第8讲 辅助圆进阶(教师版)
第8讲点共圆2教师版
初中数学联赛体系第8讲 四点共圆2【例1】如图，已知锐角三角形ABC ，以AB 为直径的圆与AB 边的高线'CC 及其延长线交于N M 、，以AC 为直径的圆与AC 边的高线'BB 及其延长线交于Q P 、，求证：Q P N M 、、、四点共圆.【证明1】：设BC 上的高为'AA ，△ABC 的垂心为H ，则'A 在以AB 为直径的圆上，从而HN MH HA AH ⋅=⋅'.同理 HQ PH HA AH ⋅=⋅' 于是 HQ PH HN MH ⋅=⋅. 故Q P N M 、、、四点共圆.【证明2】：在Rt △ABM 和Rt △ACP 中，AB AC AM ⋅='2，AC AB AP ⋅='2. 又△'ABB ∽△'ACC ，有AC AB AB AC ⋅=⋅''.于是22AP AM =，即AP AM =. 但N M 、关于AB 对称，Q P 、关于AC 对称，故AN AM =，AQ AP =. 因此，Q P N M 、、、在以A 为圆心的圆上.也可由HQ PH HC CH HB BH HN MH ⋅=⋅=⋅=⋅''推出Q P N M 、、、. 【证明3】：连接PM BN AQ AP AM AN 、、、、、.因为AB 为直径，AB CM ⊥，所以AM AN =.同理AQ AP =. 在Rt △'ACC 中，因为ACAC A 'cos =，所以A AC AC cos '⋅=.在Rt △ABN 中，由射影定理，得A AB AC AN cos 2⋅=. 同理A AB AB cos '⋅=.所以在Rt △APC 中，A AC AB AC AB AP cos '2⋅=⋅=. 所以22AP AN =.所以AP AN =.即Q P N M 、、、四点在以点A 为圆心，AM 为半径的圆上.【例2】如图，已知O 是锐角三角形ABC 的外接圆圆心，CF BE 、为BC AC 、边上的高，自垂足F E 、分别作AC AB 、的垂线，垂足为H G 、，FH EG 、相交于K . （1）试证明：O K A 、、三点共线. （2）若KO AK =，求A ∠.【解析】：（1）因AC BE ⊥，AB CF ⊥，有︒=∠=∠90BEC BFC ，故C E F B 、、、四 点共圆.同理H G F E 、、、四点共圆，H K G A 、、、四点共圆.连EF GH AO AK 、、、，则BCE GFE GEF GHK GAK ∠-︒=∠-︒=∠=∠=∠9090，又BCE AOB ∠=∠2，故BCE BAO ∠-︒=∠90，有BAO GAK ∠=∠，可知AK 与AO 重合.（2）设△ABC 外接圆半径为R ，则2RKO AK ==.连结EF GH 、，则 ACB AFE AHG AKG ∠=∠=∠=∠，过O 作AB OP ⊥，垂足P ，则ACB AOP ∠=∠，于是ACB R AOP AO AP AB ∠=∠==sin 2sin 22，所以.cos 2sin cos sin cos sin sin 22BAC R ACB BACAB ACB BAC AE ACB AG AKG AC AK ∠=∠∠=∠∠⋅=∠=∠=所以，BAC R R ∠=2cos 22，可得41cos 2=∠BAC .又△ABC 为锐角三角形，所以21cos =∠BAC ，可得︒=∠60BAC .即为所求.【例3】如图，△ABC 中，AC AB =，F 为BC 上一点，CF BF 、的中垂线分别交AC AB 、于点E D 、，F 关于直线DE 的对称点为'F .若'F 在AB 的中垂线上，试证：''BF DE CF +=.【证明】：辅助线如图所示，令EF 交CF 于点O ， 由中垂线定理知DF BD =，F A F B '='，EC EF =.因为AC AB =，所以ACB DFB ABC ∠=∠=∠，AC DF // 同理，AB EF //因此，四边形ADFE 为平行四边形，故FEC DFE BAC ∠=∠=∠ 又点F 与E 关于DE 对称，则EC EF E F DB DF F D =='=='，. ① DAE E F D DFE ∠='∠=∠. F DE DEF EF F '∠=∠='∠22. 故E A F D 、、、'四点共圆，有 EA F DA F '∠='∠.所以，EC F DB F '∠='∠ ② 由式①、②得△F BD '与△F CE '相似. 所以，CE F BA F '∠='∠，且EFBDCE BD F C F B ==''. ③ 又△BDF 与△EFC 相似，故 FCBFEF BD =. ④ 由式③、④知CFBFF C F B =''. 因此，F F '平分C F B '∠.由CA F BA F '∠='∠得B C A F 、、、'四点共圆. 所以，CE F BA F CB F AB F '∠='∠='∠='∠.【例4】如图，在等腰△ABC 中，D 是底边BC 上一点，P 是AD 上一点，且△CPD 、△BPD 的外接圆分别交AB AC 、于点F E 、，I 是△ABC 的内心.求证：当PF PE PD ⋅=2时，四边形BIPC 内接于圆.【证明】：如图，过点P分别作ABPTCAPSBCPR⊥⊥⊥，，，垂足分别为TSR、、.由题设可知EPDC、、、和FPDB、、、分别四点共圆.所以，PFTPESPDR∠=∠=∠.故Rt△PDR与Rt△PES、Rt△PFT相似.于是，PTPFPSPEPRPD==.由于PFPEPD⋅=2，则PTPSPR⋅=2.连结RTRS、易知TPRB、、、和SPRC、、、分别四点共圆.所以，RPSACBABCRPT∠=∠-︒=∠-︒=∠180180，PSRPCRPBTPRT∠=∠∠=∠，由于PTPSPR⋅=2，即PRPTPSPR=，则△PRS与△PTR相似.因此，PSRPRT∠=∠.从而，PCRPBT∠=∠.又IBAPBIPBT∠+∠=∠，ICBPCIPCR∠+∠=∠.连结CI，由于ACAB=，I是△ABC的内心，则ICAICBIBCIBA∠=∠=∠=∠.所以，PCIPBI∠=∠.因此，四边形BIPC内接于圆.【例5】如图，△ABC是锐角三角形，以AB为直径的圆交AC于点D，交边AB上的高CH 所在直线于点FE、.以AC为直径的半圆交BD的延长线于点G，联结GF交以AB为直径的圆于点P.求证：PGPE=.注：射影定理、四点共圆. 【例6】（2011年德国奥林匹克数学）如图，设AD 是△ABC 的高线，以BC 为直径与点A 同侧的半圆分别交AD AC AB 、、于点X E F 、、，△DEX 的外接圆与BC 交于点L (与点D 不重合)，△DFX 的外接圆与BC 交于点N (与点D 不重合).证明：CL BN .【例7】正方形ABCD 中，P 为CD 上任一点.连AP 、DP ，AT ⊥AP 于T ，BS ⊥AP 于S ，延长DS 、CT 交于点K ，求证：∠DKC+∠APB =90°，AK ⊥BK .【证明】：如图，分别延长BS ，AT 交AD ，BC 于点N M 、，连PN PM 、. BCK ADK DKC ∠+∠=∠，以及D P S M 、、、共圆，C N T P 、、、共圆，M PA ADK ∠=∠， NPB BCK ∠=∠，得PN PM APB DKC ⊥⇔︒=∠+∠90.易知△ABM ≌△DAP ，PD AM =，PC MD =.同理，CN DP =，△MDP ≌△PCN ，故︒=∠+∠90NPC MPD ，故PN PM ⊥，因此∠DKC+∠APB =90°.又由SBT SAT APB SKT ∠=∠=∠-︒=∠90，得S T B K A 、、、、共圆，于是 .BK AK ⊥【例8】（2010年中国数学奥林匹克题）两圆1Γ、2Γ交于点B A 、，过点B 的一条直线分别交圆1Γ、2Γ于点D C 、，过点B 的另一条直线分别交1Γ、2Γ于点F E 、，直线CF 分别交圆1Γ、2Γ于点Q P 、.设N M 、分别是弧PB ，弧QB 的中点.若EF CD =，求证：N M F C 、、、四点共圆.【证明】：如图，圆1Γ与圆2Γ相交于BA，，而EFCD，为过点B的两条割线，则由推论3知AB平分CBF∠.联结FNCM、，因M是弧PB的中点，则知CM是BCF∠的平分线.同理，FN是CFB∠的平分线.在△FCB中，FNCMBA，，三线共点于其内心，设内心为I.在圆1Γ，2Γ中，由圆幂定理，有IFNIIBAIIBAIIMCI⋅=⋅⋅=⋅，于是，有IFNIIMCI⋅=⋅.故由圆幂定理的逆定理知NMFC，，，四点共圆.【例8】（2007年东南数学竞赛试题，陶平生供题）如图，直角三角形ABC中，D是斜边AB 的中点，ABM B⊥，M D交AC于N；MC的延长线交AB于E.证明：BCEDBN∠=∠.【课后强化训练】A 组1、如图，圆21O O 、相交于点B A 、，P 是BA 延长线上一点，割线PCD 交圆1O 于D C 、，割线PEF 交圆2O 于F E 、.求证：F E D C 、、、四点共圆.【证明】：由题意知C D B A 、、、四点共圆，则有PD PC PB PA ⋅=⋅.又E F B A 、、、四点共圆，则有PF PE PB PA ⋅=⋅.所以PF PE PD PC ⋅=⋅，即 F E D C 、、、四点共圆.2、在正△ABC 中，E D 、分别是AC BC 、上的点，且BC BD 31=，AC CE 31=，联结BE AD 、交于点F .求证：AD CF ⊥.【证明】：如图，过点A 作BC AG ⊥于点G ，联结FG ，则BC BG 21=， 易知，△ABD 与△BCE .则DBF CBE BAD ∠=∠=∠. 从而，△ABD 与△D B ADFD BD BFD '=⇒，即 922BC BD FD AD ==⋅.又))((BD BC BD BG DC DG --=⋅23113121BC ⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-= FD AD BC ⋅==92.于是，C G F A 、、、四点共圆故︒=∠=∠90AGC AFC AD CF ⊥⇒.3、设AB 为定☉O 中的定弦，作☉O 的弦n n D C D C D C ，，， 2211，对于其中每个i （1=i ，2，...，n ），i i D C 都被AB 平分于i M ，过i i D C 分别作☉O 的切线，两切线交于点P ，求证：n P P P ，，， 21共圆.【证明】：如图，对于每个i （1=i ，2，...，n ），连结i i OD OC ，， ∵i i D C 均被AB 平分于M ∴B M AM M D M C i i i i i i ⋅=⋅. 又i i i i D P C P ，分别切☉O 于i i D C ，. ∴i i i D P C O ，，，四点共圆，且i OP 过i M ， ∴i i i i i i i OM M P M D M C ⋅=⋅， 故B M A M P M OM i i i i i ⋅=⋅ 所以i P 和B A O ，，共圆.而B A O ，，为定点，所以i P 在△ABO 的外接圆上，即n P P P ，，， 21这n 点共圆. 与多点共圆问题的对偶问题是多圆共点，证明多圆共点问题的方法主要有以下两个：（1）先证其中两圆相交（或相切）于某点，然后证明此点在其他圆上，即把圆共点的问题转化为共圆问题.（2）找出某一定点，然后证明该点在诸所设圆上（这定点一般为图形中的特殊点）.4、已知AB 是☉O 的直径，D C 、是圆周上异于点B A 、且在AB 同侧的两点，分别过点D C 、作圆的切线，它们交于点E ，线段AD 与BC 的交点为F ，直线EF 与AB 交于点M .求证：D M C E 、、、四点共圆.5、由圆O 外一点A 引圆O 的两条切线AT AS 、，T S 、为切点，过点A 引圆O 的任一割线APQ 交ST 于R .若M 为PQ 的中点，则AM AR AQ AP ⋅=⋅.【证明1】：如图，连OM OS OA 、、，由M 为PQ 中点，可知PQ OM ⊥，由AT AS 、为圆O 的切线，可知AQ ST ⊥，有R N O M 、、、四点共圆，于是AQ AP AS AO AN AM AR ⋅==⋅=⋅2， 所以AM AR AQ AP ⋅=⋅. 【证明2】：如图，连OA SM OS OM 、、、.由M 为PQ 的中点，可知PQ OM ⊥， 由AS 为圆O 的切线，可知AS OS ⊥，有S A O M 、、、四点共圆，于是SOA SMA ∠=∠.由AT AS 、为圆O 的切线，可知AQ ST ⊥，可知RSA SOA ∠=∠， 有SMA RSA ∠=∠，于是△RSA 与△SMA 相似，得AM AR AS ⋅=2. 显然AQ AP AS ⋅=2，可知AM AR AQ AP ⋅=⋅.6、在△ABC 中，A ∠、B ∠的平分线BE AD 、交于点P .若APB ABD E S S Δ2=四边形.求证：︒=∠90ACB .【证明】：如图，过P 作AP GH ⊥，分别交AB AC 、于H G 、，联结CP GB GD GH 、、、，易知△APG 与△APH 全等，有HP GP =. 于是，APH APG S S △△=， ①BPH BPG S S △△= ② ②①+得APB BPG APG S S S △△△=+，两边同加APB S △得APB ABG S S △△= 又APB ABDE S S △四边形2=，则ABDE ABG S S 四边形△=.