溶质运移理论-(一)水动力弥散的基本概念与弥散方程
溶质在水体和多孔介质中迁移的研究进展
张富仓
西北农林科技大学 水利与建筑工程学院
溶质在水体和多孔介质中迁移的研究进展
溶质运移研究的是溶于水体或多孔介质中的溶质运移的过 规律和机理。多孔介质中的液相部分不是纯水， 程、规律和机理。多孔介质中的液相部分不是纯水，是含有 各种无机、有机溶质的溶液。 各种无机、有机溶质的溶液。这些物质在多孔介质中的运移 状况不仅与多孔介质中水的流动有关， 状况不仅与多孔介质中水的流动有关，而且与溶质的性质及 在随水移动过程中所发生的物理、 在随水移动过程中所发生的物理、化学和生物化学过程有密 切关系。因此， 切关系。因此，对溶质运移的研究不仅是土壤物理学研究内 容的一部分，也是土壤化学的研究对象之一。因此， 容的一部分，也是土壤化学的研究对象之一。因此，也可以 说土壤溶质运移所涉及的学科范围， 说土壤溶质运移所涉及的学科范围，是属于土壤学科中土壤 物理和土壤化学两个分支的交叉。 物理和土壤化学两个分支的交叉。从水文和水文地质学科角 则属于土壤水文学或包气带水文学的范畴。 度，则属于土壤水文学或包气带水文学的范畴。从环境科学 角度，则环境土壤或环境水文学的研究对象。 角度，则环境土壤或环境水文学的研究对象。
上式为稳态水流情况下土壤溶质运移的基本方程
∂ (θ C ) ∂J =− ∂t ∂x
qw = vθ
溶质在多孔介质中迁移理论的发展概况
二、溶质运移的研究方法
活塞流（ 活塞流（Piston flow） ）
NaCl溶液
NaCl
水
水
NaCl溶液
NaCl
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
水
水
NaCl溶液
NaCl
溶质在多孔介质中迁移理论的发展概况
dx ∂〈c〉 ∂〈c〉 ∂ 2 〈 c〉 = Dij −〈 i〉 ∂t ∂xi ∂x j dt ∂xi 1 dX ij Dij = 2 dt
地下水水质的数学模拟(三)——水动力弥散方程的解析解法及其应用
地下水水质的数学模擬(三)——水动力弥散方程的解析解法及其应
用
地下水水质的数学模拟是地下水地下水水质保护的重要方法之一。
在地下水水质模拟中，水动力弥散方程是一个重要的方程，可以用来模拟地下水的水流和污染物的扩散。
下面是水动力弥散方程的解析解法及其应用:
一、水动力弥散方程的解析解法
1. 欧拉法
欧拉法是一种经典的求解水动力弥散方程的方法。
该方法的主要思想是将水动力弥散方程转化为一个积分方程，然后通过欧拉方法来求解积分方程。
欧拉法的基本思路是将时间域问题转化为频域问题，并使用频率分析方法来求解。
2. 拉格朗日法
拉格朗日法是一种基于拉格朗日平动理论的解析方法。
该方法的主要思想是将水动力弥散方程转化为一个拉格朗日方程，然后通过拉格朗日方程来求解水动力弥散方程。
拉格朗日法适用于求解非线性水动力弥散方程。
二、水动力弥散方程的应用领域
1. 地下水污染控制
水动力弥散方程可以用来模拟地下水的水流和污染物的扩散，从而帮助人们掌握地下水的污染状况，并为地下水污染控制提供科学的决策支持。
2. 水文地质勘探
水动力弥散方程也可以用来求解水文地质勘探中的勘探参数，从而帮助人们掌握地下水的分布情况，为水文地质勘探提供科学的决策支持。
水动力弥散方程PPT文档48页
谢谢！
1
0
、
倚
南
窗
以
寄
傲
，
审
容
膝
之
易
安
。
61、奢侈是舒适的，否则就不是奢侈 。——CocoCha nel 62、少而好学，如日出之阳；壮而好学 ，如日 中之光 ；志而 好学， 如炳烛 之光。 ——刘 向 63、三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。 ——孔 丘 64、人生就是学校。在那里，与其说好 的教师 是幸福 ，不如 说好的 教师是 不幸。 ——海 贝尔 65、接受挑战，就可以享受胜利的喜悦 。——杰纳勒 尔·乔治·S·巴顿
水动力弥散方程
6
、
露
凝
无
游
氛
，
天
高
风景澈。来自7、翩翩新 来燕，双双入我庐 ，先巢故尚在，相 将还旧居。
8
、
吁
嗟
身
后
名
，
于
我
若
浮
烟
。
9、 陶渊 明（ 约 365年 —427年 ），字 元亮， （又 一说名 潜，字 渊明 ）号五 柳先生 ，私 谥“靖 节”， 东晋 末期南 朝宋初 期诗 人、文 学家、 辞赋 家、散
文 家 。汉 族 ，东 晋 浔阳 柴桑 人 （今 江西 九江 ） 。曾 做过 几 年小 官， 后辞 官 回家 ，从 此 隐居 ，田 园生 活 是陶 渊明 诗 的主 要题 材， 相 关作 品有 《饮 酒 》 、 《 归 园 田 居 》 、 《 桃花 源 记 》 、 《 五 柳先 生 传 》 、 《 归 去来 兮 辞 》 等 。
第十章-溶质运移基本理论
文章 博士
2012春季学期
wenzhangcau@
第十章 溶质运移基本理论
参考书 （1）杨金忠，蔡树英，王旭升. 地下
水运动数学模型. 科学出版社，2009 （2）陈崇希, 李国敏. 地下水溶质运
移理论及模型.中国地质大学出版社, 1996.
