北师大八年级上勾股定理综合应用题汇总
勾股定理中的常考问题(6种类型48道)—2024学年八年级数学上册(解析版)
勾股定理中的常考问题6种类型48道【类型一用勾股定理解决折叠问题】1．如图，将长方形ABCD沿着AE折叠，点D落在BC边上的点F处，已知AB=8，BC=10，则EC的长为（）A．4B．3C．5D．2【答案】B【分析】长方形ABCD沿着AE折叠，得AD=AF=BC=10，EF=ED，根据勾股定理得BF=6，则CF=4，设EC=x，ED=8−x，根据勾股定理得EF2=EC2+CF2，即可解得EC的长．【详解】解：∵四边形ABCD是长方形，∴AD=BC=10，DC=AB=8，∵长方形ABCD沿着AE折叠，∴AD=AF=BC=10，EF=ED，∴BF=√AF2−AB2=√100−64=6，CF=BC−BF=4，设EC=x，ED=8−x，∴EF2=EC2+CF2，即(8−x)2=x2+42，解得x=3，所以EC=3，故选：B．【点睛】本题主要考查了图形折叠以及勾股定理等知识内容，掌握图形折叠的性质是解题的关键．2．如图，有一块直角三角形纸片，∠C=90°，AC=4，BC=3，将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，则BD的长为（）【答案】C【分析】利用勾股定理求得AB=5，由折叠的性质可得AB=AE=5，DB=DE，求得CE=1，设DB=DE=x，则CD=3−x，根据勾股定理可得12+(3−x)2=x2，进而求解即可．【详解】解：∵∠C=90°，AC=4，BC=3，∴AB=√32+42=5，由折叠的性质得，AB=AE=5，DB=DE，∴CE=1，设DB=DE=x，则CD=3−x，在Rt△CED中，12+(3−x)2=x2，，解得x=53故选：C．【点睛】本题考查勾股定理、折叠的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．【答案】B【分析】根据图形翻折变换的性质可知，AE=BE，设AE=x，则BE=x，CE=8−x，再Rt△BCE中利用勾股定理即可求出CE的长度．【详解】解：∵△ADE翻折后与△BDE完全重合，∴AE=BE，设AE=x，则BE=x，CE=8−x，∵在Rt△BCE中，CE2=BE2−BC2，即(8−x)2=x2−62，解得，x=7，4．∴CE=74故选：B【点睛】本题考查了图形的翻折变换，解题中应注意折叠是一种对称变换，属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．4．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，AC=5，AD为∠BAC的平分线，将△DAC沿AD向上翻折得到△DAE，使点E在射线AB上，则DE的长为（）【答案】B【分析】根据勾股定理求得BC，进而根据折叠的性质可得AE=AC，可得BE=2，设DE=x，表示出BD,DE，进而在Rt△BDE【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，AC=5，∴BC=√AC2−AB2=√52−32=4，∵将△DAC沿AD向上翻折得到△DAE，使点E在射线AB上，∴AE=AC，设DE=x，则DC=DE=x,BD=BC−CD=4−x，BE=AE−AB=5−3=2，在Rt△BDE中，BD2+BE2=DE2，即(4−x)2+22=x2，解得：x=52，即DE的长为52故选：B．【点睛】本题考查了勾股定理与折叠问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键．5．如图，矩形纸片ABCD的边AB长为4，将这张纸片沿EF折叠，使点C与点A重合，已知折痕EF长为2√5，则BC长为（）A．4.8B．6.4C．8D．10【答案】C【分析】过点F作FG⊥BC于点G，则四边形ABGF是矩形，从而FG=AB=4，在Rt△EFG中，利用勾股定理求得EG=√EF2−FG2=√(2√5)2−42=2．设BE=x，则BG=BE+EG=x+2．由∠AFE=∠CEF=∠AEF 得到AE=AF=BG=x+2，从而在Rt△ABE中，有AB2+BE2=AE2，代入即可解得x的值，从而得到BE，CE的长，即可得到BC．【详解】过点F作FG⊥BC于点G∵在矩形ABCD中，∠DAB=∠B=90°∴四边形ABGF是矩形∴FG=AB=4∴在Rt△EFG中，EG=√EF2−FG2=√(2√5)2−42=2设BE=x，则BG=BE+EG=x+2∵在矩形ABCD中，BC∥AD∴∠AFE=∠CEF由折叠得∠CEF=∠AEF∴AE=AF∵在矩形ABGF中，AF=BG=x+2∴AE=AF=x+2∵在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2∴42+x2=(x+2)2解得x=3即BE=3，AE=5∴由折叠可得CE=AE=5∴BC=BE+EC=3+5=8故选：C【点睛】本题考查矩形的性质，勾股定理的应用，利用勾股定理构造方程是解决折叠问题的常用方法．A．7B．136【答案】B【分析】根据题意可得AD=AB=2，∠B=∠ADB，CE=DE，∠C=∠CDE，可得∠ADE=90°，继而设AE=x，则CE=DE=3−x，根据勾股定理即可求解．【详解】解：∵沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处，∴AD=AB=2，∠B=∠ADB，∵折叠纸片，使点C与点D重合，∴CE=DE，∠C=∠CDE，∵∠BAC=90°，∴∠B+∠C=90°，∴∠ADB+∠CDE=90°，∴AD2+DE2=AE2，设AE=x，则CE=DE=3−x，∴22+(3−x)2=x2，，解得x=136即AE=13，6故选：B【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，掌握折叠的性质以及勾股定理是解题的关键．7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，将边BC沿CE翻折，点B落在点F处，连接CF交AB于点D，则FD的最大值为（）【答案】D【分析】根据将边BC沿CE翻折，点B落在点F处，可得FD=CF−CD=4−CD，即知当CD最小时，FD最大，此时CD⊥AB，用面积法求出CD，即可得到答案．【详解】解：如图：∵将边BC沿CE翻折，点B落在点F处，∴CF=BC=4，∴FD=CF−CD=4−CD，当CD最小时，FD最大，此时CD⊥AB，∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，∴AB=√AC2+BC2=√32+42=5，∵2S△ABC=AC⋅BC=AB⋅CD，∴CD=AC⋅BCAB =3×45=125，∴FD=CF−CD=4−125=85，故选：D．【点睛】本题考查直角三角形中的翻折问题，涉及勾股定理及应用，解题的关键是掌握翻折的性质．A．73B．154【答案】B【分析】先求出BD=2，由折叠的性质可得DN=CN，则BN=8−DN，利用勾股定理建立方程DN2= (8−DN)2+4，解方程即可得到答案．【详解】解：∵D是AB中点，AB=4，∴AD=BD=2，∵将Rt△ABC折叠，使点C与AB的中点D重合，∴DN=CN，∴BN=BC−CN=8−DN，在Rt△DBN中，由勾股定理得DN2=BN2+DB2，∴DN2=(8−DN)2+4，∴DN=17，4，∴BN=BC−CN=154故选：B．【点睛】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，正确理解题意利用方程的思想求解是解题的关键．【类型二杯中吸管问题】9．如图，有一个透明的直圆柱状的玻璃杯，现测得内径为5cm，高为12cm，今有一支15cm的吸管任意斜放于杯中，若不考虑吸管的粗细，则吸管露出杯口外的长度最少为（）A．1cm B．2cm C．3cm D．不能确定【答案】B【分析】吸管露出杯口外的长度最少，即在杯内最长，可用勾股定理解答．【详解】解∶∵CD=5cm,AD=12cm，∴AC=√CD2+AD2=√52+122，露出杯口外的长度为=15−13=2(cm)．故答案为：B．【点睛】本题考查勾股定理的应用，所述问题是一个生活中常见的问题，与勾股定理巧妙结合，可培养同学们解决实际问题的能力．10．如图，一支笔放到圆柱形笔筒中，笔筒内部底面直径是9cm，内壁高12cm．若这支笔长18cm，则这支笔在笔筒外面部分的长度是()A．6cm B．5cm C．3cm D．2cm【分析】根据勾股定理求得AC的长，进而即可求解．【详解】解：根据题意可得图形：AB=12cm，BC=9cm，在Rt△ABC中：AC=√AB2+BC2=√122+92=15(cm)，所以18−15=3(cm)．则这只铅笔在笔筒外面部分长度为3cm．故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．11．如图，一支笔放到圆柱形笔筒中，笔筒内部底面直径是9cm，内壁高12cm．若这支笔长18cm，则这支笔在笔筒外面部分的长度是（）A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm【答案】D【分析】首先根据题意画出图形，利用勾股定理计算出AC的长度．然后求其差．【详解】解：根据题意可得：AB BC=9cm，在Rt△ABC中∶AC=√AB2+BC2=√122+92=15(cm)，所以18−15=3(cm),则这只铅笔在笔筒外面部分长度为3cm．故选：D．【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出笔筒内铅笔的最短长度是解决问题的关键．12．将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度ℎcm，则ℎ的取值范围是（）A．ℎ≤17cm B．ℎ≥16cm C．5cm<ℎ≤16cm D．7cm<ℎ≤16cm【分析】根据勾股定理及直径为最大直角边时即可得到最小值，当筷子垂直于底面时即可得到最大值即可得到答案；【详解】解：由题意可得，当筷子垂直于底面时ℎ的值最大，ℎmax=24−8=16cm，当直径为直角边时ℎ的值最小，根据勾股定理可得，ℎmin=24−√82+152=7cm，∴7cm<ℎ≤16cm，故选D．【点睛】本题考查勾股定理的运用，解题的关键是找到最大与最小距离的情况．13．将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度ℎcm，则ℎ的取值范围是（）A．ℎ≤17cm B．ℎ≥16cm C．5cm<ℎ≤16cm D．7cm≤ℎ≤16cm【答案】D【分析】如图，当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短；当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长．然后分别利用已知条件根据勾股定理即可求出的取值范围．【详解】解：如图1所示，当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长，=24−8=16cm，∴ℎ最大如图2所示，当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短，在Rt△ABD中，AD=15cm，BD=8cm，∴AB=√AD2+BD2=17cm，=24−17=7cm，∴此时ℎ最小∴的取值范围是7cm≤h≤16cm．故选：D．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，明确题意，准确构造直角三角形是解题的关键．A．5B．7C．12D．13【答案】A【分析】根据勾股定理求出h的最短距离，进而可得出结论．【详解】解：如图，当吸管、底面直径、杯子的高恰好构成直角三角形时，h最短，此时AB=√92+122=15（cm），故ℎ＝20−15＝5（cm）；最短故选：A．【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．15．如图，某同学在做物理实验时，将一支细玻璃棒斜放入了一只盛满水的烧杯中，已知烧杯高8cm，玻璃棒被水淹没部分长10cm，这只烧杯的直径约是（）A．9cm B．8cm C．7cm D．6cm【答案】D可．【详解】解：由题意，可得这只烧杯的直径是：√102−82=6（cm）．故选：D．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，能够将实际问题转化为数学问题是解题的关键．16．如图，一根长18cm的牙刷置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱形水杯中，牙刷露在杯子外面的长度为h cm，则h的取值范围是（）A．4＜h＜5B．5＜h＜6C．5≤h≤6D．4≤h≤5【答案】C【分析】根据题意，求出牙刷在杯子外面长度最小与最大情况即可得出取值范围．【详解】解：根据题意，当牙刷与杯底垂直时，ℎ最大，如图所示：故ℎ最大=18−12=6cm；∵当牙刷与杯底圆直径、杯高构成直角三角形时，ℎ最小，如图所示：在RtΔABC中，∠ACB=90°，AC=5cm，BC=12cm，则AB=√BC2+AC2=√52+122=13cm，∵牙刷长为18cm，即AD=18cm，∴ℎ最小=AD−AB=18−13=5cm，∴h的取值范围是5≤h≤6，故选：C．【点睛】本题考查勾股定理解实际应用题，读懂题意，根据牙刷的放置方式明确牙刷在杯子外面长度最小与最大情况是解决问题的关键．【类型三楼梯铺地毯问题】17．如图在一个高为3米，长为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯至少需要（）．A．3米B．4米C．5米D．7米【答案】D【分析】当地毯铺满楼梯时的长度是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得水平宽度，即可求得地毯的长度．【详解】解：由勾股定理得：楼梯的水平宽度=√52−32=4（米），∵地毯铺满楼梯的长度应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，∴地毯的长度至少是3+4=7（米）．故选：D．【点睛】此题考查了生活中的平移现象以及勾股定理，属于基础题，利用勾股定理求出水平边的长度是解答本题的关键．18．如图，在高为5m，坡面长为13m的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（）【分析】当地毯铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得水平宽度，然后求得地毯的长度即可．【详解】解：由勾股定理得：楼梯的水平宽度=√132−52=12m，∵地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，∴地毯的长度至少是12+5=17(m)．故选B．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．19．如图是楼梯的示意图，楼梯的宽为5米，AC=5米，AB=13米，若在楼梯上铺设防滑材料，则所需防滑材料的面积至少为（）A．65m2B．85m2C．90m2D．150m2【答案】B【分析】勾股定理求出BC，平移的性质推出防滑毯的长为AC+BC，利用面积公式进行求解即可．【详解】解：由图可知：∠C=90°，∵AC=5米，AB=13米，∴BC=√AB2−AC2=12米，由平移的性质可得：水平的防滑毯的长度=BC=12（米），铅直的防滑毯的长度=AC=5（米），∴至少需防滑毯的长为：AC+BC=17（米），∵防滑毯宽为5米∴至少需防滑毯的面积为：17×5=85（平方米）．故选：B．【点睛】本题考查勾股定理．解题的关键是利用平移，将防滑毯的长转化为两条直角边的边长之和．A．13cm B．14cm C．15cm D．16cm【答案】A【分析】根据勾股定理即可得出结论．【详解】如图，由题意得AC=1×5=5(cm)，BC=2×6=12(cm)，故AB=√122+52=13(cm)．故选：A．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．21．如图所示：某商场有一段楼梯，高BC＝6m，斜边AC是10米，如果在楼梯上铺上地毯，那么需要地毯的长度是（）A．8m B．10m C．14m D．24m【答案】C【分析】先根据直角三角形的性质求出AB的长，再根据楼梯高为BC的高＝6m，楼梯的宽的和即为AB的长，再把AB、BC的长相加即可．【详解】∵△ABC是直角三角形，BC＝6m，AC＝10m∴AB＝√AC2−BC2＝√102−62＝8（m），∴如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯为AB+BC＝8+6＝14（米）．故选C【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，解答此题的关键是找出楼梯的高和宽与直角三角形两直角边的等量关系.22．某酒店打算在一段楼梯面上铺上宽为2米的地毯，台阶的侧面如图所示，如果这种地毯每平方米售价为80元，则购买这种地毯至少需要（）A．2560元B．2620元C．2720元D．2840元【答案】C【分析】根据题意，结合图形，先把楼梯的横竖向上向左平移，构成一个矩形，再求得其面积，则购买地毯的钱数可求．【详解】利用平移线段，把楼梯的横竖向上向左平移，构成一个矩形，长宽分别为√132−52=12米、5米，∴地毯的长度为12+5=17米，地毯的面积为17×2=34平方米，∴购买这种地毯至少需要80×34=2720元．故选C.【点睛】本题考查的知识点是勾股定理的应用，生活中的平移现象，解题关键是要注意利用平移的知识，把要求的所有线段平移到一条直线上进行计算．23．如图所示：是一段楼梯，高BC是3m，斜边AC是5m，如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯（）A．5m B．6m C．7m D．8m【答案】C【详解】楼梯竖面高度之和等于AB的长．由于AB=√AC2−BC2=√52−32=4，所以至少需要地毯长4＋3＝7（m）．故选C24．如图，是一段楼梯，高BC是1.5m，斜边AC是2.5m，如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯（）A．2.5m B．3m C．3.5m D．4m【答案】C【分析】当地毯铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得AB，然后求得地毯的长度即可．【详解】解：由勾股定理得：AB=√2.52−1.52=2因为地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和所以地毯的长度至少是1.5+2=3.5（m）故选C．【点睛】本题考查了图形平移性质和勾股定理，解决本题的关键是要熟练掌握勾股定理.【类型四最短路径问题】25．如图，透明圆柱的底面半径为6厘米，高为12厘米，蚂蚁在圆柱侧面爬行．从圆柱的内侧点A爬到圆柱的外侧点B处吃食物，那么它爬行最短路程是厘米．(π≈3)【答案】30【分析】把圆柱的侧面展开，根据勾股定理即可得到结论．【详解】解：∵透明圆柱的底面半径为6厘米，∴透明圆柱的底面周长为2×6π=厘米≈36厘米，作点A关于直线EF的对称点A′，连接A′B，则A′B的长度即为它爬行最短路程，×36=18厘米，∴A′A=2AE=24厘米，AB=12∴A′B=√AB2+A′A2=√182+242=30(cm)，故答案为：30．【点睛】本题考查平面展开-最短路径问题，解题的关键是计算出圆柱展开后所得长方形的长和宽的值，然后用勾股定理进行计算．【答案】10【分析】将圆柱侧面展开，由图形可知蚂蚁在圆柱侧面爬行，从点A爬到点B的最短路程即为AB的长，再由勾股定理求出．【详解】解：根据圆柱侧面展开图，cm，高为8cm，∵圆柱的底面半径为6π∴底面圆的周长为2×6×π=12cm，π×12=6cm，∴BC=8cm，AC=12由图形可知蚂蚁在圆柱侧面爬行，从点A爬到点B的最短路程即为AB的长，AB=√AC2+BC2=10cm，故答案为：10．【点睛】本题考查了平面展开最短路线问题，勾股定理，将立体图形转化成平面图形求解是解题的关键．27．如图有一个棱长为9cm的正方体，一只蜜蜂要沿正方体的表面从顶点A爬到C点（C点在一条棱上，距离顶点B 3cm处），需爬行的最短路程是cm．【答案】15【分析】首先把正方体展开，然后连接AC，利用勾股定理计算求解即可．【详解】解：如图，连接AC，由勾股定理得，AC=√92+(9+3)2=15，故答案为：15．【点睛】本题考查了正方体的展开图、勾股定理的应用，解题的关键在于明确爬行的最短路线．28．如图，桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖），高6厘米，底面周长16厘米，在杯口内壁离杯口1.5厘米的A处有一滴蜜糖，在玻璃杯的内壁，A的相对方向有一小虫P，小虫离杯底的垂直距离为1.5厘米，小虫爬到蜜糖处的最短距离是厘米．【答案】10【分析】将杯子侧面展开，作A关于杯口的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′P的长度即为所求，再结合勾股定理求解即可．