机器人动力学
机器人学-第6章_机器人动力学
H 2 L2
0
0
CI
M 12
0 0
W2 H2 0
0
L2 W 2
Z
结果是对角矩阵，此时坐标系{C}的坐标轴是刚体的
惯性主轴。
L X
H Y
W
6
刚体的牛顿-欧拉方程
在动力学分析过程中，把刚体的运动分解为质心的平移运动和绕质心的转动 。一般将连体坐标系的原点固定在刚体的质心，这样坐标原点的运动描述刚 体的平移运动，坐标系的转动描述刚体绕质心的旋转运动。
m2 L1LC 2 s2
K
1
1 2
q&T
M
1
q&
0
m2
L1LC 0
2
s2
&&12
m2
L1LC
2
s2
&12 &1&2
M&q& 2mm22LL11LLCC22ss22&&22
m2
L1LC 0
2
s2&2
&&12
m2
L1LC
2
s2&2 12
1 0
&&12
m2L1LC2s2 2&1&2 &22 m2 L1LC 2 s2&1&2
&1
其中
M11 IC1 IC2 m1L2C1 m2 L12 L2C2 2L1LC2c2
&2
M11 M 21
M M
12 22
&&12
M 21 M12 IC2 m2 (L2C2 L1LC2c2 ) M 22 IC2 mL2C2
第3章机器人动力学
若将关节力(矩)矢量看成是驱动装置的输入，在末端产生的广义力作为输出， 可以建立两者之间的关系。
令各关节的虚位移为 qi ，运动链末端操作器相应的虚位移为 D。
各关节所作的虚功之和为： w τTδq 1 q1 2 q2 ......... n qn 末端操作器所作的虚功为： w FTD fxdx fydy fzdz nxx nyy nzz
操作臂的动能可以写为：
Ek
(q, q&)
1 2
q&T
D(q)q&
D(q) 是 n n 阶的操作臂惯性矩阵。操作臂的动能 Ek 是其惯性矩阵的二次
型。由于动能 Ek 为正，因而 D(q) 是正定的矩阵。
连杆 i 具有势能为： Epi mi 0gT 0pci
式中， 0 g 是 31的重力加速度向量， 0 pci 是连杆 i 质心的位置矢量。
1 旋转关节的速度传递
ω i i 1
i ωi
i i 1
Rθ&i1
i
1
Zi
1
ω i1 i 1
i
1 i
R
i
ωi
θ&i1 i1 Zi1
vi i 1
i vi
i ωi
Pi i 1
v i1 i1
R i1 i
i vi i ωi i Pi1
2 移动关节的速度传递
ω i1 i 1
i
1 i
R
i
ωi
v i1 i1
n
操作臂所具有的势能为各连杆势能之和：
EP
i1
EPi
势能也为 q 的标量函数，记为 EP (q) 。
利用拉格朗日函数 L，系统的动力学方程（称第二类拉格朗日方程）为
机器人动力学
机器人动力学
机器人动力学是一门包含机器人控制、力学、运动学等多个专业的交叉学科，其目的在于研究复杂的机械系统和机器人的运动行为和控制方法。
机器人动力学的研究方向涉及机器人的：机械学、运动学、控制学、信息学、人机交互、现代制造技术等。
这种复合学科专门用于分析、模拟和控制机器人、机床以及其他机械系统的运动行为。
机器人动力学的基本内容简述如下：
首先，它涉及机器人的运动学理论和控制理论，包括机器人体系结构，构型及其各部分之间的相互作用，如关节、驱动器和传感器等。
其次，它还包括机器人机械动力学理论，涉及机器人的运动特性，比如建模、仿真和控制，同时也涉及力学的本质、特性和应用，以及计算力学在机器人动力学中的应用。
最后，它也涉及信息学，指的是研究机器人行为的算法、传感器和感知、人机交互以及数据挖掘和处理。
机器人动力学应用于工业机器人、生产机械、软件和控制系统等多个领域，主要帮助提高机器人和机械设备的性能，从而提高工业生产效率、节省能源以及降低生产成本。
在精密加工领域尤其具有重要作用，比如机器视觉、机器雕刻和抛光，甚至是金属精加工等，在这些领域都能够发挥机器人动力学的优势。
另外，机器人动力学也可以应用于服务机器人、家用机器人，以及智能制造等行业。
