m序列和Gold序列特性研究

扩频通信实验报告

Harbin Institute of Technology

扩频通信实验报告

课程名称：扩频通信

实验题目：Gold码特性研究

院系：电信学院

班级：通信一班

姓名：

学号：

指导教师：迟永钢

时间： 2012年5月8日

哈尔滨工业大学

- I-

第1章实验要求

1.以r=5 1 45E为基础，抽取出其他的m序列，请详细说明抽取过程；

2.画出r=5的全部m序列移位寄存器结构，并明确哪些序列彼此是互反多项式；

3.在生成的m序列集中，寻找出m序列优选对，请确定优选对的数量，并画

出它们的自相关和互相关函数图形；

4.依据所选取的m序列优选对生成所有Gold序列族，确定产生Gold序列族的

数量，标出每个Gold序列族中的所有序列，并实例验证族内序列彼此的自相关和互相关特性；

5.在生成的每个Gold序列族内，明确标出平衡序列和非平衡序列，并验证其

分布关系。

6.完整的作业提交包括：纸质打印版和电子版两部分，要求两部分内容统一，

且在作业后面附上源程序，并加必要注释。

7.要求统一采用Matlab软件中的M文件实现。

第2章 实验原理

2.1 m 序列

二元m 序列是一种伪随机序列，有优良的自相关函数，是狭义伪随机序列。m 序列易于产生于复制，在扩频技术中得到了广泛应用。

2.1.1 m 序列的定义

r 级非退化的移位寄存器的组成如图1所示，移位时钟源的频率为c R 。r 级线性移位寄存器的反馈逻辑可用二元域GF(2)上的r 次多项式表示

2012() {0,1}r r i f x c c x c x c x c =++++∈ (1)

图 2-1 r 级线性移位寄存器

式(1)称为线性移位寄存器的特征多项式，其给出的表示反馈网络的而逻辑关系式是现行的。因此成为线性移位寄存器。否则称为，非线性移位寄存器。

对于动态线性移位寄存器，其反馈逻辑也可以用线性移位寄存器的递归关系式来表示

112233 {0,1}i i i i r i r i a c a c a c a c a c ----=++++∈ (2) 特征多项式(1)与递归多项式(2)是r 级线性移位寄存器反馈逻辑的两种不同种表示法，因其应用的场合不同而采用不同的表示方法。以式(1)为特征多项式的r 级线性反馈移位寄存器所产生的序列，其周期21r N ≤-。假设以GF(2)域上r 次多项式(1)为特征多项式的r 级线性移位寄存器所产生的非零序列{}i a 的周期为21r N =-，称序列为{}i a 是最大周期的r 级线性移位寄存器序列，简称m 序列。

2.2.2 m 序列的自相关函数

根据序列自相关函数的定义以及m 序列的性质，很容易求出m 序列的自相关函数 1 ()1 mN R mN N τττ=⎧⎪=⎨-≠⎪⎩ (3)

但是(3)式给出的是m 序列的自相关函数，并不是m 码的自相关函数。首先将m 序列变换为m 码。将m 序列的每一比特换为宽度为(1/)c c c T T R =、幅度为1的波形函数，当m 序列为0元素时，波形函数取正极性，否则取负极性。通过这样的变换后，周期为N 的m 序列就变为宽度为c T 、周期为c NT 的m 码。

m 码的自相关函数()R τ是一个周期函数，其周期为N ，在(1)c c T N T τ-≤≤-区间内m 码的自相关函数表达式为 11()()()c c T k N R kNT N N ττδτ∞=-∞+=-+Λ*+∑ (4)

2.2.3 m 序列的互相关函数

m 序列的互相关函数不具有理想的双值特性。m 序列的互相关函数是指长度相同而序列结构不同的两个m 序列之间的相关函数。研究表明，长度相同结构不同的m 序列之间的互相关函数不再是双值函数，而是一个多值函数。互相关函数值的个数与分元培集的个数有关。

2.2.4 m 序列的构造

构造一个产生m 序列的线性移位寄存器，首先要确定本原多项式。本原多项式确定后，根据本原多项式可构造出m 序列移位寄存器的结构逻辑图。

本原多项式的寻找是在所有r 次多项式中去掉其中的可约多项式，在剩余的r 次不可约多项式中，根据本原多项式的定义用试探的办法，查看其产生的序列是否为m 序列。若产生的序列是m 序列，则该多项式为本原多项式，否则就不是本原多项式。这一方法可以通过计算机编程来实现。

2.2 Gold 序列

Gold 序列具有良好的自相关与互相关特性，可以用作地址码的数量远大于m 序列，而且易于实现、结构简单，在工程上得到广泛的应用。

2.2.1 m 序列优选对

m 序列优选对，是指在m 序列集中，其互相关函数绝对值的最大值(称为峰值互相关函数)max ()R τ最接近或达到互相关值下限的一对m 序列。

设{}i a 是应对于r 次本原多项式1()F x 所产生的m 序列，{}i b 是对应于r 次本

原多项式2()F x 所产生的另一m 序列，当序列{}i a 与{}i b 的峰值互相关函数(非归

一化)max ()ab R τ满足下列关系： 112max 2122 ()2 r

ab r r R r τ++++⎧⎪≤⎨⎪⎩为奇数为偶数且不是4的倍数 (5)

则1()F x 与2()F x 所产生的m 序列{}i a 与{}i b 构成m 序列优选对。

2.2.2 Gold 序列族

在给定了移位寄存器级数r 时，总可以找到一对互相关函数值是最小的码序列，采用移位相加的方法构成新的码组，其互相关旁瓣都很小，而且自相关函数与互相关函数均是有界的。这一新的码组被称为Gold 码或Gold 序列。

Gold 序列是m 序列的复合码序列，它是由两个码长相等、码时钟速率相同的m 序列优选对的模2和序列构成。每改变两个m 序列相对位移就可得到一个新的Gold 序列。当相对位移1,2,,21r -个比特时，就可以得到一族21r -个Gold 序列，加上原来的两个m 序列，共有21r +个Gold 序列，即

21r r G =+ (6) 产生Gold 序列的移位寄存器结构有两种形式。一种是乘积型的，即将m 序列优选对的两个特征多项式的乘积多项式作为新的特征多项式，根据此2r 次多项式构成新的线性移位寄存器。另外一种是直接求两m 序列优选对输出序列的模2和序列。由于这样产生的复码的后期是组成复码的子码周期的最小公倍数，由于组成复码Gold 序列的子码的周期都是21r -，所以Gold 码序列的周期是21r -。Gold 码族同族内互相关函数取值已有理论结果，且具有三值互相关函数的特性。但是不同Gold 码族之间的互相关函数取值已不是三值而是多值，而且互相关值已大大超过了同族内部的互相关值。