第十章 溶质运移基本理论
水动力弥散系数—尺度效应
目前的研究方法有： （1）确定性方法
从微观尺度研究溶质在空隙介质中运移的物理机制，重新检验对流－ 弥散基本方程的可行性，尤其是空隙介质中引入Fick扩散定律的可靠性。
（2）随机方法 其基本依据是含水层非均的事实。在非均质含水层的物理性质、水力
性质和溶质运移性质按某种随机模型分布的假定下，建立溶质运移随机方 程和水动力弥散系数的表达式。
4、中深部埋藏的咸水对上层淡水的影响的问题；特别是在开采条件下咸淡水的相 互作用规律。如我国华北平原为改造咸水体的“抽咸换淡”问题。 5、水文地球化学找矿；通过研究弥散晕的扩展及运移规律，协助我们找到“污染 源”——金属矿床。 6、土壤盐渍化改造； 7、石油开采问题。一是用水注入油田，将石油从空隙中驱替出来；二是注入可溶 性溶剂，减小石油的粘滞性，将石油和溶剂一起抽出。
u = u' = q / n
α组分的质点流速相对于平均流速有一个偏差，这个偏 差定义为组分质点的质量扩散速度：
uˆα = uα − u
4
基本参数
（5）流体的通量：流体通过单位面积时的流体质量称为质 量通量。用流体的密度和流速的乘积表示。
α组分的质量通量 Jα = ρα uα
α组分相对与溶体质量平均流速的质量扩散通量
M = As /V
As：固体颗粒的总表面积； V：所研究的多孔介质的体积 ；
溶质运移理论-水动力弥散方程的解析解法
利用边界条件确定系数A、B。将（4-45）代入(4-46’)
常微分方程两相异实根r1>0,r2<0，上式右端第二项为 0，且 er1 ，必有A=0
28
半无限长多孔介质柱体，一端为定浓度边界
将边界条件（4-44）代入(4-46’)，考虑A=0，有 故 作关于t的Laplace逆变换
随着Dl或者t的增大，浓度 越来越分散；
曲线在 x处为拐点，
拐点浓度 C 0 .6C 0m7
一维弥散Cmax衰减比二、三 维要慢
22
无限长多孔介质砂柱，初试示踪剂呈阶梯函数分布
一无限长均质砂柱，速度u做稳定流动，且初试浓 度呈阶梯状分布，数学模型为：
23
无限长多孔介质砂柱，初试示踪剂呈阶梯函数分布
讨论一阶的情况，进行积分分解并换元求解得
相对浓度
25
无限长多孔介质砂柱，初试示踪剂呈阶梯函数分布
由于erfc（0）=1，故x=ut处，相对浓度ε =1/2，表示 ε =1/2的点与u同速度推进。
26
半无限长多孔介质柱体，一端为定浓度边界
坐标轴与数学模型如下：
作关于t的Laplace变换
27
半无限长多孔介质柱体，一端为定浓度边界
对于式
19
二、一维水动力弥散问题
此时有
简化成 采取动坐标，令
则
比静止流场多了一个对流项
，让坐标原点跟着流速一起前进
20
二、一维水动力弥散问题
将X、T反变换
21
二、一维水动力弥散问题
与正态分布密度函数对比 浓度曲线出现峰值的x坐标
曲线在点 ut处对称；
当 x 时，C0；
采用动坐标，令 方程改成 套用基本解，得
溶质运移理论-(一)水动力弥散的基本概念与弥散方程-精选文档
C C x ,y , z , 0 0 x ,y , z
初始条件确指原始状态；初始时刻可以任意选定，只要已知那一时 刻研究区各点的浓度即可。初始条件的如何选取，应该根据研究问 题的需要、资料状况及计算与模拟方法等因素确定。例如：t=0时向
某区域注入含示踪剂的水，若在此之前研究区D不含该示踪剂，则C
CC e 0
t
C t C e c 0 t
C C div D C u c ij t x x j i
若由于化学反应或生物化学反应而使示踪剂在单位体积溶液中的消耗速率 21 或产生速率与其浓度成正比，也可以用上述式子表示。
即
div u 0 t 若微小的质量均衡体内存在着α组分的源汇项，则上式可 改写为： 多组分流体体系中α div u I 组分的质量守恒方程 t
13
控制方程：质量守恒定理（续）
div u I t