现在，家用机器人如洗地机器人、清洁机器人等已经广泛应用，可以节省家庭劳动力；而在智能制造和服务机器人方面，它也有着广泛的应用，可以有效解决行业内的生产管理、库存管
理、仓储管理和技术支撑等问题。
未来，机器人动力学将继续发展壮大，有望成为一门具有世界水平的学科。
在未来，机器人动力学将继续发挥重要作用，将推动机器人和机器技术发展，为未来工业化生产提供必要的技术支持。
机器人动力学名词解释
机器人动力学名词解释机器人动力学是研究机器人运动和力学特性的学科。
它涉及到描述机器人运动的数学模型、力学原理和控制算法等方面的知识。
下面我将从多个角度对机器人动力学进行解释。
1. 机器人动力学的定义，机器人动力学是研究机器人运动学和力学学科的一部分，它主要关注机器人的运动规律、力学特性以及运动控制等方面的问题。
2. 机器人运动学和动力学的区别，机器人运动学研究机器人的几何特性和位置关系，而机器人动力学则研究机器人的运动过程中所涉及的力学原理和力的作用。
3. 机器人动力学的重要性，机器人动力学是实现机器人精确控制和运动规划的基础。
通过研究机器人动力学，可以了解机器人在不同工作状态下的运动特性，为机器人的控制算法和路径规划提供理论支持。
4. 机器人动力学模型，机器人动力学模型是描述机器人运动和力学特性的数学模型。
常用的机器人动力学模型包括欧拉-拉格朗日方程、牛顿-欧拉方程等。
这些模型可以描述机器人的运动学和动力学特性，并用于机器人的控制设计和仿真研究。
5. 机器人动力学的应用领域，机器人动力学广泛应用于工业机器人、服务机器人、医疗机器人等领域。
在工业机器人中，机器人动力学可以用于路径规划、轨迹控制和碰撞检测等任务。
在服务机器人和医疗机器人中，机器人动力学可以用于实现精确的操作和运动控制。
6. 机器人动力学的挑战和研究方向，机器人动力学研究面临着复杂的多体动力学问题、非线性控制问题和实时性要求等挑战。
当前的研究方向包括机器人动力学建模与仿真、动力学控制算法设计、力觉反馈控制等。
总结起来，机器人动力学是研究机器人运动和力学特性的学科，涉及机器人的运动规律、力学特性和运动控制等方面的内容。
它在机器人控制、路径规划和仿真等领域具有重要的应用价值。
《机器人技术基础》第四章 机器人动力学
人
4.2 机械手动力学方程
动
力
学
4.1.1 拉格朗日方法
机器人是一个具有多输入和多输出的复杂的 运动学系统，存在严重的非线性，需要非常复杂 的方法来处理。
动力学处理方法： Lagrange , Newton-Euler, Gauss,Kane, Screw, Roberson-Wittenburg
2 )
d
dt
L
1
(m1 m2 )l12
m2l22
2m2l1l2
cos
2
1
(
m2
l
2 2
m2l1l2 cos 2 )2
2m2l1l2 si n212 m2l1l2 si n22L1Fra bibliotek(m1
m2 )gl1
s i n1
m2 gl2
s i n (1
2)
4.1.2 拉格朗日方程
⑤求出机器人动力学方程：
)
然后求微分，则其速度就为：
x2 y 2
l1 l1
co s11 sin 11
l2 l2
cos(1 2 )(1 2 ) sin(1 2 )(1 2 )
θ1
关节2
m1
（x1, y1)
l2
θ2 m2
（x2, y2 )
由此可得连杆的速度平方值为：
v22 x22 y22 l1212 l22(12 212 22 ) 2l1l2 cos2(12 12 )
m2 gl2 sin(1 2 )
T2 (m2l22 m2l1l2 cos2 )1 m2l222 m2l1l2 sin 21
m2 gl2 sin(1 2 )
4.1.2 拉格朗日方程
将得到的机器人动力学方程简写为如下形式：
机器人的动力学
机器人的动力学是研究机器人运动和力学特性的学科。
它涉及了描述机器人运动、力和力矩之间关系的原理和方法。
机器人动力学的主要内容包括以下几个方面：
运动学：机器人运动学研究机器人的位置、速度和加速度之间的关系。
它涉及描述机器人末端执行器（如机械臂）的位姿和运动轨迹，以及描述机器人关节的运动参数。
