(完整word版)导数结合洛必达法则巧解高考压轴题
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2( x2
1)ln x 2(1 (1 x 2)2
x2) 2( x2 1)
= (1
x2)2 (ln x
1 x2
x2) , 1
记 h(x)
ln x
1 x2
x2 ,则 h '( x) 1
1
4 x (1 x2 )2
+ x
(1+x2)2
=
x(1+x2 )2
0,
从而 h( x) 在 (0, ) 上单调递增,且 h(1) 0 ,因此当 x (0,1) 时, h(x) 0 ,当
( 1)k 1 x 2k 2 (2 k 2)!
Rn ,其中 Rn
( 1)k x2k cos x ; (2 k)!
2
第三部分 : 洛必达法则及其解法
洛必达法则: 设函数 f ( x) 、 g (x) 满足:
( 1) lim f ( x) lim g( x) 0 ;
xa
xa
( 2)在 U o( a) 内, f ( x) 和 g ( x) 都存在,且 g (x) 0 ;
3!
( 1)n 1 x n n!
Rn , 其中 Rn
( 1)n
xn 1 (
1
)n 1;
(n 1)! 1 x
3. sin x x x3 3!
x5 K
5!
( 1)k 1 x2 k 1
Rn ,其中 Rn ( 1)k x2k 1 cos x ;
(2 k 1)!
(2k 1)!
4. cos x 1 x2 2!
x4 K 4!
0 . 因为 h(1) 0 ,
所以当 x
(0,1) 时, h( x)
0 ,可得
1
1 x2
h( x)
0 ;当 x
(1,
可得
) 时, h( x) 0 ,
1 1 x2 h(x)
0 ,从而当 x
0且x
1 时, f ( x)
ln x (
x1
k )
x
0 ,即 f (x)
ln x k ; x1 x
( ii )当 0
x ax3 对于 x
(0, ) 恒成立 .
6
2
通过以上例题的分析,我们不难发现应用洛必达法则解决的试题应满足: ① 可以分离变量; ②用导数可以确定分离变量后一端新函数的单调性; ③出现“ 0 ”型式子 .
0
(海南宁夏文) 已知函数 f ( x) x(ex 1) ax2 .
(Ⅰ)若 f ( x) 在 x 1 时有极值,求函数 f ( x) 的解析式;
x
x
(0, ) 上单调递增 . 由洛必达法则有
5
lim g ( x)
ex 1 lim
ex lim
1,
x0
x0 x
x 01
即当 x 0 时, g( x) 1
所以 g( x) 1 ,即有 a 1 .
综上所述,当 a 1 , x 0 时, f ( x) 0成立 .
(全国大纲理) 设函数 f (x) 1 e x .
所 以 h( x)
(x
2)
x
e
x 2 在 (0,+ ) 上 单 调 递 增 , 且 h(x)
h(0)
0 , 因此 当
x
(0,+ ) 时, g '(x)
h(x) x3
0 ,从而 g(x)
ex 1 x2
x 在 (0,+
) 上单调递增 .
由洛必达法则有,
lim g( x)
x0
lim ex
x0
1
2
x
x
lim ex 1 x 0 2x
( 3) lim f (x) A ( A 可为实数,也可以是
).
x a g ( x)
则 lim f (x) lim f ( x) A .
x a g (x) x a g ( x)
1. (新课标理) 已知函数 f ( x) aln x b ,曲线 y f ( x) 在点 (1, f (1))处的切线方 x1 x
导数结合洛必达法则巧解高考压轴题
第一部分 : 历届导数高考压轴题
( 全国 2 理) 设函数 f ( x) =( x+ 1)ln( x+1) ,若对所有的 x≥0,都有 f ( x) ≥ ax 成 立,求实数 a 的取值范围.
(Ⅰ)求 f ( x) 的单调区间;
(Ⅱ)如果对任何 x≥ 0 ,都有 f ( x) ≤ ax ,求 a 的取值范围.
(Ⅱ)当 x 0 时, f ( x) 0 ,求 a 的取值范围 .
解:(Ⅰ)略 (Ⅱ) 应用洛必达法则和导数
当 x 0 时, f ( x) 0 ,即 x(ex 1) ax2 .