上式两边同减ABE S △得EBD EBG S S △△=因此，BE GD //故APE GPE PGD ∠-︒=∠=90DCP ACB BAC ABC BAP ABP ∠=∠=∠+∠-︒=∠+∠-︒=21)(2190)(90于是，G P D C 、、、四点共圆. 则︒=∠=∠90APG ACB . 7、半圆☉O 是直径AB 是等腰Rt △ABC 的斜边，点P 是射线BA 上、PQ 切半圆☉O 于点Q ，BPQ ∠的平分线交BC AC 、于点F E 、.求证：222EF BF AE =+.如图，连接QB QA 、交PF 于点Y X 、，联结QF QE 、.易知8、在圆心为O 的圆外有一点P ，设弦AB 垂直于直线OP ，若直线PA 与该圆的交点为C ，直线OP 和BC 相交于点D ，求证：2OA OP OD =⋅.B'交以AC边为直径的圆于已知锐角△ABC，以AB为直径画圆与AC边交于B'点，连接BP、两点，以AC边为直径的圆与AB边交于C'点，连接CQC'交以AB为直径的圆于M，两点，求证：QN、、四点共圆.M、NPB 组1、如图，已知△ABC 为非等边锐角三角形，Q P 、为边AB 、BC 的中点，H 为垂线，延长QH PH 、与外接圆☉O 交于点N M 、.证明：N M Q P 、、、四点共圆.2、已知锐角△ABC 中，AC AB >，CG BF AD ，，是高，AD 的延长线与△ABC 的外接圆交于点E ，GF 与BC 延长线交于点H .求证：△AEH 的外接圆经过BC 的中点.【证明】：如图，作点B 关于点D 的对称点K ，连AK .由条件知，CD BD >，故K 在CH （或延长线）上.于是CFH ABC K ∠=∠=∠ ，故△FCH ∽△KCA ，于是CB CD CA CF CK CH ⋅=⋅=⋅.设BC 中点为J ，易知J 在BD 上，于是DJ BJ BD BC BK CK 222=-=-=.又 BJ BC 2=，代入前式，得BJ CD DJ CH ⋅=⋅.于是DJ BJ CD CH =，从而DJBDCD DH =，故DE AD BD CD DJ DH ⋅=⋅=⋅.因此H E J A ，，，在一个圆上.3、如图，AB 是☉O 的一条弦，向两端分别延长AB 至P 和Q .过Q P 、分别作☉O 的两切线切☉O 于N M 、，连MN .（1）若QB PA =，求证：MN 平分AB ； （2）若MN 平分AB ，求证：QB PA =.【证明1】：如图：（1）若QB PA =，则QA PB =，由切割线定理，得22QN QB QA PB PA PM =⋅=⋅=，所以QN PM =.连ON OM OQ OP 、、、，则PM OM ⊥，QN ON ⊥，且OM ON =，所以Rt △POM ≌Rt △QON ，所以QON POM ∠=∠.取AB 中点K ，连OK KM KN 、、，则AB OK ⊥，所以K O M P 、、、四点共圆.所以P O M P K M∠=∠.又︒=∠=∠90ONQ QKO 得到K O N Q 、、、四点共圆，所以QON QKN ∠=∠.所以QKN PKM ∠=∠.所以N K M 、、三点共线，而K 为AB 的中点，所以MN 平分AB . （2）若MN 平分AB ，则MN 交AB 于中点K ，于是K O M P 、、、四点共圆.所以P O M P KM ∠=∠.又K O N Q 、、、四点共圆，所以QON QKN ∠=∠.又PKM QKN ∠=∠，所以QON POM ∠=∠.而OQ OM =，所以Rt △POM ≌Rt △QON .所以OQ OP =.又PQ OK ⊥，所以K 为PQ 中点.所以QB PA =. 【证明2】：如图，连BM BN AN AM 、、、，则MN 平分NBM MB BN MAN AM AN S S AB BMN AMN ∠⋅⋅=∠⋅⋅⇔=⇔sin 21sin 21ΔΔAMBMBN AN BM BN AM AN =⇔⋅=⋅⇔. 而NAQ QNB ∠=∠，所以△QNA ∽△QBN ，所以NQAQBN AN =. 同理，由△PMA ∽△PBM ，得PMPBAM BM =. 所以PA PB PB BQ AQ AQ PM PB NQ AQ PM PB NQ AQ AM BM BN AN ⋅=⋅⇔⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇔=⇔=2222BQ PA PAAB BQ AB PA PA PB BQ BQ AQ PA PB BQ AQ =⇔=⇔-=-⇔=⇔. 4、（2007年东南数学竞赛试题，边红平供题）在△ABC 中，AC AB >，内切圆☉I 与AB CA BC 、、分别切于点F E D 、、，M 是边BC 的中点，BC AH ⊥于点H ，BAC ∠的平分线AI 分别与直线DF DE 、交于点L K 、.证明：K H L M 、、、四点共圆.【证明】：如图，连接KH ML BK DI BI 、、、、，连接CL 并延长交边AB 于点N . 因为CE CD 、都是☉I 的切线，所以，CE CD =.由BDK EDC ACB ABC BAC ABI BAI BIK ∠=∠=∠-︒=∠+∠=∠+∠=∠)180(21)(21.知I D K B 、、、四点共圆.于是，︒=∠=∠90BDI BKI . 故AK BK ⊥. 同理，AL CL ⊥.因为AL 是BAC ∠的角平分线，所以，L 是CN 的中点. 由︒=∠=∠90BHA BKA .得A H K B 、、、四点共圆. 于是，M LK BAK M HK ∠=∠=∠. 从而，K H L M 、、、四点共圆.。
初中数学圆的进阶篇教案
初中数学圆的进阶篇教案1. 让学生掌握圆的基本性质，如圆的周长、直径、半径等；2. 引导学生理解圆的方程，并能运用圆的方程解决实际问题；3. 培养学生的空间想象能力，能熟练画出各种类型的圆；4. 提高学生解决实际问题的能力，能够运用圆的相关知识解决生活中的问题。
二、教学内容1. 圆的周长和直径：介绍圆的周长公式C=2πr和直径公式D=2r，引导学生理解圆周率π的概念；2. 圆的方程：推导圆的标准方程(x-a)²+(y-b)²=r²，让学生掌握圆心坐标(a,b)和半径r的关系；3. 圆的性质：讲解圆的对称性、相交弦定理、圆周角定理等，引导学生运用性质解决实际问题；4. 圆的画法：教授圆的画法，包括圆规画圆、量角器画圆等，培养学生的空间想象能力；5. 实际问题：选取生活中的实际问题，让学生运用圆的知识解决问题。
三、教学过程1. 导入：通过讲解圆的起源和应用，激发学生的兴趣，引出本节课的主题；2. 基本性质：介绍圆的周长和直径，讲解圆周率π的概念，让学生理解圆的基本性质；3. 圆的方程：推导圆的标准方程，让学生掌握圆心坐标和半径的关系；4. 圆的性质：讲解圆的对称性、相交弦定理、圆周角定理等，并通过实例让学生运用性质解决实际问题；5. 圆的画法：教授圆的画法，让学生动手实践，培养空间想象能力；6. 实际问题：选取生活中的实际问题，让学生运用圆的知识解决问题；7. 总结：对本节课的知识进行总结，强调重点和难点；8. 作业布置：布置相关练习题，巩固所学知识。
四、教学策略1. 采用直观演示法，让学生通过观察、实践，掌握圆的性质和画法；2. 运用例题讲解，让学生学会运用圆的知识解决实际问题；3. 采用分组讨论法，引导学生相互交流、合作，提高解决问题的能力；4. 利用多媒体辅助教学，增加课堂趣味性，提高学生的学习兴趣。
五、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态；2. 作业完成情况：检查学生作业的完成质量，评估学生对知识的掌握程度；3. 实际问题解决能力：通过课后实践，评估学生在生活中的实际问题解决能力。
初中辅助圆模型教案
初中辅助圆模型教案教学目标：1. 理解辅助圆的概念和作用；2. 学会运用辅助圆模型解决初中数学问题；3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
教学重点：1. 辅助圆的概念和作用；2. 辅助圆模型的运用方法和技巧。
教学难点：1. 辅助圆模型的运用方法和技巧；2. 解决实际问题时，如何正确选择辅助圆模型。
教学准备：1. 教师准备相关例题和练习题；2. 学生准备笔记本和文具。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾圆的相关知识，如圆的性质、圆的周长和面积等；2. 提问：同学们，你们知道什么是辅助圆吗？辅助圆在解题中有何作用？二、新课讲解（15分钟）1. 讲解辅助圆的概念：辅助圆是指在解题过程中，为了方便分析和解决问题而构造的圆；2. 讲解辅助圆的作用：辅助圆可以帮助我们发现题目中的隐含条件，从而解决问题；3. 讲解辅助圆模型的运用方法和技巧：a. 当题目中出现四点共圆的情况时，可以考虑使用辅助圆模型；b. 当题目中出现动点到定点等于定长的情况时，可以考虑使用辅助圆模型；c. 当题目中出现直角所对的是直径的情况时，可以考虑使用辅助圆模型；d. 当题目中出现定弦对定角的情况时，可以考虑使用辅助圆模型。
三、例题讲解（15分钟）1. 讲解例题1：四点共圆的问题；2. 讲解例题2：动点到定点等于定长的问题；3. 讲解例题3：直角所对的是直径的问题；4. 讲解例题4：定弦对定角的问题。
四、课堂练习（15分钟）1. 布置练习题1：四点共圆的问题；2. 布置练习题2：动点到定点等于定长的问题；3. 布置练习题3：直角所对的是直径的问题；4. 布置练习题4：定弦对定角的问题。
五、总结与反思（5分钟）1. 让学生回顾本节课所学内容，总结辅助圆的概念和作用；2. 让学生分享自己在解题中运用辅助圆模型的经验和感受；3. 教师进行课堂小结，强调辅助圆模型在解题中的应用价值和技巧。
教学延伸：1. 引导学生进一步学习辅助圆模型的拓展应用；2. 鼓励学生参加数学竞赛和相关活动，提高解题能力。
【暑假自学课】2024年新九年级数学暑假提升精品(浙教版)08讲圆的基本概念(解析卷讲义)
第08讲圆的基本概念模块导航模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三教材习题学解题模块四核心考点精准练模块五小试牛刀过关测学习目标『1、 掌握圆的基本概念；2、 掌握点与圆的位置关系；3、 掌握三角形的外接圆概念；4、 掌握圆的确定条件；。
＞模块一思维导图串知识04点与圆的位置关系。
＞模块二基础知识全梳理-----------------------------1 .圆的定义1.在一个平面内，线段Q4绕它固定的一个端点。
旋转一周，另一个端点A 所形成的图形叫圆.这个固定的端点。
叫做圆心，线段Q4叫做半径.以。
点为圆心的圆记作。
0,读作圆0.注意：（1）圆指的是“圆周”，即一条封闭的曲残，而不是“圆面"o（2） “圆上的点"指的是圆周上的点，圆心不在圆周上。
（3） 确定一个圆需要两个要素:一是定点，即圆心；二是定长，即半径。
圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。
只有圆心和半径都确定了，圆才能被唯一确定。
2 •点和圆的位置关系点和圆的点到圆心的距离与半径的关系图示注意：(1)利用d 与,的数量关系可以判断点和圆的位置关系；同时，知道了点和圆的位置善长，也可以位置关系文字语言符号语言点在圆内圆内各点到圆心的距离都小于半径，到圆心的距离小于半径的点都在圆内点P 在圆内0』V尸点在圆上圆内各点到圆心的距离都等于半径，到圆心的距离等于半径的点都在圆上点F 在圆上= r点在圆外圆内各点到圆心的距离都大于半径，到圆心的距离大于半径的点都在圆外点F 在圆外＞ Y确定d 与,的数量关系。
(2) 符号读作“等价于”，它表示从符号的左端可以推出右端，从右端也可以推出左端。
(3) 弦、弧、圆心角1.连结圆上任意两点的线段叫做弦.经过圆心的弦叫做直径，直径是同一圆中最长的弦，直径等于半径的2倍.2. 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A 6为端点的弧记作金，读作弧AB.在同圆或等圆中，能够重合的弧叫做等弧.3. 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆.在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧.4. 从圆心到弦的距离叫做弦心距.5. 由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形.6. 顶点在圆心的角叫做圆心角.名称概念注意图示弦连接圆上任意两点的线段叫作弦，如右图中“弦AC "直径是圆中最长的弦不一定是直径C (py直径经过圆心的弦叫作直径，如右图中“直径AB V但弦不一定是直径弧、半圆、劣孤、优弧圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧。
辅助圆公开课教案
尝试1：如图所示，在凸四边形ABCD中，AB=BC=BD, ，
则 的度数为.