动力学：机器人动力学研究机器人在外部作用力或力矩下的运动行为。
它涉及描述机器人的质量、惯性、力和力矩之间的关系，以及机器人的运动响应和稳定性。
控制：机器人动力学与机器人控制密切相关。
动力学模型可以用于设计机器人控制算法，以实现所需的运动、力量和精度。
力觉传感：机器人动力学可以应用于力觉传感技术。
力觉传感器可以用于测量机器人末端执行器的外部力和力矩，以实现机器人与环境的交互、力量控制和安全操作。
动力学模拟和仿真：动力学模型可以用于机器人动力学的模拟和仿真。
通过在计算机中建立机器人动力学模型，可以预测机器人在特定任务和环境中的运动行为和性能。
机器人动力学的研究对于机器人设计、控制和运动规划等方面都具有重要意义。
它可以帮助优化机器人的运动性能、提高机器人的精度和效率，并为机器人在各种应用领域中的安全操作和协作提供基础。
《机器人动力学》课件
机器人动力学有助于优化机器人的设 计和性能，提高机器人的运动性能和 作业能力。
安全性和稳定性
通过机器人动力学的研究，可以预测 机器人在不同环境和操作条件下的行 为，从而避免潜在的危险和保证机器 人的安全稳定运行。
机器人动力学的发展历程
初始阶段
早期的机器人动力学研究主要关注于简单的机械臂模型，采用经典力学理论进行分析。
刚体动力学是研究刚体在力作用下的运动规律的科学。刚体动力学建模
是研究刚体运动过程中力和运动状态之间的关系。
02
牛顿-欧拉法
牛顿-欧拉法是一种基于牛顿运动定律和欧拉方程的刚体动力学建模方
法。通过这种方法，可以建立刚体的运动方程，描述刚体的运动状态。
03
拉格朗日法
拉格朗日法是一种基于拉格朗日方程的刚体动力学建模方法。这种方法
《机器人动力学》ppt 课件
目录
Contents
• 机器人动力学概述 • 机器人动力学的基本原理 • 机器人动力学建模 • 机器人控制中的动力学应用 • 机器人动力学研究的挑战与展望 • 机器人动力学实验与案例分析
01 机器人动力学概述
定义与特点
定义
机器人动力学是研究机器人运动过程中力和运动状态之间关系的学科。它主要关注机器人在操作物体 、环境交互以及自身运动过程中产生的力和扭矩，以及这些力和扭矩如何影响机器人的运动状态。
在实际应用中的表现。
06 机器人动力学实验与案例分析
实验一：刚体动力学实验
总结词
理解刚体动力学基本原理
详细描述
通过实验一，学生将学习刚体动力学 的基本原理，包括刚体的运动学和动 力学特性。实验将通过演示刚体在不 同条件下的运动，帮助学生理解刚体 动力学的概念和应用。
机器人动力学的原理和应用
机器人动力学的原理和应用前言机器人动力学是机器人技术领域中的重要概念，它涉及机器人的运动学和力学特性。
本文将详细介绍机器人动力学的原理和其在实际应用中的重要性。
1. 机器人动力学的概念机器人动力学是指研究机器人在特定环境中的运动、力学特性和力的作用方式的学科。
在机器人动力学中，主要包括运动学和动力学两个方面。
运动学研究机器人的位置、速度和加速度，而动力学研究机器人受到的力和力矩的大小、方向和作用点。
2. 机器人动力学的原理机器人动力学的原理是基于牛顿力学和刚体力学的基本原理。
其核心思想是利用动力学方程来描述机器人系统中各个部件之间的相互作用和力的传递。
机器人系统中的每个部件都有自己的质量、惯性矩阵和运动状态，通过动力学方程，可以计算出机器人部件之间的力和力矩。
3. 机器人动力学的应用机器人动力学在实际应用中具有广泛的应用价值，以下列举了一些常见的应用场景：•工业生产：机器人动力学可以帮助实现智能化的生产线，提高生产效率和质量。
通过准确计算机器人关节的力矩，可以确保机器人在执行任务时的稳定性和精确性。
•医疗领域：机器人在手术、康复和辅助护理等医疗领域的应用越来越广泛。
机器人动力学可帮助设计和控制机器人手臂和关节，使其具备精准定位和灵活性，为医生和患者提供更好的治疗和护理体验。
•军事和安全：机器人在军事和安全领域有着重要的应用，例如救援、侦查和炸弹拆解。
