高中数学选修2-3离散型随机变量导学案

2.1.1离散型随机变量

【学习要求】

1．理解随机变量及离散型随机变量的含义．

2．了解随机变量与函数的区别与联系．

【学法指导】

引进随机变量的概念，就可以用数字描述随机现象，建立连接数和随机现象的桥梁，通过随机变量和函数类比，可以更好地理解随机变量的定义，随机变量是函数概念的推广.

【知识要点】

1．随机试验：一般地，一个试验如果满足下列条件：

（1）试验可以在相同的情形下重复进行；

（2）试验所有可能的结果是明确的，并且不只一个；

（3）每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验的结果会出现哪一个．这种试验就是一个随机试验．

2．随机变量：在随机试验中，随着变化而变化的变量称为随机变量．

3．离散型随机变量：所有取值可以的随机变量，称为离散型随机变量.

【问题探究】

探究点一随机变量的概念

问题1掷一枚骰子，出现的点数可以用数字1,2,3,4,5,6来表示，那么掷一枚硬币的结果是否也可以用数字来表示呢？

问题2随机变量和函数有类似的地方吗？

例1下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量？并说明理由．

（1）上海国际机场候机室中2013年10月1日的旅客数量；

（2）2013年某天济南至北京的D36次列车到北京站的时间；

（3）2013年某天收看齐鲁电视台《拉呱》节目的人数；

（4）体积为1 000 cm3的球的半径长．

小结随机变量从本质上讲就是以随机试验的每一个可能结果为自变量的一个函数，即随机变量的取值实质上是试验结果对应的数，但这些数是预先知道所有可能的值，而不知道究竟是哪一个值．

跟踪训练1指出下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．

（1）某人射击一次命中的环数；

（2）任意掷一枚均匀硬币5次，出现正面向上的次数；

（3）投一颗质地均匀的骰子两次出现的点数(最上面的数字)中的最小值；

（4）某个人的属相．

探究点二离散型随机变量的判定

问题1什么是离散型随机变量？

问题2非离散型随机变量和离散型随机变量有什么区别？

例2①某座大桥一天经过的中华牌轿车的辆数为ξ；②某网站中歌曲《爱我中华》一天内被点击的次数为ξ；

③一天内的温度为ξ；④射手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，用ξ表示该射手在一次射击中的得分．上述问题中的ξ是离散型随机变量的是() A．①②③④B．①②④C．①③④D．②③④

小结该题主要考查离散型随机变量的定义，判断时要紧扣定义，看是否能一一列出．

跟踪训练2指出下列随机变量是否是离散型随机变量，并说明理由．

（1）白炽灯的寿命ξ；

（2）某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差ξ；

（3）江西九江市长江水位监测站所测水位在(0,29]这一范围内变化，该水位站所测水位ξ；

（4）一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数．

探究点三离散型随机变量的应用

例3（1）一袋中装有5只同样大小的白球，编号为1,2,3,4,5.现从该袋内随机取出3只球，被取出的球的最大号码数ξ.写出随机变量ξ可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．

（2）抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为ξ，试问：“ξ>4”表示的试验结果是什么？

小结解答此类问题的关键在于明确随机变量的所有可能的取值，以及其取每一个值时对应的意义，即一个随机变量的取值可能对应一个或多个随机试验的结果，解答过程中不要漏掉某些试验结果．

跟踪训练3下列随机试验的结果能否用离散型随机变量表示？若能，请写出各随机变量可能的取值并说明这些值所表示的随机试验的结果．

（1）盒中装有6支白粉笔和2支红粉笔，从中任意取出3支，其中所含白粉笔的支数ξ，所含红粉笔的支数η.

（2）从4张已编有1～4的卡片中任意取出2张，被取出的卡片号数之和ξ.

（3）离开天安门的距离η.

