chapter1 绪论及复变函数.ppt

eu cosv x (1) eu sin v y (2)
(1)2
(2)2
u
ln
x2 y2
(2) /(1) tan v y / x
Lnz ln z iargz 2kπ, k 0,1,2,
对数函数 Lnz ln z iargz 2kπ, k 0,1,2,
其中arg z是z的主幅角 lnz ln z iargz被称为Lnz的主值
B 单连通域
B 多连通域
举例 用复数表示的平面点集
| z | 2 | z a || z b | Re z 1/ 2
arg z , a Re z b
| z | Re z 1
Re z2 a2
0 arg z i
zi 4
z 1 1 z 1
小结
领域，开集，区域，边界，闭区域 单连通域与多连通域
指数函数 ez ex cos y i sin y z x iy
性质
ez ex , Argez y y 0时, ez ex; x 0时, eiy cosy isiny
exp( z1 z2 ) exp( z1) exp( z2 )
exp(z i2 ) exp(z)
举例 求z平面上带形区域-∞<Rez<+∞, 0<Imz<π经
无穷远点运算
无穷远点实部、虚部、辐角无意义，模等于：
| |
它和有限复数的基本运算为：
a a
a a (a 0)
a (a 0); a 0(a )
0
这些运算无意义： ,0 , / ,0 / 0.
课堂练习
2 / 5把下列复数用代数式、 三角式和指数式表示出来。 (1)Z 3 (2)e1i (3) 1 i
y 1+i
-1 O -i
2x
三角函数 sin z 1 eiz eiz 2i cosz 1 eiz eiz 2
性质
周期性 恒等式
非有界函数
tan z sin z c os z
cot z cosz sin z
注意 当我们讨论的范围是复变函数范畴内时， |sinz|和|cosz|完全可以大于1。原因是：
Methods of Modern Mathematical Physics,
Michael Reed and Barry Simon
I: Functional Analysis, Volume 1 II: Fourier Analysis, Self-Adjointness ,
Volume 2 …
1 i
答案
（1）z3
代数式：令z (x iy) (cos i sin)
z3 (x iy)3 (x3 3xy2 ) i(3x2 y y3) 三角式：
z3 3(cos 3 i sin 3), x2 y2 , arctg( y / x) 指数式：z3 3ei3
答案
(2)e1i 代数式：z e cos1 ie sin1 三角式：
(k 0,1,2, )
思考
μ如何取值可使幂函数成为单值，有限多 值及无穷多值函数？
根式函数 n z n r cos 2k i sin 2k
n
n
其中z rei , k 0,1,...n 1 是主幅角
对 z r cos 2k i sin 2k
2
2
0
r cos i sin
说明2 复变函数 =f(z)可以看作是z平面到 平
面上的一个映射。
=f(z)
z平面
平面
复变函数 =f(z)可以写成 =u(x,y)+iv(x,y)， 其中是z=x+iy
举例 求0<θ<π, 0<r<1经 =iz变换后在 平面上
的图形。
=iz=zexp(iπ/2)
z平面
平面
复变函数举例—基本初等函数
n
n
其中z rei , k 0,1,...n 1 是主幅角
对 z r cos 2k i sin 2k
2
2
0
r cos i sin
2
2
1
r
cos
2
i
sin
2
注意 根式函数是多值函数
共轭运算 复数z=x+iy的共轭复数为z*=x-iy
共轭复数为z*是复数z关于实轴的对称点
z i ln(2 3) 2k , k 0, 1, 2,
2
反三角函数
只需 加号!
Arccosz iLn z z2 1 Arcsinz iLn iz 1 z2
Arctanz i Ln 1 iz 2 1- iz
幂函数
z exp Lnz
exp{ [ln z i(arg z 2k )]}
模 | z | r x2 y2
主幅角
幅角 2k arg z Argz
复数的三种表示
代数表示： z=x+iy
三角表示： z=r(cosθ+isinθ)
指数表示： z=rexp(iθ)
注意
在三角表示和指数表示下，两个复数
相等当且仅当模相等且幅角相差2kπ
零点与无穷远点
(1)复数零的幅角无意义，模为0. (2)无穷远点的模为∞，幅角没有意义.