机器人动力学可以确保机器人在复杂和恶劣环境下的稳定操作，保障军人和安全人员的安全。
•服务机器人：随着智能家居和人工智能技术的发展，服务机器人的应用越来越广泛。
机器人动力学可以帮助设计和控制机器人的移动和操作能力，使其能够适应不同的环境和任务需求，提供更好的服务体验。
•教育和研究：机器人动力学在教育和研究领域也有重要的应用。
通过学习机器人动力学，可以帮助人们更好地理解机器人的运动和力学特性，并为机器人技术的发展提供理论基础。
4. 总结机器人动力学是机器人技术中的重要概念，它通过研究机器人的运动学和动力学特性，帮助提高机器人在不同应用场景中的运动和力学表现。
机器人动力学
式(3)为机器人在关节空间中的动力学方程封 闭形式的一般结构式。它反映了关节力或力矩与关节 变量、速度和加速度之间的函数关系。对于n个关节
的机器人D，(q) 是n×n正定对称矩阵，是q的函数，
称为机器人惯性矩阵H；(q, q) 是n×1的离心力和哥氏
力向量；G(q) 是n×1重力矢量，与机器人的形位
H (q, q) J T (q)U x (q, q) J T (q) 9q)ar (q, q)
G(q) J T (q)Gx (q)
3．关节力矩—操作运动方程 机器人动力学最终是研究其关节输入力矩与其输出的操作运动之间的关
系．由式(4)和(5)，得(6) ：
F M x (q)x U x (q, q) Gx (q) ……4
I yy1 I yy2
m2d
2 2
)12
1 2
m2d22
(3)系统势能 因为：
g [0 g 0]T
pc1 [l1c1 l1s1 0]T
则：
E p1 m1gT pc1 m1gl1s1
E p2 m2gT pc2 m2gd2s1
总势能为：
E p g(m1l1 m2d2 )s1
关节变量为θ1和d2，关节驱动力矩τl和力f2。
(2)系统动能 由式(1)，分别得
Eki
1 2
mi
T
ci
ci
1 2
i Ti i
Iiii
…1
Ek1
1 2
m1l1212
1 2
I
2
yy1 1
Ek 2
1 2
m2 (d2212
机器人动力学
机器人动力学机器人动力学是机器人领域中的一个重要研究方向，它主要研究机器人的运动学和动力学行为。
机器人动力学涉及到机器人的运动、力学、控制等方面知识，对于机器人的设计、运动控制和任务完成等都有着重要的影响。
本文将从机器人动力学的基本概念、运动学和动力学模型、以及应用场景方面进行阐述。
一、机器人动力学的基本概念机器人动力学是机器人技术中的一个重要分支领域，它主要研究机器人在运动过程中的力学行为及其控制。
机器人动力学的基础是牛顿运动定律和动力学原理，通过建立机器人的运动学和动力学模型，来描述机器人在不同力场中的运动过程。
二、机器人动力学的运动学模型机器人的运动学描述了机器人末端执行器在空间中的位置和姿态随时间的变化规律。
机器人的运动学模型可以分为正解和逆解两个方向。
正解通过已知机器人关节角度或长度，来求解机器人末端执行器的位置和姿态。
逆解则是通过已知机器人末端执行器的位置和姿态，来求解机器人关节角度或长度。
三、机器人动力学的动力学模型机器人的动力学描述了机器人在运动时所受到的力和力矩，以及机器人关节的运动学参数和动力学参数之间的关系。
机器人的动力学模型可以分为正解和逆解两个方向。
正解通过已知机器人关节角度、速度和加速度，来求解机器人末端执行器的力和力矩。
逆解则是通过已知机器人末端执行器的力和力矩，来求解机器人关节角度、速度和加速度。
四、机器人动力学的应用场景机器人动力学在许多实际应用中发挥着重要作用。
例如，在工业自动化领域，机器人动力学模型可用于控制机器人的姿态和位置，以完成各种生产任务。
在医疗领域，机器人动力学模型可用于辅助手术和康复训练等。
此外，机器人动力学模型还可应用于空间探索、军事作战、环境清理等领域。
总结机器人动力学是机器人技术中的一个重要研究方向，它研究机器人在运动过程中的力学行为和控制方法。
通过建立机器人的运动学和动力学模型，可以描述机器人在不同力场中的运动过程，并应用于工业自动化、医疗领域、空间探索等各个领域。
