河北省高考数学 基础知识备考训练(1)(详解)
2024年河北省高考数学试卷(新高考Ⅰ)含答案解析
绝密★启用前2024年江苏省高考数学试卷（新高考Ⅰ）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷（选择题）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ={x|−5<x 3<5}，B ={−3,−1,0,2,3}，则A ∩B =( ) A. {−1,0} B. {2,3} C. {−3,−1,0} D. {−1,0,2}2.若z z−1=1+i ，则z =( )A. −1−iB. −1+iC. 1−iD. 1+i3.已知向量a ⃗=(0,1)，b ⃗⃗=(2,x)，若b ⃗⃗⊥(b ⃗⃗−4a ⃗⃗)，则x =( ) A. −2B. −1C. 1D. 24.已知cos(α+β)=m ，tanαtanβ=2，则cos(α−β)=( ) A. −3mB. −m3C. m3D. 3m5.已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为√ 3，则圆锥的体积为( ) A. 2√ 3πB. 3√ 3πC. 6√ 3πD. 9√ 3π6.已知函数为f(x)={−x 2−2ax −a,x <0,e x +ln(x +1),x ≥0在R 上单调递增，则a 取值的范围是( )A. (−∞,0]B. [−1,0]C. [−1,1]D. [0,+∞)7.当x ∈[0,2π]时，曲线y =sinx 与y =2sin(3x −π6)的交点个数为( ) A. 3B. 4C. 6D. 88.已知函数为f(x)的定义域为R ，f(x)>f(x −1)+f(x −2)，且当x <3时，f(x)=x ，则下列结论中一定正确的是( ) A. f(10)>100B. f(20)>1000C. f(10)<1000D. f(20)<10000二、多选题：本题共3小题，共18分。
河北高三数学练习题零基础
河北高三数学练习题零基础为了帮助河北高三学生提高数学水平，在这里提供一些零基础的数学练习题。
这些练习题包含了高中数学基础知识的各个方面，旨在帮助大家加深对数学概念和解题方法的理解，为高考提供更好的准备。
1. 解方程（1）求方程x^2 - 5x + 6 = 0的根。
（2）求方程2x + 5 = 3x + 2的根。
（3）求方程3x^2 + 4x + 1 = 0的根。
2. 因式分解（1）将4x^2 - 13x + 3进行因式分解。
（2）将8x^3 + 12x^2 - 10x进行因式分解。
（3）将x^2 + 6x + 9进行因式分解。
3. 求导数（1）求函数f(x) = x^3 - 2x^2 + 5的导数。
（2）求函数f(x) = 3x^2 + 4x + 2的导数。
（3）求函数f(x) = 2sin(x) - 3cos(x)的导数。
4. 极限计算（1）计算lim（x->2）(x^2 - 4) / (x - 2)的值。
（2）计算lim（x->0）sin(3x) / x的值。
（3）计算lim（x->∞）(3x + 2) / (4x - 1)的值。
5. 几何相关题目（1）已知直角三角形的两条直角边的长度分别为3和4，求斜边的长度。
（2）正方形的面积为49平方单位，求其对角线的长度。
（3）在平面直角坐标系中，点A(2, 5)和点B(7, 9)的距离是多少？以上仅为部分练习题，供大家练习。
希望大家能够通过不断的练习提高数学水平，为高考取得好成绩做好准备。
在解题过程中，可以利用课本、参考书等资源，加深对数学知识的理解和应用。
祝愿各位河北高三学生在数学学习中取得好成绩！。
2023-2024学年河北省沧州市高考数学押题模拟试题(一模)含解析
2023-2024学年河北省沧州市高考数学押题模拟试题（一模）一、单选题1．若复数z 满足5i 2iz =+，则z 的共轭复数在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第一象限C ．第二象限D ．第四象限【正确答案】B【分析】根据复数的除法运算化简复数，进而得12i z =-+，即可由几何意义求解.【详解】由5i 2iz =+，得()()()()512i 5512i i 2i 12i 12i 12i z --====--+-+-+--，所以12i z =-+，所以z 在复平面内对应的点为()1,2-，该点位于第二象限.故选:B.2．已知集合{}24,,3401A x x k B x x x k ⎧⎫=∈=∈=--≤⎨⎬+⎩⎭Z Z ∣∣，则A B = （）A ．{}1,1,2,4-B ．{}4,2,1,1---C ．[)(]1,00,4-⋃D ．[)(]4,00,1- 【正确答案】A【分析】根据列举法求解集合和求解一元二次不等式的解法即可求解.【详解】41x k =+，若要Z x ∈，则需14,2,1,1,2,4k +=---，所以解得1,2,4,4,2,1x =---所以{}4,2,1,1,2,4,A =---，{}()(){}{}234041014B x x x x x x xx =--≤=-+≤=-≤≤∣∣∣所以{}1,1,2,4A B ⋂=-.故选.A3．已知点)P为角α终边上一点，绕原点O 将OP 顺时针旋转5π6，点P 旋转到点Q 处，则点Q 的坐标为（）A ．()1-B ．(1,-C ．1,2⎛- ⎝⎭D ．1⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【正确答案】B【分析】由三角函数的定义求得1cos 2αα==，根据题意得到射线OQ 为角5π6α-的终边，结合两角差的正、余弦公式，求得5πcos 6α⎛⎫- ⎪⎝⎭和5πsin 6α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值，进而求得点Q 的坐标，得到答案.【详解】因为)P，可得2OP =，由三角函数的定义，可得1cos 2αα==，又由绕原点O 将OP 顺时针旋转5π6，可得且射线OQ 为角5π6α-的终边，所以5π5π5π1cos cos cos sin sin6662ααα⎛⎫-=+=- ⎪⎝⎭，5π5π5πsin sin cos cos sin 6662ααα⎛⎫-==- ⎪⎝⎭，所以点Q 的坐标为(1,-.故选：B.4．某圆锥的侧面展开图是一个半径为π的扇形，则该圆锥的内切球的体积为（）A B C ．4πD ．6π【正确答案】A【分析】根据圆锥侧面展开图可得圆锥的半径和高，进而利用相似即可求解内切球半径.【详解】设圆锥的底面半径为r ，高为h ，则2ππr =⨯，所以r h ==R ，作出轴截面如图，利用相=，所以R =，所以34π4π333R V ⨯==.故选：A.5．已知平面向量,a b满足||1,||a b == ，且a 与b 的夹角为θ，则“1a b -= ”是“π6θ=”的（）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】C【分析】根据平面向量的夹角公式以及充要条件的概念可得答案.【详解】若1a b -= ，则2221a b a b +-⋅=，所以32a b ⋅=，所以cos 2a b a b θ⋅==⋅ ，又[0,π]θ∈，所以π6θ=；若π6θ=，则222π||213213cos 16a b a b a b -=+-⋅=+-⨯= ，所以1a b -= ，所以a b -= 1”是“π6θ=”的充要条件.故选：C.6．2021年9月24日，继上世纪60年代在世界上首次完成人工合成结晶牛胰岛素之后，中国科学家又在人工合成淀粉方面取得颠覆性､原创性突破——国际上首次在实验室实现二氧化碳到淀粉的从头合成.网友戏称这一技术让“喝西北风”活着成为可能.从能量来源看，该技术涉及“光能一电能一化学能”等多种能量形式的转化，从技术流程上，该工艺分为四个模块：第一步是利用光伏发电将光能转变为电能，通过光伏电水解产生氢气，然后通过催化剂利用氢气将二氧化碳还原成甲醇，将电能转化为甲醇中储存的化学能；第二步是将甲醇转化为三碳；第三步利用三碳合成六碳；最后一步是将六碳聚合成淀粉.在这个过程中的能量转化效率超过10%，远超光合作用的能量利用效率.经过实验测试，已知通过催化剂利用氢气将二氧化碳还原生成甲醇的浓度()t ϕ与其催化时间t （小时）满足的函数关系式为()(0t t ma a ϕ=>，且1)a ≠.若催化后20小时，生成甲醇的浓度为20%，催化后30小时，生成甲醇的浓度为40%.若生成甲醇的浓度为50%，则需要催化时间约为（）（参考数据：lg20.301≈）A ．23.5小时B ．33.2小时C ．50.2小时D ．56小时【正确答案】B【分析】根据题意列方程组求得a 和m 的值，从而求出()t ϕ的表达式，令()0.5t ϕ=解方程即可求解.【详解】由题意得()()2030200.2,300.4,ma ma ϕϕ⎧==⎪⎨==⎪⎩解得1102,0.05a m ==，所以()100.052t t ϕ=⨯，令()100.0520.5t t ϕ=⨯=，所以10210t =，所以lg2lg1010t=，故lg10101033.2lg20.301t =⋅=≈小时.故选：B.7．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为(),4,(0)F A n n >为C 上一点，且5AF =，直线AF 交C 于另一点B ，记坐标原点为O ，则OA OB ⋅= （）A ．5B ．-4C ．3D ．-3【正确答案】D【分析】根据抛物线的焦半径可得2p =，进而可得()()1,0,4,4F A ，联立直线AF 与抛物线方程可得点1,14B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由向量数量积的坐标公式即可求解.【详解】由题意得，抛物线2:2(0)C y px p =>的准线为2px =-，因为()4,A n 为C 上一点，且5AF =，所以245,8,02pAF n p n =+==>，解得2,4p n ==，故抛物线2:4C y x =，焦点为()()1,0,4,4F A ，所以AF 的方程为()413y x =-，代入2:4C y x =，得216(1)49x x -=，整理得241740x x -+=，解得14x =或4x =，因为B 为C 上一点，则2144B y =⨯，由于A 在第一象限，所以1B y =-，所以1,14B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以143OA OB ⋅=-=-.故选:D.8．已知函数()f x 为R 上的奇函数，且在(],0-∞上单调递减，若34ln3351,,ln 81e 322a f b f c f⎛⎫⎛⎫⎛⎫===- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则（）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b<c<aD ．c<a<b【正确答案】C【分析】构造函数()ln x g x x =，求导得函数的单调性，进而可判断33lne ln32ln810e 3281>>>，结合()f x 的奇偶性和单调性即可求解.【详解】由题意知，33ln81lne 51ln32,,ln 81e 32232a f b f c f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫===-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令()ln x g x x =，则()21ln xg x x -'=，当()e,x ∈+∞时，()0g x '<，此时()g x 在()e,+∞上单调递减，又354e e 23<<<，所以()()()354e 23g g g >>，即33lne ln32ln810e 3281>>>，又()f x 为奇函数且在(],0-∞上单调递减，所以()f x 在[)0,∞+上单调递减，所以33lne ln32ln81e 3281f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即b<c<a .故选：C.二、多选题9．已知函数()2f x ax bx c =++，其中a b c >>，若()10f =，则（）A ．2b bc >B ．ac bc <C ．ab ac >D ．22a c >【正确答案】BC【分析】由()10f =可得0,0a c ><，作差法可判断A ，根据不等式的性质判断BCD.【详解】由()10f =，得0a b c ++=，又a b c >>，所以0,0a c ><，且b 的符号不确定，故()2b bc b b c -=-的符号也不确定，故A 错误；由,0a b c ><，得ac bc <，故B 正确；由,0b c a >>，得ab ac >，故C 正确；因为0a c >>，两边平方后不等式不一定成立，故D 错误.故选：BC.10．已知2012(2)n nn x a a x a x a x -=++++ ，若12411a a =-，则（）A ．0121n a a a a ++++=B ．0123(1)3n nn a a a a a -+-++-=- C ．1232312n a a a na ++++=- D ．123231n a a a na ++++=- 【正确答案】AC【分析】根据二项式通项公式，展开式系数对应关系和特殊值法即可求解.【详解】(2)n x -的通项为1C (2)rn rr r n T x -+=-，由题意得()1312(2),(2)1n n a n a n n --=-⋅=--⋅-，因为12411a a =-，所以12n =.故1221201212(2)x a a x a x a x -=++++ .令1x =，得012121a a a a ++++= ，故A 正确；令=1x -，得120123123a a a a a -+-++= ，故B 错误；将1221201212(2)x a a x a x a x -=++++ 两边求导，得112111231212(2)2312x a a x a x a x -=++++ ，令1x =，得12312231212a a a a ++++=- ，故C 正确，D 错误.故选.AC11．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，,P M 分别是棱11,BC A B 的中点，连接1,,,BM CM C M R 是线段BM 的中点，Q 是线段AB 上靠近点B 的四等分点，则下列说法正确的是（）A ．平面RPQ //平面1C CMB ．三棱锥B RPQ -的体积与正三棱柱111ABC A B C -的体积之比为1:48C ．直线AC 与平面RPQ 所成的角为30D ．若124AB AA ==，则过,,A P R 三点作平面α，截正三棱柱111ABC A B C -所得截面图形的393【正确答案】ABC【分析】根据中位线可证线面平行，即可判断A,利用锥体体积以及柱体体积公式，结合比例关系即可判断B,利用线面角的定义即可求解C,利用面面垂直得到线面垂直,进而利用线线垂直求解长度即可判断D.【详解】取AB 的中点N ，连接,MN CN ，则四边形1MNCC 是矩形，又,P R 分别是棱BC BM ⋅的中点，Q 是线段AB 上靠近点B 的四等分点，所以,PR MC PR ⊄∥平面1,C CM MC ⊂平面1C CM ，所以PR //平面1C CM ，同理可得PQ //平面1C CM ，又,,PR PQ P PR PQ =⊂ 平面PQR ，所以平面PQR平面1C CM ，故A 正确,11112224B PQR P BRQ C BRQ R BCQ R ABCV V V V V -----====⨯三棱锥三棱锥三棱锥三棱锥三棱锥11111111111111242242348ABC ABC A B C ABC A B C V V V ---=⨯⨯=⨯⨯⨯=三棱锥M 三棱柱三棱柱,棱锥B RPQ -的体积与正三棱柱111ABC A B C -的体积之比为1:48，故B 正确；因为AB ⊥平面1MNCC ，平面RPQ //平面1MNCC ，所以ACN ∠即直线AC 与平面RPQ 所成的角，又,2CN AB AC AN ⊥=，所以30ACN ∠= ，即直线AC 与平面PQR 所成的角为30 ，故C 正确；连接AR 并延长交1BB 于点S ，连接PS ，则平面α截正三棱柱111ABC A B C -所得截面图形为PAS ，由于AP ⊂底面ABC ,AP BC,^BC 是平面11CBB C 与底面ABC 的交线，且平面11CBB C ⊥面ABC ，所以AP ⊥平面11CBB C ，PS ⊂平面11CBB C ,所以AP PS ⊥，所以124AB AA ==，故42,23,3BP AP SB ===，故224213233SP ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，故121323923233PASS=⨯⨯=，故D 错误.故选.ABC12．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，离心率为2，焦点6过2F 作直线l 交双曲线C 的右支于A 、B 两点，若H 、G 分别为12AF F △与12BF F △的内心，则（）A ．C 的渐近线方程为3y x =B ．点H 与点G 均在同一条定直线上C ．直线HG 不可能与l 平行D ．HG 的取值范围为4622,3⎡⎢⎣⎭【正确答案】ABD【分析】根据题意求出b 、a 、c 的值，可得出双曲线C 的渐近线方程，可判断A 选项；利用切线长定理以及双曲线的定义可判断B 选项；取l x ⊥轴，可判断C 选项；设直线AB 的倾斜角为θ，求出22HG =求出θ的取值范围，结合正弦函数的基本性质求出HG 的取值范围，可判断D 选项.【详解】设双曲线C 半焦距为c ，双曲线C 的渐近线方程为by x a=±，即0bx ay ±=，双曲线C 的右焦点()2,0F c b ==由题意知2c e a ===，所以22a =，所以c ==，故双曲线C 的方程为22126x y -=，故渐近线方程为y =，故A 正确；对于B 选项，记12AF F △的内切圆在边1AF 、2AF 、12F F 上的切点分别为M 、N 、E ，由切线长定理可得AM AN =，11F M F E =，22F N F E =，由122AF AF a -=，即()122AM MF AN NF a +-+=，得122MF NF a -=，即122F E F E a -=，记H 的横坐标为0x ，则()0,0E x ，于是()002x c c x a +--=，得0x a =，同理内心G 的横坐标也为a ，故HG x ⊥轴，即H 、G 均在直线x a =上，故B 正确；对于C 选项，当l 与x 轴垂直时，//HG l ，故C 错误；对于D 选项，设直线AB 的倾斜角为θ，则22OF G θ∠=，2902HF O θ∠=-（O 为坐标原点），在2HF G △中，()()sin 90sin 22tan tan 9022cos cos 9022HG EG HE c a c a θθθθθθ⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎡⎤⎛⎫⎝⎭⎢⎥=+=-+-=-+ ⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎢⎥⎣⎦- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.()()()sin cos 12222sin sin cos sin sin cos 2222c a c a c a θθθθθθθθ⎛⎫ ⎪-+=-=-⋅= ⎪⎝⎭，由于直线l 与C 的右支交于两点，且C的一条渐近线的斜率为ba=60 ，结合图形可知60120θ<< ，sin 1θ<≤，所以，sin 3HG θ⎡=∈⎢⎣⎭，故D 正确.故选：ABD.方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.三、填空题13．已知函数()log 2e a f x x x a =++-，若曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与直线310x y -+=平行，则=a __________.【正确答案】e【分析】根据求导公式和导数的几何意义即可求解.【详解】由题意知()12ln f x x a=+'，所以曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线斜率()1123ln k f a'==+=，所以12=3ln a+，解得e a =，故答案为.e14．已知实数,a b 满足221a b +=，则2b a -的取值范围为__________.【正确答案】33,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】根据题意转化为圆221x y +=上的点与定点()2,0A 之间的连线的斜率，结合圆的性质，即可求解.【详解】由题意，设()(),,2,0P a b A ，且022b b k a a -==--可得2b a -表示点P 与点A 连线的斜率，其中点P 为圆221x y +=上的点，如图所示，在直角1OP A 中，可得1113tan 3OP OAP P A ∠==，可得直线1P A 的斜率为133k =-；在直角2OP A 中，可得2223tan 3OP OAP P A ∠==，可得直线2P A 的斜率为133k =，所以2b a -的范围为33,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故答案为.33,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦15．已知函数()()π2sin 22f x x ϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的图象关于直线π12x =-对称，将函数()f x 的图象向左平移π3个单位长度得到函数()g x 的图象，则下列判断正确的是__________.