原始序列求()()k z 1。
第二步，利用最小二乘法求GM(1,1)模型基本形式的参数解。
（1）()()()()()()⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n Y xx x 00032，()()()()()()⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=11312111n B zz z（2）⎥⎦⎤⎢⎣⎡b a ＝()YBB B TT1-第三步，()()()()ab a b k exx at+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=+-1101ˆ，k ＝1，2，…，n 。
第四步，()()()()()()k k k xxx ˆˆˆ11011-+=+， k=1，2，…，n 。
5．一般输入输出建模称为黑箱建模，例如回归模型。
6．由GM(1,1)模型基本解法求出a ，b 后，对原始数据()()10+k x 的预测有三种表达方法。
（1）()()()()()()()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=++⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=+-k k k a ba b k xx x e x x atˆˆˆˆ11011111 （2）()()()()1ˆˆ10--=k k xx αβab5.01+=β，aa5.01+=α，规定()()()()1100ˆxx =（3）()()()()()exx k a k 2001ˆˆ--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=αβ，规定()()()()1100ˆxx =，()()()()2200ˆxx =7．例10.2.1 GM 模型求解的规范要求 （1）第一步，对原始数据做一次累加。
GM模型
1111140122 经创1102 董林威 基于GM （1，1）模型的全国铁路货运量预测摘要：本文将灰色系统理论应用于全国铁路货运量预测，建立了全国铁路货运量的GM（1，1）模型，并通过残差检验、关联度检验和后验差检验等方法验证模型的可行性。
该方法预测精度高、计算速度快，非常适用于全国铁路货运量预测。
关键词：灰色预测；GM （1，1）；货运量一、 引言铁路货运作为现代综合运输体系中的重要组成部分，在煤、电、油、粮食大宗货物运输等方面发挥着不可替代的作用，因而对国民经济的增长具有重大影响。
铁路货运量是评估中国GDP 增长量的重要指标之一，并与用电量、贷款发放量一起被用于分析宏观经济形势。
这三大指标又称为“克强指数”。
所以说对全国铁路货运量进行预测分析可以间接的对我国的宏观经济的走向进行分析和整体上认识预测。
同时铁路运输是一个庞大复杂的运输系统，充满了很多确定性因素和不确定因素，利用灰色预测方法能够很好的对既含有已知信息又含有不确定信息的系统进行预测，本文利用灰色预测理论建立GM （1，1）模型对全国铁路未来几年的货运量进行预测。
二、 建模实证分析1、灰色预测模型信息完全明确的系统称为白色系统，信息未知的系统称为黑色系统，部分信息明确、部分信息不明确的系统成为灰色系统。
灰色系统理论的研究对象是“部分信息已知、部分信息未知"的“小样本"、“贫信息"不确定性系统，它通过对“部分"已知信息的生产、开发实现对现实世界的确切描述和认识。
灰色预测是基于GM 模型作出的定量预测，有GM(1,1)模型、残差 模型、新陈代谢 模型、灰色Verhulst 模型、离散灰色模型等几种类型。
本文采用使用最广泛的GM(1,1)模型。
2、GM （1，1）模型设(0)(0)(0)(0)(1)(1)(1)(1)((1),(2),,,()),((1),(2),,,())X x x x n X x x x n ==称(0)()()()k Xk ax k b +=为 模型的原始形式。