问题2：若Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，则△ABC的外接圆半径
为_____.
什么条件让你想到可以构造圆，可以构造圆的依据是什么？
(1)∠APB=；
(2)当E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径长；
(3)连结CP，CP长度的最小值为。
五、总结提升
1．数学方法：构造辅助圆
（1）当遇有公共端点的等线段长时，通常以公共端点为圆心，等线段长为半径，构造辅助圆.
（2）可以利用直径所对的圆周角是直角，以斜边为直径，构造辅助圆.
2.数学思想：转化思想
利用构造辅助圆解决分类讨论问题，可以很快找到符合条件的点，并可以将问题转化为圆中求线段、求角度的问题.
3.辅助线的构造可以是直线形，也可以是曲线形.
六、布置作业
课题：《构造辅助圆》（简案）
教学目标：1.进一步巩固圆的定义和性质，能够正确利用圆找到符合条件的点所在的位置；2.通过对例题条件和结论的分析，体会利用圆解决点的轨迹问题，进而掌握利用
作圆解决分类讨论问题的方法；
3.逐步建立从圆的观点看问题的意识，能够多角度认识事物，全面还原事物的本质.
教学重点：利用辅助圆解决有关问题
三、学以致用
问题3：如图，锐角△ABC中，BD、CE是高线，DG⊥CE于G， EF⊥BD于F。
四、拓展提升
问题4：如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E、F、G分别在边AB、AD、CD上，EG与BF交于点I，AE＝2，BF＝EG，DG>AE，则DI的最小值等于
最值系列之辅助圆
最值系列之辅助圆最值问题的必要条件是至少有一个动点，因为是动态问题，所以才会有最值．在将军饮马问题中，折点P就是那个必须存在的动点．并且它的运动轨迹是一条直线，解题策略就是作端点关于折点所在直线的对称即可．当然，动点的运动轨迹是可以变的，比如P点轨迹也可以是一个圆，就有了第二类最值问题——辅助圆．在这类题目中，题目很少直接告诉我们动点轨迹是个圆，也很少把这个圆画出来，因此，结合题目给的条件，分析出动点的轨迹图形，将是我们面临的最大的问题．若已经确定了动点的轨迹圆，接下来求最最值的问题就会变得简单了，比如：如下图，A为圆外一点，在圆上找一点P使得PA最小．当然，也存在耿直的题目直接告诉动点轨迹是个圆的，比如：【2017四川德阳】如图，已知圆C的半径为3，圆外一定点O满足OC=5，点P为圆C上一动点，经过点O 的直线l上有两点A、B，且OA=OB，∠APB=90°，l不经过点C，则AB的最小值为________．【分析】连接OP，根据△APB为直角三角形且O是斜边AB中点，可得OP是AB的一半，若AB最小，则OP最小即可．连接OC，与圆C交点即为所求点P，此时OP最小，AB也取到最小值．一、从圆的定义构造圆圆的定义：平面内到定点的距离等于定值的所有点构成的集合．构造思路：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧．【2014成都中考】如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A’MN，连接A’C，则A’C长度的最小值是__________．【分析】考虑△AMN沿MN所在直线翻折得到△A’MN，可得MA’=MA=1，所以A’轨迹是以M点为圆心，MA为半径的圆弧．连接CM，与圆的交点即为所求的A’，此时A’C的值最小．构造直角△MHC，勾股定理求CM，再减去A’M即可．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点F在边AC上，并且CF=2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是__________．【分析】考虑到将△FCE沿EF翻折得到△FPE，可得P点轨迹是以F点为圆心，FC为半径的圆弧．过F点作FH⊥AB，与圆的交点即为所求P点，此时点P到AB的距离最小．由相似先求FH，再减去FP，即可得到PH．如图，已知等边△ABC的边长为8，点P是AB边上的一个动点（与点A、B不重合）．直线l是经过点P的一条直线，把△ABC沿直线l折叠，点B的对应点是点B’．当PB=6时，在直线l变化过程中，求△ACB’面积的最大值．【分析】考虑l是经过点P的直线，且△ABC沿直线l折叠，所以B’轨迹是以点P为圆心，PB为半径的圆弧．考虑△ACB’面积最大，因为AC是定值，只需B’到AC距离最大即可．过P作作PH⊥AC 交AC于H点，与圆的交点即为所求B’点，先求HB’，再求面积．如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=8，P、Q分别是直线BC、AB上的两个动点，AE=2，△AEQ 沿EQ翻折形成△FEQ，连接PF、PD，则PF+PD的最小值是_________．【分析】F点轨迹是以E点为圆心，EA为半径的圆，作点D关于BC对称点D’，连接PD’，PF+PD化为PF+PD’．连接ED’，与圆的交点为所求F点，与BC交点为所求P点，勾股定理先求ED‘,再减去EF 即可．二、定边对直角知识回顾：直径所对的圆周角是直角．构造思路：一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧．图形释义：若AB是一条定线段，且∠APB=90°，则P点轨迹是以AB为直径的圆．【例题】已知正方形ABCD边长为2，E、F分别是BC、CD上的动点，且满足BE=CF，连接AE、BF，交点为P点，则PD的最小值为_________．【分析】由于E、F是动点，故P点也是动点，因而存在PD最小值这样的问题，那P点轨迹如何确定？考虑BE=CF，易证AE⊥BF，即在运动过程中，∠APB=90°，故P点轨迹是以AB为直径的圆．连接OC，与圆的交点即为P点，再通过勾股定理即可求出PC长度．思路概述：分析动点形成原理，通常“非直即圆”（不是直线就是圆），接下来可以寻找与动点相关有无定直线与定角．【2013武汉中考】如图，E、F是正方形ABCD的边AD上的两个动点，满足AE=DF，连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H，若正方形边长为2，则线段DH长度的最小值是________．【分析】根据条件可知：∠DAG=∠DCG=∠ABE，易证AG⊥BE，即∠AHB=90°，所以H点轨迹是以AB为直径的圆弧当D、H、O共线时，DH取到最小值，勾股定理可求．【2016安徽中考】如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值是_________．【分析】∵∠PBC+∠PBA=90°，∠PBC=∠PAB，∴∠PAB+∠PBA=90°，∴∠APB=90°，∴P点轨迹是以AB为直径的圆弧．当O、P、C共线时，CP取到最小值，勾股定理先求OC，再减去OP即可．【寻找定边】如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，AB=5，AC=4．D是弧BC上的一个动点，连接AD，过点C作CE⊥AD于E，连接BE．在点D移动的过程中，BE的最小值为．【分析】E是动点，E点由点C向AD作垂线得来，∠AEC=90°，且AC是一条定线段，所以E点轨迹是以AC为直径的圆弧．当B、E、M共线时，BE取到最小值．连接BC，勾股定理求BM，再减去EM即可．【寻找定边与直角】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=4，AC=10，点D是AC上的一个动点，以CD为直径作圆O，连接BD交圆O于点E，则AE的最小值为_________．【分析】连接CE，由于CD为直径，故∠CED=90°，考虑到CD是动线段，故可以将此题看成定线段CB对直角∠CEB．取CB中点M，所以E点轨迹是以M为圆心、CB为直径的圆弧．连接AM，与圆弧交点即为所求E点，此时AE值最小，=-==．AE AM EM22（2019苏州园区一模）如图，正方形ABCD的边长为4，动点E、F分别从点A、C同时出发，以相同的速度分别沿AB、CD向终点B、D移动，当点E到达点B时，运动停止，过点B作直线EF的垂线BG，垂足为点G，连接AG，则AG长的最小值为．【分析】首先考虑整个问题中的不变量，仅有AE=CF，BG⊥EF，但∠BGE所对的BE边是不确定的．重点放在AE=CF，可得EF必过正方形中心O点，连接BD，与EF交点即为O点．∠BGO为直角且BO边为定直线，故G点轨迹是以BO为直径的圆．记BO中点为M点，当A、G、M共线时，AG取到最小值，利用Rt△AOM勾股定理先求AM，再减去GM即可．【辅助圆+将军饮马】如图，正方形ABCD的边长是4，点E是AD边上一动点，连接BE，过点A作AF⊥BE于点F，点P是AD边上另一动点，则PC+PF的最小值为________．【分析】∠AFB=90°且AB是定线段，故F点轨迹是以AB中点O为圆心、AB为直径的圆．考虑PC+PF是折线段，作点C关于AD的对称点C’，化PC+PF为PC’+PF，当C’、P、F、O共线时，取到最小值．【辅助圆+相切】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AB=4，D是BC上一动点，CE⊥AD于E，EF⊥AB交BC于点F，则CF的最大值是_________．【分析】∠AEC=90°且AC为定值，故E点轨迹是以AC为直径的圆弧．考虑EF⊥AB，且E点在圆上，故当EF与圆相切的时候，CF取到最大值．连接OF，易证△OCF≌△OEF，∠COF=30°，故CF可求．三、定边对定角在“定边对直角”问题中，依据“直径所对的圆周角是直角”，关键性在于寻找定边、直角，而根据圆周角定理：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都相．定边必不可少，而直角则可一般为定角．例如，AB为定值，∠P为定角，则A点轨迹是一个圆．当然，∠P度数也是特殊角，比如30°、45°、60°、120°，下分别作对应的轨迹圆．若∠P=30°，以AB为边，同侧构造等边三角形AOB，O即为圆心．若∠P=45°，以AB为斜边，同侧构造等腰直角三角形AOB，O即为圆心．若∠P=60°，以AB为底，同侧构造顶角为120°的等腰三角形AOB，O即为圆心．若∠P=120°，以AB为底，异侧为边构造顶角为120°的等腰三角形AOB，O即为圆心．【例题】如图，等边△ABC边长为2，E、F分别是BC、CA上两个动点，且BE=CF，连接AE、BF，交点为P点，则CP的最小值为________．【分析】由BE=CF可推得△ABE≌△BCF，所以∠APF=60°，但∠APF所对的边AF是变化的．所以考虑∠APB=120°，其对边AB是定值．所以如图所示，P点轨迹是以点O为圆心的圆弧．（构造OA=OB且∠AOB=120°）当O、P、C共线时，可得CP的最小值，利用Rt△OBC勾股定理求得OC，再减去OP即可．【2017山东威海】如图，△ABC为等边三角形，AB=2，若P为△ABC内一动点，且满足∠PAB=∠ACP，则线段PB长度的最小值为_________．【分析】由∠PAB=∠ACP，可得∠APC=120°，后同上例题．【2019南京中考】在△ABC中，AB=4，∠C=60°，∠A>∠B，则BC的长的取值范围是________．【分析】先作图，如下条件不多，但已经很明显，AB是定值，∠C=60°，即定边对定角．故点C的轨迹是以点O 为圆心的圆弧．（作AO=BO且∠AOB=120°）题意要求∠A>∠B，即BC>AC，故点C的轨迹如下图．当BC为直径时，BC取到最大值，考虑∠A为△ABC中最大角，故BC为最长边，BC>AB=4．无最小值．【2019武汉中考】如图，AB是圆O的直径，M、N是弧AB（异于A、B）上两点，C是弧MN上一动点，∠ACB的角平分线交圆O于点D，∠BAC的平分线交CD于点E，当点C 从点M运动到点N时，则C、E两点的运动路径长的比是_______．【分析】分别考虑C、E两点的轨迹，C点轨迹上是弧MCN，其对应圆心角为∠MON，半径为OM（或ON）．再考虑E点轨迹，考虑到CE、AE都是角平分线，所以连接BE，BE平分∠ABC，可得：∠AEB=135°．考虑到∠AEB是定角，其对边AB是定线段，根据定边对定角，所以E点轨迹是个圆，考虑到∠ADB=90°，所以D点即为圆心，DA为半径．E点轨迹所对的圆心角为∠MDN，是∠MON的一半，所以C、E两点轨迹圆半径之比为1：根号2，圆心角之比为2:1，所以弧长比值为根号2．。
