振动习题答案分解

n 6 rad / s
1
c
16 m
2n
c 1 0.25 16m 2n
第三章 单自由度系统的强迫振动
3-1 如图 3-1 所示弹簧质量系统中，两个弹簧的连接处有一 激振力 P(t) P0 sin t 。试求质量块的振幅。
根据：Biblioteka Baidu
Tmax Vmax ， xmax n xmax
n2
k2 m1
k1
R12 R22
I R22
3 2 m2
2-8 如图 2-8 所示的系统中，钢杆质量不计，建立系统的运动微分方程，并求临 界阻尼
系数及阻尼固有频率。
图 2-8
a
ca
b
k b
ml
l
解：
ml l ca a kb b 0 ml2 ca2 kb2 0
＝l/2，l3＝l/4，不计钢杆质量。试求系统的无阻尼固有频率n 及阻尼 。
图 2-9 ｛2.26｝ 图 T 2-26 所示的系统中，m = 1 kg，k = 144 N / m，c = 48 N•s / m，l1 = l = 0.49
m，l2 = 0.5 l， l3 = 0.25 l，不计刚杆质量，求无阻尼固有频率n 及阻尼 。
n
kb2 ml 2
b l
k m
ca 2 ml 2
2 n ，
ca2 2ml 2n
ca2 2mlb
m k
d n
12 b l
k m
1
c2a4 4m2l 2b2
m k
1 2ml 2
4kml2b2 c2a4
由
1 c
2bl a2
mk
2-9 图 2-9 所示的系统中，m＝1kg，k＝224N/m，c＝48N.s/m，l1＝l＝0.49m，l2
平衡位置 x
W2h
1 2
W2 g
v22
， v2
2gh
W2 g
v2
W1
W2 g
v12 ， v12
W2 W1 W2
2gh
W1
k x1
，
x1
W1 k
W1
W2
kx12 ，
x12
W1
W2 k
x0
x12
x1
W2 k
n
k
W1 W2
g
kg W1 W2
x
x0
cosnt
x 0 n
sin
nt
x0
cosnt
m
l1 l2
l3
k
c
m
m l1
O
c l3
k l2
图 T 2-26
解： 受力如答案图 T 2-26。对 O 点取力矩平衡，有：
答案图 T 2-25
ml1 l1 cl3 l3 kl2 l2 0
ml12 cl32 kl22 0
m 1 c 1 k 0 16 4
n2
1 4
k m
36
l2
l1k1
l1
l2k2
l2 k1k2
mg
l2k2
l1
l2 l12k1 l1l2k2 l1 l2 2 k1k2
mg
l12k1 l1 l2
l22k2 2 k1k2
mg
ke
l1 l2 2 k1k2 l12k1 l22k2
n
ke m
2-5 试求图 2-5 所示系统中均质刚性杆 AB 在 A 点的等效质量。已知杆的质量为 m，A
端弹簧的刚度为 k。并问铰链支座 C 放在何处时使系统的固有频率最高？
图 2-5
图 2-6
2-6 在图 2-6 所示的系统中，四个弹簧均未受力。已知 m=50kg，k1 9800 N m ， k2 k3 4900 N m ， k4 19600 N m 。试问： （1）若将支撑缓慢撤去，质量块将下落多少距离？
k123
k1k23 k1 k23
2k 3
k1234
k123k4 k123 k4
1k 2
（1） mg
k1234 x0 ， x0
2mg k
（2）
xt
x0
cosnt
，
xm a x
2x0
4mg k
2-7 图 2-7 所示系统，质量为 m2 的均质圆盘在水平面上作无滑动的滚动，鼓轮 绕轴的转动惯量为 I，忽略绳子的弹性、质量及各轴承间的摩擦力。试求此系统 的固有频率。
解：
（1）保持水平位置：n
k1 k2 m
（2）微幅转动：
x
l1
l2
x2
x
mg 答案图 T 2-9
F2
l1
l1
l2
mg
故：
x
x1
x
F1 k1
x2 x1l1
l1 l2
l2mg
l1 l2 k1
l1
l1 l2
l1
l1
l2 k2
l1
l2 l2
k1
mg
l2mg
l1 l2 k1
l1
l1
2
2
8h
其中
sin cos 1 2
1 ml 2 mg a2 0
12
4h
p
2 n
3ga2 l2h
T 2π 2π
l 2h 2π l
h
pn
3ga2 a 3g
2-3 一半圆薄壁筒，平均半径为 R, 置于粗糙平面上做微幅摆动，如图 2-3 所示。 试求
其摆动的固有频率。
图 2-3
图 2-4
解： 系统动能为：
图 2-7
T
1 2
m1
x
2
1 2
I
x R2
2
1
2
m2 x2
1 1 22
m2r
2
x 2
r
1 2
m1
I R22
3 2
m2
x 2
1 2
me x2
系统动能为：
V
1 2
k2
x
2
1 2
k1
R1 R2
x 2
1 2
k2
k1
R12 R22
x 2
1 2
ke x2
《振动力学》——习题
第二章 单自由度系统的自由振动
2-1 如图 2-1 所示，重物W1 悬挂在刚度为 k 的弹簧上并处于静止平衡位置，另 一重物W2 从高度为 h 处自由下落到W1 上且无弹跳。试求W2 下降的最大距离和两 物体碰撞后的运动规律。
解： 动量守恒： 平衡位置： 故：
故：
x1
x12 x0
（2）若将支撑突然撤去，质量块又将下落多少距离？
｛2.17｝ 图 T 2-17 所示的系统中，四个弹簧均未受力，k1= k2= k3= k4= k，试问： （1）若将支承缓慢撤去，质量块将下落多少距离？ （2）若将支承突然撤去，质量块又将下落多少距离？
k1
k2
k3
m
k4
解：
图 T 2-17
k23 k2 k3 2k
2-4 如图 2-4 所示，一质量 m 连接在一刚性杆上，杆的质量忽略不计，试求下 列情况
系统作垂直振动的固有频率： （1）振动过程中杆被约束保持水平位置； （2）杆可以在铅垂平面内微幅转动； （3）比较上述两种情况中哪种的固有频率较高，并说明理由。
x1
k1 l1
k2 m
l2
F1
l1
l2
l2
mg
图 T 2-9
v12 n
sin
nt
2-2 一均质等直杆，长为 l，重量为 w，用两根长 h 的相同的铅垂线悬挂成水平 位置，如图 2-2 所示。试写出此杆绕通过重心的铅垂轴做微摆动的振动微分方程， 并求出振动固有周期。
解：给杆一个微转角
a
2 ＝h
2F＝mg
由动量矩定理： I M
I 1 ml 2 12
M Fasin cos mg a mg a2 a