①当 x 0 时, a R ;
②当 x
0 时, x(ex 1) ax 2 等价于 ex 1 ax ,也即 a
ex 1 .
x
记 g(x) ex 1 , x (0,
(Ⅰ)求 a 、 b 的值; ( Ⅱ)如果当 x 0 ,且 x 1 时, f (x)
ln x k ,求 k 的取值范围 . x1 x
第二部分 : 泰勒展开式
1. ex 1 x
x2
x3 K
1! 2! 3!
xn
xn 1 e x, 其中 (0
n! ( n 1)!
1) ;
2. ln(1 x)
x2 x
2!
x3 K
x (1, ) 时, h(x) 0 ;当 x (0,1) 时, g '(x) 0,当 x (1, ) 时, g '(x) 0 ,
所以 g( x) 在 (0,1) 上单调递减,在 (1, ) 上单调递增 .
由洛必达法则有
lim g ( x)
x1
2x ln x
2x ln x
lim( x11
x2
1)
1
lim x 11
程为 x 2 y 3 0 .
(Ⅰ)求 a 、 b 的值; ( Ⅱ)如果当 x 0 ,且 x 1 时, f (x) 常规解法
ln x k ,求 k 的取值范围 . x1 x
(Ⅰ)略解得 a 1 , b 1.
(Ⅱ) 方法一:分类讨论、假设反证法
由(Ⅰ)知 f ( x)
ln x
1 ,所以 f ( x)
ln x (
) ,则 g '( x)
( x 1)ex 1 .
x
x
记 h( x) (x 1)ex 1 , x (0, ) ,则 h'( x) xex 0 ,因此 h(x) (x 1)ex 1 在
(0, ) 上单调递增, 且 h( x) h(0) 0 ,所以 g '(x) h( x) 0 ,从而 g (x) ex 1 在
ex 1 x2
x
x
(0,+ ) ,则 g '( x)
(x
2)ex x3
x
2.
记 h( x) (x 2)ex x 2 x (0,+ ) , 则 h '( x) ( x 1)ex 1 , 当 x (0,+ ) 时 ,
h''( x) xex 0,所以 h'( x) ( x 1)ex 1在 (0,+ ) 上单调递增, 且 h '(x) h '(0) 0 ,
应用洛必达法则和导数
x sin x
当 x (0, ) 时,原不等式等价于 a 2
x3 .
记 f (x)
x sin x x3 ,则 f '(x)
3sin x xcosx 2x
x4
.
记 g (x) 3sin x x cosx 2x ,则 g '(x) 2cos x x sin x 2 .
因为 g ''(x) x cosx sin x cosx( x tan x) ,
x sin x
x3
在 (0, ) 上单调递减 . 2
由洛必达法则有
x sin x
1 cosx
sin x
cosx 1
lim f ( x) lim
x0
x0
x3
lim
x0
3x2
lim
lim
x 0 6x x 0 6
, 6
即当 x
0 时, g( x)
1 ,即有 f ( x)
1 .
6
6
故a
1 时,不等式
sin x
k
1时,由于当 x
1 (1,
) 时, (k
1)( x2
1)
2x
0 ,故 h '( x)
0,
1k
而 h(1)
0 ,故当 x
(1, 1 ) 时, h( x) 1k
0 ,可得
1
1 x2
h( x)
0 ,与题设矛盾 .
( iii )当 k 1 时, h '( x) 0 ,而 h(1) 0 ,故当 x (1, ) 时, h( x) 0 ,可得
(Ⅰ)若 a 0 ,求 f ( x) 的单调区间;
(Ⅱ)当 x 0 时, f ( x) 0 ,求 a 的取值范围 .
应用洛必达法则和导数 (Ⅱ)当 x 0 时, f ( x) 0 ,即 ex 1 x ax2 .
x
①当 x
0 时, a
R ;②当 x
0 时, ex
1x
ax2 等价于 a
e
1 x2
百度文库
x.
记 g(x)
lim ex x 02
1 2
即当 x 0 时, g( x) 1 ,所以当 x (0,+ ) 时,所以 g( x) 1 ,因此 a 1 .
2
2
2
综上所述,当 a 1 且 x 0 时, f (x) 0 成立 . 2
4
例题 :若不等式 sin x x ax3 对于 x (0, ) 恒成立,求 a 的取值范围 . 2
) ?若存在 , 求 a 的
(全国 1 理) 设函数 f ( x) ex e x . (Ⅰ)证明: f ( x) 的导数 f ( x) ≥ 2 ; (Ⅱ)若对所有 x≥ 0 都有 f ( x) ≥ ax ,求 a 的取值范围.