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化微分方程式的解构造GM(1,1)时间响应式的差分、
微分混合模型称为GM(1,1)模型的均值混合形式，简 称均值GM(1,1)模型（Even Grey Model, EGM）
定理3
均值GM(1，1)模型的时间响应式为：
ˆ x
BACK
(1)
(k ) ( x
(0)
b a ( k 1) b (1) ) e a a
ODGM的时间响应式直接借助原始差分方程的解：
原始差分GM（1,1）模型的时间响应式
ˆ x
BACK
(1)
b 1 k b (k ) （x (1) ） ( ) a 1 a a
(0)
19
第五章 GM系统模型
5.1 GM(1,1) 模型的基本形式
均值GM(1,1)模型(EGM) 基于GM(1,1)模型的均值形式估计模型参数，借助白
第五章 GM系统模型
20
5.1 GM(1,1) 模型的基本形式
均值差分GM(1,1)模型 基于GM(1,1)模型的均值形式估计模型参数，直接以 均值差分方程的解作为时间响应式所得模型称为 GM(1,1)模型的均值差分形式，简称均值差分GM(1,1) 模型（Even Difference Grey Model, EDGM）. EDGM的时间响应式直接借助均值差分方程的解：
4
第五章 GM系统模型
引 言
少数据信息：序列有 效建模数据少，不符 合统计预测建模要求
灰信息 内涵
灰数信息：序列数据 真实信息难以获取， 只能了解大概的范围
5
第五章 GM系统模型
引 言
首篇论文: 邓聚龙,灰色动态模型(GM)及在粮食长期预测中的应用,大自 然探索,1984年第3期,37-43. 出发点: (1)通过对数据序列的映射处理,为微分拟合建模提供中间信 息 (2)通过数据的序列生成弱化原始数据序列的随机性(尤其是 对非平稳数据序列随机性的弱化) (3)提出模块预测和累加生成的思想
Modelling sequence generating Parameter solving of main variable
Model form choice
Forecasting/ simulating sequence
GM(1,N) DGM(1,N) GM(n, h)
Background value generating
GM(1,1) 模型的离散形式
x(1) (k 1) 1x(1) (k ) 2
其中
(1) k
X (0) ( x (0) (1), x (0) (2),, x (0) (n))
X (1) ( x (1) (1), x (1) (2),, x (1) (n))
x (k ) x (0) (i) k 1,2,, n
x
BACK
(1)
b 1 0.5a k b (k ) （x (1) ） ( ) a 1 0.5a a
(0)
21
第五章 GM系统模型
5.1 GM(1,1) 模型的基本形式
离散GM(1,1)模型
x(1) (k 1) 1x(1) (k ) 2
称为GM(1,1)模型的离散形式 离散 GM(1,1) 模型的递推公式（时间响应式）为 定理 4 离散 GM(1,1) 模型的时间响应式为
X (1) ( x (1) (1), x (1) (2),, x (1) (n))
Z (1) ( z (1) (2), z (1) (3),, z (1) (n))
1 (1) , n z (k ) ( x (k ) x (1) (k 1)) k 2,3， 2
(1)
BACK
我国”十一五”节能降耗总目标实
现难度加大,准确把握未来发展趋势, 及时调整产业结构,将具有重要的意 义.
2004 2005 2006 2007
6
第五章 GM系统模型
引 言
模块:在时间-数据二维平面将连续曲线及其底部相连接区域.
数据t 数据t
灰色模块
模块变动趋势
白色模块
时间t
时间t 预测时点
白色数据构成的称为白色模块,由白色模块外推 到未来的模块,即预测值的模块,称为灰色模块.
