第8讲 辅助圆进阶(教师版)

第8

讲 辅助圆进阶

一、特殊角求面积最值

典题精练

例题1

答案解析

【问题解决】

西安咸阳国际机场是中国八大区域枢纽机场之一、国际定期航班机场、世界前百位主要机场．随着西安经济的快速发展，西安经济开发区决定在西安咸阳国际机场旁边建设一个含物流、参观、购物、休闲等设施的多功能区，多功能区其平面示意图为如图所示的四边形

，其中

，

，

，

．多功能区的设计者想在区中找一点，使

得点与点、点、点、点所连接的线段将整个功能区分成四个区域，用来进行不同的设计与规划，从实用和美观的角度他们还要求在

的区域内

，且

的区域面

积最小，试问在四边形内是否存在这样的点，使得且

的面积最小？若存

在，请你在图中画出点的位置，并求出的最小面积．若不存在，请说明理由．

．

存在．以为边作等边，作

的外接圆，则满足在

上方，

，

要使得

面积最小则

边上的高最小．过圆心作

，交

边于交⊙于点，此时

，且

面积最小．

标注

圆>与圆有关的位置关系>圆中证明与计算>题型：圆内接四边形综合

过作交于点．

又∵，

∴．

又∵，∴，

∴，

，

∴，∴四边形是平行四边形，．

过作于，∵，

，∴

，

，∴．∵，∴．在中，，

，

∴．

又∵，∴

，，

∴

．

例题2

如图③，有一矩形板材，米，米，现想从此板材中裁出一个面积尽可能大

的四边形

部件，使

，

米，

，经研究，只有当点、、分别在边、

、

上，且

，并满足点在矩形

内部或边上时，才有

可能裁出符合要求的部件，试问能否裁得符合要求的面积尽可能大的四边形部件？若

能，求出裁得的四边形

部件的面积；若不能，请说明理由．

答案

解析存在符合条件的，坐标或．

存在满足条件的点，

作的外接圆⊙，连接，，，，当的面积最大时，且时，

点与点重合，此时为符合条件的点，

连接，

∵，

∴，

∴，

在中，

，

在中，

，

∴，

∴，

∴点在直线上，

设直线与轴交于点，则，∵，，

∴，

∴，

在中，，

∴，

又点关于轴的对称点也符合题意，∴存在符合条件的，坐标或．

典题精练

1

已知如图，平面直角坐标系中，

函数>平面直角坐标系>坐标系综合两圆均与轴相切，切点为、显然对于轴上除两切点外的任意一点均有

、

已知点为的一边上一定点，且，则当

达到最大值时

2如图，作

于．

∵点是定点，是定长，∴当

垂直平分线段

时，

3

如图，在菱形

例题

5

答案解析

如图，直线与轴交于点，与轴交于点．抛物线经过、两

点，与轴的另一个交点为．

求抛物线的解析式．

(1)点是第一象限抛物线上的点，连接

交直线

于点．设点的横坐标为，与

的比值为，求与的函数关系式，并求出与

的比值的最大值．

(2)点是抛物线对称轴上的一动点，连接

、

，设

外接圆的圆心为，当

的值最大时，求点的坐标．

(3)．(1)，．

(2)或

．(3)

在

中，令

，得

，令

，得

，

∴点、，把

、代入

，得：

，

解得：

，

∴抛物线解析式为

．(1)

标注

函数>

二次函数>二次函数与几何综合>题型：二次函数与动点问题

如图，过点作轴的平行线交

于点，

则，∴，∵，，

∴，

∵、

，

则，∴，

∵，∴当时，

最大值

，

∴

与

的比值的最大值为．

(2)由抛物线

易求

，对称轴为直线

，

∵的外心为点，

∴点在的垂直平分线上，

设

的垂直平分线与交于点，连接

、

、

，

则，

，

∴，

又，∴当取最小值时，最大，

此时

与直线

相切，

，

，

∴点

，

根据对称性，另一点也符合题意．

综上所述，点的坐标为

或

．

(3)

三、数学万花筒

鸟蛋趣闻

鸟蛋，包括鸡蛋，鸭蛋，鹅蛋，形状类似，但大小各不相同。

鸵鸟蛋，是世界上现存的最大的鸟蛋。一只鸵鸟蛋有15～20厘米长，1.65～1.76公斤重，一只鸵鸟蛋等于33～35个鸡蛋那么重。鸵鸟蛋的蛋壳很厚，有2.5毫米，因此非常牢固。一个94公斤重的大胖子站到这个鸵鸟蛋上，也不会把它压破。由于蛋壳太厚，而且蛋又太大，如果放在水里煮的话，得花40分钟才能煮熟。

平常我们总认为麻雀是很小的飞禽，可是最大的蜂鸟，还不及中等麻雀大，而最小的蜂鸟只有麻雀的十分之一。蜂鸟下的蛋只有豌豆那么大，重量只有0.2克，它是鸟蛋中最小的一种蛋。250个蜂鸟蛋才底得上一个鸡蛋重，8500个蜂鸟蛋才底得上一个鸵鸟蛋。

你经常吃鸡蛋，恐怕没有研究过鸡蛋能不能直立的问题。日本有一对父子对竖蛋问题研究了五十年，居然发现了其中的一些规律。粗看蛋壳，似乎是光滑的，用手仔细抚摸蛋壳面，就会发现蛋壳表面是凹凸不平的。若在放大镜下观察，可看到蛋壳上有绵延起伏的“山岭”。“岭”的高度约为0.03毫米，顶点之间相距0.5至0.8毫米。如果蛋壳表面有三个“山岭”，这三个山岭构成一个三角形，且这个鸡蛋的重心又落在这个边长为0.5至0.8毫米的三角形内，这个鸡蛋就可以直立起来。鸡蛋的这个竖立特性是符合几何性质的。在几何中有这样一条性质：过不在一直线上的三点可以确定一个平面。蛋面上这三个凸点可构成一个三角形，三顶点不在一直线上，所以过这三点可确定一个平面。因为重心落在三角形内部，根据重心性质，鸡蛋就能比较平稳地站立了。据试验，一般说来，刚生下来的蛋不易竖立，过四天至一星期后，就比较容易竖立了。但日子过长，竖立又变得困难。另据我国天津大学申泮文教授试验，鸡蛋下头朝下更容易立得稳。

我们知道象牙是非常珍贵的物品。前几年，日本科学家在研究人造象牙方面取得了可喜的进展，而这里面蛋壳起了很大的作用。据统计，从1979到1986年，全世界的象牙贸易量是600～1160吨，价格为每公斤60～260美元。在这些血迹斑斑的数字背后，我们可以看到偷猎者冒烟的枪口和一具具惨不忍睹的大象甚至是幼象的尸体。世界上大象的命运不但引起了动物保护者的密切关注，也牵动着千百万世人