x x , y,z 2
ux
x x , y,z 2
y z t
uy
x, y
y ,z 2
uy
y x z t x, y ,z 2
z x, y,z 2
uz x , y , z z uz 2 x y z
的质量就会发生变化，而且抽水与注水导致源汇项的变
化不同。当抽水时：
I W C n
表示失去的溶质
孔隙率
为抽水点处的溶质浓度
假设单位时间内从单位体积含水层中的抽水量为 W。
27
溶质运移理论
溶质运移理论
几个概念
浓度 C（体积浓度）
——单位体积水体中所含污染物的质量
M C lim V 0 V
单位：mg/L或g/L 量纲：[ML-3]
稀释度 S
——反映纳污水体被污染的程度 S= 1: 未稀释 样品总体积 S 样品中所含污水体积 S=∞: 未污染
例：为水质研究的一项内容，需要评估一种新型荧光染剂的 扩散特性。为完成该任务，需要在实验水箱（h＝40cm）中做 染剂研究。在深度20cm 处释放100g 染剂（在水箱区域内均 匀地扩展）并且观察它随时间的演化。水箱中染剂浓度的垂 直剖面在下图中给出；x 轴代表深度，y 轴代表荧光计读数。 试求：
1 扩散的基本原理
菲克定律（Fick’s law） ——在各向同性的介质中，在一定方向上单位时间内通过
单位面积扩散输运的物质与断面上的浓度梯度成正比，并
且是反梯度方向的。
X 2 C C qx A DA 质量/时间 2 t x x
质量通量
C dA 扩散通量 Dn n
控制体积CV, 表面积CS
2 物质质量守恒原理
应用实例：电厂温排水充分混合后的温升计算
Cd CV nd A D c s c s t cv
C pT d Cp TV n A d D c v c s c s t
2 物质质量守恒原理
未充分混合河段 排放口
2 物质质量守恒原理
应用实例：河流温升梯度计算 在x＝0处，一条浅河从树木茂密的蔽日区域，流入一个开 放的平原中。一旦进入开阔区域（ x>0 ），河流就开始接 收太阳的辐射， Hs ＝ 800J/(s∙m2) 。已知河流从森林中流出 的时候其温度是常温T0，河流深度h＝1m，宽度b＝10m， 流 速 u ＝ 1m/s 。 扩散系数是均匀的和各项同性的 ， D ＝ 0.1m2/s。求解当x>0时，沿河流的温度梯度∂T/∂x。
溶质运移理论-(三)水动力弥散方程的解析解法-文档资料
23
无限长多孔介质砂柱，初试示踪剂呈阶梯函数分布
求解思路：
初始浓度的分布视为沿x轴连续分布的瞬 时变强度点源，利用点源基本解积分求取
取浓度坐标与阶梯相重合，线源的坐标用x’表示，有
C表示示踪剂浓度，n为有效 孔隙率；ω 为砂柱横截面积
24
无限长多孔介质砂柱，初试示踪剂呈阶梯函数分布
考虑与u等速的动坐标系，在位于x’处强度为 ' dm C n dx f 的瞬时点源作用下，任意点处的微分浓 度为：
对于式（4-11），令
8
一、基本解
（4-15）
代入（4-15）
讨论并计算得 代入得最终结果
9
一、基本解
（4-20）
空间瞬时点源的解
分析上式得 等浓度面为圆心位于原点处的球面； 浓度空间分布情况如图所示；
10
一、基本解
任何时刻处浓度最大值在原点 随时间增加，原点处浓度减少 由于
或
对于式
19
二、一维水动力弥散问题
此时有
简化成 采取动坐标，令 则
比静止流场多了一个对流项
，让坐标原点跟着流速一起前进
20
二、一维水动力弥散问题
将X、T反变换
21
二、一维水动力弥散问题
与正态分布密度函数对比
浓度曲线出现峰值的x坐标
曲线在点 ut处对称；
当x 时， C 0；
积分得
浓度与y、z无关，实质为一维弥散问题
17
一、基本解-有限空间（平面）问题
' y 对于边界简单的情况，可用反映法转化为无限空 间问题在叠加求解
，相当于水流问题中的隔水边界。假设点(x0,y0) 对半无限含水层中瞬时注入质量为m的示踪剂