【详解】解：如图所示：将杯子侧面展开，作A关于杯口的对称点A′，连接PA′，最短距离为PA′的长度，)2+(6−1.5+1.5)2=10(厘米)，PA′=√PE2+EA′2=√(162最短路程为PA ′=10厘米．故答案为：10．【点睛】本题考查了平面展开−最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．【答案】20【分析】先把圆柱的侧面展开，连接AS ，利用勾股定理即可求得AS 的长．【详解】解：如图，∵在圆柱的截面ABCD 中，AB =24π，BC =32，∴AB =12×24π×π=12，BS =12BC =16， ∴AS =√AB 2+BS 2=20，故答案为：20．【点睛】本题考查平面展开图−最短路径问题，根据题意画出圆柱的侧面展开图，利用勾股定理求解是解题的关键．30．如图，圆柱形玻璃杯的杯高为9cm ，底面周长为16cm ，在杯内壁离杯底4cm 的点A 处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿1cm ，且与蜂蜜相对的点B 处，则蚂蚁从外壁B 处到内壁A 处所走的最短路程为 cm ．（杯壁厚度不计）【答案】10【分析】如图（见解析），将玻璃杯侧面展开，作B关于EF的对称点B′，根据两点之间线段最短可知AB′的长度即为所求，利用勾股定理求解即可得．【详解】解：如图，将玻璃杯侧面展开，作B关于EF的对称点B′，作B′D⊥AE，交AE延长线于点D，连接AB′，BB′=1cm,AE=9−4=5(cm)，由题意得：DE=12∴AD=AE+DE=6cm，∵底面周长为16cm，×16=8(cm)，∴B′D=12∴AB′=√AD2+B′D2=10cm，由两点之间线段最短可知，蚂蚁从外壁B处到内壁A处所走的最短路程为AB′=10cm，故答案为：10．【点睛】本题考查了平面展开——最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．31．如图所示，ABCD是长方形地面，长AB=20m，宽AD=10m．中间竖有一堵砖墙高MN=2m．一只蚂蚱从A点爬到C点，它必须翻过中间那堵墙，则它要走的路程s取值范围是．【答案】s≥26m【分析】连接AC，利用勾股定理求出AC的长，再把中间的墙平面展开，使原来的长方形长度增加而宽度不变，求出新长方形的对角线长即可得到范围．【详解】解：如图所示，将图展开，图形长度增加4m，原图长度增加4m，则AB=20+4=24m，连接AC，∵四边形ABCD是长方形，AB=24m，宽AD=10m，∴AC=√AB2+BC2=√242+102=26m，∴蚂蚱从A点爬到C点，它要走的路程s≥26m．故答案为：s≥26m．【点睛】本题考查的是平面展开最短路线问题及勾股定理，根据题意画出图形是解答此题的关键．【答案】5【分析】要求彩带的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，借助于勾股定理．【详解】解：将圆柱表面切开展开呈长方形，则彩灯带长为2个长方形的对角线长，∵圆柱高3米，底面周长2米，∴AC2=22+1.52=6.25，∴AC=2.5，∴每根柱子所用彩灯带的最短长度为5m．故答案为5．【点睛】本题考查了平面展开−最短路线问题，勾股定理的应用．圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．【类型五旗杆高度问题】【答案】6m【分析】设AD=x，在△ABC中，利用勾股定理列出方程，解之即可．【详解】解：∵BF=2m，∴CE=2m，∵DE=1m，∴CD=CE−DE=1m，设AD=x，则AB=x，AC=AD−CD=x−1，由题意可得：BC⊥AE，在△ABC中，AC2+BC2=AB2，即(x−1)2+32=x2，解得：x=5，即AD=5，∴旗杆AE的高度为：AD+DE=5+1=6m．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理的相关知识并在直角三角形中正确运用是解题的关键．34．荡秋千是深受人们喜爱的娱乐项目，如图，小丽发现，秋千静止时踏板离地面的垂直高度DE=0.5m，将它往前推送至点B，测得秋千的踏板离地面的垂直高度BF=1.1m，此时水平距离BC=EF=1.8m，秋千的绳索始终拉的很直，求绳索AD的长度．【答案】3m【分析】设绳索AD的长度为xm=(x−0.6)m，在Rt△ABC中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【详解】解：设秋千的绳索AD长为xm，则AB为xm，∵四边形BCEF是矩形，∴BF=CE=1.1m，∵DE=0.5m，∴CD=0.6m则AC为(x−0.6)m在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2，即：(x−0.6)2+1.82=x2解得：x=3∴绳索AD的长度为3m．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，由勾股定理得出方程是解题的关键．35．如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面并多出一段（如图1），聪明的小红发现：先测出垂到地面的绳子长，再将绳子拉直（如图2），测出绳子末端C到旗杆底部B的距离n，利用所学知识就能求出旗杆的长，若m=1米，n=5米，求旗杆AB的长．【答案】12米【分析】设旗杆的高为x米，在Rt△ABC中，推出x2+52=(x+1)2，可得x=12，由此解决问题.【详解】解：设AB=x米，因为∠ABC=90°，所以在Rt△ABC中，根据勾股定理，得：x2+52=(x+1)2，解之，得：x=12，所以，AB的长为12米，答：旗杆AB的长为12米．【点睛】本题考查直角三角形、勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程.【答案】风筝的高度CE为61.68米．【分析】利用勾股定理求出CD的长，再加上DE的长度，即可求出CE的高度．【详解】解：在Rt△CDB中，由勾股定理，得CD=√CB2−BD2=√652−252=60(米)．∴CE=CD+DE=60+1.68=61.68(米)．答：风筝的高度CE为61.68米．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键．37．看着冉冉升起的五星红旗，你们是否想过旗杆到底有多高呢？某数学兴趣小组为了测量旗杆高度，进行以下操作：如图1，先将升旗的绳子拉到旗杆底端，发现绳子末端刚好接触到地面；如图2，再将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现绳子末端距离地面2m．请根据以上测量情况，计算旗杆的高度．【答案】17米【分析】根据题意画出示意图，设旗杆高度为xm，可得AC=AD=x m，AB=(x−2)m，BC=8m，在Rt△ABC中利用勾股定理可求出x．【详解】解：如图所示设旗杆高度为x m，则AC=AD=x m，AB=(x−2)m，BC=8m，在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2(x−2)2+82=x2解得：x=17，答：旗杆的高度为17m．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是构造直角三角形．38．同学们想利用升旗的绳子、卷尺，测算学校旗杆的高度．爱动脑的小华设计了这样一个方案：如图，将升旗的绳子拉直刚好触底，此时测得绳子末端C到旗杆AB的底端B的距离为1米，然后将绳子末端拉直到距离旗杆5米的点E处，此时测得绳子末端E距离地面的高度DE为1米．请你根据小华的测量方案和测量数据，求出学校旗杆的高度．【答案】12.5米【分析】过点E作EF⊥AB，垂足为F，在Rt△ABC和Rt△AEF中，根据勾股定理得出AC2=AB2+BC2，AE2= AF2+EF2，根据AC=AE，得出AB2+12=(AB−1)2+52，求出AB的长即可．【详解】解：过点E作EF⊥AB，垂足为F，如图所示：由题意可知：四边形BDEF是长方形，△ABC和△AEF是直角三角形，∴DE=BF=1，BD=EF=5，BC=1，在Rt△ABC和Rt△AEF中，根据勾股定理可得：AC2=AB2+BC2，AE2=AF2+EF2，即AC2=AB2+12，AE2=(AB−1)2+52，又∵AC=AE，∴AB2+12=(AB−1)2+52，解得：AB=12.5．答：学校旗杆的高度为12.5米．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是根据勾股定理列出关于AB方程AB2+12= (AB−1)2+52．39．学过《勾股定理》后，某班兴趣小组来到操场上测量旗杆AB的高度，得到如下信息：①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长1米（如图1）；②当将绳子拉直时，测得此时拉绳子的手到地面的距离CD为1米，到旗杆的距离CE为6米（如图2）．根据以上信息，求旗杆AB的高度．【答案】9米【分析】设AB=x，则AC=x+1，AE=x−1，再根据勾股定理可列出关于x的等式，解出x即得出答案．【详解】解：设AB=x依题意可知：在Rt△ACE中，∠AEC=90°，AC=x+1，AE=x−1，CE=6，根据勾股定理得：AC2=AE2+CE2，即：(x+1)2=(x−1)2+62，解得：x=9答：旗杆AB的高度是9米．【点睛】本题考查勾股定理的实际应用．结合题意，利用勾股定理列出含未知数的等式是解题关键．40．如图，学校要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面并多出一段（如图1），同学们首先测量了多出的这段绳子长度为1米，再将绳子拉直（如图2），测出绳子末端C到旗杆底部B的距离为5米，求旗杆的高度．【答案】12米【分析】因为旗杆、绳子、地面正好构成直角三角形，设旗杆的高度为x米，则绳子的长度为（x+1）米，根据勾股定理即可求得旗杆的高度．【详解】解：设旗杆的高度AB为x米，则绳子AC的长度为(x+1)米，在Rt△ABC中，根据勾股定理可得：x2+52=(x+1)2，解得，x=12，答：旗杆的高度为12米．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟知勾股定理是解题关键．【类型六航海问题】【答案】30海里/小时【分析】先根据题意结合方位角的描述求出∠ABC=90°以及AB、BC的长，再利用勾股定理求出AC的长即可得到答案．【详解】解：如图所示，由题意得，∠HAB=90°−60°=30°，∠MBC=90°−∠EBC=60°，∵AH∥BM，∴∠ABM=∠BAH=30°，∴∠ABC=∠ABM+∠MBC=90°，∵巡逻艇沿直线追赶，半小时后在点C处追上走私船，∴BC=18×0.5=9海里，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=12海里，BC=9海里，∴AC=√AB2+BC2=15海里，∴我军巡逻艇的航行速度是15=30海里/小时，0.5答：我军巡逻艇的航行速度是30海里/小时．【点睛】本题主要考查了勾股定理的实际应用，正确理解题意在Rt△ABC中利用勾股定理求出AC的长是解题的关键．(1)求点A与点B之间的距离；(2)若在点C处有一灯塔，灯塔的信号有效覆盖半径为处有一艘轮船准备沿直线向点多能收到多少次信号？（信号传播的时间忽略不计）【答案】(1)AB=1000海里(2)最多能收到14次信号【分析】（1）由题意易得∠ACB是直角，由勾股定理即可求得点A与点B之间的距离；（2）过点C作CH⊥AB交AB于点H，在AB上取点M，N，使得CN＝CM＝500海里，分别求得NH、MH的长，可求得此时轮船过MN时的时间，从而可求得最多能收到的信号次数；【详解】（1）由题意，得：∠NCA＝54°，∠SCB＝36°；。
北师大版八年级数学上册《勾股定理》分类练习(含详细解析)
1981-1-2勾股定理分类练习一 .基础练习 1. 写出几组常见勾股数： 3,4,5 6,8,10 5,12,13 2.在Rt△ABC 中，∠C=90，a.b.c 为三角形的三边长， ①已知a=5,b=12,则c= 13 ② 已知a=15,c=17,则b= 8 3.在Rt△ABC 中，a.b.c 为三角形的三边长，已知a=3,b=4,则c 2 = 25 或74.在Rt△ABC 中，∠C=90，a.b.c 为三角形的三边长，已知a:b=3:4,c=10 则 a= 6 b= 8 斜边上的高= 4.8 5.正方形的面积为18 ,则正方形对角线长为 6 cm 6.在ABC 中，∠C=90°，若AB=5，AB 2+AC 2+BC 2= 50 . 7.木工做一个长方形桌面，量的桌面的长为60cm ，宽为32cm ，对角线为68cm,这个桌面 （填“合格”或“不合格”）8.有六根细木棒，它们的长分别是2,4,6,8,10,12（单位：cm ）收尾连接能搭成直角三角形的三根细木棒分别是 。
6，8，109.如图，∠OAB=∠OBC=∠OCD=90°，AB=BC=CD=1，OA=2， 则OD 2710.将直角三角形的三边长扩大相同的倍数后，得到的三角形 （ ） A ．直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.以上都不对 11. 在Rt△ABC 中，∠C=90，若a+b=14,c=10,则Rt△ABC 的面积为 。
解析：由a+b=14 得（a+b ）2=142,所以a 2+2ab+b 2=196 因为a 2+b 2=102，所以ab=48△ABC 的面积=ab=2412.三角形的三边长为 ,则这个三角形是（ ） A.等边三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.锐角三角形 13.如图，在△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，点M 为BC 中点，MN ⊥AC 于点N,那么MN= 答案： 解析：连接AM ，因为AB=AC=5，BC=6，点M 为BC 中点 AM ⊥BC,MC=3（三线合一） AM=4MN ⊥AC S △AMC= MC = AC MN=总结：1.若直角三角形的两直角边为a,b 斜边为c,斜边上的高为h= . ab/c2.遇到比例，设一份为x ，列方程求x 值； 二．分类练习 知识点1：分类讨论1.已知直角三角形的两边长为3和4，则第三边为 . 解：当3和4都是直角边时，第三边为斜边5； 当4为斜边时，第三边为直角边 =AOBC D所以第三边为5或2.在ABC 中，若AB=30，AC=26，BC 上的高为AD=24，则此三角形的周长为 。
北师大版八年级上《第一章勾股定理》综合性提高训练含答案解析
北师大 8 上第一章勾股定理综合性提升训练（含答案）例题 1、直角三角形的面积为 S ，斜边上的中线长为 d，则这个三角形周长为（）（A ）d 2S 2d（B ）d 2S d（C ） 2 d2S 2d（D ） 2 d2S dS1解:设两直角边分别为 a,b,斜边为 c,则cab由勾股定理 ,得 a 2b 2c 2 .2d , 2 .所以 ab 2a 22ab b 2 c 2 4S 4d 2 4S .所以ab 2 d 2S.所以ab c 2 d 2 S2d.应选（ C ）例题 2．在 ABC 中, AB AC 1, BC 边上有 2006 个不一样的点P 1, P 2 , P 2006,记 m iAP i 2BP i PC i i 1,2,2006,则 m 1m 2m 2006=_____.解 如图作ADBC 于D ,因为 AB AC 1 ,则 BD CD. :,由勾股定理 ,得AB2AD 2 BD 2, AP 2 AD 2 PD 2 所以.AB 2 AP 2BD 2 PD 2BD PDBD PDBP PC所以AP 2BP PCAB 2 12 .所以m1m 2m200612 2006 2006 .例题 3．如下图，在RtABC 中, BAC90 , ACAB, DAE 45,且 BD 3 ,CE4,求 DE 的长 .解:如右图：因为ABC为等腰直角三角形 ,所以ABDC45.所以把AEC 绕点 A 旋转到 AFB ,则 AFBAEC .所以BFEC 4, AFAE, ABFC45 连结DF. 所以 DBF 为直角三角形 ..由勾股定理 ,得 DF2BF 2 BD 2 4232 52 .所以DF5 .因为 DAE 45 ,所以 DAF DABEAC 45 .所以 ADE ADF SAS .所以DEDF5 .例题 4、如图，在△ ABC 中，AB=AC=6 ，P 为 BC 上随意一点，请用学过的知识试求 PC ·PB+PA 2的值。
北师大版八年级(上)数学《勾股定理》专题复习(含答案)
第一章《勾股定理》专项练习专题一：勾股定理考点分析：勾股定理单独命题的题目较少，常与方程、函数，四边形等知识综合在一起考查，在中考试卷中的常见题型为填空题、选择题和简单的解答题典例剖析例1．（1）如图1是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸（单位：mm），计算两圆孔中心A和B的距离为______mm．（2）如图2，直线l上有三个正方形a b c，，，若的面积分别为5和11，则b的面积为（）A．4 B．6C．16 D．55分析：本题结合图中的尺寸直接运用勾股定理计算即可．解：（1）由已知得：AC=150-60=90，BC=180-60=120，由勾股定理得：AB2=902+1202=22500，所以AB=150（mm）（2）由勾股定理得：b=a+c=5+11=16，故选C．点评：以上两例都是勾股定理的直接运用，当已知直角三角形的两边，求第三边时，往往要借助于勾股定理来解决．例2．如图3，正方形网格的每一个小正方形的边长都是1，试求122424454A E A A E C A E C++∠∠∠的度数．解：连32A E．32122222A A A A A E A E==，，32212290A A E A A E∠=∠=，322122Rt RtA A E A A E∴△≌△（SAS）．322122A E A A E A∴∠=∠．由勾股定理，得：4532C E C E===，4532A E A E===，图21A2A3A4A5A5E2E11114C1A2A3A4A5A5E2E11114C3C2C图344332A C A C ==，445332A C E A C E ∴△≌△（SSS ）． 323454A E C A E C ∴∠=∠122424454324424323224A E A A E C A E C A E C A E C A E C A E C ∴∠+∠+∠=∠+∠+∠=∠．由图可知224E C C △为等腰直角三角形．22445A E C ∴∠=． 即12242445445A E A A E C A E C ∠+∠+∠=．点评：由于在正方形网格中，它有两个主要特征：（1）任何格点之间的线段都是某正方形或长方形的边或对角线，所以格点间的任何线段长度都能求得．（2）利用正方形的性质，我们很容易知道一些特殊的角，如450、900、1350，便一目了然．以上两例就是根据网格的直观性，再结合图形特点，运用勾股定理进行计算，易求得线段和角的特殊值，重点考查学生的直觉观察能力和数形结合的能力．专练一：1、△ABC 中，∠A ：∠B ：∠C=2：1：1，a ，b ，c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，则下列各等式中成立的是（ ）（A ）222a b c +=；（B ）222a b =； （C ）222c a =； （D ）222b a = 2、若直角三角形的三边长分别为2，4，x ，则x 的可能值有（ ） （A ）1个； （B ）2个； （C ）3个； （D ）4个3、一根旗杆在离底面4.5米的地方折断，旗杆顶端落在离旗杆底部6米处，则旗杆折断前高为（ ）（A ）10.5米； （B ）7.5米； （C ）12米； （D ）8米 4、下列说法中正确的有（ ）（1）如果∠A+∠B+∠C=3：4：5，则△ABC 是直角三角形；（2）如果∠A+∠B=∠C ，那么△ABC 是直角三角形；（3）如果三角形三边之比为6：8：10，则ABC 是直角三角形；（4）如果三边长分别是221,2,1(1)n n n n -+>，则ABC 是直角三角形。
2019—2020年最新北师大版八年级数学上册《勾股定理》综合测试题及答案解析(试卷).docx