3.5机器人动力学
f m , R m1
T T
1 , , n , R n1
如果施加在机械手上的力作为手爪力的反 力（-F）时，机械手的虚功可表示为：
W F r
T T
应用虚功原理：
F r 0
T T
手爪的虚位移 r 和关节虚位移 之 间的关系，可用雅可比矩阵表示：
3.5 机器人的动力学概述
了解机器人动力学，即了解机器人 动态特性的运动方程式，动力学方程
机器人静力学
1 虚功原理
例：已知作用与杠杆一端的力FA，试用虚功 原理求作用于另一端的力FB，杠杆长度已知
当力FA向下取正，FB向上为正，此时， 假设FA为正值（向下），根据上式， FB 为负值，即FB方向向下。
1 0rad ,
2 2 rad
利用上面推导的静力学关系式
L1sin1 L2 sin(1 2 ) L2 sin(1 2 ) -L2 -L2 J L L1cos1 L2cos(1 2 ) L2cos(1 2 ) 1 0
代入下式
r J
F r 0
T T
得：
T
T
F J 0
T
上式对任何的 都成立，即：
F J0
T T
J F
J F
T
上式表示产生手爪力F的驱动力
例：在图示位置时，求生成手爪力 FA、 FB 的驱动力τ A 、τ B
驱动力大小为手爪力与手爪力到作用线距离乘积
3 惯性矩的确定
动力学不仅与驱动力有关，与绕质 心的惯性矩有关。
力F作用到质量为m的 质点，质点的平移运动 看作是运动方向的标量
第五章 机器人动力学
1 1 2 2 &2 2 Ek = (m1l1 + I yy1 + I yy 2 + m2 d 2 )θ1 + m2 d 2 2 2
(3)系统势能 (3)系统势能 因为： 因为：
g = [0 g 0]
则：
T
T
pc1 = [l1c1 l1s1
0]T
E p1 = m1 g pc1 = m1 gl1s1
i
q 和关节速
& q
的函数，因此，从上式可知， 的函数，因此，从上式可知，机器人
的动能是关节变量和关节速度的标量函数，记 的动能是关节变量和关节速度的标量函数， 为 Ek ( q, q ) ，可表示成： & 可表示成：
1 T & & & Ek ( q , q ) = q D ( q ) q 2
式中， nxn阶的机器人惯性矩阵 式中， D ( q ) 是nxn阶的机器人惯性矩阵
Байду номын сангаас
1 1 i Ti i T Eki = miν ciν ci + ω i I i ω i 2 2
系统的动能为n个连杆的动能之和，即： 系统的动能为n个连杆的动能之和，
Ek = ∑ Eki
i =1
n
1 T & & & Ek ( q , q ) = q D ( q ) q 2
由于 ν 度
ci
和 iω 是关节变量
5.1 机器人静力学
机器人静力学研究机器人静止或者缓慢运动时作用在手臂 上的力和力矩问题，特别是当手端与外界环境有接触力时， 上的力和力矩问题，特别是当手端与外界环境有接触力时，各 关节力矩与接触力的关系。 关节力矩与接触力的关系。 下图表示作用在机器人手臂杆件i上的力和力矩。 下图表示作用在机器人手臂杆件i上的力和力矩。其i-1fi 为杆件i 对杆i的作用力， ifi+1为杆i+1对杆 的作用力， 为杆i+1对杆i 为杆件i-1对杆i的作用力，-ifi+1为杆i+1对杆i的作用力，i1Ni为杆件 为杆件i 对杆i的作用力矩， iNi+1为杆i+1对杆 为杆i+1对杆i 1Ni为杆件i-1对杆i的作用力矩，-iNi+1为杆i+1对杆i的作用力 ci为杆 质心。 为杆i 矩，ci为杆i质心。
第04章-机器人动力学剖析
研究机器人动力学的目的
研究机器人动力学的目的是多方面的。 动力学正问题与机器人的仿真有关； 逆问题是为了实时控制的需要，利用动力学模型，实现 最优控制，以期达到良好的动态性能和最优指标。在设计中 需根据连杆质量、运动学和动力学参数、传动机构特征和负
载大小进行动态仿真，从而决定机器人的结构参数和传动方