人教八年级物理下册培优讲义第8讲 浮力-船球模型.教师版
漫画释义知识互联网8浮力——船球模型模块一: 液面升降问题夯实基础【例1】如图所示, 大杯中盛有液体, 装有密度均匀小球的小杯漂浮在液面上, 如果将小球取出并投入液体中, 液体的液面一定( )A. 上升B. 下降C. 不变D. 下降或不变【答案】D【例2】水槽中放一个小铁盒, 铁盒中放少许细线和一个铝块, 铁盒漂浮在水面. 现用细线把铝块拴在铁盒下面, 铁盒仍漂浮在水面, 如图所示; 讨论此时水槽中的水位以及铁盒浸入水中的体积, 说法正确的是( )A. 水槽中水位不变, 铁盒浸入水中的体积变大B. 水槽中水位下降, 铁盒浸入水中的体积不变C. 水槽中水位上升, 铁盒浸入水中的体积不变D. 水槽中水位不变, 铁盒浸入水中的体积变小【答案】D模块二: 船球模型之测量密度模型一、测密度模型1、测质量模型(漂浮法)①mg=ρ液gS1(H2-H1) 条件: 外容器需直上直下②mg=ρ液gS2(h2-h1) 条件: 内容器需直上直下S22、测体积模型①排水法: V球=(H4-H3) S1②悬挂法: V球=(h3-h4) S2夯实基础【例3】有一底面积为S的圆柱形容器中装有适量的水, 有一平底小试管漂浮在水中, 此时液面的高度为H₁, 将一物块系在平底试管底部, 一起漂浮于水中, 此时液面高度为H₂, 剪断细线, 物块沉底, 此时液面高度为H₃, 则物块密度ρ=________________.【答案】 2131--H HH H ρ水【例4】 如图所示, 若h ₁、h ₂、h ₃已知, 大容器中装的液体是水, 已知小容器底面积S ₁, 则物块的密度为ρ=_____________________.【答案】 1323--h hh h ρ水【例5】 小华家里有一个金属球, 不知道是用何种金属制成的, 因此她决定用学过的物理知识测出金属球的密度. 由于身边没有测量质量的工具, 因此她找来了圆柱形容器、刻度尺和一个塑料小碗. 把圆柱形容器放在水平桌面上并在其中装入适量的水, 让塑料小碗漂浮在水面上, 此时容器内的水深为18cm. 当把金属球放入容器内的水中时, 容器内的水深为19.5cm, 如图甲所示. 现将金属球取出后放入塑料小碗中静止时, 如图乙所示. 乙图中的水面比甲图中的水面高3cm. 已知: 容器的内部底面积为400cm 2. 则金属球的密度是 kg/m 3.【答案】 3×103【例6】 圆柱形容器中装有适量的水, 将一只装有配重的薄壁长烧杯放入圆柱形容器的水中, 烧杯静止时容器中水的深度 H 1为20cm , 如图甲所示. 将金属块 A 吊在烧杯底部, 烧杯静止时露出水面的高度 h 1为 5cm , 容器中水的深度H 2为35cm , 如图乙所示. 将金属块A 放在烧杯中, 烧杯静止时露出水面的高度h 2为1cm , 如图丙所示. 已知圆柱形容器底面积为烧杯底面积的2倍. 则金属块A 的密度为________kg/m 3.【答案】 37.510⨯【例7】 如图所示, 柱形容器中装有密度为ρ1=1.2g/cm 3的某种液体, 将一金属块放入底面积为S =100cm 2的长方体塑料盒中, 塑料盒竖直漂浮在液面上, 且液体不会溢出容器, 其浸入液体的深度为h 1=20cm. 若把金属块从塑料盒中取出, 用细线系在塑料盒的下方, 放入该液体中, 塑料盒竖直漂浮在液面上, 且金属块不接触容器底, 塑料盒浸入液体的深度为h 2=15cm. 剪断细线, 金属块沉到容器底部, 塑料盒仍竖直漂浮在液面上, 其浸入液体的深度为h 3=10cm. 则金属块的密度ρ2= g/cm 3.【答案】 2.4【例8】 小明用装有适量水的薄壁小试管、螺母和细线制成一个测量小石块密度的装置. 将此装置放入水中静止时, 试管露出水面的高度h 1为5cm, 如图甲所示; 在试管中轻轻放入小石块, 此装置在水中静止时, 试管露出水面的高度h 2为2cm, 如图乙所示. 已知小石块放入试管前后, 试管中的液面差h 3为2cm. 则石块的密度为kg/m 3.【答案】 3×103液体压强变化量 F p g h S ρ∆∆=∆=浮液① 投球: 液体对槽底 1Np S ∆=能力提升h 2h 1甲 乙h 3模块三: 船球模型之液体压强变化量模型② 剪绳: 液体对槽底 56211()g h h S N p S S ρ-∆==液【例9】 如图所示, 在底面积为S 的圆柱形水池底部有一个金属球(球与池底没有密合) , 圆柱型的水槽漂浮在池内的水面上, 此时水槽受到的浮力为F 1. 若把金属球从水中捞出并放在水槽中漂浮在水池中, 此时水槽受到的浮力为F 2, 捞起金属球前、后水池底受到水的压强变化量为p , 水的密度为ρ水. 根据上述条件可以求出 ( )A. 金属球受的重力为F 2 –F 1–pSB. 金属球被捞起前受的浮力为F 2 –F 1C. 金属球被捞起前、后水槽底受水的压力减小了pSD. 金属球被捞起前、后水槽排开水的体积增大了gF F 水ρ12- 【答案】 D【例10】 如图所示, 将一个木块投入装有液体的水槽中, 处于漂浮状态, 现用大小为4N 的力竖直向下压, 此时液体对水槽底部压强增大了400Pa . 又找来一个金属块用细线挂在木块的下面, 这时液面深度为20cm ; 剪断细线, 金属块下沉, 稳定后液面深度降低为16cm , 金属块对水槽底部压力大小为3.2N, 求: 剪断后, 液体对水槽底部压强减少了多少? 液体密度为多少? (10N/kg g =)能力提升【答案】 320Pa ; 330.810kg/m ⨯【例11】 一冰块内冰封一合金物体, 将其放入盛有适量水, 底面积为2100cm 的烧杯内, 正好悬浮在水中, 此时烧杯内的水对烧杯底的压强增加了460Pa ; 当冰完全熔化后, 水对烧杯底的压强又变化了44Pa . 忽略烧杯内水的体积所受温度的影响, 当冰完全熔化后, 烧杯底对合金物体的支持力是 N. (冰的密度为30.9g /cm , 取10N /kg g =) .【答案】 0.44【例12】 如图所示, 底面积为200cm 2的容器底部有一固定轻质弹簧, 弹簧上方连有一边长为10cm 的正方体木块A, 当容器中水深为20cm 时, 木块A 有25的体积浸在水中, 此时弹簧恰好处于自然状态, 没有发生形变. 向容器内缓慢加水, 当弹簧伸长了1cm 时停止加水, 此时弹簧对木块拉力为1N. 加水前后容器底部受到水的压强变化了 Pa. (不计弹簧受到的浮力, g 取10N/kg)【答案】 200 【例13】 如图所示, 将挂在弹簧测力计下端高为8cm 、横截面积为100cm 2的柱形物块缓慢放入底面积为500cm 2的圆柱形容器内的水中. 当物块直立静止时, 物块浸入水中深度为2cm, 弹簧测力计的示数为8N, 水对容器底部的压强为1.2×103Pa. 现向容器中加水, 当弹簧测力计的示数为5N 时, 注入水的质量为m , 水对容器底部的压强为p , 柱形物块受到的浮力为F . 已知弹簧测力计的称量范围为0~10N, 刻度盘上0~10N 刻度线之间的长度为10cm. 若g 取10N/kg, 则下列说法中正确的是( ) A. 柱形物块所受重力大小为8N B. 柱形物块受到的浮力F 大小为3N C. 水对容器底部的压强p 为1.8×103Pa D. 向容器中注入水的质量m 为3.0kg【答案】 C能力提升模块四: 含有弹簧的浮力问题A【例14】 实验桌上有如图所示的下列器材, 请你利用这些器材, 测出小金属块的密度． 写出实验步骤（用字母表示测出的物理量, 水的密度用ρ水表示）及金属块的密度表达式．实验步骤：(1) 让小容器漂浮在水槽中的水面上, 量出这时水面到槽边沿的距离h 1.(2) 量出 , 量出这时水面到槽上边沿的距离h 2. (3) 将金属块从小容器中取出用细线系住没入槽内水中, 量出这时水面到槽上边沿的距 离h 3. 金属块密度的表达式 ρ金属 =【答案】 (2) 将小金属块放入漂浮在水面上的小容器内(3)1213h h h h ρ--水【例15】 爱好科技的小刚自己制作了一条小木船, 船上带有金属船锚, 船舷上表明了三种情况的排水量.(1) 将锚放在船舱里, 当船静止在水槽中时观察对应的排水量为1m ;(2) 用细线拴住船锚, 悬挂在船下方的水中且完全浸没, 观察对应的排水量为2m , 此时水槽中的水面将 ; (选填“升高”、“降低”或“不变”) .(3) 把细线放得更长些, 直至线松了, 锚沉在盆底, 记下此时对应的排水量为3m 于是利用这些排水量测出了船锚的密度. 则锚的密度ρ= .【答案】 不变;1312m m m m --ρ水【例16】 实验桌上有如下器材: 细长平底试管一支(已知底面积为S )、小汤匙一个、抹布一块、刻度尺一把、大水槽一个(水槽的深度大于平底试管的高度)、足量的水、足量的细沙子、天平及配套砝码. 要求从实验桌上选择适当的器材, 设计一个实验证明: 在同种液体中,能力提升刻度尺 装有适量水的圆柱形水槽 小容器 小金属块 细线模块五: 实验固体所受的浮力大小跟排开液体的体积成正比. 要求: 写出主要的实验步骤并设计记录实验数据的表格.【答案】(1) 把天平放在水平桌面上, 调节天平平衡; (有此项给1分, 没有扣1分).(2) 用刻度尺测出试管的长度L并记录;(3) 用药匙取适量的细沙装入试管, 用天平测出细沙和试管的总质量m1; 再将试管放入盛有水的水槽中, 使试管竖直漂浮在水面上静止, 用刻度尺测出试管露出水面的高度h1; 将m1、h1记录在表格内.(4) 用抹布擦干试管, 用药匙再取适量的细沙装入试管, 用天平测出细沙和试管的总质量m2; 再将试管放入盛有水的水槽中, 使试管竖直漂浮在水面上静止, 用刻度尺测出试管露出水面的高度h2; 将m2、h2记录在表格内.(5) 仿照步骤(4)再做4次实验, 测出细沙和试管的总质量m3、m4、m5、m6; 测出每次试管露出水面的高度h3、h4、h5、h6, 并将数值记录在表格内.(6) 计算出每次试管浸入水中的深度(L-h)和排开水的体积V排=(L-h)S; 将数据记录在表管内.(7) 根据物体漂浮时F浮＝G物=m g, 可知试管每次漂浮时所受的浮力F浮.