《第1章勾股定理》一、填空题1．直角三角形两条直角边的长分别为5、12，则斜边长为，斜边上的高为．2．已知直角三角形的两边的长分别是3和4，则第三边长为．3．已知等腰三角形的腰长为5cm，底边长为6cm，则这个三角形的面积为cm2．4．如图所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为8，正方形A的面积是11，B的面积是10，C的面积是13，则D的面积为．5．如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则它至少要飞行米．6．如图，直线l过正方形ABCD的顶点B，点A，C到直线l的距离分别是1和2，则正方形ABCD 的面积是．7．如图，是一个长方体，长4、宽3、高12，则图中阴影部分的三角形的周长为．8．在△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边．若a=6，c=10，则b= ；若a=12，b=5，则C= ；若c=15，b=13，则a= ．9．在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，若AB=13，BC=10，则AD= ．10．若一个直角三角形的三边长分别是6、8、a，则a2= ．11．等腰三角形的腰长为10，底边上的高为6，则底边长为．12．小颖从学校出发向南走了150m，接着向东走了80m到达书店，则学校与书店的距离是m．13．飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到小刚头顶正上方4000米处，过了20秒，飞机距离小刚5000米，则飞机每小时飞行千米．二、选择题14．下列几组数中不能作为直角三角形三边长度的是（）A．a=7，b=24，c=25 B．a=1.5，b=2，c=2.5C．D．a=15，b=8，c=1715．在下列以线段a，b，c的长为三边的三角形中，不能构成直角三角形的是（）A．a=9，b=41，c=40 B．a=5，b=12，c=13C．a：b：c=3：4：5 D．a=11，b=12，c=1516．△ABC中，AB=13cm，AC=15cm，高AD=12，则BC的长为（）A．14 B．4 C．14或4 D．以上都不对17．“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为13，直角三角形中短直角边a，较长直角边为了b，那么（a+b）2的值为（）A．13 B．14 C．25 D．16918．如图，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C处，BC交AD于E，AD=8，AB=4，则DE的长为（）A．3 B．4 C．5 D．619．两只小鼹鼠在地下打洞，一只朝前方挖，每分钟挖8cm，另一只朝左挖，每分钟挖6cm，10分钟后，两只小鼹鼠相距（）A．50cm B．100cm C．140cm D．80cm20．一个圆桶底面直径为24cm，高32cm，则桶内所能容下的最长木棒为（）A．20cm B．50cm C．40cm D．45cm21．如图，将一根长24cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形茶杯中，设筷子露在杯子外面的长为acm（茶杯装满水），则a的取值范围是．22．直角三角形的周长为24，斜边长为10，则其面积为（）A．96 B．49 C．24 D．4823．有下面的判断：①△ABC中，a2+b2≠c2，则△ABC不是直角三角形．②△ABC是直角三角形，∠C=90°，则a2+b2=c2．③若△ABC中，a2﹣b2=c2，则△ABC是直角三角形．④若△ABC是直角三角形，则（a+b）（a﹣b）=c2．以上判断正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个三、解答题：24．在Rt△ABC中，∠C=90°，已知c=25，b=15，求a．25．甲、乙两同学在操场上，从同一旗杆处出发，甲向北走18米，乙向东走16米以后，又向北走6米，此时甲、乙两同学相距多远？26．一梯子斜靠在某建筑物上，当梯子的底端离建筑物9m时，梯子可以达到的高度是12m，你能算出梯子的长度吗？27．如图是一块地，已知AD=8cm，CD=6cm，∠D=90°，AB=26cm，BC=24cm，求这块地的面积．28．如图，滑杆在机械槽内运动，∠ACB为直角，已知滑杆AB长2.5米，顶端A在AC上运动，量得滑杆下端B距C点的距离为1.5米，当端点B向右移动0.5米时，求滑杆顶端A下滑多少米？29．如图，折叠长方形纸片ABCD，先折出折痕（对角线）BD，再折叠使AD边与BD重合，得折痕DG，若AB=4，BC=3，求AG的长．30．如图，长方形ABCD中，AB=4，BC=5，将长方形沿折痕AF折叠，点D恰好落在BC边上的点E处．（1）求BE的长；（2）求CF的长．31．已知：a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，试判断△ABC的形状．解：∵a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，①∴c2（a2﹣b2）=（a2+b2）（a2﹣b2）．②∴c2=a2+b2．③∴△ABC是直角三角形．问：（1）在上述解题过程中，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号：；（2）错误的原因为；（3）本题正确的解题过程：《第1章勾股定理》（山东省济南市兴济中学）参考答案与试题解析一、填空题1．直角三角形两条直角边的长分别为5、12，则斜边长为13 ，斜边上的高为．【考点】勾股定理．【分析】可先用勾股定理求出斜边长，然后再根据直角三角形面积的两种公式求解即可．【解答】解：由勾股定理可得：AB2=52+122，则AB=13，直角三角形面积S=×5×12=×13×CD，可得：斜边的高CD=．故答案为：13，．【点评】本题考查勾股定理及直角三角形面积公式的综合运用，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理，此题难度不大．2．已知直角三角形的两边的长分别是3和4，则第三边长为5或．【考点】勾股定理．【专题】分类讨论．【分析】已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论：①3是直角边，4是斜边；②3、4均为直角边；可根据勾股定理求出上述两种情况下，第三边的长．【解答】解：①长为3的边是直角边，长为4的边是斜边时：第三边的长为：=；②长为3、4的边都是直角边时：第三边的长为：=5；综上，第三边的长为：5或．故答案为：5或．【点评】此题主要考查的是勾股定理的应用，要注意的是由于已知的两边是直角边还是斜边并不明确，所以一定要分类讨论，以免漏解．3．已知等腰三角形的腰长为5cm，底边长为6cm，则这个三角形的面积为12 cm2．【考点】勾股定理；等腰三角形的性质．【分析】作底边上的高，根据等腰三角形三线合一和勾股定理求出高，再代入面积公式求解即可．【解答】解：如图，作底边BC上的高AD，则AB=5cm，BD=×6=3cm，∴AD===4，∴三角形的面积为：×6×4=12cm2．【点评】本题利用等腰三角形“三线合一”作出底边上的高，再根据勾股定理求出高的长度，作高构造直角三角形是解题的关键．4．如图所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为8，正方形A的面积是11，B的面积是10，C的面积是13，则D的面积为30 ．【考点】勾股定理．【分析】根据正方形的面积公式，运用勾股定理可以证明：四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积64，由此即可解决问题．【解答】解：如图记图中三个正方形分别为P、Q、M．根据勾股定理得到：A与B的面积的和是P的面积；C与D的面积的和是Q的面积；而P，Q的面积的和是M的面积．即A、B、C、D的面积之和为M的面积．∵M的面积是82=64，∴A、B、C、D的面积之和为64，设正方形D的面积为x，∴11+10+13+x=64，∴x=30．故答案为：30．【点评】此题考查了勾股定理，正方形的面积，得出正方形A，B，C，D的面积和即是最大正方形M的面积是解题的关键．5．如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则它至少要飞行10 米．【考点】勾股定理的应用．【分析】从题目中找出直角三角形并利用勾股定理解答．【解答】解：过点D作DE⊥AB于E，连接BD．在Rt△BDE中，DE=8米，BE=8﹣2=6米．根据勾股定理得BD=10米．【点评】注意作辅助线构造直角三角形，熟练运用勾股定理．6．如图，直线l过正方形ABCD的顶点B，点A，C到直线l的距离分别是1和2，则正方形ABCD 的面积是 5 ．【考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质．【分析】根据正方形性质得出AB=CB，∠ABC=90°，求出∠EAB=∠FBC，证△AEB≌△BFC，求出BE=CF=2，在Rt△AEB中，由勾股定理求出AB，即可求出正方形的面积．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABC=90°，∵AE⊥EF，CF⊥EF，∴∠AEB=∠BFC=90°，∴∠ABE+∠CBF=180°﹣90°=90°，∠ABE+∠EAB=90°，∴∠EAB=∠CBF，在△AEB和△BFC中，，∴△AEB≌△BFC（AAS），∴BE=CF=2，在Rt△AED中，由勾股定理得：AB==，即正方形ABCD的面积是5，故答案为：5．【点评】本题考查了正方形性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用，关键是求出BE=CF，主要考查学生分析问题和解决问题的能力，题型较好，难度适中．7．如图，是一个长方体，长4、宽3、高12，则图中阴影部分的三角形的周长为30 ．【考点】勾股定理．【分析】在底面上，阴影三角形的边长是直角三角形的斜边，根据勾股定理即可求得，阴影部分是一个直角三角形，利用两直角边求出即可．【解答】解：如图所示，在直角△BCD中，根据勾股定理，得到BC===5．在直角△ABC中，根据勾股定理，得到AC===13．所以，图中阴影部分的三角形的周长为：AB+BC+AC=12+5+13=30．故答案是：30．【点评】本题考查了勾股定理．正确认识到阴影部分的形状是直角三角形是解题的关键；主要考查空间想象能力．8．在△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边．若a=6，c=10，则b= 8 ；若a=12，b=5，则C= 13 ；若c=15，b=13，则a= 2．【考点】勾股定理．【专题】计算题．【分析】画出图形，根据勾股定理直接解答．【解答】解：如图：在Rt△ABC中，a=6，c=10，则b===8；在Rt△ABC中，a=12，b=5，则c===13；在Rt△ABC中，c=15，b=13，则a===2．故答案为8，13，2．【点评】本题考查了勾股定理，要注意分清直角边和斜边，另外，解答时要注意画出图形，找到相应的边和角，再代入公式计算．9．在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，若AB=13，BC=10，则AD= 12 ．【考点】勾股定理；等腰三角形的性质．【专题】几何图形问题．【分析】先根据等腰三角形的性质得出AD是BC边的中线，再根据勾股定理求出AD的长即可．【解答】解：∵在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，AB=13，BC=10，∴BD=BC=×10=5，∴AD===12．故答案为：12．【点评】本题考查的是勾股定理，熟知等腰三角形三线合一的性质及勾股定理是解答此题的关键．10．若一个直角三角形的三边长分别是6、8、a，则a2= 100或28 ．【考点】勾股定理．【分析】本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，因此两条边中的较长边8既可以是直角边，也可以是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即8是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解．【解答】解：（1）若8是直角边，则第三边x是斜边，由勾股定理得：62+82=a2，所以a2=100；（2）若8是斜边，则第三边a为直角边，由勾股定理得：62+x2=82，所以a2=28．故答案为：100或28．【点评】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，当已知条件中没有明确哪是斜边时，要注意讨论，一些学生往往忽略这一点，造成丢解．11．等腰三角形的腰长为10，底边上的高为6，则底边长为16 ．【考点】勾股定理；等腰三角形的性质．【分析】根据题意画出图形，利用勾股定理求解即可．【解答】解：如图，∵AB=AC=6，AD⊥BC，AD=6，∴BD===8，∴BC=2BD=16．故答案为：16．【点评】本题考查的是勾股定理，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．12．小颖从学校出发向南走了150m，接着向东走了80m到达书店，则学校与书店的距离是170 m．【考点】勾股定理的应用．【专题】计算题．【分析】根据正南方向和正东方向成九十度，利用勾股定理进行计算即可．【解答】解：∵正南方向和正东方向成90°，∴根据勾股定理得学校与书店之间的距离为=170（米）．故答案为：170．【点评】此题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此题的关键是根据题意画出图形，再根据勾股定理进行计算．13．飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到小刚头顶正上方4000米处，过了20秒，飞机距离小刚5000米，则飞机每小时飞行540 千米．【考点】勾股定理的应用．【分析】先画出图形，构造出直角三角形，利用勾股定理解答．【解答】解：设A点为小刚头顶，C为正上方时飞机的位置，B为20s后飞机的位置，如图所示，则AB2=BC2+AC2，即BC2=AB2﹣AC2=9000000，∴BC=3000米，∴飞机的速度为3000÷20×3600=540（千米/小时），故答案为：540．【点评】本题考查正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．解题时注意运用数形结合的思想方法使问题直观化．二、选择题14．下列几组数中不能作为直角三角形三边长度的是（）A．a=7，b=24，c=25 B．a=1.5，b=2，c=2.5C．D．a=15，b=8，c=17【考点】勾股定理的逆定理．【分析】根据勾股定理的逆定理对各个选项进行分析，从而得到答案．【解答】解：A、满足勾股定理：72+242=252，故A选项不符合题意；B、满足勾股定理：1.52+22=2.52，故B选项不符合题意；C、不满足勾股定理，不是勾股数，故C选项符合题意；D、满足勾股定理：152+82=172，故D选项不符合题意．故选：C．【点评】本题考查了用勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．15．在下列以线段a，b，c的长为三边的三角形中，不能构成直角三角形的是（）A．a=9，b=41，c=40 B．a=5，b=12，c=13C．a：b：c=3：4：5 D．a=11，b=12，c=15【考点】勾股定理的逆定理．【分析】根据勾股定理的逆定理，验证四个选项中数据是否满足“较小两边平方的和等于最大边的平方”，由此即可得出结论．【解答】解：A、因为92+402=412，能构成直角三角形，此选项错误；B、因为52+122=132，能构成直角三角形，此选项错误；C、因为32+42=52，故能构成直角三角形，此选项错误．D、因为112+122≠152，不能构成直角三角形，此选项正确．故选D．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是根据勾股定理的逆定理验证四个选项．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，套入数据验证“较小两边平方的和是否等于最大边的平方”是关键．16．△ABC中，AB=13cm，AC=15cm，高AD=12，则BC的长为（）A．14 B．4 C．14或4 D．以上都不对【考点】勾股定理．【专题】分类讨论．【分析】分两种情况讨论：锐角三角形和钝角三角形，根据勾股定理求得BD，CD，再由图形求出BC，在锐角三角形中，BC=BD+CD，在钝角三角形中，BC=CD﹣BD．【解答】解：（1）如图，锐角△ABC中，AB=13，AC=15，BC边上高AD=12，在Rt△ABD中AB=13，AD=12，由勾股定理得BD2=AB2﹣AD2=132﹣122=25，则BD=5，在Rt△ABD中AC=15，AD=12，由勾股定理得CD2=AC2﹣AD2=152﹣122=81，则CD=9，故BC=BD+DC=9+5=14；（2）钝角△ABC中，AB=13，AC=15，BC边上高AD=12，在Rt△ABD中AB=13，AD=12，由勾股定理得BD2=AB2﹣AD2=132﹣122=25，则BD=5，在Rt△ACD中AC=15，AD=12，由勾股定理得CD2=AC2﹣AD2=152﹣122=81，则CD=9，故BC的长为DC﹣BD=9﹣5=4．故选：C．【点评】本题考查了勾股定理，把三角形边的问题转化到直角三角形中用勾股定理解答．17．“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为13，直角三角形中短直角边a，较长直角边为了b，那么（a+b）2的值为（）A．13 B．14 C．25 D．169【考点】勾股定理．【分析】根据正方形的面积公式以及勾股定理，结合图形进行分析发现：大正方形的面积即直角三角形斜边的平方13，也就是两条直角边的平方和是13，四个直角三角形的面积和是大正方形的面积减去小正方形的面积即2ab=12．根据完全平方公式即可求解．【解答】解：根据题意，结合勾股定理a2+b2=13，四个三角形的面积=4×ab=13﹣1，∴2ab=12，联立解得：（a+b）2=13+12=25．故选C．【点评】本题考查了勾股定理和完全平方公式的运用，解题的关键是注意观察图形：发现各个图形的面积和a，b的关系．18．如图，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C处，BC交AD于E，AD=8，AB=4，则DE的长为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】先根据翻折变换的性质得出CD=C′D，∠C=∠C′=90°，再设DE=x，则AE=8﹣x，由全等三角形的判定定理得出Rt△ABE≌Rt△C′DE，可得出BE=DE=x，在Rt△ABE中利用勾股定理即可求出x 的值，进而得出DE的长．【解答】解：∵Rt△DC′B由Rt△DBC翻折而成，∴CD=C′D=AB=8，∠C=∠C′=90°，设DE=x，则AE=8﹣x，∵∠A=∠C′=90°，∠AEB=∠DEC′，∴∠ABE=∠C′DE，在Rt△ABE与Rt△C′DE中，，∴Rt△ABE≌Rt△C′DE（ASA），∴BE=DE=x，在Rt△ABE中，AB2+AE2=BE2，∴42+（8﹣x）2=x2，解得：x=5，∴DE的长为5．故选C．【点评】本题考查的是翻折变换的性质及勾股定理，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等的知识是解答此题的关键．19．两只小鼹鼠在地下打洞，一只朝前方挖，每分钟挖8cm，另一只朝左挖，每分钟挖6cm，10分钟后，两只小鼹鼠相距（）A．50cm B．100cm C．140cm D．80cm【考点】勾股定理的应用．【专题】应用题．【分析】首先根据题意知：它们挖的方向构成了直角．再根据路程=速度×时间，根据勾股定理即可求解．【解答】解：由图可知，AC=8×10=80cm，BC=6×10=60cm，由勾股定理得，AB===100cm．故选B．【点评】本题考查了勾股定理的应用，首先要正确理解题意，画出正确的图形，再熟练运用勾股定理进行计算．20．一个圆桶底面直径为24cm，高32cm，则桶内所能容下的最长木棒为（）A．20cm B．50cm C．40cm D．45cm【考点】勾股定理的应用．【分析】如图，AC为圆桶底面直径，所以AC=24cm，CB=32cm，那么线段AB的长度就是桶内所能容下的最长木棒的长度，在直角三角形ABC中利用勾股定理可以求出AB，也就求出了桶内所能容下的最长木棒的长度．【解答】解：如图，AC为圆桶底面直径，∴AC=24cm，CB=32cm，∴线段AB的长度就是桶内所能容下的最长木棒的长度，∴AB==40cm．故桶内所能容下的最长木棒的长度为40cm．故选C．【点评】此题首先要正确理解题意，把握好题目的数量关系，然后利用勾股定理即可求出结果．21．如图，将一根长24cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形茶杯中，设筷子露在杯子外面的长为acm（茶杯装满水），则a的取值范围是11cm≤a≤12cm ．【考点】勾股定理的应用．【分析】先根据题意画出图形，再根据勾股定理解答即可．【解答】解：当筷子与杯底垂直时h最大，h最大=24﹣12=12cm．当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时a最小，如图所示：此时，AB===13cm，故a=24﹣13=11cm．所以a的取值范围是：11cm≤a≤12cm．故答案是：11cm≤a≤12cm．【点评】此题将勾股定理与实际问题相结合，考查了同学们的观察力和由具体到抽象的推理能力，解答此题的关键是根据题意画出图形求出h的最大及最小值，有一定难度．22．