（请将所有正确答案的序号写在横线上）①()f x 的图象关于点π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭对称；②()g x 的图象关于点π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭对称；③()g x 在π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增；④()g x 的图象关于直线π12x =对称.【正确答案】①②④【分析】根据函数()f x 关于直线π12x =-对称可得π3ϕ=-，进而可判断①，由函数图象的平移可得()π2sin 23g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，进而利用代入验证可判断②④，利用正弦型函数的单调性可判断③.【详解】因为函数()()π2sin 22f x x ϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的图象关于直线π12x =-对称，所以ππ2π,Z 122k k ϕ⎛⎫⨯-+=+∈ ⎪⎝⎭，所以2ππ,Z 3k k ϕ=+∈，又π2<ϕ，所以π3ϕ=-，所以()π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以π03f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以()f x 的图象关于点π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，故①正确；将函数()f x 的图象向左平移π3个单位长度得到函数()π2sin 23g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，所以π2sinπ03g ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以()g x 的图象关于点π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，故②正确；令πππ2π22π,Z 232k x k k -+≤+≤+∈，得5ππππ,Z 1212k x k k -+≤≤+∈，当1k =时，得函数()g x 在7π13π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以函数()g x 在π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上不单调递增，故③错误；令ππ2π,32x k k +=+∈Z ，得ππ,122k x k =+∈Z ，当0k =时，得函数()g x 的图象关于直线π12x =对称，故④正确.综上，正确的结论有①②④.故①②④.四、双空题16．已知数列{}n a 的各项均为正数，n S 为其前n 项和，且()2*,,n n n a S a n ∈N 成等差数列.则{}n a 的通项公式为__________；若Πn 为数列212n n a a ⎧⎫-⎨⎩⎭的前n项积，不等式Πn ≤*n ∀∈N 恒成立，则实数λ的最小值为__________.【正确答案】n a n=2【分析】根据11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩即可求得n a ，求出Πn ，由Πn ≤得Πλ≥令()Πf n =()f n 的单调性，求出()f n 的最大值即可得解.【详解】由题意知22n n n S a a =+，又数列{}n a 的各项均为正数，所以当1n =时，11a =；当2n ≥时，21112n n n S a a ---=+，所以22112n n n n n a a a a a --=-+-，即11n n a a --=，所以数列{}n a 为首项为1，公差为1的等差数列，故2121,22n n n a n a n a n--==，所以135721Π24682n n n -=⨯⨯⨯⨯⨯ ，则1Π21Π22n n n n ++=+，由Πn ≤Πλ≥故问题转化为*N ,Πn λ∀∈≥令()Πf n =则()()121122f n n f n n ++===<+，所以()()1f n f n +<，所以()f n 单调递减，故()max ()1f n f =2λ≥，即实数λ故n a n =关键点点睛：利用比商法判断出函数()Πf n =.五、解答题17．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,,a b c ABC 的外接圆的半径为R ，且22sin sin 2sin sin c C a B R A B-=+.(1)求角C 的大小；(2)若c =ABC 的面积的最大值.【正确答案】(1)2π34.【分析】（1）利用正弦定理边角互化可得222a b c ab +-=-，由余弦定理即可求解，（2）利用余弦定理以及不等式即可求解.【详解】（1）22sin sin 2sin sin c C a B R A B-=+ ，∴由正弦定理得2222sin 2sin sin 2sin sin R C R A B R A B-=+，222sin sin sin 1sin sin C A B A B-∴=+，即222sin sin sin sin sin A B C A B +-=-，∴由正弦定理得222a b c ab +-=-，∴由余弦定理可得2221cos 222a b c ab C ab ab +--===-，2π0π,3C C <<∴=.（2）由（1）知222a b c ab +=-，所以223a b ab ++=，又223a b ab ab ++≥，当且仅当1a b ==时等号成立，所以33ab ≤，即1ab ≤，所以ABC 的面积1sin 2S ab C =，即ABC 18．据相关机构调查表明我国中小学生身体健康状况不容忽视，多项身体指标（如肺活量､柔㓞度､力量､速度､耐力等）自2000年起呈下降趋势，并且下降趋势明显，在国家的积极干预下，这种状况得到遏制，并向好的方向发展，到2019年中小学生在肺活量､柔㓞度､力量､速度､而力等多项指标出现好转，但肥胖､近视等问题依然严重，体育事业任重道远.某初中学校为提高学生身体素质，日常组织学生参加中短跑锻炼，学校在一次百米短跑测试中，抽取200名女生作为样本，统计她们的成绩（单位：秒），整理得到如图所示的频率分布直方图（每组区间包含左端点，不包含右端点）.(1)估计样本中女生短跑成绩的平均数；（同一组的数据用该组区间的中点值为代表）(2)由频率分布直方图，可以认为该校女生的短跑成绩()2,X N μσ，其中μ近似为女生短跑平均成绩2,x σ近似为样本方差2s ，经计算得2 5.79s =，若从该校女生中随机抽取10人，记其中短跑成绩在(]11.34,20.98内的人数为Y ，求()8P Y ≤（结果保留2个有效数字）.5.79 2.41≈，随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827,(22)0.9545,(33)0.9974,P X P X P X μσμσμσμσμσμσ-<≤+=-<≤+=-<≤+=101010990.68270.0220,0.95450.6277,0.99740.9743,0.68270.0322,0.95450.6576≈≈≈≈≈.【正确答案】(1)16.16(2)0.073【分析】（1）利用频率分布直方图求解平均数即可.（2）根据()2,X N μσ，可求得成绩在(]11.34,20.98内的概率，利用()10,0.9545Y B ~二项分布的概率公式求解即可.【详解】（1）估计样本中女生短跑成绩的平均数为：110.04130.12150.36170.28190.12210.06230.0216.16⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.（2）由题意知()216.16,5.79,16.16, 5.79, 5.79 2.41X N μσσ~===≈，则211.34,220.98μσμσ-=+=，故该校女生短跑成绩在(]11.34,20.98内的概率(22)0.9545p P X μσμσ=-<≤+=，由题意可得()10,0.9545Y B ~，所以()()99109C 0.954510.9545100.65760.04550.299208P Y ==⨯⨯-≈⨯⨯=，()10101010C 0.95450.6277P Y ==⨯≈，所以()()()819100.073P Y P Y P Y ≤=-=-=≈.19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1n n S a +=.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设212log 1n n n b a a ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭，求数列{}n b 的前n 项和n T .【正确答案】(1)12n na =(2)2332n n n T +=-【分析】（1）由n a 与n S 的关系即可求解；（2）求出数列{}n b 的通项公式后用错位相减法求解.【详解】（1）因为1n n S a +=，所以当2n ≥时，()1111n n n n n a S S a a --=-=---，所以12n n a a -=，又当1n =时，121a =，解得112a =，所以0n a ≠，所以112n n a a -=，所以{}n a 是首项为12､公比为12的等比数列，所以{}n a 的通项公式为12n na =.（2）由（1）知21212log 12n n n n nb a a ⎛⎫-=⋅-= ⎪⎝⎭，所以231135232122222n n n n n T ---=+++++L ，所以231113232122222n n n n n T +--=++++ ，两式相减，得121111111111211213234222122222222212n n n n n n n n n T -+++⎛⎫- ⎪--+⎛⎫⎝⎭=+++-=+⨯-=- ⎪⎝⎭- ，所以2332n nn T +=-.20．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为矩形，E 为棱AB 的中点，DE 与AC 交于点,F G 为PBC 的重心.(1)求证：FG 平面PAB ；(2)已知4,3AB AD ==，若G 到平面PCD 的距离为2，求平面CFG 与平面PCD 所成的锐二面角的余弦值.【正确答案】(1)证明见解析(2)41【分析】（1）根据线线平行和线面平行的证法和线面平行的判定即可求解；（2）根据二面角的法向量求法即可求解.【详解】（1）证明：延长CG 交PB 于点H ，连接AH ，则H 为PB 的中点，因为E 为AB 的中点，所以2AB CD AE ==，又AE CD ∥，所以2CF CD FA AE==，因为G 为PBC 的重心，所以2CG GH =，所以CF CG FA GH=，所以FG AH ∥，又AH ⊂平面,PAB FG ⊄平面PAB ，所以FG 平面PAB .（2）由题意易知,,AB AD AP 两两垂直，故以A 为坐标原点，以直线AB ，,AD AP 分别为x 轴，y 轴，z轴建立如图所示坐标系，设3(0)AP λλ=>，则()()()()34,0,0,4,3,0,0,3,0,0,0,3,2,0,2B C D P H λλ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以()()()334,3,3,4,0,0,4,3,0,2,0,,2,3,22PC CD AC AH CH λλλ⎛⎫⎛⎫=-=-===-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 因为23CG CH = ，所以4,2,3CG λ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.设平面PCD 的一个法向量(),,m x y z =，则0,0,m PC m CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即4330,40,x y z x λ+-=⎧⎨-=⎩令1z =，解得0,x y λ==，所以()0,,1m λ= ，因为G 到平面PCD的距离为2，所以2CG m m ⋅== ，解得1λ=，所以()30,1,1,2,0,2m AH ⎛⎫== ⎪⎝⎭ .设平面CFG 的一个法向量(),,n a b c = ，则0,0,n AC n AH ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即430,320,2a b a c +=⎧⎪⎨+=⎪⎩令4c =，解得3,4a b =-=，所以()3,4,4n =- ，.设平面CFG 与平面PCD 所成的锐二面角大小为θ，则cos cos ,41m n m n m n θ⋅====⋅ ，即平面CFG 与平面PCD所成的锐二面角的余弦值为41.21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为,F A 为C 上的一点，AF 的最大值与最小值的差为F 且垂直于x 轴的直线被C 截得的弦长为1.(1)求椭圆C 的方程；(2)已知直线():0l y kx m k =+≠与椭圆C 交于,M N 两点，记C 的右顶点为P ，直线PM 与直线PN 的斜率分别为12,k k ，若12120k k =，求PMN 面积的取值范围.【正确答案】(1)2214x y +=(2)50,3⎛⎤ ⎥⎝⎦【分析】（1）利用椭圆方程的性质可列出方程组，得到,a b ，即可得到椭圆方程.（2）根据题意，联立2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得到()222148440k x mkx m +++-=，利用韦达定理结合已知化简得2260m km k --=，即2m k =-或3m k =，讨论分析直线l 经过定点()3,0Q -，即可表示出PMN 面积，求出结果.【详解】（1）设C 的半焦距为c ，由题意知()()222221a c a c b a a b c ⎧+--=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得21a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，故椭圆C 的方程为2214x y +=.（2）由题意知()2,0P ，设()()1122,,,M x y N x y ，由2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()222148440k x mkx m +++-=，所以()()2222Δ64414440m k k m =-+->，即22410k m -+>，且2121222844,1414mk m x x x x k k -+=-=++.因为12120k k =，所以121212220y y x x ⋅=--，又1122,kx m y kx m y =+=+，所以()()()()12122022kx m kx m x x ++=--，①因为()()()()2222121484414k x mkx m k x x x x +++-=+--，所以令2x =，得()()22122161642214k mk m x x k ++--=+，②令m x k =-，得()()2222122144414m m m k m k x x k k k ⎛⎫⎛⎫+⋅--=+---- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以()()22122414m k kx m kx m k -++=+，所以()()2212220802014m k kx m kx m k -++=+，③把②③代①，得2222161642080k mk m m k ++=-，化简得2260m km k --=，所以2m k =-或3m k =.所以当2m k =-时，直线l 的方程为()2y k x =-，直线过点()2,0P ，不合题意，舍去；当3m k =时，直线l 的方程为()3y k x =+，所以直线l 经过定点()3,0Q -，所以12121522PMN RQM RQN S S S PQ y y k x x =-=⋅-=-52==因为22410k m -+>且3m k =，所以2150k ->，所以2105k <<，设29411,5t k ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，所以50,3PMN S ⎛⎤= ⎥⎝⎦，即PMN 面积的取值范围为50,3⎛⎤ ⎥⎝⎦.22．已知函数()21e 21(0)2x f x x a x a =-+->的导函数为()f x '.(1)当1a =时，求函数()f x 的极值点的个数；(2)若()ln11a f x x x '<+++恒成立，求实数a 的取值范围.【正确答案】(1)2(2)()1,+∞.【分析】（1）求导得到导函数，构造()e 2x g x x =-+，再次求导得到导函数，确定函数的单调区间，计算最值确定()()200f f ''-⋅<，()()020f f ''⋅<，得到极值点个数.（2）变换得到()e ln 1ln 10x a x a -++->在()1,-+∞上恒成立，构造函数，考虑01a <≤和1a >两种情况，求导得到导函数，再次构造函数，确定函数的单调区间，利用隐零点代换得到答案.【详解】（1）当1a =时，()21e 212x f x x x =-+-，定义域为R ，()e 2x f x x =-+'，令()e 2x g x x =-+，则()1e x g x '=-.当0x <时，()0g x '>，当0x >时，()0g x '<，所以()g x 在(),0∞-上单调递增，在()0,∞+上单调递减，即()f x '在(),0∞-上单调递增，在()0,∞+上单调递减，所以()max ()010f x f =='>'，又()22e 0f --=-<'，()224e 0f =-<'，所以()()200f f ''-⋅<，()()020f f ''⋅<，所以存在唯一的()12,0x ∈-，()20,2x ∈，使得()()120f x f x ''==，且当()1,x x ∈-∞和()2,x x ∈+∞时，()0f x '<，函数单调递减；当()12,x x x ∈时，()0f x ¢>，函数单调递增，故()f x 在1x 处取得极小值，在2x 处取得极大值，即函数()f x 的极值点的个数为2.（2）()e 2x f x a x =-++'，()ln 11a f x x x '<+++，即e 2ln 11x a a x x x -++<+++恒成立，即()e ln 1ln 10x a x a -++->在()1,-+∞上恒成立.记()()()e ln 1ln 1,1,x h x a x a x ∞=-++-∈-+，当01a <≤时，()0ln 10h a a =+-≤，不合题意；当1a >时，()()1e 11e 11x xa x h x a x x +-=-=++'.记()()()1e 1,1,x x a x x ϕ=+-∈-+∞，则()()2e 0x x a x ϕ=+>'，所以()x ϕ在()1,-+∞上单调递增，又()()11,010a ϕϕ-=-=->，所以()31,0x ∃∈-使得()30x ϕ=，即()331e 10x a x +-=，①故当()31,x x ∈-时，()0x ϕ<，即()0h x '<，当()3,x x ∈+∞时，()0x ϕ>，即()0h x '>，所以()h x 在()31,x -上单调递减，在()3,x +∞上单调递增，所以()()3min 33()e ln 1ln 1x h x h x a x a ==-++-，②由①式可得331e 1x a x =+，所以()33ln ln 1a x x =-+-，代入②式得()()min 3331()12ln 11h x x x x =-+-++，因为()31,0x ∈-，即()310,1x +∈，故()()333110,2ln 101x x x -+>+<+，即min ()0h x >，所以当1a >时，()0h x >恒成立，故实数a 的取值范围为()1,+∞.关键点睛：本题考查了利用导数判断极值点个数，不等式恒成立问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中利用隐零点代换可以简化运算，是解题的关键，隐零点代换是常考的方法，需要熟练掌握.。
河北省2022届高考数学一轮复习知识点攻破习题：数列的综合应用