闭区域 区域D连同它的边界 D一起构成闭区域，记为D
y
R
O
x
| z | R
y
θ2
1
θ1
O
x
1 arg z 2
y
R
O
x
| z | R
y
y
rR
O
x
r | z | R
y
O
x
-R O R x
Imz 0
| z | R, Im z 0
单连通域与多连通域
设B为复平面上的一个区域，如果在其中作一条 简单的闭曲线（自身不相交的闭合曲线），而曲 线内部总属于B ，则称B为单连通区域，否则称 为多连通区域。
第二节 区域与边界
区域的概念
邻域
平面上以z0为中心， 为半径的圆的内部的点所组成 的集合，称为z0的 -邻域
z0
|z-z0|<
z0
0<|z-z0|<
开集
设G为一平面点集，z0为G中任意一点，如果存在z0 的一个邻域，使该邻域的所有点都属于G，那么称 z0为G的内点。如果G内的每一个点都是它的内点， 那么称G为开集。
第三节 初等复变函数
复变函数之定义
设G是一个复数z=x+iy的集合。如果有一个确定的法 则存在，按照这一法则，对于集合G中的每一个复数z， 有一个或多个复数 =u+iv与之对应，那么称复变数
是复变数z的函数，或复变函数，记为 =f(z)。
说明1 如果z的一个值对应着 的唯一一个值，那
么我们称f(z)是单值的；如果z的一个值对应 着多个 的值，那么我们称f(z)是多值函数。
复球面
无穷远点
复数的运算
设z1=x1+iy1和 z2=x2+iy2是两个复数
加减运算
z1 z2 =(x1 x2) +i(y1 y2 )
复数加减法满足平 行四边形法则，或 三角形法则
- z2
z1 +(- z2)
乘法及乘方运算
z1z2 (x1x2 y1 y2如) 果i用(x指1 y数2 形x式2 y或1)三角形式则以下
2
2
1
r
c
os
2
i
sin
2
注意 根式函数是多值函数
双曲函数
coshz 1 ez ez 2
n
z
n
cos
i sin
n
i
e n
z1 z2
x1x2 x22
y1 y2 y22
i
x1 y2 x2 y1 x22 y22
除法运算
r1 r2
c os (1
2)
i sin(1
2 )
r1 r2
exp[i(1
2 )]
两个复数相除等于 它们的模相除，幅 角相减
根式运算 n z n r cos 2k i sin 2k
z0
G
区域
平面点集D称为一个区域，如果它满足下列两个条件： 1. D是开集；2. D是连通的。
边界
设D为复平面上的一个区 域，如果点 p不属于D，
D
但是在 p的任何邻域内都
z1
包含有D中的点，这样的
点 p称为D的边界点。D
的边界点之全体称为D的 z2 边界，一般用 D来表示。
边界有正负方向之分。
p
复数的概念
复数
形如z=x+iy的数被称为复数，其
中x , y R。x=Rez，y=Imz分别为
z的实部和虚部，i为虚数单位， 其意义为i2=-1
复数相等 z1=z2当且仅当Rez1= Rez2且Imz1= Imz1
复平面 复数z=x+iy
z平面
虚轴 P
实轴
复数与平面向量一一对应
复数不能 比较大小
sin z 1 (e2 y e2 y ) 2(sin2 x cos2 x) 2
cos z 1 (e2y e2 y ) 2(cos2 x sin2 x) 2
举例 1.求解sinz=0的全部根
sin z 0 eiz eiz 0
2i eiz eiz
z z 2k z k
z ecos(1 2k ) i sin(1 2k )
指数式：z eei(12k ) k (0, 1, 2gggggg)
答案
(3) 1 i 1 i
代数式：z i
三角式：
z
cos
3 2