直角三角形的周长为24，斜边长为10，则其面积为（）A．96 B．49 C．24 D．48【考点】勾股定理．【专题】方程思想．【分析】利用勾股定理求出两直角边，再代入三角形面积公式即可求解．【解答】解：直角三角形的周长为24，斜边长为10，则两直角边的和为24﹣10=14，设一直角边为x，则另一边14﹣x，根据勾股定理可知：x2+（14﹣x）2=100，解得x=6或8，所以面积为6×8÷2=24．故选C．【点评】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；本题的关键是先求出两直角边，再计算面积．23．有下面的判断：①△ABC中，a2+b2≠c2，则△ABC不是直角三角形．②△ABC是直角三角形，∠C=90°，则a2+b2=c2．③若△ABC中，a2﹣b2=c2，则△ABC是直角三角形．④若△ABC是直角三角形，则（a+b）（a﹣b）=c2．以上判断正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理．【分析】欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，需要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．【解答】解：①c不一定是斜边，故错误；②正确；③正确；④若△ABC是直角三角形，c不是斜边，则（a+b）（a﹣b）≠c2，故错误．共2个正确．故选C．【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用．三、解答题：24．在Rt△ABC中，∠C=90°，已知c=25，b=15，求a．【考点】勾股定理．【分析】直接利用勾股定理得出a的值．【解答】解：∵∠C=90°，c=25，b=15，∴a==20．【点评】此题主要考查了勾股定理，正确应用勾股定理是解题关键．25．甲、乙两同学在操场上，从同一旗杆处出发，甲向北走18米，乙向东走16米以后，又向北走6米，此时甲、乙两同学相距多远？【考点】勾股定理的应用．【分析】根据题意画出示意图，然后根据勾股定理计算出CB的长．【解答】解：过C作CA⊥BA，由题意得：=20（米），答：此时甲、乙两同学相距20米．【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是画出示意图，掌握勾股定理．26．一梯子斜靠在某建筑物上，当梯子的底端离建筑物9m时，梯子可以达到的高度是12m，你能算出梯子的长度吗？【考点】勾股定理的应用．【专题】数形结合．【分析】如（解答）图，AB为梯子长，AC为底端离建筑物的长9m，BC为顶端离地面的长12m；根据勾股定理即可求得．【解答】：解：如图：∵AC=9m，BC=12m，∠C=90°∴AB==15m∴梯子的长度为15米．【点评】此题考查了勾股定理的应用．解题时要注意数形结合思想的应用，关键是从实际问题中整理出数学问题．27．如图是一块地，已知AD=8cm，CD=6cm，∠D=90°，AB=26cm，BC=24cm，求这块地的面积．【考点】勾股定理；勾股定理的逆定理．【分析】根据勾股定理可求出AC的长，根据勾股定理的逆定理可求出∠ACB=90°，可求出△ACB的面积，减去△ACD的面积，可求出四边形ABCD的面积．【解答】解：如图，连接AC．∵CD=6cm，AD=8cm，∠ADC=90°，∴AC==10（cm）．∵AB=26cm，BC=24cm，102+242=262．即AC2+BC2=AB2，∴△ABC为直角三角形，∠ACB=90°．∴四边形ABCD的面积=S△ABC﹣S△ACD=×10×24﹣×6×8=96（cm2）．【点评】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，关键判断出直角三角形从而可求出面积．28．如图，滑杆在机械槽内运动，∠ACB为直角，已知滑杆AB长2.5米，顶端A在AC上运动，量得滑杆下端B距C点的距离为1.5米，当端点B向右移动0.5米时，求滑杆顶端A下滑多少米？【考点】勾股定理的应用．【专题】应用题．【分析】由题意可知滑杆AB与AC、CB正好构成直角三角形，故可用勾股定理进行计算．【解答】解：设AE的长为x米，依题意得CE=AC﹣x．∵AB=DE=2.5，BC=1.5，∠C=90°，∴AC===2∵BD=0.5，∴在Rt△ECD中，CE====1.5．∴2﹣x=1.5，x=0.5．即AE=0.5．答：滑杆顶端A下滑0.5米．【点评】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．29．如图，折叠长方形纸片ABCD，先折出折痕（对角线）BD，再折叠使AD边与BD重合，得折痕DG，若AB=4，BC=3，求AG的长．【考点】翻折变换（折叠问题）；勾股定理．【分析】首先由折叠长方形纸片ABCD，先折出折痕（对角线）BD，再折叠使AD边与BD重合，得折痕DG，即可得：∠GDA=∠GDB，AD=ED，然后过点G作GE⊥BD于E，即可得AG=EG，设AG=x，则GE=x，BE=BD﹣DE=5﹣3=2，BG=AB﹣AG=4﹣x，在Rt△BEG中利用勾股定理，即可求得AG的长．【解答】解：过点G作GE⊥BD于E，根据题意可得：∠GDA=∠GDB，AD=ED，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°，AD=BC=3，∴AG=EG，ED=3，∵AB=4，BC=3，∠A=90°，∴BD=5，设AG=x，则GE=x，BE=BD﹣DE=5﹣3=2，BG=AB﹣AG=4﹣x，在Rt△BEG中，EG2+BE2=BG2，即：x2+4=（4﹣x）2，解得：x=，故AG=．【点评】此题考查了折叠的性质、矩形的性质以及勾股定理等知识．此题综合性很强，难度适中，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．30．如图，长方形ABCD中，AB=4，BC=5，将长方形沿折痕AF折叠，点D恰好落在BC边上的点E处．（1）求BE的长；（2）求CF的长．【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】（1）根据矩形的性质得到AD=BC=5，∠D=∠B=∠C=90°，由折叠的性质得到AE=AD=BC=5，根据勾股定理即可得到结果；（2）由（1）知BE=3，于是得到CE=BC﹣BE=2，根据折叠的性质得到EF=DF=4﹣CF，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：（1）长方形ABCD中，∵AD=BC=5，∠D=∠B=∠C=90°，∵△AEF是△ADF沿折痕AF折叠得到的，∴AE=AD=BC=5，∴BE===3；（2）由（1）知BE=3，∴CE=BC﹣BE=2，∵△AEF是△ADF沿折痕AF折叠得到的，∴EF=DF=4﹣CF，∵EF2=CE2+CF2，∴（4﹣CF）2=22+CF2，解得：CF=．【点评】本题主要考查了图形的翻折变换，以及勾股定理、全等三角形、方程思想等知识，关键是熟练掌握勾股定理，找准对应边．31．（2011•大田县校级模拟）已知：a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，试判断△ABC的形状．解：∵a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，①∴c2（a2﹣b2）=（a2+b2）（a2﹣b2）．②∴c2=a2+b2．③∴△ABC是直角三角形．问：（1）在上述解题过程中，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号：③；（2）错误的原因为除式可能为0 ；（3）本题正确的解题过程：【考点】勾股定理的逆定理．【专题】推理填空题．【分析】（1）（2）两边都除以a2﹣b2，而a2﹣b2的值可能为零，由等式的基本性质，等式两边都乘以或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立．（3）根据等式的基本性质和勾股定理，分情况加以讨论．【解答】解：（1）③（2）除式可能为零；（3）∵a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，∴c2（a2﹣b2）=（a2+b2）（a2﹣b2），∴a2﹣b2=0或c2=a2+b2，当a2﹣b2=0时，a=b；当c2=a2+b2时，∠C=90°，∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．故答案是③，除式可能为零．【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用、分类讨论．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．。
专题一 勾股定理(解析版)
八年级北师大版上册第一章勾股定理培优专题一、勾股定理的应用（最短路径）1．如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中AB=18，BC=12，BF=10，点M在棱AB上，且AM=6，点N是FG的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程的平方为（）A．400B．424C．136D．324【答案】A【解析】【分析】利用平面展开图有两种情况，画出图形利用勾股定理求出MN的长即可．【详解】解：如图1，∵AB=18cm，BC=GF=12cm，BF=10cm，∵BM=18-6=12，BN=10+6=16，∵MN2=122+162=400如图2，∵AB=18cm，BC=GF=12cm，BF=10cm，∵PM=18-6+6=18，NP=10，∵MN2=182+102=424．∵因为400<424，所以蚂蚁沿长方体表面从点M爬行到点N的最短距离的平方为400.故选：A．【点睛】此题主要考查了平面展开图的最短路径问题和勾股定理的应用，利用展开图有两种情况分析得出是解题关键．2．如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为_______cm．【答案】15.【分析】过C作CQ∵EF于Q，作A关于EH的对称点A′，连接A′C交EH于P，连接AP，则AP+PC就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，求出A′Q，CQ，根据勾股定理求出A′C即可．【详解】沿过A的圆柱的高剪开，得出矩形EFGH，过C作CQ∵EF于Q，作A关于EH的对称点A′，连接A′C交EH于P，连接AP，则AP+PC就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，∵AE=A′E，A′P=AP，∵AP+PC=A′P+PC=A′C，∵CQ=12×18cm=9cm，A′Q=12cm-4cm+4cm=12cm，在Rt∵A′QC中，由勾股定理得：，故答案为15．3．有一个如图所示的长方体的透明鱼缸，假设其长AD＝80 cm，高AB＝60 cm，水深AE＝40 cm，在水面上紧贴内壁G处有一鱼饵，G在水面线EF上，且EG＝60 cm.一小虫想从鱼缸外的点A处沿缸壁爬到鱼缸内G处吃鱼饵．(1)小虫应该走怎样的路线才可使爬行的路程最短？请画出它的爬行路线，并用箭头标注；(2)试求小虫爬行的最短路程．【答案】(1)如图所示见解析，AQ→QG为最短路线；(2)小虫爬行的最短路程为100 cm.【分析】(1)根据轴对称性质,通过作对称点将折线转化成两点之间线段距离最短.(2)根据AE＝40cm,AA′＝120cm,可得:A′E＝120－40＝80(cm),再根据EG＝60cm,可得:A′G2＝A′E2＋EG2＝802＋602＝10000,A′G＝100cm,进而可得:AQ＋QG＝A′Q＋QG＝A′G＝100cm.【详解】(1)如图所示,AQ→QG为最短路线,(2)因为AE＝40cm,AA′＝120cm,所以A′E＝120－40＝80(cm),因为EG＝60cm,所以A′G2＝A′E2＋EG2＝802＋602＝10000,所以A′G＝100cm,所以AQ＋QG＝A′Q＋QG＝A′G＝100cm,所以小虫爬行的最短路程为100cm.【点睛】本题主要对称性质和勾股定理的应用,解决本题的关键是要熟练掌握利用轴对称性质和勾股定理解决实际问题的方法.勾股定理的实际应用4．有一辆装满货物的卡车，高2.5米，宽1.6米，要开进如图所示的上边是半圆，下边是长方形的桥洞，已知半圆的直径为2米，长方形的另一条边长是2.3米.（1）这辆卡车能否通过此桥洞？试说明你的理由.（2）为了适应车流量的增加，想把桥洞改为双行道，并且要使宽1.2米，高为2.8米的卡车能安全通过，那么此桥洞的宽至少应增加到多少米？【答案】(1)能通过，理由见解析；(2) 桥洞的宽至少应增加到2.6米.【分析】（1）如图①，当桥洞中心线两边各为0.8米时，由勾股定理得方程2220.81x +=，解出x 的值，再用x +2.3与卡车的高2.5作比较即可；（2）如图②，在直角三角形AOB 中，已知OB =1.2，AB =2.8－2.3=0.5，由此可求OA 的长，即桥洞的半径，再乘以2即得结果.【详解】解：（1）能通过.理由如下：如图①所示，当桥洞中心线两边各为0.8米时，由勾股定理得2220.81x +=，解得0.6x =，∵2.5 2.30.6<+，∵卡车能通过.（2）如图②所示，在直角三角形AOB 中，已知OB =1.2，AB =2.8－2.3=0.5，由勾股定理得：22221.20.5 1.3OA =+=，∵ 1.3OA =，∵桥洞的宽至少应增加到1.32 2.6⨯=（米）.① ②【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是正确理解题意，画出图形，弄清相关线段所表示的实际数据. 5．如图，公路MN 和公路PQ 在点P 处交会，公路PQ 上点A 处有学校，点A 到公路MN 的距离为80m ，现有一拖拉机在公路MN上以18km/h的速度沿PN方向行驶，拖拉机行驶时周围100m以内都会受到噪音的影响，试问该校受影响的时间为多长？【答案】24s.【解析】试题分析：设拖拉机开到C处刚好开始受到影响，行驶到D处时结束，在Rt∵ACB中求出CB，继而得出CD，再由拖拉机的速度可得出所需时间．试题解析：设拖拉机开到C处刚好开始受到影响，行驶到D处时结束了噪声的影响．则有CA=DA=100m，在Rt∵ABC中，CB60(m)，∵CD=2CB=120m，∵18km/h=18000m/3600s=5m/s，∵该校受影响的时间为：120÷5=24（s）．答：该校受影响拖拉机产生的噪声的影响时间为24秒．6.如图是某体育广场上的秋千，秋千静止时，其下端离地面0.7m，秋千荡到最高位置时，其下端离地面1.2 m，此时秋千与静止位置时的水平距离为1.5 m，请你根据以上数据计算秋千摆绳的长度．【答案】2.5m ．【分析】根据题意画出图形，表示出图形中相关线段的长，再利用勾股定理得出答案．【详解】解：如图，作BE∵OA ，垂足为E ，由题意得，0.7m AC =， 1.2m BD =， 1.5m BE =，∵ 1.2m CE BD ==， 1.20.70.5(m)AE =-=．设m OA OB x ==，则(0.5)m OE x =-．在Rt OBE 中，由勾股定理得，222OE O E B B -=，即222(0.5) 1.5x x --=，解得 2.5x =．答：秋千摆绳的长度为2.5m ．二、勾股定理与几何问题的应用7．如图，把长方形纸条ABCD 沿EF ，GH 同时折叠，B ，C 两点恰好落在AD 边的P 点处，若∵FPH ＝90°，PF ＝8，PH ＝6，则长方形ABCD 的边BC 的长为( )A ．20B ．22C ．24D ．30【答案】C【详解】 由折叠得： ,,FP BF CH PH ==在Rt PHF ∆ 中，∵FPH ＝90°，PF ＝8，PH ＝6，则10.FH == 故BC=BF+FH+HC=6+8+10=24. 故选C.8．如图，在四边形ABCD 中，AD∵BC ，∵ABC+∵DCB=90°，且BC=2AD ，分别以AB 、BC 、DC 为边向外作正方形，它们的面积分别为S 1、S 2、S 3．若S 2=48，S 3=9，则S 1的值为（ ）A．18B．12C．9D．3【答案】D【分析】过A作AH∵CD交BC于H，根据题意得到∵BAE=90°，根据勾股定理计算即可．【详解】∵S2=48，∵BC A作AH∵CD交BC于H，则∵AHB=∵DCB．∵AD∵BC，∵四边形AHCD是平行四边形，∵CH=BH=AD AH=CD=3．∵∵ABC+∵DCB=90°，∵∵AHB+∵ABC=90°，∵∵BAH=90°，∵AB2=BH2﹣AH2=3，∵S1=3．故选D．【点睛】本题考查了勾股定理，正方形的性质，平行四边形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．9．如图，在∵ABC中，AB=AC=m，P为BC上任意一点，则PA2+PB•PC的值为（）A．m2B．m2+1C．2m2D．（m+1）2【答案】A【分析】如图，作AD∵BC交BC于D，根据勾股定理得AB2=BD2+AD2，AP2=PD2+AD2，再根据D是BC的中点，整理得到AB2﹣AP2=PB•PC，再把AB=m代入求解即可.【详解】解：如图，作AD∵BC交BC于D，AB2=BD2+AD2 ①，AP2=PD2+AD2 ②，①﹣②得：AB2﹣AP2=BD2﹣PD2，∵AB2﹣AP2=（BD+PD）（BD﹣PD），∵AB=AC，∵D是BC中点，∵BD+PD=PC，BD﹣PD=PB，∵AB2﹣AP2=PB•PC，∵PA2+PB•PC=AB2=m2．故选A.10．如图，点E 是正方形ABCD 内一点，将ABE ∆绕点B 顺时针旋转90到CBE '∆的位置，若1,2,3AE BE CE ===，求BE C '∠的度数．【答案】135︒【分析】连接EE`,如图,根据旋转的性质得BE=B E'=2,AE=C E'=1,∵EBE`=90°,则可判断∵BEE`为等腰直角三角形,根据等腰直角三角形的性质得在∵CE E'中,由于CE`2 +E E'2=CE 2,根据勾股定理的逆定理得到∵CEE`为直角三角形,即∵EE`C=90°,然后利用∵B E'C=∵B E'E+∵C E'E 求解【详解】连接EE`,如图,∵∵ABE 绕点B 顺时针旋转90°得到∵CBE`∵BE=BE'=2,AE=CE'=1,∵EB E'=90°∵∵BE E'为等腰直角三角形在∵CEE`中∵122=32∵CE 2+E E'2= CE 2∵∵CE E'为直角三角形∵∵E E'C=90°∵∵B E'C=∵B E'E+∵C E'E=135°【点睛】此题考查了等腰直角三角形，勾股定理的逆定理，正方形的性质和旋转的性质，利用勾股定理证明三角形是直角三角形是解题关键11．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“爽弦图”（如图1）．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为1S ，2S ，3S ，若12315S S S ++=，则2S 的值是__________．【答案】5【分析】根据图形的特征得出四边形MNKT 的面积设为x ，将其余八个全等的三角形面积一个设为y ，从而用x ，y 表示出1S ，2S ，3S ，得出答案即可．【详解】解：将四边形M TKN 的面积设为x ，将其余八个全等的三角形面积一个设为y ，正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为1S ，2S ，3S ，12310S S S ++=， ∴得出18S y x ，24S y x ，3S x =， 12331215S S S x y ，故31215x y， 154=53x y ， 所以245S x y ， 故答案为：5．【点睛】此题主要考查了图形面积关系，根据已知得出用x ，y 表示出1S ，2S ，3S ，再利用12315S S S ++=求出是解决问题的关键．12．如图，P 是等边三角形ABC 内的一点，连接PA ，PB ，PC ，以BP 为边作60PBQ ∠=︒，且BQ=BP ，连接CQ.若::3:4:5PA PB PC =，连接PQ ，试判断PQC △的形状，并说明理由.【答案】PQC △是直角三角形,理由详见解析【解析】【分析】先利用SAS 证明∵ABP ∵∵CBQ ，得到AP=CQ ；设PA =3a ，PB =4a ，PC =5a ，由已知可判定∵PBQ 为正三角形，从而可得PQ =4a ，再根据勾股定理的逆定理即可判定∵PQC 是直角三角形．【详解】解：PQC △是直角三角形. 理由如下：在ABP △与CBQ △中，∵AB CB =，BP BQ =，60ABC PBQ ∠=∠=︒，∵ABP ABC PBC PBQ PBC CBQ ∠=∠-∠=∠-∠=∠.∵ABP CBQ ≌△△.∵AP CQ =.∵::3:4:5PA PB PC =，∵设3PA a =，4PB a =，5.PC a =在PBQ △中，由于4PB BQ a ==，且60PBQ ∠=︒，∵PBQ △为等边三角形.∵4PQ a =.在PQC △中，∵22222216925PQ QC a a a PC +=+==，∵PQC △为直角三角形.