利用前面的虚功原理来推导机器人的静力学关系式。 如图4－2所示的机械手，要产生图（a）所示的虚位 移，推导出图（b）所示各力之间的关系式。这一推导方 法本身也适用于一般的情况。
图4－2 机械手的虚位移和施加的力
假设 ： T m1 手爪的虚位移为 r r1 ,, rm , R 关节的虚位移为 1 ,, n T , R n1 T m1 手爪力为 F f1 ,, f m , R T n1 关节驱动力为 1 ,, n , R 如果施加在机械手上的力作为手爪力的 反力（ F 用来表示）时，机械手的虚功可 表示为： T T （4－5） W (F ) r
下面看一个例子来理解一下实际上如何使用虚 功原理。如图4－1所示，已知作用在杠杆一端的 力FA ，试用虚功原理求作用于另一端的力 FB 。假 设杠杆长度 L A ，LB 已知。
图4－1 杠杆及作用在它两端上的力
按照虚功原理，杠杆两端受力所作的虚功应
该是
FAx A FBx B 0
（4 － 1 ）
一、虚功原理 在介绍机器人静力学之前，首先要说明一下 静力学中所需要的虚功原理（principle of virtual work）。 约束力不作功的力学系统实现平衡的必要且 充分条件是对结构上允许的任意位移（虚位移） 施力所作功之和为零。这里所指的虚位移 （virtual displacement）是描述作为对象的系统 力学结构的位移，不同于随时间一起产生的实际 位移。为此用“虚”一词来表示。而约束力 （force of constraint）是使系统动作受到制约的 力。
机器人动力学
机器人动力学机器人动力学是机器人学的一门子领域，主要研究的是机器人系统的动作行为方面的问题，与机械结构和电气控制等方面紧密联系。
机器人动力学的发展和计算机的出现密不可分，其历史可以追溯到上世纪八十年代。
机器人动力学的研究内容主要涉及机器人系统动作行为动态建模、控制、优化与仿真，包括系统动力学与控制、机器人控制体系、学习与生物动力学、以及机器人系统仿真分析技术等。
系统动力学与控制主要研究机器人系统在动作行为变化过程中的物理特性，如建立机器人系统的动力学模型、设计机器人的控制算法，利用系统动力学的理论分析机器人的运动学特性，以及进行控制系统调试与优化等工作。
机器人控制体系研究通过机器人感知、计算、控制、规划、实施等环节，构建机器人控制系统，可以实现机器人智能化控制。
学习与生物动力学研究机器人智能化控制技术，可以实现动力学模型的自适应变化，学习机器人的运动规律，以及协调自然运动行为的研究。
机器人系统仿真分析技术研究机器人系统的复杂性，构建仿真系统，以模拟机器人运动行为在不同环境中的变化情况，掌握并优化机器人运动行为，以及开展精准分析等工作。
随着计算机技术和机器人技术的不断发展，机器人动力学研究也发生了很大变化，从传统的计算机指令系统开发转变为新的机器人智能化控制系统，使机器人动力学的发展取得了长足的进步。
未来机器人动力学研究将围绕智能化控制、动力学特性优化以及自主机器人系统建模与控制等研究方向发展，机器人动力学也将进一步发展，这将为机器人技术的未来应用研发发展提供基础和支持。
机器人动力学研究与应用对智能机器人的创新应用具有重要的意义，它为机器人技术的发展提供了技术保障。
未来，机器人动力学的研究将越来越受到人们的关注，机器人技术的应用也将受益于机器人动力学。
第四章机器人的动力学
n
1
v Ci
v Ci
1 2
i Ii i )
T
1
[m 2
i 1 n
i
(J L q ) J L q (J A q ) IiJ A q ]
(i) (i) T (i) T T
1
(m 2
i 1
i
q
JL
(i)T
JL q q
(i)
二、机器人静力学关系式推导
以2自由度机械手为例，要产生图a所示的虚位移 , ， r ， 则图b所示各力 , 和 F 之间的关系：
1 2
1
2
由 虚 功 原 理 知 ： 1 1 2 2 F r 0 即： 1
2
1 F 2
当刚体绕过质心的轴线旋转时，角速度ω，角加速度
，惯
性张量
与作用力矩N之间满足欧拉方程：
IC (IC ) N
——欧拉运动方程
Ic R
3 3