溶质运移理论-水动力弥散系数
三、尺度效应-分形特征
基准尺度是研究区大小的尺度，一般用污染物运移到观 测孔的最大距离表示，或研究区的近似最大内径长度代 替。
三、尺度效应-分形特征
综合上述图表知纵向弥散度尺度效应的变化特征： （1）数值模型所计算出的尺度效应较解析模型变弱了， 即由数值模型所得到的纵向弥散度随研究尺度增加而增 大的速度小于用解析模型所求出的值； （2）随着模型维数的增加，分维数减少，即随着维数的 增加纵向弥散度随尺度效应增加而增大的速度渐小； （3）利用解析模型和数值模型所求出的非孔隙介质中尺 度效应分维数与孔隙介质中相应的值不同
Taylor 弥散系数表达式
缺点：过于简单 Bear和Bachmat
将多孔介质钙化为相互连通的空间毛管网 络，假定水流为层流运动
3
毛管网络模型
二次平均法： （1）先在毛管截面上求平均，并将所得的平
均值放在毛管横截面轴心上； （2）沿毛管轴在典型单元体上进行平均；
（3-2）
4
毛管网络模型
机械弥散系数
第I区：纯分子扩散状态；速度 较少
等径的球状颗粒组成的均质介质，曲折率近似地等于0.6713
二、实验研究：一维水动力弥散实验
第Ⅱ区：机械弥散于分子扩散重叠状态， 随着 Pc 增加，机械弥散明显起来；
第Ⅲ区：机械弥散优势状态，但分子扩散 不能忽略；相互控制，横向分子扩散将导 致纵向物质迁移减弱；
二、实验研究：一维水动力弥散实验
在充满均质砂的砂柱中预先用不含示踪剂的 流体饱和，并将其控制在某个流速水平上，
在砂柱的一端引入定浓度示踪剂，以驱替原 有的不含示踪剂的液体，并在另一端测量示 踪剂浓度，或在中间插入若干个浓度传感器 测出流体的示踪剂浓度，
根据公式求出 D L
地下水溶质运移解析法
地下水溶质运移解析法1、 应用条件求解复杂的水动力弥散方程定解问题非常困难，实际问题中多靠数值方法求解。
但可以用解析解对数值解法进行检验和比较，并用解析解去拟合观测资料以求得水动力弥散系数。
2、 预测模型（1） 一维稳定流动一维水动力弥散问题 1）一维无限长多孔介质柱体，示踪剂瞬时注入tD vt x L L e tD n w m t x C 4)(22/),(-=π （2-1）式中：x —距注入点的距离（m ）；t —时间（d ）；),(t x C —t 时刻x 处的示踪剂浓度（mg/L ）；m —注入的示踪剂质量（kg ）； w —横截面面积（m 2）；v —水流速度（m/d ）；n —有效孔隙度；L D —纵向弥散系数（m 2/d ）； π—圆周率。
2）一维半无限长多孔介质柱体，一端为定浓度边界)2(21)2(21tD vt x erfc e t D vt x erfc C C L D vxL o L ++-= （2-2）式中：x —距注入点的距离（m ）；t —时间（d ）；C —t 时刻x 处的示踪剂浓度（mg/L ）； o C —注入的示踪剂浓度（mg/L ）；v —水流速度（m/d ）； L D —纵向弥散系数（m 2/d ）；()erfc —余误差函数（可查《水文地质手册》获得）。
（2） 一维稳定流动二维水动力弥散问题 1）瞬时注入示踪剂—平面瞬时点源]44)([224/),,(tD y t D vt x T L M T L etD D n M m t y x C +--=π （2-3）式中：x ，y —计算点处的位置坐标；t —时间（d ）；),,(t y x C —t 时刻点x ，y 处的示踪剂浓度（mg/L ）；M —承压含水层的厚度（m ）；M m —长度为M 的线源瞬时注入的示踪剂质量（kg ）；v —水流速度（m/d ）；n —有效孔隙度；L D —纵向弥散系数（m 2/d ）；T D —横向y 方向的弥散系数（m 2/d ）； π—圆周率。
第2章水动力弥散方程
用来解决流动的地表水中α组分的分布及变化规律（例如地表水体 中污染物质的迁移）。 应用条件：