数列的综合应用时间：45分钟 分值：100分一、选择题(每小题5分，共30分)1．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －1，则此数列的奇数项的前n 项和是( )(2n ＋1－1) (2n ＋1－2) (22n －1) (22n －2)解析：由S n ＝2n －1，得a n ＝2n －1，∴数列{a n }是以1为首项，2为公比的等比数列．∴此数列的奇数项的前n 项和为a 1[1－(q 2)n ]1－q 2＝1－22n 1－4＝13(22n－1)．答案：C2．已知a ，b ，a ＋b 成等差数列，a ，b ，ab 成等比数列，且0<log m (ab )<1，则m 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(1，＋∞)C ．(0,8)D ．(8，＋∞) 解析：∵a ，b ，a ＋b 成等差数列， ∴2b ＝2a ＋b ，b ＝2a .① ∵a ，b ，ab 成等比数列，∴a ≠0，b ≠0，且b 2＝a 2b ，b ＝a 2.② 由①②知a 2＝2a ，a ＝2，b ＝4，ab ＝8. ∵0<log m (ab )＝log m 8<1，∴m >8. 答案：D3．一套共7册的书计划每两年出一册，若出完全部，各册书公元年代之和为13958，则出齐这套书的年份是( )A ．1994B ．1996C ．1998D ．2000 解析：设出齐这套书的年份是x ，则(x －12)＋(x －10)＋(x －8)＋…＋x ＝13958，∴7x －7(12＋0)2＝13958，x ＝2000. 答案：D 4．(2022·宁夏银川一模)已知正数组成的等差数列{a n }的前20项的和为100，那么a 7·a 14的最大值为( )A ．25B ．50C ．100D ．不存在 解析：由S 20＝100得a 1＋a 20＝10，∴a 7＋a 14＝10. 又a 7>0，a 14>0，∴a 7·a 14≤(a 7＋a 142)2＝25.答案：A5．(2022·河南郑州一模)数列{a n }中，a 1＝1，a n ，a n ＋1是方程x 2－(2n ＋1)x ＋1b n＝0的两个根，则数列{b n }的前n 项和S n 等于( )解析：∵a n ，a n ＋1是方程x 2－(2n ＋1)x ＋1b n＝0的两个根，∴a n ＋a n ＋1＝2n ＋1，a n ·a n ＋1＝1b n.∴b n ＝1a n ·a n ＋1.又a 1＝1，∴a 2＝2，a 3＝3，…，a n ＝n .∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝11×2＋12×3＋…＋1n (n ＋1)＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1.答案：B6．已知数列{a n }的通项公式a n ＝3n 2－(9＋a )n ＋6＋2a (其中a 为常数)，若a 6与a 7两项中至少有一项是a n 的最小值，则实数a 的取值范围是( )A ．B ．C ．{a |27≤a ≤33，a ∈N *}D ．{a |24≤a ≤36，a ∈N *}解析：设f (x )＝3x 2－(9＋a )x ＋6＋2a ，其对称轴为x ＝9＋a 6，当112≤9＋a 6≤152时，即24≤a ≤36时，a 6与a 7至少有一项是a n 的最小值．答案：A二、填空题(每小题5分，共20分)7．有这样一首诗：“有个学生资性好，一部《孟子》三日了，每日添增一倍多，问君每日读多少？”(注：《孟子》全书共34685字，“一倍多”指一倍)，由此诗知该君第二日读的字数为__________．解析：设第一日读的字数为a ，由“每日添增一倍多”得此数列是以a 为首项，2为公比的等比数列，可求得三日共读的字数为a (1－23)1－2＝7a ＝34685，解得a ＝4955，∴2a ＝9910，即该君第二日读的字数为9910.答案：99108．在等差数列{a n }中，满足3a 4＝7a 7，且a 1>0，S n 是数列{a n }前n 项的和，若S n 取得最大值，则n ＝__________.解析：设公差d ，由题设3(a 1＋3d )＝7(a 1＋6d )，所以d ＝－433a 1<0.解不等式a n >0，即a 1＋(n －1)(－433a 1)>0，所以n <374，则n ≤9，当n ≤9时，a n >0，同理可得n ≥10时，a n <0. 故当n ＝9时，S n 取得最大值． 答案：99．已知数列{a n }满足a n ＋1a n ＝n ＋2n(n ∈N *)，且a 1＝1，则a n ＝__________.解析：本题考查利用递推公式确定数列通项公式．据已知有：n ≥2时利用累乘法得：a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a n a n －1＝1·31·42·53·…·n n －2·n ＋1n －1＝n (n ＋1)2，又验证知a 1＝1也适合，故a n＝n (n ＋1)2.答案：n (n ＋1)210．设函数f (x )定义如下表，数列{x n }满足x 0＝5，且对任意自然数均有x n ＋1＝f (x n )，则x 2022的值为解析：∵x 0＝5，x n ＋1n ∴x 1＝f (x 0)＝f (5)＝2，x 2＝f (x 1)＝f (2)＝1， x 3＝f (x 2)＝f (1)＝4，x 4＝f (x 3)＝f (4)＝5.从而知数列{x n }是以4为周期的数列，而x 2022＝f (x 2022)＝f (x 1)＝f (2)＝1. 答案：1三、解答题(共50分)11．(15分)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 3＝5，S 15＝225；数列{b n }是等比数列，b 3＝a 2＋a 3，b 2b 5＝128.(1)求数列{a n }的通项a n 及数列{b n }的前8项和T 8；(2)求使得1a n －7>14成立的正整数n .解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由已知a 1＋2d ＝5,15a 1＋12×15×14d ＝225，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝5，a 1＋7d ＝15，解得d ＝2，a 1＝1， 所以a n ＝2n －1.设等比数列{b n }的公比为q ， 因为b 3＝a 2＋a 3，所以b 1q 2＝8，因为b 2b 5＝128，所以b 21q 5＝128， 解得q ＝2，b 1＝2，T 8＝2×(1－28)1－2＝510.(2)1a n －7>14即12n －8>14， 解之得4<n <6，所以n ＝5. 12．(15分)(2022·福建泉州一模)某城市决定对城区住房进行改造，在新建住房的同时拆除部分旧住房．第一年建新住房a m 2，第二年到第四年，每年建设的新住房比前一年增长100%，从第五年起，每年建设的新住房都比前一年减少a m 2；已知旧住房总面积为32a m 2，每年拆除的数量相同．(1)若10年后该城市住房总面积正好比改造前的住房总面积翻一番，则每年拆除的旧住房面积是多少m 2?(2)求前n (1≤n ≤10且n ∈N )年新建住房总面积S n .解：(1)10年后新建住房总面积为a ＋2a ＋4a ＋8a ＋7a ＋6a ＋5a ＋4a ＋3a ＋2a ＝42a . 设每年拆除的旧住房为x m 2， 则42a ＋(32a －10x )＝2×32a ，解得x ＝a ，即每年拆除的旧住房面积是a m 2. (2)设第n 年新建住房面积为a ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n －1a ，1≤n ≤4，(12－n )a ，5≤n ≤10.所以当1≤n ≤4时，S n ＝(2n －1)a ；当5≤n ≤10时，S n ＝a ＋2a ＋4a ＋8a ＋7a ＋6a ＋…＋(12－n )a ＝15a ＋(n －4)(19－n )a2＝(23n －n 2－46)a 2，故S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧(2n－1)a ，1≤n ≤4且n ∈N ，(23n －n 2－46)2a ，5≤n ≤10且n ∈N .13．(20分)(2022·江西高考)各项均为正数的数列{a n }，a 1＝a ，a 2＝b ，且对满足m ＋n ＝p ＋q 的正整数m ，n ，p ，q 都有a m ＋a n (1＋a m )(1＋a n )＝a p ＋a q(1＋a p )(1＋a q ).(1)当a ＝12，b ＝45时，求通项a n ；(2)证明：对任意a ，存在与a 有关的常数λ，使得对于每个正整数n ，都有1λ≤a n ≤λ.解：(1)由a m ＋a n (1＋a m )(1＋a n )＝a p ＋a q(1＋a p )(1＋a q )得a 1＋a n (1＋a 1)(1＋a n )＝a 2＋a n －1(1＋a 2)(1＋a n －1)， 将a 1＝12，a 2＝45代入上式化简得a n ＝2a n －1＋1a n －1＋2，所以1－a n 1＋a n ＝13·1－a n －11＋a n －1.故数列{1－a n1＋a n }为等比数列，从而1－a n 1＋a n ＝13n ，即a n ＝3n －13n ＋1.可验证，a n ＝3n －13n ＋1满足题设条件．(2)由题设a m ＋a n (1＋a m )(1＋a n )的值仅与m ＋n 有关，记为b m ＋n ，则b n ＋1＝a 1＋a n(1＋a 1)(1＋a n )＝a ＋a n(1＋a )(1＋a n )考察函数f (x )＝a ＋x(1＋a )(1＋x )(x >0)，则在定义域上有f (x )≥g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧11＋a，a >112， a ＝1a 1＋a ， 0<a <1故对n ∈N *，b n ＋1≥g (a )恒成立．又b 2n ＝2a n (1＋a n )2≥g (a )，注意到0<g (a )≤12，解上式得：g (a )1－g (a )＋1－2g (a )＝1－g (a )－1－2g (a )g (a )≤a n ≤1－g (a )＋1－2g (a )g (a )，取λ＝1－g (a )＋1－2g (a )g (a )，即有1λ≤a n ≤λ.内容总结。
河北高三高中数学专题试卷带答案解析
河北高三高中数学专题试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.平面α外的一条直线a 与平面α内的一条直线b 不平行，则( )A ．a ∥\αB ．a ∥αC ．a 与b 一定是异面直线D ．α内可能有无数条直线与a 平行2.正方体的表面积是a 2，它的顶点都在一个球面上，则这个球的表面积是( )A ．B ．C ．2πa 2D ．3πa 23.若正四棱柱的对角线与底面所成的角的余弦值为，且底面边长为2，则高为( )A ．1B ．2C ．3D ．44.．已知直线m ⊥平面α，直线n ⊂平面β，则下列命题正确的是A ．若α∥β，则m ⊥nB ．若α⊥β，则m ∥nC ．若m ⊥n ，则α∥βD ．若n ∥α，则α∥β5.将正方形ABCD 沿对角线BD 折成一个120°的二面角，点C 到达点C 1，这时异面直线AD 与BC 1所成的角的余弦值是( )A. B.C. D.6.设有三个命题，甲：底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；乙：底面是矩形的平行六面体是长方体；丙：直四棱柱是直平行六面体．以上命题中，真命题的个数有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个7.如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6 cm ，O′C′＝2 cm ，则原图形是( )A ．正方形B ．矩形C ．菱形D ．一般的平行四边形 8.若正三棱锥的侧面都是直角三角形，则侧面与底面所成二面角的余弦值是( )A. B.C. D.9.正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，O 是底面A 1B 1C 1D 1的中心，则O 到平面ABC 1D 1的距离为( )A. B.C. D.10.已知m ，n 为不同的直线，α，β为不同的平面，下列四个命题中，正确的是( )A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥nB ．若m ⊂α，n ⊂α，且m ∥β，n ∥β，则α∥βC ．若α⊥β，m ⊂α，则m ⊥βD ．若α⊥β，m ⊥β，m ⊄α，则m ∥α11.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 是底面ABCD 的中心，M 、N 分别是棱DD 1、D 1C 1的中点，则直线OM( )A ．和AC 、MN 都垂直B ．垂直于AC ，但不垂直于MNC ．垂直于MN ，但不垂直于ACD ．与AC 、MN 都不垂直12.如图，在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，BC 1⊥AC ，则C 1在底面ABC 上的射影H 必在( )A ．直线AB 上B ．直线BC 上C ．直线AC 上D ．△ABC 内部二、填空题1.若正三棱锥底面的边长为a ，且每两个侧面所成的角均为90°，则底面中心到侧面的距离为_______2.如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点E 为AA 1的中点，在对角面BB 1D 1D 上取一点M ，使AM ＋ME 最小，其最小值为_____3.a ，b ，c 是空间中互不重合的三条直线，下面给出五个命题：①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ； ②若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ∥c ； ③若a 与b 相交，b 与c 相交，则a 与c 相交； ④若a ⊂平面α，b ⊂平面β，则a ，b 一定是异面直线； ⑤若a ，b 与c 成等角，则a ∥b.上述命题中正确的________(只填序号)．4.如图，已知六棱锥P －ABCDEF 的底面是正六边形，PA ⊥平面ABC ，PA ＝2AB ，则下列结论中：①PB ⊥AE ；②平面ABC ⊥平面PBC ；③直线BC ∥平面PAE ；④∠PDA ＝45°.其中正确的有________(把所有正确的序号都填上)三、解答题1.如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，侧棱PA 垂直于底面，E 、F 分别是AB 、PC 的中点．(1)求证：CD ⊥PD ；(2)求证：EF∥平面PAD.2.在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，现沿AC折成二面角D－AC－B，使BD为异面直线AD、BC的公垂线．(1)求证：平面ABD⊥平面ABC；(2)当a为何值时，二面角D－AC－B为45°3.如图所示，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB＝BC＝CA＝3，M为AB的中点，四点P、A、M、C都在球O的球面上．(1)证明：平面PAB⊥平面PCM；(2)证明：线段PC的中点为球O的球心4.如图所示，四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，PA与平面ABCD所成的角为60°，在四边形ABCD中，∠D＝∠DAB＝90°，AB＝4，CD＝1，AD＝2.(1)建立适当的坐标系，并写出点B，P的坐标；(2)求异面直线PA与BC所成角的余弦值；(3)若PB的中点为M，求证：平面AMC⊥平面PBC.5.已知四棱锥S －ABCD 的底面ABCD 是正方形，SA ⊥底面ABCD ，E 是SC 上的任意一点．(1)求证：平面EBD ⊥平面SAC ；(2)设SA ＝4，AB ＝2，求点A 到平面SBD 的距离；6.如图，M 、N 、P 分别是正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱AB 、BC 、DD 1上的点．(1)若＝，求证：无论点P 在D 1D 上如何移动，总有BP ⊥MN ；(2)若D 1P ：PD ＝1∶2，且PB ⊥平面B 1MN ，求二面角M －B 1N －B 的余弦值；(3)棱DD 1上是否总存在这样的点P ，使得平面APC 1⊥平面ACC 1？证明你的结论．河北高三高中数学专题试卷答案及解析一、选择题1.平面α外的一条直线a与平面α内的一条直线b不平行，则()A．a∥\αB．a∥αC．a与b一定是异面直线D．α内可能有无数条直线与a平行【答案】D【解析】略2.正方体的表面积是a2，它的顶点都在一个球面上，则这个球的表面积是()A．B．C．2πa2D．3πa2【答案】B【解析】略3.若正四棱柱的对角线与底面所成的角的余弦值为，且底面边长为2，则高为()A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】略4.．已知直线m⊥平面α，直线n⊂平面β，则下列命题正确的是A．若α∥β，则m⊥n B．若α⊥β，则m∥n C．若m⊥n，则α∥βD．若n∥α，则α∥β【答案】A【解析】略5.将正方形ABCD 沿对角线BD 折成一个120°的二面角，点C 到达点C 1，这时异面直线AD 与BC 1所成的角的余弦值是( )A. B.C. D.【答案】D【解析】略6.设有三个命题，甲：底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；乙：底面是矩形的平行六面体是长方体；丙：直四棱柱是直平行六面体．以上命题中，真命题的个数有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】B【解析】想要得到三个命题中真命题的个数，我们只要根据平行六面体及长方体的特征对甲、乙、丙三个结论逐一进行判断即可得到答案．解：底面是平行四边形的四棱柱它的六个面均为平行四边形，故它是一个平行六面体故命题甲正确，底面是矩形的平行六面体它的侧面不一定是矩形，故它也不一定是长方体故命题乙不正确，直四棱柱它的底面不一定是平行四边形故直四棱柱不一定是直平行六面体故命题丙不正确，故真命题个数为1，故选B7.如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6 cm ，O′C′＝2 cm ，则原图形是( )A ．正方形B ．矩形C ．菱形D ．一般的平行四边形 【答案】C【解析】本题考查斜二测画法的逆用解：根据斜二测的画法可得,还原出的图如下，其中(平行于轴的长度不变).（平行于轴的长度扩为2倍）.由于,且，所以为平行四边形，又,所以为菱形.故答案为C.8.若正三棱锥的侧面都是直角三角形，则侧面与底面所成二面角的余弦值是( )A. B.C. D.【答案】B【解析】略9.正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，O 是底面A 1B 1C 1D 1的中心，则O 到平面ABC 1D 1的距离为( )A. B.C. D.【答案】D【解析】略10.已知m ，n 为不同的直线，α，β为不同的平面，下列四个命题中，正确的是( )A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥nB ．若m ⊂α，n ⊂α，且m ∥β，n ∥β，则α∥βC ．若α⊥β，m ⊂α，则m ⊥βD ．若α⊥β，m ⊥β，m ⊄α，则m ∥α【答案】D【解析】略11.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 是底面ABCD 的中心，M 、N 分别是棱DD 1、D 1C 1的中点，则直线OM( )A ．和AC 、MN 都垂直B ．垂直于AC ，但不垂直于MNC ．垂直于MN ，但不垂直于ACD ．与AC 、MN 都不垂直【答案】A【解析】此题的条件使得建立空间坐标系方便，且选项中研究的位置关系也适合用空间向量来证明其垂直关系，故应先建立坐标系，设出边长，据几何特征，给出各点的坐标，验证向量内积是否为零．解：以DA 、DC 、DD 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为2a ，则D （0，0，0）、D 1（0，0，2a ）、M （0，0，a ）、A （2a ，0，0）、C （0，2a ，0）、O （a ，a ，0）、N （0，a ，2a ）． ∴=（-a ，-a ，a ），=（0，a ，a ），=（-2a ，2a ，0）．∴?=0，?=0，∴OM ⊥AC ，OM ⊥MN ．故选A ．12.如图，在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，BC 1⊥AC ，则C 1在底面ABC 上的射影H 必在( )A ．直线AB 上B ．直线BC 上C ．直线AC 上D ．△ABC 内部【答案】A【解析】如图，C 1在面ABC 上的射影H 必在两个相互垂直平面的交线上，所以证明面ABC ⊥面ABC 1就可以了．解：?CA ⊥面ABC 1?面ABC ⊥面ABC 1，∴过C 1作垂直于平面ABC 的线在面ABC 1内，也在面ABC 内∴点H 在两面的交线上，即H ∈AB ．故选A二、填空题1.若正三棱锥底面的边长为a ，且每两个侧面所成的角均为90°，则底面中心到侧面的距离为_______【答案】a【解析】略2.如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点E 为AA 1的中点，在对角面BB 1D 1D 上取一点M ，使AM ＋ME 最小，其最小值为_____【答案】 a【解析】略3.a ，b ，c 是空间中互不重合的三条直线，下面给出五个命题：①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ； ②若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ∥c ； ③若a 与b 相交，b 与c 相交，则a 与c 相交； ④若a ⊂平面α，b ⊂平面β，则a ，b 一定是异面直线； ⑤若a ，b 与c 成等角，则a ∥b.上述命题中正确的________(只填序号)．【答案】①【解析】略4.如图，已知六棱锥P －ABCDEF 的底面是正六边形，PA ⊥平面ABC ，PA ＝2AB ，则下列结论中：①PB ⊥AE ；②平面ABC ⊥平面PBC ；③直线BC ∥平面PAE ；④∠PDA ＝45°.其中正确的有________(把所有正确的序号都填上)【答案】①④【解析】略三、解答题1.如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，侧棱PA 垂直于底面，E 、F 分别是AB 、PC 的中点．