(8) 分析F浮和试管排开水的体积V排确定两者的关系.S＝【拓1】 如图所示, 在盛有某种液体的圆柱形容器内放有一木块A, 在木块的下方用轻质细线悬挂一体积与之相同的金属块B, 金属块B 浸没在液体内, 而木块漂浮在液面上, 液面正好与容器口相齐. 某瞬间细线突然断开, 待稳定后液面下降了h 1; 然后取出金 属块B, 液面又下降了h 2; 最后取出木块A, 液面又下降了h 3. 则木块A 与金属块B 的密度之比为 .【答案】213h h h (模块二: 船球模型之测量密度模型)【拓2】 一个底面积为50 cm 2的烧杯装有某种液体, 将一个木块放入烧杯的液体中, 木块静止时液体深h 1=10cm, 如图甲所示; 把一个小石块放在木块上, 液体深h 2=16cm, 如图乙所示; 若将小石块放入液体中, 液体深h 3=12cm, 如图丙所示, 石块对杯底的压力F=1.6N. 则小石块的密度ρ石为 kg/m 3.(g 取10N/kg)【答案】 2.4×103 (模块二: 船球模型之测量密度模型)【拓3】 一根轻质小弹簧原长10厘米, 两端分别连接在容器底部和物体A 上, 将水逐渐注入容器, 当物体的一半浸入水中时, 弹簧长12cm, 如图(a) 所示. 把水倒出, 改用密度为 0.8×103kg/m 3的油注入容器, 当物体A 全部浸入油中时, 弹簧长15cm, 如图(b) 所示. 前后两种情况下物体受到的浮力之比为_________; 物体A 的密度为_________kg/m 3.【答案】 5:8 0.3×103 (模块三: 含有弹簧的浮力问题)思维拓展训练 (选讲)【练1】 船上载着许多钢材, 此时甲板离水面的高度为1h ; 把这些钢材都放在水中用绳悬挂于船下, 此时甲板离水面的高度为2h , 则1h 与2h 相比较 ( )A. 12h h =B. 12h h <C. 12h h >D. 无法比较【答案】 C【练2】 如图所示, 将物块投入漂浮于水面的小烧杯中, 小烧杯杯底距液面高度h 1为25cm; 将物块取出后系在烧杯底并静止后, 小烧杯杯底距液面高度变为h 2大小为20 cm; 剪断细绳后物块掉入杯底, 此时小烧杯底距水面距离变为h 3大小为5cm; 则物块的密度为 .【答案】 4×103kg/m 3【练3】 小芳同学在实验室测量某种液体的密度. 实验桌上的器材有: 一把刻度尺、一个厚底平底试管(试管壁厚度不计) 和一个装有适量水的水槽.⑴ 她的测量步骤如下:① 将厚底平底试管放入水槽内水中, 试管竖直漂浮在水面上. 用刻度尺测出试管底到水槽中水面的高度h 1, 如图甲所示;② 将适量的待测液体倒入试管中, 试管仍能竖直漂浮在水面上. 用刻度尺测出试管底到水槽中水面的高度h 2和试管内液柱的高度h 3, 如图乙所示.⑵ 请你帮助小芳写出计算待测液体密度的表达式ρ液＝液液V m ＝⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽.【答案】 213h h h ρ-水【练4】 如图所示, 质量为540g 的凹形铝槽, 放入底面积为100cm 2的圆柱形容器中的液体中, 铝槽浮在液面上, 槽口恰好与液面相平, 这时液面上升了 2.7cm. 若使铝槽沉入液体中, 则沉入前后液体对容器底部的压强变化△p ＝ Pa. 实战演练(已知ρ铝＝2.7×103 kg/m3 , g＝10N/kg)【答案】140【练5】如图所示, 用质量不计、长度为10cm的弹簧将正方体物块下表面与底面积为150cm2的圆柱形容器底部相连, 正方体物块竖直立于圆柱形容器内, 且不与容器壁接触, 弹簧的长度缩短为2cm; 现向容器内部倒入水, 当物块有1/5的体积露出水面时, 弹簧的长度又恢复到原长; 现继续向容器内倒入0.2kg的水后(水不溢出), 容器底部所受水的压强为__________Pa. 已知: 弹簧的长度每改变1cm时, 所受力的变化量为1N, 取g=10N/kg.【答案】2000怀丙和尚捞铁牛公元前287年, 秦国在今永济县蒲州架设了一座浮桥, 为黄河上有史以来最早的浮桥. 到唐开元十二年（公元724年）两岸各铸造了四个大铁牛, 用以索制连舰千艘的铁链, 稳定河桥. 此后, 两岸交通便利, 商贾往来频繁, 潞盐秦运远销的车辆络绎不绝. 故历史上盛赞说：“天下有三桥, 蒲津是第一. ”宋时有一年, 蒲津桥被百年不遇的特大洪水冲毁. 入地丈余的八大铁牛不仅被拉出了地面, 还被拖到水中. 秦晋交通中断, 行旅受阻. 可是, 怎样才能把这几千斤的笨重铁牛捞上来呢？宋朝官吏无计可施, 便贴出榜文, 招募人材. 只要谁能把大铁牛捞上来, 赏黄金万两.相传河北正定有个出身贫苦家庭的和尚, 名叫怀丙, 既乐于助人, 且聪明多智. 当他看到榜文, 便急忙赶到蒲津渡. 到了河边, 他找了两只船, 将船上装满沙土, 把一根大木头搁在两只船上, 成为“廾”字式样. 然后用一根很粗的绳索, 一头绑在大木头两端, 一头拴住铁牛. 之后, 把船上沙土御掉. 随着沙土的减少, 船逐渐浮高, 铁牛便一步一步地被拉了上来.捞出了铁牛, 修复了浮桥, 两岸人民欢聚桥上, 祝贺怀丙和尚. 同时, 两岸的官府各派差役找怀丙和尚领赏. 可是, 桥头、桥上都不见怀丙和尚的踪影. 欢庆的人们纷纷奔上桥头, 准备分头去找, 却发现铁牛上贴着一张纸条, 上写道：“不为黄金万两, 单求民众方便”. 宋王闻知此事后, 大开皇恩, “诏赐炳紫衣”以示嘉奖.。
中考数学备考课件：辅助圆问题 (共19张PPT)
BM C
∴△ABM≌△BCN(SAS)
∴ BAM CBN
∵ ABP CBN 90o ∴ ABP BAM 90o ∴ APB 90o ∴点 P 在以 AB 为直径的圆上
运动,设圆心为 O,连接 OC 交⊙O 于 P,此时 PC 最小 ∵ AB 4 ∴ OP OB 2
A
D
O
N
P B MC
解:∵ AB AC AD 2
E
∴点 B,C,D 在以点 A 为圆心, 半径为 2 的圆上延长 BA 交 D ⊙A 于 E,连接 DE
∵AB∥CD ∴ EBD BDC
A
B
C
∵ DE DE , BC BC ∴ EAD 2EBD ,
BAC 2BDC
∴ EAD BAC
E
A
B
∴ ED BC 1
小值为 BC sin B 3 3
∴DE 长的最小值为
3 2
PC
3 2
3
3
9 2
.
类型二 定点 定长模型 方法与技巧 常见图形中共顶点的多条线段相等,可考虑利用到 定点的距离等于定长推导共圆,再利用圆有关性质 解决问题.
3.如图,在四边形 ABCD 中, AB AC AD 2 , BC 1,AB∥CD.求 BD 的长.
由勾股定理,得 OC OB2 BC2 2 5
∴ PC OC OP 2 5 2
∴PC 长的最小值为 2 5 2 .
2.如图,在 Rt△ ABC 中, ACB 90o , AB 5,
cos
B
4 5
,⊙A
与边
BC
交于点
C,过
A
作
DE∥BC,
交⊙A 于点 D,E,点 F 在 DC 上,连接 EF,过 A 作
暑期备课笔记-初三数学第8讲：圆的有关概念 (教师版)
第八讲圆的有关概念一、圆的相关概念1、圆的定义（1）描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，其中固定端点O叫做圆心，OA叫做半径．（2）集合性定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，顶点叫做圆心，定长叫做半径．（3）圆的表示方法：通常用符号⊙表示圆，定义中以O为圆心，OA为半径的圆记作”⊙“，读作”圆O“．O（4）同圆、同心圆、等圆：圆心相同且半径相等的圆叫同圆；圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；能够重合的两个圆叫做等圆．注意：注意：同圆或等圆的半径相等．2、弦和弧弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦．直径：经过圆心的弦叫做圆的直径，直径等于半径的2倍．弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距．弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A B 、为端点的圆弧记作AB ，读作弧AB ．等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆．优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．二、圆的基本性质（图十四） （图十五） （图十六）1、 圆的对称性：（1）圆是中心对称图形：将圆绕圆心旋转180º能与自身重合，因此它是中心对称图形，它的对称中心是圆心。
（2）圆是轴对称图形：经圆心任意画一条直线，并沿直线将圆对折，直线两旁的部分能够完成重合，所以圆是轴对称图形。
每一条直径所在的的直线都是它的对称轴，所以圆有无数条对称轴。
（圆的对称轴不是直径，而是直径所在的直线）2、垂径定理及其推论（1） 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
如图十四，CD 是⊙O 的直径，AB 是弦，CD ⊥AB,垂足为E,则AE=EB, ⌒AD = ⌒DB ，⌒AC = ⌒BC 。
（2） 平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
北师大版九年级下册数学添加辅助圆,让动点有迹可寻——《圆》回顾思考拓展(共28张PPT)
寻点 抓本质特征，添辅助圆
探究二：如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是
△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP
长的最小值为
.
O M
寻点：OC与圆的交点M即为CP最小时点P的位置
求解 抓本质特征，添辅助圆
探究二：如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是
显形：以A为圆心，AD长为半径作圆
寻点 添加辅助圆，动点显形
演练一：如图，在矩形ABCD中，AD=5，AB=8，点E为DC边 上的一个动点，把△ADE沿AE折叠，当点D的对应点刚好D 落在矩形ABCD的对称轴上时，则DE的长为___ .
寻点：矩形的两条对称轴与圆的交点，即为符合条件 的点。
求解 结合其他模型，进行求解
△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP
长的最小值为
.
∵∠ABC=90° ，
BC=4,OB=3
∴OC=5
∴CM=OC-r
O
=5-3
M
=2
∴CP最小值为2
显形 抓本质特征，添辅助圆
探究一：如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90∘,AC=4,BC=6,点D是边BC的中点,点E是边AB上的任意一点(点E不与点B重合)，沿DE翻折△DBE使点B落在点F处，连接AF，则线段AF长的最小
2、直径所对的圆周角是90°；
AF长的最小值为___ 显形：以AB为直径作圆
∵∠C=90°， AC=4,CD=3
.
