条件平差原理

§9.1 条件平差原理

在条件观测平差中，以n 个观测值的平差值1

ˆ⨯n L 作为未知数，列出v 个未知数的条件式，

在min =PV V T 情况下，用条件极值的方法求出一组v 值，进而求出平差值。

9.1.1基础方程和它的解

设某平差问题，有n 个带有相互独立的正态随机误差的观测值 ，其相应的权阵

为 ， 它是对角阵，改正数为 ，平差值为 。当有r 个多余观测时，则平差值 应

满足r 个平差值条件方程为：

⎪⎪

⎭

⎪⎪⎬⎫=++++=++++=++++0ˆˆˆ0ˆˆˆ0

ˆˆˆ221122112211οο

οr L r L r L r b L b L b L b a L a L a L a n n n n n n （9-1） 式中i a 、i b 、…i r （i =1、2、…n ）——为条件方程的系数；

0a 、0b 、…0r ——为条件方程的常项数

以i

i i v L L +=ˆ（i =1、2、…n ）代入(9-1)得条件方程

（9-2）

式中a w 、b w 、……r w 为条件方程的闭合差，或称为条件方程的不符值，即

（9-3） 令

⎪⎪

⎪

⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛=⨯n n n n r r r r b b b a a a A

21

2121

⎪⎪

⎭

⎪⎪⎬⎫++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅++=++++=022110221102211r L r L r L r w b L b L b L b w a L a L a L a w n n n n n b n n a ⎪⎪

⎭⎪

⎪⎬

⎫

=++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅++000221122112211r n n b n n a n n w v r v r v r w v b v b v b w v a v a v a ⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛

=⨯n n L L L L 211

⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛

=⨯n n L L L L ˆˆˆˆ2

11

1⨯n L n

n P ⨯1

⨯n V 1

ˆ⨯n L 1

ˆ⨯n L

则(9-1)及（9-2）上两式的矩阵表达式为

0ˆ0

=+A L

A （9-4） 0=+W AV （9-5）

上改正数条件方程式中V 的解不是唯一的解，根据最小二乘原理，在V 的无穷多组解中，取PV V T = 最小的一组解是唯一的，V 的这一组解，可用拉格朗日乘数法解出。为此，设 ，K 称为联系数向量，它的唯数与条件方程个数相等，按拉格朗日乘数法解条件极值问题时，要组成新的函数：

)(2W AV K PV V T T +-=Φ 将Φ对V 求一阶导数，并令其为零得：

A K P V T T =

K A PV T =

K A V V T 1-= （9-6）

上式称为改正数方程，其纯量形式为

)(1

r i b i a i i i k r k b k a p v +++= （i =1、2、…n ） （9-7）

代 K A P V T 1-=入0=+W AV 得

01=+-W K A AP T

0=+W NK （9-8）

上式称为联系数法方程，简称法方程。式中N 法方程系数距阵，为

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎥

⎥⎦

⎤⎢⎢⎢

⎢⎢⎢⎢

⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦

⎤⎢⎣⎡⎥⎦

⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥

⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤

⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=P rr P br P ar P br P bb P ab P ar P ab p aa N

（9-9） 因N A AP A P A A AP N T T T T T T T ====---111)()( 故，N 是r 阶的对称方阵。

⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯r b a r w w w W 1⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯n n v v v V 211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯οοοr b a A o r 1

r n T

n n n r r

r A P A N ⨯⨯-⨯⨯=1()r b a r

T k k k K =⨯1A

K P V V T T 22-=∂Φ∂⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯n n n p p p P 00000021

法方程的纯量形式为

⎪⎪⎪

⎪

⎪

⎭

⎪⎪

⎪

⎪

⎪⎬⎫=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅⋅⋅+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+⎥⎦

⎤⎢⎣⎡++⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+⎥⎦⎤

⎢⎣⎡++⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡000r r b a b r b a a r b a w k p rr k p br k p ar w k p br k p bb k p ab w k p ar k p ab k p aa （9-10） 从法方程解出联系数K 后，将K 值代入改正数方程，求出改正数V 值，再求平差值

V L L +=ˆ，这样就完成了按条件平差求平差值的工作。

9.1.2 精度评定

当各被观测量的平差值求出后，下一步就是对观测精度及平差值或平差值函数的精度进行评定，下面来讨论这个问题。 1.单位权中误差

条件平差中单位权中误差

t

n PV

V T -±=0ˆσ

（9-11）

或 （9-12）

从中误差计算公式可知，为了计算0ˆσ

，关键是计算PV V T ()Pvv 。下面将讨论PV V T ()Pvv 的计算方法。

（1）、由i V 直接计算

[]2222211n n v P v P v P Pvv +++= （9-13）

（2）、由联系数K 及常数项W 计算 因 0=+W AV

K A P V T 1-= 故()K A PP V K A P P V PV V T T T T T 11--==

K A V T T =

()K W K AV T T

-== （9-14） （3）、直接在高斯——杜力特表格中解算

将（9-4）的矩阵方程写为纯量形式则有

r r b b a a T k W k W k W PV V ++++=- 0

令 0=w W

[]

r

Pvv ±=0ˆσ