(1)求证：CD ⊥PD ；(2)求证：EF ∥平面PAD.【答案】 (1)∵PA ⊥平面ABCD ，而CD ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥CD ，又CD ⊥AD ，AD∩PA ＝A ，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD.(2)取CD的中点G，连接EG、FG.∵E、F分别是AB、PC的中点，∴EG∥AD，FG∥PD，∴平面EFG∥平面PAD，又∵EF⊂平面EFG，∴EF∥平面PAD.【解析】略2.在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，现沿AC折成二面角D－AC－B，使BD为异面直线AD、BC的公垂线．(1)求证：平面ABD⊥平面ABC；(2)当a为何值时，二面角D－AC－B为45°【答案】(1)证明：由题知BC⊥BD，又BC⊥AB.∴BC⊥面ABD，∴面ABC⊥面ABD.(2)作DE⊥AB于E，由(1)知DE⊥面ABC，作EF⊥AC于F，连DF，则DF⊥AC，∴∠DFE为二面角D－AC－B的平面角．即∠DFE＝45°.EF＝DE＝DF，∵DF＝，AF＝且＝，解得a2＝，a＝.【解析】略3.如图所示，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB＝BC＝CA＝3，M为AB的中点，四点P、A、M、C都在球O的球面上．(1)证明：平面PAB⊥平面PCM；(2)证明：线段PC的中点为球O的球心【答案】 (1)证明：∵AC＝BC，M为AB的中点，∴CM⊥AM.∵PA⊥平面ABC，CM⊂平面ABC，∴PA⊥CM. ∵AB∩PA＝A，AB⊂平面PAB，PA⊂平面PAB，∴CM⊥平面PAB.∵CM⊂平面PCM，∴平面PAB⊥平面PCM.(2)证明：由(1)知CM⊥平面PAB.∵PM⊂平面PAB，∴CM⊥PM.∵PA⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，∴PA⊥AC.如图，，取PC的中点N，连结MN、AN.在Rt△PAC中，点N 为斜边PC的中点，∴AN＝PN＝NC.在Rt△PCM中，点N为斜边PC的中点，∴MN＝PN＝NC.∴PN＝NC＝AN＝MN.∴点N是球O的球心，即线段PC的中点为球O的球心．【解析】略4.如图所示，四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，PA与平面ABCD所成的角为60°，在四边形ABCD中，∠D＝∠DAB＝90°，AB＝4，CD＝1，AD＝2.(1)建立适当的坐标系，并写出点B，P的坐标；(2)求异面直线PA与BC所成角的余弦值；(3)若PB的中点为M，求证：平面AMC⊥平面PBC.【答案】(1)如图所示，以D为原点，射线DA，DC，DP分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系D－xyz. ∵∠D ＝∠DAB ＝90°，AB ＝4，CD ＝1，AD ＝2， ∴A(2,0,0)，C(0,1,0)，B(2,4,0)，由PD ⊥平面ABCD ，得∠PAD 为PA 与平面ABCD 所成的角，∴∠PAD ＝60°.在Rt △PAD 中，由AD ＝2，得PD ＝2，∴P(0,0,2)．(2)∵＝(2,0，－2)，＝(－2，－3,0)，∴cos<，>＝＝－，所以PA 与BC 所成角的余弦值为(3)证明：∵M 为PB 的中点，∴点M 的坐标为(1,2，)， ∴＝(－1,2，)，＝(1,1，)，＝(2,4，－2)，∵·＝(－1)×2＋2×4＋×(－2)＝0，·＝1×2＋1×4＋×(－2)＝0，∴⊥，⊥，∴PB ⊥平面AMC ∵PB ⊂平面PBC ∴平面AMC ⊥平面PBC .【解析】略5.已知四棱锥S －ABCD 的底面ABCD 是正方形，SA ⊥底面ABCD ，E 是SC 上的任意一点．(1)求证：平面EBD ⊥平面SAC ；(2)设SA ＝4，AB ＝2，求点A 到平面SBD 的距离；【答案】(1)∵SA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴SA ⊥BD. ∵ABCD 是正方形， ∴AC ⊥BD ，∴BD ⊥平面SAC. ∵BD ⊂平面EBD ， ∴平面EBD ⊥平面SAC.(2)设AC∩BD ＝F ，连SF ，则SF ⊥BD.∵AB ＝2.∴BD ＝2. ∵SF ＝＝＝3∴S △SBD ＝BD·SF＝·2·3＝6.设点A 到平面SBD 的距离为h ，∵SA ⊥平面ABCD ， ∴·S △SBD ·h＝·S △ABD ·SA ，∴6·h ＝·2·2·4， ∴h ＝， ∴点A 到平面SBD 的距离为.【解析】略6.如图，M 、N 、P 分别是正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱AB 、BC 、DD 1上的点．(1)若＝，求证：无论点P 在D 1D 上如何移动，总有BP ⊥MN ；(2)若D 1P ：PD ＝1∶2，且PB ⊥平面B 1MN ，求二面角M －B 1N －B 的余弦值；(3)棱DD 1上是否总存在这样的点P ，使得平面APC 1⊥平面ACC 1？证明你的结论．【答案】 (1)证明：连结AC 、BD ，则BD ⊥AC ，∵＝， ∴MN ∥AC ，∴BD ⊥MN.又∵DD 1⊥平面ABCD ，∴DD 1⊥MN ， ∵BD∩DD 1＝D ，∴MN ⊥平面BDD 1. 又P 无论在DD 1上如何移动，总有BP ⊂平面BDD 1， ∴无论点P 在D 1D 上如何移动，总有BP ⊥MN.(2)以D 为坐标原点，DA 、DC 、DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的坐标系．设正方体的棱长为1，AM ＝NC ＝t ，则M(1，t,0)，N(t,1,0)，B 1(1,1,1)， P(0,0，)，B(1,1,0)，A(1,0,0)， ∵＝(0,1－t,1)，B ＝又∵BP ⊥平面MNB 1，∴·B ＝0，即t －1＋＝0，∴t ＝，∴＝(0，，1)，M ＝(－，，0)．设平面MNB 1的法向量n ＝(x ，y ，z)， 由，得x ＝y ，z ＝－y.令y ＝3，则n ＝(3,3，－2)． ∵AB ⊥平面BB 1N ，∴A 是平面BB 1N 的一个法向量，A ＝(0,1,0)． 设二面角M －B 1N －B 的大小为θ， ∴cos 〈n ，A 〉＝＝.则二面角M －B 1N －B 的余弦值为.(3)存在点P ，且P 为DD 1的中点， 使得平面APC 1⊥平面ACC 1. 证明：∵BD ⊥AC ，BD ⊥CC 1， ∴BD ⊥平面ACC 1.取BD 1的中点E ，连PE ， 则PE ∥BD ，∴PE ⊥平面ACC 1.∵PE ⊂平面APC 1，∴平面APC 1⊥平面ACC 1.【解析】略。
河北省石家庄市2024高三冲刺(高考数学)人教版考试(备考卷)完整试卷
河北省石家庄市2024高三冲刺（高考数学）人教版考试(备考卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知函数的图象关于点对称，且在上没有最小值，则的值为（）A．B．C．D．第(2)题在高一入学时，统计高一（1）班所有同学中考数学成绩的方差为，后来又转学来一位同学，若该同学中考数学成绩恰好等于这个班级原来的平均分，且现在这个班级数学成绩的方差为，则这个班级现在的学生人数为（）A．51B．52C．53D．54第(3)题若复数，则复数z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限第(4)题设数列满足，则数列的前5项和为（）A．B．C．D．第(5)题2022年，中央网信办举报中心受理网民举报违法和不良信息1.72亿件．下面是2021年、2022年连续两年逐月全国网络违法和不良信息举报受理情况数据及统计图，下面说法中错误的是（）A．2022年比2021年平均每月举报信息数量多B．举报信息数量按月份比较，8月平均最多C．两年从2月到4月举报信息数量都依次增多D．2022年比2021年举报信息数据的标准差大第(6)题已知椭圆C：的下顶点为A，斜率不为0的直线与C交于B，D两点，记线段的中点为E，若，则（）A ．点E在定直线上B．点E在定直线上C ．点E在定直线上D．点E在定直线上第(7)题已知集合，则（）A．B．C．D．第(8)题在中，是的中点，直线分别与交于点，且，，则（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题椭圆的一个焦点和一个顶点在圆上，则该椭圆的离心率的可能取值有（）A．B．C．D．第对于无穷数列，给出如下三个性质：①；②，；③，，，定义：同时满足性质①和②的数列为“s数列”，同时满足性质①和③的数列为“t数列”，则下列说法正确的是（）A．若，则为“s数列”B ．若，则为“t数列”C．若为“s数列”，则为“t数列”D．若等比数列为“t数列”，则为“s数列”第(3)题点是抛物线上第一象限内的点，过点A作圆C：的两条切线，切点为、，分别交轴于P，Q两点，则下列选项正确的是（）A．B．若，则直线MN的方程为C．若，则的面积为92D．的面积最小值为72三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知抛物线的焦点为，圆与交于两点，其中点在第一象限，点在直线上运动，记.①当时，有；②当时，有；③可能是等腰直角三角形；其中命题中正确的有__________.第(2)题已知函数过点作曲线的切线，则切线的条数为 ______．第(3)题设，，A、D为曲线上两点，B，C为曲线上两点，且四边形ABCD为矩形，则实数b的取值范围为________．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题如图，四棱锥，平面，底面为梯形，，，，，为中点.（1）证明：直线；（2）若平面与棱交于，求四棱锥的体积.第(2)题已知函数.(1)讨论的单调性；(2)若恒成立，求的取值范围.第(3)题设函数.（1）若函数在是单调递减的函数，求实数的取值范围；（2）若，证明：.第已知，，动点满足直线与直线的斜率之积为，设点的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）若过点的直线与曲线交于，两点，过点且与直线垂直的直线与相交于点，求的最小值及此时直线的方程.第(5)题已知函数(1)讨论函数的单调性；(2)若，求证恒成立.。
2024年河北高考数学模拟试卷及答案
2024年河北高考数学模拟试卷及答案（一）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知抛物线C ：212y x = ，则C 的准线方程为 A ． 18x =B ．1-8x =C ．18y =D ．1-8y = 2．已知复数121z i=+ ，复数22z i =，则21z z -=A ．1BC ．．10 3．已知命题:(0,)ln xp x e x ∀∈+∞>，，则 A ．p 是假命题，:(-)ln xp x e x ⌝∃∈∞≤，0，B ．p 是假命题， :(0+)ln xp x e x ⌝∃∈∞≤，，C ．p 是真命题，:(-)ln xp x e x ⌝∃∈∞≤，0，D ．p 是真命题，:(0+)ln xp x e x ⌝∃∈∞≤，，4．已知圆台1O O 上下底面圆的半径分别为1，3，母线长为4，则该圆台的侧面积为 A ．8πB ．16πC ．26πD ．32π5．下列不等式成立的是A.66log 0.5log 0.7>B. 0.50.60.6log 0.5>C.65log 0.6log 0.5>D. 0.60.50.60.6>6.某校为了解本校高一男生身高和体重的相关关系，在该校高一年级随机抽取了7名男生，测量了他们的身高和体重得下表：由上表制作成如图所示的散点图：由最小二乘法计算得到经验回归直线1l 的方程为11ˆˆˆy b x a =+，其相关系数为1r ；经过残差分析，点（167，90）对应残差过大，把它去掉后，再用剩下的6组数据计算得到经验回归直线2l 的方程为22ˆˆˆy b x a =+，相关系数为2r .则下列选项正确的是 A ．121212ˆˆˆˆ,,b b a a r r <>< B ．121212ˆˆˆˆ,,b b a a r r <<> C ．121212ˆˆˆˆ,,b b a a r r ><> D ．121212ˆˆˆˆ,,b b a a r r >>< 7．函数()y f x =的导数()y f x '=仍是x 的函数，通常把导函数()y f x '=的导数叫做函数的二阶导数，记作()y f x ''=，类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，三阶导数的导数叫做四阶导数一般地，n-1阶导数的导数叫做 n 阶导数，函数()y f x =的n 阶导数记为()n y fx =（），例如xy e =的n 阶导数()()n xx ee =．若()cos 2xf x xe x =+，则()500f =（）A ．49492+B ．49C ．50D ．50502-8．已知函数()cos()f x x ωϕ=+的部分图象如下，12y =与其交于A ，B 两点. 若3AB π=，则ω=A ．1B ．2C ．3D ．4二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
2023-2024学年河北高考考前冲刺数学模拟试题(一模)含解析
2023-2024学年河北高考考前冲刺数学模拟试题（一模）一、单选题1．设集合U =R ，集合{|24}A x x =-<<，集合{}2|7100B x x x =-+<，则U A B =I ð（）A ．{|22}x x -<<B ．{|22}x x -<≤C ．{|25}x x <<D ．{|25}x x <≤【正确答案】B【分析】化简集合B ，根据集合的补集和交集的运算性质求U A B ð即可.【详解】不等式27100x x -+<的解集为{|25}x x <<，所以{|25}B x x =<<，故{|2U B x x =≤ð或5}x ³，又{|24}A x x =-<<，所以{|22}U A B x x =-<≤ ð，故选：B ．2．已知复数z 满足12i 1z=-，则z 的共轭复数z 对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【正确答案】D【分析】根据复数运算即可求得复数z ，再得共轭复数z ，根据复数的几何意义即可得答案.【详解】111i 2i 2z -==- ，11i 2z ∴=+，11i 2z ∴=-，故z 在复平面内对应的点11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭位于第四象限.故选：D ．3．若函数()af x x x=+()R a ∈在点(2,(2))f 处的切线为直线1:2l y x b =+，若直线l 与圆222:(0)C x y r r +=>相切，则r 的值为（）A B C D ．3【正确答案】A【分析】结合导数的几何意义列方程求a ，由切点坐标与切线的关系求b ，根据直线与圆的位置关系列方程求r .【详解】函数()af x x x =+的导函数2()1a f x x'=-，因为函数()f x 在点(2,(2))f 处的切线为直线1:2l y x b =+，所以1(2)142a f '=-=，解得2a =，2()f x x x∴=+，故(2)3f =，切点(2,3)在直线l 上，1322b ∴=⨯+，解得2b =，直线1:22l y x =+与圆222:(0)C x y r r +=>相切，∴圆心(0,0)到直线lr =，故选：A ．4．已知向量(2,6)a = ，(1,)b λ=- ．若//a b r r，则λ=（）A ．3B ．3-C ．13D ．13-【正确答案】B【分析】根据向量平行的坐标表示，列式即可求得答案.【详解】因为向量(2,6)a = ，(1,)b λ=- ，//a b r r，所以26λ=-，解得3λ=-，故选：B ．5．已知数列{}n a 的首项11a =，0n a >，前n 项和n S 满足2211120n n n n n n S S S S S S ----+--=，则数列{}n a 的前n 项和n S 为（）A ．(1)2n n +B ．12n -C ．221n -D ．21n -【正确答案】A【分析】由题可得22n n n S a a =+，进而可得2211n n n n a a a a ++-=+，然后可得11n n a a +-=，利用等差数列的定义及求和公式即得.【详解】由2211120n n n n n n S S S S S S ----+--=得2211122n n n n n n n S S S S S S S ---=-++-，即()()2112n n n n n S S S S S --=-+-，所以22n n n S a a =+，所以21112n n n S a a +++=+，两式作差，得()221112n n n n n a a a a a +++=+-+，即2211n n n n a a a a ++-=+，所以()()1110n n n n a a a a ++--+=，所以11n n a a +-=或10n n a a ++=，又0n a >，故11n n a a +-=，所以数列{}n a 是以1为首项，1为公差的等差数列，所以数列{}n a 的前n 项和(1)(1)22n n n n n S n -+=+=.故选：A.6．如图，在正四棱台1111ABCD A B C D -中，棱1AA ，1BB ，的夹角为3π，2AB =，则棱1AA ，1CC 的夹角为（）A ．3πB ．4πC ．23πD ．2π【正确答案】D【分析】由棱台的定义可知，分别延长1AA ，1BB ，1CC ，1DD 交于点P ，连接AC ，从而可得2PA PC ==，从而可求出答案.【详解】由棱台的定义可知，分别延长1AA ，1BB ，1CC ，1DD 交于点P ，连接AC ，如图，在正四棱台1111ABCD A B C D -中，棱1AA ，1BB 的夹角为3π，2AB =，所以△PAB 是边长为2的等边三角形，所以2PA PC ==.又在正方形ABCD 中，2AB =,则AC =所以222AC PA PC =+，所以PA PC ⊥，所以棱1AA ，1CC 的夹角为2π，7．已知定点(3,0)B ，点A 在圆22(1)4x y ++=上运动，则线段AB 的中点M 的轨迹方程是（）A ．22(1)1x y ++=B ．22(2)4x y -+=C ．22(1)1x y -+=D ．22(2)4x y ++=【正确答案】C【分析】设(,)M x y 再表达出A 的坐标代入圆方程22(1)4x y ++=化简即可.【详解】设(,)M x y ，则(),A A A x y 满足3,(,)22A A x y x y +⎛⎫= ⎪⎝⎭.故232A Ax x y y =-⎧⎨=⎩.故23(2),A x y -.又点A 在圆22(1)4x y ++=上.故2222(231)(2)4(1)1x y x y -++=⇒-+=.故选:C本题主要考查了轨迹方程的求法，属于基础题型.8．设甲乘汽车､动车前往某目的地的概率分别为0.40.6､，汽车和动车正点到达目的地的概率分别为0.70.9､，则甲正点到达目的地的概率为（）A ．0.78B ．0.8C ．0.82D ．0.84【正确答案】C【分析】设事件A 表示甲正点到达目的地，事件B 表示甲乘火车到达目的地，事件C 表示甲乘汽车到达目的地，由全概率公式求解即可.【详解】设事件A 表示甲正点到达目的地，事件B 表示甲乘动车到达目的地，事件C 表示甲乘汽车到达目的地，由题意知()0.6,()0.4,(|)0.9,(|)0.7P B P C P A B P A C ====.由全概率公式得()()(|)()(|)0.60.90.40.7P A P B P A B P C P A C =+=⨯+⨯0.280.540.82=+=。
河北省2022年高考数学专题复习 专题1 集合与简易逻辑 新人教A版
cb ac b a ++≤++111专题1——集合与简易逻辑1．集合概念 元素：互异性、无序性、确定性2．集合运算 全集U ：如U=R 交集：}{B x A x x B A ∈∈=且 并集：}{B x A x x B A ∈∈=⋃或 补集：}{A x U x x A C U ∉∈=且3．集合关系 空集A ⊆φ 子集B A ⊆:任意B x A x ∈⇒∈B A B B A B A A B A ⊆⇔=⊆⇔=注：数形结合---文氏图、数轴；集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1个；非空的真子集有2n–2个4．四种命题 原命题：若p ⌝q ⌝p ⌝q P ⇒q P ⇐q ⌝x , x , )(x p ⌝ ∃x ∈M, x , )(x p ⌝附：2022高考真题1【安徽文2】设集合A={3123|≤-≤-x x }，集合B 为函数)1lg(-=x y 的定义域，则A ⋂B=（ ）（A ）（1，2） （B ）[1，2] （C ）[ 1，2） （D ）（1，2 ]2【安徽文4】命题“存在实数x ，使x > 1”的否定是（ ）（A ）对任意实数x , 都有x >1 （B ）不存在实数x ，使x ≤1（C ）对任意实数x , 都有x ≤1 （D ）存在实数x ，使x ≤13【2022新课标文1】已知集合A={|2－－2{0,1,2,3,4}U ={1,2,3}A ={2,4}B =B A C U ）（sin 2y x =2πcos y x =2x π=q ⌝p q ∧p q ∨{|A x x =}{|B x x =}{|C x x =}{|D x x =}A B ⊆C B ⊆D C ⊆A D ⊆⌝⌝q ⌝p ⌝q ⌝2()43,()32,x f x x x g x =-+=-{|(())0},M x R f g x =∈>{|()2},N x R g x =∈<M N (1,)+∞(,1)-∞{,}A a b ={,,}B b c d =A B ={}b {,,}b c d {,,}a c d {,,,}a b c d {|lg 0}M x x =>2{|4}N x x =≤MN =(1,2)[1,2)(1,2][1,2]=)()(B C A C U U ∀∈--⌝∃∈--∀∈--∃∈--∀∈--4π1”4π4π4π4π2x ⊆ 2C {1,2,3,4,5,6}U ={1,3,5}M =U M ={2,4,6}{1,3,5}{1,2,4}U 2323∈12”是“22-1>0”的（ ） A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件24【上海文2】若集合{}210A x x =->，{}1B x x =<，则A B ⋂＝ 25【天津文科9】集合{}|25A x R x =∈-≤中最小整数为 26【江苏1】已知集合{124}A =，，，{246}B =，，，则A B = ．。