探究一：如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90∘,AC=4,BC=6,点D是边BC的中点,点E是边AB上的任意一点(点E不与点B重合)，沿DE翻折△DBE使点B落在点F处，连接AF，则线段AF长的最小
初中几何关于动点运动的辅助圆的构造技巧讲解
Part 4
课程总结
圆周角定理： 直径所对的圆周角为90°，90°的圆周角所对的弦是直径
下次课见
对应练习
如图,Rt△ABC中,∠ACB=90∘,∠CAB=60∘，AB=4，点P是BC边上的动点，过点c作 直线AP的垂线，垂足为Q，当点P从点C运动到点B时，点Q的运动路径长为___.
Q
常 见 构 造 情 景（2）正方形中的十字
已知正方形ABCD,点EF分别为 BC,CD上的动点，连接AF,BF交 于点G，AE=BF。
AA''
A
AA
NN
CC C
BBB N
对应练习
如图,在Rt△ABC中,∠B=60∘,BC=3,D为BC边上的三等分点,BD=2CD,E为AB 边上一动点,将△DBE沿DE折叠到△DB′E的位置,连接AB′,则线段AB′的最小值 为：___.
对应练习
（桂林中考题）如图，正方形OABC的边长为2，以O为圆心，EF为直径的半圆经过 点A，连接AE，CF相交于点P，将正方形OABC从OA与OF重合的位置开始，绕着点
2.如何构造辅助圆？ 先找运动的直角， 再找直角所对的固定边
常 见 构 造 情 景（1）图中已知垂直
已知正方形ABCD，点G为对角线BD 上的一动点，连接AG，过点B作 BH⊥直线AG于点H。
则点H的轨迹为：以AB为直径的圆上 的一段弧AB
经典例题
如图,正方形ABCD的边长是2,点P从点D出发沿DB向点B运动,至点B停止运动,连接 AP,过点B作BH垂直于直线AP于点H,在点P运动过程中,点H所走过的路径长是( )
动的一个动点，连接EF，将△AEF沿EF折叠，点A落在点G处，在运动的过程中， 点G运动的路径长为：
三年级秋季班第8讲-一位数除法进阶-教师版
三位数被一位数整除【教学目标】1. 掌握并正确计算三位数被一位数除的除法问题，体验算法的多样性。
2. 能正确计算商中间和末尾有“0”的除法。
3. 会用除法竖式进行简单的运算。
4. 能通过“商⨯除数+余数=被除数”来检验除法计算的正确性。
【教学重点】1. 掌握并正确计算三位数被一位数除的除法问题，体验算法的多样性。
2. 能通过“商⨯除数+余数=被除数”来检验除法计算的正确性。
【教学难点】1.会用除法竖式进行简单的运算。
2. 能通过“商⨯除数+余数=被除数”来检验除法计算的正确性。
【教学过程】情景导入：昂立智立方宝乐汇小区乔迁一季度之际，校区为58位老师买了2万元的交通意外险，请问校区为每一位老师买了多少钱的保险？一、分拆法计算1、若遇到三位数被一位数除，被除数最高位的数比除数大时，可以先把被除数分成几个数（除数的倍数）再分别用它们去除以算式中的一位数，最后把几个算式的结果相加的出得数。
2.若遇到三位数被一位数除，被除数最高位的数比除数小时，以先把被除数分成2个数（除数的倍数），再分别用它们去除以算式中的一位数，最后把几个算式的结果相加的出得数。
【例1】 ?7867=÷分析：一个三位数867可以拆分成 867 = 700 +140 + 27 61237867ΛΛ=÷ 1007700=÷ 207140=÷ 63727ΛΛ=÷【例2】?9568=÷分析：把568 分拆成540 和 28 1 63 9 568 139********ΛΛΛΛ=÷⇓⎭⎬⎫=÷=÷1、直接写出得数8160÷= 20 6300÷= 5 9981÷= 109220 ÷ 22 = 10 855 ÷ 5 =171 442 ÷ 2 = 221 2、把597本图书平均分给4个班级，每个班级分到几本？还剩几本书？ 597 ÷ 4 = ? 因为：400 ÷ 4 = 100 160 ÷ 4 =40 37 ÷ 4 = 9 (1)所以：598 ÷ 4 = 149...1 答：每个班级能分到__149___本，还剩下__1___本。
辅助圆——精选推荐
在某些数学习题中，借助辅助圆解（证）题是比较生疏的一种解题方法，但同时又是一种行之有效的解题方法。
解（证）平面几何题，最棘手的莫过于添加辅助线。
常用添辅助线的方法，有连结、延长、平移或旋转，这些都是对直线而言的。
至于利用辅助圆解（证）平面几何题，虽远不如直线那么为人所熟知，但如果辅助圆添加合理，同样可以使分散的条件集中，隐蔽的条件明显；同样为沟通条件与结论之间的内在联系而起到事半功倍的作用；同样可以沟通数学知识之间的 联系。
因此，在平时的学习中，将已知条件、欲求的结论以及所给图形的特点三个方面去认真分析、思考，即可发现，适当添加辅助圆，并利用圆的有关性质以及定理，就能巧妙地找到解题问题的途径。
也就是说，辅助圆有时在解（证）题中起着“搭桥铺路”的作用。
圆就是到定点的距离等于定长的点的集合。
已知条件给出共同端点的几条线段相等，由圆的定义，便可以以共同的端点为圆心，以等线段的长为半径，引出辅助圆，而后利用圆的有关性质解决问题。
例1已知：在⊿ABC 中，AB=AC,且∠A=120°,在BC 另一侧有一点P ，满足 ∠BPC=120°，求PA 的长例2：如图1，AB=AC=AD,如果∠DAC 是∠CAB 的K 倍（K 为实数）。
求：∠DBC 是∠BDC 的多少倍？例3，已知△ABC 中,∠B=2∠C.求证:AC BC AB AB ⋅+=22.例4 如图4，在Rt ABC ∆中，∠=︒C 90，∠C 平分线CE 与斜边的垂直平分线DE 交于E 。
求证：CD=DE 。
例5 如图6，在∆ABC 中，AB AC ==3，D 是BC 上的一点，且AD =1，求BD DC ·的值。
例6 如图7，在∆ABC 中，∠=∠B C 2。
求证：AC<2AB 。
省时省力的辅助圆
２０２２年７月下半月㊀解法探究㊀㊀㊀㊀省时省力的辅助圆◉山东省滕州市滕南中学㊀郭效萍１引言圆是初中阶段学习的重要图形,它的一些性质,例如,同弧所对的圆周角相等,半圆所对的圆周角是直角,直径是圆中最长的弦等,给解决问题带来极大的方便．在解答有关几何问题时,并不是图形中出现圆才利用圆的性质,有时需要构造一个辅助圆,然后利用圆的性质解答,这是解决几何问题的基本方法之一．２利用圆的集合定义构造辅助圆从集合的角度定义:圆是平面内到定点距离等于定长的点的集合．根据这个定义可以得到,当几个点到同一点的距离相等时,则这几点一定在同一个圆上．这样构造辅助圆,解答时不仅能利用题中的已知条件,而且可以利用圆的一些性质．例１㊀如图１,在四边形A B C D 中,A B ＝A C ＝A D ,若øB AC ＝２５ʎ,øC AD ＝７５ʎ,分别求øB D C 和øD B C 的度数．图１㊀㊀㊀图２解法１:(普通方法)ȵA B ＝A C ＝A D ,ʑøA D B ＝øA B D ,㊀øA C B ＝øA B C ,㊀øA D C ＝øA C D ．ȵøB A C ＝２５ʎ,øC A D ＝７５ʎ,ʑøA C B ＝(１８０ʎ－２５ʎ)ː２＝７７．５ʎ,㊀øD A B ＝øD A C ＋øC A B ＝１００ʎ,㊀øA D C ＝øA C D ＝(１８０ʎ－７５ʎ)ː２＝５２．５ʎ．ʑøA D B ＝(１８０ʎ－１００ʎ)ː２＝４０ʎ．ʑøB D C ＝øA D C －øA D B＝５２．５ʎ－４０ʎ＝１２．５ʎ,㊀øD C B ＝øD C A ＋øA C B＝５２．５ʎ＋７７．５ʎ＝１３０ʎ．ʑøD B C ＝１８０ʎ－øD C B －øB D C＝１８０ʎ－１３０ʎ－１２．５ʎ＝３７．５ʎ．解法２:(构造辅助圆的方法)由A B ＝A C ＝A D ,得点B ,C ,D 在以A 为圆心,以A D 为半径的圆上,如图２．由øB A C ＝２５ʎ,得øB D C ＝１２øB A C ＝１２．５ʎ．由øC A D ＝７５ʎ,得øD B C ＝１２øC A D ＝３７．５ʎ．点评:比较上面两种方法可以发现,构造辅助圆后,解决过程明显简洁．这里主要利用了圆周角定理及其推论:同弧所对的圆周角相等,等弧所对的圆周角也相等．这是因为这些圆周角都等于它所对的圆心角的一半．３利用圆周角定理的推论构造辅助圆因为９０ʎ的圆周角所对的弦是直径,所以当直角三角形的斜边一定时,直角顶点一定在以斜边为直径的圆上运动．此时构造辅助圆,可以确定直角顶点的运动轨迹．例２㊀如图３所示,矩形A B C G (A B ＜B C )与矩形C D E F 全等,点B ,C ,D 在一条直线上,øA P E 的顶点P 在线段B D 上移动,使得øA P E 为直角的点P 的个数是．图３㊀㊀㊀图４解析:如图４所示,根据９０ʎ的圆周角所对的弦是直径,当øA P E 为直角时,点P 应在以A E 为直径的☉O 上．又因为点B ,C ,D 在同一条直线上,øA P E的顶点P 在线段B D 上移动,所以点P 就是☉O 与B D 的交点．由图４可知,B D 与☉O 有２个交点．故答案为:２．点评:本题确定点的方法使用的是交轨法,即从每一个条件出发确定一个点的轨迹,两个点的轨迹的交点就是符合题意的点．本题两个点的轨迹分别是一条直线和一个圆．４利用一个角对定线段所张的角度为定值构造辅助圆㊀㊀当一个角对固定长度的线段所张开的角度为定值时,角的顶点的运动轨迹为一个圆,此时可以作辅助圆,这条定线段为辅助圆的弦,这个角为圆周角．此时可以利用圆的相关性质解答问题．例３㊀如图５,点A 与点B 的坐标分别是(１,０),(５,０),点P 是该直角坐标系内的一个动点．(１)使øA P B ＝３０ʎ的点P 有个．(２)若点P 在y 轴上,且øA P B ＝３０ʎ,求满足条件的点P 的坐标．５７Copyright ©博看网. All Rights Reserved.解法探究２０２２年７月下半月㊀㊀㊀(３)当点P 在y 轴上移动时,øA P B 是否有最大值?若有,求点P 的坐标,并说明此时øA P B 最大的理由;若没有,请说明理由．图５㊀㊀㊀图６解析:(１)如图６,以A B 为边,在第一象限内作等边三角形A B C ,以点C 为圆心,A C 为半径作☉C ,交y 轴于点P １,P ２．在优弧A P １B 上任取一点P ,则øA P B ＝１２øA C B ＝１２ˑ６０ʎ＝３０ʎ．所以使øA P B ＝３０ʎ的点P 有无数个．(２)①当点P 在y 轴的正半轴上时,过点C 作C G ʅA B ,垂足为点G ,如图６．由点A (１,０),B (５,０),得O A ＝１,O B ＝５,则A B ＝４．由点C 为圆心,C G ʅA B ,得A G ＝B G ＝１２A B ＝２．则O G ＝O A ＋A G ＝３．由әA B C 是等边三角形,得A C ＝B C ＝A B ＝４．则C G ＝A C ２－A G ２＝４２－２２＝２３．于是点C 的坐标为(３,２３)．过点C 作C D 垂直于y 轴,垂足为点D ,连接C P ２,如图６．由点C (３,２３),得C D ＝３,O D ＝２３．由点P １,P ２是☉C 与y 轴的交点,得øA P １B ＝øA P ２B ＝３０ʎ．由C P ２＝C A ＝４,C D ＝３,得D P ２＝４２－３２＝７．由点C 为圆心,C D ʅP １P ２,得P １D ＝P ２D ＝７,从而P ２(０,２３－７),P １(０,２３＋７)．②当点P 在y 轴的负半轴上时,同理可得:点P ３(０,－２３－７),P ４(０,－２３＋７)．综上所述,满足条件的点P 的坐标为(０,２３－７),(０,２３＋７),(０,－２３－７),(０,－２３＋７)．图７(３)如图７,当过点A ,B 的☉E 与y 轴相切于点P 时,øA P B 最大．理由:可证øA P B ＝øA E H ,当øA P B 最大时,øA E H 最大．由s i n øA E H ＝２A E知,当A E最小即P E 最小时,øA E H 最大．所以当圆与y 轴相切时,øA P B 最大．①当点P 在y 轴的正半轴上时,连接E A ,作E H ʅx 轴,垂足为点H ,如图７．由☉E 与y 轴相切于点P ,得P E ʅO P ．由E H ʅA B ,O P ʅO H ,得øE P O ＝øP O H ＝øE H O ＝９０ʎ．则四边形O P E H 是矩形,O P ＝E H ,P E ＝O H ＝３,得E A ＝３．由øE HA ＝９０ʎ,AH ＝２,E A ＝３,得E H ＝E A ２－AH ２＝３２－２２＝５,则O P ＝５,则点P (０,５)．②当点P 在y 轴的负半轴上时也符合题意,此时点P (０,－５)．综上所述,存在满足条件的点P ,其坐标为(０,５),(０,－５)．点评:解答第(３)小题时,体现了转化的思想,即由øA P B 转化为øA E H ,由øA E H 转化为２A E,由２A E转化为A E ,再由A E 转化为P E ,由P E 转化为直线与圆相切．５利用作辅助圆求最值圆外一定点与圆上各点连接而成的所有线段中,有一条最短线段和最长线段,这两条线段都在过圆心与圆外一点的直线上,如图８所示,最长线段是P A ,最短线段是P B ．利用这一点,可以求与圆有关的线段的最值．图８㊀图９㊀图１０例４㊀如图９,R t әA B C 中,A B ʅB C ,A B ＝６,B C ＝４,P 是әA B C 内部的一个动点,且满足øP A B ＝øP B C ,则线段C P 长的最小值为．解析:如图１０,由øA B C ＝９０ʎ,得øA B P ＋øP B C ＝９０ʎ．又øP A B ＝øP B C ,则øB A P ＋øA B P ＝９０ʎ,即øA P B ＝９０ʎ,则点P 在以A B 为直径的☉O 上．连接O C 交☉O 于点P ,此时P C 最小．在R t әB C O 中,øO B C ＝９０ʎ,B C ＝４,O B ＝３,则O C ＝O B ２＋B C ２＝５,P C ＝O C －O P ＝５－３＝２．因此P C 的最小值为２．点评:几何中求最值的情况包括:(１)利用轴对称求线段和的最小值;(２)利用勾股定理求曲面上或不同平面上两点之间的最短距离;(３)利用三角形相似解决系数不为１的线段和最小值问题;(４)利用直径是圆中最长的弦解决与圆有关的线段的最值．几何问题中作辅助线的方法比较多,如作垂线㊁平行线㊁连接㊁延长㊁倍长中线㊁旋转三角形等,但作辅助圆这种作铺助线的方法容易被忽略．上述四个实例分别从四个不同的角度阐释了在什么情况下需要作辅助圆,如何作辅助圆,作辅助圆后如何利用辅助圆,以期对学生突破几何学习有所帮助．W６７Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