【点睛】此题考查了等边三角形的性质、勾股定理逆定理和全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过证明ABP CBQ≌△△得出AP=CQ.13．已知：如图，∵ABC中，AB=AC=10，BC=16，点D在BC上，DA∵CA于A．求：BD的长．【答案】7 2【分析】先根据等腰三角形的性质和勾股定理求出AE=6，设BD=x，则DE=8﹣x，DC=16﹣x．在Rt∵ADE和Rt∵ADC中利用勾股定理得：AD2=AE2+DE2=DC2﹣AC2，继而代入求出x的值即可．【详解】如图,过点A作AE∵BC于点E，∵AB=AC=10，BC=16，∵BE=CE=8，在Rt∵ACE中，利用勾股定理可知：AE=6，设BD=x，则DE=8﹣x，DC=16﹣x，又DA∵CA，在Rt∵ADE和Rt∵ADC中分别利用勾股定理得：AD2=AE2+DE2=DC2﹣AC2，代入为：62+（8﹣x）2=（16﹣x）2﹣102，解得：x=72．即BD=72．【点睛】本题考查了勾股定理及等腰三角形的性质，解题的关键是在Rt∵ADE和Rt∵ADC中分别利用勾股定理，列出等式AD2=AE2+DE2=DC2﹣AC2．14．已知：AB=AC，且AB∵AC，D在BC上，求证：2222BD CD AD+=．【答案】证明见解析【分析】作AE∵BC于E，由于∵BAC=90°，AB=AC，得到∵BAC是等腰直角三角形，再由等腰直角三角形的性质得到BE=AE=EC，进而得到BD= AE－DE，DC= AE+DE，代入BD2+CD2计算，结合勾股定理，即可得到结论．【详解】作AE∵BC于E，如图所示．∵AB=AC，且AB∵AC，∵∵BAC是等腰直角三角形．∵AE∵BC，∵BE=AE=EC，∵BD=BE －DE=AE－DE，DC=EC+DE= AE+DE，∵BD2+CD2= （AE－DE）2+（AE+DE）2= AE2+DE2-2AE•DE+ AE2+DE2+2AE•DE= 2AE2+2DE2= 2（AE2+DE2）=2AD2．【点睛】本题主要考查勾股定理及等腰直角三角形的性质，关键在于得出BD= AE－DE，DC= AE+DE．三、动点问题15．已知，如图，在Rt∵ABC中，∵C=90°，∵A=30°，BC=18cm．动点P从点A出发，沿AB向点B运动，动点Q从点B出发，沿BC向点C运动，如果动点P以2cm/s，Q以1cm/s的速度同时出发，设运动时间为t(s)，解答下列问题：(1)t为______时，∵PBQ是等边三角形？(2)P，Q在运动过程中，∵PBQ的形状不断发生变化，当t为何值时，∵PBQ是直角三角形？说明理由．【答案】(1)12；(2)当t为9或725时，∵PBQ是直角三角形，理由见解析.【分析】（1）根据等边三角形的性质解答即可；（2）分两种情况利用直角三角形的性质解答即可．【详解】(1)要使，∵PBQ是等边三角形，即可得：PB=BQ，∵在Rt∵ABC中，∵C=90°，∵A=30°，BC=18cm．∵AB=36cm，可得：PB=36-2t，BQ=t，解得：t=12故答案为；12(2)当t为9或725时，∵PBQ是直角三角形，理由如下：∵∵C=90°，∵A=30°，BC=18cm∵AB=2BC=18×2=36(cm)∵动点P以2cm/s，Q以1cm/s的速度出发∵BP=AB-AP=36-2t，BQ=t∵∵PBQ是直角三角形∵BP=2BQ或BQ=2BP当BP=2BQ时，36-2t=2t解得t=9当BQ=2BP时，t=2(36-2t)解得t=72 5所以，当t为9或725时，∵PBQ是直角三角形．【点睛】此题考查了等边三角形的判定和含30°角的直角三角形的性质，关键是含30°角的直角三角形的性质的逆定16．如图1，Rt∵ABC 中，∵ACB =90．，直角边AC 在射线OP 上，直角顶点C 与射线端点0重合，AC =b ，BC =a ，30a -=．（1）求a ，b 的值；（2）如图2，向右匀速移动Rt∵ABC ，在移动的过程中Rt∵ABC 的直角边AC 在射线OP 上匀速向右运动，移动的速度为1个单位／秒，移动的时间为t 秒，连接OB ．①若∵OAB 为等腰三角形，求t 的值；②Rt∵ABC 在移动的过程中，能否使∵OAB 为直角三角形？若能，求出t 的值：若不能，说明理由．【答案】（1）a =3，b =4（2）①t =4或t =1；②能．t =94． 【分析】（1）根据两个非负数的和为零则每一个数都为零，得出b -4=0 ,a -3=0 ,求解即可得出a ,b 的值；（2） ①首先根据勾股定理算出AB 的长及用含t 的式子表示出OA ,OB 2 ，然后分三类讨论：当OB =AB 时；当AB =OA 时 ；当OB =OA 时 ；一一列出方程求解即可得出t 的值； ②能．由于t ＞0，点C 在OP 上，∵ACB = 90，故只能是∵OBA =90°，根据勾股定理得出关于t 的方程求出t 的值即可. 【详解】（1）解0≥,30a -≥， 30a -=，0=， 30a -=∵a=3，b=4（2）解:①∵AC=4，BC=3，∵AB，∵OC=t∵OB2=t2+32=t2+9，OA=t+4，当OB=AB时，t2+9=25，解得t=4或t=﹣4（舍去）；当AB=OA时，5=t+4，解得t=1；当OB=OA时，t2+9=（t+4）2，解得t=-78（舍去）．综上所述，t=4或t=1；②能．∵t＞0，点C在OP上，∵ACB ∵只能是∵OBA=90°，∵OB2+AB2=OA2，即t2+9+25=（t+4）2，解得t=94．∵Rt∵ABC在移动的过程中，能使∵OAB为直角三角形，此时t=94．【点睛】本题考查了非负数的性质，勾股定理的应用，等腰三角形的定义及分类讨论的数学思想.掌握非负数的性质是解（1）的关键，掌握勾股定理及分类讨论的数学思想是解（2）的关键.四、分类讨论的思想17．阅读：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数a，b，c，称为勾股数．世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数组公式为：22221()21()2a m n b mnc m n ⎧=-⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩其中m ＞n ＞0，m ，n 是互质的奇数．应用：当n=1时，求有一边长为5的直角三角形的另外两条边长．【答案】12，13或3，4．【详解】试题分析：由n=1，得到a= （m 2﹣1）①，b=m②，c=（m 2+1）③，根据直角三角形有一边长为5，分情况，列方程即可得到结论．试题解析：当n=1，a=12（m 2﹣1）①，b=m②，c=12（m 2+1）③， ∵直角三角形有一边长为5，∵∵、当a=5时，12（m 2﹣1）=5，解得：（舍去）， ∵、当b=5时，即m=5，代入①③得，a=12，c=13，∵、当c=5时，12（m 2+1）=5，解得：m=±3， ∵m ＞0，∵m=3，代入①②得，a=4，b=3，综上所述，直角三角形的另外两条边长分别为12，13或3，4．18．∵ABC 中，AB=15，AC=13，高AD=12，则∵ABC 的周长为（ ）A ．42B ．32C ．42或32D ．37或33 【答案】C【分析】存在2种情况，∵ABC是锐角三角形和钝角三角形时，高AD分别在∵ABC的内部和外部【详解】情况一：如下图，∵ABC是锐角三角形∵AD是高，∵AD∵BC∵AB=15，AD=12∵在Rt∵ABD中，BD=9∵AC=13，AD=12∵在Rt∵ACD中，DC=5∵∵ABC的周长为：15+12+9+5=42情况二：如下图，∵ABC是钝角三角形在Rt∵ADC中，AD=12，AC=13，∵DC=5在Rt∵ABD中，AD=12，AB=15，∵DB=9∵BC=4∵∵ABC的周长为：15+13+4=32故选：C【点睛】本题考查勾股定理，解题关键是多解，注意当几何题型题干未提供图形时，往往存在多解情况.18．如图是某商品的商标，由七个形状、大小完全相同的正六边形组成．我们称正六边形的顶点为格点，已知∵ABC的顶点都在格点上，且AB边位置如图所示，则∵ABC是直角三角形的个数有（）A．6个B．8个C．10个D．12个【答案】C【分析】根据正六边形的性质，分AB是直角边和斜边两种情况确定出点C的位置即可得解．【详解】如图所示：AB是直角边时，点C共有6个位置，即有6个直角三角形，AB是斜边时，点C共有4个位置，即有4个直角三角形，综上所述，∵ABC是直角三角形的个数有6+4=10个.故答案选：C.【点睛】本题考查的知识点是正多边形和圆, 勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握正多边形和圆, 勾股定理的逆定理.。
北师大版八年级上册第一章《勾股定理》解答题综合训练(附答案)
第一章《勾股定理》解答题综合训练1.如图，在Rt △ABC 中，AC ＝8cm ，BC ＝17cm.(1)求AB 的长； (2)求阴影长方形的面积.2. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，BC ＝5，AC ＝12，求AB 、CD 的长.3. 折叠长方形ABCD 的一边AD ，使点D 落在BC 边的F 点处，若AB=8 cm ，BC=10 cm ，求EC 的长.4. 已知：在矩形ABCD 内（外）有一点P 。
求证：PA 2+PC 2=PB 2+PD 2ECF D A5.已知：四边形ABCD中，BD、AC相交于O，且BD垂直AC，求证：AB2+CD2=AD2+BC2D COAB6.已知：钝角三角形BAC,CD垂直BA延长线于D，求证：BC2=AB2+AC2+2AB˙ADDAB C7.已知：△ABC中，AD为BC中线，求证：AB2+AC2=2(AD2+BD2)A8.已知：如图，△ABC中，AB=AC=10，BC=16，点D在BC上，DA⊥CA于A。
求：BD的长。
9.如图，在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，求△ABC的面积。
10.如图，在△ABC中，AB=5，BC=6,BC边上的中线AD=4,求AC的长．11. 已知a 、b 、c 为三角形的三边且满足50-1086222c b a c b a ++=++,试判断三角形的形状.12. 已知：如图，四边形ABCD 中，∠ACB ＝90°,AB=15，BC=9，AD=5,DC=13,求证：△ACD 是直角三角形．13. 如图，四边形ABCD 中，AB=20，BC=15，CD=7,AD=24,∠B=90°. (1)判断∠D 是否是直角，并说明理由. (2)求四边形ABCD 的面积．14. 如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC ＝6cm ，BC ＝8cm ，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它恰好落在斜边AB 上，且与AE 重合，求CD 的长。
八年级数学上册《第一章 勾股定理的应用》练习题-带答案(北师大版)
八年级数学上册《第一章勾股定理的应用》练习题-带答案(北师大版)一、选择题1.一艘轮船以16海里∕时的速度从港口A出发向东北方向航行，同时另一艘轮船以12海里∕时从港口A出发向东南方向航行.离开港口1小时后，两船相距( )A.12海里B.16海里C.20海里D.28海里2.小明想知道学校旗杆(垂直地面)的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了1m，当他把绳子拉直后，发现绳子下端拉开5m，且下端刚好接触地面，则旗杆的高是( )A.6mB.8mC.10mD.12m3.一只蚂蚁沿直角三角形的边长爬行一周需2秒，如果将直角三角形的边长扩大1倍，那么这只蚂蚁再沿边长爬行一周需( ).A.6秒B.5秒C.4秒D.3秒4.如图，有一个由传感器控制的灯A装在门上方离地高4.5 m的墙上，任何东西只要移至距该灯5 m及5 m以内时，灯就会自动发光，请问一个身高1.5 m的学生要走到离墙多远的地方灯刚好发光？( )A.4 mB.3 mC.5 mD.7 m5.如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行( )A.8米B.10米C.12米D.14米6.将一根长24 cm的筷子，置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长为hcm，则h的取值范围是( )A.5≤h≤12B.5≤h≤24C.11≤h≤12D.12≤h≤247.如图，A，B两个村庄分别在两条公路MN和EF的边上，且MN∥EF，某施工队在A，B，C三个村之间修了三条笔直的路.若∠MAB＝65°，∠CBE＝25°，AB＝160km，BC＝120km，则A，C 两村之间的距离为( )A.250kmB.240kmC.200kmD.180km8.如图，O是Rt△ABC的角平分线的交点，OD∥AC，AC＝5，BC＝12，OD等于( )A.2B.3C.1D.1二、填空题9.如图，两阴影部分都是正方形，如果两正方形面积之比为1：2，那么，两正方形的面积分别为．10.如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了步路(假设2步为1米)，却踩伤了花草．11.如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行米．12.如图所示，由四个全等的直角三角形拼成的图中，直角边长分别为2，3，则大正方形的面积为________，小正方形的面积为________．13.如图，在一个高为5m，长为13m的楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至少是．14.等腰△ABC的底边BC＝8cm，腰长AB＝5cm，一动点P在底边上从点B开始向点C以0.25cm/秒的速度运动，当点P运动到PA与腰垂直的位置时，点P运动的时间应为秒.三、解答题15.如图，小明将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端5米处，发现此时绳子底端距离打结处约1米，请算出旗杆的高度．16.如图①，一架梯子AB长2.5m，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5m，梯子滑动后停在DE的位置上.如图②所示，测得BD＝0.5m，求梯子顶端A下滑的距离.17.如图，飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一男孩子头顶上方4000米处，过了20秒，飞机距离这个男孩头顶50000米.飞机每小时飞行多少千米？18.如图所示，某公路一侧有A、B两个送奶站，C为公路上一供奶站，CA和CB为供奶路线，现已测得AC＝8km，BC＝15km，AB＝17km，∠1＝30°，若有一人从C处出发，沿公路边向右行走，速度为2.5km/h，问：多长时间后这个人距B送奶站最近？19.如图，∠AOB＝90°，OA＝45cm，OB＝15cm，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球.如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是多少？20.如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，若点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动，设运动时间为t秒(t＞0).(1)若点P在AC上，且满足PA＝PB时，求出此时t的值；(2)若点P恰好在∠BAC的角平分线上，求t的值.参考答案1.C.2.D.3.C4.A.5.B6.C.7.C.8.A.9.答案为：12，24．10.答案为：8．11.答案为：10．12.答案为：13，1.13.答案为：17m．14.答案为：7或25.15.解：设旗杆的高度为x米，根据勾股定理得x2＋52＝(x＋1)2解得：x＝12；答：旗杆的高度为12米．16.解：在Rt△ABC中，AB＝2.5m，BC＝1.5m故AC＝2m在Rt△ECD中，AB＝DE＝2.5米，CD＝(1.5＋0.5)＝2m 故EC＝1.5m故AE＝AC﹣CE＝2﹣1.5＝0.5m答：梯子顶端A下落了0.5m.17.解：如图，在Rt△ABC中，根据勾股定理可知BC＝3000(米).3000÷20＝150米/秒＝540千米/小时.所以飞机每小时飞行540千米.18.解：过B作BD⊥公路于D．∵82＋152＝172∴AC2＋BC2＝AB2∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°．∵∠1＝30°∴∠BCD＝180°﹣90°﹣30°＝60°．在Rt△BCD中∵∠BCD＝60°∴∠CBD＝30°∴CD＝0.5BC＝0.5×15＝7.5(km)．∵7.5÷2.5＝3(h)∴3小时后这人距离B送奶站最近．19.解：∵小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，运动时间相等即BC＝CA设AC为x，则OC＝45﹣x由勾股定理可知OB2＋OC2＝BC2又∵OA＝45，OB＝15把它代入关系式152＋(45﹣x)2＝x2解方程得出x＝25(cm)．答：如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是25cm．20.解：(1)设存在点P，使得PA＝PB此时PA＝PB＝2t，PC＝4﹣2t在Rt△PCB中，PC2＋CB2＝PB2即：(4﹣2t)2＋32＝(2t)2解得：t ＝∴当t ＝时，PA ＝PB ；(2)当点P 在∠BAC 的平分线上时，如图1，过点P 作PE ⊥AB 于点E 此时BP ＝7﹣2t ，PE ＝PC ＝2t ﹣4，BE ＝5﹣4＝1在Rt △BEP 中，PE 2＋BE 2＝BP 2即：(2t ﹣4)2＋12＝(7﹣2t)2解得：t ＝83∴当t ＝83时，P 在△ABC 的角平分线上.。
(完整版)北师大版八年级上勾股定理分类详题
勾股定理分类题型一，认识直角三角（利用正方形认识直角三角形）每个小正方形的边长都为1,利用面积求出△ ABC的面积应用题目1.如图1中,64、400分别为所在正方形的面积，则图中A字母所代表的正方形面积是2、如图4,所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm,则正方形A, B, C, D的面积之和为crh。
3、如图，所有的四边形都是正方形所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为6cm,则正方形A, B, C,D的面积之和为cm2。
4、如图所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为9,正方形A的边长为6,B的边长为5,C的边长为4,则正方形D的边长是5、以面积为9 cm2的正方形对角线为边作正方形，其面积为（）结论：由以上几题可知Rt三角形中。
若a, b分别为直角边，c为斜边，那么直角三角形三边的关系为 a 2 +b2 =c2注意：直角三角形中，最长的边为斜边，较智短的两边为直角边二，勾股数如果一个三角形的三边满足两短边的平方和等于长边的平方，那么这个三角形为直角三形，这组数据称为勾股数常见的勾股数有（需要记住的勾股数）:3 4 5 6 8 10 5 12 13 8 15 17 7 24 25对应题目1.在RtAABC 中，Z C=90° （1）若a=3, b=4,则c=;（2）若b=8, c=17, WJ a=;2、在Rt△ ABC中，/C=90° ,若a=5, b=12,则c=;3、以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（）A . 2, 3, 4B . 10, 8, 4C . 7, 25, 24D . 7, 15, 124、已知一个RtA的两边长分别为3和4,则第三边长的平方是（）A . 25B . 14C . 7 D. 7 或255、分别有下列几组数据：①6、8、10②12、13、5③17、8、15④4、11、9其中能构成直角三形的有：（）A、4组B、3组C、2组D、1组6、下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（）A. 1.5,2,3;B. 7,24,25;C. 6,8,10;D. 9,12,15222^ ^22 2 2 7、下列各组线段中的二个长度①9、12、15;② 7、24、25;③ 3、4、5;④ 3a、4a、5a （a>0）;⑤ m-n、2mn m+n（m n为正整数，且m>D其中可以构成直角三角形的有（）A、5 组；B、4 组；C、3 组；D、2 组8.适合下列条件的△ ABC中，直角三角形的个数为（）① a 1,b 1,c 1；② a 6, Z A=450；③Z A=320, Z B=5& ④ a 7,b 24,c 25;⑤ a 2,b 2,c 4.3 4 5A. 2 个；B. 3 个；C. 4 个；D. 5 个9. --------------------------------------------------------------------------------------------------- 直角三角形的三边长为连续的三个自然数，三边的长分别为 -------------------------------------------------------------- ，周长为。
