溶质运移理论-(一)水动力弥散的基本概念与弥散方程

6
四、机械弥散
1. 同一空隙中不同部位的流速分布不均匀 2. 不同空隙的流速大小不同 3. 固体骨架导致流速分布的不均匀
（1）
（2）
（3）
地下水质点运动速度的差异是产生水动力弥散的根本原因7
四、机械弥散
纵向弥散 横向弥散
平行于 平均流 速方向 上的弥 散
垂直于 平均流 速方向 上的弥 散
Fick定律
C y


y

Dyx
C x

Dyy
C y


x
C
ux

I
对于一维流动一维水动力弥散：
C t

x

Dxx
C x


x
C
ux

I
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六、水动力弥散方程
简化成
（1）
多孔介质中溶质的分子扩散通量
（2）
多孔介质分子扩散系数，数值上小于
2
一、流体类型
可混溶流体
不可混溶流体
石油污染物在水体 或含水层中的运移
污 染 物
水
不同性质溶体之间无明显的突变界
油
水
不同性质溶体之间有明显的突变界
3
二、示踪剂
惰性示踪剂（理想示踪剂） 两种或不与地下水发生化学反应 不与多孔介质发生反应
天然示踪剂 天然水中的环境同位素
人工示踪剂 离子化合物、有机染料、放射性同位素
七、源汇项：放射性生物化学反应
若研究对象是地下水中某种放射性物质作为示踪剂，
则它的浓度分布受对流和弥散的影响外，还将受到其自身
的放射性衰变的影响。
C C0et
C t

C0et
c
C t
div Dij

C x j


xi
C u c
流体通量J

J

J












9
控制方程：质量守恒定理
在多组分组成的流体体系中任取一点P (x, y, z),以P为中 心取一微小的质量平衡体，其侧面分别平行与3个坐标面， 边长分别为△x、△y、 △z。
质量守恒原理:在时间 △t内，组分α在这个 单元体中的净流出 （或流出）量（暂不 考虑起内部有质量产 生和消失），应等于 这个单元中α组分的 质量变化


b
n
Kd

C t
25
七、源汇项：吸附与解吸
1
b
n
Kd

C t

xi
Dij
C xi

xi
Cui
C t

xi

Dij Rd

C x j


xi
C
ui Rd

Rd
改写为：

t
divu
I
多组分流体体系中α 组分的质量守恒方程
13
控制方程：质量守恒定理（续）

t
divu

I
I 是多组分组成的流体中，单位体积流体在单位时间内，由于化 学反应或其它原因所产生（或消失）的α组分的质量。
I


t
div
u
（i）对于非均衡吸附作用：
I K f C KrC
吸附作用常数 A A
解析作用常数 A A
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七、源汇项：吸附与解吸
对于均衡吸附作用：
平衡常数
C

K f Kd
C

KdC
C
t

b
C t

b
Kd
C t
对于饱水多孔介质 θ=n=C（孔隙率）
C t
4
二、水动力弥散
水动力弥散现象 多孔介质中，当存在两种或两种以上可混溶的流体
时，在流体运动作用下，期间发生过渡带，并使浓度 区域平均化的现象
5
三、 水动力弥散现象
水动力弥散
分子扩散
两部分
机械弥散
由浓度高的方 向向浓度底 的方向运动， 趋于均一
由于微观多孔介质中流 速分布的不均一而引起 的示踪剂（水质点）浓 度在地下水含水层中不 均匀分布的现象。
为B1上的已知函数
为研究区D的第一类边界
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八、边界条件
第二类边界条件：给定弥散通量边界,指已知边界弥散通 量随时间变化规律的边界条件，或者称之为Neumann 边界条件，
水动力弥散系数
研究区上的第二类边界
D gradC n B2 f2x, y, z,t x, y, z,t B2,t 0

t
divu
I
C t

divC
u
divDm
grad C

I
稀释的二元体系中α组分的对流—扩散方程
应用条件： 1、二元体系；2、等温条件；3、低浓度；
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对流—扩散方程
对于一维流动二维水动力弥散：
C t

x

Dxx
C x

Dxy
水
吸附
解吸
离子交换
(源)
(源、汇)
(汇)
固体
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七、源汇项：吸附与解吸
溶解相Ａ与吸附 A 之间的吸附－解析作用,往往是一个可
逆的过程:
吸附
A A 解析
溶解项A的密度
吸附相的密度
I汇

C t

b
C t
多孔介质含水率
固体骨架密度
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七、源汇项：吸附与解吸
吸附作用
非均衡吸附作用 均衡吸附作用
若由于化学反应或生物化学反应而使示踪剂在单位体积溶液中的消耗速率
或产生速率与其浓度成正比，也可以用上述式子表示。
21
七、源汇项：吸附与解吸
在一定条件下，溶液中某些溶质在多孔介质的固相表 面产生吸附、解吸或者离子交换等物理化学作用。如果这 些溶质属于我们的研究对象，则这些作用的结果应该综合 到源汇项中，如果固相表面吸附示踪剂，视为汇，否则， 称为解吸，视为源，而离子交换即可视为汇也可视为源。
I W C n
表示失去的溶质 孔隙率 为抽水点处的溶质浓度
假设单位时间内从单位体积含水层中的抽水量为 W。
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七、源汇项：抽水与注水
当注水时 若向含水层中注入含有示踪剂的水（示踪剂浓度C0）
I