1、二元体系；2、等温条件；3、低浓度；
2-1-2 多组分流体的流速 u
对α组每分种的多质组点分流流速体来u看溶—平液—均中是速各指度种在，组也d分v就内的是α速各组度个分是分的不子各相的个等速分的度子。之的和统除计
以分子的个数。
流体体系的质点流速: 流体体系中各组分的质量平均速度
u
一速般u情况是下不，相等α的组，分两的者质存点在流一速个偏u差：与流体体系的质量平均流
第2章水动力弥散方程
2-1 水动力弥散方程的有关参数
2-1-1 流体的密度（ρ）
所谓的流体密度指的是单位流体体积的 质量，常用ρ 表示，量纲[ML-3]。 多组分流体的密度
实际上对于非均质的多组分流体而言， 其密度是随着组成它的各种组分的浓度 不同而变化的。
第2章水动力弥散方程
假设某多组份流体共有N种组分其某一组分称为α ，取该液体中一 体积为dv的微元，其质量为dm，该液体中在dv微元中α组分的质量
为dmα则 α组分的质量密度： dm dv
若将所有N种组分的质量密度进行求和：
N
12NN 1 d dm v 1 d d v m d dm v
就等于该溶体的体系密度。
某一组分的质量的密度：实际上就是水化学中学过的某一组分的浓 度。
浓度定义为单位体积流体某种溶质的质量。
第2章水动力弥散方程
u u u 或 u u u
u 称为α组分质点相对于质量平均速度 u 的扩散速度。
第2章水动力弥散方程
流体的介质扩散和弥散现象
流体的介质扩散和弥散现象介质扩散和弥散是流体力学中重要的现象之一，广泛应用于化学、生物、地球科学等领域。
本文将介绍流体介质扩散和弥散的基本概念、原理和实际应用。
1. 介质扩散的概念与原理介质扩散是指溶质在溶剂中自由运动并蔓延的过程。
其基本原理是遵循浓度梯度的自发传播。
当浓度梯度存在时，溶质会从高浓度区域向低浓度区域扩散，直到浓度均匀分布。
这种自发传播的过程是由粒子之间的碰撞和相对运动引起的。
2. 介质弥散的概念与原理介质弥散是指微小颗粒在流体中的扩散过程，其中颗粒间的距离大于分子扩散的尺度。
弥散现象主要由于流体中颗粒间的碰撞和颗粒与流体分子之间的相互作用引起的。
相较于介质扩散，介质弥散通常发生在粒径较大的颗粒和相对稳定的介质中。
3. 介质扩散与弥散的区别介质扩散和弥散的区别主要在于扩散发生的尺度和过程。
介质扩散主要发生在分子尺度，其过程受到质点间的相互作用和碰撞影响。
而介质弥散发生的尺度较大，通常发生在颗粒尺度，其过程受到颗粒与流体分子之间的相互作用和碰撞影响。
4. 介质扩散与弥散的应用4.1 化学反应介质扩散在化学反应中起着重要的作用。
通过控制介质扩散的速率，可以调节化学反应的速度和产物分布。
例如，气体扩散在电池、燃料电池等能源转换装置中的应用，可以提高其效率和性能。
4.2 生物系统介质扩散在生物系统中也具有重要意义。
生物体内的营养物质通过介质扩散在细胞膜和细胞之间传递。
同时，生物体内的废物也可以通过介质扩散排出。
介质扩散在生物呼吸等过程中的应用，对维持生命活动起着至关重要的作用。
4.3 地球科学地球科学中的介质弥散现象主要指岩石中流体、矿物质等的扩散过程。
弥散过程的研究对于地下水资源的开发和管理、地质灾害的预测和防治等具有重要意义。
此外，介质弥散现象也在石油勘探与开采、土壤环境保护等领域中得到广泛应用。
结论介质扩散和弥散现象是流体力学中的重要内容，广泛应用于化学、生物、地球科学等领域。
本文通过对介质扩散和弥散的基本概念、原理和实际应用的介绍，希望能够加深对这一现象的理解，并促进其在各个领域的应用和发展。
弥散的基本概念
弥散的基本概念
弥散是一个广义的词汇，可以用于多个不同的领域和概念。
以下是一些常见的弥散概念：
1. 物理学中的弥散：物理学中的弥散是指粒子或能量在介质中的扩散和传播过程。
弥散可以描述物质分子之间的相互作用、粒子在空间中的分布、电磁波在介质中的传播等。