（4）袋中有大小完全相同的红球5个，白球4个，从袋中任意取出一球，若取出的球是白球，则过程结束；若取出的球是红球，则将此红球放回袋中，然后重新从袋中任意取出一球，直至取出的球是白球，此规定下的取球次数ξ.

【当堂检测】

1．下列变量中，不是随机变量的是()

A．一射击手射击一次命中的环数B．标准状态下，水沸腾时的温度

C．抛掷两枚骰子，所得点数之和D．某电话总机在时间区间(0，T)内收到的呼叫次数

2．10件产品中有3件次品，从中任取2件，可作为随机变量的是()

A．取到产品的件数B．取到正品的概率

C．取到次品的件数D．取到次品的概率

3．抛掷2枚骰子，所得点数之和记为ξ，那么“ξ＝4”表示的随机试验的结果是()

A．2枚都是4点B．1枚是1点，另1枚是3点

C．2枚都是2点D．1枚是1点，另1枚是3点，或者2枚都是2点

4．一袋中装有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6.现从中随机取出2个球，以ξ表示取出的球的最大号码，则“ξ＝6”表示的试验结果是___________________．

【课堂小结】

1．所谓的随机变量就是试验结果和实数之间的一个对应关系，随机变量是将试验的结果数量化，变量的取值对应于随机试验的某一个随机事件．

2．写随机变量表示的结果，要看三个特征： （1）可用数来表示；（2）试验之前可以判断其可能出现的所有值；（3）在试验之前不能确定取值.

【拓展提高】

2.1.2 离散型随机变量的分布列(一)

【学习要求】

1．在对具体问题的分析中，理解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念．认识分布列对于刻画随机现象的重要性．

2．掌握离散型随机变量分布列的表示方法和性质．

【学法指导】

离散型随机变量的分布列可以完全描述随机变量所刻画的随机现象，利用分布列可以计算随机变量所表示的事件的概率.

【知识要点】

1．定义：一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n ，X 取每一个值x i (i ＝1,2，…，n )的概率

此表称为离散型随机变量X 的概率分布列，简称为X 的 ． 2．离散型随机变量的分布列的性质：

（1）p i 0，i ＝1,2,3，…，n ；（2）∑n

i ＝1

p i ＝ .

【问题探究】

探究点一 离散型随机变量的分布列的性质

问题1 对于一个随机试验，仅知道试验的可能结果是不够的，还要能把握每一个结果发生的概率．请问抛掷一枚骰子，朝上的一面所得点数有哪些值？取每个值的概率是多少？

问题2 离散型随机变量X 的分布列刻画的是一个函数关系吗？有哪些表示法？ 问题3 离散型随机变量的分布列有哪些性质？

例1 设随机变量X 的分布列P ⎝⎛⎭⎫X ＝k

5＝ak (k ＝1,2,3,4,5)． （1

）求常数a 的值； （2）求P ⎝⎛⎫X ≥3

5； （3）求P ⎝⎛⎭⎫110

概率．

跟踪训练1 （1

试说明该同学的计算结果是否正确．

（2）设ξ是一个离散型随机变量，其分布列为

①求q 的值；②求P (ξ<0)，P (ξ≤0)．

探究点二 求离散型随机变量的分布列

例2 将一颗骰子掷两次，求两次掷出的最大点数ξ的分布列．

小结 （1）求离散型随机变量的分布列关键是搞清离散型随机变量X 取每一个值时对应的随机事件，

然后利用排列、组合知识求出X 取每个值的概率，最后列出分布列．

（2）求离散型随机变量X 的分布列的步骤是：首先确定X 的所有可能的取值；其次，求相应的概率P (X ＝x i )＝p i ；最后列成表格的形式．

跟踪训练2 将一颗骰子掷2次，求下列随机事件的分布列． （1）两次掷出的最小点数Y ；

（2）第一次掷出的点数减去第二次掷出的点数之差ξ.

【当堂检测】

1．下列表中可以作为离散型随机变量的分布列的是 ( ) A

B

C

D