第八讲 离散因变量模型(LPM,Probit,Logit)

2 2
= F ( X i B) [1 − F ( X i B)]
∂E ( yi X i ) ∂F ( X i B ) ∂P r= = = 斜率： 斜率： ∂x j ∂x j ∂x j dF ( X i B ) ∂ ( X i B ) = = f ( X i B)β j d ( X iB) ∂x j
分布函数F的选取 （四） 分布函数 的选取
选取分布函数F的原则： 选取分布函数 的原则： 的原则
0 ≤ F ( X i B) ≤ 1
X iB → +∞
F ( X i B) → 1
X i B → −∞
F是单调函数 是单调函数
F ( X i B) → 0
按照上述原则F取作累计分布函数。 按照上述原则 取作累计分布函数。 取作累计分布函数 下面介绍三种不同分布函数下的计量模型： 下面介绍三种不同分布函数下的计量模型： LPM, Probit, Logit
注：括号里是p值。 括号里是 值
p ln( ) = −242.4576 + 0.6771Score − 0.4766 D1 1− p
(0.052) (0.052) (0.873) 值进行判断， （4）检验：可以直接根据括弧里的 p 值进行判断，也可以 ）检验： 利用正态分布表查临界值进行检验。 利用正态分布表查临界值进行检验。
E ( yi X i )
P( yi = 0 X i ) = 1 − pi
= 1* P( yi = 1 X i ) + 0 * P( yi = 0 X i ) = 1 ∗ pi + 0 ∗ (1 − pi ) = pi
yi = E ( yi X i ) + ε i = pi + ε i = X i B + ε i
得到： 得到：
pi Λ( X iB) = = e XiB 1 − pi 1 − Λ ( X i B )
yi 取1或0
取值范围
Li = X i B + ε i
pi ∈ [ 0,1]
pi 其中 Li = ln 1 − pi
机会比率odds 机会比率
ห้องสมุดไป่ตู้
Li ∈ ( −∞, +∞ )
P为y取1时的概率 为 取 时的概率
* i
∗ i
y i = 1( y i∗ > 0) y i = 0( y i∗ ≤ 0)
选择1 选择
不选择1 选择0） 不选择 （选择 ）
（二） 二元选择的经济计量一般模型
P ( y i = 1 X i ) = P ( y i* > 0 ) = P ( ε i* > − X i Β ) = 1 − P ( ε i* ≤ − X i Β ) = 1 − F (− X iΒ ) = F (X iΒ )
2、对Logit模型系数的解释： 、 模型系数的解释： 模型系数的解释
∂L = ∂x j ∂ ln( p ∆ odds ) ∂ ln( odds ) 1− p = ≅ odds = β j ∂x j ∂x j ∆x j
当 xj 增加一个单位时机会比率的增长率为
β
j
例1： ： 南开大学国际经济研究所1999级研究生考试分 级研究生考试分 南开大学国际经济研究所 数及录取情况见数据表（ 数及录取情况见数据表（N = 95）。 ）。
定义变量： 定义变量： Y ：考生录取为 ，未录取为 ； 考生录取为1，未录取为0； SCORE ：考生考试分数； 考生考试分数； D1：应届生为 ，非应届生为 。 ：应届生为1，非应届生为0。
数据表
obs 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 Y 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 SCORE 401 401 392 387 384 379 378 378 376 371 362 362 361 359 358 356 356 355 354 354 353 350 349 349 348 D1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 obs 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 Y 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 SCORE 347 347 344 339 338 338 336 334 332 332 332 331 330 328 328 328 321 321 318 318 316 308 308 304 303 D1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 obs 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 Y 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 SCORE 303 299 297 294 293 293 292 291 291 287 286 286 282 282 282 278 275 273 273 272 267 266 263 261 260 D1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 obs 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 Y 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 SCORE 256 252 252 245 243 242 241 239 235 232 228 219 219 214 210 204 198 189 188 182 166 123 D1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0
E ( yi X i ) = 1 ∗ P + 0 ∗ (1 − P ) = F ( X i Β )
F (− t ) = 1 − F (t )
Y = E (Y X ) + ε
总体回归模型
Y = F ( XB ) + ε
样本回归模 型 y = F(X
i
i
B ) + ε i ( i = 1, 2......n )
eZ F (Z ) = = Λ(Z ) Z 1+ e
eZ f (Z ) = F ' (Z ) = = Λ( Z )(1 − Λ(Z )) Z 2 (1 + e )
模型 yi = Λ ( X i B ) + ε i 线性化 pi = Λ( X i B)
eZ ∵ Λ(Z ) = 1 + eZ pi ln( ) = XiB 1 − pi
（1）模型 ）
Y
=β +β
1
2
Score + β D1 + ε
3
法估计。 （2）估计：用 logit 法估计。 ）估计：
Y = Λ ( β ′x ) + ε
Stata 命令：logit y score d1
Number of obs LR chi2(2) Prob > chi2 Pseudo R2 = = = = 97 72.11 0 0.9006
模型形如： 模型形如：
调用数据库和程序E:\logit） （调用数据库和程序 模型结果： 模型结果：
Logit estimates
Log likelihood =
-3.979482
y
Coef.