2. 化学中的弥散：化学中的弥散描述物质在溶液、气体和固体中的分子扩散过程，通常由扩散系数或弥散系数来衡量。
3. 金融市场中的弥散：金融市场中的弥散是指资产价格或收益率的变动在时间和空间上的扩散。
弥散理论用于描述金融市场的波动性和风险，包括股票价格、利率、汇率等的波动。
4. 统计学中的弥散：统计学中的弥散是指数据点在平均值周围的分散程度。
常见的弥散度量包括方差、标准差、离散系数等。
5. 地理学中的弥散：地理学中的弥散是指物质、能量或信息在地理空间中的传播和扩散过程。
例如，气体和风的扩散、水流的弥散等。
总体而言，弥散指的是某种物质、能量或信息在空间和时间上的分散和传播过程。
具体的定义和应用取决于所讨论的领域和背景。
弥散的基本概念
弥散的基本概念弥散（Diffusion）是指物质或能量在空间中自发地由高浓度区域向低浓度区域传播的过程。
它是一种自发的、不需要外部力场推动的过程，可以发生在气体、液体和固体之间。
弥散过程可以通过分子运动理论进行解释。
在气体中，分子具有高度的热运动，不断地碰撞和运动。
当气体分子的平均动能相等时，气体就达到了热平衡状态。
在这种状态下，气体分子会均匀地分布在容器内，并通过碰撞传递能量和动量。
当气体分子的浓度不均匀时，由于分子的热运动，分子会从高浓度区域向低浓度区域传播，最终使得浓度趋于均匀。
类似地，在液体中，分子也会通过热运动进行碰撞并传递能量和动量。
当液体分子的浓度不均匀时，分子会由浓度高的地方向浓度低的地方移动。
液体分子的弥散速度取决于温度、浓度差、分子大小和粘度等因素。
在固体中，弥散过程比较复杂。
固体内部的弥散通常依赖于固体内部的空隙或通道。
例如，在多孔材料中，分子可以通过孔隙进行运动和传播。
在晶格结构中，固体分子也可以通过空穴和晶格缺陷进行弥散。
弥散是一个普遍存在的过程，它在生物、环境、工业和科学等各个领域都起着重要的作用。
在生物领域中，弥散是细胞内物质运输的重要方式。
细胞膜可以选择性地允许某些物质通过，这使得细胞内外的浓度可以不同。
细胞内的物质可以通过膜的弥散作用快速传播到需要的位置。
在环境领域中，弥散是空气和水中污染物传播的重要过程。
例如，大气中的气体和颗粒物可以依靠风力进行弥散，使得污染物在不同地点广泛分布。
在工业领域中，弥散是化学反应和传质过程中不可或缺的过程。
许多工业过程，如气体吸收、蒸发和电解等都涉及到物质的弥散。
在科学研究中，弥散被广泛应用于材料科学、化学和物理等研究领域。
例如，在材料科学中，通过控制材料内部的弥散过程，可以改变材料的性质和结构。
在化学领域中，弥散过程是很多化学反应发生的基础，也是反应速率的重要因素。
在物理学研究中，弥散过程也可以通过探测分子的运动轨迹来研究物质的性质和动力学过程。
弥散 地质学术语
弥散地质学术语弥散又称水动力弥散或水力弥散，为溶质示踪物稀释时的扩散现象。
当一定数量溶质示踪物在地下水流中运移而逐渐传播时，可以占据超出地下水平均流速所影响的范围，愈扩愈大。
弥散是由质点的热动能和流体的对流而引起的，是分子扩散和机械混合两种作用的结果。
所以弥散具有分子扩散和机械弥散两种作用。
在渗透性能较好的含水层中，地下水流速较大时，机械弥散作用比分子扩散作用大，有时可忽略后者；而在较细颗粒的多孔介质中，地下水流速通常很慢，分子扩散作用比较明显。
释义地下水流中的溶质(如污染物、示踪剂等)沿流向逐渐传播扩散，并在渗流区域中占有愈来愈大的体积的现象。
主要由两类基本现象组成。
一为对流，亦称“机械弥散”。
指污染物随水流一起在岩石或土的孔隙中流动，不断被分散进入更多的孔隙，因而在岩石或土中占据愈来愈多的体积。
二是分子扩散，由含污染物的水和不含污染物的水中的溶质浓度差引起。
即使在静水中也能产生分子扩散。
沿地下水流向的弥散称“纵向弥散”，垂直于地下水流向的弥散称“横向弥散”。
在地下水污染预测、地下水人工回灌和海岸带的咸水入侵的研究中有重要的应用。