是绕重心 c 的惯性矩（转动惯量） N 回转力矩
， I c的各元素表示对应的力
矩元素和加速度元素间
的惯性矩；
回转角速度；
对于对于zz轴轴于是于是12联立可得联立可得对于一般形状连杆对于一般形状连杆除第33分量以外其它分量皆不为分量以外其它分量皆不为00的第1122分量成为改变轴方向的力矩但在固定分量成为改变轴方向的力矩但在固定轴场合与这个力矩平衡的约束力生成轴场合与这个力矩平衡的约束力生成22式中的式中的1122分分量不产生运动
由虚功原理得：
F A x A FB x B 0 即 ： F A L A F B L B 0 ( F A L A F B L B ) 0 F A L A FB L B 0 FB LA LB FA
机器人学-第4章_机器人动力学
机械手系统（包括传动装置）的总动能为：
Kt K Ka
1 2
6 i 1
i j 1
i k 1
Trace
Ti qi
Ii
Ti T qk
qj qk
1 2
6
I ai qi2
i 1
(4.20)
4.2.2 动能和位能的计算
23
4.2.2 动能和位能的计算
位能的计算 一个在高度h处质量m为的物体，其位能为：
对拉格朗日函数求导，以得到动 力学方程式。
O3 连杆2
3rp
连杆3 O2
O1 连杆1 0rp
P
连杆4 O4
O
图4.4 四连杆机械手
第四章 机器人动力学
15
4.2.1 速度的计算
连杆3上点P的速度为：
0vp
d dt
(
0
r
p
)
d dt
(T3
3
rp
)
T3 3rp
对于连杆i上任一点的速度为：
v
dr dt
4
4.1.1 刚体的动能与位能
x0 0, x0和x1均为广义坐标，有下式：
M1 x1 c( x1 x0 ) k( x1 x0 ) M1 g F M 0 x0 c( x1 x0 ) k( x1 x0 ) M 0 g F
或用矩阵形式表示为：
M1
0
0 M0
x1 x0
D212 D221 0
重力项
D1 (m1 m2 )gd1 sin1 m2 gd2 sin(1 2 ) D2 m2 gd2 sin(1 2 )
4.1.2 动力学方程的两种求法
10
拉格朗日功能平衡法
表4.1给出这些系数值及其与位置 2的关系。
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• 求解动力学方程的目的，通常是为了得到机器人的运动方程， 即一旦给定作为输入的力或力矩，就确定了系统的运动结果
4.3 机器人动力学方程
刚体系统拉格朗日方程
应用质点系的拉格朗日方程来处理杆系的问题。 定义：L=K-P L—Lagrange函数；K—系统动能之和；P—系统势能之和。
❖ 系统的动能和势能可在任何坐标系（极坐标系、圆柱坐标系 等）中表示 ，不是一定在直角坐标系中。
动力学方程为：
i
d dt
L qi
L qi
q q 1 ,,q i,,q n T
p x e ,y e ,z e , x , y , z T
于是，操作机的总虚功是：
W TqQ Tp
根据虚功原理，若系统处于平衡，则总虚功(虚功之和)
为0，即 TqQTp0
4.2 机器人静力分析
由机器人运动微分关系可知，pJq，则有
JTQTq0
求出 F i 和 M i 在 z i 轴上的分量，就得到了关节力和扭矩，
它们就是在忽略摩擦之后，驱动器为使操作机保持静力平衡所应提供
的关节力或关节力矩，记作 i
，其大小为
i
k Fi kM i
4.2 机器人静力分析
当忽略杆件自重时 G i ，上式可简记为 ：
Fii
i
Ri1
Mii
ri
i
Ri1
0 Fii 1 1 Rii1Mii1
若以 i 0 表示不计重力的关节力或力矩值，对 于转动关节则有 ：
n
i i0ki (ri,Cj Gj) ji
式中 r i ,C j ——是自 O i 到杆 L j 的质心 C j 的向径。
4.2 机器人静力分析
4.2.2 操作机的静力平衡
设有操作机如图所示，每个关节都作用有关节力矩
义驱动力，指向 z i 的正向)，在末端执行器的参考点 P
4.1引言
➢