河北省2022年高考数学专题复习专题1集合与简易逻辑新人教A版
河北省2022年高考数学专题复习专题1集合与简易逻辑新人教A版专题1——集合与简易逻辑1．集合概念元素：互异性、无序性、确定性2．集合运算全集U：如U=R交集：AB{某某A且某B}并集：AB{某某A或某B}补集：CUA{某某U 且某A}3．集合关系空集A子集AB:任意某A某BABBABABAAB注：数形结合---文氏图、数轴；集合{a1,a2,,an}的子集个数共有2n个；真子集有2n–1个；非空子集有2n–1个；非空的真子集有2n–2个.4．四种命题原命题：若p则q逆命题：若q则p原命题逆否命题否命题：若p则q逆否命题：若q则p否命题逆命题5．充分必要条件（原充逆比）p是q的充分条件：Pqp是q的必要条件：Pqp是q的充要条件：pq6．复合命题的真值①q真（假）“q”假（真）②p、q同真“p∧q”真③p、q都假“p∨q”假7.全称命题、存在性命题的否定某M,p(某）否定为:某M,p(某)某M,p(某）否定为:某M,p(某)附：2022高考真题1.【安徽文2】设集合A={某|32某13}，集合B为函数ylg(某1)的定义域，则AB=（）（A）（1，2）（B）[1，2]（C）[1，2）（D）（1，2]2.【安徽文4】命题“存在实数某，使某>1”的否定是（）（A）对任意实数某,都有某>1（B）不存在实数某，使某1（C）对任意实数某,都有某1（D）存在实数某，使某13.【2022新课标文1】已知集合A={某|某－某－2<0}，B={某|－1（A）AB（B）BA（C）A=B（D）A∩B=2（CUA）B为（）4.【高考山东文2】已知全集U{0,1,2,3,4}，集合A{1,2,3}，B{2,4}，则(A){1,2,4}(B){2,3,4}(C){0,2,4}(D){0,2,3,4}用心爱心专心5.【山东文5】设命题p：函数yin2某的最小正周期为对称.则下列判断正确的是（）；命题q：函数yco某的图象关于直线某22(A)p为真(B)q为假(C)pq 为假(D)pq为真6.【全国文1】已知集合A{某|某是平行四边形}，B{某|某是矩形}，C{某|某是正方形}，D{某|某是菱形}，则（）（A）AB（B）CB（C）DC（D）AD7.【重庆文1】命题“若p则q”的逆命题是（）（A）若q则p（B）若p则q（C）若q则p（D）若p则q8.【重庆文10】设函数f(某)2某某4某3,g(某)32M,{某R集合|f(g(某))N{某R|g(某)2},则MN为（）（A）(1,)（B）（0，1）（C）（-1，1）（D）(,1)9【浙江文1】设全集U={1，2，3，4，5，6}，设集合P={1，2，3，4}，Q{3，4，5}，则P∩（CUQ）=（）A.{1，2，3，4，6}B.{1，2，3，4，5}C.{1，2，5}D.{1,2}10.【四川文1】设集合A{a,b}，B{b,c,d}，则AB（）A、{b}B、{b,c,d}C、{a,c,d}D、{a,b,c,d}11.【陕西文1】集合M{某|lg某0}，N{某|某4}，则MN（）A.(1,2)B.[1,2)C.(1,2]D.[1,2]12.【辽宁文2】已知全集U=｛0,1,2,3,4,5,6,7,8,9｝，集合A=｛0,1,3,5,8｝，集合B=｛2,4,5,6,8｝，则2(CUA)(CUB)（）(A){5,8}(B){7,9}(C){0,1,3}(D){2,4,6}13.【辽宁文5】已知命题p：某1，某2R，(f(某2)f(某1)(某2某1)≥0，则p是（）(A)某1，某2R，(f(某2)f(某1)(某2某1)≤0(B)某1，某2R，(f(某2)f(某1)(某2某1)≤0(C)某1，某2R，(f(某2)f(某1)(某2某1)<0(D)某1，某2R，(f(某2)f(某1)(某2某1)<014.【江西文2】若全集U=｛某∈R|某≤4}A=｛某∈R||某+1|≤1}的补集CuA为（）A|某∈R|0＜某＜2|B|某∈R|0≤某＜2|C|某∈R|0＜某≤2|D|某∈R|0≤某≤2|2用心爱心专心215.【湖南文1】.设集合M={-1,0,1}，N={某|某=某}，则M∩N=（）A.{-1，0，1}B.{0,1}C.{1}D.{0}16.【湖南文3】命题“若α=A.若α≠2，则tanα≠1B.若α=，则tanα≠144C.若tanα≠1，则α≠D.若tanα≠1，则α=18.【湖北文4】命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是（）A.任意一个有理数，它的平方是有理数B.任意一个无理数，它的平方不是有理数 C.存在一个有理数，它的平方是有理数 D.存在一个无理数，它的平方不是有理数19.【湖北文9】设a,b,c,∈R,则“abc=1A.充分条件但不是必要条件B。
河北省唐山一中新高考数学数列多选题之知识梳理与训练附答案
河北省唐山一中新高考数学数列多选题之知识梳理与训练附答案一、数列多选题1．各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项积为n T ，若11a >，公比1q ≠，则下列命题正确的是（ ）A ．若59T T =，则必有141T =B ．若59T T =，则必有7T 是n T 中最大的项C ．若67T T >，则必有78T T >D ．若67T T >，则必有56T T >【答案】ABC 【分析】根据题意，结合等比数列的通项公式、等差数列的前n 项和公式，以及等比数列的性质，逐项分析，即可求解. 【详解】由等比数列{}n a 可知11n n a a q -=⋅，由等比数列{}n a 的前n 项积结合等差数列性质可知：()1211212111111123n n n n n n n n a a q a q a qa a T a a a q a q--+++-=⋅⋅⋅==⋅=对于A ，若59T T =，可得51093611a q a q =，即42611a q =，()71491426211141a q q T a ∴===，故A 正确；对于B ，若59T T =，可得42611a q =，即13211a q=，又11a >，故1q <，又59T T =，可知67891a a a a =，利用等比数列性质知78691a a a a ==，可知67891,1,1,1a a a a >><<，故7T 是n T 中最大的项，故B 正确；对于C ，若67T T >，则61572111a q a q >，即611a q <，又10a >，则1q <，可得76811871T T a a q a q <=<=，故78T T >，故C 正确； 对于D ，若67T T >，则611a q <，56651T a T a q ==，无法判断其与“1”的大小关系，故D 错误. 故选：ABC 【点睛】关键点点睛：本题主要考查了等比数列的通项公式及等差数列前n 项和公式，以及等比数列的性质的应用，其中解答中熟记等比数列的通项公式和性质及等差数列的求和公式，准确运算是解答的关键，着重考查了学生的推理与运算能力，属于较难题.2．已知数列{}n a 的首项1a m =且满足()()14751221nn a a n n a a +⎡⎤=-⋅-⋅+-⋅-⎣⎦，其中n *∈N ，则下列说法中正确的是（ ）A ．当1m =时，有3n n a a +=恒成立B ．当21m =时，有47n n a a ++=恒成立C ．当27m =时，有108111n n a a ++=恒成立D ．当()2km k N *=∈时，有2n kn k aa +++=恒成立【答案】AC 【分析】题设中的递推关系等价为1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩为偶数为奇数，根据首项可找到{}n a 的局部周期性，从而可得正确的选项. 【详解】因为()()14751221n n a a n n a a +⎡⎤=-⋅-⋅+-⋅-⎣⎦，故1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩为偶数为奇数， 当1m =即11a =时，24a =，32a =，41a =，故{}n a 为周期数列且3n n a a +=，故A 正确.当21m =即121a =时，264a =，同理416a =，58a =，64a =，72a =，81a =，故58a a ≠，故B 错误.当2km =即12ka =时，根据等比数列的通项公式可有11222k kk a -⎛⎫= ⎪⎝⎭=，+1+21,4k k a a ==，+32k a =， +1+3k k a a ≠，故D 错误.对于C ，当27m =时，数列{}n a 的前108项依次为：27,82,42,124,62,31,94,47,142,71,214,107,322,161,484242,121,364,182,91,274，， 137,412,206,103,310,155,466,233,700,350,175,526,263,790,395,1186,593,1780， 890,445,1336,668,334,167,502,251,754,377,1132,566,283,850,425,1276,638,319，958,479,1438,719,2158,1079,3238,1619,4858,2429,7288,3644,1822,911,2734， 1367,4102,2051,6154,3077,9232,4616,2308,1154,577,1732,866,433,1300,650， 325,976,488,244,122,61,184,92,46,23,70,35,106,53,160,80,40,20,10,5,16，故1098a =，1104a =，1112a =，1121a =，1134a =， 所以109112n n a a ++=对任意1n ≥总成立.（备注：因为本题为多选题，因此根据A 正确，BD 错误可判断出C 必定正确，可无需罗列出前108项） 故选：AC. 【点睛】方法点睛：对于复杂的递推关系，我们应该将其化简为相对简单的递推关系，对于数列局部周期性的研究，应该从特殊情况中总结出一般规律，另外，对于多选题，可以用排除法来确定可选项.3．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．68a = B ．954S =C ．135********a a a a a ++++=D ．22212201920202019a a a a a +++= 【答案】ACD 【分析】由题意可得数列{}n a 满足递推关系12211,1,(3)n n n a a a a a n --===+≥，依次判断四个选项，即可得正确答案. 【详解】对于A ，写出数列的前6项为1,1,2,3,5,8，故A 正确； 对于B ，911235813+21+3488S =++++++=，故B 错误；对于C ，由12a a =，342a a a =-，564a a a =-，……，201920202018a a a =-，可得：13520192426486202020182020a a a a a a a a a a a a a a +++⋅⋅⋅+=+-+-+-++-=，故C正确.对于D ，斐波那契数列总有21n n n a a a ++=+，则2121a a a =，()222312321a a a a a a a a =-=-，()233423423a a a a a a a a =-=-，……，()220182018201920172018201920172018a a a a a a a a =-=-，220192019202020192018a a a a a =-，可得22212201920202019201920202019a a a a a a a a+++==，故D 正确；故选：ACD. 【点睛】本题以“斐波那契数列”为背景，考查数列的递推关系及性质，考查方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意递推关系的灵活转换，属于中档题.4．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差为d ．已知a 3＝12，S 12＞0，a 7＜0，则（ ） A ．a 6＞0 B ．2437d -<<- C ．S n ＜0时，n 的最小值为13D ．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为第7项 【答案】ABCD 【分析】S 12＞0，a 7＜0，利用等差数列的求和公式及其性质可得：a 6+a 7＞0，a 6＞0．再利用a 3＝a 1+2d ＝12，可得247-＜d ＜﹣3．a 1＞0．利用S 13＝13a 7＜0．可得S n ＜0时，n 的最小值为13．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中，n ≤6时，n n S a ＞0.7≤n ≤12时，n n S a ＜0．n ≥13时，n n S a ＞0．进而判断出D 是否正确． 【详解】 ∵S 12＞0，a 7＜0，∴()67122a a +＞0，a 1+6d ＜0．∴a 6+a 7＞0，a 6＞0．∴2a 1+11d ＞0，a 1+5d ＞0， 又∵a 3＝a 1+2d ＝12，∴247-＜d ＜﹣3．a 1＞0． S 13＝()113132a a +＝13a 7＜0．∴S n ＜0时，n 的最小值为13．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中，n ≤6时，n n S a ＞0，7≤n ≤12时，n n S a ＜0，n ≥13时，n n S a ＞0．对于：7≤n ≤12时，nn S a ＜0．S n ＞0，但是随着n 的增大而减小；a n ＜0，但是随着n 的增大而减小，可得：nnS a ＜0，但是随着n 的增大而增大．∴n ＝7时，nnS a 取得最小值． 综上可得：ABCD 都正确． 故选：ABCD ． 【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．5．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,则下列说法正确的是（ ） A ．若21,n S n =-则{}n a 是等差数列B ．若21,nn S =-则{}n a 是等比数列C ．若{}n a 是等差数列，则995099S a =D ．若{}n a 是等比数列，且10,0,a q >>则221212n n n S S S -+⋅>【答案】BC 【分析】由n S 求n a ，根据通项公式可判断AB 是否正确，由等差数列的性质可判断C ，取1n =时，结合等比数列求和公式作差比较13S S ⋅与22S 大小即可判断D. 【详解】对于A 选项，若21n S n =-，当2n ≥时，21n a n =-，10a =不满足21n a n =-，故A错误；对于B 选项，若21nn S =-，则1112,21,1n n n n S S n a S n --⎧-=≥=⎨==⎩，由于11a =满足12n n a -=，所以{}n a 是等比数列，故B 正确；对于C 选项，若{}n a 是等差数列，则()199995099992a a S a +==，故C 正确. 对于D 选项，当1n =时，()()222222132111110S S S a q qa q a q ⋅-=++-+=-<，故当1n =时不等式不等式，故221212n n n S S S -+⋅>不成立，所以D 错误.故选：BC 【点睛】本题考查数列的前n 项和为n S 与n a 之间的关系，等差数列的性质，等比数列的前n 项和为n S 的公式等，考查运算求解能力.本题D 选项解题的关键将问题特殊化，讨论1n =时，13S S ⋅与22S 大小情况.此外还需注意一下公式：11,2,1n n n S S n a S n --≥⎧=⎨=⎩；若{}n a 是等差数列，则()2121n n S n a -=-.6．已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,……，其中第一项是02，接下来的两项是012,2,再接下来的三项是0122,2,2,依次类推…，第n 项记为n a ，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（ ）A ．6016a =B ．18128S =C ．2122k k k a -+=D ．2221kk k S k +=--【答案】AC 【分析】对于AC 两项，可将数列进行分组，计算出前k 组一共有()12k k +个数，第k 组第k 个数即12k -，可得到选项C由C 得到9552a =，60a 则为第11组第5个数，可得60a 对于BD 项，可先算得22k kS +，即前k 组数之和18S 即为前5组数之和加上第6组前3个数，由21222k k kS k ++=--结论计算即可. 【详解】A.由题可将数列分组第一组：02 第二组：012,2, 第三组：0122,2,2,则前k 组一共有12++…()12k k k ++=个数 第k 组第k 个数即12k -，故2122k k k a -+=，C 对又()10101552+=，故9552a = 又()11111662+=， 60a 则为第11组第5个数第11组有数：0123456789102,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2 故460216a ==，A 对对于D. 每一组的和为0122++ (1)2122121k k k --+==-- 故前k 组之和为1222++…()122122221k k k k k k +-+-=-=---21222k k k S k ++=--故D 错. 对于B.由D 可知，615252S =--()551152+=，()661212+=01261815222252764S S =+++=--+=故B 错 故选：AC 【点睛】数列求和的方法技巧(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和． (2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和．(3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．7．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且12a =，38a =则（ ） A ．512a = B ．公差3d = C ．()261n S n n =+ D ．数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为64nn + 【答案】BCD 【分析】根据已知条件求出等差数列{}n a 的通项公式和前n 项和公式，即可判断选项A 、B 、C ，再利用裂项求和即可判断选项D. 【详解】因为数列{}n a 是等差数列，则312228a a d d =+=+=，解得：3d =，故选项B 正确； 所以()21331n a n n =+-⨯=-，对于选项A ：535114a =⨯-=，故选项A 不正确；对于选项C ：()()2222132612n n S n n n ++-⨯⎡⎤⎣⎦=⨯=+，所以故选项C 正确； 对于选项D ：()()111111313233132n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭， 所以前n 项和为111111111325588113132n n ⎛⎫-+-+-++-⎪-+⎝⎭()611132322324n n n n n ⎛⎫=-== ⎪++⎝⎭+，故选项D 正确， 故选：BCD. 【点睛】方法点睛：数列求和的方法（1）倒序相加法：如果一个数列{}n a 的前n 项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可以用倒序相加法（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可以用错位相减法来求；（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从而求得其和；（4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；（5）并项求和法：一个数列的前n 项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如()()1nn a f n =-类型，可采用两项合并求解.8．关于等差数列和等比数列，下列四个选项中正确的有（ ） A ．若数列{}n a 的前n 项和22n S n =，则数列{}n a 为等差数列B ．若数列{}n a 的前n 项和122n n S +=-，则数列{}n a 为等比数列C ．若等比数列{}n a 是递增数列，则{}n a 的公比1q >D ．数列{}n a 是等比数列，n S 为前n 项和，则n S ，2n n S S -，32n n S S -，仍为等比数列 【答案】AB 【分析】对于A ，求出 42n a n =-，所以数列{}n a 为等差数列，故选项A 正确；对于B ， 求出2n n a =，则数列{}n a 为等比数列，故选项B 正确；对于选项C ，有可能10,01a q <<<，不一定 1q >，所以选项C 错误；对于D ，比如公比1q =-，n 为偶数，n S ，2n n S S -，32n n S S -，⋯，均为0，不为等比数列．