函数极限的综合分析与理解

函数极限的综合分析与理解

PB 王欣

极限可以与很多的数学问题相联系。例如，导数从根本上是求极限；函数连续首先要求函数在某一点的左极限等于右极限。有鉴于函数极限的重要性，结合自己的学习心得，笔者写下了此文。其目的在于归纳和总结解决函数极限问题的实用方法和技巧，以期对函数极限问题的学习有所帮助。

一、函数极限的定义和基本性质

函数极限可以分成x →0x ，x →∞两类，而运用ε-δ定义更多的见诸于已知极限值的证明题中。掌握这类证明对初学者深刻理解运用极限定义大有裨益。以0x x →的极限为例，()x f 在点0x 以A 极限的定义是：,0,0>∃>∀δε使当δ<-<00x x 时，有()().f x A A ε-<为常数问题的关键在于找到符合定义要求的δ，在这一过程中会用到一些不等式技巧，例如放缩法等。

函数极限性质的合理运用。常用的函数极限的性质有函数极限的唯一性、局部有界性、保序性以及函数极限的运算法则和复合函数的极限等等。如函数极限的唯一性（若0

lim x x →存在，则在该点的极限是唯一的）可以体现在用海涅定理证明()x f 在0x 处的极限不存在。即如果()A x f n →，()B x f n →'（0',x x x n n n →∞→和），

则()x f 在0x 处的极限不存在。

运用函数极限的性质可以方便地求出一些简单函数的极限值。例如对于有理分式()()()

x Q x P x f =（()()x Q x P ,均为多项式，()0≠x Q ）。设()x P 的次数为n ,()x Q 的次数为m ， 当∞→x 时，若m n <，则()0→x f ;若m n =，则()→x f ()x P 与()x Q 的最高次项系数之比；若

m n >，则()∞→x f 。

000()()(()0)()P x f x Q x Q x →→≠0当x x 时,。 二、运用函数极限的判别定理

最常用的判别定理包括单调有界定理和夹挤定理，在运用它们去求函数的极限时尤需注意以下关键之点。一是先要用单调有界定理证明收敛，然后再求极限值，参见附例2。二是应用夹挤定理的关键是找到极限值相同的函数()x g 与()x h ，并且要满足()()()x h x f x g ≤≤，从而证明或求得函数()x f 的极限值。

三、应用等价无穷小代换求极限

掌握常用的等价无穷小很重要。等价无穷小代换可以将复杂的极限式变的简单明了，让求解过程变得简明迅速。

0→x 时，x sin 与x ，x tan 与x ，x arcsin 与x ，x arctan 与x ，x cos 1-与22

1x ，()x +1ln 与x ，()x a +1log 与a

x ln ，1-x a 与a x ln ，()a a +1与ax （0≠a ）等等可以相互替换。特别需要注意的是，等价无穷小代换只能用于分子、分母中的乘积因子，而对于加减法运算则不能运用。例如30sin lim x x x x

→-，不能直接把x sin 替换成x ，得出极限值为0，实际上30sin 1lim 6

x x x x →-=-。 四、运用洛必达法则求函数极限

设函数()x f ，()x g 在点a 的某空心邻域可导，且'()0g x ≠。当a x →时，()()()()

A x g x f x g x f =→''（A 为常数或∞），()x f 和()x g 的极限同时为0或∞时才适用洛必达法则。洛必达法则实际上把求函数极限问题转化为学生较为拿手的求导数

问题。这使得求解思路简单程序化。而对于00001∞∞-∞⋅∞∞、

、、、等类型则需要对式子进行转化，或通分或取倒数或取对数等转化为00∞∞

、型，再使用洛必达法则求极限。例如()()x g x f 的极限转化为求()()x f x g e ln 的极限等等。然而，对于数列，则必须转化为函数再运用洛必达法则。这是因为如果把数列看作是自变量为n 的函数时，它的定义域是一系列孤立的点，不存在导数。这是使用洛必达法则时必须要注意的一点。

五、泰勒公式的运用

对于使用洛必达法则不易求出结果的复杂函数式，可以考虑使用泰勒公式。这样将函数式化为最高次项为相同或相近的式子，这时就变成了求多项式的极限值（接着求值见上文所述方法），使计算一目了然。因此掌握和记忆常用基本初等函数的麦克劳林展开式是十分必要的。如x e ，x sin ，x cos ，()x +1ln 等等。至于展开式展开多少，则要与题干中的自变量x 最高次项保持一致。如2240cos lim x x x e

x -→-利用泰勒公式展开22cos ,x x e -，展开到4x 即可(原式x 最高次项为4x )。

六、利用微分中值定理来求极限

[](),f x a b 在上连续，在(),a b 上可导，则至少存在一点(),a b ξ∈，使''()()(),()f b f a f f b a ξξ-=-即可看成特殊的极限，用()()f b f a b a

--来求解。一般需要函数式可以看成同一函数的区间端点的差，这样可以使用微分中值定理。。

另外，一些重要的结论往往在求极限时可以直接加以引用，例如1

0lim(1)x x x e →+=，0sin lim 1x x x

→=，1n =，1n =等等。 求极限的方法和技巧更多的在于实践中的摸索和探讨，上述方法只是笔者在高等数学学习和练习的一些心得，求极限的方法还有很多。