分子扩散静止水体中的溶质在溶液浓度梯度的作用下，从浓度高处向浓度低处的运移现象。
分子扩散与分子、离子及质点的热运动有关，最终可使溶液浓度达到平衡。
溶液中溶质的分子扩散速度服从费克(Fick)定律。
机械弥散恒温条件下多孔介质中流体所产生的溶质扩散效应。
在总体上，水流应按某一平均流速运动。
但由于孔隙、裂隙分布的不均匀，几何形状和大小的不同，实际上溶质示踪物是沿着曲折的渗透途径运动的，水流的局部速度在大小和方向上发生着变化，引起溶质在介质中扩散的范围愈来愈大。
弥散系数弥散系数表征地下水中溶质迁移的重要水文地质参数，它表征在一定流速下，多孔介质对某种溶解物质弥散能力的参数。
水动力弥散系数是一个与流速及多孔介质有关的张量。
具有方向性，即使在各向同性介质中，沿水流方向的纵向弥散系数和垂直水流方向的横向弥散系数也不相同，但天然条件下，大多数地下水垂向上的水流运动很小，弥散作用可忽略。
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t
divu
I
C t
divC
u
divDm
grad C
I
稀释的二元体系中α组分的对流—扩散方程
应用条件： 1、二元体系；2、等温条件；3、低浓度；
15
对流—扩散方程
对于一维流动二维水动力弥散：
C t
x
Dxx
C x
Dxy
10
控制方程：质量守恒定理（续）
α 设 , ux , uy , uz 分别表示 组分密度、x,y,z方向的速度
分量。
ux
x x , y, z 2
ux
x x , y,z 2
yzt
uy
x, y y ,z 2
uy
为边界B2上某点（x， y，z）处的外法线方 向上的单位向量
已知函数， 定义在B2上
32
八、边界条件
第三类边界条件:指已知边界上溶质通量随时间变化 规律的边界条件，或称之为Cauchy边界条件。
已知函数
Cu DgradC n B3 f3x, y, z
孔隙平均流速
33
t
div
u
u
t
div
u
div
u
t
div
u
div
J
u u u
14
控制方程：质量守恒定理+Fick定律
J Dm grad C
七、源汇项：放射性生物化学反应
若研究对象是地下水中某种放射性物质作为示踪剂，
则它的浓度分布受对流和弥散的影响外，还将受到其自身
的放射性衰变的影响。
C C0et
C t
C0et
c
C t
div Dij
C x j
xi
C u c
4
二、水动力弥散
水动力弥散现象 多孔介质中，当存在两种或两种以上可混溶的流体
时，在流体运动作用下，期间发生过渡带，并使浓度 区域平均化的现象
5
三、 水动力弥散现象
水动力弥散
分子扩散
两部分
机械弥散
由浓度高的方 向向浓度底 的方向运动， 趋于均一
由于微观多孔介质中流 速分布的不均一而引起 的示踪剂（水质点）浓 度在地下水含水层中不 均匀分布的现象。
30
八、边界条件
边界条件指的是研究区边界上的溶质浓度分布和变化 情况或边界上流入（或流出）研究区的浓度分布和变化情 况。 主要有以下三类情况：第一类、第二类与第三类。
第一类边界条件：也叫给定浓度边界，即已知边界 上浓分布的边界。
C B1 f1x, y, z,t x, y, z B1,t 0
流体通量J
J
J
9
控制方程：质量守恒定理
在多组分组成的流体体系中任取一点P (x, y, z),以P为中 心取一微小的质量平衡体，其侧面分别平行与3个坐标面， 边长分别为△x、△y、 △z。
质量守恒原理:在时间 △t内，组分α在这个 单元体中的净流出 （或流出）量（暂不 考虑起内部有质量产 生和消失），应等于 这个单元中α组分的 质量变化
I W C n
表示失去的溶质 孔隙率 为抽水点处的溶质浓度
假设单位时间内从单位体积含水层中的抽水量为 W。
27
七、源汇项：抽水与注水
当注水时 若向含水层中注入含有示踪剂的水（示踪剂浓度C0）