故选项D 不正确． 【详解】对于A ，若数列{}n a 的前n 项和22n S n =，所以212(1)(2)n S n n -=-≥，所以142(2)n n n a S S n n -=-=-≥，适合12a =，所以数列{}n a 为等差数列，故选项A 正确；对于B ，若数列{}n a 的前n 项和122n n S +=-，所以122(2)nn S n -=-≥，所以12(2)n n n n a S S n -=-=≥，又1422a =-=，2218224a S S =-=--=， 212a a =则数列{}n a 为等比数列，故选项B 正确；对于选项C ，若等比数列{}n a 是递增数列，则有可能10,01a q <<<，不一定 1q >，所以选项C 错误；对于D ，数列{}n a 是等比数列，n S 为前n 项和，则n S ，2n n S S -，32n n S S -，⋯不一定为等比数列，比如公比1q =-，n 为偶数，n S ，2n n S S -，32n n S S -，⋯，均为0，不为等比数列．故选项D 不正确． 故选：AB 【点睛】方法点睛：求数列的通项常用的方法有：（1）公式法；（2）归纳法；（3）累加法；（4）累乘法；（5）构造法. 要根据已知条件灵活选择方法求解.9．已知数列{}n a 的前n 项和为2n 33S n n =-，则下列说法正确的是（ ）A ．342n a n =-B ．16S 为n S 的最小值C ．1216272a a a +++=D ．1230450a a a +++=【答案】AC 【分析】利用和与项的关系，分1n =和2n ≥分别求得数列的通项公式，检验合并即可判定A; 根据数列的项的正负情况可以否定B;根据前16项都是正值可计算判定C;注意到121617193300()a a a S a a a +++=+----16302S S =-可计算后否定D.【详解】1133132a S ==-=,()()()2213333113422n n n a S S n n n n n n -=-=---+-=-≥,对于1n =也成立，所以342n a n =-，故A 正确；当17n <时，0n a >,当n=17时n a 0=,当17n >时，n a 0<,n S ∴只有最大值，没有最小值，故B 错误；因为当17n <时，0n a >,∴21216163316161716272a a a S +++==⨯-=⨯=，故C 正确；121617193300()a a a S a a a +++=+----2163022272(333030S S =-=⨯-⨯-）54490454=-=， 故D 错误. 故选：AC. 【点睛】本题考查数列的和与项的关系，数列的和的最值性质，绝对值数列的求和问题，属小综合题.和与项的关系()()1112n n n S n a S S n -⎧=⎪=⎨-≥⎪⎩,若数列{}n a 的前 k 项为正值，往后都是小于等于零，则当n k ≥时有122n k n a a a S S ++⋯+=-，若数列{}n a 的前 k 项为负值，往后都是大于或等于零，则当n k ≥时有122n k n a a a S S ++⋯+=-+.若数列的前面一些项是非负，后面的项为负值，则前n 项和只有最大值，没有最小值，若数列的前面一些项是非正，后面的项为正值，则前n 项和只有最小值，没有最大值.10．（多选题）已知函数()22()()n n f n n n ⎧=⎨-⎩当为奇数时当为偶数时，且()()1n a f n f n =++，则na 等于（ ）A ．()21n -+B ．21n -C ．21nD ．12n -【答案】AC 【分析】对n 进行分类讨论，按照()()1n a f n f n =++写出通项即可. 【详解】当n 为奇数时，()()()()22112121n a f n f n n n n n =++=-+=--=-+； 当n 为偶数时，()()()221121n a f n f n n n n =++=-++=+，所以()()()2121n n n a n n ⎧-+⎪=⎨+⎪⎩当为奇数时当为偶数时. 故选：AC . 【点睛】易错点睛：对n 进行分类讨论时，应注意当n 为奇数时，1n +为偶数；当n 为偶数时，1n +为奇数.。
河北省2022届高考数学一轮复习知识点攻破习题：数列的概念
数列 数列的概念时间：45分钟 分值：100分一、选择题(每小题5分，共30分)1．若数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－1，则a 4等于 ( )A ．7B ．8C ．9D ．17解析：∵S n ＝n 2－1，∴a 4＝S 4－S 3＝16－1－(9－1)＝7. 答案：A2．数列{a n }中，a n ＝－2n 2＋29n ＋3，则此数列最大项的值是 ( )A ．107B ．108C ．10818D ．109解析：a n ＝－2n 2＋29n ＋3＝－2(n 2－292n )＋3＝－2(n －294)2＋3＋2928.当n ＝7时，a n 最大且等于108. 答案：B3．在数列{a n }中，a 1＝12，对所有n ∈N *都有a 1a 2…a n ＝n 2，则a 3＋a 5等于 ( )解析：{ a 1a 2…a n ＝n 2a 1a 2…a n ＋1＝(n ＋1)2⇒a n ＋1＝(n ＋1n )2⇒a 3＝94，a 5＝2516，∴a 3＋a 5＝6116. 答案：D 4．(2022·湖北黄冈质检)已知数列{a n }的通项公式a n ＝n 2＋kn ＋2，若对于n ∈N *，都有a n ＋1>a n 成立，则实数k 的取值范围是 ( )A ．k >0B ．k >－1C ．k >－2D ．k >－3 解析：∵a n ＋1>a n ，∴a n ＋1－a n >0. 又a n ＝n 2＋kn ＋2，∴(n ＋1)2＋k (n ＋1)＋2－(n 2＋kn ＋2)>0.∴k >－2n －1.又－2n －1(n ∈N *)的最大值为－3， ∴k >－3. 答案：D 5．(2022·江西中学一模)数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，当n ∈N *时，a n ＋2等于a n a n ＋1的个位数，若数列{a n }的前k 项和为243，则k 等于 ( )A ．61B ．62C ．63D ．64解析：∵a 1＝1，a 2＝2，∴a 3＝2，a 4＝4，a 5＝8，a 6＝2，a 7＝6，a 8＝2，a 9＝2，….∴数列{a n }是从第2项起周期为6的数列，并且a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝24. 又S k ＝243，∴k ＝62. 答案：B6．已知数列1，12，21，13，22，31，14，23，32，41，…，则56是此数列中的( )A ．第48项B ．第49项C ．第50项D ．第51项解析：将数列分为第1组1个，第2组2个，…，第n 组n 个，(11)，(12，21)，(13，22，31)，…，(1n ，2n －1，…，n 1)，则第n 组中每个数分子分母的和为n ＋1，则56为第10组中的第5个，其项数为(1＋2＋3＋…＋9)＋5＝50.答案：C二、填空题(每小题5分，共20分)7．已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝n ＋1n ＋2，则a 5＋a 6＝__________.解析：∵S n ＝n ＋1n ＋2，∴a 5＋a 6＝S 6－S 4＝6＋16＋2－4＋14＋2＝124.答案：1248．已知数列{a n }满足a 1＝1，当n ≥2时，a 2n －(n ＋2)a n －1·a n ＋2na 2n －1＝0，则a n ＝__________.(写出你认为正确的一个答案即可)解析：a 2n －(n ＋2)a n －1·a n ＋2na 2n －1＝0， 有(a n －2a n －1)(a n －na n －1)＝0， ∴a n a n －1＝2.由a 1＝1知a n ＝2n －1. 答案：2n －19．(2022·重庆高考)设a 1＝2，a n ＋1＝2a n ＋1，b n ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a n ＋2a n －1，n ∈N *，则数列{b n}的通项公式b n ＝________.解析：∵b n ＋1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a n ＋1＋2a n ＋1－1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2a n ＋1＋22a n ＋1－1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2(a n ＋2)a n ＋1－(a n －1)a n ＋1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2(a n ＋2)a n －1＝2b n ，∴bn ＋1＝2b n ，又b 1＝4，∴b n ＝4·2n －1＝2n ＋1.答案：2n ＋110．(2022·青岛模拟)数列{a n }满足：a 1＝2，a n ＝1－1a n －1(n ＝2,3,4，…)，则a 4＝________；若{a n }有一个形如a n ＝A sin(ωn ＋φ)＋B 的通项公式，其中A ，B ，ω，φ均为实数，且A >0，ω>0，|φ|<π2，则此通项公式可以为a n ＝________(写出一个即可)．解析：∵数列{a n }满足a 1＝2，a n ＝1－1a n －1，∴a 2＝1－12＝12，a 3＝1－2＝－1，a 4＝1＋1＝2；若{a n }有一个形如a n ＝A sin(ωn ＋φ)＋B 的通项公式，因为周期为3，所以3＝2πω，ω＝2π3，所以⎩⎨⎧a 1＝A sin(2π3＋φ)＋B ＝2a 2＝A sin(4π3＋φ)＋B ＝12，a 3＝A sin(6π3＋φ)＋B ＝－1解得A ＝3，B ＝12，φ＝－π3，所以a n ＝3sin(2π3n －π3)＋12.答案：2 3sin(2π3n －π3)＋12三、解答题(共50分)11．(15分)数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－13n －1，求数列 {|a n |}的前20项的和T 20.解：可求a n ＝{ －13 (n ＝1)2n －14 (n ≥2)， 令2n －14≤0，得n ≤7.∴{a n }中，由a 1至a 6是负值，a 7＝0，而a 8及以后各项为正值． S 7＝72－13×7－1＝－43， S 20＝202－13×20－1＝139， ∴数列{|a n |}的前20项的和T 20＝S 20－2S 7＝139－2×(－43)＝225.12．(15分)已知数列{a n }的通项a n ＝(n ＋1)·⎝⎛⎭⎫910n (n ∈N *)，试问该数列{a n }有没有最大项？若有，求最大项的项数；若没有，说明理由．解：易知a 1不是数列{a n }中的最大项，∴a n 若取最大值应满足{ a n －a n ＋1≥0，a n －a n －1≥0(n ≥2)，由已知a n ＝(n ＋1)·⎝⎛⎭⎫910n，则有a n －a n ＋1＝(n ＋1)·⎝⎛⎭⎫910n －(n ＋2)·⎝⎛⎭⎫910n ＋1 ＝⎝⎛⎭⎫910n ·⎣⎡⎦⎤n ＋1－910(n ＋2)＝⎝⎛⎭⎫910n ·n －810.由a n －a n ＋1≥0，即⎝⎛⎭⎫910n ·n －810≥0， 解不等式，得n ≥8.a n －a n －1＝(n ＋1)·⎝⎛⎭⎫910n －(n －1＋1)·⎝⎛⎭⎫910n －1 ＝⎝⎛⎭⎫910n －1·⎣⎡⎦⎤(n ＋1)·910－n ＝⎝⎛⎭⎫910n －1·9－n10， 由a n －a n －1≥0，即⎝⎛⎭⎫910n －1·9－n10≥0， 解不等式，得n ≤9.∴同时满足不等式组的正整数n 的取值只能是8、9.又a 8＝9×⎝⎛⎭⎫9108，a 9＝10×⎝⎛⎭⎫9109，即a 8＝a 9＝99108.∴当n ＝8或n ＝9时，a 8，a 9两项都是数列{a n }中的最大项．13．(20分)已知一次函数y ＝f (x )的图象关于直线y ＝x 对称的图象为C ，且f (1)＝0，若点A (n ，a n ＋1a n )(n ∈N *)在C 上，a 1＝1，当n ≥2时，a n ＋1a n －a na n －1＝1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设S n ＝a 13！＋a 24！＋a 35！＋…＋a n(n ＋2)！，求S n .解：(1)依题意C 过点(0,1)，所以设C 方程为y ＝kx ＋1，因为点A (n ，a n ＋1a n)(n ∈N *)在C上，所以a n ＋1a n＝kn ＋1，代入a n ＋1a n －a n a n －1＝1，得k ＝1，所以a n ＋1a n＝n ＋1，∴a n a n －1＝n ，a n －1a n －2＝n －1，…，a 2a 1＝2，且a 1＝1，各式相乘得a n ＝n ！.(2)∵a n (n ＋2)！＝n ！(n ＋2)！＝1(n ＋1)(n ＋2)＝1n ＋1－1n ＋2，∴S n ＝12－13＋13－14＋…＋1n ＋1－1n ＋2＝12－1n ＋2，即S n ＝n 2(n ＋2).内容总结（1）,(n ＋2)。
河北省曲周县一中高考数学数列多选题之知识梳理与训练附答案
河北省曲周县一中高考数学数列多选题之知识梳理与训练附答案一、数列多选题1．已知数列{},{}n n a b 均为递增数列，{}n a 的前n 项和为,{}n n S b 的前n 项和为,n T 且满足*112,2()n n n n n a a n b b n N +++=⋅=∈，则下列结论正确的是（ ）A ．101a << B．11b <<C ．22n n S T <D ．22n n S T ≥【答案】ABC 【分析】利用数列单调性及题干条件，可求出11,a b 范围；求出数列{},{}n n a b 的前2n 项和的表达式，利用数学归纳法即可证明其大小关系，即可得答案. 【详解】因为数列{}n a 为递增数列， 所以123a a a <<，所以11222a a a <+=，即11a <， 又22324a a a <+=，即2122a a =-<， 所以10a >，即101a <<，故A 正确； 因为{}n b 为递增数列， 所以123b b b <<，所以21122b b b <=，即1b <又22234b b b <=，即2122b b =<， 所以11b >，即11b <<，故B 正确；{}n a 的前2n 项和为21234212()()()n n n S a a a a a a -=++++⋅⋅⋅++= 22(121)2[13(21)]22n n n n +-++⋅⋅⋅+-==，因为12n n n b b +⋅=，则1122n n n b b +++⋅=，所以22n n b b +=，则{}n b 的2n 项和为13212422()()n n n b b b b b b T -=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+=1101101122(222)(222)()(21)n n nb b b b --++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+=+-1)1)n n>-=-，当n =1时，222,S T =>，所以22T S >，故D 错误； 当2n ≥时假设当n=k时，21)2k k ->21)k k ->， 则当n=k +11121)21)21)2k k k k k ++-=+-=->2221(1)k k k >++=+所以对于任意*n N ∈，都有21)2k k ->，即22n n T S >，故C 正确 故选：ABC 【点睛】本题考查数列的单调性的应用，数列前n 项和的求法，解题的关键在于，根据数列的单调性，得到项之间的大小关系，再结合题干条件，即可求出范围，比较前2n 项和大小时，需灵活应用等差等比求和公式及性质，结合基本不等式进行分析，考查分析理解，计算求值的能力，属中档题.2．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d .已知312a =，120S >，70a <则（ ） A ．60a > B ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增数列 C ．0nS <时，n 的最小值为13D ．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为第7项 【答案】ACD 【分析】 由已知得()()612112712+12+220a a a a S ==>，又70a <，所以6>0a ，可判断A ；由已知得出2437d -<<-，且()12+3n a n d =-，得出[]1,6n ∈时，>0n a ，7n ≥时，0n a <，又()1112+3n a n d =-，可得出1n a 在1,6n n N上单调递增，1na 在7nnN ，上单调递增，可判断B ；由()313117713+12203213a a a S a ⨯==<=，可判断C ；判断 n a ，n S 的符号， n a 的单调性可判断D ； 【详解】由已知得311+212,122d a a a d ===-，()()612112712+12+220a a a a S ==>，又70a <，所以6>0a ，故A 正确；由7161671+612+40+512+3>0+2+1124+7>0a a d d a a d d a a a d d ==<⎧⎪==⎨⎪==⎩，解得2437d -<<-，又()()3+312+3n a n d n d a =-=-，当[]1,6n ∈时，>0n a ，7n ≥时，0n a <，又()1112+3n a n d=-，所以[]1,6n ∈时，1>0na ，7n ≥时，10n a <，所以1na 在1,6n n N上单调递增，1na 在7n n N，上单调递增，所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭不是递增数列，故B 不正确； 由于()313117713+12203213a a a S a ⨯==<=，而120S >，所以0n S <时，n 的最小值为13，故C 选项正确 ；当[]1,6n ∈时，>0n a ，7n ≥时，0n a <，当[]1,12n ∈时，>0n S ，13n ≥时，0nS <，所以当[]7,12n ∈时，0n a <，>0n S ，0nnS a <，[]712n ∈，时，n a 为递增数列，n S 为正数且为递减数列，所以数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为第7项，故D 正确；【点睛】本题考查等差数列的公差，项的符号，数列的单调性，数列的最值项，属于较难题.3．两个等差数列{}n a 和{}n b ，其公差分别为1d 和2d ，其前n 项和分别为n S 和n T ，则下列命题中正确的是（ ） A．若为等差数列，则112da =B ．若{}n n S T +为等差数列，则120d d +=C ．若{}n n a b 为等差数列，则120d d ==D ．若*n b N ∈，则{}n b a 也为等差数列，且公差为12d d +【答案】AB 【分析】对于A，利用=对于B ，利用()2211332S T S T S T +=+++化简可得答案； 对于C ，利用2211332a b a b a b =+化简可得答案； 对于D ，根据112n n b b a a d d +-=可得答案. 【详解】 对于A，因为为等差数列，所以=即== 化简得()21120d a -=，所以112d a =，故A 正确；对于B ，因为{}n n S T +为等差数列，所以()2211332S T S T S T +=+++， 所以()11121111122223333a d b d a b a d b d +++=+++++， 所以120d d +=，故B 正确；对于C ，因为{}n n a b 为等差数列，所以2211332a b a b a b =+， 所以11121111122()()(2)(2)a d b d a b a d b d ++=+++， 化简得120d d =，所以10d =或20d =，故C 不正确；对于D ，因为11(1)n a a n d =+-，且*n b N ∈，所以11(1)n b n a a b d =+-()112111a b n d d =++--⎡⎤⎣⎦，所以()()1111211n b a a b d n d d =+-+-，所以()()()11111211112111n n b b a a a b d nd d a b d n d d +-=+-+-----12d d =， 所以{}n b a 也为等差数列，且公差为12d d ，故D 不正确. 故选：AB 【点睛】关键点点睛：利用等差数列的定义以及等差中项求解是解题关键.4．已知等比数列{}n a 满足11a =，其前n 项和()*1,0n n S pa r n N p +=+∈>．（ ）A ．数列{}n a 的公比为pB ．数列{}n a 为递增数列C ．1r p =--D ．当14p r-取最小值时，13-=n n a 【答案】BD 【分析】先结合已知条件，利用1n n n a S S -=-找到,p q 的关系，由11p q =-判断选项A 错误，由11pq p+=>判断B 正确，利用{}n a 通项公式和前n 项和公式代入已知式计算r p =-判断C 错误，将r p =-代入14p r-，利用基本不等式求最值及取等号条件，判断D 正确. 