Std. Err. 0.348036 2.984581 124.5184
z 1.95 -0.16 -1.95
第九章 离散因变量模型
实际经济分析当中的离散变量问题 对于单个方案的取舍购买决策、职业的选择、 对于单个方案的取舍购买决策、 职业的选择 、贷 款决策； 款决策； 对于两个方案的选择。例如， 对于两个方案的选择。 例如 ，两种出行方式的选 两种商品的选择。 择 ， 两种商品的选择 。 由决策者的属性和备选方 案的属性共同决定。 案的属性共同决定。 农业经济分析当中的离散因变量问题 农民技术采用、 农民技术采用、农村选举等等
1
y
* i
XiB ≥ 1
i
=
y
0
0 < XiB < 1 XiB ≤ 0
LPM在实际的回归当中应用很少，用于理论模型的比较。 在实际的回归当中应用很少，用于理论模型的比较。 在实际的回归当中应用很少
2、 Logit 模型 、
（1） Logit 模型的分布函数 ） 如果选择
1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 5 10 15 20 25 30
xj
对响应概率(p)的偏效应： 对响应概率 的偏效应： j 的偏效应 β LPM的估计方法：OLS 的估计方法： 的估计方法
线性概率模型存在的问题及适用性
随机误差项是异方差： 随机误差项是异方差：Var (ε i ) = pi (1 − pi ) 办法：可用 估计。 办法：可用WLS估计。 估计 拟合值可能不在0－ 之间 有可能大于1或小于 之间， 或小于0: 拟合值可能不在 －1之间，有可能大于 或小于 办法：强令预测值相应等于 或 进行约束估计。 办法：强令预测值相应等于0或1 进行约束估计。
eZ 1 1 = 1− = F (Z ) = 1 + eZ 1 + eZ 1 + e− Z
Logistic分布函数 分布函数
具有以上分布函数的二元选择模型称为Logit模型。 模型。 具有以上分布函数的二元选择模型称为 模型
（2） Logit 模型的设定 ）
yi = F ( X i B ) + ε i
选择理论：效用是不可观测的， 选择理论：效用是不可观测的，只能观测到选择行为
U
1 i
= X iΒ
1
+ ε i1
第i个个体选择1的效用 第i个个体不选择1（选择0）的效用
U
0 i
= X iΒ
0
+ ε i0
U i1 − U i0 = X i (Β 1 − Β0 ) + (εi1 − εi0 )
y = XiΒ + ε
P>z 0.052 0.873 0.052
[95% Conf. -.0050766 -6.326276 -486.509
Interval] 1.359199 5.373068 1.593967
score .6770611 d1 -.4766044 _cons -242.4575
（3）得到估计式： ）得到估计式：
1、 线性概率模型（LPM) 、 线性概率模型（
如果选择 F ( X i B ) = X i B
yi = X i B + ε i
yi = E ( yi X i ) + ε i
E ( yi X i ) = E ( X i B + ε i ) = X i B
P ( y i = 1 X i ) = pi
检验假设 H : β
0
2
=0
p
H0
（三） 二元选择模型随机误差项及斜率
对于回归模型： 对于回归模型： yi = F ( X i B) + ε i
E (ε i ) = [1 − F ( X i B ) ] ∗ F ( X i B ) − F ( X i B ) ∗ [1 − F ( X i B ) ] = 0
Var (ε i ) = E (ε i2 ) = [1 − F ( X i B)] F ( X i B) + [ − F ( X i B)] [1 − F ( X i B)]
内容
二元选择模型的三类模型介绍 二元选择模型的估计: 二元选择模型的估计 二元选择模型的检验： 二元选择模型的检验： 二元选择模型的应用
一、 二元选择模型
二元选择模型的理论模型 二元选择模型经济计量的一般模型 线性概率模型（ 线性概率模型（LPM) Logit 模型 Probit 模型
（一） 二元选择模型的理论模型
（3） Logit 模型的边际分析 ） 1、自变量的变化对响应概率（p）的影响： 、自变量的变化对响应概率（ ）的影响：
dp e = f (Z ) = (1 + e Z ) 2 dZ
Z
p d ln ( ) dZ 1− p = = β dx j dx j
j
∂p dp ∂Z eZ = = f ( Z )β j = β j = Λ（z）(1-Λ(z))β j Z 2 (1 + e ) ∂x j dZ ∂x j