机器人运动学只限于对机器人相对于参考坐标系的位姿和
运动问题的讨论，未涉及引起这些运动的力和力矩，及其与机
器人运动的关系
➢
机器人是一个复杂的动力学系统，在关节驱动力矩 (驱动
力的作用下产生运动变化，或与外载荷取得静力平衡
➢
机器人控制系统是多变量的、非线性的自动控制系统，也
是动力学耦合系统，每一个控制任务本身就是一个动力学任务
广义力 广义速度 广义坐标
（力或力矩）（ 或 v） （ 或 d）
4.3 机器人动力学方程
举例：设二杆机器人臂杆长度分别为 m1,m2，质量分别集中在端 点为 d1,d2 ，坐标系选取如图。
以下分别计算方程中各项：
一、动能和势能
K 1 mv2 pmgh
对质点 m ：1
2
1
动能： 势能：
k 11 2m 1 v 11 2m 1(d 1 1)21 2m 1 d 1 21 2 p 1 m 1gd 1co s(1)
固联坐标系
oi xi yi zi
或
M i M i 1riF i 1rC iG i
F ii R ii 1F i i 1 1 R 0 iG i0
M ii R ii 1M ii 1 1 r ii R ii 1F i i 1 1 r C ii R 0 iG i0
式中 Gi0 mi g
( m i 为杆L i 的质量)。
❖（负号与坐标系建立有关）
1
对质点m 2 ： 先写出直角坐标表达式：
x2d 1sin 1) (d2sin 1 (2) y2 d 1co 1s ) (d2co 1s(2)
4.3 机器人动力学方程
对 x求导得速度分量：
x 2 d 1 co 1 ) 1 s ( d 2 co 1 s 2 )( 1 ( 2 ) y 2 d 1 si1 n ) 1 (d 2 si1 n 2 () 1 ( 2 ) v 2 2 x 2 2 y 2 2 d 1 2 1 2 d 2 2 ( 1 2 2 1 2 2 2 ) 2 d 1 d 2 co 2 )s 1 ( 2 ( 1 2 )
点作用有力矩 M i1和力 F i1 ；在杆 L i 上作用有自重力G i
〔过质心 的向径。
C i ）；r i
和 rC i
分别为由
F i1
O i 到 O i1 和 C i
M i1
4.2 机器人静力分析
按 静 力 学 方 法 ， 把 这 些 力 、 力 矩 简 化 到L i
可得：
F i F i 1G i
因为 q i 是独立坐标，则 q 0 ，所以有
JT Q
式中 J ——是速度分析时引出的雅可比矩阵，其元素为
相应的偏速度。
上式是针对操作机的关节力和执行器参考点P e 间所产生 的力和力矩之间的关系式。
该式表明关节空间和直角坐标空间广义力可以借助于雅可比矩阵 J
进行变换。这种变换关系，也可推广到任两杆间固联直角坐标系中的 广义力变幻，这时应将关节空间与直角坐标空间的雅可比矩阵，换作 直角坐标空间的雅可比矩阵。
。机器人动力学主要研究机器人运动和受力之间的关系，目的
是对机器人进行控制、优化设计和仿真
➢
动力学方程：是指作用于机器人各机构的力或力矩与其位
置、速度、加速度关系的方程式;机器人的动态性能不仅与运动
学因素有关，还与机器人的结构形式、质量分布、执行机构的
位置、传动装置等对动力学产生重要影响的因素有关
4.1引言
• 机器人动力学的研究有牛顿-欧拉 (Newton Euler) 法、拉格朗 日法(Langrange Langrange)法、高斯(Gauss) 法、凯恩(Kane) 法及罗伯逊-魏登堡(Roberon-Wittenburg) 等法
4.2 机器人静力分析
4.2.1杆件之间的静力传递
在操作机中，任取两连杆 L i ，L i 1。设在杆 L i 1 上的 O i 1
e
(广 处
将产生力 F e 和力矩 M e 。由于 F e 、M e 是操作机作用于外
界对象的力和力矩，为了和输入关节力矩 故应取负值。
i
一起进行运算，
4.2 机器人静力分析
利用虚功原理建立静力平衡方程，令
1,,i,,nT
Q F e x ,F e y ,F e z ,M e x ,M e y ,M e z T