【详解】依题意，等比数列{}n a ，11a =，其前n 项和()*1,0n n S pa r n N p +=+∈>，设公比是q ，2n ≥时，11n n n n S pa rS pa r +-=+⎧⎨=+⎩，作差得，1n n n pa a pa +-=，即()11n n p a pa +=+，故11n n a p a p ++=，即1p q p +=，即11p q =-. 选项A 中，若公比为p ，则11p q q ==-，即210q q --=，即12p q +==时，数列{}n a 的公比为p ，否则数列{}n a 的公比不为p ，故错误；选项B 中，由0p >知，1111p q p p +==+>，故111111n n n n a a q q p ---=⋅==⎛⎫+ ⎪⎝⎭是递增数列，故正确；选项C 中，由1n n S pa r +=+，11n n q S q-=-，11p q =-，1nn a q +=知， 1111111n n n n q p q q a qr S p q +--=-⋅=-=---=，故C 错误；选项D 中， 因为r p =-，故()1111444p p p r p p -=-=+≥=⋅-，当且仅当14p p =，即12p =时等号成立，14p r-取得最小值1，此时13p q p +==，113n n n a q --==，故正确.故选：BD. 【点睛】 方法点睛：由数列前n 项和求通项公式时，一般根据11,2,1n n n S S n a a n --≥⎧=⎨=⎩求解；2、当两个正数,a b的积为定值，要求这两个正数的和式的最值时，可以使用基本不等式a b +≥，当且仅当a b =取等号.5．已知数列{}n a 中，112a =，且()11n n n a a a +=+，n *∈N ，则以下结论正确的是（ ） A ．11111n n n a a a +=-+ B ．{}n a 是单调递增数列 C ．211011111111a a a a +++>+++D ．若1212120111n n a a aa a a ⎡⎤+++=⎢⎥+++⎣⎦，则122n =([]x 表示不超过x 的最大整数) 【答案】ABD 【分析】利用裂项法可判断A 选项的正误；利用数列单调性的定义可判断B 选项的正误；利用裂项求和法可判断C 选项的正误；求出1212111nn a a aa a a ++++++的表达式，可判断D 选项的正误. 【详解】在数列{}n a 中，112a =，且()11n n n a a a +=+，n *∈N ，则()21110a a a =+>，()32210a a a =+>，，依此类推，可知对任意的n *∈N ，0n a >.对于A 选项，()()()111111111n n n n n n n n n a a a a a a a a a ++-===-+++，A 选项正确； 对于B 选项，210n n n a a a +-=>，即1n n a a +>，所以，数列{}n a 为单调递增数列，B 选项正确；对于C 选项，由A 选项可知，11111n n n a a a +=-+， 所以，1212231011111110111111111111111a a a a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-++-=-< ⎪ ⎪⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，C 选项错误； 对于D 选项，12122311111111111111111n n n n a a a a a a a a a a a ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-++-=- ⎪ ⎪⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以，()()()12121212111111111111n nn n a a a a a a a a a a a a +-+++=+++++++++-+-+121111111112111n n n n n n a a a a a a ++⎛⎫⎛⎫=-+++=--=-+ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭， 由112a =，且()11n n n a a a +=+得234a =，32116a =，又{}n a 是单调递增数列，则3n ≥时，1n a >，则101na <<， 从而1122120n n n a +⎡⎤-=-=⎢⎥⎣⎦+，得122n =，D 选项正确. 故选：ABD.【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；（2）对于{}n n a b 型数列，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，利用错位相减法求和；（3）对于{}n n a b +型数列，利用分组求和法； （4）对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭型数列，其中{}n a 是公差为()0d d ≠的等差数列，利用裂项相消法求和.6．已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n （n ∈N *），公差d ≠0，S 6=90，a 7是a 3与a 9的等比中项，则下列选项正确的是（ ） A ．a 1=22B ．d =－2C ．当n =10或n =11时，S n 取得最大值D ．当S n >0时，n 的最大值为20【答案】BCD 【分析】由等差数列的求和公式和通项公式，结合等比数列的中项性质，解方程可得首项和公差，求得等差数列的通项n a 和n S ，由二次函数的最值求法和二次不等式的解法可得所求值，判断命题的真假． 【详解】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差0d ≠，由690S =，可得161590a d +=，即12530a d +=，①由7a 是3a 与9a 的等比中项，可得2739a a a =，即2111(6)(2)(8)a d a d a d +=++，化为1100a d +=，② 由①②解得120a =，2d =-， 则202(1)222n a n n =--=-，21(20222)212n S n n n n =+-=-， 由221441()24n S n =--+，可得10n =或11时，n S 取得最大值110； 由0n S >，可得021n <<，即n 的最大值为20． 故选：BCD 【点睛】方法点睛：数列最值常用的方法有：（1）函数（单调性）法；（2）数形结合法；（3）基本不等式法.要结合已知条件灵活选择合适的方法求解.7．（多选题）已知函数()22()()n n f n n n ⎧=⎨-⎩当为奇数时当为偶数时，且()()1n a f n f n =++，则na 等于（ ）A ．()21n -+B ．21n -C ．21nD ．12n -【答案】AC 【分析】对n 进行分类讨论，按照()()1n a f n f n =++写出通项即可. 【详解】当n 为奇数时，()()()()22112121n a f n f n n n n n =++=-+=--=-+； 当n 为偶数时，()()()221121n a f n f n n n n =++=-++=+，所以()()()2121n n n a n n ⎧-+⎪=⎨+⎪⎩当为奇数时当为偶数时. 故选：AC . 【点睛】易错点睛：对n 进行分类讨论时，应注意当n 为奇数时，1n +为偶数；当n 为偶数时，1n +为奇数.8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，218a =，512a =，则下列选项正确的是（ ） A ．2d =- B ．122a =C ．3430a a +=D ．当且仅当11n =时，n S 取得最大值【答案】AC 【分析】先根据题意得等差数列{}n a 的公差2d =-，进而计算即可得答案. 【详解】解：设等差数列{}n a 的公差为d ，则52318312a a d d =+=+=，解得2d =-.所以120a =，342530a a a a +=+=，11110201020a a d =+=-⨯=， 所以当且仅当10n =或11时，n S 取得最大值. 故选：AC 【点睛】本题考查等差数列的基本计算，前n 项和n S 的最值问题，是中档题. 等差数列前n 项和n S 的最值得求解常见一下两种情况：（1）当10,0a d ><时，n S 有最大值，可以通过n S 的二次函数性质求解，也可以通过求满足10n a +<且0n a >的n 的取值范围确定；（2）当10,0a d <>时，n S 有最小值，可以通过n S 的二次函数性质求解，也可以通过求满足10n a +>且0n a <的n 的取值范围确定；9．已知数列{}n a ，下列结论正确的有（ ） A ．若12a ＝，11n n a a n +++＝，则20211a ＝.B ．若11132n n a a a ++＝，＝，则71457a =C ．若12nn S =3+，则数列{}n a 是等比数列 D ．若11212n n n a a a a ++＝，＝()*n N ∈，则15215a ＝ 【答案】AB 【分析】直接利用叠加法可判断选项A ，从而判断，利用构造新数列可求出B,D 中数列的通项公式，可判断，选项C 求出数列的前3项从而可判断. 【详解】选项A. 由11n n a a n +=++，即11n n a a n +-=+ 则()()()()19191818120207121a a a a a a a a a a =-+-+-++-+20191822211=+++++=故A 正确.选项B. 由132n n a a +=+，得()1311n n a a +=++，所以数列{}1n a +是以112a +=为首项，3为公比的等比数列.则1123n n a -+=⨯，即1231n n a -=⨯-，所以672311457a =⨯-=，故B 正确.选项C. 由12nn S =3+，可得当1n =时，11722a =+=3 当2n =时，得2211193622a S S ⎛⎫⎛⎫=-=+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当3n =时，得332112791822a S S ⎛⎫⎛⎫=-=+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，显然2213a a a ≠，所以数列{}n a 不是等比数列，故C 错误.选项D. 由122nn n a a a +=+，可得11112n n a a +-= 所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，12为公差的等差数列.所以()1111122n n n a +=+-=，则1511826a ==，即1518a =，故D 错误. 故选：AB 【点睛】关键点睛：本题考查利用递推关系求数列的通项公式，解答的关键是掌握求数列通项公式的常见方法，由叠加法可得()()()()19191818120207121a a a a a a a a a a =-+-+-++-+，利用构造新数列()1311n n a a +=++，11112n n a a +-=解决问题，属于中档题.10．已知数列{}n a ，{}n b 满足：12n n n a a b +=+，()*1312lnn n n n b a b n N n++=++∈，110a b +>，则下列命题为真命题的是（ ）A ．数列{}n n a b -单调递增B ．数列{}n n a b +单调递增C ．数列{}n a 单调递增D ．数列{}n b 从某项以后单调递增【答案】BCD 【分析】计算221122ln 2a b a b a b -=--<-，知A 错误；依题意两式相加{}ln +-n n a b n 是等比数列，得到()1113ln -+=+⋅+n n n a b a b n ，知B 正确；结合已知条件，计算10n n a a +->，即得C 正确；先计算()11113ln(1)2ln n n n b b a b n n -+-=+⋅++-，再结合指数函数、对数函数增长特征知D 正确. 【详解】由题可知，12n n n a a b +=+①，1312lnn n n n b a b n++=++②，①-②得，1131lnn n n n n a b a b n+++-=--，当1n =时，2211ln 2a b a b -=--，∴2211-<-a b a b ，故A 错误．①+②得，()113ln(1)3ln n n n n a b a b n n +++=+++-，()11ln(1)3ln n n n n a b n a b n +++-+=+-，∴{}ln +-n n a b n 是以11a b +为首项，3为公比的等比数列，∴()111ln 3-+-=+⋅n n n a b n a b ，∴()1113ln -+=+⋅+n n n a b a b n ，③又110a b +>，∴B 正确．将③代入①得，()()11113ln n n n n n n a a a b a a b n -+=++=++⋅+，∴()11113ln 0n n n a a a b n -+-=+⋅+>，故C 正确．将③代入②得，()()11113311ln3ln ln n n n n n n n n b b a b b a b n n n-+++=+++=++⋅++，∴()11113ln(1)2ln n n n b b a b n n -+-=+⋅++-．由110a b +>，结合指数函数与对数函数的增长速度知，从某个()*n n N ∈起，()1113ln 0n a b n -+⋅->，又ln(1)ln 0n n +->，∴10n n b b +->，即{}n b 从某项起单调递增，故D 正确． 故选：BCD ．【点睛】判定数列单调性的方法：（1）定义法：对任意n *∈N ，1n n a a +>，则{}n a 是递增数列，1n n a a +<，则{}n a 是递减数列；（2）借助函数单调性：利用()n a f n =，研究函数单调性，得到数列单调性.。
河北省承德市2024高三冲刺(高考数学)统编版真题(备考卷)完整试卷
河北省承德市2024高三冲刺（高考数学）统编版真题(备考卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知关于的方程的一个根为，则（）A．4B．3C．2D．1第(2)题设有甲、乙两箱数量相同的产品，甲箱中产品的合格率为90%，乙箱中产品的合格率为80%.从两箱产品中任取一件，经检验不合格，放回原箱后在该箱中再随机取一件产品，则该件产品合格的概率为（）A．B．C．D．第(3)题函数在上的图象大致为（）A．B．C．D．第(4)题下图反映2017年到2022年6月我国国有企业营业总收入及增速统计情况根据图中的信息，下列说法正确的是（）A．2017-2022年我国国有企业营业总收入逐年增加B．2017-2022年我国国有企业营业总收入逐年下降C．2017-2021年我国国有企业营业总收入增速最快的是2021年D．2017-2021年我国国有企业营业总收入的平均数大于630000亿元第(5)题已知直线与双曲线（，）交于，两点，且过原点和线段中点的直线的斜率为，则的值为A．B．C．D．第(6)题甲和乙是同班同学，该班级共52名同学．一次两人玩一个游戏，甲先在心里想好该班某一位同学的名字，乙来猜，其中乙可以提问个问题，问题必须一次性问完（意思是乙问完所有问题后才能得到每个问题的答案）．对每个问题，甲只能回答“是”或“不是”．若存在一种提问的策略，使得无论一开始甲想的是谁，乙一定能够猜出，则的最小值是（）A．5B．6C．7D．8第(7)题已知数列的各项都小于1，，记，则（）A．B．C．D．第(8)题在正三棱锥中，，，则三棱锥的外接球表面积为（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知函数（，，）的部分图象如图所示，且图中阴影部分的面积为，则（）A．B ．点是曲线的一个对称中心C ．直线是曲线的一条对称轴D ．函数在区间内单调递减第(2)题将一个直径为的铁球磨制成一个零件，能够磨制成的零件可以是（）A．底面直径为，高为的圆柱体B．底面直径为，高为的圆锥体C．底面直径为，高为的圆锥体D．各棱长均为的四面体第(3)题过抛物线的焦点F的直线交抛物线于两点，分别过作抛物线的切线交于点则下列说法正确的是（）A．若，则直线AB的倾斜角为B．点P在直线上C．D．的最小值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题动圆的圆心在抛物线y2=8x上，且动圆恒与直线x+2=0相切，则动圆必过点________．第(2)题设a R，若x＞0时均有[(a－1)x－1]( x 2－ax－1)≥0，则a＝__________．第(3)题设等差数列的前项和为，若，，则的最大值为__________．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知函数．(1)若曲线在处的切线与直线垂直，求实数的值；(2)当时，若对于任意，均有成立，求实数的取值范围．第(2)题某车间名工人年龄数据如下表：年龄（岁）工人数（人）合计（1）求这名工人年龄的众数与极差；（2）以十位数为茎，个位数为叶，作出这名工人年龄的茎叶图；（3）求这名工人年龄的方差.第(3)题广元某中学调查了该校某班全部名同学参加棋艺社团和武术社团的情况，数据如下表：(单位：人)参加棋艺社团未参加棋艺社团参加武术社团未参加武术社团（1）能否有的把握认为参加棋艺社团和参加武术社团有关？（2）已知在参加武术社团且未参加棋艺社团的人中，从到进行编号，从中抽取一人.按照先后两次抛掷一枚骰子，出现的点数之和为被抽取的序号，试求抽到号或号的概率.附：第(4)题已知等差数列的前项和为，，．(1)求的通项公式及；(2)设__________，求数列的前项和．在①；②；③这三个条件中任选一个补充在第（2）问中，并求解．注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．第(5)题已知圆的参数方程为，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为．（1）将圆的参数方程化为普通方程，将圆的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）圆，是否相交，若相交，请求出公共弦的长；若不相交，请说明理由．。
河北省沧州市2024高三冲刺(高考数学)统编版考试(备考卷)完整试卷
河北省沧州市2024高三冲刺（高考数学）统编版考试(备考卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题圆锥曲线的光学性质在实际生活中有着广泛的应用．我国首先研制成功的“双曲线电瓶新闻灯”就是利用了双曲线的光学性质，即从双曲线的一个焦点射出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都经过双曲线的另一个焦点．如图，已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，当入射光线和反射光线PE互相垂直时（其中P为入射点），，则该双曲线的离心率为（）A．B．2C．D．第(2)题若复数，复数在复平面对应的点为，则向量(为原点)的模（）A．B．C．D．第(3)题关于函数，下列选项正确的是（）A．为奇函数B．在区间上单调递减C．的最小值为2D．在区间上有两个零点第(4)题已知函数，若有且仅有三个零点，则下列说法中不正确的是（）A．有且仅有两个零点B．有一个或两个零点C．ω的取值范围是D ．在区间上单调递减第(5)题如图，圆台的上、下底面圆半径分别为1、2，高，点S、A分别为其上、下底面圆周上一点，则下列说法中错误的是（）A．该圆台的体积为B．直线SA与直线所成角最大值为C．该圆台有内切球，且半径为D．直线与平面所成角正切值的最大值为第(6)题在日常生活中，许多现象都服从正态分布.若，记，，，经统计，某零件的尺寸大小（单位：dm）从正态分布，则（）A ．B ．C ．D ．第(7)题有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩，得到如下所示的列联表：优秀非优秀甲班10乙班30附：（），0.050.0250.0100.0053.8415.0246.6357.879已知在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为，则下列说法正确的是（ ）A ．甲班人数少于乙班人数B ．甲班的优秀率高于乙班的优秀率C ．表中的值为15，的值为50D ．根据表中的数据，若按的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系”第(8)题已知随机变量服从二项分布，若，，则（ ）A．B ．C ．D ．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知函数的图象向左平移个单位长度得到的图象，的图象关于轴对称，若的相邻两条对称轴的距离是，则下列说法正确的是（ ）A ．B ．的最小正周期为C．在上的单调增区间是，D．的图象关于点中心对称第(2)题已知，，，且，则（ ）A ．若，则B ．若，则C ．，可能是方程的两根D ．第(3)题已知双曲线，的左右焦点分别为，，双曲线C 上两点A ，B 关于坐标原点对称，点P 为双曲线C 右支上上一动点，记直线PA ，PB 的斜率分别为，，若，，则下列说法正确的是（ ）A ．B ．C．的面积为D ．的面积为1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题若曲线在处切线的倾斜角为，则__________.第(2)题曲线在点处的切线方程为___________.第(3)题在中，，则_______；_________.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知椭圆Γ：的左，右焦点分别为F 1(，0)，F 2(，0)，椭圆的左，右顶点分别为A ，B ，已知椭圆Γ上一异于A ，B 的点P ，PA ，PB 的斜率分别为k 1，k 2，满足.（1）求椭圆Γ的标准方程；（2）若过椭圆Γ左顶点A 作两条互相垂直的直线AM 和AN ，分别交椭圆Γ于M ，N 两点，问x 轴上是否存在一定点Q ，使得∠MQA =∠NQA 成立，若存在，则求出该定点Q ，否则说明理由.第(2)题设等比数列的前n 项和为，且，.(1)求数列的通项公式；(2)在与之间插入个实数，使这个数依次组成公差为的等差数列，设数列的前项和为，求证：.第(3)题已知().（1）当时，求不等式的解集；（2）若，不等式恒成立，求的取值范围.第(4)题已知双曲线M ：的离心率为，点，分别为其左、右焦点，点为双曲线M 在第一象限内一点，设的平分线PQ 交y 轴于点Q ，当时，.(1)求双曲线M 的方程；(2)若，此时直线交双曲线M 于A 、B 两点，求面积的最大值.第(5)题学校食堂为了减少排队时间，从开学第天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐.某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐，若他前天选择了米饭套餐，则第天选择米饭套餐的概率为；若他前天选择了面食套餐，则第天选择米饭套餐的概率为.已知他开学第天中午选择米饭套餐的概率为.(1)求该同学开学第天中午选择米饭套餐的概率；(2)记该同学开学第天中午选择米饭套餐的概率为证明：当时，.。