I
W n
C0
C t
xi
Dij
C x j
xi
Cui
改写为：
t
divu
I
多组分流体体系中α 组分的质量守恒方程
13
控制方程：质量守恒定理（续）
t
divu
I
I 是多组分组成的流体中，单位体积流体在单位时间内，由于化 学反应或其它原因所产生（或消失）的α组分的质量。
I
t
div
u
为B1上的已知函数
为研究区D的第一类边界
31
八、边界条件
第二类边界条件：给定弥散通量边界,指已知边界弥散通 量随时间变化规律的边界条件，或者称之为Neumann 边界条件，
水动力弥散系数
研究区上的第二类边界
D gradC n B2 f2x, y, z,t x, y, z,t B2,t 0
Cx,y,z,0 C0x,y,z
初始条件确指原始状态；初始时刻可以任意选定，只要已知那一时 刻研究区各点的浓度即可。初始条件的如何选取，应该根据研究问 题的需要、资料状况及计算与模拟方法等因素确定。例如：t=0时向 某区域注入含示踪剂的水，若在此之前研究区D不含该示踪剂，则C （x，y，z）=0。如：在弥散试验时，可将示踪剂注入前浓度分布视 为初始状态。又如设计治理地下污水方案时，可将现状污染物分布 视为初始条件。
ux
x x , y,z 2
ux
x x , y,z 2
/
x
uy
x, y y ,z 2
uy
x, y y ,z 2
/ y
uz
x, y,z z 2
uz
x, y,z z 2
/ z
C y
y
Dyx
C x
Dyy
C y
x
C
ux
I
对于一维流动一维水动力弥散：
C t
x
Dxx
C x
x
C
ux
I
16
六、水动力弥散方程
简化成
（1）
多孔介质中溶质的分子扩散通量
（2）
多孔介质分子扩散系数，数值上小于
t
12
控制方程：质量守恒定理（续）
再对方程两端取极限，即令 x 0, y 0, z 0, t 0
即有：
ux uy uz
x
y
z
t
即
t
div
u
0
若微小的质量均衡体内存在着α组分的源汇项，则上式可
x, y y , z 2
xzt
uz
x, y,z z 2
uz
x, y, z z 2
xyt
xyz
11
控制方程：质量守恒定理（续）
其中： 经过△t时间后，质量均衡体中 的变化量。
将上式左右两端同除以 xyzt 得：
8
五、流体参数
流体的密度
N
N
1
N dm 1 dV
dm
1
dV
dm dV
多相分流体速度 组分流速
N
N
1 N
1
1
溶质的对流量
机械弥散通量
联立上述两式，得
17
六、水动力弥散方程
将所有平均号“-”略去
18
六、水动力弥散方程
19
七、源汇项
源汇项指在单位时间液相体积中由于化学反 应、生物化学作用或抽注水等产生减少α组 分质量的速率。
1） 放射性密度与化学、生物化学反应 2） 吸附与解吸 3） 抽水与注水
20
地下水流溶质运移理论及模型
第一章 水动力弥散的基本概念 第二章 水动力弥散方程
中国地质大学环境学院 2014春
一、流体类型
可混溶流体 两种或两种以上的流体在同一储集空间中不存
在明显的突变界面，见下图。如滨海含水层中海水 入侵地下淡水。（示踪剂） 不可混溶流体
多种（两种或两种以上）的流体在同一储集空 间中存在着明显的突变界面，见下图。如油、气、 水或其它有机物流体。（多相流体）
（i）对于非均衡吸附作用：
I K f C KrC
吸附作用常数 A A
解析作用常数 A A
24
七、源汇项：吸附与解吸
对于均衡吸附作用：
平衡常数
C
C
t
b
C t
b
Kd
C t
对于饱水多孔介质 θ=n=C（孔隙率）
C t
b
n
Kd
C t
25
七、源汇项：吸附与解吸
1
b
n
Kd
C t
xi
Dij
C xi
xi
Cui
C t
xi
Dij Rd
C x j
xi
C
ui Rd
Rd
2
一、流体类型
可混溶流体
不可混溶流体
石油污染物在水体 或含水层中的运移