北师大实验中学---辅助圆
辅助圆（1）专题一：触发隐圆模型的类型（1）动点定长模型若P为动点，但AB=AC=AP原理：圆A中，AB=AC=AP则B、C、P三点共圆，A圆心，AB半径备注：常转全等或相似证明出定长（2）直角圆周角模型固定线段AB所对动角∠C恒为90° 原理：圆O中，圆周角为90°所对弦是直径则A、B、C三点共圆，AB为直径备注：常通过互余转换等证明出动角恒为直角（3）定弦定角模型固定线段AB所对动角∠P为定值原理：弦AB所对同侧圆周角恒相等则点P运动轨迹为过A、B、P三点的圆备注：点P在优弧、劣弧上运动皆可（4）四点共圆模型①若动角∠A+动角∠C=180° 原理：圆内接四边形对角互补则A、B、C、D四点共圆备注：点A与点C在线段AB异侧（5）四点共圆模型②固定线段AB 所对同侧动角∠P=∠C 原理：弦AB 所对同侧圆周角恒相等 则A 、B 、C 、P 四点共圆 备注：点P 与点C 需在线段AB 同侧四点共圆模型应用1. 如图，在四边形ABCD 中，连接AC ，BD ，∠BAD=∠BCD=90°，∠BDC=25°，则∠BAC 的度数等于_______________.2. 如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，O 为 AC 的中点，过点O 作OE ⊥OF ，OE 、OF 分别交AB 、BC 于点E 、F ，则EF 的最小值等于_______________.3. 如图，在△ABC 中，三条高AD 、BE 、CF 相交于点H ，连接DE 、DF ，若∠BAC=64°，则∠EDF的度数等于_______________.4. 如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，将△ABC 绕点A 顺时针旋转一个角度得到△ADE ，连接BE 、CD ，延长CD 交BE 于点F ，求证：BF=EF.第1题 第2题 第3题 第4题5. 如图，在△ABC 中，AC=BC ，点O 为底边AB 中点，点D 为AC 腰上一点，连接BD ，过点C 作CE ⊥BD ，垂足为点E ，连接EO.求证：∠OEB=12∠ACB.6. 如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠CAD=90°，点E 在边AB 上，CE ⊥DE 。
第8课时 辅助圆
(例3)第8课时 辅助圆【知识概述】1. 在处理平面几何中的许多问题时，常需要借助于圆的性质，使得问题可以更快更简洁地解决．而当我们需要的圆并没有出现在图形中，这就需要我们利用已知条件，把需要的实际存在的隐形的圆找出来，这个圆我们通常叫做” 辅助圆” .2. 构造辅助圆常见的基本图形如下：（1）一些点和一定点等距，则这些点共圆，定点为圆心； （2）同底同侧张角相等的两个三角形顶点共圆；（3）对角互补或其一个外角等于其内对角的四边形内接于圆；（4）两条线段被同一点内分（外分）成的两段乘积相等，则这两条线段的四个顶点共圆； （5）对边乘积的和等于对角线的积的四边形内接于圆；（6）到平面上两定点距离之比为不等于1的定值的点轨迹是一个圆（阿氏圆）；（7）同底同侧的两个三角形张角存在2倍关系，且张角较大的三角形是以该张角为顶角的等腰三角形，则较小张角的顶点在是以较大张角的顶点为圆心腰长为半径的圆上. 【例题求解】例1 如图，四边形ABCD ，AB ∥CD ，且AB =AC =AD =a ，BC =b ，则sin ∠DBA 的值为 .思路点拨：作出以点A 为圆心、半径为a 的圆例2 平面内有四个点A ，O ，B ，C ，其中∠AOB =120°，∠ACB =60°，AO =BO =2，则满足题意的OC 长度为整数的值可以是 .例3 如图，在中，90BAC ∠=︒，ACn AB=，AD BC ⊥于点，点是边上的中点，连结BO 交于，OE OB ⊥交BC 边于点E ，则OFOE的值为 . 思路点拨：连结DO ，EF ，证明△EOF ∽△CAB ， 进一步可发现 E ，D ，F ，O 四点共圆.Rt ABC △D O AC ADF (例1)例4 如图，在△ABC 中，AB =AC ，任意延长CA 到P ，再延长AB 到Q ，使AP =BQ ，求证：△ABC 的外心O 与A ，P ，Q 四点共圆．思路点拨：先作出△ABC 的外心O ，连结PO 、OQ ，将问题转化为证明角相等．例5 如图，P 是⊙O 外一点，P A 切⊙O 于A ，PBC 是⊙O 的割线，AD ⊥PO 于点D ．求证：PB PCBD CD=．思路点拨：因所证比例线段不能通过判定△PBD 与△PCD 相似证明．由P A 2=PD ·PO =PB ·PC 得B 、C 、O 、D 四点共圆，这样连OB ，OC ，就得多对相似三角形，以此达到证明的目的．例6 如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC，BC =，点D 是AC 边上一动点，连结BD ，以AD 为直径的圆交BD 于点E ，则线段CE 长度的最小值为 .思路点拨：寻找点E 运动的轨迹是解决问题的关键(例4)(例5)(例6)【配套练习】1．如图，锐角△ABC 三边上的高线分别为AD ，BE ，CF ， H 为垂心，则由点A 、B 、C 、D 、E 、F 、H 中某四点可以确定的圆共有 个.2．如图，OA =OB =OC ，且∠AOB =k ∠BOC ，则∠ACB 是∠BAC 的 倍.3．如图，AD 、BE 是锐角三角形的两条高线，S △ABC = 18，S △DEC =2，则cos C = .4. 如图，若P A =PB ，∠APB =2∠ACB ，AC 与PB 交于点D ，且PB =5，PD =3，则AD ·DC = .5．如图，正方形ABCD 的中心为O ，边长为26，P 为正方形内一点，且∠OPB =45°，若P A ：PB =5：12，则PB 的长为 ． 6. 在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =10，BC =12，点D 为线段BC 上一动点，以CD 为直径画⊙O ，连结AD 交⊙O 于点E ，连结BE ，则BE 的最小值为 ．7. 如图，等边△ABC 边长为2，E 、F 分别是BC 、CA 上两个动点，且BE =CF ，连结AE 、BF ，交点为P 点，则CP 的最小值为________；当∠C PE =∠PBC 时，则CP 的值为________.8. 如图，直线AB 和AC 与⊙O 分别相切于B 、C ，P 为圆上一点，PD ⊥AB ，PE ⊥AC ，PF ⊥BC ，垂足分别为D ，E ，F ，若PD =4cm ，PE =6cm ，则PF = cm ．(第8题)(第7题)(第1题)(第2题)C(第3题)(第5题)(第4题)(第6题)9. 如图，△ABC 中，∠ABC =60°，BD 平分∠ABC ，且∠ADC =120°． 求证：AD =DC ．10. 如图，AD 、BC 为过圆的直径AB 两端点的弦，且BD 与AC 相交于E .求证：2AC AE BD BE AB ⋅+⋅=.11. 如图，在△ABC 中，AB =8，AC =10，D 为△ABC 内一点，满足∠ADC =90°，∠ABD =∠ACD .设E 是BC 的中点，求DE 的长.(第9题）(第10题）(第11题）12. 如图，在△ABC 中，高线BE 、CF 相交于点H ，且∠BHC =135°，G 为△ABC 内的一点，且GB =GC ，∠BGC ＝3∠A ，连结HG ，求证：HG 平分∠BHF ．13. 已知，如图，AD 是是△ABC 的角平分线，2AD BD CD =⋅. 求ACCD的值14. 如图，AB ,CD 是⊙O 中两条互相垂直的直径，点F 为OA 中点，连结CF 并延长交⊙O 于点E ，连结BE 、AD 交于点H . 求证：HA=HD(第12题）CBD(第13题）AB(第14题）第8课时 辅助圆参考答案例12ba=． 例2 如图1，∵∠AOB =120°，∠ACB =60°，∴∠ACB =12∠AOB，∵OA =OB =2，∴点C 在半径为2的⊙O 上，且在优弧AB上．∴OC =OA =OB =2；如图2，∵∠AOB =120°，∠ACB =60°，∴∠AOB +∠ACB =180°，∴四个点A ，O ，B ，C 共圆．设这四点都在⊙M 上． 点C 在优弧AB 上运动．连结OM 、AM 、AB 、MB ．∵∠ACB =60°，∴∠AMB =2∠ACB =120°．∵AO =BO =2， ∴∠AMO =∠BMO =60°．又∵MA =MO ，∴△AMO 是等边三角形，∴MA =AO =2，∴MA ＜OC ≤2MA ，即2＜OC ≤4， ∴OC 可以取整数3和4．综上所述，OC 可以取整数2，3，4．例3 连结DO ，EF ，∵∠FDE +∠FOE =180°，∴E ，D ，F ，O 四点共圆，∴∠OFE =∠ODC ，∵OE OB ⊥ ，OD =OC ，∴∠ODC =∠C ，∴∠OFE =∠C ，又∵90BAC FOE ∠=∠=︒，∴△EOF ∽△CAB ，∴OF OE ＝ACAB =n ．例4例5例6 【练习】 1．6 2．k 1 3． 31 4． 16 5．24 6．8 7． 1 8．9．∵∠ABC +∠ADC =60°+120°=180°，∴A ，B ，C ，D 四点共圆，∴∠ABD =∠ACD ，∠DBC =∠DAC ，∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD =∠DBC ．∴∠ACD =∠DAC ． ∴AD =DC ，10．如图，过点E 作EF ⊥AB 于点F ，∴∠EFB ＝90º， 又∵AB 为直径，∴∠C =90º，∴E ，F ，B ，C 四点共圆，∴ AE ·AC =AF ·AB ① ，同理可证BE ·BD =BF ·AB ②，+②得，AE ·AC +BE ·BD =AF ·AB +BF ·AB =AB（AF +BF）=AB 2． 11．如图，延长CD 至点F ，使得DF =CD ，连结BF ，∵E 是BC 的中点，∴DE 是△BCF 的中位线． ∴DE =12BF ．∵DF =CD ，且AD ⊥CF ，∴AD 垂直平分CF ，∴AC =AF =10．∴∠ACD =∠AFD ． 又∵∠ABD =∠ACD ，∴∠ABD =∠AFD ．∴A ，D ，B ，F 四点共圆，∴∠ABF =∠ADF =90°．∴在Rt △ABF 中，BF 6． ∴DE =12BF =3．12．∵BE 、CF 为高线，∠BHC =135°，∴∠A =45°，∴∠BGC =3∠A =135°，∴∠BGC =∠BHC ，∴B ，G ，H ，C 四点共圆，∴∠BCG =∠GHB ，而GB =GC ，∠BHC =135°，得∠BCG =22．5°，∴∠GHB =22．5°，而∠BHF =45°，∴HG 平分∠BHF ．例4例2图1例2图2 练10练11练14 练13 C13．作△ABC 的外接圆⊙O ，延长AD 交⊙O 于点E ，连结CE ，则AD DE BD CD ⋅=⋅，又2AD BD CD =⋅，∴=AD DE ，∵∠BCE =∠BAE =∠EAC ，又∠E =∠E ，∴AC AECD EC == 14．连结AE ，HF ，∵AG ，CD 是⊙O 的两条直径，弦AB ⊥CD 于点P ，∴ BD ︵=AD ︵=CG ︵ ，∴DG ︵=BC ︵，∴∠GAD =∠CEB ，∴A ，E ，H ，F 四点共圆．∴∠EFH =∠EAH =∠ECD ．∴FH ∥CD ，∴AH HD ＝AFFO＝1 ，∴A.H=HD ．。
数学：24.2.1《圆的补充内容---辅助圆 》课件(人教版九年级上)
1、在同圆 或等圆中，同弧或等弧 所对的圆心 角 相等 .