北师大八年级上勾股定理题型总结
北师大八年级上勾股定理题型总结Prepared on 21 November 2021《勾股定理》典型例题分析一、知识要点：1、勾股定理勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
也就是说：如果直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c ，那么 a2 + b2= c2。
公式的变形：a2 = c2- b2， b2= c2-a2 。
2、勾股定理的逆定理如果三角形ABC的三边长分别是a，b，c，且满足a2 + b2= c2，那么三角形ABC 是直角三角形。
这个定理叫做勾股定理的逆定理.该定理在应用时，同学们要注意处理好如下几个要点：①已知的条件：某三角形的三条边的长度.②满足的条件：最大边的平方=最小边的平方+中间边的平方.③得到的结论：这个三角形是直角三角形，并且最大边的对角是直角.④如果不满足条件，就说明这个三角形不是直角三角形。
3、勾股数满足a2 + b2= c2的三个正整数，称为勾股数。
注意：①勾股数必须是正整数，不能是分数或小数。
②一组勾股数扩大相同的正整数倍后，仍是勾股数。
常见勾股数有：（3，4，5）(5，12，13) (6，8，10)(7，24，25)(8，15，17)(9，12，15)4、最短距离问题：主要运用的依据是两点之间线段最短。
二、考点剖析考点一：利用勾股定理求面积1、求阴影部分面积：（1）阴影部分是正方形；（2）阴影部分是长方形；（3）阴影部分是半圆．2. 如图，以Rt△ABC的三边为直径分别向外作三个半圆，试探索三个半圆的面积之间的关系．3、如图所示，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是S1、S2、S3，则它们之间的关系是（）A. S1- S2= S3B. S1+ S2= S3C. S2+S3< S1D. S2- S3=S14、四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积。
5、在直线l上依次摆放着七个正方形（如图4所示）。
北师大版八年级上册数学《勾股定理》必考题型专题练习
北师大版八年级上册数学《勾股定理》必考题型专题练习1.判断下列几组数能否作为直角三角形的三边长.（1）8，15，17；（2）7，12，15；（3）12，15，20；（4）7，24，25．2. 蚂蚁沿图中所示的折线由点A爬到了点D，蚂蚁一共爬行了多少厘米？（图中小方格的边长代表1厘米）3. 一艘帆船由于风向的原因先向正东方向航行了160km，然后向正北方向航行了120km，这时它离出发点有多远？A CB4. 小明从家出发向正北方向走了150m，接着向正东方向走到离家250m远的地方．小明向正东方向走了多远？5. 如图，BC长为3cm，AB长为4cm，AF长为12cm．求正方形CDEF的面积.6. 一架云梯长25m，如图那样斜靠在一面墙上，云梯底端离墙7m．（1）这架云梯的顶端距地面有多高？（2）如果云梯的顶端下滑了4m，那么它的底部在水平方向也滑动了4m吗？7. 如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B离点C的距离为5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短路程是多少？8. 如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B离点C的距离为5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短路程是多少？9. 装修工人购买了一根装饰用的木条，乘电梯到小明家安装．如果电梯的长、宽、高分别是1.5m、1.5m，2.2m，那么能放入电梯内的木条的最大长度大约是多少米？你能估计出装修工人买的木条最少是多少米吗？提升练习：1. 如图所示，AC⊥CD，垂足为点C，BD⊥CD，垂足为点D，AB与CD交于点O.若AC＝1，BD＝2，CD＝4，则AB＝________.2.如图所示的网格是正方形网格,则∠PAB+∠PBA= °(点A,B,P是网格线交点).3. 如图，在四边形ABCD中，∠C=90°，AB=13，BC=4，CD=3，AD=12，求证：AD⊥BD．4. 已知：如图△ABC中，AB=AC=10，BC=16，点D在BC上，DA⊥CA于A．求：BD的长．5.如图,等腰直角三角板如图放置,直角顶点C在直线m上,分别过点A,B作AE⊥直线m于点E,BD⊥直线m于点D.(1)求证:EC=BD.(2)若设△AEC三边分别为a,b,c,利用此图证明勾股定理.6. 如图，在△ABC 中，∠C=90°，D 是AB 的中点，DE⊥DE，DE 、DF 分别交AC 、BC 、于E 、F ，求证：北师大版八年级上册数学《勾股定理》必考题型专题练习（答案版）1.判断下列几组数能否作为直角三角形的三边长.（1）8，15，17； （2）7，12，15；（3）12，15，20；（4）7，24，25．解：①82+152=172，能；②72+122≠152，不能；③122+152≠202，不能；④72+242=252，能．2. 蚂蚁沿图中所示的折线由点A 爬到了点D ，蚂蚁一共爬行了多少厘米？（图中小方格的边长代表1厘米）解：根据勾股定理分别求得AB=5cm ，BC=13cm ，CD=10cm ，222BF AE EF +=所以蚂蚁一共爬了5+13+10=28（cm ）．3. 一艘帆船由于风向的原因先向正东方向航行了160km ，然后向正北方向航行了120km ，这时它离出发点有多远？解：如图，A 为出发点，B 为正东方向航行了160km 的地点，C 为向正北方向航行了120km 的地点，故AB=160km ，BC=120km ．在Rt △ABC 中，由勾股定理得AC 2= AB 2+BC 2=40000．所以AC=200km ．即这时它离出发点200km ．4. 小明从家出发向正北方向走了150m ，接着向正东方向走到离家250m 远的地方．小明向正东方向走了多远？解：如图,AB=150m ，AC=250m ，则BC 2= AC 2-BC 2=40000．所以BC=200 m ．答：小明向正东方向走了200m ．5. 如图，BC 长为3cm ，AB 长为4cm ，AF 长为12cm ．求正方形CDEF 的面积.解：在Rt △ACB 中，AC 2=AB 2+CB 2=32+42=25，在Rt △ACF 中，FC 2=AC 2+AF 2=25+144=169，A CB故正方形CDEF的面积为169．6. 一架云梯长25m，如图那样斜靠在一面墙上，云梯底端离墙7m．（1）这架云梯的顶端距地面有多高？解：如图，在Rt△ADE中，由勾股定理得AE2+DE2=AD2，即AE2+72=252，所以AE=24（m）.即这架云梯的顶端AE距地面有24 m高.（2）如果云梯的顶端下滑了4m，那么它的底部在水平方向也滑动了4m吗？解：梯子的底端在水平方向滑动了8m．理由：因为云梯的顶端A下滑了4m至点A′，所以A′E=AE－AA′=24－4=20（m）．在Rt△A′ED′中，由勾股定理得D′E2=A′D′2－A′E2=252－202，所以D′E=15（m）.所以DD′=ED′－ED=15－7=8（m），即梯子的底端在水平方向也滑动了8m．7. 如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B离点C的距离为5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短路程是多少？解：如图1，把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形.∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，∴BD=CD+BC=10+5=15，AD=20，在Rt△ABD中，根据勾股定理得：∴AB2=BD2+AD2=152+202=625.8. 如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B离点C的距离为5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短路程是多少？解：如图2,把长方体的右侧表面剪开与上底面这个面所在的平面形成一个长方形，∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，∴BD=CD+BC=20+5=25，AD=10.在Rt△ABD中，根据勾股定理得：∴AB2=BD2+AD2=252+102=725.9. 装修工人购买了一根装饰用的木条，乘电梯到小明家安装．如果电梯的长、宽、高分别是1.5m、1.5m，2.2m，那么能放入电梯内的木条的最大长度大约是多少米？你能估计出装修工人买的木条最少是多少米吗？解：如图，由勾股定理得AB2=1.52+1.52=4.5，∴BC≈3.06（米）；能放入电梯内的木条的最大长度大约是3.06米，估计装修工人买的木条最少是1.5米．提升练习：1. 如图所示，AC⊥CD，垂足为点C，BD⊥CD，垂足为点D，AB与CD交于点O.若AC＝1，BD＝2，CD＝4，则AB＝________.2.如图所示的网格是正方形网格,则∠PAB+∠PBA= °(点A,B,P是网格线交点).3. 如图，在四边形ABCD中，∠C=90°，AB=13，BC=4，CD=3，AD=12，求证：AD⊥BD．4. 已知：如图△ABC中，AB=AC=10，BC=16，点D在BC上，DA⊥CA于A．求：BD的长．5.如图,等腰直角三角板如图放置,直角顶点C 在直线m 上,分别过点A,B 作AE ⊥直线m 于点E,BD ⊥直线m 于点D.(1)求证:EC=BD.(2)若设△AEC 三边分别为a,b,c,利用此图证明勾股定理.6. 如图，在△ABC 中，∠C=90°，D 是AB 的中点，DE⊥DE，DE 、DF 分别交AC 、BC 、于E 、F ，求证：222BF AE EF +=。
最新2019-2020年度北师大版八年级数学上册《勾股定理》综合测试题及答案解析-精品试题
《第1章勾股定理》一、填空题1．直角三角形两条直角边的长分别为5、12，则斜边长为，斜边上的高为．2．已知直角三角形的两边的长分别是3和4，则第三边长为．3．已知等腰三角形的腰长为5cm，底边长为6cm，则这个三角形的面积为cm2．4．如图所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为8，正方形A的面积是11，B的面积是10，C的面积是13，则D的面积为．5．如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则它至少要飞行米．6．如图，直线l过正方形ABCD的顶点B，点A，C到直线l的距离分别是1和2，则正方形ABCD 的面积是．7．如图，是一个长方体，长4、宽3、高12，则图中阴影部分的三角形的周长为．8．在△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边．若a=6，c=10，则b= ；若a=12，b=5，则C= ；若c=15，b=13，则a= ．9．在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，若AB=13，BC=10，则AD= ．10．若一个直角三角形的三边长分别是6、8、a，则a2= ．11．等腰三角形的腰长为10，底边上的高为6，则底边长为．12．小颖从学校出发向南走了150m，接着向东走了80m到达书店，则学校与书店的距离是m．13．飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到小刚头顶正上方4000米处，过了20秒，飞机距离小刚5000米，则飞机每小时飞行千米．二、选择题14．下列几组数中不能作为直角三角形三边长度的是（）A．a=7，b=24，c=25 B．a=1.5，b=2，c=2.5C．D．a=15，b=8，c=1715．在下列以线段a，b，c的长为三边的三角形中，不能构成直角三角形的是（）A．a=9，b=41，c=40 B．a=5，b=12，c=13C．a：b：c=3：4：5 D．a=11，b=12，c=1516．△ABC中，AB=13cm，AC=15cm，高AD=12，则BC的长为（）A．14 B．4 C．14或4 D．以上都不对17．“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为13，直角三角形中短直角边a，较长直角边为了b，那么（a+b）2的值为（）A．13 B．14 C．25 D．16918．如图，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C处，BC交AD于E，AD=8，AB=4，则DE的长为（）A．3 B．4 C．5 D．619．两只小鼹鼠在地下打洞，一只朝前方挖，每分钟挖8cm，另一只朝左挖，每分钟挖6cm，10分钟后，两只小鼹鼠相距（）A．50cm B．100cm C．140cm D．80cm20．一个圆桶底面直径为24cm，高32cm，则桶内所能容下的最长木棒为（）A．20cm B．50cm C．40cm D．45cm21．如图，将一根长24cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形茶杯中，设筷子露在杯子外面的长为acm（茶杯装满水），则a的取值范围是．22．直角三角形的周长为24，斜边长为10，则其面积为（）A．96 B．49 C．24 D．4823．有下面的判断：①△ABC中，a2+b2≠c2，则△ABC不是直角三角形．②△ABC是直角三角形，∠C=90°，则a2+b2=c2．③若△ABC中，a2﹣b2=c2，则△ABC是直角三角形．④若△ABC 是直角三角形，则（a+b）（a﹣b）=c2．以上判断正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个三、解答题：24．在Rt△ABC中，∠C=90°，已知c=25，b=15，求a．25．甲、乙两同学在操场上，从同一旗杆处出发，甲向北走18米，乙向东走16米以后，又向北走6米，此时甲、乙两同学相距多远？26．一梯子斜靠在某建筑物上，当梯子的底端离建筑物9m时，梯子可以达到的高度是12m，你能算出梯子的长度吗？27．如图是一块地，已知AD=8cm，CD=6cm，∠D=90°，AB=26cm，BC=24cm，求这块地的面积．28．如图，滑杆在机械槽内运动，∠ACB为直角，已知滑杆AB长2.5米，顶端A在AC上运动，量得滑杆下端B距C点的距离为1.5米，当端点B向右移动0.5米时，求滑杆顶端A下滑多少米？29．如图，折叠长方形纸片ABCD，先折出折痕（对角线）BD，再折叠使AD边与BD重合，得折痕DG，若AB=4，BC=3，求AG的长．30．如图，长方形ABCD中，AB=4，BC=5，将长方形沿折痕AF折叠，点D恰好落在BC边上的点E处．（1）求BE的长；（2）求CF的长．31．已知：a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，试判断△ABC的形状．解：∵a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，①∴c2（a2﹣b2）=（a2+b2）（a2﹣b2）．②∴c2=a2+b2．③∴△ABC是直角三角形．问：（1）在上述解题过程中，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号：；（2）错误的原因为；（3）本题正确的解题过程：《第1章勾股定理》（山东省济南市兴济中学）参考答案与试题解析一、填空题1．直角三角形两条直角边的长分别为5、12，则斜边长为13 ，斜边上的高为．【考点】勾股定理．【分析】可先用勾股定理求出斜边长，然后再根据直角三角形面积的两种公式求解即可．【解答】解：由勾股定理可得：AB2=52+122，则AB=13，直角三角形面积S=×5×12=×13×CD，可得：斜边的高CD=．故答案为：13，．【点评】本题考查勾股定理及直角三角形面积公式的综合运用，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理，此题难度不大．2．已知直角三角形的两边的长分别是3和4，则第三边长为5或．【考点】勾股定理．【专题】分类讨论．【分析】已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论：①3是直角边，4是斜边；②3、4均为直角边；可根据勾股定理求出上述两种情况下，第三边的长．【解答】解：①长为3的边是直角边，长为4的边是斜边时：第三边的长为：=；②长为3、4的边都是直角边时：第三边的长为：=5；综上，第三边的长为：5或．故答案为：5或．【点评】此题主要考查的是勾股定理的应用，要注意的是由于已知的两边是直角边还是斜边并不明确，所以一定要分类讨论，以免漏解．3．已知等腰三角形的腰长为5cm，底边长为6cm，则这个三角形的面积为12 cm2．【考点】勾股定理；等腰三角形的性质．【分析】作底边上的高，根据等腰三角形三线合一和勾股定理求出高，再代入面积公式求解即可．【解答】解：如图，作底边BC上的高AD，则AB=5cm，BD=×6=3cm，∴AD===4，∴三角形的面积为：×6×4=12cm2．【点评】本题利用等腰三角形“三线合一”作出底边上的高，再根据勾股定理求出高的长度，作高构造直角三角形是解题的关键．4．如图所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为8，正方形A的面积是11，B的面积是10，C的面积是13，则D的面积为30 ．【考点】勾股定理．【分析】根据正方形的面积公式，运用勾股定理可以证明：四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积64，由此即可解决问题．【解答】解：如图记图中三个正方形分别为P、Q、M．根据勾股定理得到：A与B的面积的和是P的面积；C与D的面积的和是Q的面积；而P，Q的面积的和是M的面积．即A、B、C、D的面积之和为M的面积．∵M的面积是82=64，∴A、B、C、D的面积之和为64，设正方形D的面积为x，∴11+10+13+x=64，∴x=30．故答案为：30．【点评】此题考查了勾股定理，正方形的面积，得出正方形A，B，C，D的面积和即是最大正方形M的面积是解题的关键．5．如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则它至少要飞行10 米．【考点】勾股定理的应用．【分析】从题目中找出直角三角形并利用勾股定理解答．【解答】解：过点D作DE⊥AB于E，连接BD．在Rt△BDE中，DE=8米，BE=8﹣2=6米．根据勾股定理得BD=10米．【点评】注意作辅助线构造直角三角形，熟练运用勾股定理．6．如图，直线l过正方形ABCD的顶点B，点A，C到直线l的距离分别是1和2，则正方形ABCD 的面积是 5 ．【考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质．【分析】根据正方形性质得出AB=CB，∠ABC=90°，求出∠EAB=∠FBC，证△AEB≌△BFC，求出BE=CF=2，在Rt△AEB中，由勾股定理求出AB，即可求出正方形的面积．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABC=90°，∵AE⊥EF，CF⊥EF，∴∠AEB=∠BFC=90°，∴∠ABE+∠CBF=180°﹣90°=90°，∠ABE+∠EAB=90°，∴∠EAB=∠CBF，在△AEB和△BFC中，，∴△AEB≌△BFC（AAS），∴BE=CF=2，在Rt△AED中，由勾股定理得：AB==，即正方形ABCD的面积是5，故答案为：5．【点评】本题考查了正方形性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用，关键是求出BE=CF，主要考查学生分析问题和解决问题的能力，题型较好，难度适中．7．如图，是一个长方体，长4、宽3、高12，则图中阴影部分的三角形的周长为30 ．【考点】勾股定理．【分析】在底面上，阴影三角形的边长是直角三角形的斜边，根据勾股定理即可求得，阴影部分是一个直角三角形，利用两直角边求出即可．【解答】解：如图所示，在直角△BCD中，根据勾股定理，得到BC===5．在直角△ABC中，根据勾股定理，得到AC===13．所以，图中阴影部分的三角形的周长为：AB+BC+AC=12+5+13=30．故答案是：30．【点评】本题考查了勾股定理．正确认识到阴影部分的形状是直角三角形是解题的关键；主要考查空间想象能力．8．在△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边．若a=6，c=10，则b= 8 ；若a=12，b=5，则C= 13 ；若c=15，b=13，则a= 2．【考点】勾股定理．【专题】计算题．【分析】画出图形，根据勾股定理直接解答．【解答】解：如图：在Rt△ABC中，a=6，c=10，则b===8；在Rt△ABC中，a=12，b=5，则c===13；在Rt△ABC中，c=15，b=13，则a===2．