7
第五章 GM系统模型
引 言
灰色预测模型是通过数据处理来分析和对待随机量,也就是通 过数据到数据的”映射”,时间序列到时间序列的”映射”来处 理和发现规律, 称之为灰色序列生成 邓聚龙,累加生成的灰指数律—灰色控制系统的 优化信息处理问题,华中工学院学报 累加生成是一种有效的弱化数据序列随机性的方法 . ,1987
i 1
BACK
18
第五章 GM系统模型
5.1 GM(1,1) 模型的基本形式
原始差分GM(1,1) 模型 基于GM(1,1)模型的原始形式估计模型参数，直接以
原始差分方程的解作为时间响应式所得模型称为
GM(1,1)模型的原始差分形式，简称原始差分GM(1,1)
模型（Original Difference Grey Model, ODGM）
x (k ) x (0) (i) k 1,2,, n
i 1
Grey Model 1阶方程 1个变量
GM(1,1)
BACK
14
第五章 GM系统模型
5.1 GM(1,1) 模型的基本形式
GM(1,1) 模型的白化方程
d
x
(1)
dt
ax
(1)
b
白化方程的解
x
(1)
(t ) ( x
BACK
24
第五章 GM系统模型
5.1 GM(1,1) 模型的基本形式
ˆ [a, b]T ( BT B) 1 BT Y，则 定理2.1.2 设 B, Y , a a ˆ如定理2.1.1所述，
(1) dx (1)白化方程 ax (1) b 的解也称时间响应函数为 dt
b b x (1) (t ) ( x (1) (1) )e at a a
ˆ x
(1)
b 1 k b (k ) （x (1) ） ( ) a 1 a a
(0)
（2）均值形式差分方程的解
x
(1)
b 1 0.5a k b (k ) （x (1) ） ( ) a 1 0.5a a
(0)
17
第五章 GM系统模型
5.1 GM(1,1) 模型的基本形式
(2)GM(1,1)模型 x (0) (k ) az (1) (k ) b 的时间响应序列为
b b ˆ (1) (k 1) ( x (0) (1) )e ak ; k 1, 2, x a a
(3)还原值
n
b ˆ (0) (k 1) (1) x ˆ (1) (k 1) x ˆ (1) (k 1) x ˆ (1) (k ) (1 e a )( x (0) (1) )e ak x a
图1.1 4 3 2 1 0 系列1 1 1 2 2 3 1.5 4 3
8 6 4 2 0 系列1 1 1 2 3 3 4.5 4 7.5
图1.2
8
第五章 G典型模块(典型曲线)的信息 收集; (2)对原始白色信息进行典型曲 线建模; (3)对原始白色信息和典型曲线 拟合信息进行精度检验和关联 分析; (4)选定典型拟合曲线; (5)确定上下界灰模块; (6)预测.
k 1,2,n
定义2.1.4 称GM(1,1)模型中的参数 a为发展系数，b 为灰色作用量
。
BACK
25
第五章 GM系统模型
5.1 GM(1,1) 模型的基本形式
例2.1.1
2003年以来我国宏观经济
和能源消耗均持续快速增长,其中最
重要的推动力就是工业化进程的加 速,高耗能行业产值占工业比重,工业 产值占全国GDP比重不断上升,使得
2 k 2 ˆ (k ) [x (1) x ]1 1 - 1 1 1
(1) (0)
22
BACK
第五章 GM系统模型
5.1 GM(1,1) 模型的基本形式
GM(1,1) 模型的均值形式
x (k ) az (k ) b
( 0) (1)
其中
X (0) ( x (0) (1), x (0) (2),, x (0) (n))
23
第五章 GM系统模型
5.1 GM(1,1) 模型的基本形式
定理2.1.1 设 X (0) , X (1) , Z (1) 如定义2.1.1和2.1.2所示： 若a ˆ (a, b)T 为参数列，且
x (0) (2) (0) x (3) Y (0) x ( n)
(1)
b at b (1) ) e a a
15
第五章 GM系统模型
5.1 GM(1,1) 模型的基本形式
GM(1,1) 模型的均值形式
x (k ) az (k ) b
( 0) (1)
其中
X (0) ( x (0) (1), x (0) (2),, x (0) (n))
X (1) ( x (1) (1), x (1) (2),, x (1) (n))
–GM(1,1)模型群
–GM(0,N )模型 –灰色 Verhulst模型（拓展内容）
10
第五章 GM系统模型
第一节
GM(1,1)模型的基本形式
BACK
11
第五章 GM系统模型
5.1 GM(1,1) 模型的基本形式 GM(1,1)模型4种基本形式： （1）均值GM(1,1)模型(EGM)
（2）原始差分GM(1,1)模型(ODGM)
13
第五章 GM系统模型