W n
C0
C t

xi


Dij

C x j


xi
Cui
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五、流体参数
流体的密度
N
N
1
N dm 1 dV

dm
1
dV
dm dV



多相分流体速度 组分流速
N

N






1 N

1
1






t
12
控制方程：质量守恒定理（续）
再对方程两端取极限，即令 x 0, y 0, z 0, t 0
即有：
ux uy uz
x
y
z
t
即

t

div

u


0
若微小的质量均衡体内存在着α组分的源汇项，则上式可
x, y y , z 2
xzt



uz
x, y,z z 2
uz
x, y, z z 2
xyt
xyz
11
控制方程：质量守恒定理（续）
其中： 经过△t时间后，质量均衡体中 的变化量。
将上式左右两端同除以 xyzt 得：
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控制方程：质量守恒定理（续）
α 设 , ux , uy , uz 分别表示 组分密度、x,y,z方向的速度
分量。


ux
x x , y, z 2

ux
x x , y,z 2
yzt
uy

x, y y ,z 2

uy
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八、边界条件
边界条件指的是研究区边界上的溶质浓度分布和变化 情况或边界上流入（或流出）研究区的浓度分布和变化情 况。 主要有以下三类情况：第一类、第二类与第三类。
第一类边界条件：也叫给定浓度边界，即已知边界 上浓分布的边界。
C B1 f1x, y, z,t x, y, z B1,t 0
溶质的对流量
机械弥散通量
联立上述两式，得
17
六、水动力弥散方程
将所有平均号“-”略去
18
六、水动力弥散方程
19
七、源汇项
源汇项指在单位时间液相体积中由于化学反 应、生物化学作用或抽注水等产生减少α组 分质量的速率。
1） 放射性密度与化学、生物化学反应 2） 吸附与解吸 3） 抽水与注水
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Cx,y,z,0 C0x,y,z
初始条件确指原始状态；初始时刻可以任意选定，只要已知那一时 刻研究区各点的浓度即可。初始条件的如何选取，应该根据研究问 题的需要、资料状况及计算与模拟方法等因素确定。例如：t=0时向 某区域注入含示踪剂的水，若在此之前研究区D不含该示踪剂，则C （x，y，z）=0。如：在弥散试验时，可将示踪剂注入前浓度分布视 为初始状态。又如设计治理地下污水方案时，可将现状污染物分布 视为初始条件。
1
b
n
Kd
只是用
Rd
去除以水动力弥散系数
~
DBiblioteka Baidu
和流速u，由于Rd 1
，因
~
此吸附作用产生的后果，相对于 D
和 u 均减小 1
，起到减缓
Rd
弥散的作用。所以把 Rd 称为：减缓因子。
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七、源汇项：抽水与注水
如果含水层当中有抽水或注水井，含水层中示踪剂 的质量就会发生变化，而且抽水与注水导致源汇项的变 化不同。当抽水时：


ux
x x , y,z 2

ux
x x , y,z 2
/
x
uy

x, y y ,z 2

uy
x, y y ,z 2
/ y



uz
x, y,z z 2

uz
x, y,z z 2
/ z
地下水流溶质运移理论及模型
第一章 水动力弥散的基本概念 第二章 水动力弥散方程
中国地质大学环境学院 2014春
一、流体类型
可混溶流体 两种或两种以上的流体在同一储集空间中不存
在明显的突变界面，见下图。如滨海含水层中海水 入侵地下淡水。（示踪剂） 不可混溶流体
多种（两种或两种以上）的流体在同一储集空 间中存在着明显的突变界面，见下图。如油、气、 水或其它有机物流体。（多相流体）

W n
C0
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八、初始条件与边界条件
水动力弥散方程揭示了溶质在地下水中运移的一般 规律，对于一个具体问题，我们必须知道其初始的状态， 以及边界条件，才能达到地下水中溶质的空间分布规律 及其随时间的变化。
边界条件 初始条件
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八、初始条件与边界条件
描述综合初始时刻，研究区D内各点（x,y,z)处的浓度 分布状态的条件（数学表达式）
为边界B2上某点（x， y，z）处的外法线方 向上的单位向量
已知函数， 定义在B2上
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八、边界条件
第三类边界条件:指已知边界上溶质通量随时间变化 规律的边界条件，或称之为Cauchy边界条件。
已知函数
Cu DgradC n B3 f3x, y, z
孔隙平均流速
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t

div



u

u



t
div

u

div

u



t

div
u

div
J
u u u
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控制方程：质量守恒定理+Fick定律
J Dm grad C