故答案为8，13，2．【点评】本题考查了勾股定理，要注意分清直角边和斜边，另外，解答时要注意画出图形，找到相应的边和角，再代入公式计算．9．在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，若AB=13，BC=10，则AD= 12 ．【考点】勾股定理；等腰三角形的性质．【专题】几何图形问题．【分析】先根据等腰三角形的性质得出AD是BC边的中线，再根据勾股定理求出AD的长即可．【解答】解：∵在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，AB=13，BC=10，∴BD=BC=×10=5，∴AD===12．故答案为：12．【点评】本题考查的是勾股定理，熟知等腰三角形三线合一的性质及勾股定理是解答此题的关键．10．若一个直角三角形的三边长分别是6、8、a ，则a 2= 100或28 ．【考点】勾股定理．【分析】本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，因此两条边中的较长边8既可以是直角边，也可以是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即8是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解．【解答】解：（1）若8是直角边，则第三边x 是斜边，由勾股定理得：62+82=a 2，所以a 2=100；（2）若8是斜边，则第三边a 为直角边，由勾股定理得：62+x 2=82，所以a 2=28．故答案为：100或28．【点评】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，当已知条件中没有明确哪是斜边时，要注意讨论，一些学生往往忽略这一点，造成丢解．11．等腰三角形的腰长为10，底边上的高为6，则底边长为 16 ．【考点】勾股定理；等腰三角形的性质．【分析】根据题意画出图形，利用勾股定理求解即可．【解答】解：如图，∵AB=AC=6，AD ⊥BC ，AD=6，∴BD===8，∴BC=2BD=16．故答案为：16．【点评】本题考查的是勾股定理，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．12．小颖从学校出发向南走了150m，接着向东走了80m到达书店，则学校与书店的距离是170 m．【考点】勾股定理的应用．【专题】计算题．【分析】根据正南方向和正东方向成九十度，利用勾股定理进行计算即可．【解答】解：∵正南方向和正东方向成90°，∴根据勾股定理得学校与书店之间的距离为=170（米）．故答案为：170．【点评】此题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此题的关键是根据题意画出图形，再根据勾股定理进行计算．13．飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到小刚头顶正上方4000米处，过了20秒，飞机距离小刚5000米，则飞机每小时飞行540 千米．【考点】勾股定理的应用．【分析】先画出图形，构造出直角三角形，利用勾股定理解答．【解答】解：设A点为小刚头顶，C为正上方时飞机的位置，B为20s后飞机的位置，如图所示，则AB2=BC2+AC2，即BC2=AB2﹣AC2=9000000，∴BC=3000米，∴飞机的速度为3000÷20×3600=540（千米/小时），故答案为：540．【点评】本题考查正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．解题时注意运用数形结合的思想方法使问题直观化．二、选择题14．下列几组数中不能作为直角三角形三边长度的是（）A．a=7，b=24，c=25 B．a=1.5，b=2，c=2.5C．D．a=15，b=8，c=17【考点】勾股定理的逆定理．【分析】根据勾股定理的逆定理对各个选项进行分析，从而得到答案．【解答】解：A、满足勾股定理：72+242=252，故A选项不符合题意；B、满足勾股定理：1.52+22=2.52，故B选项不符合题意；C、不满足勾股定理，不是勾股数，故C选项符合题意；D、满足勾股定理：152+82=172，故D选项不符合题意．故选：C．【点评】本题考查了用勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．15．在下列以线段a，b，c的长为三边的三角形中，不能构成直角三角形的是（）A．a=9，b=41，c=40 B．a=5，b=12，c=13C．a：b：c=3：4：5 D．a=11，b=12，c=15【考点】勾股定理的逆定理．【分析】根据勾股定理的逆定理，验证四个选项中数据是否满足“较小两边平方的和等于最大边的平方”，由此即可得出结论．【解答】解：A、因为92+402=412，能构成直角三角形，此选项错误；B、因为52+122=132，能构成直角三角形，此选项错误；C、因为32+42=52，故能构成直角三角形，此选项错误．D、因为112+122≠152，不能构成直角三角形，此选项正确．故选D．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是根据勾股定理的逆定理验证四个选项．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，套入数据验证“较小两边平方的和是否等于最大边的平方”是关键．16．△ABC中，AB=13cm，AC=15cm，高AD=12，则BC的长为（）A．14 B．4 C．14或4 D．以上都不对【考点】勾股定理．【专题】分类讨论．【分析】分两种情况讨论：锐角三角形和钝角三角形，根据勾股定理求得BD，CD，再由图形求出BC，在锐角三角形中，BC=BD+CD，在钝角三角形中，BC=CD﹣BD．【解答】解：（1）如图，锐角△ABC中，AB=13，AC=15，BC边上高AD=12，在Rt△ABD中AB=13，AD=12，由勾股定理得BD2=AB2﹣AD2=132﹣122=25，则BD=5，在Rt△ABD中AC=15，AD=12，由勾股定理得CD2=AC2﹣AD2=152﹣122=81，则CD=9，故BC=BD+DC=9+5=14；（2）钝角△ABC中，AB=13，AC=15，BC边上高AD=12，在Rt△ABD中AB=13，AD=12，由勾股定理得BD2=AB2﹣AD2=132﹣122=25，则BD=5，在Rt△ACD中AC=15，AD=12，由勾股定理得CD2=AC2﹣AD2=152﹣122=81，则CD=9，故BC的长为DC﹣BD=9﹣5=4．故选：C．【点评】本题考查了勾股定理，把三角形边的问题转化到直角三角形中用勾股定理解答．17．“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为13，直角三角形中短直角边a，较长直角边为了b，那么（a+b）2的值为（）A．13 B．14 C．25 D．169【考点】勾股定理．【分析】根据正方形的面积公式以及勾股定理，结合图形进行分析发现：大正方形的面积即直角三角形斜边的平方13，也就是两条直角边的平方和是13，四个直角三角形的面积和是大正方形的面积减去小正方形的面积即2ab=12．根据完全平方公式即可求解．【解答】解：根据题意，结合勾股定理a2+b2=13，四个三角形的面积=4×ab=13﹣1，∴2ab=12，联立解得：（a+b）2=13+12=25．故选C．【点评】本题考查了勾股定理和完全平方公式的运用，解题的关键是注意观察图形：发现各个图形的面积和a，b的关系．18．如图，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C处，BC交AD于E，AD=8，AB=4，则DE的长为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】先根据翻折变换的性质得出CD=C′D，∠C=∠C′=90°，再设DE=x，则AE=8﹣x，由全等三角形的判定定理得出Rt△ABE≌Rt△C′DE，可得出BE=DE=x，在Rt△ABE中利用勾股定理即可求出x的值，进而得出DE的长．【解答】解：∵Rt△DC′B由Rt△DBC翻折而成，∴CD=C′D=AB=8，∠C=∠C′=90°，设DE=x，则AE=8﹣x，∵∠A=∠C′=90°，∠AEB=∠DEC′，∴∠ABE=∠C′DE，在Rt△ABE与Rt△C′DE中，，∴Rt△ABE≌Rt△C′DE（ASA），∴BE=DE=x，在Rt△ABE中，AB2+AE2=BE2，∴42+（8﹣x）2=x2，解得：x=5，∴DE的长为5．故选C．【点评】本题考查的是翻折变换的性质及勾股定理，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等的知识是解答此题的关键．19．两只小鼹鼠在地下打洞，一只朝前方挖，每分钟挖8cm，另一只朝左挖，每分钟挖6cm，10分钟后，两只小鼹鼠相距（）A．50cm B．100cm C．140cm D．80cm【考点】勾股定理的应用．【专题】应用题．【分析】首先根据题意知：它们挖的方向构成了直角．再根据路程=速度×时间，根据勾股定理即可求解．【解答】解：由图可知，AC=8×10=80cm，BC=6×10=60cm，由勾股定理得，AB===100cm．故选B．【点评】本题考查了勾股定理的应用，首先要正确理解题意，画出正确的图形，再熟练运用勾股定理进行计算．20．一个圆桶底面直径为24cm，高32cm，则桶内所能容下的最长木棒为（）A．20cm B．50cm C．40cm D．45cm【考点】勾股定理的应用．【分析】如图，AC为圆桶底面直径，所以AC=24cm，CB=32cm，那么线段AB的长度就是桶内所能容下的最长木棒的长度，在直角三角形ABC中利用勾股定理可以求出AB，也就求出了桶内所能容下的最长木棒的长度．【解答】解：如图，AC为圆桶底面直径，∴AC=24cm，CB=32cm，∴线段AB的长度就是桶内所能容下的最长木棒的长度，∴AB==40cm．故桶内所能容下的最长木棒的长度为40cm．故选C．【点评】此题首先要正确理解题意，把握好题目的数量关系，然后利用勾股定理即可求出结果．21．如图，将一根长24cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形茶杯中，设筷子露在杯子外面的长为acm（茶杯装满水），则a的取值范围是11cm≤a≤12cm ．【考点】勾股定理的应用．【分析】先根据题意画出图形，再根据勾股定理解答即可．【解答】解：当筷子与杯底垂直时h最大，h最大=24﹣12=12cm．当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时a最小，如图所示：此时，AB===13cm，故a=24﹣13=11cm．所以a的取值范围是：11cm≤a≤12cm．故答案是：11cm≤a≤12cm．【点评】此题将勾股定理与实际问题相结合，考查了同学们的观察力和由具体到抽象的推理能力，解答此题的关键是根据题意画出图形求出h的最大及最小值，有一定难度．22．直角三角形的周长为24，斜边长为10，则其面积为（）A．96 B．49 C．24 D．48【考点】勾股定理．【专题】方程思想．【分析】利用勾股定理求出两直角边，再代入三角形面积公式即可求解．【解答】解：直角三角形的周长为24，斜边长为10，则两直角边的和为24﹣10=14，设一直角边为x，则另一边14﹣x，根据勾股定理可知：x2+（14﹣x）2=100，解得x=6或8，所以面积为6×8÷2=24．故选C．【点评】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；本题的关键是先求出两直角边，再计算面积．23．有下面的判断：①△ABC中，a2+b2≠c2，则△ABC不是直角三角形．②△ABC是直角三角形，∠C=90°，则a2+b2=c2．③若△ABC中，a2﹣b2=c2，则△ABC是直角三角形．④若△ABC 是直角三角形，则（a+b）（a﹣b）=c2．以上判断正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理．【分析】欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，需要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．【解答】解：①c不一定是斜边，故错误；②正确；③正确；④若△ABC是直角三角形，c不是斜边，则（a+b）（a﹣b）≠c2，故错误．共2个正确．故选C．【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用．三、解答题：24．在Rt△ABC中，∠C=90°，已知c=25，b=15，求a．【考点】勾股定理．【分析】直接利用勾股定理得出a的值．【解答】解：∵∠C=90°，c=25，b=15，∴a==20．【点评】此题主要考查了勾股定理，正确应用勾股定理是解题关键．25．甲、乙两同学在操场上，从同一旗杆处出发，甲向北走18米，乙向东走16米以后，又向北走6米，此时甲、乙两同学相距多远？【考点】勾股定理的应用．【分析】根据题意画出示意图，然后根据勾股定理计算出CB的长．【解答】解：过C作CA⊥BA，由题意得：=20（米），答：此时甲、乙两同学相距20米．【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是画出示意图，掌握勾股定理．26．一梯子斜靠在某建筑物上，当梯子的底端离建筑物9m时，梯子可以达到的高度是12m，你能算出梯子的长度吗？【考点】勾股定理的应用．【专题】数形结合．【分析】如（解答）图，AB为梯子长，AC为底端离建筑物的长9m，BC为顶端离地面的长12m；根据勾股定理即可求得．【解答】：解：如图：∵AC=9m，BC=12m，∠C=90°∴AB==15m∴梯子的长度为15米．【点评】此题考查了勾股定理的应用．解题时要注意数形结合思想的应用，关键是从实际问题中整理出数学问题．27．如图是一块地，已知AD=8cm，CD=6cm，∠D=90°，AB=26cm，BC=24cm，求这块地的面积．【考点】勾股定理；勾股定理的逆定理．【分析】根据勾股定理可求出AC的长，根据勾股定理的逆定理可求出∠ACB=90°，可求出△ACB 的面积，减去△ACD的面积，可求出四边形ABCD的面积．【解答】解：如图，连接AC．∵CD=6cm，AD=8cm，∠ADC=90°，∴AC==10（cm）．∵AB=26cm，BC=24cm，102+242=262．即AC2+BC2=AB2，∴△ABC为直角三角形，∠ACB=90°．∴四边形ABCD的面积=S△ABC﹣S△ACD=×10×24﹣×6×8=96（cm2）．【点评】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，关键判断出直角三角形从而可求出面积．28．如图，滑杆在机械槽内运动，∠ACB为直角，已知滑杆AB长2.5米，顶端A在AC上运动，量得滑杆下端B距C点的距离为1.5米，当端点B向右移动0.5米时，求滑杆顶端A下滑多少米？【考点】勾股定理的应用．【专题】应用题．【分析】由题意可知滑杆AB与AC、CB正好构成直角三角形，故可用勾股定理进行计算．【解答】解：设AE的长为x米，依题意得CE=AC﹣x．∵AB=DE=2.5，BC=1.5，∠C=90°，∴AC===2∵BD=0.5，∴在Rt△ECD中，CE====1.5．∴2﹣x=1.5，x=0.5．即AE=0.5．答：滑杆顶端A下滑0.5米．【点评】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．29．如图，折叠长方形纸片ABCD，先折出折痕（对角线）BD，再折叠使AD边与BD重合，得折痕DG，若AB=4，BC=3，求AG的长．【考点】翻折变换（折叠问题）；勾股定理．【分析】首先由折叠长方形纸片ABCD，先折出折痕（对角线）BD，再折叠使AD边与BD重合，得折痕DG，即可得：∠GDA=∠GDB，AD=ED，然后过点G作GE⊥BD于E，即可得AG=EG，设AG=x，则GE=x，BE=BD﹣DE=5﹣3=2，BG=AB﹣AG=4﹣x，在Rt△BEG中利用勾股定理，即可求得AG的长．【解答】解：过点G作GE⊥BD于E，根据题意可得：∠GDA=∠GDB，AD=ED，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°，AD=BC=3，∴AG=EG，ED=3，∵AB=4，BC=3，∠A=90°，∴BD=5，设AG=x，则GE=x，BE=BD﹣DE=5﹣3=2，BG=AB﹣AG=4﹣x，在Rt△BEG中，EG2+BE2=BG2，即：x2+4=（4﹣x）2，解得：x=，故AG=．【点评】此题考查了折叠的性质、矩形的性质以及勾股定理等知识．此题综合性很强，难度适中，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．30．如图，长方形ABCD中，AB=4，BC=5，将长方形沿折痕AF折叠，点D恰好落在BC边上的点E处．（1）求BE的长；（2）求CF的长．【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】（1）根据矩形的性质得到AD=BC=5，∠D=∠B=∠C=90°，由折叠的性质得到AE=AD=BC=5，根据勾股定理即可得到结果；（2）由（1）知BE=3，于是得到CE=BC﹣BE=2，根据折叠的性质得到EF=DF=4﹣CF，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：（1）长方形ABCD中，∵AD=BC=5，∠D=∠B=∠C=90°，∵△AEF是△ADF沿折痕AF折叠得到的，∴AE=AD=BC=5，∴BE===3；（2）由（1）知BE=3，∴CE=BC﹣BE=2，∵△AEF是△ADF沿折痕AF折叠得到的，∴EF=DF=4﹣CF，∵EF2=CE2+CF2，∴（4﹣CF）2=22+CF2，解得：CF=．【点评】本题主要考查了图形的翻折变换，以及勾股定理、全等三角形、方程思想等知识，关键是熟练掌握勾股定理，找准对应边．31．（2011•大田县校级模拟）已知：a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，试判断△ABC的形状．解：∵a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，①∴c2（a2﹣b2）=（a2+b2）（a2﹣b2）．②∴c2=a2+b2．③∴△ABC是直角三角形．问：（1）在上述解题过程中，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号：③；（2）错误的原因为除式可能为0 ；（3）本题正确的解题过程：【考点】勾股定理的逆定理．【专题】推理填空题．【分析】（1）（2）两边都除以a2﹣b2，而a2﹣b2的值可能为零，由等式的基本性质，等式两边都乘以或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立．（3）根据等式的基本性质和勾股定理，分情况加以讨论．【解答】解：（1）③（2）除式可能为零；（3）∵a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，∴c2（a2﹣b2）=（a2+b2）（a2﹣b2），∴a2﹣b2=0或c2=a2+b2，当a2﹣b2=0时，a=b；当c2=a2+b2时，∠C=90°，∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．故答案是③，除式可能为零．【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用、分类讨论．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．。
北师大版八年级上第一章勾股定理(附习题和答案)
第一章 勾股定理1、勾股定理（性质定理）直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即222c b a =+要点诠释：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用： （1）已知直角三角形的两边求第三边（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2、勾股定理的逆定理（判定定理）如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。
要点诠释：用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形应注意 （1）首先确定最大边，不妨设最长边长为c ；（2）验证c 2和a 2＋b 2是否具有相等关系，若c 2＝a 2＋b 2，则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形（若c 2＞a 2＋b 2，则△ABC 是以∠C 为钝角的钝角三角形；若c 2＜a 2＋b 2，则△ABC 为锐角三角形）。