2、在同圆或等圆中同弧或等弧所 对的圆周角 相等 ，都等于这
条弧所对的圆心角的 一半 .
3、圆的内接四边形对角 互补
∠∠弧AAA=+B∠∠=B弧C==C1D80∠1°O ； ∠ABC+∠A∠ODB==12∠80CO°D
任何一个 外角 等于 它的内对角.
（2）若AC= 8 2 ，你都能求出哪些线段的长度
（3）求S△BDC
B
60°30°
B D
45°
G 45°
A 30°
OE
60° C
A
45°45°
D
O
C
09—10上学期
海淀期末24题
两个常见的四点共圆的基本图形
• 在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为线段BC上一 动点，连结AD，以AD为一边且在AD的右侧作 正方形ADEF，如果AB≠AC，∠BAC≠90°。
∠EBC= ∠D
例1 、（09年武汉）如图，已知O是四边形ABCD 内一点，OA=OB=OC ，，求∠DAO+ ∠D79C0O°的大 小.
B
B
A
O
A
C
D
C O
D
当△ABC中∠ ACB= 合除外）.
，CF⊥BC（ห้องสมุดไป่ตู้C、F重
A 45° F
45°
B
D
C
E
09年丰台 一模23题
本节课我收获了 ……
思考
B
B D
O
C
A
O
C
D
当两个有公共边的三角形不是直角三 角形时，四个顶点能否在同一个圆上
新的数学方法和概念， 常常比解决数学问题 本身更重要
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第8
讲 辅助圆进阶
一、特殊角求面积最值
典题精练
例题1
答案解析
【问题解决】
西安咸阳国际机场是中国八大区域枢纽机场之一、国际定期航班机场、世界前百位主要机场．随着西安经济的快速发展，西安经济开发区决定在西安咸阳国际机场旁边建设一个含物流、参观、购物、休闲等设施的多功能区，多功能区其平面示意图为如图所示的四边形
，其中
，
，
，
．多功能区的设计者想在区中找一点，使
得点与点、点、点、点所连接的线段将整个功能区分成四个区域，用来进行不同的设计与规划，从实用和美观的角度他们还要求在
的区域内
，且
的区域面
积最小，试问在四边形内是否存在这样的点，使得且
的面积最小？若存
在，请你在图中画出点的位置，并求出的最小面积．若不存在，请说明理由．
．
存在．以为边作等边，作
的外接圆，则满足在
上方，
，
要使得
面积最小则
边上的高最小．过圆心作
，交
边于交⊙于点，此时
，且
面积最小．
标注
圆>与圆有关的位置关系>圆中证明与计算>题型：圆内接四边形综合
过作交于点．
又∵，
∴．
又∵，∴，
∴，
，
∴，∴四边形是平行四边形，．
过作于，∵，
，∴
，
，∴．∵，∴．在中，，
，
∴．
又∵，∴
，，
∴
．
例题2
如图③，有一矩形板材，米，米，现想从此板材中裁出一个面积尽可能大
的四边形
部件，使
，
米，
，经研究，只有当点、、分别在边、
、
上，且
，并满足点在矩形
内部或边上时，才有
可能裁出符合要求的部件，试问能否裁得符合要求的面积尽可能大的四边形部件？若
能，求出裁得的四边形
部件的面积；若不能，请说明理由．
答案
解析存在符合条件的，坐标或．
存在满足条件的点，
作的外接圆⊙，连接，，，，当的面积最大时，且时，
点与点重合，此时为符合条件的点，
连接，
∵，
∴，
∴，
在中，
，
在中，
，
∴，
∴，
∴点在直线上，
设直线与轴交于点，则，∵，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
又点关于轴的对称点也符合题意，∴存在符合条件的，坐标或．
典题精练
1
已知如图，平面直角坐标系中，
函数>平面直角坐标系>坐标系综合两圆均与轴相切，切点为、显然对于轴上除两切点外的任意一点均有
、
已知点为的一边上一定点，且，则当
达到最大值时
2如图，作
于．
∵点是定点，是定长，∴当
垂直平分线段
时，
3
如图，在菱形
例题
5
答案解析
如图，直线与轴交于点，与轴交于点．抛物线经过、两
点，与轴的另一个交点为．
求抛物线的解析式．
(1)点是第一象限抛物线上的点，连接
交直线
于点．设点的横坐标为，与
的比值为，求与的函数关系式，并求出与
的比值的最大值．
(2)点是抛物线对称轴上的一动点，连接
、
，设
外接圆的圆心为，当
的值最大时，求点的坐标．
(3)．(1)，．
(2)或
．(3)
在
中，令
，得
，令
，得
，
∴点、，把
、代入
，得：
，
解得：
，
∴抛物线解析式为
．(1)
标注
函数>
二次函数>二次函数与几何综合>题型：二次函数与动点问题
如图，过点作轴的平行线交
于点，
则，∴，∵，，
∴，
∵、
，
则，∴，
∵，∴当时，
最大值
，
∴
与
的比值的最大值为．
(2)由抛物线
易求
，对称轴为直线
，
∵的外心为点，
∴点在的垂直平分线上，
设
的垂直平分线与交于点，连接
、
、
，
则，
，
∴，
又，∴当取最小值时，最大，
此时
与直线
相切，
，
，
∴点
，
根据对称性，另一点也符合题意．
综上所述，点的坐标为
或
．
(3)
三、数学万花筒
鸟蛋趣闻
鸟蛋，包括鸡蛋，鸭蛋，鹅蛋，形状类似，但大小各不相同。
鸵鸟蛋，是世界上现存的最大的鸟蛋。
一只鸵鸟蛋有15～20厘米长，1.65～1.76公斤重，一只鸵鸟蛋等于33～35个鸡蛋那么重。
鸵鸟蛋的蛋壳很厚，有2.5毫米，因此非常牢固。
一个94公斤重的大胖子站到这个鸵鸟蛋上，也不会把它压破。
由于蛋壳太厚，而且蛋又太大，如果放在水里煮的话，得花40分钟才能煮熟。
平常我们总认为麻雀是很小的飞禽，可是最大的蜂鸟，还不及中等麻雀大，而最小的蜂鸟只有麻雀的十分之一。
蜂鸟下的蛋只有豌豆那么大，重量只有0.2克，它是鸟蛋中最小的一种蛋。
250个蜂鸟蛋才底得上一个鸡蛋重，8500个蜂鸟蛋才底得上一个鸵鸟蛋。
你经常吃鸡蛋，恐怕没有研究过鸡蛋能不能直立的问题。
日本有一对父子对竖蛋问题研究了五十年，居然发现了其中的一些规律。
粗看蛋壳，似乎是光滑的，用手仔细抚摸蛋壳面，就会发现蛋壳表面是凹凸不平的。
若在放大镜下观察，可看到蛋壳上有绵延起伏的“山岭”。
“岭”的高度约为0.03毫米，顶点之间相距0.5至0.8毫米。
如果蛋壳表面有三个“山岭”，这三个山岭构成一个三角形，且这个鸡蛋的重心又落在这个边长为0.5至0.8毫米的三角形内，这个鸡蛋就可以直立起来。
鸡蛋的这个竖立特性是符合几何性质的。
在几何中有这样一条性质：过不在一直线上的三点可以确定一个平面。
蛋面上这三个凸点可构成一个三角形，三顶点不在一直线上，所以过这三点可确定一个平面。
因为重心落在三角形内部，根据重心性质，鸡蛋就能比较平稳地站立了。
据试验，一般说来，刚生下来的蛋不易竖立，过四天至一星期后，就比较容易竖立了。
但日子过长，竖立又变得困难。
另据我国天津大学申泮文教授试验，鸡蛋下头朝下更容易立得稳。
我们知道象牙是非常珍贵的物品。
前几年，日本科学家在研究人造象牙方面取得了可喜的进展，而这里面蛋壳起了很大的作用。
据统计，从1979到1986年，全世界的象牙贸易量是600～1160吨，价格为每公斤60～260美元。
在这些血迹斑斑的数字背后，我们可以看到偷猎者冒烟的枪口和一具具惨不忍睹的大象甚至是幼象的尸体。
世界上大象的命运不但引起了动物保护者的密切关注，也牵动着千百万世人
的心弦。
正因为如此，人造象牙的研究就更具有重要的现实意义。
日本人用蛋壳、牛奶作原料，二氧化钛作添加剂，制成了与真象牙难辨真伪的代用品。
从而填补了世界市场对象牙的需求。
据悉，日本从1989年9月起，已开始禁止进口象牙。
在不到两年的时间里，日本全国象牙仿制品的使用量已达130吨，其中80吨是用来制作琴键和印章的。
这种新型的象牙代用品有着广阔的市场。