(新课标理) 设函数 f ( x) = ex 1 x ax2 . (Ⅰ)若 a 0 ,求 f (x) 的单调区间 ; (Ⅱ)若当 x≥0时 f ( x) ≥0,求 a 的取值范围 .
x2
2ln x 2
1 lim
x1
2x
0,
即当 x 1时, g(x) 0 ,即当 x 0 ,且 x 1 时, g( x) 0 .
因为 k g( x) 恒成立,所以 k 0 . 综上所述, 当 x 0 ,且 x 1 时, f ( x) ln x k x1 x
成立, k 的取值范围为 ( ,0] .
注:本题由已知很容易想到用分离变量的方法把参数 k 分离出来 . 然后对分离
k )
x1 x
x1 x
1 1 x2 (2ln x
(k
1)(x2 x
1) )
.
2
2
考虑函数 h(x) 2ln x
(k 1)(x x
1) (x
0) ,则 h '( x)
(k
1)(x 1) x2
2x .
2
2
(i) 当 k 0 时,由 h '(x)
k(x
1) (x x2
1) 知,当 x
1 时,h '( x)
出来的函数 g (x)
2xln x 1 x2
1 求导,研究其单调性、极值
. 此时遇到了“当 x=1时,
函数 g( x) 值没有意义”这一问题,很多考生会陷入困境 . 如果考前对优秀的学生
讲洛必达法则的应用,再通过强化训练就能掌握解决此类难题的这一有效方法 .
2. (新课标理) 设函数 f (x) ex 1 x ax 2.
(全国大纲理) 设函数 f (x) 1 e x .
(Ⅰ)证明:当 x 1 时, f (x) x ; x1
(Ⅱ)设当 x 0 时, f (x) x ,求 a 的取值范围 . ax 1
(新课标理) 已知函数 f ( x) 为 x 2y 3 0.
a ln x b ,曲线 y x1 x
f ( x) 在点 (1, f (1))处的切线方程
1 1 x2 h( x)
0 ,与题设矛盾 . 综上可得, k 的取值范围为 (
,0] .
注: 分三种情况讨论:① k 0 ;② 0 k 1 ;③ k 1 不易想到 . 尤其是②
0 k 1时,许多考生都停留在此层面,举反例 x (1, 1 ) 更难想到 . 而这方面根 1k
据不同题型涉及的解法也不相同,这是高中阶段公认的难点,即便通过训练也很
(全国 2 理) 设函数 f ( x) sin x . 2 cos x
(新课标文) 已知函数 f (x) x(ex 1) ax2 .
1
(Ⅰ)若 f (x) 在 x 1 时有极值,求函数 f ( x) 的解析式; (Ⅱ)当 x 0 时, f ( x) 0,求 a 的取值范围 .
例题: 若不等式 sin x x ax3 对于 x (0, ) 恒成立,求 a 的取值范围 2
g '''(x) xsin x 0 ,所以 g ''(x) 在 (0, ) 上单调递减,且 g ''(x) 0 , 2
所以 g '(x) 在 (0, ) 上单调递减,且 g '(x) 0 . 因此 g( x) 在 (0, ) 上单调递减,
2
2
且 g( x) 0 ,故 f '(x)
g ( x) x4
0 ,因此 f ( x)
(全国 1 理) 已知函数 f x
1
x e
ax .
1x
(Ⅰ)设 a 0 ,讨论 y f x 的单调性;
(Ⅱ)若对任意 x 0,1 恒有 f x 1,求 a 的取值范围 .
(辽宁理) 设函数 f ( x) ln x ln x ln( x 1) . 1x
⑴求 f ( x) 的单调区间和极值 ;
⑵是否存在实数 a , 使得关于 x 的不等式 f ( x) …a 的解集为 (0, 取值范围 ; 若不存在 , 试说明理由 .
难提升 .
3
洛必达法则解法
当 x 0 ,且 x 1 时, f (x) ln x k ,即 ln x 1 ln x k ,
x1 x
x1 x x1 x
也即 k
x ln x x1
1 x
x ln x x1
2x ln x 1 x2
1 ,记 g (x)
2x ln x 1 x2
1, x
0 ,且 x
1
则 g '(x)