3、勾股数：满足222c b a =+的三个正整数，称为勾股数。
经典的勾股数：3、4、5（3n 、4n 、5n ） 5、12、13（5n 、12n 、13n ） 7、24、25（7n 、24n 、25n ） 8、15、17（8n 、15n 、17n ） 9、40、41（9n 、40n 、41n ） 11、60、61（11n 、60n 、61n ） 13、84、85（13n 、84n 、85n ）例1. 如图，将一个边长分别为4、8的长方形纸片ABCD 折叠，使C点与A 点重合，则EB 的长是（ ）． A ．3 B ．4 C 5 D ．5练习1：如图，已知矩形ABCD 沿着直线BD 折叠，使点C 落在C'处，BC'交AD 于E ，AD=8，AB=4，则DE 的长为( )A.3B.4C.5D.6FEDCBAC A B ED 练习2：如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6，BC=8，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使其落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 的长为例2. 三角形的三边长ａ,ｂ,ｃ满足2ａｂ=(ａ+ｂ)2－ｃ2,则此三角形是 ( ). A 、钝角三角形 B 、锐角三角形 C 、直角三角形 D 、等边三角形练习1：已知a 、b 、c 是三角形的三边长，如果满足2(6)8100a b c ---=，则三角形的形状是（ ）A ：底与边不相等的等腰三角形B ：等边三角形C ：钝角三角形D ：直角三角形练习2：已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，且a 2c 2－b 2c 2＝a 4－b 4，试判断三角形的形状．例3. 将一根24cm 的筷子，置于底面直径为15cm ，高8cm 的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为hcm ，则h 的取值范围是（ ）． A ．h ≤17cm B ．h ≥8cm C ．15cm ≤h ≤16cm D ．7cm ≤h ≤16cm练习：如图，圆柱形玻璃容器高20cm ，底面圆的周长为48cm ，在外侧距下底1cm 的 点A 处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距上口1cm 的点B 处有一只CABDS 3S 2S 1C B A 苍蝇，则蜘蛛捕获苍蝇所走的最短路线长度为________.例4. a 2＋b 2＋c 2＝10a ＋24b ＋26c －338，试判定△ABC 的形状，并说明你的理由练习：已知直角三角形的周长是62+，斜边长2，求它的面积．例5. 已知，如图，四边形ABCD 中，AB=3cm ，AD=4cm ，BC=13cm ，CD=12cm ，且∠A=90°， 求四边形ABCD 的面积。
北师大版八年级(上)数学《探索勾股定理》专题练习(含答案)
1.1探索勾股定理专题一有关勾股定理的折叠问题1. 如图，将边长为8cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在F处，折痕为MN，则线段CN长是（）A．3cm B．4cmC．5cm D．6cm2. 如图，EF是正方形两对边中点的连线段，将∠A沿DK折叠，使它的顶点A落在EF上的G点，求∠DKG的度数．3．已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，有一个圆心角为45°，半径长等于CA的扇形CEF绕点C旋转，直线CE、CF分别与直线AB交于点M、N．（1）如图①，当AM=BN时，将△ACM沿CM折叠，点A落在弧EF的中点P 处，再将△BCN沿CN折叠，点B也恰好落在点P处，此时，PM=AM，PN=BN，△PMN的形状是_______________．线段AM、BN、MN之间的数量关系是______________________________；（2）如图②，当扇形CEF绕点C在∠ACB内部旋转时，线段MN、AM、BN 之间的数量关系是_______________．试证明你的猜想；（3）当扇形CEF绕点C旋转至图③的位置时，线段MN、AM、BN之间的数量关系是_______________．（不要求证明）①②③专题二勾股定理的证明4．在教材中，我们通过数格子的方法发现了直角三角形的三边关系，利用四个完全相同的直角三角形拼图的方式验证了勾股定理的正确性．问题1：以直角三角形的三边为边向外作等边三角形，探究S′+ S″与S的关系（如图1）．问题2：以直角三角形的三边为斜边向外作等腰直角三角形，探究S′+S″与S的关系（如图2）．问题3：以直角三角形的三边为直径向外作半圆，探究S′+ S″与S的关系（如图3）．5. 如图，是用硬纸板做成的两种直角三角形各有若干个，图①中两直角边长分别为a和b，斜边长为c；图②中两直角边长为c．请你动脑，将它们拼成能够证明勾股定理的图形．（1）请你画出一种图形，并验证勾股定理．（2）你非常聪明，能再拼出另外一种能证明勾股定理的图形吗？请画出拼后的图形（无需证明）．答案：1．A 【解析】设CN=x cm，则DN=（8-x）cm.由折叠的性质知EN=D N=（8-x）cm，而EC=12BC=4 cm，在Rt△ECN中，由勾股定理可知EN2=EC2+CN2，即（8-x）2=16+x2，整理得16x=48，所以x=3．故选A．2．解：∵DF=12CD=12DG，∴∠DGF=30°．∵∠EKG+∠KGE=90°，∠KGE+∠DGF=90°，∴∠EKG=∠DG F=30°．∵2∠DKG+∠GK E=180°，∴∠DKG=75°．3．解：（1）根据折叠的性质知：△CAM≌△CPM，△CNB≌△CNP．∴AM=PM，∠A=∠CPM，PN=NB，∠B=∠CPN. ∴∠MPN=∠A+∠B=90°，PM=PN=AM=BN. 故△PMN是等腰直角三角形，AM2+B N2=MN2（或AM=BN=2MN）．（2）AM2+BN2=M N2.证明:如图,将△AC M沿CM折叠，得△DCM，连DM、DC、DN，则△ACM≌△DCM，∴CD=CA，DM=AM，∠A=∠MDC，∠DCM=∠ACM.∵∠ACM+∠BCN+∠MCN=∠ACM+∠BCN+45°=90°，∴∠ACM+∠BCN=45°. 又∵∠MCN=∠DCM+∠DCN=45°，∠DCM=∠ACM.∴∠DCN=∠BCN.∴CD=CA=CB，易证△DCN≌△BCN，∴DN=BN，∠CDN=∠CBN.而∠MDC=∠A=45°，∠CDN=∠B=45°，∴∠MDN=90°，∴DM2+DN2=MN2，故AM2+BN2=MN2．（3）AM2+BN2=MN2；解法同（2）[将△ACM沿CE折叠，A落在G点，连接GM、GC、GN。
2023-2024学年八年级数学上册《第一章 勾股定理的应用》同步练习题附带答案-北师大版
2023-2024学年八年级数学上册《第一章勾股定理的应用》同步练习题附带答案-北师大版学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题1．梯子的底端离建筑物6米，10米长的梯子可以到达建筑物的高度是（）A．6米B．7米C．8米D．9米2．一个长方形抽屉长3cm，宽4cm，贴抽屉底面放一根木棒，那么这根木棒最长（不计木棒粗细）可以是（）A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm3．由于台风的影响，一棵树在离地面6m处折断，树顶落在离树干底部8m处，则这棵树在折断前（不包括树根）长度是（）A．8m B．10m C．16m D．18m4．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高丈，末折抵地，问折者高几何？”意思是：一根竹子，原来高一丈（一丈为十尺），虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子根部三尺远，问：原处还有多高的竹子？（）A．4尺B．4.55尺C．5尺D．5.55尺5．如图是我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积41，小正方形的面积是1，直角三角形的短直角边为a，较长的直角边为b，那么（a+b）2的值为（）A．25 B．41 C．62 D．816．如图，斜坡BC的长度为4米．为了安全，决定降低坡度，将点C沿水平距离向外移动4米到点A，使得斜坡AB的长度为4√3米，则原来斜坡的水平距离CD的长度是（）米．A．2 B．4 C．2√3D．67．国庆假期中，小华与同学去玩探宝游戏，按照探宝图，他们从门口A处出发先往东走8km，又往北走2km，遇到障碍后又往西走3km，再向北走到6km处往东拐，仅走了1km，就找到了宝藏，则门口A到藏宝点B的直线距离是（）A．20km B．14km C．11km D．10km8．如图，OP=1，过点P作PP1⊥OP且PP1=1，得OP1=√2；再过点P，作P1P2⊥OP1且P1P2=1，得OP2=√3；又过点P2作P2P3⊥OP2且P2P3=1，得OP3=2…依此法继续作下去，得OP2021=（）A．√2023B．√2022C．√2021D．√2020二、填空题9．一轮船以16海里/时的速度从A港向东北方向航行，另一艘船同时以12海里/时的速度从A港向西北方向航行，经过1.5小时后，它们相距海里．10．如图是某路口处草坪的一角，当行走路线是A→C→B时，有人为了抄近道而避开路的拐角∠ACB(∠ACB=90°)，于是在草坪内走出了一条不该有的捷径路AB.某学习实践小组通过测量可知，AC的长约为6米，BC的长约为8米，为了提醒居民爱护草坪，他们想在A，B处设立“踏破青白可惜，多行数步无妨”的提示牌．则提示牌上的“多行数步”是指多行米．11．在平静的湖面上，有一朵荷花高出水面半尺，忽然一阵强风吹来把荷花垂直拉到水里且荷花恰好落在水面．花在水平方向上离开原来的位置2尺远，则这个湖的水深是尺．12．如图，一个长方体铁盒的长，宽，高分别是8 cm，6 cm，24 cm，-根长28 cm的木棒完全装进这个盒子里.（填“能”或“不能”）13．如图，山坡上，树甲从点A处折断，其树顶恰好落在另一棵树乙的根部C处，已知AB＝4m，BC ＝10m，已知两棵树的水平距离为6m，则树甲原来高．三、解答题14．如图，小旭放风筝时，风筝挂在了树上，他先拉住风筝线，垂直于地面，发现风筝线多出1米；把风筝线沿直线BC向后拉5米，风筝线末端刚好接触地面，求风筝距离地面的高度AB.15．如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2m，请你求出旗杆的高度（滑轮上方的部分忽略不计）．16．某地一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人如图（1）.如图（2），已知云梯最多只能伸长到15m（即AB=CD=15m），消防车高3m，救人时云梯伸长至最长，在完成从12m（即BE=12m）高的B处救人后，还要从15m（即DE=15m）高的D处救人，这时消防车从A处向着火的楼房靠近的距离AC为多少米？（延长AC交DE于点O，AO⊥DE点B在DE上，OE的长即为消防车的高3m）17．如图，在笔直的公路AB旁有一座山，为方便运输货物现要从公路AB上的D处开凿隧道修通一条公路到C处，已知点C与公路上的停靠站A的距离为15km，与公路上另一停靠站B的距离为20km，停靠站A、B之间的距离为25km，且CD⊥AB．（1）求修建的公路CD的长；（2）若公路CD修通后，一辆货车从C处经过D点到B处的路程是多少？18．台风是一种自然灾害，它在以台风中心为圆心，一定长度为半径的圆形区域内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，监测中心监测到一台风中心沿监测点B与监测点A所在的直线由东向西移动，已知点C为一海港，且点C与A，B两点的距离分别为300km、400km，且∠ACB=90°，过点C作CE⊥AB于点E，以台风中心为圆心，半径为260km的圆形区域内为受影响区域，台风的速度为25km/h．（1）求监测点A与监测点B之间的距离；（2）请判断海港C是否会受此次台风的影响，若受影响，则台风影响该海港多长时间？若不受影响，请说明理由．参考答案1．C2．B3．C4．B5．D6．A7．D8．B9．3010．411．3.7512．不能13．(4+6√5)m14．解：设AB＝x米，则AC＝（x＋1）米由图可得，∠ABC＝90°，BC＝5米在Rt△ABC中AB2+BC2=AC2即x2+52=(x+1)2解得x＝12答：风筝距离地面的高度AB为12米.15．解：如图设旗杆高度为x米，则AC=AD=x(m)，AB=(x−2)(m)而BC=8m 在Rt△ABC中AB2+BC2=AC2，即(x−2)2+82=x2解得：x=17(m)即旗杆的高度为17m．16．解：在 Rt △ABO 中∵∠AOB =90° AB =15m ，OB =12−3=9 （m ） ∴AO =√AB 2−OB 2=√152−92=12 （m ）在 Rt △COD 中∵∠COD =90°，CD =15m ，OD =15−3=12 （m ） ∴OC =√CD 2−OD 2=√152−122=9 （m ）∴AC =OA −OC =3 （m ）答：消防车从原处向着火的楼房靠近的距离 AC 为 3m .17．（1）解：∵AC=15km ，BC=20km ，AB=25km152+202=252∴△ACB 是直角三角形，∠ACB=90°∵12AC ×BC=12AB ×CD∴CD=AC ×BC ÷AB=12（km ）．故修建的公路CD 的长是12km ；（2）解：在Rt △BDC 中，BD= √BC 2−CD 2=16（km ）一辆货车从C 处经过D 点到B 处的路程=CD+BD=12+16=28（km ）． 故一辆货车从C 处经过D 点到B 处的路程是28km ．18．（1）解：在RtΔABC 中，AC =300km ，BC =400km ∴AB =√AC 2+BC 2=√3002+4002=500（km ）答：监测点A 与监测点B 之间的距离为500km ；（2）解：海港C 受台风影响理由：∵∠ACB =90°，CE ⊥AB∴S ΔABC =12AC ⋅BC =12CE ⋅AB ∴300×400=500CE∴CE =240km∵以台风中心为圆心周围260km 以内为受影响区域∴海港C 会受到此次台风的影响以C 为圆心，260km 长为半径画弧，交AB 于D ，F则DE =EF =260km 时，正好影响C 港口在RtΔCDE 中∵ED =√CD 2−CE 2=√2602−2402=100（km ）∴DF =200km∵台风的速度为25千米/小时∴200÷25=8（小时）．答：台风影响该海港持续的时间为8小时．。
北师大版八年级勾股定理练习题含答案
北师大版八年级数学上勾股定理练习题一、基础达标:1. 下列说法正确的是（）A.若a、b、c是△ABC的三边，则a2＋b2＝c2；B.若a、b、c是Rt△ABC的三边，则a2＋b2＝c2；C.若a、b、c是Rt△ABC的三边， 90∠A，则a2＋b2＝c2；=D.若a、b、c是Rt△ABC的三边， 90∠C，则a2＋b2＝c2．=2. Rt△ABC的三条边长分别是a、b、c，则下列各式成立的是（）A．cba<+ D. 2a>+ C. cba=b+ B. c2c2+a=b3．如果Rt△的两直角边长分别为k2－1，2k（k >1），那么它的斜边长是（）A、2kB、k+1C、k2－1D、k2+14. 已知a，b，c为△ABC三边，且满足(a2－b2)(a2+b2－c2)＝0，则它的形状为（）A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形5．直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为（）A．121 B．120 C．90 D．不能确定6．△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长为（）A．42 B．32 C．42 或32 D．37 或33 7.※直角三角形的面积为S，斜边上的中线长为d，则这个三角形周长为（）（A2d（B d（C）2d（D）d8、在平面直角坐标系中，已知点P的坐标是(3,4)，则OP的长为（）A：3 B：4 C：5 D：79．若△ABC中，AB=25cm，AC=26cm高AD=24,则BC的长为（）A．17 B.3 C.17或3 D.以上都不对10．已知a 、b 、c是三角形的三边长，如果满足2(6)100a c --=则三角形的形状是（ ）A ：底与边不相等的等腰三角形B ：等边三角形C ：钝角三角形D ：直角三角形 11．斜边的边长为cm 17，一条直角边长为cm 8的直角三角形的面积是 ． 12. 等腰三角形的腰长为13，底边长为10，则顶角的平分线为＿＿. 13. 一个直角三角形的三边长的平方和为200，则斜边长为 14．一个三角形三边之比是6:8:10，则按角分类它是 三角形． 15. 一个三角形的三边之比为5∶12∶13，它的周长为60，则它的面积是＿＿＿.16. 在Rt △ABC 中，斜边AB=4，则AB 2＋BC 2＋AC 2=_____．17．若三角形的三个内角的比是3:2:1，最短边长为cm 1，最长边长为cm 2，则这个三角形三个角度数分别是 ，另外一边的平方是 ． 18．如图，已知ABC ∆中，︒=∠90C ，15=BA ，12=AC ，以直角边BC 为直径作半圆，则这个半圆的面积是 ．19． 一长方形的一边长为cm 3，面积为212cm ，那么它的一条对角线长是 ．二、综合发展:1．如图，一个高4m 、宽3m 的大门，需要在对角线的顶点间加固一个木条，求木条的长．A CB2、有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC 沿∠CAB 的角平分线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，你能求出CD 的长吗？3.一个三角形三条边的长分别为cm 15，cm 20，cm 25，这个三角形最长边上的高是多少？4．如图，要修建一个育苗棚，棚高h=3m ，棚宽a=4m ，棚的长为12m ，现要在棚顶上覆盖塑料薄膜，试求需要多少平方米塑料薄膜？5．如图，有一只小鸟在一棵高13m 的大树树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12m ，高8m 的一棵小树树梢上发出友好的叫声，它立刻以2m/s 的速度飞向小树树梢，它最短要飞多远？这只小鸟至少几秒才可能到达小树和伙伴在一起？AE15．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/h.如图，，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方30m 处，过了2s 后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50m ，这辆小汽车超速了吗？答案:一、基础达标1. 解析:利用勾股定理正确书写三角形三边关系的关键是看清谁是直角．答案: D.2. 解析：本题考察三角形的三边关系和勾股定理.答案：B.3． 解析：设另一条直角边为x ，则斜边为（x+1）利用勾股定理可得方程，可以求出x ．然后再求它的周长.答案：C ．4．解析：解决本题关键是要画出图形来，作图时应注意高AD 是在三角形的内部还是在三角形的外部，有两种情况，分别求解. 答案：C.5． 解析: 勾股定理得到：22215817=-，另一条直角边是15，观测点所求直角三角形面积为21158602cm ⨯⨯=．答案: 260cm ．6． 解析：本题目主要是强调直角三角形中直角对的边是最长边,反过来也是成立．答案:222c b a =+，c ，直角，斜，直角．7． 解析:本题由边长之比是6:8:10 可知满足勾股定理，即是直角三角形．答案：直角．8． 解析：由三角形的内角和定理知三个角的度数,断定是直角三角形．答案：︒30、︒60、︒90，3．9． 解析：由勾股定理知道：22222291215=-=-=AC AB BC ，所以以直角边9=BC 为直径的半圆面积为10.125π．答案：10.125π．10． 解析:长方形面积长×宽，即12长×3，长4=，所以一条对角线长为5． 答案：cm 5． 二、综合发展11． 解析：木条长的平方=门高长的平方+门宽长的平方．答案：5m ．12解析：因为222252015=+，所以这三角形是直角三角形，设最长边（斜边）上的高为xcm ，由直角三角形面积关系，可得1115202522x ⨯⨯=⨯⋅，∴12=x ．答案：12cm 13．解析：透阳光最大面积是塑料薄膜的面积，需要求出它的另一边的长是多少，可以借助勾股定理求出.答案：在直角三角形中，由勾股定理可得：直角三角形的斜边长为5m, 所以矩形塑料薄膜的面积是：5×20=100(m 2) ．14．解析：本题的关键是构造直角三角形，利用勾股定理求斜边的值是13m ，也就是两树树梢之间的距离是13m ，两再利用时间关系式求解. 答案：6.5s ．15．解析：本题和14题相似，可以求出BC 的值，再利用速度等于路程除以时间后比较.BC=40米，时间是2s ，可得速度是20m/s=72km/h ＞70km/h ． 答案：这辆小汽车超速了．。