河北省2022年高考数学 基础知识备考训练（2）（详解）
备考2022高考数学基础知识训练（2）班级______ 姓名_________ 学号_______ 得分_______一、填空题（每题5分，共70分） 1．已知集合{}{}|1,|21x M x x N x =<=>，则MN =2．已知数集{}x lg 10，，中有三个元素，那么的取值范围为 ．3已知集合{}},12,3,1{,,32--==m B m A 若B A ⊆，则实数的值为4．是虚数单位，若17(,)2ia bi ab R i +=+∈-，则的值是___ ．5函数y =的递增区间为6．幂函数()y f x =的图象经过点1(2,)8--，则满足＝27的的值是 ．7 函数log (3)x y x =-的定义域为8．下列四个命题：①2n n n ∀∈R ，≥； ②2n n n ∀∈<R ，； ③2n m m n ∀∈∃∈<R R ，，； ④n m m n m ∃∈∀∈⋅=R R ，，． 其中真命题的序号是___ ．9 若函数21322y x x =-+的定义域和值域都为,则的值为10 设方程=+-∈=+k k k x x x x 则整数若的根为),21,21(,420011 某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3km （不超过3km 按起步价付费）；超过3km 但不超过8km 时，超过部分按每千米元收费；超过8km 时，超过部分按每千米元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元；现某人乘坐一次出租车付费元，则此次出租车行驶了_____m12 1.0lg 10lg 5lg 2lg 125lg 8lg ⋅--+=13．已知下列两个命题：：[0,)x ∀∈+∞，不等式1ax 恒成立；：1是关于的不等式0)1)((≤---a x a x 的一个解．若两个命题中有且只有一个是真命题，则实数的取值范围是___ ．14 如果函数满足2()()2,2,f n f n n =+≥且(2)1,f =那么(256)f =二、解答题（共90分，写出详细的解题步骤）15．（14分）记函数132)(++-=x x x f 的定义域为，()()lg[(1)(2)],1g x x a a x a =---< 的定义域为．若A B A =⋃，求实数的取值范围．16．（14分）设函数12)(22-++=t x t tx x f ，)0,(>∈t R t ． （I ）求的最小值；（II ）若()2s t t m <-+对(0,2)t ∈时恒成立，求实数的取值范围．17．（14分）设二次函数2()f x ax bx c =++在区间[]2,2-上的最大值、最小值分别是、，集合{}|()A x f x x ==1若{1,2}A =，且(0)2f =，求和的值； 2若{1}A =，且，记()g a M m =+，求的最小值18．（16分）某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产千件，（其中*N x ∈），需另投入成本为()C x ，当年产量不足80千件时，()21103C x x x =+万元；当年产量不小于80千件时，()10000511450C x x x =+-万元通过市场分析，若每件售价为500元时，该厂年内生产的商品能全部售完（1）写出年利润万元关于年产量 千件的函数解析式（2）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大19．（16分）已知函数223()()m m f x x m Z -++=∈为偶函数，且(3)(5).f f <（1）求的值，并确定的解析式； （2）若])([log )(ax x f x g a -=，)10(≠>a a 且在上为增函数，求实数的取值范围20．（16分）已知定义在上的函数)3()(2-=ax x x f ，其中为常数（1）若是函数的一个极值点，求的值；（2）若函数在区间)0,1(-上是增函数，求的取值范围；（3）若函数]2,0[),()()(∈'+=x x f x f x g ，在处取得最大值，求正数的取值范围参考答案： 1．解：{}|21x N x =>即为{}|0N x x =>，∴MN ={}|01x x <<答案：{}|01x x <<2．解：由集合中元素的确定性、互异性知0,lg 0,lg 1,x x x >⎧⎪≠⎨⎪≠⎩解得的取值范围为()），（），（，∞+1010110 ．答案：()），（），（，∞+1010110 ．3解：∵B A ⊆，∴A 中元素都是B 的元素，即221m m =-，解得．答案：1．4．25 解：由2320x x --≥结合二次函数图像得31x -≤≤,观察图像知道增区间为[3,1].--答案：[3,1]--．6．解：设幂函数()af x x =，则1(2)8a -=-，得3a =-；∴3()f x x -=；故满足＝27即327x -=，解得的值是答案：．7 解：由300(0,1)(1,3).1x x x ->⎧⎪>⋃⎨⎪≠⎩得答案：(0,1)(1,3)⋃8．④9 解：由二次函数图象知: 21322b b b-+=,得13,b b ==或又因为所以 3.b =答案：3．10 解：设122,4,xy y x ==-结合图象分析知,仅有一个根013(,)22x ∈，故 答案：1．11 解：出租车行驶不超过3km ，付费9元；出租车行驶8km ，付费92.15(83)-=19.75元；现某人乘坐一次出租车付费元，故出租车行驶里程超过8km ，且22.619.75 2.85-=，所以此次出租车行驶了81=9 km 答案：9．12解：3lg 23lg5lg 2lg52(lg 2lg5)411lg10(lg10)22+--+===-⋅--答案：－413．),1()41,0[+∞⋃14 解：22(256)(16)(16)2(4)2f f f f ==+=+=2(4)4(2)4f f +=+=(2)6f + 167.=+=答案：15．解：1{-<=x x A 或1}x ≥ ………………3分}12{+<<=a x a x B ………………6分A B A =⋃ A B ⊆∴ ………………8分要使A B ⊆，则11a +-≤或21a ≥ 即2a -≤或112a <≤ 的取值范围是：2a -≤或112a <≤ ………………14分16．解：（1）23()()1(,0)f x t x t t t t R t =+-+-∈> …………2分x t ∴=-时，取得最小值为：13-+-t t ．即3()1s t t t =-+-． ………………………4分 （2）令3()()(2)31h t s t t m t t m =--+=-+--． 由'2()330h t t =-+=，得或1t =-（舍去） ………6分()h t ∴在内有最大值． …………10分()2s t t m ∴<-+对(0,2)t ∈时恒成立等价于()0h t <恒成立．即10m -< 1m ∴> …………14分17．解：（1）}0)1(|{2=+-+=c x b ax x A ，}2,1{=A 且(0)2f = ⎪⎩⎪⎨⎧=-==⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⨯=+=--==221212112)0(c b a a c a b c f ； ……………4分⎩⎨⎧===-=⇒+-=∴1)1(10)2(22)(2f m f M x x x f …………………6分（2）由题意可得：⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧=-=⇒=--=--=∆a c a b a b ac b 2112104)1(2．…………8分)1()21()(2≥+-+=a a x a ax x f ，对称轴为)1,21[211212∈-=-=a a a x ……10分1419)211()2()(--=-+-=+=∴a a a f f m M a g ． ……………12分)(a g 在),1[+∞上单调递增．故此时，431)1()(min ==g a g ………14分18．解：（1）当080,*x x N <<∈时，()2250010001110250402501000033x L x x x x x ⨯=---=-+- …………3分当*80,x x N ≥∈时，()50010001000010000511450250120010000x L x x x x x ⨯⎛⎫=--+-=-+ ⎪⎝⎭ ………6分 ()()()2**140250,080,3100001200,80,x x x x N L x x x x N x ⎧-+-<<∈⎪⎪∴=⎨⎛⎫⎪-+≥∈ ⎪⎪⎝⎭⎩ ………………8分（2）当080,*x x N <<∈时，()()21609503L x x =--+．当60x =时，取得最大值()60950L =（万元） ………11分当*80,x x N ≥∈时，100020012001000021200)10000(1200)(=-=⋅-≤+-=x x x x x L …14分10000,100x x x ∴==当即时，取得最大值1000万元，即生产量为100千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大． …16分19．解：（1）由222323(3)(5),35,m m m m f f -++-++<<知 223233()1,230,152m m m m m -++∴<-++>∴-<<即 ……………3分又,0,1m Z m ∈∴= ……………3分当22330()m m m f x x x -++===时，为奇函数，不合题意，舍去；当22321()m m m f x x x -++===时，为偶函数，满足题设． ……5分故()21,m f x x ==． …………6分（2）2()log ().a g x x ax =-令2(),u x x ax =- 若01,log a a y u <<=则在其定义域内单调递减，要使()[2,3]g x 在上单调递增，则需2()[2,3]u x x ax =-在上递减，且()0u x >， ⎪⎩⎪⎨⎧>-=≥∴039)3(32a u a ， 即φ∈a …11分若1,log a a y u >=则在其定义域内单调递增，要使()[2,3]g x 在上单调递增，则需2()[2,3]u x x ax =-在上递增，且()0u x >， ⎪⎩⎪⎨⎧>-=≤∴024)2(22a u a ，即21<<a综上所述：实数的取值范围是21<<a ． ………16分20．解：（1）).2(363)(,3)(223-=-='-=ax x x ax x f x ax x f )(1x f x 是= 的一个极值点，2,0)1(=∴='∴a f …………4分（2）①当0=a 时，23)(x x f -=在区间（－1，0）上是增函数，0=∴a 符合题意；②当a x x x f a x ax x f a 2,0:0)(),2(3)(,021==='-='≠得令时； 当0>a 时，对任意0,0)(),0,1(>∴>'-∈a x f x 符合题意； 当时，当02,12,0)()0,2(<≤-∴-≤∴>'∈a a x f a x 时符合题意；综上所述：.2-≥a ………8分另解：函数在区间)0,1(-上是增函数，0)(≥'∴x f 在)0,1(-∈x 上恒成立．即0632≥-x ax ，x a 2≥22-<x 2-≥a ．（3）].2,0[,6)33()(,023∈--+=>x x x a ax x g a ],2)1(2[36)33(23)(22--+=--+='x a ax x a ax x g令.044(*),02)1(2,0)(22>+=∆=--+='a x a ax x g 显然有即 设方程（*）的两个根为(*),,21由x x 式得0221<-=a x x ，不妨设210x x <<当202<<x 时，)(2x g 为极小值，所以在[0，2]上的最大值只能为或； 当22≥x 时， 由于在[0，2]上是单调递减函数，所以最大值为， 所以在[0，2]上的最大值只能为或， 又已知在处取得最大值，所以),2()0(g g ≥即].56,0(,0,56,24200∈>≤-≥a a a a 所以又因为解得 ………………………16分（有另外的解法，可酌情给分）。
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备考2013高考数学基础知识训练（1）班级______ 姓名_________ 学号_______ 得分_______一、填空题（每题5分，共70分） 1．函数3-=x y 的定义域为___ ．2．已知全集U R =，集合{1,0,1}M =-，{}2|0N x x x =+=，则=⋂)(N C M U __ ．3．若1()21xf x a =+-是奇函数，则a =___ ．4.已知1x x -+=且1x >,则1x x --的值为 ．5．幂函数ax y =，当a 取不同的正数时，在区间[0，1]上它们的图像是一族美丽的曲线（如右图）．设点 A （1，0），B （0，1），连接AB ，线段AB 恰好被其中的两个幂函数αx y =，βx y =的图像三等分，即有NA MN BM ==．那么βα⋅=___ ．6．直线b x y +=21是曲线)0(ln >=x x y 的一条切线，则实数b =___ ．7．已知命题：“[1,2]x ∃∈，使022≥++a x x ”为真命题，则a 的取值范围是___ ．8. 函数4(4)(),(3)(4)x x f x f x x -≥⎧=⎨+<⎩则[(1)]f f -= .9．在用二分法求方程3210x x --=的一个近似解时,现在已经将一根锁定在区间(1,2)内,则下一步可断定该根所在的区间为___ ．10．设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+-≤--0,002063y x y x y x ， 若目标函数)0,0(,>>+=b a by ax Z 的最大值为12，则b a 231+的最小值为___ ．11．集合}2log |{21>=x x A ，),(+∞=a B ，若A B A ≠⋂时a 的取值范围是(,)c +∞，则c =___ ．12．已知结论：“在正三角形ABC 中，若D 是BC 的中点，G 是三角形ABC 重心，则AGGD =2 ” .若把该结论推广到空间，则有结论：“在正四面体ABCD 中，若BCD ∆ 的中心为M ，四面体内部一点O 到四面体各面的距离都相等，则AOOM =___ ．13．若函数(),()f x g x 分别是R 上的奇函数、偶函数，且满足()()xf xg x e -=，则有(),()f x g x 的解析式分别为 .14．若1||x a x -+≥12对一切x ＞0恒成立，则a 的取值范围是___ ．15．设非空集合A={x|－3≤x ≤a}，B={y|y=3x+10,x ∈A}，C={z|z=5－x,x ∈A}，且B ∩C=C ，求a 的取值范围．16. 已知函数1()22x x f x =-．（1）若()2f x =，求x 的值；（2）判断函数()f x 的奇偶性，并证明你的结论．17. 讨论函数2()(0)1axf x a x =≠-在区间(1,1)-上的单调性.18. 即将开工的上海与周边城市的城际列车铁路线将大大缓解交通的压力，加速城市之间的流通；根据测算，如果一列火车每次拖4节车厢，每天能来回16次；如果每次拖7节车厢，则每天能来回10次；每天来回次数是每次拖挂车厢个数的一次函数，每节车厢一次能载客110人，试问每次应拖挂多少节车厢才能使每天营运人数最多？并求出每天最多的营运人数．(注：营运人数指火车运送的人数) .19．已知二次函数()2f x ax bx c=++.（1）若()10f -=，试判断函数()f x 零点个数；（2）若对任意12,,x x R ∈且12x x <，()()12f x f x ≠，试证明存在()012,x x x ∈，使()()()01212f x f x f x =+⎡⎤⎣⎦成立．20. 已知f(x)是定义域为（0，＋∞）的函数，当x ∈（0，1）时f(x)＜0．现针对任意正实数x 、y ，给出下列四个等式：① f(xy)=f(x) f(y) ；② f(xy)=f(x)＋f(y) ；③ f(x ＋y)=f(x)＋f(y) ； ④ f(x ＋y)=f(x) f(y) ． 请选择其中的一个等式作为条件，使得f(x)在（0，＋∞）上为增函数；并证明你的结论． 解：你所选择的等式代号是 ． 证明：参考答案： 1．}3|{≥x x 2．}1{3．124.解：由1x x -+=2228x x -++=,则221224,()4xx x x ---+=∴-=,又11, 2.x x x ->∴-=答案：2． 5．1 6．12ln - 7．8-≥a8. 解：[(1)][(2)][(5)](1)(4)0.f f f f f f f f -===== 答案：0 .9．)2,23( 10．122511．0 12．313．解：由已知()()xf xg x e -=，用x -代换x 得：()(),x f x g x e ----=即()()xf xg x e -+=-，解得：2)(,2)(xx x x e e x g e e x f +-=-=-. 答案：2)(,2)(xx x x e e x g e e x f +-=-=-. a15．解：B={y|1≤y ≤3a+10}，C={y|5－a ≤y ≤8}； 由已知B ∩C=C ，得C ⊆B ，∴518310a a -≥⎧⎨≤+⎩ ，解得243a -≤≤；又非空集合A={x|－3≤x ≤a}，故a ≥－3；∴243a -≤≤，即a 的取值范围为243a -≤≤．16. 解：（1）∵1()22x x f x =-，由条件知1222xx -=，即222210x x-⨯-=，解得21x =20x >，2log (1x =∴．（2）()f x 为奇函数，证明如下：函数()f x 的定义域为实数集R ，对于定义域内的任一x ，都有111()22(2)()222x x xx x x f x f x ---=-=-=--=-，∴函数()f x 为奇函数．17.解：设121212221211,()()11ax ax x x f x f x x x -<<<-=---则=12122212()(1)(1)(1)a x x x x x x -+--，1212,(1,1),,x x x x ∈-<且221212120,10,(1)(1)0,x x x x x x ∴-<+>-->于是当120,()();a f x f x ><时当120,()();a f x f x <>时故当0a >时，函数在（－1，1）上是增函数； 当0a <时，函数在（－1，1）上为减函数．18.解：设这列火车每天来回次数为t 次，每次拖挂车厢n 节；则由已知可设b kn t +=．由已知得⎩⎨⎧+=+=b k b k 710416，解得⎩⎨⎧=-=242b k ；242+-=∴n t ．设每次拖挂n 节车厢每天营运人数为y 人；则)2640220(221102n n tn y +-=⨯⨯=；∴当64402640==n 时，总人数最多，为15840人．答：每次应拖挂6节车厢，才能使每天的营运人数最多，为15840人．19．解：（1）()10,0,f a b c -=∴-+= b a c =+；2224()4()b ac a c ac a c ∆=-=+-=-，∴当a c =时，0∆=，函数()f x 有一个零点；当a c ≠时，0∆>，函数()f x 有两个零点．（2）令()()()()1212g x f x f x f x =-+⎡⎤⎣⎦，则 ()()()()()()121112122f x f x g x f x f x f x -=-+=⎡⎤⎣⎦， ()()()()()()212212122f x f x g x f x f x f x -=-+=⎡⎤⎣⎦，()()()()()()()212121210,4g x g x f x f x f x f x ∴⋅=--<≠⎡⎤⎣⎦；()0g x ∴=在()12,x x 内必有一个实根，即存在()012,x x x ∈，使0()0g x =即()()()01212f x f x f x =+⎡⎤⎣⎦成立．证明：在f(xy)=f(x)＋f(y)中，令x=y=1，得f(1)= f(1)＋ f(1)，故f(1)=0． 又f(1)=f(x· 1x ）=f(x)＋f( 1x )=0，∴f( 1x )=－f(x)．………（※）设0＜x1＜x2，则0＜x1x2 ＜1,∵x ∈（0，1）时f(x)＜0，∴f( x1x2)＜0； 又∵f(x1x2 )=f(x1)＋f( 1x2 )，由（※）知f( 1x2 )=－f(x2)，∴f( x1x2)=f(x1)－f(x2)＜0； ∴f(x1)＜f(x2) ，∴f(x)在（0，＋∞）上为增函数．。